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Guia do Professor

Um Triângulo Fractal Especial

Série Mundo da Matemática

Conteúdos Digitais

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DISTRIBUIÇÃO GRATUITAIMPRESSO NO BRASIL

Coordenação Geral

Elizabete dos Santos

Autores

Bárbara Nivalda Palharini Alvim SouzaKarina Alessandra Pessôa da SilvaLourdes Maria Werle de AlmeidaLuciana Gastaldi Sardinha SouzaMárcia Cristina de Costa Trindade CyrinoRodolfo Eduardo Vertuan

Revisão Textual

Elizabeth Sanfelice

Coordenação de Produção

Eziquiel Menta

Projeto Gráfico

Juliana Gomes de Souza Dias

Diagramação e Capa

Aline SentoneJuliana Gomes de Souza Dias

Realização

Secretaria de Estadoda Educação do Paraná

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O mundo da matemática

Audiovisual “Um Triângulo Fractal Especial”

1 Introdução

No audiovisual “Um Triângulo Fractal Especial”, episódio 6 do programa “O Mundo da Matemática”, Julinho precisa aprender como se calcula o perímetro do Triângulo de Sierpinski, e pede ajuda para Rafa. As cenas apresentadas nesse episódio podem oferecer oportunidade para retomar a discussão sobre conceito de perímetro, cálculo do períme-tro dos triângulos obtidos nas diversas iterações do Triângulo de Sierpinski, desencadeada no episódio 5, e desenvolver o estudo da Função Exponencial e suas propiedades, bem como da Função Logarítmica e suas propriedades.

1.1 A geometria fractal

Ao calcularmos o perímetro de um quadrado, de um triângulo ou de um círculo, ob-temos quase sempre um mesmo resultado, ou valores muito próximos. Isto pode não acontecer com um fractal. Veja o exemplo a seguir. Suponhamos que se queira medir o comprimento da costa do litoral brasileiro de uma cidade A até uma cidade B.

Figura 1 – Representação de um trecho da consta do litoral brasileiro

Uma maneira de fazê-lo seria medir o comprimento de um segmento de reta que une A a B.

Figura 2 – Representação de um segmento de reta AB que une dois pontos de um trecho da consta do litoral brasileiro

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É óbvio que, devido à irregularidade da costa, o seu comprimento vai ser maior que o comprimento deste segmento de reta. Podemos, então, tomar como unidade de medida uma barra de comprimento H, por exemplo. Para medir o comprimento da costa, assumi-mos esta barra como parâmetro para medida da costa e verificamos o número de vezes que esta barra cabe ao longo da costa desde A até B. Chamaremos este número de C1, comprimento 1 da costa.

Novamente podemos notar que C1 não é o comprimento da costa, pois, entre os pontos A e C, por exemplo, o comprimento da costa não é o da barra. Para melhorar nossa medição, podemos tomar outra barra de menor tamanho, di-gamos, da décima parte da anterior, H/10, e repetir o procedimento obtendo para o comprimento da costa o número C2. Novamente, podemos afirmar que C2 não é o tamanho da costa. Podemos continuar indefinidamente desta maneira, tomando unidades cada vez menores. Intuitivamente, esperamos que a sucessão de valores que se obtém para os comprimentos da costa, medidas desta maneira, tende a alcançar um valor bem definido que represente o comprimento da costa. No entanto, isto não ocorre. O que sucede é que essa sucessão de valores para os comprimentos aumenta cada vez mais, isto é, o comprimento da costa entre A e B tende a um valor infinito. Este resultado surpreendente pode ser explicado se observarmos o seguinte: vendo a costa em um mapa de escala 1/100 000, nos daremos conta de que há algumas baías e penínsulas. Se, em seguida, voltarmos a examinar a mesma costa, mas agora em um mapa que tenha escala 1/10 000, ou seja, em uma escala mais ampla, apare-cerão características que não se viam no mapa anterior. Agora se veem novas baías e novas penínsulas. Continuando-se a examinar a costa, mas em uma mapa que esteja em uma escala maior, digamos de 1/1000, aparecerão novas baías e penínsulas que não se viam em nenhum dos mapas anteriores. Assim podemos continuar indefini-damente, ao ir mudando de escala, o comprimento vai aumentando porque mais detalhes vão aparecendo. A mesma situação ocorre quando se mede a fronteira entre dois países. O inglês L. F. Richardson mencionou que cada país dá um valor diferente do comprimento de sua fronteira comum. Por exemplo, a Espanha diz que a sua fronteira com Portugal mede 987 Km, enquanto Portugal afirma que são 1214 Km; segundo a Holanda, sua fronteira com a Bélgica mede 380 Km, enquanto que a Bélgica reclama que são 449 Km. O que ocorre é que, ao fazer suas medições, cada país utilizou um valor da unidade H e por conta disso, obteve outro valor para o comprimento. Toda essa discussão leva à conclusão de que o comprimento (perímetro) de certos tipos de objetos, como os fractais, não tem um valor determinado. O comprimento depende da unidade H que se escolhe. Se dois observadores escolhem duas unida-des distintas, obterão resultados distintos, e ambos terão razão.

(Texto adaptado de Braun, E., 2003. Caos, Fractales y cosas raras. La Ciencia para Todos. México, 1996).

Figura 3 – Representação de segmentos de reta de medida H em um trecho da consta do litoral brasileiro

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2 Objetivos

• Calcular a quantidade de triângulos obtida nas diversas iterações do Triângulo de Sierpinski.• Calcular o tamanho do lado dos triângulos obtidos nas diversas iterações do Triângulo

de Sierpinski.• Definir e analisar Função Exponencial e suas propriedades.• Definir e analisar Função Logarítmica e suas propriedades.

3 Sugestão de atividade

Após assistir ao vídeo, o professor pode propor atividades que permitam aos alunos refletir, questionar e aprofundar conchecimentos sobre os conteúdos abordados. A seguir apresentamos algumas sugestões.

Atividade 1- Construção de um Triângulo de Sierpinski, quantidade de triângulos e medida de seus lados.

No início do século XX, o matemático polonês Waclav Sierpinski (1882-1969) estudou

uma figura geométrica que ficou conhecida por Triângulo de Sierpinski, que se obtém

como limite de um processo iterativo.

Construa um Triângulo de Sierpinski, pelo processo de remoção de triângulos, a partir

das informações a seguir.

1. Construa um triângulo equilátero1 qualquer.

2. Em seguida, determine os pontos médios de cada um dos lados do triângulo.

3. Lige os pontos médios, obtendo desta forma quatro triângulos equiláteros menores.

4. Retire o triângulo central.

5. Continue o processo por mais duas vezes2 , a partir do segundo passo, para os triân-

gulos restantes.

Considerando que na iteração 0 temos um triângulo equilátero de lado l , determine

a quantidade de triângulos f(x) e o tamanho de seus lados g(x) em função das iterações x

seguintes, e construa preencha a tabela a seguir.

Interação x Número de triângulas f(x) Comprimento de cada lado g(x)

0 1 l

1

2

3

6

...

x

1 Sugere-se um triângulo equilátero por motivo estético e de simplicidade, mas poderia ser feito com triângulo qualquer.

2 É importante chamar a atenção do aluno para o fato de que no Triângulo de Sierpinski o processo se repete infinitamente.

Comentários para o professor:

Seguindo as instruções os alunos vão obter algo semelhante ao da Figura 4.

Figura 4 – Primeiras iterações de construção do Triângulo de Sierpinski pelo Processo de Remoção de triângulos

Iteração 0 Iteração 1 Iteração 2 Iteração 3

Apresentamos a seguir a tabela preenchida.

Interação x Número de triângulas f(x) Comprimento de cada lado g(x)

0 1 l

1 31.2

2 9=32

21 1. .4 2

=

3 27 = 33

31 1. .8 2

=

...

x 3x1.2

x

Tabela 1 – Quantidade de triângulos e tamanho de seus lados das primeiras iterações do Triângulo de Sierpinski

Atividade 2 – Análise das funções exponenciais geradas pelo Triân-gulo de Sierpinski

A partir da tabela da atividade 1 determine a função f(x) que representa a quantidade de triângulos em função de cada iteração x e a função g(x) que representa o tamanho do lado de cada triângulo encontrado em cada iteraçãox.

Analise as funções f(x) e g(x).

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Comentáriosparaoprofessor:

A primeira coluna diz respeito à iteração. A iteração é processo de repetir uma ou mais ações. Na iteração 0, o triângulo está em sua forma original, na iteração 1 o processo é iniciado e é feito uma vez. Na iteração 2, o procedimento é repetido uma vez, na iteração 3, o processo é repetido 2 vezes e assim por diante.

A segunda coluna diz respeito ao número de triângulos restantes. A terceira coluna apresenta o comprimento de cada lado do novo triângulo obtido em função do compri-mento inicial l.

Analisando a coluna do número de triângulos (na Tabela1) é possível observar que a cada iteração essa quantidade aumenta, resultando em uma função exponencial crescen-te de base 3:f(x)=3x.

Esta função pode ser explorada, fazendo-se o seu gráfico, de R em R.

Fazendo uma análise da coluna comprimento de cada lado percebemos que essa gera

uma função exponencial decrescente de base 12

. Este vai interceptar o eixo y no valor

escolhido como medida do lado inicial. Abaixo pode-se visualizar o gráfico da função de

R em R, 1( ) 5.2

x

f x =

:

O professor pode aproveitar a oportunidade para discutir com os alunos a definição e

as propriedades de uma função exponencial.

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Atividade 3 – Quantidade de iterações e o perímetro do Triângulo de Sierpinski

Para o perímetro do Triângulo de Sierpinski atingir o comprimento do cadarço do tênis da Júlia, que mede 51 cm, quantas iterações devem ser feitas?

Comentáriosparaoprofessor:

A partir do episódio 5 e das indicações de atividades do guia do professor, os alunos já terão obtido a função que representa o perímetro do Triângulo de Sierpinski, indicado no quadro como a n-ésima iteração do triângulo, ou seja, à regra geral para o perímetro

do triângulo 1 1( ( ) 3 )2

xxP x += ⋅ .

Dado um número real a (a > 0 e a ≠ 1), a função exponencial de base a, f :IR ⇒ IR+,indicada pela notação f(x) = ax, deve ser definida de modo a ter as seguintes proprieda-des, para quaisquer x, y ∈ IR:

1. f (x + y) = f(x) . f(y)

2. a1 = a

3. Se a > 1, f é crescente.x < y ⇒ f(x) < f(y)

4. Se 0 < a < 1, f é decrescente.x < y ⇒ f(x) > f(y)

Para resolver o problema, os alunos terão que determinar para qual valor de x tem-se

que P(x)=51 :

1 13 512

13 3 512

3 512 3

3 51log log2 3

1,23 6,990,176

xx

xx

x

x

x

+ ⋅ =

⋅ ⋅ =

=

⋅ =

= =

Como 6,99 não é um número inteiro, precisamos aproximar para um número inteiro superior mais próximo para termos o número de iterações necessárias que, nesse caso, é 7. Temos que fazer 7 iterações.

O professor pode aproveitar a oportunidade para discutir como pode ser obtido o va-

lor de x na equação

1 13 512

13 3 512

3 512 3

3 51log log2 3

1,23 6,990,176

xx

xx

x

x

x

+ ⋅ =

⋅ ⋅ =

=

⋅ =

= =

, em que as bases são diferentes, e introduzir o conceito de logaritmo.

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Definição de LogaritmoIezzi et al. (2004) definem logaritmo como a seguir.Sendo a e b números reais positivos, com a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a o

expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b.

Em símbolos: se a, b ∈ IR, 0 < a ≠ 1 e b > 0, então:

log xa b x a b= ⇔ =

Em que, a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.O logaritmo de base 10 é chamado logaritmo decimal, sua representação é dada da

seguinte forma:

Consequência da Definição de LogaritmoDecorrem da definição de logaritmos as seguintes propriedades para 0 < a ≠ 1 e b > 0.1.ª O logaritmo da unidade em qualquer base é igual a 0.loga1 = 0

2.ª O logaritmo da base em qualquer base é igual a 1.logaa = 1

10log logb b=

Propriedades dos logaritmos1.ª Logaritmo do produtoEm qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmo do produto de dois fatores reais positivos

é igual à soma dos logaritmos dos fatores.loga(x . y) = logax + logay

2.ª Logaritmo do quocienteEm qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmo do quociente de dois fatores reais positivos

é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.

3.ª Logaritmo da potênciaEm qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmo de uma potência de base real positiva e

expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

4.ª Mudança de baseSe a, b e x são números reais positivos e a e b são diferentes de 1, então tem-se:

log log loga a bx x yy

= −

log logya ax y x=

logloglog

ba

b

xxa

=

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FUNÇÃOLOGARÍTMICA

DefiniçãoDado a > 0, a função exponencial f: IR → IR+ é definida por f(x) = ax.Sua inversa g: IR+ → IR é uma função logarítmica indicada pela notação:g(x) = logax.A função g(x) é crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1. Como a0 = 1,

tem-se loga1 = 0. É importante ressaltar que somente números positivos possuem logaritmo real, pois a função x → ax somente assume valores positivos.

Propriedades

1. log ( . ) log loga a ax y x y= +

2. log log loga a ax x yy

= −

3. log .logya ax y y=

log4. loglog

ba

b

xxa

=

4Avaliação

A avaliação pode ser realizada durante todo o desenvolvimento das atividades, por meio de questionamentos e preenchimento dos quadros. O professor pode aproveitar as respostas dos alunos para fazer as intervenções que julgar necessárias.

5Sugestõesdesítios

Os sítios a seguir podem oferecer interessantes motivações para pesquisas:http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/fractais.htmhttp://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/index.htmhttp://www.sbem.com.br/ocs/index.php/xenem/xenem/paper/view/637

6Indicaçõesdeleituras

BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. Belo Hori-zonte: Autêntica, 2002.

BARNSLEY, Michael. Fractals everywhere. San Diego: Academic Press, Inc., 1988.

Braun, Eliezer. Caos, Fractales y cosas raras. 3ed. México: Fondo de Cultura Económica, 2003.

PEITGEN, Heinz-Otto; JÜRGENS, Hartmut; SAUPE, Dietmar. Chaos and Fractals – New Fron-tiers of Science. New York: Springer-Verlag, 1992.

SAMETBAND, Moisés José. Entre El orden y El caos – La complejidad. 2ed. México: Fondo de Cultura Económica, 1999.

SPINADEL, Vera de; PERERA, Jorge G.; PERERA, Jorge H. Geometria Fractal. 2ed. Buenos Aires: Nueva Libreria, 1994.

TALANQUER, Vicente. Fractus, Fracta, Fractal – Fractales, de laberintos y espejos. 2ed. Mé-xico: Fondo de Cultura Económica, 2002.

Realização:

Condigital

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