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Heber Augusto Cotarelli de Andrade
Implementação de Procedimentos Numéricos para a Análise de Elementos Drenantes em Solos
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de Concentração: Geotecnia.
Orientador: Eurípedes do Amaral Vargas Jr
Rio de Janeiro, abril de 2003.
Heber Augusto Cotarelli de Andrade
Implementação de Procedimentos Numéricos para a Análise de Elementos Drenantes em Solos
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Eurípedes do Amaral Vargas Jr Orientador
PUC/Rio
Tácio Mauro Pereira Campos PUC/Rio
João Luiz Elias Campos Consultor
Luiz Eloy Vaz PUC/Rio
Ney Augusto Dumont Coordenador Setorial do Centro
Técnico Científico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, abril de 2003.
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.
Heber Augusto Cotarelli de Andrade Graduou-se em Engenharia Civil, pela Universidade Federal do Paraná - UFPR, em 2000. Durante a graduação, atuou nas áreas de geotecnia e de materiais. Desenvolveu trabalhos de iniciação científica entre 1998 até o final da graduação. Ingressou no curso de mestrado em Engenharia Civil, onde recebeu bolsa de melhor desempenho acadêmico (FAPERJ).
Ficha Catalográfica
Andrade, Heber Augusto Cotarelli de Andrade.
Implementação de Procedimentos Numéricos para a Análise de Elementos Drenantes em Solos / Heber Augusto Cotarelli de Andrade; orientador: Eurípedes Vargas do Amaral Jr. – Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2003.
v., 125f.: il. ; 29,7 cm.
Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil.
Inclui referências bibliográficas.
1. Engenharia civil – Teses. 2. Estabilidade de Taludes. 3. Elementos Finitos. 4. Elementos Drenantes. I. Vargas, Eurípedes do Amaral. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.
A meus queridos pais, A minha querida esposa Ana Flávia,
Por estarem sempre ao meu lado me incentivando.
Agradecimentos
Aos meus pais, José Eraldo e Eliana, por todo amor, carinho e ensinamento, que
foram essenciais em toda minha vida.
A minha esposa, Ana Flávia, pelo grande amor, compreensão e apoio durante
todos os anos de convivência.
Ao Prof. Eurípedes do Amaral Vargas Jr., pela sua orientação, estímulo, amizade
e pelo conhecimento adquirido durante esses anos de trabalho.
Aos amigos do Tecgraf, da equipe da Naval, e em especial ao Ivan pela pessoa
sincera e amiga.
A todo apoio técnico do Tecgraf dos amigos João Luiz, Araken, Willian, Antônio
Miranda e outros que contribuíram muito no desenvolvimento da tese.
A todos meus familiares que torceram por mim em mais uma conquista na minha
vida.
Aos amigos da PUC, que contribuíram de alguma forma para a realização deste
trabalho, em especial os da sala 317.
A todos os professores do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.
A todos os funcionários do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.
A PUC-Rio, ao CNPq e a FAPERJ pelos auxílios financeiros à pesquisa.
A todos os meus colegas da PUC-Rio pela convivência, muito obrigado.
Resumo
Andrade, Heber Augusto Cotarelli de; Vargas, Eurípedes do Amaral. Implementação de Procedimentos Numéricos para a Análise de Elementos Drenantes em Solos. Rio de Janeiro, 2003. 125p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Esta pesquisa visa o desenvolvimento de uma ferramenta numérica capaz de
simular a inclusão de elementos drenantes em solos, sejam eles representados por
drenos subhorizontais ou poços, constituindo sistemas de drenagem amplamente
utilizado em estabilidade de encostas, túneis, escavações e outros.
A implementação foi gerada nos programas de fluxo SWMS_2D e
SWMS_3D (Simunek e outros, 1994). A formulação proposta considera a
equação de fluxo do elemento drenante e a estratégia numérica de sua inclusão na
equação de fluxo do solo pelo método dos elementos finitos.
Algumas análises numéricas foram realizadas visando a validação do
algoritmo. Para os poços foram analisados os casos confinados e não confinados e
em regime permanente e transiente, comparando as soluções numéricas obtidas
com as soluções analíticas de Theis (1935) (Freeze, 1979), para aqüífero
confinado, e de Neumann (1975), para aqüífero não confinado.
Para os drenos subhorizontais, propõe–se aqui uma metodologia de análise,
levando em consideração os parâmetros hidráulicos e geométricos de um
elemento de dreno. Sua aplicação atual não requer muito rigor e este estudo vem
com a proposta de ser uma ferramenta geotécnica na fase de projeto de uma obra.
Palavras-chave Elementos Drenantes; Elementos Finitos; Estabilidade de Taludes; Análise
Numérica.
Abstract
Andrade, Heber Augusto Cotarelli de; Vargas, Eurípedes do Amaral. Implementation of Numerical Procedures for the Analysis of Draining Elements in Soils. Rio de Janeiro, 2003. 125p. MSc. Dissertation - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
This research aims at the development of a numerical tool capable to
simulating the inclusion of draining elements in soils. These elements are
represented by subhorizontais drains or wells, constituting systems geotechnical
widely used in stability of slopes, tunnels and other problems.
The implementation was based in the finite elements programs of flow
SWMS_2D and SWMS_3D (Simunek e outros, 1994). The proposed formulation
considers the equation of flow of the draining element and the numerical strategy
of its inclusion by using the method finite elements.
A few numerical analyses were carried out aiming at the validation of the
proposed algorithm. For the wells, the confined and unconfined cases and in
permanent and flow transient conditions have been analyzed, comparing the
obtained numerical solutions with the analytical one by Theis (1935) (Freeze,
1979), for water-bearing confined, and one by Neumann (1975), for water-bearing
unconfined.
For the subhorizontais drains, an analysis methodology is proposed here,
taking in to consideration the hydraulical and geometric parameters of a drain
element. In this case illustrative examples are presented. The implementation
carried out is a simplified one but is should be adequate for the design of
geotechnical structures.
Keywords Draining Elements; Finite Elements; Stability of Slope; Numerical Analysis
Sumário
1 Introdução 20
2 Elementos Drenantes em Solos 22
2.1. Rebaixamento com Drenos Horizontais Profundos – DHP 22
2.1.1. Características Gerais 23
2.1.2. Especificação da Composição dos Drenos – DHP 25
2.1.2.1. Tubo 25
2.1.2.2. Argamassa de Cimento 25
2.1.2.3. Filtro Geossintético 25
2.1.2.4. Execução 26
2.2. Rebaixamento com Poços 26
2.2.1. Sistema com Ponteiras Filtrantes 26
2.2.2. Sistema de Poços Profundos 28
2.2.2.1. Rebaixamento com Injetores 28
2.2.2.2. Rebaixamento com Bombas de Eixo Vertical 29
2.3. Considerações Gerais 30
3 Soluções Analíticas de Fluxo em Poços Circulares 31
3.1. Aqüífero Não Confinado 31
3.1.1. Regime Permanente 31
3.1.2. Regime Transiente 35
3.2. Aqüífero Confinado 37
3.2.1. Regime Permanente 37
3.2.2. Regime Transiente 40
4 Implementação de Procedimentos Numéricos 42
4.1. Os Programas SWMS-2D e SWMS_3D 42
4.2. Equação de Fluxo em Meios Não Saturados 43
4.2.1. Determinação das Propriedades Hidráulicas dos Solos Não
Saturados 43
4.3. Condições Iniciais e de Contorno 45
4.4. Solução Numérica da Equação de Fluxo 46
4.5. Equação de Fluxo do Elemento Drenante 50
4.5.1. Solução Numérica das Equações de Fluxo do Elemento Drenante52
4.5.2. Inclusão do Elemento Drenante em Malha Qualquer 55
4.5.3. Propriedades Geométricas do Elemento de Dreno 61
4.5.4. Propriedades Hidráulicas do Elemento de Dreno 66
4.5.5. Propriedades Geométricas e Hidráulicas do Elemento de Poço 69
4.6. Geração dos Modelos de Análise 72
4.6.1. Determinação da Geometria e Malha de Elementos Finitos. 72
4.6.2. Determinação das Condições Iniciais e de Contorno. 73
4.6.3. Determinação das Propriedades dos Materiais Envolvidos. 74
4.6.4. Fluxograma da Implementação 75
5 Implementações Adicionais 78
5.1. Implementação do Coeficiente de Armazenamento Específico do Solo7
5.2. Implementação de Condição de Contorno para Carga Hidrostática
Variável 81
5.3. Leitura de dados da linha drenante 81
5.4. Leitura e Impressão de Dados 82
5.5. Gerador MeshBox3D 83
6 Resultados Obtidos 85
6.1. Elemento de Poço 85
6.1.1. Aqüífero Confinado 86
6.1.1.1. Regime Permanente 88
6.1.1.2. Regime Transiente 90
6.1.2. Aqüífero Não Confinado 95
6.1.2.1. Regime Permanente 96
6.1.2.2. Regime Transiente 97
6.2. Elemento de dreno subhorizontal 101
6.3. Resultados Bidimensionais 113
7 Conclusões 121
8 Referências Bibliográficas 123
Lista de figuras
Figura 1-Detalhe do dreno subhorizontal profundo (Hachich e outros,1998). 23
Figura 2-Detalhe instalação de drenos subhorizontais profundos (Alonso,1999). 24
Figura 3-Sistema de rebaixamento por ponteiras (Hachich e outros,1998). 27
Figura 4-Sistema de rebaixamento por injetores (Hachich e outros,1998). 28
Figura 5-Detalhe de um poço com bomba submersa. 30
Figura 6-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço
(Alonso, 1999). 32
Figura 7-Curvas de rebaixamento versus tempo para um ponto no domínio
(Neumann, 1975). 36
Figura 8-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço
(Alonso, 1999). 38
Figura 9-Curvas esquemáticas do modelo de van Genuchten. (a) curva que define
a relação da umidade volumétrica ( )θ versus a carga de pressão ( )ψ ; (b)
curva que define a relação da permeabilidade não saturada ( )K versus a carga
de pressão ( )ψ . 45
Figura 10-Fluxo através do elemento de linear. 50
Figura 11-Linha drenante interceptando um elemento bidimensional. 56
Figura 12-Visualização do cálculo das funções de interpolação no elemento
bidimensional. 57
Figura 13-Linha drenante interceptando um elemento tridimensional. 59
Figura 14-Visualização do cálculo das funções de interpolação no elemento
tridimensional. 59
Figura 15-Visualização das propriedades geométricas do elemento de dreno. 61
Figura 16-Variação das propriedades geométricas em seções circulares. 63
Figura 17-Representação do elemento drenante na face de percolação. 64
Figura 18-Curva característica do elemento de dreno. 68
Figura 19-Coeficiente de armazenamento do dreno ( DC ) 69
Figura 20-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço. 69
Figura 21-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço. 72
Figura 22-Fluxograma da implementação das linhas drenantes. 75
Figura 23-Disposição dos subelementos tetraedros nos elementos hexaedros
(Simunek e outros, 1995). 84
Figura 24-Malha 3D usada para simulações do poço 86
Figura 25-Discretização do elemento de poço (Sudicky e outros, 1995). 87
Figura 26-Variação das equipotenciais no modelo de aqüífero confinado. 87
Figura 27-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para
mle 5.0= . 88
Figura 28-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para
mle 75.0= . 89
Figura 29-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para
mle 0.1= . 89
Figura 30-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para
mle 5.1= . 90
Figura 31-Comparação da solução numérica de Theis (1935) e Papadopulos and
Cooper (1967) (Sudicky e outros 1995) solução com armazenamento 91
Figura 32-Comparação da solução numérica implementada do modelo discreto
(com e sem armazenamento e mr 0= ) com a de Theis (1935). As curvas
com WC se referem as com armazenamento considerado. 92
Figura 33-Comparação da solução numérica implementada do modelo discreto
(com e sem armazenamento e mr 5= ) com a de Theis (1935). 92
Figura 34-Comparação da solução numérica implementada (com e sem
armazenamento e mr 0= ) com a de Theis.(1935). Tamanho do elemento de
0.5m. 93
Figura 35-Comparação da solução numérica implementada (com e sem
armazenamento e mr 0= ) com a de Theis (1935). Tamanho do elemento de
0.75m. 94
Figura 36-Comparação da solução numérica implementada (com e sem
armazenamento e mr 0= ) com a de Theis (1935). Tamanho do elemento de
1 m. 94
Figura 37-Comparação da solução numérica implementada (com e sem
armazenamento e mr 0= ) com a de Theis (1935). Tamanho do elemento de
1.5m. 95
Figura 38-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para
comprimento do elemento ( )el de 0.1, 0.5 e 1.0 m. 97
Figura 39-Curvas comparativas dos resultados numéricos obtidos com a solução
de Neumann (1975), a uma distância mr 10≅ do poço. 99
Figura 40-Curvas comparativas dos resultados numéricos obtidos com a solução
de Neumann (1975), a uma distância mr 15≅ do poço. 100
Figura 41-Visualização do rebaixamento da superfície freática. 101
Figura 42-Visualização em corte do rebaixamento da superfície freática. 101
Figura 43-Malha tridimensional para a análise do dreno. 102
Figura 44-Isopressão da condição inicial aplicada ao modelo. 103
Figura 45-Vista geral das isopressões da condição inicial aplicada ao modelo. 104
Figura 46-Corte longitudinal – Dreno 1′′=φ . 104
Figura 47- Corte transversal na saída do dreno – Dreno 1′′=φ . 105
Figura 48-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno 1′′=φ . 105
Figura 49-Corte longitudinal – Dreno ″
= 41
1φ . 106
Figura 50-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno ″
= 41
1φ . 106
Figura 51-Corte longitudinal – Dreno″
= 21
1φ . 107
Figura 52-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno ″
= 21
1φ . 107
Figura 53-Corte longitudinal – Dreno″
= 43
1φ . 108
Figura 54-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno ″
= 43
1φ . 108
Figura 55-Corte longitudinal – Dreno 2 ′′=φ . 109
Figura 56-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno 2 ′′=φ . 109
Figura 57-Vista Geral – visualização da superfície freática para modelo com 2
drenos subhorizontais com de ″
= 41
1φ , espaçados de 3.333m na horizontal.
110
Figura 58-Vista Geral – visualização da superfície freática para modelo com 4
drenos subhorizontais com de ″
= 41
1φ , espaçados de 3.333m na horizontal e
de 1m na vertical. 111
Figura 59-Variação da vazão em relação ao diâmetro aplicado, sendo i igual a
inclinação do dreno subhorizontal. 112
Figura 60-Poço em aqüífero não saturado e inserido em malha discreta. 114
Figura 61-Poço em aqüífero não saturado e inserido em malha qualquer (Tipo 1).
115
Figura 62- Poço em aqüífero não saturado e inserido em malha qualquer (Tipo 2).
116
Figura 63-Dreno subhorizontal discreto na malha, para um tempo de simulação de
0.6 dias. 117
Figura 64-Dreno subhorizontal discreto na malha, em regime permanente. 118
Figura 65-Dreno subhorizontal em malha qualquer, para um tempo de simulação
de 0.6 dias. 119
Figura 66-Dreno subhorizontal em malha qualquer, em regime permanente. 120
Lista de tabelas
Tabela 1-Parâmetros do solo não saturado de acordo com o modelo de van
Genuchten, para o caso do poço não confinado (Simunek e outros, 1994) 96
Tabela 2-Valores de ( )λ,AuW para o aqüífero não confinado (Fetter, 1994). 98
Tabela 3- Valores de ( )λ,BuW para o aqüífero não confinado (Fetter, 1994). 98
Tabela 4-Parâmetros do solo não saturado de acordo com o modelo de van
Genuchten, para o caso do dreno subhorizontal (Simunek e outros, 1994) 103
Lista de Símbolos
mA Área molhada [L2]
[ ]A Matriz global de condutividade da equação de fluxo [L2T-1]
B Vetor global da carga de elevação da equação de fluxo [L3T-1]
C Capacidade de retenção especifica do solo [L-1]
DC Capacidade de retenção especifica do elemento drenante [L-1]
WC Capacidade de retenção especifica do elemento de poço [L-1]
D Vetor global de vazão prescrita devido à vegetação na equação de
fluxo [L3T-1]
D Diâmetro do elemento drenante [L]
[ ]F Matriz global de armazenamento da equação de fluxo [L3]
[ ]DF Matriz de armazenamento do elemento drenante [L3]
g Aceleração da gravidade [LT-2]
h Carga total [L]
H Carga hidráulica na distância R [L]
eh Carga de elevação [L]
eih Carga de elevação do elemento drenante i [L]
wh Carga hidráulica no poço [L]
aI Ponto de interseção a
bI Ponto de interseção b
Dk Permeabilidade do elemento de dreno [LT-1]
[ ]DK Matriz de condutividade do elemento drenante [L2T-1]
AijK Componentes do tensor de anisotropia [-]
rK Permeabilidade relativa [-]
sK Permeabilidade saturada [LT-1]
uK Permeabilidade radial [LT-1]
vK Permeabilidade vertical [LT-1]
Wk Permeabilidade do elemento de poço [LT-1]
el Comprimento do elemento drenante [L]
CL Espessura da camada confinante [L]
wM Massa de água no elemento drenante [L3]
n Parâmetro empírico do modelo de van Genuchten [-]
N Número total de nós da malha [-]
mP Perímetro molhado [L]
Q Vetor global de vazão prescrita ou variável da equação de fluxo [L3T-
1]
DQ Vetor de vazão prescrita no elemento drenante [L3T-1]
ix Coordenada do eixo i do sistema cartesiano [L]
r Menor distância de um ponto do domínio ao poço [L]
R Raio cuja distância corresponde ao de rebaixamento nulo [L]
hR Raio hidráulico [L]
pr Raio do poço [L]
ΩR Resíduo da equação de fluxo dado pela solução de Galerkin [T-1]
s Distância ao longo de el do elemento drenante [L]
eS Grau de saturação do solo [-]
vS Termo que representa a taxa de fluxo extraído pela vegetação [T-1]
S Coeficiente de armazenamento [-]
sS Armazenamento específico [L-1]
yS Porosidade efetiva [-]
t Tempo de análise [T]
T Transmissibilidade do aqüífero [L2T-1]
[ ]T Matriz transformação [-]
[ ]TT Matriz transposta da transformação [-]
u Relação adimensional da well function para regime permanente [-]
u Pressão neutra [ML-1T-2]
Au e Bu Relações adimensionais da well function para regime transiente [-]
V Volume total [L3]
Dv Velocidade de fluxo no elemento drenante [LT-1]
medV Velocidade média [LT-1]
VV Volume de vazios [L3]
wV Volume de água no elemento drenante [L3]
α Parâmetro empírico do modelo de van Genuchten
β Ângulo mostrado na figura 12 [-]
wγ Peso específico da água [ML-1T-2]
Γ Domínio no contorno
eΓ Domínio dado pelo segmento do contorno do elemento e
DΓ e NΓ Domínios dos contornos dos tipos Dirichlet e Neumann
1q∆ Variação de vazão de entrada e saída do elemento drenante [L3T-1]
2q∆ Vazão dada pela variação da massa de água do elemento no tempo
[L3T-1]
t∆ Intervalo de tempo [T]
θ Umidade volumétrica do solo [-]
rθ Umidade volumétrica residual do solo [-]
sθ Umidade volumétrica saturada do solo [-]
Dθ Umidade volumétrica do elemento drenante [-]
Diθ Umidade volumétrica do elemento drenante i [-]
λ Relação adimensional de Neumann [-] µ Viscosidade dinâmica da água [ML-1T-1] ρ Massa específica da água [ML-3]
1σ Fluxo prescrito no contorno NΓ [ML-1T-1]
σ Pressão total [ML-1T-2]
σ ′ Pressão efetiva [ML-1T-2]
φ Função de interpolação linear [-]
ψ Carga de pressão [L]
ψ Carga de pressão ponderada no domínio [L]
Dψ Carga de pressão no elemento drenante [L]
Ω Domínio dado pela região de fluxo
η Coeficiente de rugosidade do canal na fórmula de Manning
eΩ Domínio dado pela região de fluxo do elemento drenante
ξ Porosidade do solo [-]
,QWURGXomR
A instabilização de taludes naturais se deve a diversos fatores, a análise
destes sugere que possam ser subdivididos em 3 grupos, dependendo do efeito
causado: por variações no estado de tensões totais, por redução dos parâmetros de
resistência e por variações das poropressões. A grande ocorrência se
escorregamentos de deve a variações de poropressões quer por redução dos níveis
de sucção nas regiões não saturadas ou mesmo por desenvolvimento de
poropressões positivas (Gerscovich, 1994).
A instalação de um sistema de drenagem (horizontal ou vertical), pode ser
uma solução eficiente contra instabilidades devido ao decréscimo de poropressões
positiva ou por perda de sucção, sendo este último não eficaz com a aplicação de
drenos, segundo Rahardjo e Leong (2002).
O estudo da eficiência de elementos drenantes em solos exige previsões de
regimes de fluxo em meios saturados e não saturados. Esta previsão, por sua vez,
é objeto de estudo em diversas áreas da engenharia civil, ambiental, agronomia,
hidrogeologia e outros.
A solução analítica da equação de fluxo em meios não saturados só é
possível para casos simples, devido à não linearidade da equação. Sendo assim,
soluções numéricas, tais como método dos elementos finitos e método das
diferenças finitas, são aplicadas em geral.
O presente trabalho tem por objetivo apresentar o desenvolvimento de uma
ferramenta numérica capaz de avaliar o fluxo em taludes naturais contendo drenos
subhorizontais e poços verticais. Estes elementos são representados por “linhas
drenantes” dentro das malhas de elementos finitos 2D e 3D. O programa
desenvolvido foi aplicado a diferentes situações e condições de contorno típicas.
Em alguns casos foi possível comparar os resultados numéricos com
soluções analíticas.
21
A pesquisa descrita aqui está subdividida em 8 capítulos. O capítulo 2
aborda, quanto ao aspecto construtivo, os dispositivos de drenagem mais
utilizados na engenharia geotécnica, tais como poços e drenos subhorizontais.
O capítulo 3 descreve as soluções analíticas para poços confinados e não
confinados e em regime permanente e transiente. Estas soluções são empregadas
para comparações com os resultados numéricos obtidos.
O capítulo 4 apresenta os programas utilizados para as análises e as
implementações efetuadas. Neste capítulo são apresentadas as equações do
elemento drenante, representando poços e drenos e a estratégia numérica e sua
inclusão na malha de elementos finitos.
O capítulo 5 apresenta as sub-rotinas adicionais implementadas para
capacitar o programa de análise quanto à comunicação do programa principal com
os pré-processadores e os pós-processadores. É descrito um gerador de malha 3D
desenvolvido para modelos do tipo paralelepípedos.
O capítulo 6 descreve resultados numéricos obtidos e sua comparação com
os analíticos descritos no capítulo 4.
(OHPHQWRV'UHQDQWHVHP6RORV
Em muitas obras de engenharia a aplicação de sistemas de drenagem é
comum em serviços como de escavação ou mesmo de estabilização de taludes. O
sistema de drenagem subhorizontal tem por objetivo controlar as magnitudes das
poropressões geradas em taludes naturais, escavações, túneis, conseqüentemente
aumentando as tensões efetivas deste solo e seu fator de segurança.
O presente capítulo tem como objetivo fazer uma breve revisão dos tipos
de elementos drenantes, representados por drenos subhorizontais e poços, que são
normalmente utilizadas na engenharia geotécnica na estabilidade de taludes,
escavações e outros.
5HEDL[DPHQWRFRP'UHQRV+RUL]RQWDLV3URIXQGRV±'+3
O objetivo da drenagem profunda é promover o rebaixamento do nível
freático interno de um maciço de modo a evitar a surgência de água na face do
talude, principalmente nos períodos de chuvas, e garantir sua estabilidade. Sabe-se
que, os drenos subhorizontais são ineficazes nos casos de instabilidade por perda
de sucção, pois eles só são “ativados” a partir do momento que à frente de
saturação atinge-os.
Em maciços de “tálus” é muito comum ocorrer instabilidade, apesar de ser
constituído de grandes áreas com taludes suaves, mas devido à saturação parcial
ou total do solo decorrente das chuvas ou provenientes de nascentes soterradas
pelos antigos escorregamentos, que se infiltram na massa de solo e afloram na
face do talude (Alonso, 1999).
A instalação dos drenos subhorizontais pode ser feita em taludes ou em
túneis, sendo esta aplicada quando a espessura da camada de tálus é significativa.
Não existe a rigor um procedimento de cálculo para os drenos
subhorizontais. Comumente, instalam-se os mesmos onde haja surgência de água
23
e acrescentam-se mais unidades drenantes ou aumenta-se seu comprimento
aprofundando-os, até conseguir o rebaixamento freático desejado em projeto. Para
isso é feito um controle através de indicadores de nível de água e piezômetros.
&DUDFWHUtVWLFDV*HUDLV
Drenos constituem um sistema de drenagem simples e de fácil execução,
eles são perfurados com inclinação entre 3º a 10º com a horizontal, de modo que o
escoamento gravitacional seja satisfatório, estas são executadas em maciços de
solos podendo ser em aqüíferos confinados ou não confinados. As perfurações
possuem diâmetros que variam de 2” a 4” , sendo, geralmente, revestidas. A
remoção do revestimento de perfuração ocorre quando se atinge a profundidade
desejada. Em seguida insere-se um tubo perfurado de PVC ou de aço galvanizado
ranhurados ou com orifícios, sendo executados por perfurações direto na face do
talude. Em seguida o revestimento é extraído pela sonda ou perfuratriz que a
implantou, conforme mostrado pelas figuras 1 e 2.
Figura 1-Detalhe do dreno subhorizontal profundo (Hachich e outros,1998).
24
Figura 2-Detalhe instalação de drenos subhorizontais profundos (Alonso,1999).
Os diâmetros dos drenos variam de 1” a 2” , o que limita a quantidade de
água a ser extraída por unidade implantada. Seu comprimento pode atingir
centenas de metros, mas geralmente aplica-se de 10 a 20 m. A região corrugada
dos tubos possui furos de 5 a 10 mm, devendo evitar mais de dois furos por seção
o que refletiria na redução da resistência do mesmo.
Os drenos devem ser projetados para interceptar o maior número de veios
permeáveis possível ou mesmo aqüíferos confinados, pois a função do dreno é ser
um “ escape” de alívio para regiões onde ocorre subdireção, pois estes sistemas
rebaixam o nível piezométrico, sendo o volume extraído através do dreno
diretamente proporcional a permeabilidade e ao gradiente hidráulico. O fluxo
tende a reduzir, proporcionalmente à redução do gradiente, até restabelecer a
condição de regime permanente (GEO-RIO, 2000).
Assim, a determinação das condições hidrogeológicas como a posição do
lençol freático e direções preferenciais de fluxo, devem ser estabelecidas durante a
fase de investigações geotécnicas.
A prática demonstra que drenos mais longos e espaçados são mais
eficientes do que drenos curtos com espaçamento menor, pois o rebaixamento
ocorre ao longo do dreno e quando mais longo mais distante da face do talude
estará a superfície freática. Assim, quanto mais suave o talude, maior deverá ser o
comprimento do dreno. Existe um limite do comprimento que é dado pela
25
resistência do material do revestimento que para o caso do tubo de PVC não deve
exceder 40 m. Para comprimentos maiores deve-se utilizar materiais como aço
inoxidável ou ferro galvanizado.
(VSHFLILFDomRGD&RPSRVLomRGRV'UHQRV±'+3
7XER
Os drenos podem ser constituídos de PVC, ferro galvanizado ou aço
inoxidável, sendo a primeira mais empregada, devido ao custo, peso e manejo. Os
demais materiais devem ser utilizados em casos e que não é possível empregar o
tubo de PVC, como aplicações em grandes profundidades, já que o comprimento
deste não deve exceder 40 m.
Os tubos devem ser perfurados ou ranhurados, com diâmetros variando de
1” a 2” , e de preferência com encaixe tipo ponta e bolsa. Os furos e ranhuras
deverão atender a especificação de projeto e poderão ser executadas no canteiro
de obras, utilizando serra circular ou furadeira (GEO-RIO, 2000).
$UJDPDVVDGH&LPHQWR
Para preencher a parte inicial do furo, trecho inicial do tubo de PVC, sem
ranhuras, utiliza-se uma argamassa de cimento e areia no traço 1:3.
)LOWUR*HRVVLQWpWLFR
Para evitar a colmatação do tubo de dreno, pode-se empregar com uma
camada de geossintético não tecido todo o trecho do tubo que estiver em contato
com o interior do maciço, envolvendo a área de furos ou ranhuras do tubo.
O geossintético deverá dispor de permeabilidade e espessura adequadas ao
material local e ao volume de água a ser removida e deve satisfazer, também,
26
alguns requisitos de instalação como a resistência à tração, ao alongamento, ao
puncionamento e à propagação de rasgos.
([HFXomR
Para evitar a colmatação do tubo de dreno, deve-se empregar uma camada
de geossintético não tecido em todo o trecho do tubo que estiver em contato com o
interior do maciço, envolvendo a área de furos ou ranhuras do tubo.
5HEDL[DPHQWRFRP3RoRV
6LVWHPDFRP3RQWHLUDV)LOWUDQWHV
Este sistema consiste em dispor um conjunto de ponteiras, poços de
pequeno diâmetro, conectadas a um tubo coletor de 4” de diâmetro, ao longo da
periferia da área a ser rebaixada. As ponteiras são, geralmente, espaçadas de 0.5 a
3 m onde são conectadas no coletor pelas tomadas de água. Este espaçamento
depende da natureza do solo e do aqüífero a ser bombeado, conforme a figura 3.
27
Figura 3-Sistema de rebaixamento por ponteiras (Hachich e outros,1998).
A água extraída pelas ponteiras filtrantes é conduzida pelo tubo coletor até a
câmara de vácuo, onde é feita a separação da água e do ar, em seguida, a água é
recalcada para fora da obra.
Como a água é extraída do solo com a utilização de vácuo, todo o sistema
deve ser estanque, de forma a impedir a entrada de ar e reduzir a eficiência do
sistema. Porém, devido ao grande número de juntas do tubo coletor além de outras
ligações das ponteiras ao mesmo, sabe-se que não é possível obter o vácuo
absoluto, pois sempre haverá entrada no sistema.
A vantagem do emprego do sistema de ponteiras é a sua simplicidade,
baixo custo e rapidez de instalação, sendo eficazes quando instalados em solos
estratificados. Sua desvantagem é a limitação na altura de rebaixamento. Em
condições usuais de obra e para solos como areias siltosas ou argilosas, consegue-
se rebaixar de 4 a 5 m.
A vazão de água do solo que a ponteira consegue extrair do solo depende
da permeabilidade deste, sendo comuns vazões da ordem de 0.5 a 1 m3/h, se cada
conjunto deve conter em torno de 60 ponteiras, já que as bombas de recalque
utilizadas possuem uma vazão de trabalho da ordem de 30 a 40 m3/h.
28
6LVWHPDGH3RoRV3URIXQGRV
Quando é preciso rebaixamentos maiores que 4 a 5 m deve-se, então, optar
por um sistema de rebaixamento com poços profundos que podem ser de 2 tipos;
5HEDL[DPHQWRFRP,QMHWRUHV
Neste sistema são executados poços com diâmetros de 20 a 30 cm e
profundidades de até 40 m e são espaçados entre si de 4 a 10 m.
A figura 4 mostra as bases para o funcionamento do poço, que consiste na
circulação de água através de um bocal com conformação tal que reproduza um
tubo de Venturi.
Figura 4-Sistema de rebaixamento por injetores (Hachich e outros,1998).
29
O sistema funciona como um circuito semifechado em que a água é
impulsionada por uma bomba centrífuga através de uma tubulação horizontal de
injeção (tubo distribuidor geral) que possuem saídas para conexões verticais com
os tubos de injeção, conduzindo água sob alta pressão (0.7 a 1 MPa), até o injetor
no fundo do poço. Como conseqüência, tem-se sucção na extremidade inferior do
poço que resulta na extração da água do lençol freático.
A água aspirada do solo se soma com o volume injetado no sistema para
promover a sucção, a qual é conduzida até a superfície sendo lançados em uma
caixa de água, onde o nível é mantido constante.
A vantagem do emprego deste sistema é a possibilidade de rebaixar o
lençol freático a grandes profundidades com apenas uma disposição linear de
poços ao redor da área a ser escavada, sendo economicamente mais vantajoso
quando comparado o mesmo caso com sistema de ponteiras filtrantes com três ou
mais níveis.
A desvantagem é o baixo rendimento do sistema se relacionar o alto
consumo de energia por unidade de volume de água bombeada. O rendimento do
injetor, considerando as demais perdas do sistema, é de 15 a 20%.
5HEDL[DPHQWRFRP%RPEDVGH(L[R9HUWLFDO
Este sistema permite o rebaixamento do lençol freático a grandes
profundidades e em casos de aqüíferos espessos muito permeáveis. Neste caso
utilizam-se bombas submersíveis instaladas dentro de tubo filtro (figura 5). O
acionamento e o desligamento da bomba é feito automaticamente com o uso de
eletrodos, sendo ligados pelo contato com a água. O processo de instalação é o
mesmo do sistema com injetores, sendo que no fundo do poço é colocada uma
bomba centrífuga de alta capacidade.
30
Figura 5-Detalhe de um poço com bomba submersa.
A principal desvantagem do emprego de bombas de eixo vertical é o
elevado custo do investimento inicial para a instalação deste sistema,
considerando a aquisição da bomba, cabos elétricos, tubulações, quadro de
controle com alarmes óticos, acústicos e botoeiras.
&RQVLGHUDoHV*HUDLV
Sistemas drenantes são empregados em sua maioria para estabilidade de
taludes, escavações, túneis e outros, onde se faz necessário controlar a água.
Inúmeros escorregamentos podiam ser evitados se tivesse um sistema de
rebaixamento do lençol freático com poços ou drenos subhorizontais.
6ROXoHV$QDOtWLFDVGH)OX[RHP3RoRV&LUFXODUHV
As soluções analíticas apresentadas derivam da lei de Darcy aplicada para
o caso de fluxo radial representada pela equação 3.1.
$UK.4
∂∂= (3.1)
onde . é a permeabilidade saturada do solo [LT-1], K é a carga total aplicada [L],
U é o raio da distância do poço [L], $ é a área lateral do cilindro por onde se
processa o fluxo [L2].
As soluções analíticas para regime permanente foram resolvidas segundo
Thiem (Freeze, 1979). Os aqüíferos podem se apresentar confinados e não
confinados com fluxos em regimes permanentes ou não permanentes. Cada caso
possui suas particularidades e devem ser tratados separadamente.
Algumas simplificações estão associadas às soluções e isto implica em
tratar o modelo numérico para que possa representar a solução analítica.
$TtIHUR1mR&RQILQDGR
5HJLPH3HUPDQHQWH
A solução analítica de regime permanente para o caso de aqüífero não
confinado (figura 6), tem como variáveis o raio ( )U e a carga total ( )K que
determinam a área por onde processa o fluxo correspondente a uma superfície
cilíndrica dada pela equação 3.2.
32
Figura 6-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço
(Alonso, 1999).
UK$ π2= (3.2)
Assim, a vazão fica:
UKUK.4 π2
∂∂= (3.3)
Para resolver a equação diferencial precisa-se fornecer dois pontos dos
limites de integração. Estes pontos podem ser quaisquer, geralmente fornece-se
um ponto no poço, com UU =1 e KK =1 e outro a uma distância 5U =2 e
+K =2 , sendo U igual ao raio do poço, K igual a carga total no poço, 5 igual
ao raio cuja distância corresponde aquela em que o rebaixamento é nulo, + é a
carga total do ponto distante de 5 do poço.
UGU
.4KGK
π2= (3.4)
Integrando e aplicando os limites de integração, tem-se:
33
∫∫ =2
1
2
1 2
UGU
.4KGK
π (3.5)
A solução geral da integral resulta:
2
1
2
1
2
ln22
U.
4Kπ
= (3.6)
ou seja,
=−
1
221
22 ln U
U.4KK
π (3.7)
Assim, se os dados de campo são as leituras dos medidores de nível de
água, pode-se obter a vazão do poço pela equação 3.8.
−
=
1
2
21
22
ln
)(
UU
KK.4 π
(3.8)
Para a previsão do nível freático, e conseqüente rebaixamento, em
qualquer ponto do domínio, tem que conhecer a medição de um ponto e a vazão
do poço. A carga hidráulica em qualquer distância 2U é dada pela equação 3.9.
21
1
22 ln KU
U.4K
+
=
π (3.9)
Da mesma forma pode-se obter a vazão ou a carga hidráulica no domínio
pelas equações 3.10 e 3.11.
34
−
=
U5
K+.4ln
)( 22π
(3.10)
2ln
KUU
.4K +
=
π (3.11)
O valor de 5 pode ser calculado por formulação empírica ou lançado
conforme análise. Sabe-se que para grandes valores de 5 , pouco se reflete no
rebaixamento, pois se desenvolver a equação 3.10, tem-se:
( )22ln
K+4.
U5 −=
π
( )22 !"
#HU
5 −=∴
π
(3.12)
Pela expressão acima, o valor de 5 tende a uma constante quando 4
tende a se estabilizar. Na prática, sabe-se que 5 aumenta lentamente com o
tempo. Porém um erro no valor de 5 influi pouco no cálculo da vazão. A
avaliação de seu valor pode ser feita com formulação empírica como a de Sichardt
(Alonso, 1999).
$% .K+5 )(3000 −= (3.13)
sendo &. dado em m/s e as demais variáveis em metros.
35
5HJLPH7UDQVLHQWH
O fluxo de água em um aqüífero não confinado na direção do poço é
descrito pela equação 3.14 (Neumann & Witherspoon 1969) (Fetter, 1994).
WK6
]K.
UK
U.
UK. '())
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
(3.14)
onde K é a carga total [L], U é a distância radial do poço [L], ] é a elevação
acima da base do aqüífero [L], *6 é o armazenamento específico [L-1], +. é a
condutividade hidráulica radial [LT-1], ,. é a condutividade hidráulica vertical
[LT-1], W é o tempo [T]
Há três fases distintas da relação do rebaixamento no tempo do nível de
água no poço. A primeira fase ocorre logo após o início do bombeamento em que
o aqüífero responde pela contribuição de um pequeno volume de água sendo
resultado da compressibilidade da água e do solo. Durante este tempo o aqüífero
se comporta como se tivesse confinado com fluxo horizontal em direção ao poço,
se ajustando com a curva de Theis para 6 igual ao armazenamento específico
( )6 .
Na segunda fase ocorre um efeito de drenagem da região não saturada do
solo alimentando a região saturada de maneira a estabilizar o rebaixamento, o
fluxo apresenta componentes horizontal e vertical.
Na terceira fase, as variações na região não saturada são maiores o que
torna a parcela do armazenamento efetivo ( )-6 mais significativo no cálculo do
rebaixamento e a relação do rebaixamento no tempo se ajusta com a curva de
Theis para 6 igual a .6 .
A relação do rebaixamento no tempo, segundo Neumann & Witherspoon
(1969), é função da razão da permeabilidade horizontal pela vertical, da distância
radial do ponto de interesse ao poço e da espessura do aqüífero.
Para análise de fluxo transiente em aqüíferos não confinados, fez se uso da
solução de Neumann (1972) que reproduz as três fases na sua curva de
rebaixamento no tempo. O método de Neumann admite a existência de
36
componente vertical de fluxo e a solução geral do rebaixamento é apresentada
pela equação 3.15.
( ) ( )λπ
,,4
,0 /0 XX:74WUKK =− (3.15)
Sendo ( )λ,, 12 XX: conhecido como XQFRQILQHGZHOOIXQFWLRQ e 2
2
EU=λ .
A figura 7 mostra as curvas desta função para vários valores de λ . A
curva tipo A representa a solução de Theis para o armazenamento do solo igual a
36 , responsável pelas variações instantâneas do nível de água no poço. Assim sua
solução fica:
Figura 7-Curvas de rebaixamento versus tempo para um ponto no domínio
(Neumann, 1975).
( ) ( )λπ
,4
,0 4X:74WUKK =− (3.16)
onde
7W6UX 56
4
2
= (3.17)
37
A curva tipo B representa a solução de Theis para o armazenamento do
solo igual a 76 , responsável pelas variações a longo prazo do nível de água no
poço, resultando na equação 3.18.
( ) ( )λπ
,4
,0 8X:74WUKK =− (3.18)
onde
7W6UX 9:
4
2
= (3.19)
No item 6.1.2, serão apresentadas as tabelas 6.1 e 6.2 que definem os
valores numéricos obtidos por Neumann (1972).
$TtIHUR&RQILQDGR
5HJLPH3HUPDQHQWH
A solução do aqüífero confinado é a resolução da equação 3.1 levando em
consideração a área cilíndrica formada por onde se processa o fluxo, ilustrado pela
figura 8, sendo esta variável em função de U e a altura da superfície do cilindro é
a espessura da camada confinante ;/ .
38
Figura 8-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço
(Alonso, 1999).
<< U/$ π2= (3.20)
=> U/UK.4 π2
∂∂= (3.21)
Desenvolvendo a equação diferencial obtêm-se as relações de carga e
vazões para 2 pontos no domínio, conforme explicitado no caso do aqüífero não
confinado em regime permanente (item 3.1.1).
UGU
/.4GK ?
@ π2= (3.22)
Integrando e aplicando os limites de integração em pontos qualquer do
domínio, tem-se:
∫∫ =2
1
2
1 2
A
AB
C
C UGU
/N4GKπ
(3.23)
39
A solução geral da integral resulta:
2
1
2
1ln
2
DDEF
GG U/.
4Kπ
= (3.24)
ou seja,
=−
1
212 ln
2 UU
/.4KK H
I π (3.25)
A vazão do poço, conhecido dois pontos do domínio por leituras em
campo tem-se:
−
=
1
2
12
ln
)(2
UU
KK/.4 JK π
(3.26)
Se o caso for preciso prever o nível freático, e conseqüente rebaixamento,
em qualquer ponto do domínio, tem que conhecer a medição de um ponto e a
vazão do poço.
11
22 ln
2KU
U/.
4K LM
+
=
π (3.27)
As equações 3.28 e 3.29, mostram a forma mais usual, utilizando um ponto
no poço e outro a uma distância 5 do poço.
−
=
N
OPQ
U5
K+/.4ln
)(2 π
(3.28)
RRST
KUU
/.4K +
= ln
2 π (3.29)
40
5HJLPH7UDQVLHQWH
Quando o poço é instalado em aqüífero confinado, a água é obtida do
armazenamento elástico ou específico do aqüífero ( )U6 . Este coeficiente
representa o volume extraído devido à compressibilidade da água e do solo. Este
termo deve ser somado ao valor da capacidade de retenção específica ( )& da
parcela transiente da equação de fluxo (equação 3.30) para representar este efeito.
A primeira análise matemática do rebaixamento em fluxo confinado em
regime transiente foi publicado por Theis (1935), sendo esta deduzida a partir da
equação 3.30 de fluxo radial, considerando nulas as variações de carga ao logo da
coordenada ] e ao longo da variação angular ao redor do poço, devido às
características do fluxo em aqüífero confinado, tem-se a equação diferencial:
WK
76
UK
UUK
∂∂=
∂∂+
∂∂ 1
2
2
(3.30)
onde 6 é o coeficiente de armazenamento e 7 é a transmissibilidade do aqüífero.
A condição inicial para a solução é dada por:
( ) 00, 0 ≥= USDUDKUK (3.31)
onde 0K é a carga hidráulica inicial [L], K carga total [L], U é o raio dado pela
distância do ponto ao poço [L], W é o tempo [T]. A condição de contorno assume
rebaixamento nulo na carga hidráulica no contorno infinito.
( ) 0, 0 ≥=∞ WSDUDKWK (3.32)
Aplicando estas condições iniciais e de contorno chega-se à solução da
equação 3.30 que, por uma analogia com a teoria de fluxo de calor, resulta na
solução analítica dada em termos do rebaixamento.
41
( ) ∫∞ −
=−V
VGXX
H7
4WUKKπ4
,0 (3.33)
onde
7W6UX
4
2
= (3.34)
sendo 4 a vazão aplicada no poço [L3T-1], 7 a transmissibilidade do aqüífero
[L2T-1], 6 o armazenamento do aqüífero [-].
A integral da equação 3.33 é resolvida através do uso de uma série de
potência, sendo esta chamada de ZHOOIXQFWLRQrepresentada por ( )X: , assim tem-
se:
( ) ( )X:74WUKKπ4
,0 =− (3.35)
A curva resultante da relação ( )X: e X/1 é chamada curva de Theis. Para
a representação desta devem ser conhecidas as propriedades do solo como a
transmissibilidade do aqüífero ( )7 , armazenamento do solo ( )6 e vazão do poço
( )4 para simular o rebaixamento da carga hidráulica em um aqüífero confinado a
uma certa distância U e em algum tempo W após o início do bombeamento.
O valor de ( )X: pode ser expresso pela série abaixo:
( ) ( ) .......!4.4!3.3!2.2
ln5772.0432
+−+−+−−= XXXXXX: (3.36)
O rebaixamento para qualquer ponto em um dado tempo é diretamente
proporcional à vazão e inversamente proporcional a transmissibilidade ( )7 e ao
armazenamento do aqüífero ( )6 , sendo que a transmissibilidade exerce maior
influência no rebaixamento do que o armazenamento (Freeze, 1979).
,PSOHPHQWDomRGH3URFHGLPHQWRV1XPpULFRV
O presente capítulo apresenta os procedimentos empregados para a
implementação de elementos drenantes em um programa em elementos finitos de
fluxo. É estabelecida a equação de fluxo de meio saturado e não saturado do solo
e do elemento drenante. A estratégia numérica utilizada permite incorporar a
equação de um elemento linear (1D), representado pelo elemento drenante, à
equação do elemento triangular (2D) ou tetraédrico (3D), que descrevem o solo.
São apresentados também, os cálculos das propriedades geométricas e hidráulicas
referentes a cada elemento drenante. Todas as implementações foram aplicadas ao
programa SWMS nas versões 2D e 3D (Simunek e outros, 1994 e 1995).
2V3URJUDPDV6:06'H6:06B'
No trabalho foram utilizados os programas SWMS_2D e SWMS_3D,
ambos desenvolvidos por Simunek e outros (1994 e 1995) com o objetivo de
simular problemas de fluxos bidimensionais e tridimensionais em meios saturados
e não saturados. Estes programas resolvem numericamente a equação clássica de
Richards pelo método dos elementos finitos. O fluxo pode se dar em regiões
delineadas por contornos irregulares e compostas por solos não uniformes
podendo ter graus arbitrários de anisotropia local.
43
(TXDomRGH)OX[RHP0HLRV1mR6DWXUDGRV
O fluxo saturado e não saturado em um meio poroso pode ser representado
pela equação de Richards (equação 3.1).
6.[..[W −+
∂∂
∂∂=
∂∂
)]([ψθ
(4.1)
onde θ é a umidade volumétrica [-], ψ é a carga de pressão [L], 6 é o termo que
representa a taxa de fluxo extraído pela vegetação [T-1], [ são as coordenadas no
espaço [L], W é o tempo [T], . são as componentes do tensor de anisotropia
.
[-] e . é a permeabilidade saturada e não saturada do solo [L T-1] (equação 4.2).
),,,(),,(),,,( ]\[.]\[.]\[. ψψ = (4.2)
sendo . a permeabilidade relativa [-] e . a permeabilidade saturada do solo
[LT-1].
'HWHUPLQDomRGDV3URSULHGDGHV+LGUiXOLFDVGRV6RORV1mR6DWXUDGRV
As propriedades hidráulicas não saturadas dos solos podem ser, entre outros
modelos, determinadas pelas expressões de van Genuchten (1980). Baseados no
modelo de Mualen (1976) (Simunek e outros 1994 e 1995 ). A seguir descreve-se
as relações da umidade volumétrica ( )( )ψθ e da condutividade hidráulica ( )( )ψ. .
( ) ( )
≥⇒
<⇒+
−+
=
0
01
ψθ
ψαψ
θθθψθ
(4.3)
44
( )
≥⇒<⇒
=0
0)(
ψψψ
ψ
...
. (4.4)
sendo
QP 1
1−= , 1>Q (4.5)
onde
2
15.0 11
−−=
66. (4.6)
6
θθθθ
−−
= (4.7)
( ) ( )
≥⇒<⇒
=0
0
ψψψψ
.... (4.8)
Nas equações acima, θ e θ representam, respectivamente, a umidade
volumétrica residual e saturada do solo [-], . a permeabilidade do solo saturado
[LT-1], !6 o grau de saturação do elemento [-], α e Q são parâmetros empíricos
[-] do modelo de van Genuchten (1980). As relações apresentadas são mostradas
esquematicamente na figura 9.
45
(a) (b)
Figura 9-Curvas esquemáticas do modelo de van Genuchten. (a) curva que
define a relação da umidade volumétrica ( )θ versus a carga de pressão ( )ψ ; (b) curva
que define a relação da permeabilidade não saturada ( ). versus a carga de pressão
( )ψ .
&RQGLoHV,QLFLDLVHGH&RQWRUQR
Para a obtenção da solução do problema dado pela equação 3.1 é necessário
fornecer as condições iniciais da carga de pressão em todo o domínio e também
das condições de contorno. As condições de contorno podem ser quando a carga
de pressão é prescrita (tipo Dirichlet) (equação 4.9).
"]\[SDUDW]\[W]\[ Γ∈= ),,(),,,(),,,( ψψ (4.9)
Quando o tipo de contorno é dado pela especificação da velocidade (tipo
Neumann) no contorno.
#$%$ &
'
%$ ' ]\[SDUDW]\[Q.[.. Γ∈=
+
∂∂− ),,(),,,(1σψ
(4.10)
46
sendo (Γ e )Γ os domínios dos contornos dos tipos Dirichlet e Neumann,
respectivamente, ψ a carga de pressão [L] e 1σ a vazão no contorno [L3T-1] são
funções prescritas de [ , \ , ] e W . Os vetores *Q são componentes do vetor
normal do contorno +Γ .
6ROXomR1XPpULFDGD(TXDomRGH)OX[R
Na discretização no espaço o programa SWMS (Simunek e outros, 1994 e
1995) considera a região do fluxo subdividida em elementos que podem ser
triângulos, para os casos bidimensionais, e tetraedros para os casos
tridimensionais. Outros tipos de elementos podem ser empregados para análise de
fluxo, derivados de elementos triangulares e tetraédricos. As análises com os
elementos drenantes empregam apenas os elementos triangulares e tetraédricos.
As variáveis dependentes ( )W]\[ ,,,ψ e ( )W]\[ ,,,θ , podem ser aproximadas
pelas funções ( )W]\[ ,,,ψ e ( )W]\[ ,,,θ :
∑=
∧=
,
--- W]\[W]\[
1
)(),,(),,,( ψφψ (4.11(a))
∑=
∧=
.
/// W]\[W]\[
1
)(),,(),,,( θφθ (4.11(b))
onde 0φ são a um conjunto de funções de interpolação associada a carga de
pressão, e 1 é o número total de nós da malha.
A equação 4.12 apresenta o resíduo gerado pela equação de fluxo quando
se substitui a equação 4.11(a) e 4.11(b) em 4.1. A equação 4.13 mostra a
minimização deste resíduo ( )Ω5 , ponderado pelas funções de interpolação,
segundo o método de Galerkin (Desai, 1995):
47
++∂∂
∂∂−
∂∂=Ω 1
23 4
5
23 5
36.
[..
[W5 )]
ˆ([
ˆ ψθ (4.12)
.0=Ω∫Ω Ω G5 φ (4.13)
.0)]ˆ
([ˆ
=Ω
++∂∂
∂∂−
∂∂
∫ΩG6.
[..
[W6
78 9
:
78 :
8φψθ
(4.14)
onde Ω5 é o resíduo da equação [T-1], W∂
∂θ é a derivada da umidade volumétrica
no tempo [T-1], V∂
∂ψé o gradiente de pressão [-].
Integrando por partes a equação 4.14, obtém-se:
∑ ∫
∑ ∫∑ ∫
Ω
−
∂∂
−
+Γ
+
∂∂=Ω
∂∂
∂∂+
∂∂
Ω
ΓΩ
;<=
>
<?> @
;<>
?> @
A
?> A
; >
<
A
?> A<
G6[
..
GQ.[
..G[[
..W
B
BB
φφ
φψφψφθ ˆˆˆ
(4.15 (a))
Substituindo ψ e θ em 4.15(a), tem-se:
∑ ∫
∑ ∫∑ ∫
Ω
−
∂∂
−
+Γ
+
∂∂
=Ω
∂∂
∂∂
+∂
∂
Ω
ΓΩ
CDE
F
DGF H
CDF
GF HD
F
IGF J
CD
F
I
J
DGF JDI
D
G6[
..
GQ.[
..G[[
..W
K
KK
φφ
φψφψφφθφφ
(4.15 (b))
onde LΩ representa o domínio do elemento, MΓ representa o segmento do
contorno do elemento H .
A equação 4.15(b) pode ser descrita na forma matricial pela equação 4.16.
Para maiores detalhes ver Simunek (1994 e 1995).
48
[ ] ( ) ( )[ ] ( ) '%4$GWG) −−=+ ψψψψθ
(4.16)
onde
( ) ∑ ∫ Ω∂∂
∂∂
=Ω
N O
P
Q
RS
TQ OSPUR G[[..$
V
φφφψ (4.17)
( ) ∑ ∫ Ω∂∂
=Ω
W X
YZ
[X \ZY G[..%
]
φφψ (4.18)
∑ ∫ Ω=Ω
^_`U_`U_ G)
a
φδ (4.19)
∑ ∫ Γ−=Γ
bcdc G4
e
φφσ 1 (4.20)
∑ ∫ Ω=Ω
bcdfc G6'
e
φφ1 (4.21)
A equação 4.22 mostra a integração no tempo da equação 4.16 realizada
pelo método das diferenças finitas.
( ) ( ) ( ) ( ) 11111 ][][ ++++
+ −−=+∆
−ggggg
g
gg '%4$W) ψψψψθψθ
(4.22)
onde o índice 1+M está relacionado ao nível de tempo atual onde a solução está
sendo considerada, M se refere ao nível de tempo anterior, e o intervalo de tempo
hhh WWW −=∆ +1 . A equação 4.22 representa o conjunto final de equações algébricas
a serem resolvidas. Uma vez que ( )ψθ , ( )[ ]ψ$ e ( )[ ]ψ% são funções da variável
dependente ψ , este conjunto de equações é altamente não-linear.
49
Os programas SWSM_2D e SWMS_3D utilizam o método de Picard
(Huyakorn e Pinder, 1983), para se obter à solução da equação matricial global a
cada novo nível de tempo.
Neste método, uma primeira solução no tempo ( ) 1+iψ é obtida partir da
distribuição inicial (condição inicial) quando ( ) 0ψψ =j , definindo os valores dos
termos das matrizes ( )[ ]ψ$ , ( )[ ]ψ% e ( )ψθ . A cada nível de iteração uma nova
distribuição de ( ) 1+kψ é determinada, e as matrizes ( )[ ]ψ$ , ( )[ ]ψ% e ( )ψθ são
resolvidas novamente. O processo iterativo continua até que seja alcançado um
grau de convergência satisfatório (tolerância), ou seja, ( ) ( )lm
lmWRO+ 1
11 +
++ −= ψψ ,
sendo WRO+ a tolerância admitida para cada iteração, ( ) 11
++
noψ carga de pressão
determinada na iteração atual, ( )no
1+ψ carga de pressão determinada na iteração
anterior. Ainda, como controle de convergência, é verificada a tolerância da
umidade volumétrica, uma vez que esta se correlaciona com a carga de pressão
pela curva característica, sendo calculada por ( ) ( )pq
pqWRO7K 1
11 +
++ −= θθ , onde WRO7K é
a tolerância admitida para cada iteração, ( ) 11
++
rsθ a umidade volumétrica
determinada na iteração atual, ( )rs
1+θ a umidade volumétrica determinada na
iteração anterior.
Para cada iteração, um sistema de equações algébricas linearizadas é,
primeiramente, derivado da equação 4.22, após a incorporação das condições de
contorno, é resolvido pela sub-rotina, inserido no programa principal,
ORTHOFEM, baseado no método do gradiente conjugado de Mendoza et al
(1991).
Para melhorar a convergência no processo de iteração do termo que
representa a variação do teor de umidade volumétrico no tempo, o programa
utiliza um método de conservação de massa proposto por Celia. (1990), onde o
termo em questão é separado em duas partes.
50
[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) t
tut
t
ut
ut
t
tt
W)
W)W)
∆−
+∆−
=∆
−
+
++++
ψθψθ
ψθψθψθψθ
1
1111
(4.23)
onde 1N + e N representam os níveis de iteração atual e anterior,
respectivamente; 1M + e M representam os níveis de tempo atual e anterior,
respectivamente. Como, na equação 4.23, o segundo termo do lado direito é
conhecido previamente à iteração atual e o primeiro termo do lado direito pode ser
expresso em termos de carga de pressão, podendo-se escrevê-la na forma:
[ ] ( ) ( ) [ ][ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) v
vwv
v
wv
wv
vv
vv
W)
W&)W)
∆−
+∆−
=∆
−
+
+++
++
ψθψθ
ψψψψψθψθ
1
111
11
(4.24)
sendo xzy xzyx& &δ= e x& representam os valores nodais de capacidade de retenção
específica. O primeiro termo do lado direito da equação 4.24 deve desaparecer ao
final da iteração se a solução numérica convergir.
(TXDomRGH)OX[RGR(OHPHQWR'UHQDQWH
A equação que governa o fluxo unidimensional no elemento drenante
baseia-se no balanço de massa do elemento esquematizado na figura 10.
Figura 10-Fluxo através do elemento de linear.
GV || $Yρ
GV$VY$Y∂
∂+ ρρ
~O
51
Para a dedução da equação deve-se igualar a variação da vazão de entrada
e saída 1T∆ , com a variação da massa de água do elemento no tempo 2T∆ , assim
tem-se:
U 44T −=∆ 1 (4.25)
GV$VY$Y$YT∂
∂+−=∆ ρρρ1 (4.26)
GV$VYT∂
∂=∆ ρ1 (4.27)
W0T
∂∂=∆ 2 (4.28)
W9T
∂∂=∆ ρ2 , sendo: GV$9 θ= (4.29)
WGV$T
∂
∂=∆∴
θρ2 (4.30)
onde ρ é a massa especifica da água [ML-3], Y é a velocidade da água no
elemento drenante [LT-1], GV comprimento infinitesimal do elemento drenante
[L], $ é a área da seção transversal [L2], W0
∂∂
é a variação de massa de água
no elemento no tempo [MT-1], W9∂
∂ é a variação do volume de água no elemento
no tempo [L3T-1], θ é a umidade volumétrica do elemento drenante [-].
Igualando as variação de massa 1T∆ e 2T∆ ,tem-se:
21 TT ∆=∆ (4.31)
É utilizada para o elemento drenante uma equação de movimento que tem
a mesma forma da lei de Darcy.
52
( ) VKNY
∂∂−= ψ (4.32)
A expressão 4.32 é aproximada já que considera fluxo laminar e
desconsidera termos de inércia, eventualmente relevantes (Bear, 1972).
Assim, a equação diferencial que define o fluxo no elemento drenante é
representada pela equação 4.33.
( ) W$VKNV$
∂
∂=
∂∂
∂∂∴
θψ (4.33)
sendo, ( )ψN é a permeabilidade não saturada do elemento drenante [LT-1], K a
carga total nos nós do elemento [L].
As propriedades dos elementos serão descritas nos itens 4.53, 4.54 e 4.55.
6ROXomR1XPpULFDGDV(TXDoHVGH)OX[RGR(OHPHQWR'UHQDQWH
Para desenvolver numericamente a equação de fluxo do elemento drenante,
foi aplicado o método de Galerkin, as variáveis dependente ( )]\[ ,,ψ , ),,( ]\[K
e ),,( ]\[ θ no domínio do elemento é escrita como função das cargas de
pressão, elevação e da umidade volumétrica nodal, sendo expressa pelas funções
( )]\[ ,,ψ , ),,( ]\[K ¡∧ , ),,( ]\[¢∧θ , como abaixo:
∑=
∧=
£
¤¤¤ W]\[W]\[
1
)(),,(),,,( ψφψ (4.34)
∑=
∧=
¥
¦¦§¦§ K]\[]\[K
1
),,(),,( φ (4.35)
∑=
∧=
¨
©©ª©ª ]\[]\[
1
),,(),,( θφθ (4.36)
53
onde «¬K é a carga de elevação do nó L , ®θ é a umidade volumétrica do nó L ¯φ é
a função de interpolação associada a carga de pressão.
A equação 4.37 apresenta o resíduo gerado pela equação de fluxo ( )Ω5
quando se substitui as equações 4.34, 4.35 e 4.36 em 4.33. A equação 4.37 mostra
a minimização deste resíduo, ponderado pelas funções de interpolação ( )°φ ,
segundo o método de Galerkin (Desai, 1995).
( )
∂∂
+∂∂
∂∂−
∂∂
=Ω VK
VN
V$
W$5 ±
²²²
²ˆˆˆ ψψθ
(4.37)
0=Ω∫Ω Ω G5 φ (4.38)
( ) 0ˆˆˆ
=Ω
∂∂
+∂∂
∂∂−
∂∂
∫ΩG
VK
VN
V$
W$ ³
´´´
´ φψψθ (4.39)
sendo Ω5 é o resíduo da equação, Wµ
∂∂θ
é a variação da umidade volumétrica do
elemento drenante no tempo [T-1], V∂
∂ψé o gradiente de pressão [-],
VK ¶∂∂ ˆ
é o
gradiente de elevação [-].
Integrando por partes a equação 4.39 obtém-se:
( )
( ) ( ) Γ
∂∂
+∂∂+Ω
∂
∂∂
∂−
=Ω
∂
∂+Ω
∂∂
∂∂
∑ ∫∑ ∫
∑ ∫∑ ∫
ΓΩ
ΩΩ
GVK
VN$G
VVKN$
GW
$GVV
N$
·¸
¸¹¹
¸
·¸¹¹
¸·
¹¹
¸
·¹¹
ºº
ºº
φψψφψ
φθφψψ
ˆˆˆ
ˆˆ
(4.40(a))
Substituindo ψ e θ em 4.40(a), tem-se:
54
( )
( ) ( ) Γ
∂
∂+
∂∂+Ω
∂∂
∂∂
−
=Ω
∂∂
∂∂
+∂
∂
∑ ∫∑ ∫
∑ ∫
ΓΩ
Ω
GVK
VN$GKVVN$
GVVNW$
»¼
»¼½½
¼»¼
¾»½½
¼»
¾»½½¾
»½
¿¿
¿
φψψφφψ
ψφφψθφφ
(4.40(b))
onde ÀΩ representa o domínio do elemento, ÁΓ representa o domínio no contorno
do elemento H .
A equação de fluxo 4.40(b) pode ser escrita na forma matricial pela
equação 4.41.
[ ] [ ] [ ] ÂÃÂÂ
ÂÂ 4K.GWG). +−=+
θψ (4.41)
onde
[ ] ( )
−
−=
1111
Ä
ÅÅÅ O
$N. ψ (4.42)
[ ]
=
2112
6ÆÇ
ÇO$) (4.43)
sendo [ ]È. a matriz de condutividade do elemento drenante [L2T-1], ÉO o
comprimento do elemento[L], [ ]Ê) matriz de armazenamento [L3], [ ]Ë4 matriz
de vazão aplicada aos nós dos elementos drenantes [L3T-1].
A integração no tempo é feita pelo método das diferenças finitas, em um
esquema implícito. A equação fica definida por:
[ ] [ ] [ ] 111
11 +++
++ +−=∆−
+ ÌÍÎÌÍÌÍÌÍ
ÍÌÌÍ 4K.W). θθψ (4.44)
Para melhorar o processo de convergência no tempo, adotou-se a mesma
estratégia empregada no programa original (Celia, 1990). Assim a variação da
umidade volumétrica é separada de forma que tem a variação no nível de iteração
55
e a variação no passo de tempo (equação 4.46). Em seguida, substitui-se a
derivada da umidade volumétrica no nível de iteração pela derivada da carga de
pressão correspondente, segundo a capacidade de retenção específica do elemento
drenante que correlaciona as duas grandezas[ ] 1+ÏÐ& , sendo este valor o coeficiente
de armazenamento do elemento drenante, dado por:
[ ]W
&W
ÑÒÑ
Ñ
∂∂
=∂
∂+
ψθ1 (4.45)
[ ] [ ] [ ] Ó
ÓÔÕÓÔ
ÔÓ
ÕÓÔ
ÕÓÔ
ÔÓ
ÓÔÓÔÔ
W)
W)
W)
∆−
+∆−
=∆
− +++++ θθθθθθ 11
111 (4.46)
Substituindo a equação 4.45 em 4.46, tem-se:
[ ] [ ][ ]
[ ] Ö
Ö×ØÖ×
×
Ö
ØÖ×
ØÖ×
Ö××Ö
Ö×Ö××
W)
W&)
W)
∆−
+∆−
=∆
−∴
+
+++
++
θθ
ψψθθ
1
111
11
(4.47)
,QFOXVmRGR(OHPHQWR'UHQDQWHHP0DOKD4XDOTXHU
Fisicamente, o processo de inclusão dos elementos drenantes consiste em
distribuir na malha de elementos finitos as vazões por elas transportadas. Isto pode
ser feito numericamente pelo uso de matrizes de transformação que contém, em
suas linhas e colunas, as funções de interpolação como mostrado nas equações
4.48 e 4.57.
No espaço, o conjunto dos elementos drenantes compõe a “linha
drenante”. Assim, com os dados iniciais, determina-se todo o conjunto de
elementos interceptados e seus pontos de interseção correspondente.
A estratégia adotada está baseada na incorporação da matriz de rigidez
destes na matriz de rigidez do solo. A compatibilização utilizada é semelhante à
descrita por Bello (1997) e Silva (1999). O primeiro utilizou para simular o
56
comportamento de estacas de bambu-cal e o segundo para simular inclusões de
grampos, ambos em maciços de solos.
O princípio desta compatibilização é transformar as matrizes do elemento
drenante com as matrizes do elemento de solo, seja ele 2D ou 3D. Para isso fez-se
uso das matrizes transformações compostas pelas funções de interpolação,
conforme determinados pelas figuras 12 e 14. Assim é possível o cálculo do fluxo
do elemento drenante sem que este esteja discreto na malha, pode-se aplicar
qualquer posicionamento da linha drenante, o que torna flexível para a análise de
vários casos, pois não necessita gerar para cada caso uma nova malha.
Aqui, é apenas considerado o caso em que o elemento drenante intercepta os
elementos da malha em 2 pontos, o que corresponde a existência de um
comprimento ÙO do elemento drenante. Uma vez que o fluxo gerado é função do
gradiente gerado e este depende do comprimento ÙO , não tem sentido físico
considerar aqueles elementos da malha que possuem um ponto de interseção.
A figura 11 mostra as interseções da linha drenante passando pelo elemento
2D, em que se determina os pontos Ú, e Û, .
Figura 11-Linha drenante interceptando um elemento bidimensional.
A figura 12 mostra a geração das funções de interpolação para um ponto
qualquer dentro do domínio do elemento 2D.
( )ÜÜÜ \[, ,ÝO
( )ÞÞÞ \[, ,
'UHQDQWH/LQKD←
57
Figura 12-Visualização do cálculo das funções de interpolação no elemento
bidimensional.
onde ß$ é a área de influência do nó L definido pela figura 8 e àâáφ a função de
interpolação dada pela razão da área de influência pela área total do elemento.
A matriz transformação associada ao elemento triangular é mostrada pela
equação 4.48.
[ ]
=
23
13
22
12
21
1132 φ
φφφ
φφ
ã7 (4.48)
sendo [ ] 32 ä7 a matriz transformação do elemento drenante.
Determinada a matriz transformação (equação 4.48), é possível
correlacionar cada nó do elemento drenante com os três nós do elemento
triangular da malha, por exemplo, a carga de pressão nos pontos de interseção, é
determinada por:
[ ] ( )'7 åååæ 2133212 ψψ = (4.49)
Aplicando a equação 4.49 na equação de fluxo do elemento drenante
(4.41), tem-se:
[ ] [ ] [ ] [ ] ( )'4K.GWG)7. çèçé èçè
èçèçççè 212122222133222 +−=+
θψ (4.50)
3
$$ê
ê ë =φ
( )]\[, ,, j = nº interseção
i = nº do nó A1
A3
A2
2
1
58
Para gerar as matrizes a serem somadas às do elemento da malha, é
necessário pré-multiplicar todas as matrizes da equação de fluxo do elemento
drenante pela transposta da matriz transformação. Desta forma as funções de
interpolação distribuirão as propriedades do elemento drenante para o elemento da
malha.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] ( )'47K.7GW
G)77.7ìíì
îìï íìíì
î
íìíì
îìììíì
î
21223122223
222313322223
+−
=+θψ
(4.51)
fazendo
[ ] [ ][ ][ ]7.7. ðñ
ð = (4.52)
[ ] òóò 474 = (4.53)
[ ] [ ][ ]ôõ
ö÷ öø .7. = (4.54)
[ ] [ ][ ]ùú
ûzü ý )7) = (4.55)
Substituindo as matrizes 4.52, 4.53, 4.54 e 4.55 na equação 4.51, tem-se:
[ ] [ ] [ ] ( )'4K.GWG). þÿþ ÿþ
ÿþ þþÿ 2131223231333 +−=+
θψ (4.56)
A ordem das matrizes resultantes é igual à ordem das matrizes de fluxo da
malha, desta forma, dado a equivalência para o elemento da malha é feita à soma
das matrizes termo a termo.
De forma análoga, as funções de interpolação do elemento tetraédrico
serão dados de acordo com as interseções. A figura 13 mostra as interseções da
linha drenante passando pelo elemento 3D, em que se determina os pontos , e
, .
59
Figura 13-Linha drenante interceptando um elemento tridimensional.
A figura 14 mostra a geração das funções de interpolação para um ponto
qualquer dentro do domínio do elemento 3D, ponto.
Figura 14-Visualização do cálculo das funções de interpolação no elemento
tridimensional.
onde 9 é o volume de influência do nó L definido pela figura 10 e φ a função
de interpolação dada pela razão do volume de influência pelo volume total do
elemento.
99 =φ
V2
V3
V2
4
2
( )]\[, ,,
V1
1
j = nº interseção
i = nº do nó
3
( ) ]\[, ,, ( ),,, ]\[,
'UHQDQWH/LQKD←
O
60
A matriz transformação associada ao elemento tetraédrico é mostrada pela
equação 4.57. Assim, cada nó do elemento drenante se correlaciona com os três
nós do elemento tetraédrico da malha.
[ ]
=
24
14
23
13
22
12
21
1142 φ
φφφ
φφ
φφ7 (4.57)
sendo [ ] 42 7 a matriz transformação do elemento drenante.
Semelhante o que foi exposto para o caso plano, uma vez determinado a
matriz transformação, é possível correlacionar cada nó do elemento drenante com
os quatro nós do elemento tetraédrico da malha. Assim sendo, a carga de pressão
nos pontos de interseção fica:
[ ] ( )'7 3144212 ψψ = (4.58)
Aplicando a equação 4.58 na de fluxo do elemento drenante (4.41), tem-se:
[ ] [ ] [ ] [ ] ( )'4K.GWG)7.
312122222144222 +−=+θψ (4.59)
Logo, pré-multiplicando as matrizes da equação 4.59 pela transposta da
matriz transformação, tem-se:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] ( )'47K.7GW
G)77.7
31224122224
222414422224
+−
=+θψ
(4.60)
Substituindo as condições dadas pelas equações 4.52, 4.53, 4.54 e 4.55 em
4.60, tem-se:
[ ] [ ] [ ] ( )'4K.GWG). ! "
#$ % 3141224241444 +−=+
θψ (4.61)
61
Da mesma forma que o caso bidimensional dado à equivalência para o
elemento da malha é feita à soma das matrizes termo a termo.
3URSULHGDGHV*HRPpWULFDVGR(OHPHQWRGH'UHQR
Para o cálculo da vazão no elemento de dreno, é necessário determinar as
características geométricas (figura 15).
Figura 15-Visualização das propriedades geométricas do elemento de dreno.
Conforme a figura 15, observa-se que o enchimento se dá ao longo de seu
diâmetro o que define uma relação não linear. A altura de nível de água dentro do
dreno corresponde à carga de pressão atuante (ψ ). Todas as outras variáveis a
determinar irão depender do ângulo ( )ψβ na formulação que, por sua vez,
depende de ψ (equação 4.62).
( )
−=
2cos1
2ψβψ '
(4.62)
isolando β , obtém-se.
( )
−= −
'ψψβ 2
1cos2 1 , ( ) πψβ 20 ≤≤ (4.63)
( )ψα
0 D
ψ
NA
b a
c
( )ψβ
62
Para o cálculo da área molhada )( &$ deve-se determinar a área do setor
circular delimitado por EFD0 e subtrair a área do triângulo ED0 acima da borda
livre do canal, resultando:
( ) ( ) ( )[ ] ψβψβψ VLQ'$' −=8
2
(4.64)
O perímetro molhado )( (3 correspondente é:
( ) ( )2'3) ψβψ = (4.65)
O raio hidráulico ( )5K é expresso pela razão da área molhada pelo
perímetro molhado, resultando:
( ) ( )[ ]( )
−=ψβ
ψβψ VLQ'5K 14
(4.66)
A figura 16 mostra o gráfico das variações destas propriedades ao longo do
diâmetro do tubo. Observa-se a não linearidade do valor do raio hidráulico tendo
seu valor máximo a aproximadamente 80% da altura da seção.
63
*,+.-0/1+2 35476547398;:<35->=;?9@+2 A9698;41-CBD+ 37EF-
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1GIH B
JKLJKMN OLN OMP OLPM
Am
Rh
Pm
Figura 16-Variação das propriedades geométricas em seções circulares.
onde 05K , 0$P e 03P são, respectivamente, o raio hidráulico
4'
, a área
molhada
4
2'π e o perímetro molhado ( )'π correspondentes a seção plena.
De acordo com o critério adotado o nível de água no dreno subhorizontal é
igual à carga de pressão do nó do elemento drenante. Porém, quando este nó
pertence ao contorno isto pode não verificar. Por exemplo, a carga de pressão de
um nó em uma face de percolação é nula, conseqüentemente a carga de pressão no
nó de saída do dreno também é nula, assim dever-se-ia assumir uma altura de
nível de água nulo. Para corrigir isto, é apresentado a seguir um cálculo para
determinar a altura de saída no nó de saída do dreno em uma face de percolação.
64
Figura 17-Representação do elemento drenante na face de percolação.
Aplicando a conservação de energia pela equação de Bernoulli (Giles,
1972), tem-se:
JY]J
Y] QQ22
22
22
21
11 ++=++ ψψ (4.67)
Isolando a velocidade do nó 1, tem-se:
( ) ( ) 2212121 2 RR Y]]JY +−+−= ψψ (4.68)
Aplicando a lei da continuidade no elemento drenante, tem-se:
2211 STST $Y$Y = (4.69)
logo
1
221 U
UVV Y
Y$$ = (4.70)
A velocidade do canal segundo a formulação de Manning (Giles, 1975) é
dada pela equação 4.71.
01 =ψ
02 ≅ψ
Face de percolação
65
η
2/13/22
2
L5Y WX = (4.71)
Substituindo as equações 4.68 e 4.71 em 4.70, resulta:
( ) ( ) 2
3/42
1212
22/13/2
21
2η
ψψηL5]]J
$L5$Y
ZYZ
+−+−
= (4.72)
Sabendo que a área molhada da seção circular é dada pela equação 4.73,
tem-se:
( ) ( )[ ]ψβψβ VLQ'$[ −=8
2
1 (4.73)
Substituindo a equação 4.73 em 4.72 chega-se a uma relação em que o
lado direto resulta em valor constante. Assim, iterativamente é possível encontrar
o valor de ( )ψβ igualando o lado direito com o esquerdo da equação 4.74.
( ) ( )( ) ( )
2
3/42
1212
22/13/2
22
2
8
ηψψη
ψβψβL5]]J
$L5'VLQ
\]\
+−+−
=− (4.74)
Com ( )ψβ definido é possível obter as demais propriedades geométricas
do nó de saída do dreno subhorizontal.
A condição aplicada à equação 4.74 é que o valor 01 =ψ , pois este
pertence à face de percolação e que o valor de 02 =ψ caso este seja maior que o
diâmetro do dreno ( '≤2ψ ).
66
3URSULHGDGHV+LGUiXOLFDVGR(OHPHQWRGH'UHQR
Para os elementos drenantes de dreno, deve-se determinar o coeficiente de
permeabilidade que represente o escoamento ao longo do tubo do dreno. Desta
forma, pode-se identificar três fases no enchimento deste elemento. A primeira
consiste nos elementos com carga de pressão negativa em seus nós, assim estes
não interferem no regime de fluxo. A segunda consiste em elementos com carga
de pressão positiva em um dos nós ou em ambos, porém seus valores não
excedem a altura dada pelo diâmetro do dreno. Nesta fase, o escoamento é
caracterizado como de um canal, sendo sua velocidade calculada pela fórmula de
Chézy (Giles, 1976) e seu coeficiente de atrito ( )& especificado segundo Manning
(Giles). A terceira fase é aquela em que o dreno trabalha em seção plena (sob
pressão) gerando parâmetros constantes. A equação 4.75 define a fórmula de
Chézy.
( ) 2/12/1 L&5Y ^_ ψ= (4.75)
onde `5 é o raio hidráulico [L], L é o gradiente de carga [-], η é o coeficiente de
rugosidade do canal (Manning) [-], aY é a velocidade média de fluxo no canal
[LT-1] e ( )& dado pela fórmula de Manning (equação 4.76)
η
6/1b5& = (4.76)
Desta forma, a velocidade do fluxo é dada pela equação 4.77, chegando a
uma relação permeabilidade versus gradiente.
( )ηψ 2/13/2 L5Y
bc = (4.77)
67
A permeabilidade resultante depende do raio hidráulico ( d5 ), do
coeficiente de rugosidade de Manning ( )η (equação 4.78).
( ) ( )η
ψψ3/2ef 5N = (4.78)
Para simular situações em que o dreno se encontra parcialmente cheio, é
preciso definir uma curva característica equivalente para o mesmo.
Diferentemente do solo, o elemento de dreno está não saturado quando ele já
apresentar carga de pressão positiva. Isto ocorre quando a carga de pressão for
maior que zero e menor que o diâmetro do tubo ( )φψ ≤≤0 .
A umidade volumétrica então é definida em função da carga de pressão.
4
2'$g π= (4.79)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )π
ψβψβψψθ2VLQ
$$
hih −==∴ (4.80)
sendo ( )ψj$ definido pela equação 4.64.
O gráfico da figura 18 mostra a relação dada pela equação 4.80, observa-se
que o valor de kθ varia no intervalo de 10 ≤≤ lθ , assim, toda seção pode ser
preenchida de tal forma que o tubo trabalhe em seção plena.
68
monqprFstmus1pvs5w9xyzp |qx w9s~qqy>q
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000
\'
Dreno
Figura 18-Curva característica do elemento de dreno.
Para o cálculo da capacidade de retenção específica do dreno deve-se obter
a derivada da umidade volumétrica em relação à carga de pressão, assim
derivando a equação 4.80 resulta na equação 4.81.
( )( )ψψπ
ψ
ψψθ
−
−−
=→∂∂
−
+ ''&
21cos2cos1 1
1 (4.81)
O valor de & é apresentado na figura 19, onde seu valor máximo está a
meia seção
69
u7>;>qv00,Fu1157 0F>010z>5D1q5 ¡
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000
ψ¢.£
¤ ¥¦ §¨© ª
Figura 19-Coeficiente de armazenamento do dreno ( «& )
3URSULHGDGHV*HRPpWULFDVH+LGUiXOLFDVGR(OHPHQWRGH3RoR
Assim como o elemento de dreno deve-se determinar as características
geométricas e hidráulicas do poço.
Figura 20-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço.
¬Oψ
NA
70
Na figura 20, observa-se que o enchimento se dá ao longo de seu
comprimento, o que define uma relação linear entre θ e ψ . O comportamento do
fluxo é como escoamento em encanamentos, assim igualando as tensões
cisalhantes na parede do tubo com a variação de pressão ao longo do mesmo,
obtém-se a velocidade do fluído ao longo da seção (Giles, 1976), sendo dada por:
( )( )2221
4UUO
SSY ®
¯° −−
=µ
γ (4.82)
sendo 1S e 2S as pressões aplicadas [ML-1T-2], ±γ o peso específico da água
[ML-2T-2], ²U o raio do poço [L], U a distância do poço ao ponto de análise [L],
µ a viscosidade dinâmica da água [MTL-2].
Para o cálculo da velocidade média na seção ( )³0´¶µ9 basta resolver a
integral dada pela razão da vazão pela área, sabendo que Y varia com U conforme
a equação 4.82.
( ) ( )( ) ( )∫
∫∫
∫ −−
====·
·¸
¹º¹¹
¸»»
¼0º¶½ UGUUUOUSS
UUGUY
G$G$Y
$49
0
222
212
0
42
2
µππ
π
π (4.83)
( )¾
¿À0¾¶Á O
USS9µ8
221 −
= (4.84)
Logo, fazendo a velocidade média em função da carga de pressão, obtém-
se a equação da lei de Poiseville (Giles, 1976) sendo dada por:
( )Â
ÃÄÅ0妮 O
U9µ
ψψγ8
212 −
= (4.85)
Da equação 4.85, pode-se extrair o valor da permeabilidade a ser adotada
para o fluxo do poço.
71
µγ8
2ÇÈÉ UN = (4.86)
sendo, ÊN a permeabilidade do poço [LT-1].
A umidade volumétrica é dada por uma relação linear com a carga de
pressão no poço.
/99 Ë ψθ == (4.87)
/ψθ =∴ (4.88)
Assim, a capacidade de retenção específica do poço ( )&Z resulta:
/&Z
ÌÍ 11 =→
∂∂
+ψθ
(4.89)
sendo / o comprimento drenante total do poço. A figura 21 mostra a relação
linear.
72
Figura 21-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço.
*HUDomRGRV0RGHORVGH$QiOLVH
'HWHUPLQDomRGD*HRPHWULDH0DOKDGH(OHPHQWRV)LQLWRV
Os dados relevantes a serem levantados para uma modelagem numérica
bidimensional ou tridimensional são as interpretações das sondagens, perfurações
de poços, das plantas topográficas, isoespessura, mapeamento das feições
geológicas, fotos e outros dados observacionais, sendo estes necessários para
discretizar graficamente o modelo quanto à superfície topográfica, estratigrafia,
superfície do topo rochoso, localização do lençol freático, presença de fraturas.
O gerador de malha de elementos finitos aplicados a modelos 2D foi o
Mtool, software desenvolvido pelo Tecgraf – Puc-Rio, o mesmo software foi
utilizado para visualizar os resultados. Já para os modelos 3D, como gerador da
Curva Característica DHP e Poço
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000
\'
T
Poço
/&Z 1=→
∂∂ψθ
73
malha de elementos finitos tetraédricos, foi implementada sub-rotina
“MeshBox3D”, capaz de gerar a malha de modelos do tipo paralelepípedos. Este
gerador foi utilizado para gerar as malhas dos modelos das validações, devido a
sua facilidade e rapidez.
Para modelos tridimensionais com superfícies de contornos irregulares a
geração da malha acaba sendo problemática. O modelador gráfico Gocad 2.0.5
possui muitas ferramentas para a geração das superfícies, refinamento das faces,
porém gera elementos finitos altamente não uniformes.
Para visualizar os resultados tridimensionais, utilizou-se o software POS-
3D, sendo este desenvolvido pelo Tecgraf – Puc-Rio, e amplamente aplicado para
estudos tridimensionais.
'HWHUPLQDomRGDV&RQGLoHV,QLFLDLVHGH&RQWRUQR
As condições iniciais e as de contorno serão determinadas com base nas
interpretações das sondagens do local e dados pluviométricos, onde se podem
prever as condições da hidrogeologia local aplicada ao modelo tridimensional. As
condições de contorno no domínio podem ser do tipo carga de pressão prescrita
(condição de Dirichlet) ou fluxo normal prescrito (condição de Neuman), sendo a
primeira normalmente aplicada nos contornos simulando o efeito da hidrogeologia
local, e o segundo quando se quer simular a presença de poços, em que se extrai
fluxo do domínio. A condição atmosférica deverá ser simulada de acordo com os
dados pluviométricos, sendo aplicado à superfície livre do modelo tridimensional.
Os programas de fluxo, SWMS_2D e SWMS_3D (Simunek e outros, 1994
e 1995), precisam identificar e aplicar as condições de contorno, que devem ser
fornecidos na fase de pré-processamento. Assim, além das informações sobre a
geometria da malha, conjunto de nós e incidência dos elementos, tem-se a seleção
dos nós de contorno com suas imposições a serem determinados pelo gerador de
malha.
O programa Mtool, adaptado para leitura dos atributos referentes ao fluxo,
faz a seleção dos nós dos contornos na interface gráfica e fornecer seus dados para
posterior impressão do arquivo da saída.
74
No gerador MeshBox3D os atributos são fornecidos no arquivo
“GENE3.IN” na identificação das faces do modelo.
'HWHUPLQDomRGDV3URSULHGDGHVGRV0DWHULDLV(QYROYLGRV
Para a análise numérica, faz-se necessário o conhecimento dos parâmetros
hidráulicos dos solos saturados e não saturados aplicados ao domínio, a fim de
determinar as curvas características dos solos presentes na estratigrafia do modelo
e que regem o comportamento das variações da condutividade hidráulica e da
umidade volumétrica ( )θ∆ com as variações das cargas de pressão ( )ψ∆ . Sua
determinação se faz através de ensaios de campo ou de laboratório.
O modelo de cálculo da curva característica adotado é o de van Genuchten
(1980), conforme descrito no item 4.2.1, onde é necessário o conhecimento de
alguns parâmetros como:
Îθ = Umidade volumétrica residual;
Ïθ = Umidade volumétrica saturada;
Ð. = Permeabilidade saturada;
α e n = Parâmetros empíricos.
75
)OX[RJUDPDGD,PSOHPHQWDomR
A figura 22 apresenta um fluxograma da implementação realizada no
programa de fluxo SWMS para a contabilização das inclusões das linhas
drenantes.
Figura 22-Fluxograma da implementação das linhas drenantes.
Primeiramente na fase de pré-processamento, se constrói a malha do modelo
de análise, fornecendo os dados de entrada como as informações da geometria da
malha (conjunto de nós e elementos) e seus atributos (condição inicial e de
Tolerância
INPUT
FUNCINTERP
ADDINGMATRIX
MONTAGEM DAS MATRIZES
CALCPERM
PROPGEOM
Mtool (2D)
MeshBox3D (3D) DRAINAGEINF
PROGRAM
MAIN
OUTPUT Mtool (2D)
POS3D (3D)
DRAIN
INTERSECTION
3Up3URFHVVDGRUHV
3yV3URFHVVDGRUHV
sim
não
não
sim
3URFHVVDGRU
não
76
contorno). Para os casos 2D foi utilizado o programa Mtool e para os casos 3D
fez-se uso da sub-rotina MeshBox3D.
A seguir serão feitas considerações sobre as sub-rotinas envolvidas em cada
campo do fluxograma:
a) INPUT: Este campo representa o conjunto de sub-rotinas destinado à
leitura de dados de entrada, sendo oriundos do pré-processador no
formato neutro (neutral file).
b) DRAIN: Variável lógica que identifica se existe ou não o sistema
drenante no modelo.
c) DRAINAGEINF: Sub-rotina de leitura de dados referentes às linhas
drenantes, como coordenadas, diâmetro, vazão imposta, tempo de
instalação, comprimento não drenante, propriedades físicas da água.
d) INTERSECTION: Sub-rotina do cálculo das interseções geradas pela
linha drenante quando atravessa a malha de elementos finitos.
e) FUNCINTERP: Esta sub-rotina calcula as funções de interpolação
associadas às interseções no elemento.
f) PROPGEOM: Esta sub-rotina calcula as propriedades geométricas
associadas aos parâmetros hidráulicos de um fluxo em canal, como raio
hidráulico e área molhada.
g) CALCPERM: Sub-rotina do cálculo da permeabilidade, do elemento de
dreno subhorizontal ou do elemento de poço, associado aos parâmetros
hidráulicos.
h) Montagem das Matrizes: Determinados os coeficientes das matrizes da
equação de fluxo do elemento drenante, passa-se a preencher os termos
das matrizes de fluxo.
i) ADDINGMATRIX: Incluir a equação de fluxo transformada do
elemento drenante, somando com a do elemento da malha.
j) PROGRAM MAIN: Programa principal onde se processa o cálculo de
fluxo da malha com as propriedades já alterada pelo elemento drenante.
k) Tolerância: Parâmetro de entrada que controla o grau de convergência
da solução.
l) OUTPUT: Este campo representa o conjunto de sub-rotinas destinado à
impressão de dados de saída, sendo em arquivos de saída no formato
neutro (neutral file).
77
A última fase é de pós-processamento, onde os resultados da simulação são
interpretados segundo os arquivos de saída do campo “OUTPUT”. Para os casos
2D foi utilizado o programa Mtool e para os casos 3D utilizou-se o programa
POS-3D.
,PSOHPHQWDoHV$GLFLRQDLV
,PSOHPHQWDomRGR&RHILFLHQWHGH$UPD]HQDPHQWR(VSHFtILFRGR6ROR
Para as simulações de rebaixamento de poços em aqüíferos confinados e
não confinados, foi implementado ao programa a adição do termo de
armazenamento específico que leva em conta o efeito da compressibilidade do
solo e do fluído ( )6 . Este termo aparece quando se reescreve a parte do
armazenamento da equação de Richards, assim a dedução da equação de fluxo
fica:
W6
W6
W66.
[..
[
∂∂+
∂∂
+∂∂=−+
∂∂
∂∂ ξρξρρξψρ )]([ (5.1)
onde 6 é o grau de saturação e ξ é a porosidade do solo. A compressibilidade
do esqueleto é definida como:
’σ∂
∂
−= 99
& (5.2)
Admitindo que os grãos sólidos são incompressíveis, a variação é devida
somente ao volume de vazios:
’’ σξ
σ ∂∂−=
∂
∂
−= 99
&
(5.3)
Pelo princípio das tensões efetivas tem-se que:
79
X−= σσ ’ (5.4)
ψρJX = (5.5)
onde & é a compressibilidade dos grãos sólidos do solo, 9 é o volume do solo,
9 é o volume de vazios do solo, ’σ é a tensão efetiva e X é a pressão neutra.
Considerando a tensão total uma constante no processo de fluxo, tem-se:
ψρξ
ψρξ
σξ
∂∂=
∂−∂−=
∂∂−= JJ&
)(’ (5.6)
A compressibilidade do fluido é definida como:
X& ∂
∂
−= ρρ
(5.7)
ψρρ∂
∂−= J& 2 (5.8)
Sendo assim, obtém-se as seguintes relações:
WJ&W
∂∂=
∂∂ ψρξ
(5.9)
WJ&W
∂∂=
∂∂ ψρρ 2 (5.10)
Substituindo a equação 5.9 e 5.10 em 5.1 tem-se:
W66W66.[..[
∂∂+
∂∂
=−+∂∂
∂∂ ψξψ
)]([ (5.11)
Sendo o coeficiente de armazenamento específico dado por:
80
)( !! &&J6 ξρ += (5.12)
Este coeficiente representa o efeito físico dado pelo volume de água
expulso de um volume unitário quando este é submetido a uma variação unitária
de carga total. Sabendo que:
WWW6
∂∂−
∂∂=
∂∂ ξ
ξθθ
ξ 2
1 (5.13)
W66WW6.[..[ "#$%&
'( )
*
'( *
( ∂∂+
∂∂−
∂∂=−+
∂∂
∂∂ ψξ
ξθθψ
)]([ (5.14)
Admitindo que não ocorrem variações volumétricas durante o processo de
fluxo, tem-se:
.0=∂∂Wξ
(5.15)
Definindo o coeficiente de retenção específica como sendo:
W&∂∂= θψ )( (5.16)
Reescreve-se a equação 5.14 como sendo:
( )W
6&6.[..[+
,-. /
0
-. 0
. ∂∂
+=−+
∂∂
∂∂ ψ
ξψθψψ
)()]([ (5.17)
Para simulações de poços em aqüíferos não confinados a curva que define
o rebaixamento no tempo é composta por três fases. A primeira fase é
representada pelas variações envolvendo 16 . A segunda fase representa um
período de drenagem, em que o rebaixamento é constante no tempo. A terceira
fase apresenta as variações finais do rebaixamento, onde o termo do
81
armazenamento efetivo ( )26 , onde seu efeito está incluso no coeficiente de
retenção específica ( ( )ψ& ), regula estas variações.
,PSOHPHQWDomRGH&RQGLomRGH&RQWRUQRSDUD&DUJD+LGURVWiWLFD9DULiYHO
Devido à necessidade de controlar as variações da carga hidrostática no
tempo aplicada no contorno do modelo, foi criado o bloco de entrada
“LevelGroundWater”, dentro do arquivo de entrada “SELECTOR.IN”, sendo
necessário informar o histórico das cotas no nível de água e seus respectivos
tempos.
Assim, é possível simular as variações de pressões nos contornos como
casos de enchimento e rebaixamento do nível de água de uma barragem, tanto a
jusante quanto a montante. Outro caso seria simular as variações do nível do mar
em um talude de praia. O objetivo é simular e observar o tempo de resposta do
solo e assim prever as possíveis regiões de instabilidade.
/HLWXUDGHGDGRVGDOLQKDGUHQDQWH
O programa desenvolvido é capaz de ler um sistema drenante, composto
por drenos e poços, dispostos ao longo do modelo 2D ou 3D. Para isso, foi criado
o bloco de entrada “DrainsInformation”, dentro do arquivo de entrada
“SELECTOR.IN” fornece-se informações necessárias para a geração da linha
drenante, como:
a) Número de linhas drenantes ( )1' ;
b) As coordenadas dos dois pontos que definem esta linha, sendo o
primeiro localizado na superfície do modelo ( )333 =<; ,, ;
c) O comprimento não drenante, ou seja, o trecho liso do revestimento
que não interage diretamente com a matriz do solo ( )OX ;
d) O valor da vazão imposta, para o caso de poços ( )4 ;
82
e) O valor da carga de pressão mínima para ativar o bombeamento dos
poços, ou mesmo para desativá-los, caso o rebaixamento seja maior
que o esperado e atinja o limite prescrito de carga para o bom
funcionamento das bombas ( )PFD ;
f) O identificador do tipo de elemento drenante, sendo 0 para drenos
subhorizontais e 1 para poços ( ).' .
g) O valor para o tempo de aplicação da cada linha drenante, pois o
princípio é que drenos e poços podem ser instalados não
necessariamente ao mesmo tempo ( ))(L7HPS' ;
h) O valor do diâmetro da tela e do revestimento. Assim, pode-se separar
o efeito da condutividade sendo dada pelo diâmetro da tela e do
armazenamento dado pelo diâmetro do revestimento ( ))(),( L'FL'V ;
i) Propriedades do fluido, tais como o peso específico, viscosidade
dinâmica e o coeficiente de rugosidade de Manning ( )ηµ ,, 45J .
/HLWXUDH,PSUHVVmRGH'DGRV
Para as análises 2D e 3D foi preciso criar as malhas dos modelos em
programas geradores de malha para depois estas serem interpretadas pelo
programa de análise e, em seguida, serem visualizadas. Esta comunicação de
dados é feita por sub-rotinas implementadas no programa. Desta forma o
programa lê malhas 2D geradas pelo Mtool e 3D pelo gerador MeshBox3D. O
programa ainda lê malhas geradas pelo modelador Gocad 2.0.5, porém seu uso foi
descartado devido a não uniformidade das malhas geradas.
O Mtool utiliza o formato de arquivo neutro (Neutral File), onde é possível
obter as informações da malha de maneira simples, devido à facilidade de
composição e interpretação dos dados. Este formato foi adotado para todas as
análises, uma vez que os pós-processadores (Mtool e POS-3D) importam os
arquivos QHXWUDOILOH(*.nf).
83
*HUDGRU0HVK%R['
Devido a não uniformidade das malhas geradas pelo modelador Gocad
2.0.5, optou-se por implementar um gerador de malha, que pudesse gerar modelos
para as validações.
Para a entrada de dados, foi criado o bloco de entrada “ MeshBox3D
Generation” , dentro do arquivo de entrada “ GENE3.IN” , sendo necessário
informar o número de nós em cada direção ( )]\[ ,, , as dimensões dos segmentos
gerados e os atributos.
Os atributos são a condição inicial e de contorno da malha gerada. Na
condição de contorno deve-se identificar as faces do paralelepípedo e aplicar o
código correspondente à condição de contorno e o número da face, caso haja mais
uma face com o mesmo código.
O gerador cria malhas para modelos tipo paralelepípedo, podendo ser
discretizado algumas regiões. O limite do tamanho do modelo esta associada com
a capacidade da máquina em armazenar os dados para o processamento, sendo a
memória requerida função, basicamente, do número de nós e de elementos da
malha.
O algoritmo implantado divide o domínio conhecido, em elementos
hexaedros e em seguida, subdivide cada hexaedro em 5 tetraedros segundo a
disposição da incidência dos nós mostrado na figura 23.
84
Figura 23-Disposição dos subelementos tetraedros nos elementos hexaedros
(Simunek e outros, 1995).
5HVXOWDGRV2EWLGRV
São apresentados aqui os resultados obtidos para as versões 2D e 3D do
programa desenvolvido. Nos casos bidimensionais, os resultados representam
aquele dado em uma seção média do espaçamento entre linhas drenantes, sendo os
tridimensionais mais realistas.
Inicialmente são apresentados os resultados 3D para efeito de validação dos
procedimentos implementados e em seguida os resultados 2D.
(OHPHQWRGH3RoR
O modelo gerado para simular os casos confinados e não confinados está
ilustrado na figura 24. Devido às soluções analíticas para regime transiente
considerar o contorno no infinito, optou-se em gerar um modelo de grandes
dimensões com de 200m x 200m x 5m nas direções x, y e z, respectivamente.
A malha tridimensional, gerada pela sub-rotina “MeshBox3D”, varia de
acordo com o modelo, mas em média contém 44376 nós e 180625 elementos, com
tamanho médio do elemento de 1,903 m com um desvio padrão de 0,857, sendo a
malha mais refinada na vizinhança do poço.
O programa foi aplicado a vários casos que validasse o mesmo, simulando
as condições dadas por aqüífero confinado e não confinado e em regime
permanente e transiente.
86
Figura 24-Malha 3D usada para simulações do poço
$TtIHUR&RQILQDGR
O trabalho numérico desenvolvido por Sudicky et al (1995) serviu de base
para as validações apresentadas em um modelo de poço confinado em regime
transiente. Este modelo comparativo possui um domínio de 200m x 200m x 5m
nas direções x, y, e z, respectivamente. O poço foi considerado totalmente
penetrante e centrado no modelo com diâmetro de 0,20 m. A permeabilidade e o
coeficiente de armazenamento específico considerado são de 8.64 m/dia e 10-4
m-1, respectivamente. No contorno foi aplicada uma carga hidrostática de 20 m,
confinando todo o modelo.
A figura 25 apresenta a discretização da malha e o elemento de poço, usado
por Sudicky et al (1995). A malha é composta por elementos hexaédricos e o
elemento de poço passa pelas arestas dos elementos da malha.
87
Figura 25-Discretização do elemento de poço (Sudicky e outros, 1995).
Para o caso de regime permanente considerou-se o resultado numérico de
maior tempo de simulação quando se atinge a condição de equilíbrio das vazões
de entrada e de saída.
Na figura 26 o resultado obtido com a variação das equipotenciais do
modelo confinado.
Figura 26-Variação das equipotenciais no modelo de aqüífero confinado.
A seguir são apresentadas as validações do aqüífero confinado em regime
permanente e transiente.
88
5HJLPH3HUPDQHQWH
Para o regime permanente os detalhes da solução analítica são apresentados
no item 3.2. A seguir é apresentada uma série de curvas de rebaixamento,
resultantes da variação do tamanho do elemento ( )O , mostrando a comparação do
resultado analítico com os resultados numéricos, com e sem armazenamento do
elemento do poço. O diâmetro do poço simulado é de 0.20 m. Os tamanhos são de
0.5m, 0.75m, 1m e 1.5m.
Figura 27-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para
PO 5.0= .
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
!"# $% !&
Analítico Numérico - Poço c/ Cw Numérico - Poço s/ Cw
89
Figura 28-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para
PO ' 75.0= .
Figura 29-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para
PO ( 0.1= .
)*+,- .,/*012.),- 2
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
),- 23/4
5 67 89 :8;6<= >? ;@
Analítico Numérico - Poço c/ Cw Numérico - Poço s/ Cw
)*+,- .,/*012.),- 2
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
),- 23/4
5 67 89 :8;6<= >? ;@
Analítico Numérico - Poço c/ Cw Numérico - Poço s/ Cw
90
Figura 30-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para
PO A 5.1= .
Observa-se o bom comportamento das soluções numéricas para a
validação dos resultados em regime permanente.
5HJLPH7UDQVLHQWH
Procura-se aqui comparar os resultados obtidos com a implementação atual
com aqueles obtidos por Sudicky et al (1995).
Para reproduzir os resultados obtidos por Sudicky, criou-se um modelo com
o poço discreto, ou seja, fazendo a linha drenante passar pelas arestas dos
elementos interceptados, conforme a figura 25, e as mesmas características
geométricas e hidráulicas descritas no item 6.1.1. O resultado do modelo
comparativo é mostrado na figura 31.
BCDEF GEHCIJKGBEF K
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
BEF KLHM
N OP QR SQTOUV WX TY
Analítico Numérico - Poço c/ Cw Numérico - Poço s/ Cw
91
Figura 31-Comparação da solução numérica de Theis (1935) e Papadopulos and
Cooper (1967) (Sudicky e outros 1995) solução com armazenamento
A figura 31 apresenta o histórico da variação do rebaixamento para um
ponto do domínio. As comparações são feitas considerando ou não o coeficiente
de armazenamento do elemento de poço ( )Z& . A solução analítica de Theis
(1935) (Freeze, 1979) para aqüífero confinado, não considera a parcela do
armazenamento. As figuras 32 e 33 mostram os resultados numéricos obtidos pelo
programa desenvolvido a uma distância PU 0= e PU 5= do poço,
respectivamente. Sendo U o raio de um ponto no domínio, dado pela menor
distância dele com a linha drenante (poço).
92
Figura 32-Comparação da solução numérica implementada do modelo discreto
(com e sem armazenamento e PU 0= ) com a de Theis (1935). As curvas com [& se
referem as com armazenamento considerado.
Figura 33-Comparação da solução numérica implementada do modelo discreto
(com e sem armazenamento e PU 5= ) com a de Theis (1935).
\^]_a`b cd`def]gahjikckhj]demlniopiq]r isb tdudvj]whi
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03xy]nemldiz td|
~ ~
THEIS Numérico - Poço s/ Cw Numérico - Poço c/ Cw
r= 0.1 m
\^]_n`b cd`def]gwhikcfxy]deldiopiq]r isb tdudvj]whi
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03xy]deldiz td|
~ ~
THEIS Numérico - Poço s/ Cw Numérico - Poço c/ Cw
r= 5 m
93
A validação se dá na comparação dos resultados obtidos (figura 32) com os
da figura 31 e com a solução de Theis (1935).
A seguir são apresentadas uma série de simulações, variando o tamanho do
elemento, com U próximo ao poço ( PU 0≅ ) e linha drenante passando pelo meio
deste. Os tamanhos são de 0.5m, 0.75m, 1m e 1.5m.
Figura 34-Comparação da solução numérica implementada (com e sem
armazenamento e PU 0= ) com a de Theis.(1935). Tamanho do elemento de 0.5m.
^a ddfajkkjdmn
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03ydmn d
¡¢ £
THEIS Numérico - Poço s/ Cw Numérico - Poço c/ Cw
r=0.3535 m
94
Figura 35-Comparação da solução numérica implementada (com e sem
armazenamento e PU 0= ) com a de Theis (1935). Tamanho do elemento de 0.75m.
Figura 36-Comparação da solução numérica implementada (com e sem
armazenamento e PU 0= ) com a de Theis (1935). Tamanho do elemento de 1 m.
¤^¥¦a§¨ ©d§dªf¥«a¬jk©k¬j¥dªm®n
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03¯¥dªm®n° ±d²
³ ´µ ¶· ¸¶¹´º» ¼½ ¹¾
THEIS Numérico - Poço s/ Cw Numérico - Poço c/ Cw
r= 0.5303 m
¤^¥¦a§¨ ©d§dªf¥«a¬jk©k¬j¥dªm®n
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03¯¥dªm®n° ±d²
³ ´µ ¶· ¸¶¹´º» ¼½ ¹¾
THEIS Numérico - Poço s/ Cw Numérico - Poço c/ Cw
r= 0.707 m
95
Figura 37-Comparação da solução numérica implementada (com e sem
armazenamento e PU 0= ) com a de Theis (1935). Tamanho do elemento de 1.5m.
Os resultados se ajustam bem com a solução de Theis (1935), mesmo
variando o tamanho do elemento interceptado. As curvas com armazenamento são
validadas em comparação com o resultado obtido da figura 32 com o da figura 31
(Sudicky e outros, 1995).
$TtIHUR1mR&RQILQDGR
A solução numérica de Neumann (1975) foi utilizada como comparativa
com os resultados numéricos da implementação. O modelo utilizado é o mesmo
empregado para as simulações em aqüífero confinado. O poço, com diâmetro de
0,20 m foi considerado totalmente penetrante e centrado no modelo.
Estes modelos apresentam uma região não saturada do solo, sendo
necessário determinar os parâmetros não saturados do mesmo, segundo 3.2.1. As
características do solo empregado são:
¿^ÀÁaÂÃ ÄdÂdÅfÀÆaÇjÈkÄkÇjÀdÅmÉnÈ
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03ÊÀdÅmÉnÈË ÌdÍ
Î ÏÐ ÑÒ ÓÑÔÏÕÖ ×Ø ÔÙ
THEIS Numérico - Poço s/ Cw Numérico - Poço c/ Cw
r=1.06 m
96
Tabela 1-Parâmetros do solo não saturado de acordo com o modelo de van Genuchten,
para o caso do poço não confinado (Simunek e outros, 1994)
Úθ Ûθ Ü. Q α
0.02 0.35 0.6 1.964 4.1
Os parâmetros foram obtidos dos exemplos do manual do usuário do
programa SWMS (Simunek e outros, 1994), para o solo tipo areno-argiloso.
No contorno a carga hidrostática aplicada foi de 4.5 m.
Para o caso de regime permanente considerou-se o resultado numérico de
maior tempo de simulação quando se atinge a condição de equilíbrio das vazões
de entrada e de saída.
5HJLPH3HUPDQHQWH
Para o regime permanente a formulação da solução analítica é apresentada
no item 3.3. A seguir, é mostrada uma série de curvas de rebaixamento versus
raio, para diferentes tamanhos de elementos interceptados. A comparação do
resultado analítico com os resultados numéricos, com e sem armazenamento do
elemento do poço, é apresentada. O diâmetro do poço simulado é de 0.20m.
97
Figura 38-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para
comprimento do elemento ( )ÝO de 0.1, 0.5 e 1.0 m.
5HJLPH7UDQVLHQWH
A solução numérica de Neumann (1975) para aqüífero não confinado, foi
usado para comparação com valores de ( )λ,ÞX: e ( )λ,ßX: apresentadas nas
tabelas 2 e 3 (maiores detalhes ver item 3.1.2).
àâáã äåàâæçdáã åyáèmæyédêëä
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
àâáã äìèí
î ïð ñò óñôïõö ÷ø ôù
Analítico Numérico - Poço Discreto Numérico - le=0.1 Numérico - le=0.5 Numérico - le=1
98
Tabela 2-Valores de ( )λ,AuW para o aqüífero não confinado (Fetter, 1994).
Tabela 3- Valores de ( )λ,BuW para o aqüífero não confinado (Fetter, 1994).
1/ua λ = .001 λ = .01 λ = .06 λ = .2 λ = .6 λ = 1.0 λ = 2.0 λ = 4.0 λ = 6.01.00E-01 2.48E-02 2.41E-02 2.30E-02 2.14E-02 1.88E-02 1.70E-02 1.38E-02 9.33E-03 6.39E-032.00E-01 1.45E-01 1.40E-01 1.31E-01 1.19E-01 9.88E-02 8.49E-02 6.03E-02 3.17E-02 1.74E-023.50E-01 3.58E-01 3.45E-01 3.18E-01 2.79E-01 2.17E-01 1.75E-01 1.07E-01 4.45E-02 2.10E-026.00E-01 6.62E-01 6.33E-01 5.70E-01 4.83E-01 3.43E-01 2.56E-01 1.33E-01 4.76E-02 2.14E-021.00E+00 1.02E+00 9.63E-01 8.49E-01 6.88E-01 4.38E-01 3.00E-01 1.40E-01 4.78E-02 2.15E-022.00E+00 1.57E+00 1.46E+00 1.23E+00 9.18E-01 4.97E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-023.50E+00 2.05E+00 1.88E+00 1.51E+00 1.03E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-026.00E+00 2.52E+00 2.27E+00 1.73E+00 1.07E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-021.00E+01 2.97E+00 2.61E+00 1.85E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-022.00E+01 3.56E+00 3.00E+00 1.92E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-023.50E+01 4.01E+00 3.23E+00 1.93E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-026.00E+01 4.42E+00 3.37E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-021.00E+02 4.77E+00 3.43E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-022.00E+02 5.16E+00 3.45E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-023.50E+02 5.40E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-026.00E+02 5.54E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-021.00E+03 5.59E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-022.00E+03 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-023.50E+03 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-02
1/ub λ = .001 λ = .01 λ = .06 λ = .2 λ = .6 λ = 1.0 λ = 2.0 λ = 4.0 λ = 6.01.00E-04 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.08E-01 3.18E-01 1.42E-01 4.79E-02 2.15E-022.00E-04 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.08E-01 3.18E-01 1.42E-01 4.80E-02 2.16E-023.50E-04 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.08E-01 3.18E-01 1.42E-01 4.81E-02 2.17E-026.00E-04 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.08E-01 3.18E-01 1.42E-01 4.84E-02 2.19E-021.00E-03 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.08E-01 3.18E-01 1.42E-01 4.78E-02 2.21E-022.00E-03 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.09E-01 3.19E-01 1.43E-01 4.96E-02 2.28E-023.50E-03 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.10E-01 3.21E-01 1.45E-01 5.09E-02 2.39E-026.00E-03 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.12E-01 3.23E-01 1.47E-01 5.32E-02 2.57E-021.00E-02 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.16E-01 3.27E-01 1.52E-01 5.68E-02 2.86E-022.00E-02 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.24E-01 3.37E-01 1.62E-01 6.61E-02 3.62E-023.50E-02 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.10E+00 5.37E-01 3.50E-01 1.78E-01 8.06E-02 4.86E-026.00E-02 5.62E+00 3.46E+00 1.95E+00 1.11E+00 5.57E-01 3.74E-01 2.05E-01 1.06E-01 7.14E-021.00E-01 5.62E+00 3.46E+00 1.96E+00 1.13E+00 5.89E-01 4.12E-01 2.48E-01 1.49E-01 1.13E-012.00E-01 5.62E+00 3.46E+00 1.98E+00 1.18E+00 6.67E-01 5.06E-01 3.57E-01 2.66E-01 2.31E-013.50E-01 5.63E+00 3.47E+00 2.01E+00 1.24E+00 7.80E-01 6.42E-01 5.17E-01 4.45E-01 4.19E-016.00E-01 5.63E+00 3.49E+00 2.06E+00 1.35E+00 9.54E-01 8.50E-01 7.63E-01 7.18E-01 7.03E-011.00E+00 5.63E+00 3.51E+00 2.13E+00 1.50E+00 1.20E+00 1.13E+00 1.08E+00 1.06E+00 1.05E+002.00E+00 5.64E+00 3.56E+00 2.31E+00 1.85E+00 1.68E+00 1.65E+00 1.63E+00 1.63E+00 1.63E+003.50E+00 5.65E+00 3.63E+00 2.55E+00 2.23E+00 2.15E+00 2.14E+00 2.14E+00 2.14E+00 2.14E+006.00E+00 5.67E+00 3.74E+00 2.86E+00 2.68E+00 2.65E+00 2.65E+00 2.64E+00 2.64E+00 2.64E+001.00E+01 5.70E+00 3.90E+00 3.24E+00 3.15E+00 3.14E+00 3.14E+00 3.14E+00 3.14E+00 3.14E+002.00E+01 5.76E+00 4.22E+00 3.85E+00 3.82E+00 3.82E+00 3.82E+00 3.82E+00 3.82E+00 3.82E+003.50E+01 5.85E+00 4.58E+00 4.38E+00 4.37E+00 4.37E+00 4.37E+00 4.37E+00 4.37E+00 4.37E+006.00E+01 5.99E+00 5.00E+00 4.91E+00 4.91E+00 4.91E+00 4.91E+00 4.91E+00 4.91E+00 4.91E+001.00E+02 6.16E+00 5.46E+00 5.42E+00 5.42E+00 5.42E+00 5.42E+00 5.42E+00 5.42E+00 5.42E+00
99
As figuras 39 e 40 apresentam as comparações obtidas da solução de
Neumann (1975) e dos valores numéricos da implementação. Na figura 39 tem-se
uma série de curvas de rebaixamento, referentes a uma distância aproximada do
poço de mr 10≅ , representando as variações em relação ao tamanho do elemento
interceptado nos valores de 0.1m, 0.5m e 1m, sendo, ainda, representado o caso do
poço discreto. A curva da solução de Neumann que se ajustou às séries de
resultados, apresentados na figura 39, é aquela que tem 0.2=λ , sendo 2
=brλ .
Figura 39-Curvas comparativas dos resultados numéricos obtidos com a solução
de Neumann (1975), a uma distância mr 10≅ do poço.
Na figura 40, tem-se as mesmas condições do modelo e os resultados se
referem a uma distância mr 15≅ . A curva da solução de Neumann que se ajustou
às séries de resultados, é aquela que tem 0.5=λ .
Neumann [1972]
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E-06 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04
ua - ub
Wu(
ua,u
b,n)
Neumann (f=2.0) r = 10.19 m / discreto r = 10.67 m / e=0.1 r = 10.64 m / e=0.5 r = 9.97 m / e=1
100
Figura 40-Curvas comparativas dos resultados numéricos obtidos com a solução
de Neumann (1975), a uma distância mr 15≅ do poço.
Observa-se um bom ajuste da curva que apresenta o menor elemento, ou
seja, quanto mais refinada a malha, melhor é o resultado. Porém, o erro existe nos
períodos inicias do rebaixamento, sendo minimizado para tempos maiores, de
acordo com a solução numérica de Neumann (1975).
As figuras 41 e 42 mostram a aplicação do algoritmo em um grupo de oito
poços.
Neumann [1972]
1.E-04
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E-06 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04
ua - ub
Wu(
ua,u
b,n)
Neumann (f=5.0) r = 15.33 m / discreto r = 15.66 m / e=0.1 r = 15.49 m / e=0.5 r = 15.81 m / e=1
101
Figura 41-Visualização do rebaixamento da superfície freática.
Figura 42-Visualização em corte do rebaixamento da superfície freática.
6.2. Elemento de dreno subhorizontal
Na pesquisa bibliográfica efetuada não foi encontrada uma solução analítica
para o caso de drenos subhorizontais, nisto procurou-se aqui propor uma
metodologia de cálculo considerando as propriedades geométricas e hidráulicas de
um elemento de dreno, descritos nos itens 4.53 e 4.54.
102
O estudo desenvolvido por Kenney et al (1977) apresenta algumas
considerações iniciais para um pré-dimensionamento como a primeira estimativa
do número, comprimento e espaçamento dos drenos relacionados com o
acréscimo do fator de segurança. Porém seus modelos não possuem informação
quanto aos parâmetros não saturados para uma possível comparação.
O modelo utilizado para as analises possui dimensões de 10m x 10m x 5m,
em x, y e z respectivamente. As condições de contorno aplicadas às malhas é
carga hidrostática constante em uma das faces ( ).0=x e condição de face de
percolação, segundo Simunek et al (1994), na face oposta ( )10=x (figura 43).
Figura 43-Malha tridimensional para a análise do dreno.
O dreno subhorizontal foi aplicado com diâmetros de
1′′ , ″4/11 , ″2/11 , ″4/31 , 2 ′′ .
x y
z
Face de percolação
Carga hidrostática
NA
103
O modelo apresenta uma região não saturada do solo, sendo necessário
determinar os parâmetros não saturados do mesmo. A característica do solo
empregada está mostrada na tabela 4.
Tabela 4-Parâmetros do solo não saturado de acordo com o modelo de van Genuchten,
para o caso do dreno subhorizontal (Simunek e outros, 1994)
rθ sθ sK n α
0.02 0.3 0.6 1.964 0.41
Os parâmetros foram obtidos dos exemplos do manual do usuário do
programa SWMS (Simunek, 1994), para o solo tipo arenoso.
A figura 44 e 45 mostra as isopressões de um modelo em corte e em
perspectiva, respectivamente, sem dreno subhorizontal, sendo o limite inferior das
isopressões igual à superfície freática.
Figura 44-Isopressão da condição inicial aplicada ao modelo.
104
Figura 45-Vista geral das isopressões da condição inicial aplicada ao modelo.
A seguir são apresentadas as figuras das simulações em corte e em
perspectiva dos drenos subhorizontais com diâmetros de 1′′ , ″4/11 , ″2/11 , ″4/31 , 2 ′′ e
inclinação de 0.05%, aplicado na metade da distância em x.
Figura 46-Corte longitudinal – Dreno 1′′=φ .
105
Figura 47- Corte transversal na saída do dreno – Dreno 1′′=φ .
Figura 48-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno 1′′=φ .
106
Figura 49-Corte longitudinal – Dreno ″
= 41
1φ .
Figura 50-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno ″
= 41
1φ .
107
Figura 51-Corte longitudinal – Dreno″
= 21
1φ .
Figura 52-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno ″
= 21
1φ .
108
Figura 53-Corte longitudinal – Dreno″
= 43
1φ .
Figura 54-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno ″
= 43
1φ .
109
Figura 55-Corte longitudinal – Dreno 2 ′′=φ .
Figura 56-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno 2 ′′=φ .
110
As figuras 57 e 58 apresentam a instalação de grupos de drenos, sendo a
primeira com dois drenos e a segunda com duas linhas de dois drenos espaçados
de um metro.
Figura 57-Vista Geral – visualização da superfície freática para modelo com 2
drenos subhorizontais com de ″
= 41
1φ , espaçados de 3.333m na horizontal.
111
Figura 58-Vista Geral – visualização da superfície freática para modelo com 4
drenos subhorizontais com de ″
= 41
1φ , espaçados de 3.333m na horizontal e de 1m na
vertical.
112
A figura 59 mostra o crescimento da vazão do dreno em relação ao aumento
do diâmetro aplicado. Observa-se que para diâmetros maiores a vazão tende a ser
constante. O crescimento registrado, quando se compara o resultado do dreno de
1′′ com o de 2 ′′ , é de 9.88%.
Figura 59-Variação da vazão em relação ao diâmetro aplicado, sendo i igual a
inclinação do dreno subhorizontal.
Vazão x Diâmetro
0.3
0.305
0.31
0.315
0.32
0.325
0.33
0.335
2.5 3 3.5 4 4.5 5Diâmetro (cm)
Vazã
o (l/
s)
i =0.05%
113
6.3. Resultados Bidimensionais
Todo o algoritmo passou por uma primeira implementação na versão 2D do
programa de fluxo. Como o comportamento do fluxo em poços e drenos é de
caráter tridimensional, os resultados obtidos são qualitativos e representaria o
valor correspondente a seção média do espaçamento entre linhas drenantes.
O modelo do poço é representado com um domínio de 10 x 5m com uma
carga hidrostática de 4.5m aplicadas nos contornos laterais. Para o modelo do
dreno subhorizontal o domínio tem 5 x 5m com aplicação de uma carga
hidrostática de 5 m no contorno lateral direito, sendo o outro especificado como
face de percolação.
114
CARGA PRESSÃO
+0.00E+000+2.25E-001+4.50E-001+6.75E-001+9.00E-001+1.13E+000+1.35E+000+1.58E+000+1.80E+000+2.02E+000+2.25E+000+2.48E+000+2.70E+000+2.92E+000+3.15E+000+3.38E+000+3.60E+000+3.83E+000+4.05E+000+4.28E+000+4.50E+000
Figura 60-Poço em aqüífero não saturado e inserido em malha discreta.
115
CARGA PRESSÃO
+0.00E+000+2.25E-001+4.50E-001+6.75E-001+9.00E-001+1.13E+000+1.35E+000+1.58E+000+1.80E+000+2.02E+000+2.25E+000+2.48E+000+2.70E+000+2.92E+000+3.15E+000+3.38E+000+3.60E+000+3.83E+000+4.05E+000+4.28E+000+4.50E+000
Figura 61-Poço em aqüífero não saturado e inserido em malha qualquer (Tipo 1).
116
CARGA PRESSÃO
+0.00E+000+2.25E-001+4.50E-001+6.75E-001+9.00E-001+1.13E+000+1.35E+000+1.58E+000+1.80E+000+2.02E+000+2.25E+000+2.48E+000+2.70E+000+2.92E+000+3.15E+000+3.38E+000+3.60E+000+3.83E+000+4.05E+000+4.28E+000+4.50E+000
Figura 62- Poço em aqüífero não saturado e inserido em malha qualquer (Tipo 2).
117
CARGA_PRESSAO
+0.00E+000+2.50E-001+5.00E-001+7.50E-001+1.00E+000+1.25E+000+1.50E+000+1.75E+000+2.00E+000+2.25E+000+2.50E+000+2.75E+000+3.00E+000+3.25E+000+3.50E+000+3.75E+000+4.00E+000+4.25E+000+4.50E+000+4.75E+000+5.00E+000
Figura 63-Dreno subhorizontal discreto na malha, para um tempo de simulação de 0.6 dias.
118
CARGA_PRESSAO
+0.00E+000+2.50E-001+5.00E-001+7.50E-001+1.00E+000+1.25E+000+1.50E+000+1.75E+000+2.00E+000+2.25E+000+2.50E+000+2.75E+000+3.00E+000+3.25E+000+3.50E+000+3.75E+000+4.00E+000+4.25E+000+4.50E+000+4.75E+000+5.00E+000
Figura 64-Dreno subhorizontal discreto na malha, em regime permanente.
119
CARGA_PRESSAO
+0.00E+000+2.50E-001+5.00E-001+7.50E-001+1.00E+000+1.25E+000+1.50E+000+1.75E+000+2.00E+000+2.25E+000+2.50E+000+2.75E+000+3.00E+000+3.25E+000+3.50E+000+3.75E+000+4.00E+000+4.25E+000+4.50E+000+4.75E+000+5.00E+000
Figura 65-Dreno subhorizontal em malha qualquer, para um tempo de simulação de 0.6 dias.
120
CARGA_PRESSAO
+0.00E+000+2.50E-001+5.00E-001+7.50E-001+1.00E+000+1.25E+000+1.50E+000+1.75E+000+2.00E+000+2.25E+000+2.50E+000+2.75E+000+3.00E+000+3.25E+000+3.50E+000+3.75E+000+4.00E+000+4.25E+000+4.50E+000+4.75E+000+5.00E+000
Figura 66-Dreno subhorizontal em malha qualquer, em regime permanente.
&RQFOXVHV
O principal objetivo desta pesquisa foi desenvolver uma ferramenta
numérica capaz de simular o fluxo em meios porosos quanto ao aspecto de
drenagem, implementando os elementos drenantes na malha do solo,
representados por poços e drenos subhorizontais. Os programas de fluxo
utilizados foram SWMS_2D e SWMS_3D (Simunek e outros, 1994 e 1995).
A inclusão da linha drenante na malha de elementos finitos, representando o
poço ou dreno subhorizontal, passa interceptando uma série de elementos finitos,
gerando os elementos drenantes. A estratégia numérica baseia-se no cálculo da
vazão gerada no elemento drenante e a distribuição para os nós do elemento
interceptado, através das funções de interpolação armazenadas na matriz
transformação.
A validação da implementação do elemento de poço foi feita comparando as
soluções analíticas e numéricas que dispunha na literatura. As soluções analíticas
possuem uma série de simplificações impostas ao modelo que, muitas das vezes,
não representam a realidade.
As validações do poço confinado apresentaram resultados satisfatórios
quando comparados com a solução analítica de Theis (1935), e com a solução
numérica de Sudicky et al (1995) que inclui o efeito de armazenamento do poço.
As validações para o caso de poços não confinados foram feitas através de
comparações com a solução aproximada (analítica) de Neumann (1975). Os
resultados obtidos apresentaram uma discrepância, na fase inicial do rebaixamento
(item 6.1.2.2), provavelmente associado ao tamanho do elemento interceptado e
devido a não linearidade da região não saturada do solo. Entretanto, do ponto de
vista pratico, os resultados finais podem ser considerados satisfatórios,
principalmente para a condição de fluxo permanente.
A ferramenta numérica desenvolvida é capaz de analisar o comportamento
de poços em qualquer estratigrafia e topografia. Além de simular o efeito das
condições atmosféricas que alimentam o aqüífero.
122
Para os drenos subhorizontais foi proposta uma metodologia de cálculo,
baseado no comportamento hidráulico do elemento de dreno. Suas validações não
foram realizadas devido à falta de modelo comparativo na literatura, podendo
ainda ser feito em comparação com dados de campo ou, ainda, com modelos
reduzidos em laboratório. O estudo de Kenney et al (1977) visa à aplicação dos
drenos em modelo reduzido, porém seus modelos não apresentam parâmetros
necessários para uma analise comparativa.
Para o elemento de dreno o modelo de cálculo da permeabilidade foi
inspirado pela formulação de Manning, devido ao comportamento do escoamento
podendo ser em seção parcial como em um canal aberto. A equação 4.79 define o
valor da permeabilidade, sendo esta altamente não linear e quando somada à não
linearidade do solo pode-se gerar algumas instabilidades numéricas na hora de
convergir o resultado. Cabe aqui a sugestão de melhorar este modelo adicionando,
se necessário, os efeitos de inércia que podem ser gerados caso as velocidades
forem significativas, já que na hidráulica isto e representativo.
Todo o algoritmo passou por uma primeira implementação na versão 2D do
programa de fluxo. Como o comportamento do fluxo em poços e drenos é de
caráter tridimensional, os resultados obtidos representariam o valor
correspondente à seção média do espaçamento entre linhas drenantes. Como não
existe solução analítica para as validações os resultados são apenas qualitativos.
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