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FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
Título:MENOS COM MENOS DÁ... Um estudo sobre operações com números inteiros.
Autor Darci Dala Costa
Escola de Atuação Colégio Estadual de Juvinópolis
Município da escola Cascavel
Núcleo Regional de Educação Cascavel
Orientador Pedro Pablo Durand Lazo
Instituição de Ensino Superior Unioeste
Disciplina/Área Matemática
Produção Didático-pedagógica Unidade Didática
Relação Interdisciplinar
Público Alvo Alunos da 6ªSérie do Colégio Estadual de Juvinópolis
Localização Colégio Estadual de JuvinópolisAv. Castelo Branco, 400, Juvinópolis, Cascavel - Paraná
Apresentação: O trabalho apresenta uma proposta de ensino sobre cálculos com números inteiros por meio da manipulação de materiais concretos, a saber, sementes e forma de pizza. Posteriormente a utilização de jogos para a fixação do conteúdo, visando superar as dificuldades enfrentadas pelos alunos do Ensino Fundamental na aprendizagem de cálculos simples, que envolvem números positivos e negativos.
Palavras-chave Números, Negativo, Positivo, Jogos
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO - SEED SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
MENOS COM MENOS DÁ... Um estudo sobre operações com números inteiros.
CASCAVEL 2010
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEEDPDE – PROGRAMA DE FORMAÇÃO CONTINUADA
DARCI DALA COSTA
MENOS COM MENOS DÁ... Um estudo sobre operações com números inteiros.
Trabalho apresentado ao PDE, como
material didático, pelo Professor de
Matemática Darci Dala costa sob a
orientação do Professor Dr. Pedro Pablo
Durand Lazo da Universidade Estadual
do Oeste do Paraná, (UNIOESTE)
Cascavel.
.
CASCAVEL2010
SumárioApresentação.....................................................................................................................4Objetivo Geral...................................................................................................................5Objetivos Específicos........................................................................................................5Fundamentação Teórica e Referências Bibliográficas.......................................................5Estratégia de ação..............................................................................................................8Números negativos e positivos..........................................................................................9Soma de números negativos e positivos..........................................................................10Subtração de números positivos e negativos...................................................................14Expressões numéricas com adições e subtrações............................................................19
Acerte no cálculo........................................................................................................20Jogos................................................................................................................................24
Termômetro Maluco....................................................................................................24 Jogo das Borboletas...................................................................................................27
Versão Recreativa Concreta..............................................................................27 Versão Escolar Concreta.....................................................................................32 Versão Recreativa Abstrata................................................................................33 Versão Escolar Abstrata.....................................................................................34
Cronograma.....................................................................................................................35Avaliação.........................................................................................................................35Referências Bibliográficas..............................................................................................35
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Apresentação
Nas séries finais do ensino fundamental é comum o estudante cometer erros em
situações que exigem a realização de cálculos com números inteiros. Geralmente tais
erros estão associados às “regras de sinais”. Com efeito, muitos alunos apresentam
dificuldades na aplicação das “regras” de multiplicação e divisão, confundindo-as com as
de adição e subtração. Alguns deles realizam, de maneira equivocada, cálculos do tipo:
-5– 4 =, escrevendo o resultado como sendo +9. Assim, parece que a primeira regra que
lhes ocorre no momento de efetuar o cálculo é que: menos com menos dá mais.
Em vários momentos me deparei com tal situação em sala de aula, o que me fez
pensar: ¨Qual poderia ser a razão deste procedimento realizado pelos alunos¨. Talvez o
desconhecimento do que é um número negativo, a falta de atenção ao estudá-los, entre
outras razões
Como as operações com números inteiros são de fundamental importância no
aprendizado da matemática a dificuldade em realizá-las prejudica a compreensão de
outros tópicos da disciplina que fazem uso delas como, por exemplo, equações e cálculo
algébrico.
O ensino da matemática, assim como de outras disciplinas, tenta acompanhar o
processo tecnológico, como o uso de mídias para tornar a aula mais dinâmica. Que é
positivo, quando bem conduzido. Dentre estas mídias podemos citar o computador e a TV
Pen-Drive, que propiciam muitos recursos para a preparação e desenvolvimento das
aulas.
A escola à qual o projeto se destina encontra-se no meio rural e, embora seja bem
equipada em tecnologia, apresenta um corpo discente formado por muitos alunos que só
tem acesso a essa tecnologia na própria escola e seu conhecimento de informática,
muitas vezes, se resume a digitar uma palavra em um buscador e fazer um resumo de um
texto associado a ela.
Tendo isto em conta, este projeto procura trabalhar situações de adição e
subtração, envolvendo números opostos, cuja solução faz uso de material concreto e de
fácil acesso a todos os alunos, de uma forma que eles possam repetir em casa o que for
visto em classe, dando a eles a possibilidade de fixar o conhecimento.
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As situações apresentadas estão relacionadas com a realidade do aluno. Por
exemplo: a possibilidade de ficar devendo, pequenas quantias, em um estabelecimento
comercial , pois o comércio local ainda trabalha com o “caderno do fiado”, onde os pais
deles possuem conta.
Objetivo GeralBuscar uma metodologia de ensino que permita ao aluno efetuar, corretamente, as
operações de adição e subtração de números inteiros, a partir de manipulação de objetos
que permitam a sua visualização e a formação de uma boa base intuitiva.
Objetivos Específicos• Representar, matematicamente, situações que envolvam operações com
números inteiros.
• Resolver adições ou subtrações com números inteiros
Determinar expressões equivalentes mais simples que utilizem um menor número de
símbolos de coleção.
Fundamentação Teórica e Referências Bibliográficas
A história dos números negativos é difícil de ser contada, porque embora se
soubesse de sua existência, essa era negada pelo fato de não se aceitar como número
uma quantia que representasse menos que nada. Mesmo matemáticos famosos, como
Descartes, não achavam que os negativos fossem números verdadeiros e Stifel os
chamava de “números absurdos”.
Indiferentes a essa descrença os números negativos foram ganhando espaço e
sendo reconhecidos, mas para isso ter acontecido foi necessário um longo tempo.
As primeiras citações sobre o uso de números inteiros vem dos chineses, no
primeiro século de nossa era eles efetuavam cálculos com o uso de gravetos pretos e
vermelhos sobre um tabuleiro, indicando os coeficientes positivos por gravetos vermelhos
e os negativos por gravetos pretos.
Esta afirmação leva-nos a concluir que os chineses já tratavam os negativos como
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números significativos com a propriedade de serem o oposto dos positivos, o fato de
trabalharem com varetas tornava mais fácil a visualização de operações simples como
soma e subtração. O desenvolvimento deste projeto propiciará ao educando a
oportunidade de trabalhar soma e subtração de números inteiros de forma parecida, mas,
ao passo que, os chineses utilizavam varetas, utilizaremos sementes.
Além dos chineses, os hindus também utilizaram muito cedo os números negativos,
Brahmagupta (séc. VII) foi um dos primeiros a aceitá-los. Ele falava em “quantidades
positivas e negativas”(Boyer).
No mundo ocidental, a aceitação dos números negativos ocorreu de forma lenta,
Jahn(apud Alves,2007) cita alguns responsáveis por firmar o conceito de números
negativos:
Fibonacci na obra “Flos” de 1225, interpreta uma raiz negativa desenvolvendo um
problema financeiro em termos de perda e ganho; Stifel, no séc. XV, escreveu a
“Aritmética Integra”, considerado um dos mais importantes livros de álgebra impressos
que privilegia de maneira significativa os números negativos, os radicais e as potências;
Hermann Hankel, em seu livro "Theorie der komplexen Zahlensysteme" (1867),
desenvolveu um trabalho a partir do qual os os números negativos adquiriram
efetivamente estatuto de número se igualando aos positivos, a principal característica do
trabalho de Hermann Hankel foi a abordagem, de números, em uma outra perspectiva, a
de que os números não são descobertos, mas sim inventados, imaginados, o que
descartou a necessidade de extrair da natureza exemplos práticos que os explicam.
A autora ainda cita em seu trabalho outros matemáticos: Viète, Chuquet e
Windman estes dois últimos responsáveis pela introdução dos sinais representativos de
números negativos(-) e positivos (+).
O fato de serem aceitos pela comunidade científica não significa, necessariamente
serem compreendidos por todos, os números negativos deram muito trabalho para os
matemáticos e, ainda hoje, dão trabalho para os professores de matemática, pois o
primeiro contato das crianças com estes números ocorre na sexta série, ou sétimo ano, e,
se para os cientistas da idade média era difícil aceitar a ideia de algo que vale menos que
nada, imagine para uma criança de doze anos aproximadamente.
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Para Neto (1995),uma das dificuldades que os alunos encontram no aprendizado
do conceito de número negativo, trata-se da dificuldade de entender o negativo no quadro
de uma concepção substancial de número. Por essa concepção, que predominou até
certo período do século XIX, o número era entendido como "coisa", como grandeza, como
objeto dotado de substância. Afirma que dentro dessa concepção fica difícil entender o
número negativo. Um fato corriqueiro da Matemática, o que diz que "um número negativo
é menor que zero", torna-se problemático. Isso porque se número é quantidade, a
identificação do número zero com ausência de quantidade ou com a expressão nada é
natural. E como conceber algo menor que nada?
Em se tratando de número objetos, realmente não é possível representar uma
quantia menor que nada pois essa não existe, só encontraremos sentido em usar
números positivos e negativos em situações que admitem oposto onde o zero passa a ser
um referencial, ou a quantia que representa a aniquilação e não o início. Devido a isso até
algum tempo atrás os autores se referiam a números negativos e positivos como números
relativos.
Atualmente, os livros didáticos introduzem o estudo dos números inteiros com
situações que envolvem saldos, podendo ser bancário ou de gols; temperaturas, na
escala Celsius; período de tempo; pontos em jogos de perdas e ganhos; etc.
Aceitar a ideia de número negativo, já vimos que é algo difícil, realizar operações
com eles também apresenta uma série de empecilhos, principalmente no que diz respeito
à “regra de sinais”. Ainda segundo Neto (1995),os matemáticos necessitaram de mais de
1500 anos para se porem de acordo sobre o negativo e as regras dos sinais.
Ensinar as regras de sinais, mesmo hoje, com toda a evolução da matemática, não
é uma tarefa simples. Alguns professores lançam mão de recursos, fazendo analogias,
para justificá-las, tais como: o inimigo do meu inimigo é meu amigo, para que o aluno
lembre que menos vezes menos dá mais. Como cada aluno aprende de forma e rapidez
diferentes, com certeza, para alguns, analogias funcionam mas não justificam a regra.
Partindo deste pressuposto, o desenvolvimento deste projeto propiciara ao
educando a oportunidade de trabalhar soma e subtração de números inteiros de maneira
semelhante a dos chineses que utilizavam varetas, nós utilizaremos sementes.
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Estratégia de açãoO projeto em questão será aplicado aos alunos da 6ª série e sala de apoio do
Colégio Estadual de Juvinópolis, no conteúdo de conjuntos numéricos, especificamente
números inteiros.
Para efetuar de maneira concreta as operações de adição e subtração utilizaremos
como material sementes de dois tipos (milho e feijão) e, para expressões numéricas, uma
forma de pizza de papelão com círculos concêntricos dando ideia de um alvo com faixas
positivas e negativas.
Os exemplos utilizados serão situações que envolvem dinheiro, onde se faz
necessário o uso de números positivos e negativos para representar ganhos e perdas, ter
e dever, receber e gastar e também situações que envolvam deslocamento de um
elevador.
Para a fixação utilizaremos jogos cujo objetivo é levar o aluno a se familiarizar com
o cálculo de números inteiros.
Os jogos utilizados serão:Acerte no cálculo, Termômetro Maluco encontrado em
Jogos de matemática do 6° ao 9° ano(SMOLE, DINIZ & MILANI, 2007) e O Jogo das
Borboletas visto em Quatro Jogos Para Números Inteiros: Uma análise. (LINARDI,1998).
A implementação está detalhada nas páginas seguintes.
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Números negativos e positivos
Geada no ParanáO estado do Paraná registrou nesta terça-feira (28) uma das maiores geadas de
2011 e a manha mais fria doa ano. Diversas regiões do estado ficaram cobertas pelo gelo.
Levantamento feito pelo Simepar às 7 horas registrou que a mínima em Curitiba chegou a
-7 graus Celsius.
Notícias como esta, falando do frio no Paraná ou na região sul do Brasil, são
comuns no inverno. Mas gostaria de chamar a atenção aos números utilizados nesta
notícia e o que eles representam:
Data: 28 (dia do mês) e 2011 (ano)
Horário: 7 horas
Temperatura: -7 graus Celsius.
A partir destes números vamos considerar algumas questões:
A temperatura é representada pelo número -7. Qual é o significado do traço antes
do símbolo 7 quando este representa temperatura?
Você já viu algum número representando horário com um traço antes dele?
E dia do mês? E ano?
Na 5ª série estudamos o conjunto dos números naturais onde aprendemos que o
menor deles é o zero. Então por que em dias muito frios os noticiários falam em
temperaturas negativas (abaixo de zero)?
Pois bem, existem situações em que os números naturais não são apropriados
para representar a quantidade desejada. No caso da temperatura o zero grau Celsius não
representa a menor temperatura que existe é apenas uma referência para indicar o ponto
de fusão da água. As temperaturas que estiverem abaixo deste ponto são representadas
Foto: Darci Dala Costa
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antecedidas de um sinal de menos, que significa justamente que ela está abaixo de zero.
Então temos, temperaturas com mais calor que zero grau (positivas) e menos calor que
zero grau (negativas). Além da temperatura há outras situações que apresentam relações
opostas tais como: saldo de gols de um time em um campeonato, saldo bancário,
números dos andares de um prédio e outras.
Os exemplos utilizados serão situações que envolvem dinheiro, onde se faz
necessário o uso de números positivos e negativos para representar ganhos e perdas, ter
e dever, receber e gastar e o deslocamento de um elevador.Representaremos as quantias positivas com sementes de milho e as negativas
com sementes de feijão cujos desenhos serão respectivamente círculo azul com sinal de
mais cujo valor numérico é +1 e círculo vermelho com sinal de menos que vale -1. Então
ter ou ganhar um será representado por (1 milho) e perder ou gastar um por (1
feijão) Devemos lembrar que quem tem um e gasta um fica com zero então cada par
(milho/feijão) vale zero.
Soma de números negativos e positivosNas situações que envolvem dinheiro uma palavra que aparece com frequência é
saldo. De modo geral, saldo é a diferença entre o que você tem no bolso e o que precisa
pagar. Se o que você possui é mais do que você tem que pagar então vai lhe restar troco,
neste caso dizemos que seu saldo é positivo. Se gastar mais do que tem, vai ficar
devendo, neste caso seu saldo será negativo.
Vamos considerar os problemas abaixo, resolvendo-os com o auxílio das
sementes.
Problema 1Bia tinha R$ 8,00 e gastou R$ 5,00 no armazém de seu Joaquim.
Como ficou seu saldo após a compra?
Utilizando as sementes, fazemos:
Tinha ( 8 milhos)
Gastou (5 feijões)
Como a cada par formado por 1 milho e 1 feijão corresponde zero, juntando todos
+ -
-
12
os pares e o saldo é o que sobrar.
Cálculo com sementes.
ZERO SALDO
Resumo: +8 – 5 = +3
Para realizar o cálculo acima juntamos 8 positivos com 5 negativos e obtivemos um
saldo de 3 positivo. Juntar é o mesmo que somar então a representação matemática do
que se fez é:
(+8)+(-5) = +3
Observe que são equivalentes as expressões
(+8)+(-5) = +3 e +8 – 5 = +3
Resposta: Ficou com saldo positivo de R$ 3,00.
Problema 2José tinha R$ 4,00 e comprou,no armazém de seu Joaquim onde seu pai tem
conta, uma caixa de bombons que custou R$ 6,00.
Como ficou seu saldo?
Seguindo o mesmo procedimento do problema 1, temos:
Representação.
Tinha ( 4 milhos)
Gastou (6 feijões)
Cálculo com sementes.
ZERO SALDO
Resumo: +4 – 6 = -2
Para obtermos o saldo juntamos 4 positivos com 6 negativos e o saldo obtido é de
- - - - -
+ + + + + + + +
-
+ + + +
- - - - - -
13
2 negativos. A representação com números inteiros desse cálculo é:
(+4) + (-6) = -2
Note que:
(+4) + (-6) = -2 é o mesmo que +4 – 6 = -2.
Resposta: Ficou com saldo negativo de R$ 2,00.
Dessa forma podemos trabalhar diversas situações envolvendo saldo e utilizando
adição de números inteiros, abaixo seguem algumas linhas de resumo de problemas
simples:
Problema 3Faça a representação matemática e verifique qual é o saldo de quem:
a) Tinha R$ 5,00 e gastou R$ 3,00?
ZERO SALDO
Representação:
(+5)+(-3)=+2 ou +5 - 2= +2
R: Saldo positivo de R$ 2,00.
b) Tinha R$ 4,00 e gastou R$ 7,00?
ZERO SALDORepresentação:
(+4)+(-7)=-3 ou +4 - 7= -3
R: Saldo negativo de R$ 3,00.
+ + + + +
+ + + +
- - -
- - - - - - -
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c) Devia R$ 4,00 e pagou com R$ 5,00?
ZERO SALDORepresentação:
(-4)+(+5)=+1 ou -4 + 5 = +1
R: Saldo positivo de R$ 1,00.
d) Tinha R$ 4,00 e ganhou R$ 2,00?
SALDOComo não há pares milho/feijão, não tem zeros nesta situação então o saldo é
tudo.
Representação:
(+4)+(+2)=+6 ou +4 + 2 = +6
R: Saldo positivo de R$ 6,00.
e) Devia R$ 3,00 e gastou mais R$ 2,00?
SALDOPelo mesmo motivo do item d o saldo é tudo.
Representação:
(-3)+(-2)=-5 ou -3 -2 = -5
R: Saldo negativo de R$ 5,00.
+ + + + +
+ + + + + +
- - - -
- - - - -
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Subtração de números positivos e negativosAté agora estudamos apenas situações que envolvem adições com números
positivos e negativos. Como seriam as subtrações envolvendo estes números?
Vamos supor que um grande prédio apresente 13 andares. Desses 13 andares,
porém, por causa da situação especial do edifício, 7 foram construídos acima do nível da
rua, um ao nível da rua e 5 foram construídos no subsolo, isto é, abaixo do nível da rua.
Os andares acima do nível da rua foram designados por números positivos +1 +2
+3 +4 +5 +6 +7, o andar ao nível da rua por zero e os andares inferiores por números
negativos -1 -2 -3 -4 -5 de acordo com a figura abaixo:
Podemos reproduzir a figura e usar uma semente como o elevador para
acompanhar o movimento do mesmo.
Para chegar de um andar a outro o elevador realiza um movimento de subida ou
descida, consideremos que o movimento de subida seja positivo e o de descida seja
negativo.
Uma pessoa, utilizando o elevador desse prédio, para ir do andar +3 para o +5
subirá 2 andares e para ir do andar -2 ao -4 descerá 2 andares.
Considerando que se você está no andar +3 e quer ir para o +5, qual será o seu
deslocamento? A questão é “quanto falta” do +3 até o +5 que é uma ideia associada a
diferença , neste caso, a diferença é entre o andar de chegada e o andar de saída, então :
(andar de chegada) – (andar de saída)=deslocamento.
+7+6+5+4
- 3
+3+2+1 0- 1- 2
- 4- 5
TÉRREO
16
Deslocamento:
(+5) – (+3) = (subir dois andares)
Utilizando as sementes, a subtração assume o sentido de tirar uma quantidade de
outra e o deslocamento do elevador é representado pelo cálculo.
(+5) – (+3)= (De 5 sementes de milho devemos retirar 3)
De 5 positivos devemos retirar 3 positivos
Temos
Retiramos Sobra
Então: (+5) – (+3)= +2
Observe que (+5) – (+3) = +2 é o mesmo que (+5) +(-3) = +2, ou seja subtrair (+3) dá o mesmo resultado que somar (-3).
Da mesma forma, para ir do -2 ao -4, temos:
Deslocamento:
(-4) – (-2) = (descer dois andares)
Cálculo:
(-4)-(-2)= (De 4 sementes de feijão devemos retirar 2)
+ + + + +
+7+6+5+4
- 3
+3+2+1 0- 1- 2
- 4- 5
TÉRREO
+
+
+7+6+5+4
- 3
+3+2+1 0- 1- 2
- 4- 5
TÉRREO
+
+
17
De 4 negativos devemos retirar 2 negativos
Temos
Retiramos Sobra
Então: (-4) – (-2)= -2
Observe que (-4) – (-2) = -2 é o mesmo que (-4) + (+2) = -2, ou seja subtrair (-2) dá o mesmo resultado que somar (+2).
Como representar o deslocamento do andar -2 para o andar +5?
Deslocamento:
(+5) – (-2) = (subir 7 andares)
O cálculo é:(+5)-(-2)= (Agora, de 5 sementes de milho devemos retirar 2 sementes
de feijão)
Como retirar quantidades negativas se eu só possuo valores positivos?
Lembremos que cada par milho/feijão vale zero e que (+5) + 0 = +5 e não importa a
quantidade de zeros que somarmos ao +5 ele continuará valendo +5, então podemos
resolver esse cálculo da seguinte forma.
Inicialmente temos: 5milhos (dos quais queremos tirar 2 feijões)
Temos
Somamos dois pares milho/feijão que totalizam zero e continuamos com (+5).
Somamos zeros→
+ + + + +
+ + + + + + +
- -
- - - -
+7+6+5+4
- 3
+3+2+1 0- 1- 2
- 4- 5
TÉRREO
+
+
18
Retiramos (-2)
Retiramos→
Ficamos com
Para conseguirmos retirar (-2) de (+5) somamos dois pares milho/feijão e retiramos
a parte negativa sobrando a parte positiva que é acrescentada ao (+5) dando como resto
(+7).
Então: (+5) – (-2) = +7 que é equivalente a expressão (+5) + (+2) =+7, ou seja
subtrair (-2) dá o mesmo resultado que somar (+2).Vamos considerar agora o deslocamento do andar +5 para o andar -4.
Deslocamento:
(-4) – (+5) = (descer 9 andares)
A expressão do deslocamento é:
(-4) – (+5) = (De 4 negativos devemos retirar 5 positivos)
Como precisamos retirar (+5) de (-4), somamos ao (-4) cinco pares de milho/feijão
que totalizam zero e retiramos a parte positiva.
Temos
Somamos 5 pares milho/feijão, que totaliza zero, e continuamos com -4
Somamos zero→
+ + + + + + +
- -
+ + + + + + +
- - - - - - - - -
+ + + + +
-
- - - -
-
+7+6+5+4
- 3
+3+2+1 0- 1- 2
- 4- 5
TÉRREO
+
+
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Tiramos 5 positivos
Retiramos→
Fazendo a retirada da parte positiva restaram 9 negativos.
Logo: (-4) – (+5) = -9 com o mesmo resultado temos (-4) + (-5) = -9, ou seja
subtrair (+5) dá o mesmo resultado que somar (-5).E para ir do andar -5 ao -1?
Deslocamento:
(-1) – (-5) = (subir 4 andares)
Expressão: (-1) - (-5)=(de um negativo devemos retirar 5 negativos)
Temos
Como só temos (-1) precisamos completar com pares até conseguirmos (-5)
para podermos retirá-los.
Somamos zero→
- - - - --- - - - -
+ + + + +
- - - - - - -- -- -
+7+6+5+4
- 3
+3+2+1 0- 1- 2
- 4- 5
TÉRREO
+
+
-
- - -- -- -
+ + + +
-
20
Agora podemos retirar 5 negativos.
Retiramos
O que resta é
Então: (-1) – (-5) = +4 que é equivalente a expressão (-1) + (+5) =+4, ou seja
subtrair (-5) dá o mesmo resultado que somar (+5).Observe que: subtrair um número inteiro produz o mesmo resultado que somar seu
oposto.
Expressões numéricas com adições e subtraçõesConsidere a seguinte situação:
João tinha R$ 3,00, gastou R$ 2,00, ganhou R$ 5,00 e gastou R$ 8,00. Represente
esta situação com sementes e diga como ficou seu saldo?
Tinha
Gastou
Ganhou
Gastou
Agrupamos os positivos e negativos:
zeros saldo
+ + +
- -
+ + + + +
- - - - - - - -
+ + + + + + + +
- - - - - - - - - -
+ + + +
- - - - -
+ + + +
--
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Registro:
(+3)+(-2)+(+5)+(-8)= -2
Total positivo:(+3)+(+5) = +8
Total negativo:(-2)+(-8) = -10
Saldo: (+8) + (-10) = -2
Acerte no cálculoPara treinar expressões desse tipo utilizaremos um espaço de expressões feito a
partir de uma forma de pizza em forma de um alvo com duas faixas, uma central, positiva
e uma lateral, negativa, como mostra a figura abaixo e as expressões serão obtidas da
seguinte forma:
Lança-se um pouco de sementes, positivas e negativas;
Faz-se o registro assim:
• as que caírem na parte positiva são agrupadas, contadas e registradas,
precedidas do sinal de +.
-
+
22
• as que caírem na parte negativa, da mesma forma, precedidas do sinal de -.Para efetuar o cálculo da expressão, as sementes da faixa negativa devem ser
trocadas pelas de valor oposto e postas no círculo positivo.
Agora basta adicionar as quantidades eliminando os zeros, se houverem.
Exemplo:
Em um lançamento acontece a seguinte distribuição:
Registro:
+(+4) + (-5) – (+3) – (-6) =Parte clara Parte escura
Trocamos as da faixa negativa.
por
por
Registro:
+(+4) + (-5) + (-3) + (+6) =Parte clara
-
+ +
+
+
+
+
-
-
-
--
-- -
+
+-
--
+ + +
+ + + + + +- - - - - -
- - -
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Feita a troca, temos:
Cálculo:
zeros saldo
Registro:
+(+10) +(-8) = + 2Parte clara
Resumo:
+(+4) +(-5) -(+3) -(-6)=(trocamos os valores precedidos de – pelo oposto)
+(+4) +(-5) +(-3) +(+6)=(agrupamos os positivos e negativos)
+(+4) +(+6) +(-5) +(-3)=
+(+10) + (-8) =
+ 10 – 8 = +2
-
++++
+ +
- --
- -- -
++
-
++ +
- - - - - - - -
+ + + + + + + + + +
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Devemos treinar algumas expressões lançando as sementes sobre o alvo e
verificando o resultado de acordo com o procedimento realizado anteriormente, não
esquecendo de fazer o registro das expressões.
Sentindo segurança para realizar os cálculos podemos fazer exercícios com
expressões em forma de competição, da seguinte forma:
Reúnam-se em duplas:(jogador A e Jogador B)
O jogador A lança as sementes.
O jogador B registra no caderno a expressão e resolve.
O jogador A confere com as sementes o cálculo de B, que marca ponto caso esteja
certo.
Para a próxima jogada invertem-se os papéis.
Ganha o jogo quem fizer 5 pontos.
Caso os dois jogadores consigam cinco acertos em um mesmo número de
tentativas o jogo termina empatado.
Resumindo, para resolver uma expressão numérica com adição e subtração de
números positivos e negativos uma sugestão é:
-trocar as subtrações pela soma do oposto;
-agrupar os positivos e negativos e;
-calcular a diferença.
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JogosA seguir veremos alguns jogos que nos ajudarão a praticar cálculo com números
positivos e negativos.
Termômetro Maluco
Utiliza um tabuleiro para duas equipes, formadas cada uma por dois ou três
jogadores, 2 marcadores de cores diferentes, um conjunto de 27 cartas, formados com
três cartas de cada um dos números 0; - 1; - 2; - 3; - 4; +1; +2; +3 e +4
Regras:1. Cada dupla usa um tabuleiro com o termômetro e um conjunto de cartas que
devem ser embaralhadas e colocadas no centro da mesa, formando um monte, com as
faces voltadas para baixo.
2. Para iniciar o jogo, cada jogador, na sua vez, coloca seu marcador na posição
Zero e retira uma carta do monte. Se a carta indicar um número positivo, o jogador
avança; se indicar um número negativo, recua e, se apontar para o zero, o jogador não
move o seu marcador.
3. O jogo continua, com os jogadores retirando uma carta do monte e realizando o
movimento a partir do valor da casa do seu marcador.
4. O jogador que chegar abaixo de - 20 congela e sai do jogo.
5. Há três formas de ganhar o jogo:
a) O primeiro jogador que chegar em +20, ou
b) O último que ficar no termômetro, no caso de todos os outros jogadores
congelarem e saírem do jogo, ou ainda;
c) O jogador que, terminado o tempo destinado ao jogo, estiver _ mais quente_, ou
seja, aquele que estiver com o seu marcador na casa com o maior número em relação
aos demais.
26
Variações:
O termômetro pode ser desenhado no chão seguindo- se as regras já
estabelecidas e com os jogadores como marcadores. Essa variação pode tornar o jogo
bastante dinâmico. É ainda uma boa maneira de apresentar o jogo e suas regras para
todos os alunos da classe antes de dividi- los em grupos para jogar.
Além das cartas utilizar um cubo com três faces com sinal (+) e as outras três com
sinal (-)
Exemplo de uma jogada apenas com as cartas:Início: marcador no ponto zero
1ª jogada: Retira a carta +3
Registro: 0 + 3 = +3
Vai para a casa +3
2ª jogada: retira a carta -4
Registro: +3 -4 = -1
O jogador recua seu marcador 4 casas e vai para a posição -1.
Exemplo de uma jogada com as cartas e com o cubo positivo e negativo :A regra com o uso do cubo sofre uma alteração, se no lançamento do cubo o
resultado for positivo, o jogador fará o movimento de acordo com o valor da carta, caso o
resultado do cubo for negativo o jogador fará a jogada oposta ao valor da carta.
Início: marcador no ponto zero
1ª jogada: Lançamento do cubo (+) retira a carta +2.
Registro: 0 + (+2)= +2
Vai para a casa +2.
2ª jogada: Lançamento do cubo (-) retira a carta +4.
Registro: +2 - (+4) = -2
Como o lançamento do cubo foi negativo deve-se fazer o movimento oposto ao
valor da carta, ao invés de avançar 4 recua-se 4 e vai para a casa -2.
3ª jogada: Lançamento do cubo (-) retira a carta -3.
Registro: -2 - (-3) = +1
Pelo mesmo motivo anterior avança 3 e vai para a casa +1.
27
Cartas
Fonte: Smole, Diniz e Milani, 2007.
+1 +2 +3 +40 -1 -2 -3 -4
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Jogo das BorboletasEsse jogo possui duas versões:
• versão recreativa
• versão escolarE cada versão possui duas modalidades:
• versão recreativa concreta e versão recreativa abstrata
• versão escolar concreta e versão escolar abstrata
Versão Recreativa ConcretaO jogo, nessa versão, é constituído de:1) Um tabuleiro (desenhado abaixo com dois circuitos a mais que o original);
No tabuleiro há oito borboletas desenhadas e entre elas, existem catorze
segmentos de reta chamados trajetórias, que formam sete circuitos: seis externos e um
interno (veja o desenho do tabuleiro):
• Circuitos externos, formados pelas borboletas AEH, BEF, CFG, DGH, CDG, ABE;
A B
CD
E
F
G
H
29
• Circuito interno, formado pelas borboletas EFGH.
2) 44 cartas (desenhadas abaixo), sendo:
• Duas cartas brancas marcadas com o número 0 (zero);
• Duas cartas brancas marcadas com o curinga (no desenho abaixo
representado por X);
• Vinte cartas vermelhas marcadas com seguintes números: 1, 2, 3, 4, 5;
sendo quatro cartas de cada número;
• Vinte cartas azuis marcadas com seguintes números: 1, 2, 3, 4, 5; sendo
quatro cartas de cada número.
3) Cinco cartões para marcar os pontos obtidos durante as partidas: quatro de 1
ponto e um de 2 pontos;
4) Marcadores: botões brancos e pretos ou sementes de milho e feijão.1
Regras para jogar
1ª) Podem jogar dois, três ou quatro jogadores. No início da partida embaralham-se
as 44 cartas e cada jogador recebe três delas. As restantes formam o monte.
2ª) Sorteia-se quem começa. A ordem das jogadas é pela esquerda.
3ª) O jogador que inicia o jogo escolhe uma trajetória ligando duas borboletas no
tabuleiro. Em seguida este jogador escolhe e coloca uma carta no tabuleiro, de modo que
a flecha desenhada nela se sobreponha à trajetória escolhida e coloca vários botões
brancos em cada uma das duas borboletas ligadas pela trajetória, respeitando a seguinte
regra:
Regra do jogo
• Se a carta sobre a trajetória for azul, o número de botões na borboleta de onde
parte a flecha mais o número da carta, deve ser igual ao número de botões na borboleta
1 O texto original detalha as regras com o uso de botões brancos e pretos e será mantido.
0
0
X
X
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
30
para onde a flecha aponta.
Neste caso: 1 + 4 = 5
• Se a carta sobre a trajetória for vermelha, o número de botões na borboleta de
onde parte a flecha menos o número da carta, deve ser igual ao número de botões na
borboleta para onde a flecha aponta.
Agora: 5 – 3 = 2
Após colocar uma carta no tabuleiro, o jogador apanha outra no monte, ficando
assim sempre com três cartas na mão.
4ª) O jogador seguinte deve colocar uma carta sobre uma das trajetórias que ligam
uma das borboletas já preenchidas a uma borboleta vazia, preenchendo a borboleta vazia
com a quantidade de botões necessária para satisfazer a regra do jogo. Veja o exemplo
abaixo:
O primeiro jogador fez a seguinte jogada:
4
4
3 3
31
Se o jogador da vez tiver a carta 4 azul poderá completar o caminho assim:
5ª) O objetivo de cada jogador é fechar um circuito. O jogador fecha um circuito
quando coloca uma carta na última trajetória vaga do circuito. O jogador que conseguir
fechar um circuito externo, marca um (1) ponto e recebe um cartão com o respectivo
ponto. O que conseguir fechar o circuito interno marca dois (2) pontos e recebe um cartão
com os respectivos pontos. Ganha o jogo quem somar mais pontos em todas as partidas
jogadas.
6ª) A carta marcada com o X funciona como curinga e pode assumir qualquer valor.
Se o número de botões brancos sobre uma borboleta ultrapassar cinco, usam-se botões
pretos para substituí-los: cada botão preto representa cinco brancos. Se um jogador não
tiver como colocar qualquer de suas cartas no tabuleiro, obedecendo à regra do jogo, ele
3
3
4 4
3
3
32
deverá ceder a vez ao jogador seguinte. A partida termina quando nenhum jogador puder
mais colocar suas cartas, respeitando a regra do jogo, ou quando todos os jogadores
tiverem colocado todas as suas cartas.
7ª) No decorrer do jogo pode surgir uma trajetória vazia, ligando duas borboletas já
preenchidas. O jogador poderá colocar sua carta sobre esta trajetória, sempre
respeitando a regra.
Exemplo: Caso o jogo apresentasse a possibilidade abaixo.
O jogador da vez poderia fechar o circuito com a carta 1 azul
ou 1 vermelha
3
3
4 4 3
3
4 4
1
1
3
3
4 4
1
1
33
Versão Escolar ConcretaO material e as regras são os mesmos que os da versão recreativa concreta. A
única diferença é que nessa versão utilizam-se, em vez de cartas azuis, cartas em que os
números vêm precedidos do sinal mais ( + ) e, em vez de cartas vermelhas, utilizam-se
cartas com os números precedidos do sinal menos ( − ) como no desenho abaixo:
Na versão escolar deve-se registrar cada jogada como a soma do valor da carta no
sentido da seta ou a subtração do valor da carta no sentido oposto a seta.
Exemplo:
No sentido da seta: 2 + (+3) = 5No sentido oposto: 5 - (+3) = 2
+3
+3 X
X
+1
+1
+2
+2
+3
+3
+4
+4
+5
+5
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
34
No sentido da seta: 5 + (-3) = 2No sentido oposto: 2 - (-3) = 5
Versão Recreativa AbstrataO jogo, nessa versão, é constituído basicamente do mesmo material da versão
recreativa concreta. A única diferença é que, na versão recreativa abstrata, não há botões.
Regras para jogarNessa versão, os botões foram levados pelas borboletas e não existem mais. Os
jogadores não podem lançar mão de nenhum recurso para preenchimento das borboletas.
Cada jogador, na sua vez, escolhe uma cara e a coloca em uma linha vazia, desde
que a linha escolhida não feche um circuito. Para marcar ponto, os jogadores precisam
desenvolver alguma estratégia para descobrir qual carta deve ser colocada na linha que
fecha o circuito.
Exemplo:
Após a colocação de algumas cartas o jogador se depara com a seguinte situação:
As cartas que poderiam fechar o circuito, nesse caso, são:
3
3
1 1G
D C
-3
-3
35
Azul 2 apontando a seta de C para D.
Ou
Vermelho 2 apontando a seta de D para C.
É fácil fazer a verificação colocando uma quantia qualquer de pontos em C e
completando D e G de acordo com as cartas.
Você deve descobrir o segredo para completar o circuito.
Versão Escolar AbstrataAs regras são as mesmas que as da versão recreativa abstrata. A única diferença é
que nessa versão utilizam-se, em vez de cartas azuis, cartas em que os números vêm
precedidos dos sinal mais e, em vez de cartas vermelhas, utilizam-se cartas com os
números precedidos do sinal menos.
3
3
1 1G
D C 2
2
3
3
1 1G
D C
2
2
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CronogramaO projeto será aplicado com as turmas de 6ª série do Colégio Estadual de
Juvinópolis de 08 de Setembro a 07 de outubro de 2011.
• Números Opostos e Situações de Adição envolvendo compras e dívidas: 4 aulas.
• Subtração de números inteiros utilizando o deslocamento de elevador: 2 aulas.
• Prática de adição e subtração com exercícios e uso de jogos: 6 aulas.
• Exercícios com expressões numéricas: 4 aulas.
AvaliaçãoA avaliação do projeto se levará em consideração os seguintes critérios:
• Aplicabilidade ou viabilidade;
• Interesse dos alunos;
• Evolução dos alunos ao final do processo.
Tendo em vista que o projeto será aplicado no segundo semestre e os alunos já
tiveram contato com números inteiros, bem como operações básicas com os mesmos,
para avaliarmos o último item, serão feitas avaliações antes e depois da aplicação.
Referências BibliográficasLINARDI, P. R. Quatro Jogos Para Números Inteiros: Uma análise. Dissertação
de Mestrado em Educação Matemática - UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA- Rio
Claro, SP. 1998.
ALVES, E. R. Números Negativos, Irracionais e Frações Decimais: Um pouco da história de como e quando surgiram e uma aplicação dos números negativos para alunos da graduação de Licenciatura em Matemática. Revista Eletrônica da FIA,
vol III N.3 Jul – Dez / 2007
BALDINO, R. R. Sobre a epistemologia dos números inteiros. Educação
matemática em revista, São Paulo, SP, v.5, p.4-14, 1996.
37
BARBOSA, S. L. P. Jogos Matemáticos como Metodologia de Ensino-Aprendizagem das Operações com Números Inteiros, Projeto de Intervenção
Pedagógica na Escola apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional –
PDE. UEL, Londrina, PR. 2008.
CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. 6. ed. Portugal:
Gradiva, 2005.
PARANÁ (Estado) Secretaria de Estado da Educação. DIRETRIZES CURRICULARES DA EDUCAÇÃO BÁSICA: MATEMÁTICA. Coord. Maria Eneida Fantin.
Curitiba:SEED, 2008.
NETO, F.R. Duas ou três coisas sobre o "menos vezes menos dá mais" .Trabalho
apresentado na Semana de Estudos em Psicologia da Educação Matemática promovido pelo
Mestrado em Psicologia da Ufpe, realizado entre os dias 27 e 31 de março de 1995 em Recife, Pe
SMOLE, K.S.; DINIZ, M.I.; MILANI, E. Jogos de matemática do 6° ao 9° ano.Cadernos do
Mathema. Porto Alegre: Artmed 2007.
THIRE, C.; MELLO E SOUZA. MATHEMÁTICA-1ºANNO 3ªed. São Paulo. Livraria
Francisco Alves – 1932.
BOYER,C.B.,1906 – História da Matemática; tradução Elza F. Gomide. São Paulo,
Edgard Blücher,1974.