guía del estudiante doc maestro io-2016

8/18/2019 Guía Del Estudiante Doc Maestro IO-2016

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INVESTIGACION DEOPERACIONES Guia del Estudiante

El presente documento contiene el resumen de laspreparaciones de clase y se constituye en una guía de estudiocontiene un desarrollo teórico de los temas , con ejerciciosmodelo y talleres para desarrollar en clase y fuera de ella

Ing. Luis Humberto Ortega R.

04/02/2016

MATHUMBI


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Investigacion de operacionesMATHUMBI

2

4.9 Control de proyecto .................................................................................................................................. 74

4.10 Ejercicios y Talleres ................................................................................................................................... 75

5 Otros tipos de programación ............................................................................................................................. 79

5.1 Programación dinámica ............................................................................................................................ 79

5.2 Programación entera ................................................................................................................................ 81

5.3 Programación no lineal ............................................................................................................................. 82


6 Otras aplicaciones .............................................................................................................................................. 84

6.1 Modelos de Inventarios ............................................................................................................................ 84

6.2 Simulación ................................................................................................................................................. 85


7 APENDICES ......................................................................................................................................................... 88

7.1 SOLVER ...................................................................................................................................................... 88

7.2 WIN QSB .................................................................................................................................................... 89

7.2.1 Modelos de Programación Lineal Maximización y Minimización ........................................................ 89

7.2.2 Modelo de Transporte .......................................................................................................................... 90

Bibliografía ................................................................................................................................................................. 92


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1 Generalidades

El principal objetivo de esta área de conocimientos consiste en formular y resolver diversos problemas

orientados a la toma de decisiones.

La naturaleza de los problemas abordados puede ser determinística, como en los Modelos de Programación

Matemática, donde la teoría de probabilidades no es necesaria, o bien de problemas donde la presencia de

incertidumbre tiene un rol preponderante, como en los Modelos Probabilísticos.

Hoy en día, la toma de decisiones abarca una gran cantidad de problemas reales cada más complejos y

especializados, que necesariamente requieren del uso de metodologías para la formulación matemática de

estos problemas y, conjuntamente de métodos y herramientas de resolución, como los que provee la

Investigación de Operaciones


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PARTE 1. MODELOS DE PROGRAMACION


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5

2 Programación lineal

2.1 Introducción a la programación lineal

2.1.1 Generalidades

La Programación Lineal se considera como una parte de la Investigación de Operaciones. En este capitulose resuelven problemas que contienen dos variables. Para ello es necesario partir de funciones einecuaciones lineales, por lo que procederemos a revisar su concepto y sus gráficas, con el propósito dehallar regiones factibles compuesta de puntos que satisfacen unas restricciones y poder optimizar la funciónobjetivo.

2.1.2 Desigualdades Lineales

Una función lineal puede ser expresada de las siguientes formas

+ Ecuación pendiente ordenada en el orígen

+ + 0 Ecuación generalEjemplo: La ecuación de la recta 2 + 3 4 0 , puede expresarse asi:2 + 3 6

23 + 43 Donde

Pendiente de la recta

Punto de corte de la recta con el eje ""

Con esta breve explicación procederemos a graficar en el mismo plano varias desigualdades en dosvariables, que corresponden a un problema práctico que veremos más adelante:

Ejemplo La función objetivo y las restricciones para cierto problema de producción son:


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6

5 + 6 Sujeta a: + ≤ 80 3 + 2 ≤220

2 + 3 ≤210

, ≥ 0 Graficar la región del plano que representa las restricciones en forma de desigualdades

Graph Limited School Edition

x1

x2

Cálculos y Operaciones:

+ ≤ 80 3 + 2 ≤220 2 + 3 ≤210 A continuación podemos observar la gráfica de la región que cumple simultáneamente con todas las

restricciones en forma de inecuaciones y que da origen a una región del plano cartesiano.


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7

5 5 2 25 3 35 4 45 5 55 6 65 7 75 8 85 9 95 5 5

2

4

6

8

x2

(0,0)73.33 0

(0,70)

(30,50)

(60,20)

2.2 Modelos y solución de problemas de programación lineal

2.2.1 Métodos de solución. Procedimiento

Establecer modelos matemáticos basados en la vida real es uno de los temas más atractivos de las cienciasadministrativas y de ingeniería y su objetivo está basado en tomar decisiones óptimas. De esta forma,formulamos un modelo de programación lineal, así la “carreta” se convierte en inecuaciones o ecuaciones .

La programación lineal hace uso de un modelo matemático para describir un problema de la vida real. Comotodo modelo es ideal, basado en funciones lineales, una de ellas es la función objetivo a optimizar (maximizaro minimizar), sujeta a restricciones.

La formulación de un modelo lineal requiere realizar los siguientes pasos:

1. Lea cuidadosamente el problema2. Realice un cuadro matriz donde se encuentren los datos de la “carreta” 3. Defina las variables de decisión4. Establezca la función objetivo ( Maximizar o Minimizar)5. Defina las restricciones6. Formule el modelo matemático7. Grafique y establezca la región factible8. Determine los vértices de la región factible9. Evalúe los vértices en la función objetivo10. Seleccione la solución óptima del problema11. Si el problema contiene más de dos variables, resulta conveniente utilizar otros métodos12. Resuelva el problema e interprete el resultado y sea obediente en realizar estos pasos


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El modelo general de programación lineal se presenta en la siguiente forma

: + + +……. + Sujeto a:

+ + + ⋯ + ≤ ≥ + + + ⋯ + ≤ ≥ + + + ⋯ + ≤ ≥ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ + + + ⋯ + ≤ ≥ ≥ 0 ; 1 , 2 , 3 … … … .

2.2.2 Método Gráfico

Es aplicable a problemas de programación lineal, donde intervienen dos variables únicamente. Por estemétodo se busca maximizar o minimizar una función objetivo, sujeto a ciertas restricciones expresadas enforma de desigualdades o inecuaciones lineales que pueden ser horas disponibles en mano de obra omáquinas, recursos financieros, cantidades de materia prima.

Para realizar el procedimiento descrito anteriormente, debemos previamente definir algunos términos que seutilizan en su desarrollo:

Región factible. Es el conjunto de todos los puntos del plano cartesiano, considerados en el primer cuadrantey que satisfacen simultánemaente todas las restricciones del problema.

Punto de esquina o vértice de la región factible. Es un punto de intersección de dos rectas que son fronterade la región factible del problema.

Pasos para resolver el problema con el método gráfico.

1. Definir variables de decisión 2. Plantear el modelo matemático, el cual debe contener la función objetivo y las restricciones. 3. Graficar cada restricción, primero como una linea recta y luego la región correspondiente a la

inecuación planteada, con el propósito de hallar la región factible. 4. Determinar las coordenadas de los puntos de esquina o vértices , del área hallada. 5. Sustituir las coordenadas obtenidas en la función objetivo, mediante un proceso tabular. 6. Seleccionar la solución óptima del problema. En un problema de maximización el mayor “Z” producido

y en uno de minimización el menor valor.

Ejemplo 1 Guía

La constructora Moraría Ltda., va a construir apartamentos de dos tipos: dos y tres alcobas, la empresaconstructora dispone para ello de $2.100 millones de peso. Siendo el costo de 20 y 26 millonesrespectivamente. Una norma distrital no permite que el número total de apartamentos sea superior a 90. Lautilidad por la venta para un apartamento de 2 y 3 alcobas es de 5 y 6 millones respectivamente. Qué cantidadde apartamentos de cada clase debo construir para obtener la máxima utilidad.

La anterior “carreta” se puede condensar en la siguiente tabla


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Ejemplo 1 Constructora

Dos alcobas Tres alcobas

VARIABLES x1 x2 Disponibilidad

Cantidad de Apartamentos 1 1 90

Recursos en millones de $ 20 26 2100

Utilidad por Apartamento 5 6

Tipo de Apartamento

Las variables de decisión:

: No de apartamentos a construir de dos alcobas: No de apartamentos a construir de tres alcobasLa función objetivo, consiste en construir una cantidad óptima de apartamentos de cada tipo para obtener lamáxima utilidad:

5 + 6

Sujeto a: + ≤ 90 20+26 ≤ 2100 , ≥ 0 La región factible básica y la función solución se grafican de la siguiente forma:

Graph Limited School Edition

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6

2

3

4

5

6

7

8

x1

x2

40,50

A

B

C

D

0,80.77

90,0

0,0

La región factible básica está definida por los vértices A,B,C,D. Si hallamos las coordenadas de dichos puntosy se reemplazan en la función objetivo, el valor máximo que nos arroje tal función es la solución del problema.

Este procedimiento lo plasmamos en la siguiente tabla:


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Puntos x1 x2 Z

A 0 0 0

B 0 80,77 484,62

C 40 50 500,00

D 90 0 450,00

En consecuencia, se deben construir 40 apartamentos de dos alcobas y 50 de tres alcobas. De otra parte seobserva que la función Z (objetivo) igual a 500 millones de pesos pasa por el punto (40,50) y que las rectasparalelas, a pesar de pertenecer a la región no son óptimas puesto que arrojan una utilidad menor.

Ejemplo 2 Guía

En el jardín infantil “Delta” se ha establecido que a cada niño en la semana se le debe proporcionar máximo480 miligramos de vitaminas, mínimo 180 miligramos de hierro y mínimo 180 miligramos de minerales. Paralograr estos requisitos vitamínicos en el jardín se dispone de leche y fruta para los cuales se ha establecidoun costo de $400 por un vaso de leche y $500 por una porción de fruta. Establezca que cantidad de leche yfruta, con costo mínimo se le debe administrar diariamente a cada niño, si sabe que un vaso de leche contiene6 miligramos de vitaminas, 3 miligramos de hierro y 6 miligramos de minerales, mientras que una porción defruta contiene 8 miligramos de vitaminas, 6 miligramos de hierro y 3 miligramos de minerales.

Ejemplo 2 Dieta Jardín Inf Mezcla Alimentos

Vasos de leche porción de fruta

VARIABLES x1 x2 DisponibilidadVitaminas mgr 6 8 480

Hierro mgr 3 6 180

Minerales mgr 6 3 180

Costos Unitarios $ 400 $ 500

Variables de decisión vasos de leche

porción de fruta

Modelo matemático de solución:

4 0 0 +500 Sujeta a:

6 + 8 ≤ 480 miligramos de vitamina, Recta BC3 + 6 ≥ 180 miligramos de hierro, Recta AB6 + 3 ≥ 180 miligramos de minerales, Recta BA

,

≥

0

Siguiendo los pasos anteriores obtenemos:


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Graph Limited Scho ol Edition

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5

2

3

4

5

6

7

x1

x2

C

Puntos x1 x2 Z

A 20 20 18.000

B 0 60 30.000

C 80 0 32.000

D 60 0 24.000

La solución está dada por el punto A (20,20) que nos arroja el menor valor. Se interpreta diciendo que a cadaniño se le debe suministrar 20 vasos de leche y 20 porciones de fruta en la semana, para lograr que los costossean mínimos y que no se vayan a enfermar y a crecer desnutridos estos cabezones.


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2.3 Problemas con múltiples soluciones no acotados y degenerados

CASO 1. Soluciones óptimas - múltiples. 1

Cuando la función objetivo alcanza el valor óptimo en más de un vértice de la región factible. En tal caso se

concluye que el problema tiene múltiples soluciones alternativas.

Ejemplo 3

2 + 4 Sujeto a: + 4 ≥ 8 +2 ≤ 16

,

≥ 0

El problema tiene infinitas soluciones a lo largo de la recta BC

CASO 2. No factibilidad. 2

Se presenta cuando no existe region factible básica, es decir, la intersección de las regiones determinadas por las

restricciones es vacía.

Ejemplo 4

3 + 4

Sujeto a:

1 Bibliografía Algebra Lineal y Programación Lineal. Francisco Soler y otros. Pag. 282 con ciertas modificaciones. 2 Bibliografía Algebra Lineal y Programación Lineal. Francisco Soler y otros. Pag. 283 con ciertas modificaciones.

Puntos x1 x2 Z

A 0 2 8

B 0 8 32

C 8 4 32

A

B

C


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+ ≤ 40 +2 ≥ 100 , ≥ 0

Conclusión: No existe solución. La región central entre las dos rectas es vacía, no poseee elementoscomunes.

CASO 3. No acotamiento. 3

La solución de un problema de programación lineal se puede extender hasta el infinito, o sea, hasta donde se

quiera, por tal motivo la región no tiene cotas superiores.

Ejemplo 5

4 0 +20 Sujeto a: ≤ 10 ≥ 4 , ≥ 0

3 Bibliografía Algebra Lineal y Programación Lineal. Francisco Soler y otros. Pag. 283 con ciertas modificaciones.


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La función objetivo aumenta indefinidamente cuando x1, tiende infinito, mientras que x2 crece hasta alcanzar

un valor máximo de 10, cualesuiera de puntos ordenados dentro de la región máximiza la función objetivo.


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2.4 Ejercicios y Talleres

Método Gráfico

Hallar el valor de Z y las soluciones al modelo de programación lineal

1. 5 + Sujeta a 3 + ≤ 7 + ≤ 3 +2 ≤ 5 , , ≥ 0

2. + Sujeta a +3 ≥ 6 2 + ≥ 7 , , ≥ 0

3. 3 + 2 Sujeta a

2 8 ≤ 16

2 +4 ≤ 32 , , ≥ 0 4.

10 8 Sujeta a +2 ≥ 4 5 +2 ≥ 12

,

, ≥ 0

Problema práctico 1. 4

Una fábrica de muebles produce dos tipos de escritorios, Tipo I y Tipo II, en los departamentos de corte,armado y acabado. El número de horas disponibles en cada departamenro son de 80 h, 220 h y 210 hrespectivamente. La utilidad para cada unidad de escritorios del Tipo I y del Tipo II son US$5 y US$6 y lashoras que se requierenen la producción de cada departamento para cada tipo de escritorio se da en lasiguiente tabla.

4 Bibliografía Algebra Lineal y Programación Lineal. Francisco Soler y otros. Pag. 262


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Cuántas unidades de cada tipo se deben fabricar mensualmente para maximizar la utilidad y cuál es dichautilidad? ¿Cuántas horas no se utilizan en los respectivos departamentos?

R/ se deben fabricar 30 de Tipo I y 50 de Tipo II

Problema práctico 2. 5

Una compañía farmacéutica necesita tres productos químicos A, B, C, con el fín de producir un medicamentopara la hepatitis B. Las necesidades mínimas son de 80 unidades de A, 160 de B y 200 de C. Según la listade proveedores de la compañía eligen dos marcas de preferencia, por su calidad y bajo precio. La marca

“MIPEPA” cuesta US$ 2 la unidad y contienen 1 unidad de A, 3 de B y 5 de C; mientras que la marca“SEDOPA” cuesta US$2 la unidad y contiene 2 unidades de cada producto.

¿Cuántas unidades deben comprar de cada marca con el fin de minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo?

R/ Se deben comprar 40 unidades a MIPEPA y 20 unidades a SEDOPA para un costo mínimo de US$120sobrando 40 unidades del producto C, y utilizando 80 de A y 160 de B.

5 Bibliografía Algebra Lineal y Programación Lineal. Francisco Soler y otros. Pag. 272 con ciertas modificaciones.

Corte Armado Acabado

Tipo I 1 3 2

Tipo II 1 2 3


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2.5 El Método Simplex Primal

La investigación de operaciones en general y la programación lineal en particular recibieron un gran impulsogracias al uso de la informática y los computadores. La importancia radica en la utilización del métodosimplex, desarrollado por G.B. Dantzig en 1947, que consiste en la utilización de un proceso con el objetivo

de optimizar la función objetivo mediante la utilización de iteraciones, sujeta a ciertas restricciones. Enparticular es un procedimiento algebraico, basado en la solución de sistemas de ecuaciones, el que implicacálculos extensos, lo que permite que la computadora sea una herramienta esencial para resolver problemasde programación lineal. Por lo tanto, las reglas computacionales se adaptan para el cálculo automático.6

Para explicar el procedimiento de una manera entendible, tomamos como base, con algunas modificacionesnecesarias (proteger las marcas), el ejemplo prototipo con dos variables del texto de Hillier y Lieberman7 así:

Ejemplo 3 Guía

La fábrica NO SEVEUN… SC., “produce artículos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y

puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1,

los de madera en la planta 2; la 3 produce el vidrio y ensambla los productos. Debido a una reducción

de las ganancias, la alta administración ha decidido reorganizar la línea de producción de la

compañía. Se discontinuarán varios productos no rentables y se dejará libre una parte de la

capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos nuevos cuyas ventas

potenciales son muy prometedoras:

Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio

Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 por 6 pies

El producto 1 requiere parte de la capacidad de producción en las plantas 1 y 3 y nada en la planta

2. El producto 2 sólo necesita trabajo en las plantas 2 y 3. La división de comercialización ha

concluido que la compañía puede vender todos los productos que se puedan fabricar en las plantas.

Sin embargo, competirían por la misma capacidad de producción en la planta 3, no está claro cuál

mezcla de productos sería la más rentable.”

Por lo anterior, se ha decidido conformar un equipo de altos Ingenieros, preferiblemente de la UCC, paraestudiar este problema. Así es que se reunieron 5 de los más “excelsos vagos”, ingenieros de Sistemas,

Industriales, Telecomunicaciones y/o Electrónica, con la seguridad de que a un corto plazo tendrían larespuesta óptima.

La obtención de estimaciones, fue suministrada por los distintos departamentos de producción,comercialización y distribución, condensados en la Tabla 1.

Podemos partir del método gráfico, como para saber la respuesta, posteriormente comprobamos con elmétodo simplex a “pura mano” y remataremos nuestra faena con la utilización de un software( Excel en la

función solver ) y el Win QSB con diferentes funciones, las cuales desarrollaremos a continuación.

El método se desarrolla siguiendo los siguientes pasos:

1. Planteamiento del modelo de programación lineal

A. Resumen tabular de datos. La información se resume en la siguiente tabla:

6 Hamdy A. Taha (2004). Investigación de operaciones (7ª ed.). México: Pearson Educación. pp 71.7 Introducción a la Investigación de Operaciones. Novena Edición. Página 22


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B. Formulacióncomo un problema de programación lineal. La definición implica que las variables de decisión,se expresan de la siguiente manera:

Número de lotes del producto 1 que se fabrican por semana

Número de lotes del producto 2 que se fabrican por semana Ganancia semanal total (en miles de dólares) que generan estos dos productosEn lenguaje matemático, el problema consiste en calcular los valores de , , tales que: 3 + 5 Sujeta a las siguientes restricciones:

≤ 4 2

≤ 12

3 +2 ≤ 18

, , ≥ 0 2. Transformar las inecuaciones de las restricciones en ecuaciones. Cuando las restricciones son del

tipo ≤ , agregamos una nueva variable no negativa llamada variable de holgura ℎ concoeficientes 0 en la función objetivo y coeficientes 1 en cada una de las restricciones.

Forma aumentada del problema: 3 + 5 + 0ℎ + 0ℎ+0ℎ Sujeta a las siguientes restricciones:

+ ℎ 4 2 + ℎ 12 3 +2 + +ℎ 18 , , ℎ, ℎ, ℎ ≥ 0 3. Identificar las variables básicas y no básicas. En el caso de tener “n” variables (Incluyendo las de

holgura) y “m” ecuaciones, para hallar una solución básica, se igualan a cero “n-m” variables, lascuales se denominan no básicas, y las restantes se denominan variables básicas. El número de

variables básicas es igual al número de restricciones (ecuaciones). Por lo tanto el número de variablesno básicas es igual al número total de variables (5) menos el número de restricciones (3), total (2).

Tabla 1. Datos del Problema

Tiempo de Producción por

lote, horas

Producto Tiempo de producción

disponible a la

semana, horas

Planta X1 X2

1 1 0 42 0 2 123 3 2 18

Ganancia por lote $ 3.000 $ 5.000


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Tabla modelo

4. Elaborar una tabla inicial, ésta se presenta en general con el anterior formato, por lo que será útil pararesolver otros problemas, y en la cual se colocan los coeficientes del sistema de ecuaciones.

La solución y tabla inicial, nos arroja los siguientes resultados expresados en forma matricial , , ℎ, ℎ, ℎ 0,0,4,12,18 Prueba de Optimalidad. La solución básica para un problema de maximización es óptima si y sólo si todoslos coeficientes del renglón son negativos o ceros. Como se observa en la tab la ésta n o es laso lución óptim a.

5. Determinar la variable no básica que entra y la variable básica que sale y que ahora será no básica.En nuestro ejemplo modelo entra (En la última fila toma un valor de 5 el mayor de todos ellos) ysale ℎ (En la última columna el cociente es el menor, o sea 6).

A continuación, mediante operaciones de fila o renglón, vistas en algebra lineal como eliminación Gaussiana,transformamos la matriz original en matrices equivalentes hasta encontrar la solución, teniendo en cuenta laPrueba de Optimalidad.

ℎ → 022

010

Ver Tabla 2 1 0 10 2 03 2 0 0 0 41 0 1 20 1 1 8 → 1 0 10 1 03 0 0 0 0 41 / 2 0 6 1 1 6

Tabla 0 Base

/

-

Tabla 1 Base

3 5 0 0 0

/

0 1 0 1 0 0 4

0 0 2 0 1 0 12 0 3 2 0 0 1 18 - 0 0 0 0 0 0 3 5 0 0 0

Tabla 2 Base 3 5 0 0 0 / 0 1 0 1 0 0 4 No existe 0 0 2 0 1 0 12 6

0 3 2 0 0 1 18 9

0 0 0 0 0 0 3 5 0 0 0


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Entonces, la Tabla 2 se transforma en

Los coeficientes del renglón se hallan multiplicando cada por el coeficiente de cada variable y sumar

Por lo que se observa en la última fila de la tabla, debe entrar la variable que es la mayor y positiva y debesalir que es el valor realizable mínimo en la columna / . Los vectores columnas tendrán la forma

ℎ → 103 001

1 0 10 1 03 0 0 0 0 41 / 2 0 6 1 1 6 → 0 0 10 1 01 0 0 1/3 1/3 21/2 0 61/3 1/3 2 →

La solución se puede dar en esta última tabla por cuanto todos los valores del último renglón son ceros omenores que cero , , ℎ, ℎ, ℎ 2,6,2,0,0 Graficamente se muestra también esta solución

Tabla 3 Base

3 5 0 0 0

/

0 1 0 1 0 0 4 4 5 0 1 0 1/2 0 6 No poder 0 3 0 0 -1 1 6 2 0 5 0 5/2 0 30 3 0 0 -5/2 0

01 0

50 0 03 0 00 0

51 5 00 0 01 0

50 0 00 0 00 0

51/2 5/2 01 0 00 0

50 0 01 0 Total =0 para x1 Total = 5 para x2 Total = 0 para h1 Total 5/2 para h2 Total 0 para h3

Tabla

Base 3 5 0 0 0 / 0 0 0 1 1/3 -1/3 2 5 0 1 0 1/2 0 6

3 1 0 0 -1/3 1/3 2

3 5 0 3/2 1 36 0 0 0 -3/2 -1


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Con el Método WINQSB paso a paso se obtiene el mismo resultado

Tabla Inicial Iteración 1

Tabla Iteración 2

TablaFinal Iteración 3. Todos los valores en el último renglón son ceros o negativos


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La solución está dada en el punto D, por tanto, se deben fabricar 2 lotes del producto 1(Puertas) y 6 lotes del

producto 2(Ventanas) para obtener una utilidad máxima de $ 36.000.oo

Ejemplo 4. Un problema de maximización

Resolver el siguiente problema utilizando el Método Simplex

Una fábrica de muebles produce: pupitre unipersonal, bipersonal y mesas para los cuales ha establecido querinden una utilidad unitaria de $3, $2, y $5. Para la producción de dichos artículos la compañía cuenta con

una disponibilidad semanal de 430 metros de madera, 460 metros de tubo y 420 metros de fórmica. ¿Quécantidad de cada uno de los artículos se debe fabricar a fin de incrementar las ganancias si se sabe que paraproducir un pupitre unipersonal se requiere un metro de madera, 3 metros de tubo y un metro de fórmica, quepara producir un pupitre bipersonal se requiere de 2 metros de madera y 4 metros de fórmica; mientras quepara producir una mesa se necesita un metro de madera y 2 metros de tubo? Analice sus resultados

Solución:

Matriz de datos y planteamiento

Puntos x1 x2 Z

A 0 0 0

B 0 6 30

C 2 6 36

D 4 3 27C 8 4 32

PU PB M Disponibilidad

Madera 1 2 1 430

Tubo 3 0 2 460

Fórmica 1 4 0 420

Utilidad 3 2 5

3 + 2 + 5 +2 + ≤ 430 3 + 2 ≤ 460

+4 ≤ 420 , , ≥ 0

A

B C

D

E


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El sistema se transforma en:

3 + 2 + 5 + 0ℎ + 0ℎ + 0ℎ Sujeta a:

+ 2 + + ℎ 430

3 + 2 + ℎ 460 + 4 + ℎ 420 , , , ℎ, ℎ ≥ 0 El modelo inicial tabulado se presenta en la siguiente forma:

De acuerdo con lo anterior, las operaciones en las matrices se realizan de la siguiente manera:

Tabla inicial en WINQSB (se observa la similitud con la manual) Iteración 1

ℎ → 120 010

1 2 13 0 21 4 0 1 0 00 1 00 0 1 430460420 1/2 2 03/2 0 11 4 0 1 1/2 00 1/2 00 0 1 200230420 La nueva tabla manual y la iteración 2 en WIN QSB se presenta asi:

Tabla 1

Base 3 2 5 0 0 0 / 0 1 2 1 1 0 0 430 430 0 3 0 2 0 1 0 460 230 0 1 4 0 0 0 1 420 - 0 0 0 0 0 0 0 3 2 5 0 0 0


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Seobservaque esta tabla no contiene la solución óptima, ya que no todos los coeficientes del último renglon sonnegativos o ceros, por lo cual debemos realizar una nueva iteración, realizando los mismos procesos. por lotanto se debe elegir la columna x2 con la fila h1, sale h1 entra x2.

ℎ → 204 100

1/4 1 03/2 0 12 0 0 1/2 1/4 00 1/2 02 1 1 10023020

Tablas Iteración 3

Como todos los coeficientes de la última fila son ceros o negativos, entonces esta última tabla arroja lasolución:

1 0 0 Pupitres unipersonales 230 Mesas 0 Pupitres bipersonalesℎ 2 0 Nos queda un sobrante de 20 metros de fórmicay se obtiene una ganancia máxima de $1350

Tabla 2 Base 3 2 5 0 0 0 /

0 -1/2 2 0 1 -1/2 0 200 100

5 3/2 0 1 0 1/2 0 230 M 0 1 4 0 0 0 1 420 105 3/2 0 1 0 1/2 0 -9/2 2 0 0 -5/2 0

Tabla 3 Base 3 2 5 0 0 0 / 2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100 5 3/2 0 1 0 1/2 0 230 0 2 0 0 -2 1 1 20 7 2 5 1 2 0 1350

-4 0 0 -1 -2 0


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Ejemplo 5. Un problema de minimización Resolver utilizando el Método Simplex

Una nutricionista está planeando la alimentación para un batallón. Se sirven 3 alimentos principales: carne,papa y habichuela. Todos ellos con distinto contenido vitamínico. La nutricionista quiere suministrar tresvitaminas en la alimentación, con un tamaño de la porción total de 9 onzas por lo menos. Los costos por onzade carne, papa y habichuela son en US $ de 0,10; 0,15; y 0,12 respectivamente. En las siguientes tablas semuestran las cantidades de vitaminas que proporciona cada onza de alimento. Determinar el número de onzasque se requiere para cada alimento, con el objeto de minimizar el costo, si una persona requiere racionesmínimas diarias, en mg. de 290, 200 y 210, para las vitaminas 1, 2 y 3 respectivamente.

Un problema de minimización se convierte en uno de maximización, multiplicando por (-1) la función objetivo,en ella agregamos las variables de holgura una por cada restricción, con coeficientes 0 y restamos lasvariables artificiales de exceso con coeficientes M, una por cada restricción del tipo

≥. A su vez para convertir

las inecuaciones en ecuaciones restamos la variable de holgura y sumamos la variable artificial una por cadarestricción, de la siguiente manera:

Alimento

x1 x2 x3 Ración mínima

Vitaminas Carne Papa Habichuela mg.

1 50 30 20 290

2 20 10 30 200

3 10 50 20 210

Costos/onza 0,10 0,15 0,12

Tabla 1 Vitaminas

Alimento 1 2 3 Unidad

Carne 50 20 10 mg.

Papa 30 10 50 mg.

Habichuela 20 30 20 mg.

0.10 +0.15 + 0.12 50 +30 + 20 ≥ 290 20 +10 +30 ≥ 200 10 +50 +20 ≥ 210 , , ≥ 0

0.10 0.15 0.12 + 0ℎ + 0ℎ + 0ℎ

50 +30 + 20 ℎ + 2 9 0 20 +10 +30 ℎ + 2 0 0 10 +50 +20 ℎ + 2 1 0 , , , ℎ, ℎ, ℎ, , , ≥ 0


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La primera tabla del método simplex ( Manual y WINQSB) se presenta de la siguiente manera

Iteración 1

Prueba de Optimalidad. La solución básica para un problema de minimización es óptima si y sólo si todoslos coeficientes del renglón son positivos o ceros, pero como al aplicar el método simplex, unproblema de minimización lo convertimos en uno de maximización, es lógico suponer que seguimos la mismaregla o sea que sean negativos o ceros. Como se obs erva en la tabl a ésta no es la so luc ión óptima.Podemos continuar el proceso hasta encontrar la solución óptima.

→ 301050 001

50 3020 1010 5020 1 030 0 120 0 0

0 10 01 00 01 00 1

290 200 210 → 44 018 01/5 1

8 1 026 0 12/5 0 0 3/5 11/5 01/50 0

0 3/51 1/50 1/50164158 21/5

Base -0.10 -0.15 -0.12 0 0 0 -M -M -M /

-M 50 30 20 -1 0 0 1 0 0 290 9.67 -M 20 10 30 0 -1 0 0 1 0 200 20 -M 10 50 20 0 0 -1 0 0 1 210 4.2 -80M -90M -70M M M M -M -M -M

-0.10+80M

-0.15+90M

-0.12+70M

-M -M -M 0 0 0


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→ 82625 010 → 44 018 015 1 8 1 026 0 125 0 0 35 115 0 150 0 0

35 1 150 150 164158 215

→ & &9/13 0$ $0 & &1 0 1/260 $ $

& &1/300 0$ $& &1/26 1/300$ $

&79/13 $

Base -0.10 -0.15 -0.12 0 0 0 -M -M -M /

-M 44 0 8 -1 0 3/5 1 0 -3/5 164 20,5

-0,12 18 0 26 0 -1 1/5 0 1 -1/5 158 6.08 -0,15 1/5 1 2/5 0 0 -1/50 0 0 1/50 21/5 10,5 - 63/5)M -M - 172/5)M M M - 39/50)M -M -M 39/50)M -0.10

+ 63/5)M

-0.15-M

-0.12

+ 172/5)M

-M -M 39/50)M 0 0 - 11/50)M

Base -0.10 -0.15 -0.12 0 0 0 -M -M -M / -M 0 -0,12 9/13 0 1 0 -1/26 1/300 0 1/26 -1/300 79/13 -0,15 0


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NOTA: Dejamos a inquietud del estudiante juicioso, curioso o acucioso, para culminar este ejercicio, cuya

solución es 3 ; 2 ; 4 ; 1,08 ;Como se puede apreciar el procedimiento requiere de un gran número de engorrosas operacionesalgebraicas, en el cual debemos estar lo suficientemente concentrados. Con el WINQSB paso a paso secomprueba el procedimiento para un PL de minimización haciendo uso del método Simplex.

Iteración 1

Iteración 2

Iteración 3

Base -0.10 -0.15 -0.12 0 0 0 -M -M -M / 3 4 2 1,08


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Iteración 4


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2.6 Análisis de sensibilidad y dualidad

2.6.1 Introducción y objetivos


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2.6.2 Análisis de sensibilidad con método gráfico

2.6.2.1 Cambiosenlafunciónobejtivo


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33


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34

2.6.2.5 Preciosombra


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2.6.2.6 Análisisdesensibilidadconelmétodosimplex

2.6.2.7 Intervalosdeoptimalidadparavariablesbásicasynobásicas

2.6.2.8 Métodosparacalcularlosintervalosdefactibilidad


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2.6.2.9 Elproblemadual

2.6.2.10 Relaciónentreelpriumalyeldual


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2.6.2.11 FormaGeneraldelProblemadual


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2.7 Ejercicios y TalleresHaciendo uso del método gráfico, resolver los siguientes problemas de programación lineal

1. En una fábrica de camisas se confeccionan dos tipos de camisas, camisa informal y para corbata; lautilidad por cada camisa para corbata es de US$20 y por cada camisa informal es de US$10. Parallevar a cabo la fabricación de una camisa requiere que ésta pase por cuatro departamentos: diseño,tallaje estampado y terminado. Se tienen disponibles 400 horas de tiempo en el departamento dediseño, 300 horas en tallaje, 500 horas en estampado y 200 horas en terminado.En la siguiente tablase muestran los requerimientos de mano de obra por unidad en cada uno de los departamentos.

Si la empresa desea maximizar la utilidad ¿Cuántas camisas de cada clase debe fabricar paraobtener la utilidad máxima y cuál es esta utilidad?

2. Una dieta debe contener cuando menos 16 unidades de carbohidratos y 20 unidades de proteínas.El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas, el B contiene 2 unidades decarbohidratos y 1 de proteinas. Si el alimento A cuesta US$1,20 y B cuesta US$0,80 por unidad.Cuántas unidades de cada alimento deben adquirirse para hacer que los costos sean menores?¿Cuáles el costo óptimo?

3. Un agricultor va a comprar fertilizante que contiene tres ingredientes nutritivos: A, B y C. Los requisitosmínimos semanales son de 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos marcas usuales defertilizantes en el mercado. La marca I cuesta US$4/bolsa, la bolsa contiene 2 unidades de A, 6 de By 4 de C. La marca II cuesta US$5/bolsa y contiene 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuántasbolsas de cada marca debe comprar el granjero cada semana para minimizar los costos y satisfacerplenamente los requisitos nutritivos?

4. Una compañía elabora dos productos , A y B. Cada uno de estos productos para su elaboraciónrequiere cierta de cantidad de tiempo en dos máquinas. Cada unidad del producto A requiere 1 horaen la máquina I, y 2 horas en la máquina II, cada unidad del producto B demanda 3 horas en lamáquina I y 2 horas en la máquina II. La compañía dispone de 100 horas en la semana en cadamáquina. Si x unidades del producto A y y unidades del producto B se producen en la semana, dé lasdesigualdades que satisfacen a x y a y , y represéntalas en forma gráfica.

Problema 3 Tipos de CamisaDepartamentos Informal Para corbata

Diseño 1,00 2,50

Tallaje 3,00 1,25

Estampado 4,00 3,25

Terminado 3,50 2,50


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3 Aplicaciones especiales de PL

3.1 El problema del Transporte

3.1.1 Introducción

El modelo de transporte consiste en determinar un plan de costos mínimos para transportar productos desitios de origen fuentes a sitios de destino, con restricciones de oferta en los orígenes y se debe satisfacer lademanda de los destinos. Teóricamente hace uso del método simplex, presentado con diferentes matices oalgoritmos cuyo objetivo es mejorar la solución inicial hasta obtener la óptima. Se utilizan variadas técnicaspara resolver un modelo de transporte, entre las cuales podemos mencionar: La del Costo Mínimo, regla dela esquina noroeste, aproximación de Vogel, el del cruce del arroyo (Por las piedritas…), etc. A continuación

se explica el procedimiento con un ejemplo, dando la solución mediante el programa WIN QSB, con el fin decomprobar que la operatividad es correcta.

3.1.2 Modelo8

Dados m orígenes o fábricas , , … . . y n destinos o centros de distribución , , … . . , serequiere cubrir la demanda de tal forma que el costo de transportar las mercancías sea mínimo.: Número de unidades distribuidas del origen i al destino j : Contribución a la función objetivo al distribuir una unidad del origen i al destino j: Número de unidades disponibles en el origen i: Número de unidades de demanda en el destino j: Número de orígenes: Número de destinosSi representa la cantidad transportada desde el i-ésimo origen hasta j-ésimo destino, entonces el modelogeneral de Programación Lineal que representa el modelo de transporte es:

=

= Sujeto a ∑ ≤ = , 1 , 2 , … . , Restricciones de oferta∑ ≥ = , 1 , 2 , … . , Restricciones de demanda

Con ≥ 0, para toda i y toda jEn el modelo está implícito el equilibrio entre la oferta y la demanda, es decir, todo lo que sale llega a losdestinos presupuestados, matemáticamente se dice que un problema de transporte tiene soluciones factiblessi y sólo si

=

= La figura representa la estructura generalizada del modelo, representado por nodos (fuentes y destinos),donde el arco que une un origen y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía y el

costo de transporte unitario entre el origen y el destino respectivo, está dado por .8 Sacado del Texto Algebra Lineal y Programación Lineal de Francisco Soler, Fabio Molina y Lucio Rojas


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m orígenes

1

2

m

1

2

n

n destinos

Las variables de decisión se notan con doble subíndice, el primero indica el origen y el segundo el destino,

así cualquier término, se representa simbólicamente: ú Ejemplo 1 Modelo de Transporte9

Una compañía de transporte posee un contrato para transportar electrodomésticos desde 3 plantas hacia 4centros de distribución cuyos costos unitarios, ofertas y demandas se registran en la siguiente tabla matriz:

Paso 1 Tabla

La Tabla de datos elaborada con WIN-QSB10,

9 Ejemplo tomado del texto ibídem pág., 48410 Para ingresar al programa siga la ruta / Network Modeling

Tabla 1 Destinos

Orígenes Cartagena Santa Marta San Andrés MedellínOferta Total

Cali 2 1 5 3100

Barranquilla 7 4 1 8150

Bogotá 3 2 8 5125

Demanda Total 45 110 170 50 375


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Paso 2 Planteamiento de la función objetivo

=

=

Para este caso en particular se deben considerar los datos correspondientes a los costos unitarios de cadaorigen a cada destino y sumar: 2 + + 5 + 3+7 + 4 + + 8+3 + 2 + 8 + 5 Sujeto a

Paso 3 Planteamiento de las restricciones de oferta∑ ≤ = , 1 , 2 , … . , Restricciones de ofertaCada ciudad de origen ofrece unas cantidades limitadas de productos, de esta manera las restricciones

presentan la forma ≤ : + + + ≤100 + + + ≤ 1 5 0 + + + ≤ 1 2 5

Paso 4 Planteamiento de las restricciones de demanda

Cada ciudad de destino solicita una cantidad fija de electrodomésticos, por lo tanto las restricciones sepresentan como ecuaciones

+ + 45 + + 110 + + 170 + + 50 Paso 5 Planteamiento del modelo en forma matemática

El planteamiento es similar a los problemas vistos anteriormente con función objetivo, sujeta a ciertasrestricciones. La solución se puede hallar de igual forma con el WINQSB o el SOLVER con el sustento teóricodel Método Simplex.

2 + + 5 + 3+7 + 4 + + 8+3 + 2 + 8 + 5 Sujeta a: + + + ≤100 + + + ≤150 + + + ≤125 + + 45

+ + 110

+ + 170 + + 50


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≥ 0 Como se puede apreciar, el problema tiene 12 variables de decisión y 7 restricciones, lo cual implicaría unalabor dispendiosa y engorrosa, al aplicar el método simplex. Por lo tanto se hace uso del método simplexsimplificado para el transporte y como en el caso de un PL debemos partir de una solución factible inicial.

En la siguiente tabla se define el problema. En primer lugar el método consiste en hallar una solución factibleinicial, y en el mejoramiento de dicha solución hasta llegar a la solución óptima, para ello se hace uso delmétodo denominado del “Costo mínimo” que consiste en asignar la mayor cantidad de oferta o de demandaen la celda de menor costo, convirtiendo la oferta o la demanda en cero.

Las celdas que tienen igual y el menor costo unitario se identifican como X 12 y X23, se escoge la segunda de

ellas por que le entra el mayor flujo de unidades.

OFERTA

2 1 5 3

100

7 4 1 8

150

3 2 8 5

45 10 20 50

170 50 375DEMANDA

O R I G E N

125

Cali

B/quilla

Bogotá

45 110

150

Cartagena anta Mart San Andrés Medellín

100

Ahora se le asigna 150 unidades a la celda X23 y a continuación 100 a la celda X12, por tener el menor costo,

convirtiendo la oferta de estas casillas en ceros. Las siguientes casillas que tienen un costo menor son X11 y X32, escogemos esta última y le asignamos 10 unidades, porque en la X11, no se puede. Continuando conel proceso anterior, se puede generar la solución factible inicial:

Tabla Costo Mínimo

Ruta Costo en US$ Unidades Costo Total

Origen Destino por unidad enviadas US$

Cali Santa Marta 1 100 100

Barranquilla San Andrés 1 150 150

Bogotá Cartagena 3 45 135

Bogotá Santa Marta 2 10 20

Bogotá San Andrés 8 20 160Bogotá Medellín 5 50 250

Total $815

OFERTA

2 1 5 3

7 4 1 8

3 2 8 5

170 50 375DEMANDA

O R I G E N

125

Cali

/quill

ogot

45 110

150

Cartagena anta Mart San Andrés Medellín

100


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Se observa que se han agotado todas las ofertas y demandas, hasta convertirlas en ceros. A continuaciónelaboramos la Tabla de costo total de la solución factible inicial, empleando el método del costo mínimo.

Método del cruce del arroyo y el índice de mejoramiento.

Con este método se realiza un análisis marginal, donde se estudia el efecto producido al cambiar la solución

inicial al introducir una unidad de una variable no básica. La pregunta que se hace es: ¿ésta solución iniciales la óptima?

Para responder este interrogante es necesario:

1. Calcular un valor denominado índice de mejoramiento, realizándolo para cada celda vacía (Variableno básica).

2. Ajustar los valores de las variables básicas actuales con la satisfacción plena de todas lasrestricciones de oferta y demanda.

3. Calcular el valor de la función objetivo con las nuevas cantidades asignadas en las celdas con valoresdiferentes de cero.

Considerando que se ha determinado que la celda posee el índice de mejoramiento más negativo (-2), sele asignará el mayor número de unidades posibles a esta casilla; lo que indica que el costo total se puedereducir en dos dólares al enviar una unidad adicional desde Cali a San Andrés. Las asignaciones anteriores

en verde de la tabla siguiente, son

100y

20, (disminución de una unidad en cada casilla)

Cartagena Santa Marta San Andrés Medellín OFERTA

ORIGEN

Cali2 1 5 + 3

100100 80 0 20

B/quilla7 4 1 8

150150 150

Bogotá3 2 8 5

12545 45 10 30 20 50 50

DEMANDA 45 110 170 50 375

Los valores escritos en verde corresponden a las cantidades de la solución inicial y las cantidades escritas enrojo a la solución mejorada, mediante el salto por los charquitos o el cruce del arroyo y el indice de

Celdas Vacíasno básica Trayectoria Cálculo

Índice deMejoramiento ⇒ ⇒ ⇒ 2 1 + 2 3 0

⇒ ⇒ ⇒ 5 1 + 2 8 2 ⇒ ⇒ ⇒ 3 5 + 2 1 1

⇒ ⇒ ⇒

7 1 + 8 3

11

⇒ ⇒ ⇒ 4 1 + 8 2 9 ⇒ ⇒ ⇒ 8 5 + 8 1 10


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mejoramiento. En estas dos celdas se permiten las reducciones máximas, por lo que es evidente que partimostomando las 20 unidades de la casilla X33 dejandola en cero y dejar 80 en la celda X12

Calculando los costos con la anterior tabla arroja un total mínimo de US$775 dólares

Se determina nueva tabla de índices con las variables no básicas, para saber si es óptimo los índicesdeben ser todos positivos o ceros y asi que se mete el más negativo (meter, introducir o similar) (-1).

Realizando los ajustes correspondientes partiendo de la celda nos conduce a la matriz siguiente Cartagena Santa Marta San Andrés Medellín OFERTA

ORIGEN

Cali2 1 30 5 20 3 50

10080 20

B/quilla7 4 1 150 8

150150

Bogotá3 45 2 80 8 5

12545 30 50

DEMANDA 45 110 170 50 375

A continuación se registra el resumen de las unidades enviadas y el Costo total mínimo.

Tabla Costo Mínimo




Cali San Andrés 5 20 100


Bogotá Medellín 5 50 250



Total $775

CeldasVacías no

básica Trayectoria CálculoÍndice de

Mejoramiento ⇒ ⇒ ⇒ 2-3+2-1 0 ⇒ ⇒ ⇒ 3-1+2-5 1 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 7-1+5-1+2-3 9

⇒ ⇒ ⇒ 4-1+5-1

7

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 8-1+5-1+2-5 8 ⇒ ⇒ ⇒ 8-2+1-5 2


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En esta etapa del proceso, se calculan nuevamente los índices de mejoramiento, para conocer si estaúltima tabla es la óptima.

Conclusiones y Respuesta al problema

Partimos de un costo total de $815, como solución factible inicial, el cual mediante iteraciones sucesivas fuedisminuido primero a $ 775. Ahora como los índices de mejoramiento son todos positivos o ceros, la últimatabla, corresponde a la solución óptima, con un costo total de $725.

NOTA: Realizar por parte de los estudiantes el proceso de solución por SOLVER, considerando unabonificación en la nota de talleres de 0,1 hasta 0,5.

CeldasVacías no

básica Trayectoria Cálculo

Índice de

Mejoramiento ⇒ ⇒ ⇒ 2-3+2-1 0 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 7-1+5-1+2-3 9 ⇒ ⇒ ⇒ 4-1+5-1 7 ⇒ ⇒ ⇒ 8-3+5-1 9

⇒ ⇒ ⇒ 8-2+1-5

2

⇒ ⇒ ⇒ 5-3+1-2 1

Tabla Costo Mínimo




Cali San Andrés 5 20 100

Cali Medellín 3 50 150




Total $725


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Con WINQSB se obtiene la gráfica inicial del problema

Solución factible inicial


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3.2 Modelo de Transporte no equilibrado

El problema del transporte visto anteriormente se suponía como equilibrado, es decir, la cantidad ofrecida esigual a la cantidad demandada. Si la demanda y la oferta son diferentes, a este tipo de problemas deltransporte los llamamos modelos no equilibrados.

Para solucionar un problema de transporte no equilibrado, lo transformamos en equilibrado y a continuaciónaplicamos cualesquiera de los procedimientos estudiados (Método Simplex, Solver, WINQSB, cruce delarroyo). Inicialmente se crean puntos artificiales de demanda u oferta de acuerdo al caso.

Caso I

Si la oferta es mayor que la demanda, entonces creamos un punto de demanda artificial igual al exceso de laoferta.

OFERTA

2 1 5 0

7 4 1 0

3 2 8 0

170 100 425DEMANDA

O R I G E N

125

X

Y

Z

45 110

200

R S T ART

100

Aplicando el Costo Mínimo y el cruce del arroyo calculamos una solución factible inicial

2 1 100 5 0 100210

7 30 4 1 170 0 170

45

3 15 2 10 8 0 100 20

$545

100

170 100 425DEMANDA

O R I G E N

125

X

Y

Z

45 110

200

Indices de Mejoramiento. Siguiendo con el proceso a la casilla X34 se le asigna el máximo disponible.

CeldasVacías Cálculo

Índice deMejoramiento 2-3+2-1 0 5-1+7-3+2-1 9 0-0+2-1 1 4-2+3-7 2 0-0+3-7 -4

8-3+7-1

11


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3.3 Problema de Transbordo


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3.4 Problemas de Asignación

Se considera como un caso especial del modelo de transporte y es empleado en la toma de decisiones en

proyectos relacionados con personal asignado a tareas específicas, cargos a ejecutivos, vendedores a zonas,

personas a proyectos, trámite de licitaciones y en la administración de empresas. Una característica que

distingue los problemas de asignación es que un agente se asigna a una y solo una tarea, buscando la

optimización, ya sea minimizando costos y tiempos o maximizando la utilidad

Consideremos el caso de asignación representado en la siguiente tabla

Aspirantes

Base de datos Comunicaciones Redes Auditoría

Director de Tesis Tiempo en meses para presentaciónDr. Ortega 15 18 16 10

MS Leal 14 17 17 8

PH López 15 19 23 17

Esp. Ustáriz 20 14 16 17

De manera similar al problema del transporte el modelo de asignación se puede plantear con un diagrama de

red


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Planteamiento del Modelo en forma estándar

15 +18 +16 +10+14 +17 +17 + 8+15 +19 +23 +17+20 +14 +16 +17 Sujeta a: + + + ≤ 1 + + + ≤ 1 + + + ≤ 1 + + + ≤ 1 + + + 1

+ + + 1

+ + + 1 + + + 1 Se observa que existen 8 restricciones correspondientes a los 8 nodos de la red y 16 variables de decisión

definidas en forma general así:

1, 0, í,

3.4.1 Método Húngaro

Reducción por filas

Aspirantes


Director de Tesis Tiempo en meses para presentación

Dr. Ortega 15 18 16 10

MS Leal 14 17 17 8

PH López 15 19 23 17

Esp. Ustáriz 20 14 16 17


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Aspirantes



Dr. OrtegaMS Leal

PH López

Esp. Ustáriz

AspirantesBase de datos Comunicaciones Redes Auditoría


Dr. Ortega

MS Leal

PH López

Esp. Ustáriz

Aspirantes



Dr. Ortega

MS Leal

PH López

Esp. Ustáriz

Aspirantes



Dr. Ortega

MS Leal

PH LópezEsp. Ustáriz


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3.4.2 Método con el WINQSB


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NOTA INTRODUCTORIA Resolver los siguientes problemas en los grupos conformados de estudiantes,

identificando el correspondiente No de Grupo. Haga uso del presente formato y responda en el mismo ordendel enunciado. Inserten solución manual, dibujos, imágenes o las tablas de Excel y del WINQSB, siguiendola metodología explicada en clase y entregue el Taller a su querido docente HUMBI.

1. Calcular utilizando el método manual, las cantidades óptimas transportadas desde cada origen hastael correspondiente destino de acuerdo con la tabla adjunta.

M N O OFERTA

ORIGEN

X4 6 12

1000

Y4 2 10

1600

DEMANDA 800 1400 2400 4600

2. Resolver el siguiente problema del transporte haciendo uso del programa WINQSB, paso a paso2.1. Tabla de datos2.2. Modelo Matemático2.3. Paso a paso Tablas2.4. Paso a paso Representación en red asociada2.5. Determinar la cantidad óptima registrando la respuesta en una tabla

Una editorial colombiana suministra libros técnicos de sistemas importándolos de Alemania (1.000libros y Francia (880 libros). Los pronósticos de demanda para el próximo semestre son: Bogotá 880

libros, Cali 400 libros y Medellín 600. El costo de distribución, en dólares, para cada una de lasciudades varía de acuerdo con la ubicación de los proveedores, se presenta en la siguiente tabla:

Bogotá Cali Medellín

Alemania20 40 30

Francia24 30 36


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3. Desarrolle el siguiente problema del transporte utilizando el método “SOLVER”, a partir de la siguientetabla, muestre el modelo matemático, adjunte el archivo Excel y las ventanas en su desarrollo.

DESTINOS

P Q R OFERTA

ORIGEN

S450 350 300

400

T550 500 400

250

V700 650 550

150

DEMANDA 200 300 250


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4. optimizacion de redes

4.1 Definiciones y Conceptos

Un proyecto, se considera como el conjunto de actividades, planeadas, programadas y ejecutadas o

llevadas a cabo, con recursos finitos y en los términos previstos. Muchos problemas de optimización seaprecian y se analizan mejor de manera lúdica, con dibujitos, esquemas o representaciones gráficas, comoen la cartilla “Charry”.

Una gráfica o red se se define mediante un conjunto compuesto por nodos y arcos. Un arco consiste en unpar ordenado de puntos extremos y representa una posible dirección del movimiento entre nodos . Por ejemplosi una red contiene el arco (j,k) entonces el movimiento que es posible está realizado del nodo j al nodo k.

De otra parte,

“una secuencia de arcos tal que cada arco contiene exactamente un vértice en común con el arco previo, se

llama una cadena .” 11

“una trayectoria es una cadena en la que el nodo terminal de cada arco es idéntico al nodo inicial del arcosiguiente.12

1 4

2 3

FIGURA 4.1

En la figura, 1,2 2,3 4,3 es una cadena pero no una trayectoria. Mientras tanto, 1,2 2,3 3,4 es una trayectoria y cadena, representa a su vez una forma de viajar del nodo uno al nodo cuatro.

Las técnicas son aplicables en innumerables proyectos, entre los cuales podemos mencionar:

1. Desarrollo de nuevos procesos y productos.

2. Construcción de infraestructura por parte del Estado (servicios, carreteras, plantas, edificios).3. Mantenimiento de estructuras grandes y complejas.4. Diseño e instalación de nuevos sistemas de información y comunicación.

Los grandes proyectos pueden constar de muchas actividades relacionadas entre si, que es necesarioprogramar, coordinar y ejecutar en cierto órden hasta culminar la obra completamente, por lo que el objetivodel equipo de trabajo consiste en fijar tiempo de duración, fechas de inicio y terminación, identificar actividadescríticas y no críticas y su influencia en el tiempo de culminación de la obra.

4.2 Programación de proyectos con PERT-CPM

Para poder aplicar los procedimientos de PERT y CPM es necesario conocer una lista de actividades queconforman el proyecto, tal que cuando se terminan todas ellas el nombrado proyecto queda completo. Las

11 Definiciones modelos de red página 413 texto Investigación de Operaciones de Wayne L. Winston, cuarta edición.12 Ibidem texto página 414


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58

actividades se representa6n por arcos directos y los nodos se utilizan para indicar el inicio o terminaciónde actividades. (Figura 4.2).

NODO DE INICIO

INICIO DE LA

ACTIVIDAD

A

TERMINACION DE

LA ACTIVIDAD

A

1 2

NODO DE

TERMINACIONARCO DIRIGIDO

A

ACTIVIDAD

A

FIGURA 4.2

Dada una lista de actividades y predecesores, una representación codificada como AOA (Actividad en arco) de

una red de proyecto, se puede construir por medio de las normas siguientes:1. Una actividad no puede aparecer más de una vez

2. El nodo 1 representa el comienzo del proyecto, del cual deben salir todas las actividades que no tengan

predecesores.

1 2 3A B

La actividad A debe completarse antesque comience la actividad B

FIGURA 4.3

1

4

A

B

Las actividades A y B, son predecesoras

inmediatas de C, y se deben completar

antes que comience la actividad C

2

3 C

FIGURA 4.4

3. El diagrama de red tiene un nodo final (terminación del proyecto) al cual concurren todas las actividadesque no tienen sucesores.

4. Por lo general se numeran los nodos de tal forma que el inicio de una actividad esté rotulado con un

número menor que el de terminación.


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2A

B

La actividad A es predecesora inmediata

de las actividades B, C y D, por tanto la

actividad A se debe completar antes

que comiencen las actividades B, C y D

1 C

3

4

5

D

FIGURA 4.5

2A

B

Se debe incluir en la red un nodo, llamado

de terminación del proyecto

1C

3

4

5

D

6

E

F

G

4.6

5. Dos nodos se pueden unir a lo sumo o máximo un arco. Si existen dos actividades que tienen elmismo modo de inicio y terminación, se debe utilizar un arco ficticio, correspondiente a una actividadficticia con tiempo de realización cero, en tal caso dos nodos pueden estar conectados por más de

un arco.

1

2A

B

Representación incorrecta oinválida, contradiciendo la

norma 5

2 1

3

A

B

Representación correcta o

válida, utilizando un arco ficticio

FIGURA 4.7


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60

OBSERVACION: Los arcos ficticios se utilizan para aclarar procedencia de actividades tal como se ilustra enlas figuras 4.8 Y 4.9

DESCRIPCIÓN

ACTIVIDADPREDECESORES INMEDIATOS

G D, E

F E

1 3 6

2 4 5

D G

E F

FIGURA 4.8 Y FIGURA 4.9

3

DESCRIPCIÓN

ACTIVIDADPREDECESORES INMEDIATOS

B A,C

D C

1 4A

C D

F

52

6

B

E

F C,E

4.2.1 Proyectos de tipo determinístico CPM (Critical-Path-Method)

Cuando la duración de cada actividad se conoce previamente y está determinada con certeza, entonces elmétodo de la ruta crítica (CPM, por sus siglas en inglés), se emplea para determinar el tiempo óptimorequerido para completar todo el proyecto. También es utilizado para determinar cuánto se puede retardarcada actividad del proyecto sin retrasar la culminación del mismo.

Ejemplo 1

Una compañía está a punto de introducir un nuevo producto 3, compuesto del ensamble de los productos 1 y2. Antes de que comience la producción del producto 1 o 2, se debe comprar las materias y capacitar a lostrabajadores a continuación se debe probar el producto 2 y ensamblar finalmente los dos primeros paraconvertirse en el producto 3.


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62

Ejemplo 2

Para introducir en el mercado un nuevo producto se va a realizar una encuesta estadística. A continuación sepresenta en la Tabla 4.2 la lista de las actividades a realizar con sus respectivos tiempos estimados para cadauna:13

Tabla 4.2

Duración de actividades y relaciones predecesoras

Actividad Predecesores

Tiempo

estimado

días

A Diseño de la encuesta No 8

B Seleccionar el personal A 2

C Elaborar formatos de encuesta A 3D Seleccionar hogares muestra A 4

E Capacitar personal B 5

F Revisar y adecuar formatos C 3

G Realizar encuesta E, F, D 6

La red del proyecto utilizando nodos y arcos se presenta en la Figura 4.11. Cada nodo representa el inicio o fin de una

actividad y cada arco o flecha indica la propia actividad y el tiempo estimado en realizarla:

1 2

3

4 5 6A

8

B E

GC F

D

2

4

5

3 3 6

FIGURA 4.11

Continuando con el proceso se establecen los tiempos próximos14, definidos en la forma siguiente:

Próximo de Iniciación (PI): Tiempo más próximo de inicio de una actividad que sale de un nodo y que esigual al mayor de los tiempos más próximos de terminación de las actividades que terminaron en dicho nodo.

Próximo de Terminación (PT): Tiempo más próximo de terminación para una actividad

Para realizar los cálculos en cada actividad se aplica la fórmula:

+ De una manera más explícita:

13 Ejemplo seleccionado del texto Algebra Lineal y Programación Lineal de F. Soler y Otros, página 530 14 Ibidem página 534


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{ ó ó } { ó } + { ó ó } Los tiempos de iniciación y terminación se colocan en la red, al lado de cada actividad haciendo uso de lasiguiente ilustración:

1 2

3

4 5 6A[0, 8]

8

B [ 8,

1 0 ] E [ 1 0 , 1 5 ]

G[15, 21]C[8, 11] F[11, 14]

D[8, 12]

2

4

5

3 3 6

1 2A[PI, PT]

tA

G[15, 21]

FIGURA 4.12

Se concluye que el tiempo de realización del proyecto es de 21 días

Hasta el momento hemos establecido la duración en días del proyecto, ahora nos resulta necesario establecer

la ruta crítica partiendo de tiempos adicionales de holgura en la realización de una actividad sin que se afecteel tiempo total del proyecto. Por lo cual se establecen los tiempos lejanos15, definidos en la forma siguiente:

Lejano de Iniciación (LI): Tiempo más lejano de inicio para una actividad.

Lejano de Terminación (LT): Tiempo más lejano de terminación para una actividad que llega a un nodo yque es igual al menor de los tiempos más lejanos de iniciación de las actividades que salen de dicho nodo.

Para realizar los cálculos en cada actividad se aplica la fórmula:

De una manera más explícita:

{ ó } { ó } { } Los tiempos lejanos de iniciación y lejanos de terminación se colocan en la red, debajo de cada arco y al ladodel tiempo estimado de cada actividad haciendo uso de la notación y de conformidad a la siguiente ilustración:

15 Ibidem página 535


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1 2

3

4 5 6A[0, 8]

8

B [ 8,

1 0 ] E [ 1 0 , 1 5

]

G[15, 21]C[8, 11] F[11, 14]

D[8, 12]

2

4

5

3 3 6

1 2A[PI, PT]

tA (LI, LT)

(9,12) (12,15) (15,21)

(11,15)

( 1 0 ,1 5 )

( 8, 1

0 )

FIGURA 4.13

Para calcular los tiempos lejanos de las actividades del proyecto, nos trasladamos desde el nodo final hastael nodo inicial, o sea como los cangrejos, aplicando la fórmula y notación descritas anteriormente. Por lo tanto,la actividad A precede a las actividades B, C y D con tiempos lejanos de iniciación 8, 9 y 11, nos lleva aconcluir según la norma, lo más lejos que se puede terminar la actividad A es el día 8, correspondiente almenor de los tiempos de iniciación de B, C y D. La red completa se representa en la figura 4.13 cuyos tiemposlejanos para A son (0,8)

Como consecuencia de lo anterior, la Holgura de una actividad se obtiene como la diferencia del tiempolejano de iniciación y el tiempo próximo de iniciación o como la diferencia entre el tiempo lejano de terminacióny el tiempo próximo de terminación de la actividad, en términos matemáticos se expresa:

La Ruta crítica está conformada por las actividades cuya holgura sea 0. Su importancia radica en que cadauna de ellas, no tiene margen de error, ya que una demora, implica que el proyecto no se termine en el tiempoproyectado. La ruta crítica son A – B – C – G, con tiempo total de 21 días. En la tabla 4.3 se realiza unresumen de lo calculado.

RESUMEN Y SOLUCION DEL PROBLEMA CPM

ActividadPredecesor

Inmediato

Tiempo

estimado

días t

Tiempo

Próximo de

Iniciación

PI

Tiempo

Lejano de

Iniciación

LI

Tiempo

Próximo de

terminación

PT

Tiempo Lejano

de

Terminación

LI

Holgura

H

¿Ruta

Crítica?

A No 8 0 0 8 8 0 SI-A

B A 2 8 8 10 10 0 SI-B

C A 3 8 9 11 12 1

D A 4 8 11 12 15 3

E B 5 10 10 15 15 0 SI-E

F C 3 11 12 14 15 1

G E, F, D 6 15 15 21 21 0 SI-G


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4.2.2 Proyectos de tipo PERT (Proyect Evaluation and Review Tecnique)

La estimación de los tiempos de realización de actividades se hace por expertos en Estadística Inferencial.Cuando la duración de cada actividad no se conoce previamente con certeza, entonces la probabilidad y laTécnica de evaluación y revisión de proyectos (PERT, por sus siglas en inglés), se emplean para

determinar el tiempo óptimo requerido para completar todo el proyecto. Para efectos de lo anterior se definenlos tres siguientes tiempos:16

Tiempo Pesimista (b): Es el mayor tiempo en que se puede ejecutar una actividad cuando se presentaninconvenientes.

Tiempo más probable (m): Tiempo más frecuente cuando la actividad se desarrolla en forma normal.

Tiempo Optimista (a): Es el tiempo mínimo en que se puede ejecutar una actividad cuando se presentancondiciones favorables.

El tiempo de una actividad sigue una distribución Beta de probabilidad en la cual el tiempo esperado de laactividad se calcula así:

+ 4 + 6 La varianza del tiempo de realizar la actividad se calcula:

( 6 )

1

2

3

4

5

6

A

D

E

C

F

B G

Luego de realizar los cálculos anteriores, se registran en una tabla de actividades, tal como se realiza en elsiguiente ejemplo. En el diagrama de red aparecen las actividades y sus predecesores inmediatos, los tiemposde la tabla se especifican en días.

A continuación efectuamos los cálculos de la ruta crítica, tomando como base los tiempos esperados,siguiendo el mismo procedimiento del CPM.

16 Toda la exposición teórica está basada en el texto Algebra Lineal y Programación Lineal de F. Soler y otros


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LISTA DE ACTIVIDADES PROYECTO EJEMPLO MODELO

ActividadPredecesor

Inmediato

Tiempo

Optimista (a)

Tiempo más

probable (m)

Tiempo

Pesismista (b)

Tiempo

Esperado (te)Varianza

A 1,0 1,5 5,0 2,0 0,4444444

B 1,5 3,0 4,5 3,0 0,2500000

C 1,2 3,2 4,0 3,0 0,2177778

D 1,8 2,8 5,0 3,0 0,2844444

E 3,0 6,5 7,0 6,0 0,4444444

F 0,5 0,8 2,3 1,0 0,0900000

G 2,0 4,2 5,2 4,0 0,2844444

La red del proyecto, junto con los tiempos próximos, lejanos y esperados se presenta así:

1

2

3

4

5

6

A

D

E

C

F

B G

[ 0 , 2 ]

[3, 9]

( 4 , 6 )

(9,12)

( 6 ,9 )

2

3

4

6

3

1

[ 9 , 1 3 ]

[ 2 , 5 ]

[ 5 , 6 ]

[ 0 , 3 ]

[2, 5]

( 1 2 , 1 3 )

( 9 , 1 3 )

(3, 9)

RUTA CRITICA: B, E, GCON TIEMPO ESPERADO DEL PROYECTO: 13 DÍAS

3

La varianza del tiempo de terminación se obtiene como la suma de las varianzas de los tiempos de lasactividades correspondientes a la ruta crítica

+ +

En el ejemplo 0,2500+0,4444+0,28440,98 Ahora, los datos se presentan como una distribución Normal con

13 í 0,985 Distribución de probabilidad Normal

La distribución normal ocupa un lugar importante en la Estadística teórica, como también en la práctica. Fuepropuesta por Gauss como modelo para la distribución de frecuencias relativas, de errores, como los

presentados en la medición en las ciencias exactas. También suele ser utilizada para aproximarprobabilidades binomiales cuando “n” tiende a tomar un valor grande. No obstante su gran importancia radica

en el Muestreo, en la distribución muestral de medias, en el teorema central del límite, en la InferenciaEstadística y en las Pruebas de Hipótesis.


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70

G. El área bajo la curva entre dos puntos es la probabilidad de que una variable aleatoria continua distribuida

normalmente asuma un valor entre ellos.

H. Dado que existe un número ilimitado de valores entre menos infinito y más infinito; la probabilidad de que unavariable sea exactamente igual a cualquier valor dado es casi 0. Por tanto las probabilidades siempre serán paraun intervalo de valores

≈ 0

≤ ≤ I. El área bajo la curva entre la Media y cualquier otro punto es función del número de desviaciones estándar que

el punto dista de la Media.J. Es posible manejar valores relativos en lugar de valores reales, utilizando una nueva variable Z, es decir,

estandarizando o normalizando la variable X, en donde a cada valor de Z le corresponde un área (%) oprobabilidad medida a partir de la media.


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En la tabla de áreas bajo la curva normal estándar es posible calcular probabilidades relacionadas con el tiempo determinación del proyecto.

Por ejemplo la probabilidad de terminar el proyecto en un tiempo inferior al esperado es del 50% (0,50). Partiendo delhecho que toda distribución normal de probabilidad se caracteriza por tener dos parámetros específicos (Media DesviaciónEstándar). En el caso del proyecto PERT se tiene:

, 13 , 0.985 a) Calcular la probabilidad de terminar el proyecto después de 12 díasb) Antes de 15 díasc) Entre 12 y 15d) En qué tiempo estaría terminando el proyecto si tengo una firmeza del 96%

70 80 90 100 110 120 130 X

-30 -20 -10 0 10 20 30 X-µ

-3 -2 -1 0 1 2 3 −


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d) El tiempo se puede calcular hallando el Z correspondiente es 1,75 y despejar


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ESTADISTICA I

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

TABLA DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR

X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,5651 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4954 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 04955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

Regresar


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4.3 Problema de la ruta más corta

4.4 Problema del árbol de expansión mínima

4.5 Problema del flujo máximo4.6 Problema del flujo de costo mínimo

4.7 Método Simplex de redes

4.8 Modelo de optimización cambios entre tiempo y costo de un proyecto

4.9 Control de proyecto


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La siguiente tabla muestra las actividades de cierto proyecto, junto con sus predecesores inmediatos y lostiempos estimados. Con los datos:

1. Elaborar la red del proyecto2. Calcular los tiempos próximos y escribirlos en la red3. Calcular los tiempos lejanos y agregarlos a la anterior red4. Elaborar la tabla resumen del problema y determiner las actividades de la ruta crítica

Duración de actividades y relaciones predecesoras

Actividad Predecesores

Tiempo estimado

días

A No 3

B No 5

C No 4

D A 5

E A 7

F B 2

G C 4

H D 3

I E, F, G 2


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PARTE 2. TEMAS ADICIONALESAPLICACIONES


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5 Otros tipos de programación5.1 Programación dinámica


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5.2 Programación entera


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5.3 Programación no lineal


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6 Otras aplicaciones

6.1 Modelos de Inventarios


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SOFTWARE UTILIZADO


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7 APENDICES

7.1 SOLVER


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90

7.2.2 Modelo de Transporte

Se sigue la ruta:

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