hidrostatica 2 hidraulica i

1

4. – HIDROSTÁTICA (continuação)

4.6 – MEDIDORES DE PRESSÃO

A pressão em um fluido pode ser medida segundo duas escalas

distintas. Uma, considerando que a menor pressão possível é zero,

denominada de escala de pressão absoluta. A outra, considerando que

o valor da pressão atmosférica seja zero, denominada de pressão

relativa, pressão efetiva ou pressão manométrica.

4.6.1. Medidores de pressão absoluta

Como o próprio nome diz, são dispositivos mecânicos ou

eletrônicos destinados à medir a pressão absoluta de um fluido. Dentre

eles pode-se salientar três tipos, conforme descrição a seguir.

Hidráulica I – Departamento de Engenharia Civil – Escola de Minas

2

a) Barômetro de Torricelli:

É um instrumento inventado por Torricelli, em 1643, para medir a

pressão atmosférica de uma localidade através de uma coluna de

mercúrio metálico, razão pela qual também é denominado de barômetro

de mercúrio. Ele é formado por um tubo de vidro com uma das

extremidades fechada e a outra conectada a um reservatório contendo

mercúrio metálico com uma superfície livre, conforme indicado na figura.

Evangelista Torricelli – físico e matemático italiano nascido em 1608 e

falecido em 1647.

Fig. xxx – Esquema de um barômetro de Torricelli


3

Um tubo com uma das extremidades fechada é cheio de mercúrio

e em seguida é introduzido em uma cuba contendo o mesmo líquido. Ao

inverter o tubo de vidro, a pressão na parte superior do tubo irá diminuir

devida ao peso da coluna de mercúrio, até atingir a sua pressão de

vapor. No equilíbrio, a coluna se estabiliza sob a ação da pressão

atmosférica agindo na superfície livre do mercúrio e da pressão de vapor

agindo na superfície livre que se forma dentro do tubo de vidro e com a

coluna de mercúrio atingindo a altura h. A altura h indica a pressão

atmosférica local.

Como a pressão em uma superfície de nível de um mesmo fluido

não varia, pode-se escrever que p1 = p2.

Mas p1 = patm e p2 = pv + γm.h, sendo pv a pressão de vapor do mercúrio

e γm.o seu peso específico. Portanto a pressão atmosférica pode ser

calculada por:

patm = pv + γm h

Por outro lado, observa-se que a pressão de vapor do mercúrio é

muito pequena quando comparada com a segunda parcela da equação

anterior, podendo ser desprezada. A 20oC a pressão de vapor do

mercúrio é de 0,17Pa o que corresponde a 0,0013 mm Hg a 0ºC. Para

efeito de comparação, a pressão de vapor para a água a 20ºC é de

2.340 Pa o que corresponde a 17,6 mm Hg a 4 ºC ou 238,6 mm de água

a 4ºC.


4

Se pv = 0 pode-se escrever, finalmente, uma expressão para o

cálculo da pressão atmosférica à partir da leitura da coluna de mercúrio

e de sua massa específica:

patm = γm h ou patm = ρm g h

Observações:

1. Unidades freqüentes: mm de Hg, hPa ou mbar.

2. Ao nível do mar e nas condições normais de temperatura e

pressão, estando o mercúrio a 0ºC, a coluna de mercúrio será

igual a 760 mm. Assim diz-se que a pressão atmosférica nessas

condições é de 760 mm de mercúrio. Nesse caso, a pressão

atmosférica é expressa por uma coluna de 760 mm de mercúrio.

Na verdade 760 é a relação entre a pressão atmosférica e o peso

específico do mercúrio, quando expressa em milímetros.

Ao se medir a pressão atmosférica com o barômetro de Torricelli

deve-se atentar para a correção da coluna lida dos efeitos da

capilaridade (se presentes), da dilatação do vidro e da escala de

medição da altura h e da variação da massa específica do mercúrio com

a temperatura.

1. correção da dilatação da escala � desprezível

2. correção da dilatação do vidro � desprezível


5

Em aparelhos confiáveis as correções de capilaridade, da

dilatação do vidro e da escala de medida são desprezíveis, restando

apenas a correção devida à variação da massa específica do mercúrio

com a temperatura, já que, dificilmente, a coluna de mercúrio se

encontra a 0ºC.

Correção devida à temperatura do mercúrio

Na maioria das vezes que se mede a pressão atmosférica com o

barômetro de Torricelli, a coluna de mercúrio se encontra a uma

temperatura diferente de 0oC, temperatura na qual foi definida unidade

de pressão denominada de Torricelli (Tor) ou milímetro de mercúrio.

Assim, ao se obter a medida da altura h do mercúrio a uma temperatura

T, é preciso corrigir a altura para mercúrio a 0oC. Para tanto, basta

considerar o caso de se ter dois barômetros medindo a mesma pressão

atmosférica: um a 0oC e outro a ToC, As alturas das colunas de mercúrio

seriam ho e h, respectivamente. É óbvio que:

patm = γ.h = γo.ho

Logo:

ho = γ / γo.h ou ho = ρ / ρo.h

Assim, basta multiplicar a altura da coluna de mercúrio obtida a uma

dada temperatura pelo peso específico do mercúrio nessa mesma

temperatura e dividir pelo peso específico do mercúrio a 0oC.


6

Exemplo:

Mediu-se a pressão atmosférica no Laboratório de Hidráulica da Escola

de Minas, 25oC, encontrando-se uma altura de coluna de mercúrio igual

a 670 mm. Qual a pressão atmosférica no local, expressa em pascal e

em milímetros de mercúrio?

Solução:

Consultando uma tabela de massas específicas do mercúrio com a

temperatura, encontramos que a 25oC tem-se 13.533,6 kg/m3 e a 0oC

tem-se 13.595,1 kg/m3.

Conforme visto anteriormente:

patm = 13.533,6 kg/m3 . 9,807 m/s2 . 0,670 m

patm = 88.925,1 Pa

A altura da coluna de mercúrio correspondente a 0oC será:

ho = 13.533,6 / 13.595,1 . 0,670 m

ho = 0,667 m ou ho = 667 mm

Observar que a diferença é de apenas 3 mm, cerca de 0,45% do

valor medido, porém, em muitos casos, torna-se imprescindível realizar

tal correção.


7

b) Barômetro Aneróide ou de caixa de vácuo

Aparelho destinado a medir a pressão atmosférica à partir de um

pequeno reservatório deformável no qual foi previamente feito um vácuo

total.

O equipamento, ilustrado no esquema da figura anterior, possui

uma caixa metálica com paredes deformáveis onde se fez um vácuo

total e que fica sujeita à pressão atmosférica que causa deformação

nessa caixa. A caixa é ligada a um ponteiro indicador, através de um

mecanismo de amplificação das deformações, normalmente um

mecanismo de relojoaria com mola para compensar eventuais atritos

presentes, onde a leitura do valor da pressão atmosférica é feita, em

uma escala convenientemente acoplada. Em geral todo o mecanismo é


8

abrigado em uma caixa metálica robusta, para permitir fácil manuseio do

equipamento, bem como a sua portabilidade.

É comum encontrar aparelhos com a escala de leitura graduada

em mmHg, polegadas de Hg, mbar ou hPa. Nesses equipamentos a

menor divisão da escala é 1 mmHg, 1 mbar ou 1 hPa, devendo a fração

da leitura ser avaliada por interpolação na escala.

A principal vantagem do equipamento é a sua portabilidade e

robusticidade, permitindo facilidade nas operações de campo. Entretanto

a precisão não é grande, além de necessitar aferições freqüentes,

quando muito utilizado.

c) Barômetro eletrônico

Um equipamento bastante difundido recentemente é o barômetro

eletrônico, também denominado de transdutor de pressão absoluta. Ele

é formado por um sensor de pressão que incorpora um dispositivo

semicondutor, uma caixa de vácuo, um amplificador de sinal e um

indicador. Sobre uma pequena cápsula onde de faz vácuo total é

montado um dispositivo semicondutor, formado por resistor, capacitor ou

indutor. Assim, o valor da resistência, capacitância ou indutância varia

conforme a pressão aplicada na outra extremidade da cápsula,

formando assim um dispositivo sensível à pressão atmosférica. Via de

regra, usa-se um strain gage ou um elemento piezo-resistivo.


9

O transdutor precisa receber alimentação elétrica a fim de fornecer

um sinal que é amplificado, convertido em milivoltagem e submetido ao

indicador, que normalmente é um milivoltímetro, que mostra o valor da

pressão medida. A figura seguinte é um esquema do aparelho.

Quando se dispõe apenas do transdutor, principalmente em

trabalhos ligados a pesquisa, é comum a utilização de uma fonte de

alimentação e de um indicador que já contenha a amplificação do sinal

para um valor desejado. Nesse caso, submete-se o transdutor a

diversas pressões conhecidas através de um padrão e faz-se a leitura

da indicação em mV. Em seguida constrói-se um gráfico da pressão p

versus a leitura em mV. Na maioria dos transdutores encontrados no

mercado, dentro de uma faixa adequada, a variação é linear entre p e

mV, restando apenas determinar os valores da constante (off set) e do

coeficiente (ganho), através de uma regressão linear, conforme gráfico

da figura seguinte.


10

Seja p = a + b.mV, com a e b conhecidos, a reta obtida,

denominada de curva de calibração. Nesse caso, as pressões aplicadas

podem ser conhecidas, medindo-se a mV e com a curva de calibração.

4.6.2 – Medidores de pressão relativa

São denominados de manômetros os dispositivos de medida da

pressão em relação à pressão atmosférica. São muitos os princípios

utilizados para medição da pressão relativa, pressa manométrica ou

pressão efetiva. Esses equipamentos, quando submetidos a uma

pressão igual à pressão atmosférica devem indicar zero.


11

a) Manômetro de Bourdon

É um aparelho usado para medir pressões superiores à pressão

atmosférica, formado por um tubo curvo e achatado dentro do qual é

aplicada a pressão que se quer medir. A deformação devida a aplicação

da pressão é sentida por um mecanismo de amplificação de sinal e

transmitida a um ponteiro que se desloca sobre uma escala

convenientemente construída, na unidade que se quer medir a pressão.

Nesse caso o valor da pressão é lido diretamente no ponteiro, sobre a

escala de medição, conforme ilustra o esquema da figura seguinte. A

unidade de pressão da escala pode ser a mais variada possível. É

comum graduações em lbf/pol2 (psi), kgf/cm2, mmHg, kPa, mca, dentre

outras.

Fig. xx – Esquema de um manômetro de Bourdon, para a unidade de pressão U(p).


12

A forma do tubo curvo pode ser um C, uma ferradura ou

espiralada. A seção do tubo achatado pode ser elíptica. O material pode

ser tomback (liga de aço e latão), latão, aço inoxidável ou plástico duro.

A pressão lida será p = pabs – patm, sendo admitida como a pressão

no centro da escala do aparelho. Aparelhos de grande sensibilidade, ao

medir a pressão de líquidos devem ter a sua indicação corrigida da

posição.

Correção de posição do manômetro.

Para se obter a pressão correta em um ponto A conforme ilustrado

na figura, adicionar ou subtrair a parcela devida à pressão relativa.

pA = pM + γ.h � para o caso do manômetro se encontrar acima do

ponto cuja pressão deseja-se medir.

pA = pM - γ.h � para o caso do manômetro se encontrar abaixo do

ponto cuja pressão deseja-se medir.


13

O equipamento é encontrado em vários formatos, com diversos

tamanhos relacionados com a sua exatidão e para diversas faixas de

pressão a serem medidas. Cada tipo construtivo pode ter características

adequadas ao processo no qual a pressão precisa ser conhecida.

Classes de exatidão para manômetros:

CLASSE EXATIDÃO

A4 0,10 % da faixa

A3 0,25 % da faixa

A2 0,50 % da faixa

A1 1,00 % da faixa

A 1,00 % na faixa de 25 e 75% 2 % no restante da faixa

B 2,00 % na faixa de 25 e 75% 3 % no restante da faixa

C 3,00 % na faixa de 25 e 75% 4 % no restante da faixa

D 4,00 % na faixa de 25 e 75% 5 % no restante da faixa

Tipos de selagem:


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Manômetro de Bourdon com Glicerina

São manômetros de Bourdon construídos em caixa de latão

forjado com anel de encaixe externo, recheado com glicerina. Utilizado

para eliminar a vibração mecânica dos equipamentos ou mesmo para

eliminar a pulsação ocasional nas linhas em que se deseja medir a

pressão. O uso de manômetros secos nessas condições reduz a vida

útil das engrenagens, inutilizando, rapidamente, o equipamento. O

líquido de enchimento do manômetro melhora a precisão do instrumento

e facilita a leitura pela redução das oscilações.


15

Manômetro de Bourdon com ponteiro de arraste

Utilizados na medição da pressão em processos que envolvem

rápida variação da pressão, impossibilitando a leitura máxima. Nesse

caso, quando a pressão se eleva, um ponteiro

é arrastado juntamente com o ponteiro da

indicação da pressão, permanecendo no ponto

máximo atingido pela pressão, mesmo quando

o ponteiro indicador da pressão retorna ao seu

valor normal. Assim obtém-se um registro da

pressão máxima ocorrida no processo.

Manômetro Padrão

Manômetro de Bourdon específico para teste, aferição ou

calibração de outros instrumentos medidores de pressão. Muito utilizado

em laboratório de calibração de manômetros

ou em situações em que se deseja melhor

exatidão da medição. O mostrador é

construído em arco de 270º com divisões e

subdivisões que permitem a determinação

exata da leitura, com auxílio de uma parte

espelhada para se evitar erros de paralaxe na


16

leitura. Assim a imagem do ponteiro no espelho deve ficar sob o

ponteiro, na condição de leitura. Nesse caso consegue-se precisão de

até +- 02,25% do fundo de escala.

Manômetro de Bourdon com selo tipo diafrágma

Utilizado em processos industriais que manipulam fluidos

corrosivos, viscosos, tóxicos, radioativos ou

sujeitos a alta temperatura. O manômetro é

isolado para impedir o contato direto com o

fluido do processo, processo que é denominado

de selagem.

A selagem pode ser feita através de um

líquido ou através de um diafragma e um líquido.

No primeiro caso é necessária a utilização de

um pote de selagem que receberá o líquido

inerte que ficará em contato com o bourdon.

Geralmente utiliza-se a glicerina como líquido de

selagem. No segundo caso

Manômetro de Bourdon com contatos elétricos

Manômetro de Bourdon com contatos elétricos ou magnéticos

utilizado para ligar ou desligar circuitos elétricos na pressão


17

programada. Podem ter contato elétrico duplo, substituindo os

pressostatos. Os contatos elétricos

são utilizados com alerta de

pressão máxima ou pressão

mínima, determinadas

previamente.

b) Vacuômetro

É um equipamento destinado a medir pressões inferiores à

pressão atmosférica, construído com um tubo encurvado, à semelhança

do tubo de Bourdon, com mecanismo amplificador, ponteiro e escala. A

diferença em relação ao manômetro de Bourdon é que esse

equipamento possui o mecanismo preparado para medir deformações

negativas. Em geral o Bourdon é montado ao contrário.

Indicação de p < patm e correção de posição


18

c) Transdutor eletrônico de pressão relativa

O transdutor eletrônico de pressão relativa é um dispositivo que

transfere energia de um sistema hidráulico para um sistema elétrico

(indicador). O manômetro de Bourdon visto, é um transdutor mecânico,

pois faz uso de um elemento elástico para medir uma pressão.

Os transdutores eletrônicos podem ser passivos (que requer

alimentação de energia) ou ativos (que gera a sua própria energia de

saída). É formado por uma cápsula na qual existe uma membrana

flexível associada a um componente eletrônico capaz de captar as

variações de pressão e enviar um sinal elétrico para um dispositivo

amplificador/indicador. As pressões são aplicadas à cápsula, cuja

membrana flexível se deforma, com a deformação sentida pelo

componente eletrônico. Geralmente o elemento sensor varia a sua

resistência, capacitância ou indutância quando submetido a diferentes

pressões. Assim, gera-se um sinal eletrônico que é proporcional à

pressão indicada. A figura seguinte mostra um esquema do transdutor.


19

O indicador pode ser de milivoltagem, voltagem, ou corrente. Ele

também pode ser substituído por um dispositivo de saída de sinal que

pode ser ligado a um computador de forma que os valores da pressão

são obtidos diretamente.

O sistema requer calibração de forma que pressões conhecidas

devem ser aplicadas à cápsula e os valores dos sinais de saídas lidos.

Se a pressão for p e a saída for mV, um gráfico será obtido, mostrando

uma variação linear entre p e mV, do tipo p = a + b.mV. Através de uma

regressão linear é possível obter os valores de a (offset) e de b (ganho),

conforme ilustração seguinte.


20

d) Piezômetro

É um dispositivo hidráulico que indica a pressão através da própria

coluna de líquido, medida em uma escala associada a um tubo

transparente, conforme esquematizado na figura seguinte.

Da figura, a pressão no interior de um recipiente cheio com um

líquido de massa específica ρ, será dada pela lei de Stevin:

pA = patm + γ.h

Considerando-se pressão relativa, basta adotar patm = 0. Nesse caso a

pressão em A será:

pA = γ.h

Como h = pA / γ diz-se que h representa a pressão relativa em A.

Quando o líquido é a água a 4ºC, h expressa a pressão em metros

de coluna de água (mca). Assim se h = 1 m diz-se que a pressão é de 1

mca.


21

Deve ser lembrado que h pode estar sendo influenciado pela

capilaridade. Assim, se o diâmetro do tubo transparente for menor que

10 mm faz-se necessária a correção devida a capilaridade, que pode ser

avaliada pela lei de Jurin-Borelli.

Questão do menisco e da posição de leitura.

e) Manômetro de tubo U

É um dispositivo formado por um tubo transparente em formato de

U onde se insere um líquido manométrico de peso específico conhecido.

Uma das extremidades do tubo é ligada à pressão que se quer

determinar e a outra extremidade fica aberta para a atmosfera. Os

meniscos têm a sua posição determinada por uma escala milimetrada e,

através das leituras na escala a pressão será determinada, conforme

ilustrado na figura seguinte.


22

Da definição de peso específico: γ = ρ.g e γm = ρm.g

Como a pressão não varia ao longo de uma superfície horizontal

de um mesmo fluido:

p1 = p2

Utilizando a lei de Stevin para expressar a variação da pressão no

interior dos fluidos, pode-se escrever:

p1 = pA + γ.y

p2 = patm + γm.h

pA = patm + γm.h - γ.y

Em termos de pressão relativa (fazendo patm = 0, pA será uma

pressão relativa):

pA = γm.h - γ.y


23

Quando se tratar de gás, tal que a variação de pressão possa ser

desprezada (γgás.y = 0), a pressão relativa no ponto A será calculada por:

pA = γm.h

f) Piezômetros pressurizados

É um equipamento formado por dois tubos transparentes (dois

piezômetros) com uma das extremidades conectadas às fontes de

pressão, tanto em A quanto em B, e as outras conectadas a um

reservatório que contenha ar sob pressão, par associados a uma escala.

A pressão no reservatório deve ser suficiente para colocar os meniscos

de separação dos líquidos dentro da escala para leitura das alturas h e

y, conforme ilustrado na figura seguinte.


24

Da definição de peso específico: γA = ρA.g, γB = ρB.g e γar = ρar.g


interior dos fluidos e desprezando-se a variação da pressão relativa à

coluna de ar, pode-se escrever:

pA = par + γA.(∆y + y + h) e pB = par + γB.y

Assim, por diferença encontramos o valor da diferença de pressão

entre os pontos A e B:

pA - pB = ∆pAB = γA.(∆y + h) + (γA - γB) y

Observações:

1. Notar que o valor da pressão do ar, par, não interfere na diferença

de pressão.

2. No caso dos líquidos em A e em B serem iguais, isto é, γA = γB = γ,

a equação acima fica simplificada para dar: ∆pAB = γ.(∆y + h).

3. S os pontos A e em B estão sobre a mesma horizontal (caso

comum em hidráulica) e γA = γB = γ, a equação para a

determinação da diferença de pressão é reduzida a: ∆pAB = γ.h.

g) Manômetro Diferencial de Tubo U

É um tipo de manômetro capaz de medir a diferença de pressão

entre dois pontos, independentemente dos valores das pressões

existentes. É constituído por um tubo transparente, em forma de um “U”,


25

tendo uma das extremidades conectada ao ponto A e a outra conectada

ao ponto B, parcialmente cheio de um líquido manométrico de forma a

criar dois meniscos de separação dos fluidos com o líquido

manométrico, conforme ilustrado esquematicamente na figura seguinte.

Associado ao tubo em “U” existe uma escala para determinação dos

desníveis dos meniscos formados. O fluido manométrico deve ser

imiscível com os dois outros fluidos e ter uma massa específica maior

que as dos fluidos A e B, para que haja uma estabilidade física do

dispositivo.

Quanto maior a massa específica do fluido manométrico maior

será a diferença de pressão que o equipamento pode medir.

Geralmente, para a água ou ar, utiliza-se o mercúrio metálico. Todavia


26

outros fluidos podem ser utilizados, desde que seja conhecida a sua

massa específica. No caso de gases, pode ser usado o álcool, a água,

alguns óleos ou até mesmo alguns compostos de carbono como líquido

manométrico.

Da definição de peso específico: γA = ρA.g, γB = ρB.g e γm = ρm.g.

Nesse caso γA < γm e γB < γm, para que o líquido manométrico fique em

equilíbrio na parte mais baixa do tubo U.


de um mesmo fluido, para os pontos 1 e 2 indicados na figura, tem-se:

p1 = p2



p1 = pA + γA.(h + y + ∆y)

p2 = pB + γm.h + γB.y

Com a igualdade das pressões nos pontos 1 e 2, tem-se:

pA + γA.(h + y + ∆y) = pB + γm.h + γB.y

Assim, a diferença de pressão entre os pontos A e B será dada por:

pA - pB = ∆pAB = (γm - γA) h + (γB - γA) y - γA ∆y

Observações:


27

1. Quando se mede a diferença de pressão entre pontos

localizados entre dois líquidos iguais, γA = γB = γ . Nesse caso a

diferença de pressão será dada por: ∆pAB = (γm - γ) h - γ ∆y.

2. Se os líquidos são iguais (γA = γB = γ ) e a diferença de nível

entre os pontos é nula (∆y = 0), tem-se: ∆pAB = (γm - γ) h. Esta

equação é muito utilizada par medir a diferença de pressão em

escoamentos de água.

3. No caso de medida da diferença de pressão em gases iguais

(γA = γB = γgas ≅ 0), a equação fica reduzida a: ∆pAB = γm h.

4. Se as pressões entre os pontos A e B são iguais (pA =pB) e se

os líquidos também forem iguais (γA = γB = γ), pode-se calcular o

desnível entre os pontos A e B, com o uso do manômetro

diferencial, pela equação: ∆y =(γm - γ) h / γ.

h) Manômetro Diferencial de tubo U invertido

É um dispositivo destinado a medir pequenas diferenças de

pressão em líquidos, formado por um tubo transparente dobrado em

forma de “U” invertido, tendo um dos lados ligado ao fluido do ponto A e

o outro ligado ao fluido do ponto B. O tubo é parcialmente cheio com um

líquido manométrico que ocupará a parte mais alta do “U” invertido, de

forma que sua massa específica seja menor que as massas específicas


28

dos líquidos contidos em A e em B, conforme ilustrado na figura

esquemática seguinte.

Da definição de peso específico: γA = ρA.g, γB = ρB.g e γm = ρm.g.

Para esse manômetro diferencial,deve-se ter γA > γm e γB > γm, para que

possa haver equilíbrio do sistema conforme indicado.



p1 = p2



pA = p1 + γA.(h + y) e pB = p2 + γB (y + ∆y) + γm.h


29

Subtraindo pB de pA, membro a membro, tem-se:

pA - pB = ∆pAB = p1 + γA.(h + y) - p2 - γB.(y+ ∆y) - γm.h

Já que p1 = p2, o simples re-arranjo dos termos da equação acima dá:

∆pAB = (γA.- γm). h + (γA.- γB).y - γB. ∆y)

A equação acima mostra que quanto menor for a diferença entre

as massas específicas, maior será o h para um mesmo ∆pAB, mostrando

que o equipamento deve ser usado para medir pequenos valores da

diferença de pressão. Ela também mostra que para líquidos diferentes, a

posição do manômetro influencia na medida da diferença de pressão, já

que a medida y aparece na equação.

Observações:

1. Caso de dois líquidos iguais (γA = γB = γ): ∆pAB = (γ - γm) h - γ ∆y.

2. Se os líquidos são iguais (γA = γB = γ ) e a diferença de nível

entre os pontos é nula (∆y = 0), tem-se: ∆pAB = (γ - γm) h.

3. O equipamento não se presta para a medida da diferença de

pressão em gases.

4. Quando as pressões nos pontos A e B são iguais (pA =pB) e se

usa líquidos também forem iguais (γA = γB = γ), o equipamento

pode ser usado para determinar o desnível entre os pontos A e

B, pela equação: ∆y =(γ - γm) h / γ.


30

i) Manômetro Diferencial de Reservatório

É um dispositivo destinado a medir diferenças de pressão entre

dois pontos da mesma forma que no manômetro diferencial de tubo “U”,

com a vantagem de se fazer uma única leitura da coluna do líquido

manométrico. Ele é formado por um tubo U transparente, ligado a um

reservatório que contém o fluido manométrico. Do lado do reservatório

se conecta a maior pressão (no caso do ponto A). Do lado do tubo

transparente se conecta à menor pressão (ponto B), conforme ilustração

esquemática na figura seguinte. A coluna de fluido manométrico pode

ser determinada com a ajuda de uma escala milimétrica cujo zero se

encontra na exata posição em que o líquido manométrico se encontra

em equilíbrio quando não houver diferença de pressão aplicada.


31

Ao ser submetido a uma diferença de pressão, o nível do líquido

manométrico desce no interior do reservatório, de uma quantidade ∆h ao

passo que a coluna sobre no interior do tubo transparente. É preciso

adicionar o valor de ∆h ao valor de h lido na escala do equipamento,

para que a real coluna de líquido manométrico que estará equilibrando a

diferença de pressão aplicada seja determinada. Outra opção é construir

uma escala que fornece a real altura da coluna de líquido manométrico,

conforme indicado adiante neste texto.

A relação entre ∆h e h pode ser estabelecida lembrando que o volume

de fluido correspondente ao abaixamento do nível no reservatório é o

mesmo que adentrou ao tubo transparente. Assim, sendo A a área

transversal do reservatório e a a área da seção transversal do tubo

transparente, tem-se:

A ∆h = a h

Então,

∆h = a/A h.



p1 = p2



p1 = pA + γA.(∆h + h + y + ∆y) e p2 = pB + γm.(∆h +h) + γB.y


32

Assim, teremos:

pA – pB = γm.(∆h +h) - γA.(∆h + h) -γA.(y + ∆y) + γB.y

Logo,

∆pAB = (γm. - γA). (∆h +h) +(γB.-γA)y - γA.∆y

Substituindo ∆h teremos:

∆pAB = (γm. - γA). (a/A + 1)h +(γB.-γA)y - γA.∆y

Para evitar cálculos com a relação de área, os fabricantes do

manômetro criam uma escala corrigida para h, tal que h´= (a/A +1) h.

Nesse caso, o valor da altura corrigida é lida diretamente na escala e a

expressão para o cálculo da diferença de pressão fica análoga à que foi

deduzida para manômetro diferencial de tubo “U”, isto é:

∆pAB = (γm. - γA).h´ +(γB.-γA)y - γA.∆y

Observações:

1. A equação acima mostra que se os dois líquidos são diferentes, a

posição do equipamento (y) deve ser levada em consideração no

cálculo da diferença de pressão.

2. Caso de dois líquidos iguais (γA = γB = γ): ∆pAB = (γm - γ) h´ - γ ∆y.

3. Se os líquidos são iguais (γA = γB = γ ) e a diferença de nível entre

os pontos é nula (∆y = 0), tem-se: ∆pAB = (γm - γ) h´.

4. O equipamento não se presta para a medida da diferença de

pressão em gases.


33

5. Quando as pressões nos pontos A e B são iguais (pA =pB) e se usa

líquidos também forem iguais (γA = γB = γ), o equipamento pode ser

usado para determinar o desnível entre os pontos A e B, pela

equação: ∆y =(γ - γm) h / γ.

j) Manômetro de tubo inclinado

É um tipo de manômetro diferencial utilizado para medição de

pequenas diferenças de pressão. É formado por um reservatório ligado

a um tubo transparente, parcialmente cheio com um líquido

manométrico de massa específica conhecida, conforme ilustrado na

figura seguinte. Aplica-se a pressão maior na tomada de pressão

conectada ao reservatório e a pressão menor na extremidade do tubo

transparente. O desnível da coluna de líquido manométrico necessária

para equilibrar a diferença de pressão é medida diretamente em uma

escala construída adequadamente. Com esse desnível determina-se a

diferença de pressão causadora do desnível na coluna do manômetro.

Quando a diferença de pressão for nula, o nível do menisco

do líquido manométrico deve coincidir com o zero da escala. Quando

aplicada uma diferença de pressão, o líquido abaixa, ligeiramente, de

uma altura ∆h dentro do reservatório. Ao mesmo tempo, o líquido sobe

de uma altura h dentro do tubo transparente. Sendo as áreas das


34

seções transversais do reservatório e do tubo transparente constantes,

haverá uma relação entre ∆h e h, obtida à partir da consideração das

áreas e dos volumes.

Assim, sendo A a área da seção transversal do reservatório, a a

área da seção transversal do tubo transparente e L o comprimento do

tubo correspondente à altura h, tem-se:

A.∆h = a.L

O valor de h pode ser determinado por L e pelo ângulo θ formado

pelo eixo do tubo transparente e uma linha horizontal, de forma que:

h = L.senθ

O valor do ângulo θ é pequeno, de forma que L é bem maior que

h. Em muitos equipamentos o valor do ângulo θ varia entre 5º e 12º. Se


35

a escolha de θ for tal que senθ = 0,100, vê-se que L = 10.h. Medindo-se

L, ao invés de h, tem-se uma melhor precisão, daí a justificativa para o

uso de tal equipamento.

Considerando dois pontos, 1 e 1, sobre a mesma superfície de

nível que coincida com o nível o líquido manométrico no interior do

reservatório, pode-se escrever que:

p1 = p2



p1 = pA + γA.(∆h + h + y + ∆y) e p2 = pB + γm.(∆h +h) + γB.y

Assim, teremos:

pA – pB = γm.(∆h +h) - γA.(∆h + h) -γA.(y + ∆y) + γB.y

Logo,

∆pAB = (γm. - γA). (∆h +h) +(γB.-γA)y - γA.∆y

Substituindo ∆h teremos:

∆pAB = (γm. - γA). (a/A + 1)h +(γB.-γA)y - γA.∆y

Mas, foi visto que h = L.senθ, de forma que:

∆pAB = (γm. - γA). (a/A + 1).L.senθ +(γB.-γA)y - γA.∆y

Duas possibilidades podem ocorrer. A primeira é construir uma

escala milimétrica para leitura de L, em seguida realizar os cálculos para

se obter a diferença de pressão. Outra possibilidade é construir uma


36

escala especial onde será lançado o valor h´ = (a/A + 1) ).L.senθ. Nesse

caso, o valor da altura corrigida é lida diretamente na escala para ser

usada na expressão para o cálculo da diferença de pressão, análoga à

que foi deduzida para manômetro diferencial de tubo “U”, isto é:

∆pAB = (γm. - γA).h´ +(γB.-γA)y - γA.∆y

Observações:

1. A utilização do equipamento, quando se tratar de dois líquidos

diferentes, deve levar em conta a posição do equipamento (y),

conforme visto na equação anterior.

2. Caso o equipamento estiver sendo utilizado para dois líquidos

iguais (γA = γB = γ), a diferença de pressão será dada pela

equação: ∆pAB = (γm - γ) h´ - γ ∆y.

3. No caso de mesmo líquido, tanto em A quanto em B, (γA = γB =

γ ) e a diferença de nível entre os pontos for nula (∆y = 0), tem-

se a seguinte equação para avaliar a diferença de pressão:

∆pAB = (γm - γ) h´.

4. O equipamento é bastante utilizado para a medida da diferença

de pressão em gases, caso em que a equação utilizada será:

∆pAB = γm h´.

5. Quando se quer determinar o pequeno desnível entre os pontos

A e B, decorrente do fato das pressões nos pontos A e B serem


37

iguais (pA =pB), no os líquidos também forem iguais (γA = γB = γ),

o desnível entre os pontos A e B, será dado pela equação:

∆y =(γ - γm) h / γ.

O manômetro pode ser utilizado, ainda, para se obter pequenas

diferenças entre uma pressão e a pressão atmosférica. Para tal, basta

deixar a tomada de pressão do lado do tubo transparente aberta para a

atmosfera. A pressão medida, nesse caso, será a pressão relativa no

ponto A.

k) Manômetro de Betz

É um equipamento fabricado especialmente para determinação de

diferença de pressão em gases. É formado por um reservatório e um

tubo transparente, associados a um sistema ótico capaz de projetar o

menisco formado em uma escala ampliada, melhorando a precisão na

medida da altura h de uma coluna de um fluido manométrico, em geral

água, embora o álcool também possa ser utilizado. O preciso valor de h

é medido com ajuda do sistema ótico.

O manômetro de Betz possui duas tomadas de pressão. Uma para

a pressão maior e outra para a pressão menor. Sendo γm o peso

específico do líquido manométrico, a diferença de pressão entre dois

pontos A e B, onde está presente ar ou um certo gás, à partir da medida

da altura h no equipamento, será dada por:


38

∆pAB = γm h.

Exemplo:

Suponhamos que o fluido manométrico que está sendo utilizado no

manômetro de Betz seja a água e que esta se encontre a 20ºC

(equilíbrio com o ar atmosférico no local da medição). Consultando uma

tabela, encontra-se a massa específica da água igual a 998,2 kg/m3.

Sendo a leitura do manômetro igual a 22,55 mm, num local onde a

aceleração da gravidade seja g = 9,78 m/s2, calcular a diferença de

pressão entre as tomadas de maior e de menor pressão:

Solução:

∆pAB = γm h = ρm.g.h.

∆pAB = 998,2 . 9,78 . 0,0225

∆pAB = 219,7 Pa

l) Manômetro de Prandtl

É um tipo de manômetro construído com um reservatório, onde se

coloca um líquido manométrico de peso específico conhecido. Este

reservatório é ligado a um tubo flexível que tem uma parte transparente,

inclinada e fixa, onde é feita uma marca de referência. O reservatório

está preso a um sistema que se movimenta na vertical, através de um


39

parafuso micrométrico, associado a uma escala de leitura do movimento

vertical, conforme mostra a figura seguinte. É bastante utilizado para

medidas em gases ou mesmo quando se pretende determinar pequenas

variações de altura de água. Nesse último caso o líquido manométrico é

a própria água.

Quando a diferença de pressão for nula, entre o reservatório e o

tubo inclinado, o menisco formado pelo fluido manométrico deve estar

sobre a marca de referência no tubo transparente inclinado. Quando

uma diferença de pressão é aplicada, o menisco será deslocado para

cima ou para baixo no tubo flexível. Com o parafuso micrométrico

desloca-se o reservatório contendo o fluido até que o menisco volte à

posição inicial indicado pela referência no tubo inclinado. Nesse caso,

basta verificar a altura deslocada pelo reservatório, h, para se efetivar o

cálculo da diferença de pressão aplicada, através da equação:

∆pAB = γm h = ρm.g.h.

A fim de se evitar problemas com a tensão superficial, recomenda-

se que o movimento do menisco seja realizado sempre no mesmo

sentido, de quando o equipamento foi zerado. Assim, se para obter o

zero o reservatório foi movimentado no sentido ascendente, recomenda-

se que a posição de medição seja atingida movimentando-se o

reservatório no sentido ascendente.


40

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO - PRESSÃO

1. Em uma localidade a pressão atmosférica é expressa por uma coluna

de mercúrio (a 0ºC) de 760 mm. Calcular o valor dessa pressão em

kgf/m2 e em Pa, bem como a altura da coluna de água equivalente.

Considerar a massa específica do mercúrio igual a 13.595,1 kg/m3.

Solução

Resposta: patm = 101.328,6 Pa e patm = 10.332,28 kgf/m2.


41

2. Quais os valores das pressões absoluta e relativa a 10 m de

profundidade na água do mar, de densidade 1,024, sabendo-se que

a leitura de um barômetro na superfície da água indica 758 mm de

mercúrio? Considerar a massa específica do mercúrio igual a

13.595,1 kg/m3.

Solução

Resposta: prel = 100.423,7 Pa e pabs = 201.485,7 Pa


42

3. Desprezando o peso do recipiente da figura, determinar a força que

tende a levantar o topo circular AB, sabendo que a massa específica

do óleo vale 800 kg/m3.

Solução

Resposta: F = 4.492,0 N


43

4. O tubo mostrado na figura encontra-se cheio de um óleo de

densidade 0,810. Os recipientes A e B contém o mesmo óleo, sendo

que o líquido em B não estabelece contato com a atmosfera exterior

(recipiente fechado). Sabendo-se que a pressão atmosférica local é

de 1,013*105 Pa, calcular a pressão absoluta nos pontos X e Y

indicados na figura. Considerar a massa específica da água igual a

1.000 kg/m3.

Solução

Resposta: pX = 85.412,7 Pa e pY = 93.356,3 N.


44

5. O reservatório da figura é fechado e está parcialmente cheio de um

líquido de densidade 0,880. A pressão manométrica obtida pela

leitura do manômetro M tem valor igual a 3,20*104 Pa. Determinar a

pressão no fundo do reservatório e a altura de elevação da coluna

líquida no tubo vertical, h.

Solução

Resposta: pfundo = 44.082,2 Pa e h = 6,108 m.


45

6. Os recipientes da figura têm a mesma área de fundo, A, e contêm o

mesmo líquido de densidade d, até às alturas indicadas. Calcular a

força resultante da pressão no fundo de cada recipiente. Considerar

d = 0,850 e A = 3,5 m2.

Solução

Resposta: F = 145.879,1 N para os casos a e b.

F = 291.758,3 N para os casos c, d e e.


46

7. Calcular o valor da força F a ser aplicada no êmbolo menor da prensa

hidráulica mostrada na figura, necessária para equilibrar a carga F´

de 4.400 kgf no êmbolo maior. Os cilindros e a tubulação estão

cheios de um óleo cuja densidade é 0,780 e as seções transversais

dos êmbolos têm área de 40 cm2 e 4.000 cm2.

Solução

Resposta: F = 42,752 kgf ou F = 419,3 N.


47

8. Considerar um fluido em um reservatório onde o seu peso específico

varia linearmente com a profundidade, h, segundo a equação γ = γo +

K.h, onde γo é o peso específico do fluido a uma profundidade h e γo é

o peso específico do fluido na superfície livre do mesmo, onde atua

uma pressão atmosférica, po. Partindo da equação diferencial da

Hidrostática, determinar uma expressão para a pressão no fluido a

uma profundidade h.

Solução

Foi dado que se h = ho = 0 � p = patm = po. e γ = γo.

Para uma dada profundidade h, tem-se que o peso específico é γ e a pressão é p,

função de h.

A equação fundamental da hidrostática diz que dp = -γ.dz, sendo o eixo Oz vertical e

voltado para cima. Adotando-se um eixo h vertical e voltado para baixo, certamente

dz = -dh, logo:

dp = γ.dh

Integrando a equação acima, desde po onde a profundidade é h = 0 até p, onde a

profundidade é h, tem-se:

∫∫ =hp

pdhdp

o 0γ � ( )∫ −=

h

opp dhKhp

o 0] γ �

h

oo

Khhpp

0

2

2

−=− γ

Assim, 2

2Khhpp oo −+= γ � h

Khpp oo

−+=2

γ

Observar que, nesse caso, a pressão varia com a profundidade segundo uma

parábola.


48

9. Um reservatório herméticamente fechado está parcialmente cheio de

ar a uma pressão de 25 psi, indicada por um manômetro M, conforme

mostrado na figura seguinte. Do lado direito do reservatório existe

uma saída que se comunica com um cilindro de 10 cm de diâmetro,

fechado por um êmbolo onde está aplicada uma força F, indicada. Do

lado esquerdo do reservatório existe um manômetro de mercúrio, de

tubo em U. Adotar a massa específica da água como sendo 1.000

kg/m3.

Nesse caso pede-se:

a) Calcular a força F, vertical, para cima, a ser aplicada sobre o êmbolo

que pesa 100 N, para que o sistema fique em equilíbrio.


49

b) Calcular o desnível, ∆h, no manômetro de mercúrio de tubo em U,

sabendo que a sua massa específica vale 13.545,2 kg/m3.

Solução

a) Cálculo de F:

Considerar os pontos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 indicados na figura.

Segundo a lei de Stevin: p1 = p4 + γ.(0,5 + 1,0 +2,0).

Mas p4 = par = pM, assim p1 = pM + γ.(3,5).

pM = 25 psi = 25 lbf/pol2 = 25*0,4536 kgf/pol2

pM = 25*0,4536*9,80665 N/pol2 = 25*0,4536*9,80665/0,02542 N/m2

Ou pM = 25*6.894,87 Pa

Assim, pM = 172.371,8 Pa.

Então, substituindo na expressão de p1, tem-se:

p1 = 172.371,8 Pa + 1.000 kg/m3*9,807 m/s2*3,5 m = 172.371,8 Pa + 34.324,5 Pa

p1 = 206.696,33 Pa

Por definição de pressão: p1 = Fn.A. Assim, Fn = p1*A, onde Fn é a força devida à

pressão sobre a área horizontal do êmbolo que encerra a água no cilindro.

Fn = 206.696,33 Pa*π*d2/4 = 206.696,33 Pa*3,142*0,12/4

Fn =206.696,33 Pa*0,007854 m2. � Fn = 1.623,4 N

Supondo o êmbolo em equilíbrio, sujeito às forças F para cima, Fn para baixo e o

peso P para baixo, tem-se:

Fn + P – F = 0 � F = Fn + P = 1.623,4 N + 100 N

� F = 1.723,4 N.


50

10. A figura apresenta dois manômetros diferenciais de mercúrio (ρm =

13.545 kg/m3) sendo utilizados para a medida da diferença de pressão

entre duas tubulações A e B,

que estão com um desnível z =

1,50m, conforme mostrado na

figura. As duas tubulações

conduzem água (ρ = 998,2

kg/m3) e o espaço acima dos

manômetros diferenciais

também está cheio de água.

Determinar a diferença de

pressão entre as tubulações A e

B (centro das seções

transversais), em Pa e em

metro de coluna de água.

Solução

Resposta: Dif. Pressão entre A e B = pA – pB = 151.707,4 Pa.

(pA – pB)/γa = 15,497 m.


51

11. A água escoa através da tubulação horizontal mostrada na figura, a

uma dada vazão. Entre os pontos A e B indicados na figura, foi

instalado um manômetro diferencial de tubo em U invertido, contendo

um óleo de massa específica 827 kg/m3, que atuará como líquido

manométrico. Quando o desnível h mostrado na figura abaixo for igual

a 866 mm, determine a diferença de pressão entre os pontos A e B.


52

12. O vacuômetro V, mostrado na figura, indica uma pressão do ar no

tanque igual a –580 mm de Hg. Sabendo que as superfícies da água

em ambos os reservatórios, R1 e R2, estão no mesmo nível (mesma

cota) e que o reservatório R2 está aberto para a atmosfera, pede-se:

a) o valor da pressão absoluta do ar no reservatório R1, em Pa,

sabendo que a pressão atmosférica local é de 670 mm Hg (massa

específica do mercúrio a 0ºC vale 13 595,1 kg/m3);

b) o desnível esperado no manômetro diferencial de mercúrio,

supondo, nesse caso, que a massa específica do mercúrio vale 13

540,2 kg/m3.


53

13. A figura apresenta um manômetro diferencial sendo utilizado para a

medida da diferença de pressão entre as seções das tubulações

que conduzem os líquidos A e B. Determine esta diferença de

pressão entre os pontos A e B (centro das seções transversais, em

Pa, sabendo-se que: o peso específico do líquido A é γA =8 400

N/m3, o peso específico do líquido B é γB= 12 300 N/m3, o peso

específico do líquido manométrico (mercúrio) é γHg= 133 300

N/m3.

Resposta:

∆pAB = -94.660 Pa


54

14. Determine as pressões relativas (em mca) e absolutas (em Pa) do ar

dentro do reservatório e do ponto M mostrado na figura abaixo.

Sabe-se que a pressão atmosférica local é de 735 mmHg.

Consultando uma tabela encontrou-se que a densidade relativa do

óleo usado é 0,85 e a do mercúrio 13,56. A massa específica do

mercúrio a 0oC é de 13595,1 kg/m3 e a da água a 4oC é de 1000

kg/m3.


55

15. No Laboratório de Hidráulica você realizou um ensaio de calibração

de um manômetro eletrônico digital. Como padrão usou-se um

manômetro de Mercúrio de tubo em U com uma das extremidades

aberta para a atmosfera. Pode ser observado que uma das tomadas

de pressão do manômetro eletrônico também estava aberta para a

atmosfera. A outra tomada de pressão do manômetro eletrônico

estava conectada a uma câmara de pressão, juntamente com a

segunda tomada do manômetro de Mercúrio de tubo em U. Nessa

calibração foram usados apenas dois pontos sendo que o primeiro

deles corresponde a uma pressão padrão igual a 20 cm de mercúrio

e a uma indicação digital de 33,33 mV. Para o segundo ponto, a

pressão padrão estabelecida foi de 60 cm de mercúrio e a indicação

digital de 100,00 mV. Admitindo uma variação linear da pressão

sobre o manômetro com a indicação digital do transdutor e que a

massa específica do mercúrio é igual a 13 536,0 kg/m3, determinar:

a) a equação que converte a leitura digital indicada pela manômetro

eletrônico digital (em mV) em pressão relativa (use o Sistema

Internacional de Unidades);

b) o erro percentual devido a uma medida de confirmação em que o

equipamento em calibração indicava 59,98 mV para uma pressão

relativa correspondente a 36,0 cm de mercúrio


56

16. Determinar a diferença de pressão entre as tubulações A e B

mostradas na figura, ambas cheias de água cuja massa específica

é de 998,2 kg/m3. Esta montagem é uma associação de dois

manômetros em série sendo que o óleo do reservatório, de massa

específica 820,0 kg/m3, é usado apenas para conectar os dois

manômetros. Todas as dimensões necessárias estão indicadas

esquematicamente na figura.


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Bibliografia

Texto preparado por

Prof. Gilberto Queiroz da Silva Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas/UFOP

Agosto de 2011.

hidrostatica 2 hidraulica i

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