Sejam (G1, *) e (G2, ) dois grupóides. (obrigatoriedade da operação)

HOMOMORFISMO DE GRUPÓIDESDEFINIÇÃO

Chama-se homomorfismo de (G1, *) para (G2,  )  a toda a função f : G1 G2 tal que " x, y G1, f(x * y) = f(x) f(y).

Sejam (N, +) e (2N, +) dois grupóides. (2N é o conjunto dos pares)(A função f : N 2N tal que para todo   x N, f(x) = 2x, é um homomorfismo de grupóides.Tem-se: f(x + y) = 2.(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y).

EXEMPLO

G1Conjunto *Operação

G2

ElementosX

y

x * y

f(x * y) = f(x) f(y)

f(x)

f(y)

f(x * y)

Mas x y = f(a) f(b) = f(a * b) pois, há um homomorfismo entre os dois grupóides.

TEOREMA 1

Sejam (G1, *) e (G2, ) dois grupóides.Se f : G1 G2  é um homomorfismo entre os dois grupóides então f(G1) é fechado para a operação .

Demonstração. Sejam x, y f(G1).

Por definição de f, existem a, b G1 tais que x = f(a) e y = f(b).

Como (G1, *) é um grupóide pode-se concluir que a * b G1.

f(G1)x

yG1, *

G2, a * b

a

b

Devemos provar que x y pertencem a g(G1).

Portanto, existe em f(G1) o elemento f(a*b).(Por definição da função f, todo elemento deG1 tem imagem)

Portanto, f(a) f(b) é um elemento de f(G1), o que prova o fechamentoda operação em f(G1).

f(a) f(b) = x y

(d) Se em (G1, *), x’ é o inverso de x, então f(x’) é o inverso de f(x) em (f(G1), ).

TEOREMA 2Sejam (G1, *) e (G2, ) dois grupóides.

Se f : G1 G2  é um homomorfismo entre os dois grupóides então

(a) Se * é associativa em G1 então é associativa em f(G1);

(b) Se * é comutativa em G1, então é comutativa em f(G1);

(c) Se n é elemento neutro de (G1, *) então f(n) é elemento neutro de (f(G1), );

DEMONSTRAÇÃO

Sejam x, y, z elementos de G1 e f(x), f(y), f(z) elementos de G2. (a) Por hipótese x * (y * z) = (x * y) * z f[x * (y * z)] = f[(x * y) * z] (1)

(associatividade em G1).

Mas, f[x * (y * z)] = f(x) f(y * z) = f(x) [f(y) f(z)] (definição de homomorfismo)

e, f[(x * y) * z] = f(x * z) f(z) = [f(x) f(y)] f(z)

De acordo com a igualdade (1) se conclui f(x) [f(y) f(z)] = [f(x) f(y)] f(z)

O que comprova a associatividade de .

(b) Por hipótese a * b = b * a (comutatividade da operação *).

Deste modo: f(a * b) = f(b * a) f(a) f(b) = f(b) f(a) (definição de homomofismo)

é comutativa.

(c) Por hipótese, n G1, tal que, a G1, a * n = n * a = a f(a * n) = f(a) (1) .

Assim, f(a * n) = f(a) f(n) (definição de homomorfismo) = = f(a) [de acordo com a igualdade (1)]

Ora, f(a) f(n) = f(a) implica que f(n) é o neutro de .

Da mesma forma se comprova que f(n) f(a) = f(a).

(d) Por hipótese, x G1, x’ G1, tal que, x * x’ = x’ * x = n. f(x * x’) = f(x’ * x) = f(n) (1)

Tem-se então:f(x * x’) = f(x) f(x’) = (definição de homomorfismo) = = f(n) de acordo com a igualdade (1).

Portanto, f(x’) é o inverso de f(x).

Quando existe um isomorfismo entre os dois grupóides, escreve-se G1 ~ G2 e diz-se que os grupóides são isomorfos.

DEFINIÇÕESSejam (G1, *) e (G2,  ) dois grupóides e f : G1 G2 um homomorfismo entre os dois grupóides.

Diz-se que f é:

1. um monomorfismo se f é injetiva;

2. um epimorfismo se f é sobrejetiva;

3. um isomorfismo se f é bijetiva;

4. um endomorfismo se G1 = G2;

5. um automorfismo se f endomorfismo e isomorfismo.

EXERCÍCIO

Mostre que f:(N, +) (N, X) é um homomorfismo ,sendo f(x) = ax, onde a é um elemento qualquer de N.