8/18/2019 Guia 4 de Plano Cartesiano. Matematica 1

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Cálculo Diferencial e Integral - Plano cartesiano. Prof. Farith J. Briceño N.

Objetivos a cubrir Código : MAT-CDI.4

•   Plano cartesiano. Representación de pares ordenados en  R2.•  Punto medio entre dos puntos. Distancia entre dos puntos.•   Definición de lugar geométrico. Ecuación de una circunferencia.

Ejercicios

1. Represente en el plano cartesiano los siguientes pares ordenados

1.   (−1, 2) 2.   (2, 0) 3.   (0,−3) 4.

1,1

2

  5.   (−2,−2) 6.   (3, 1)

7.√ 

2, π

  8.   (−3, 0) 9.

3

2, 1

  10.   (3, 1) 11.   (−1,−5) 12.   (−1, 0)

2. Halle el punto medio entre los siguientes puntos

1.   (0, 0) , (4, 6) 2.   (3, 0) , (6, 9) 3. 1

2

, 4 ,−3

2

, 8   4.   (−3, 2) , (1, 2)

5.   (1,−5) , (6, 2) 6.   (4, 1) , (6,−2) 7.

1

2,−4

,

−3

2, 2

  8.   (10, 2) , (−2, 2)

3. Hallar la distancia entre los puntos del ejercicio 2

4. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que

(a) Se conserva siempre a 2 unidades a la izquierda del eje y.

(b) Está siempre 4 unidades arriba del eje  x.

(c) Está a igual distancia de los ejes  x y  y.

5. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que:

(a) Su abscisa es siempre igual al doble de su ordenada.

(b) Su ordenada es siempre igual a su abscisa incrementada en 2.

(c) Su abscisa es siempre igual a la rećıproca de su ordenada.

6. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al origen es siempre igual a 2. Hallar la ecuacíon de sulugar geométrico.

7. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (2, 3) es siempre igual a 5. Hallar la ecuaciónde su lugar geométrico.

8. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que se conserva siempreequidistante de los dos puntos  A (1,−2) y  B (5, 4)

9. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto P  que se mueve de tal manera que se conserva siemprea una distancia constante de un punto fijo del plano.

10. Hallar la ecuación del ćırculo que pase por el punto dado y de radio  r

1.   (0, 0) , r = 3 2.   (3, 0) , r =√ 

2 3.

−3

2, 8

, r = 1 4.   (−3, 2) , r =  1

2

5.   (0,−5) , r = 5 6.   (4, 1) , r =√ 

a   7.

1

2,−4

, r = π   8.   (−2,−2) , r = 3

1

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11. Escriba la ecuación de la circunferencia

(a) de radio   r = 4 con el centro en el origen de coordenadas.

(b) de radio   r = 4

3  con el centro en el origen de coordenadas.

(c) de radio   r = 5 con el centro en el punto   C (−4, 2).

(d) de radio   r = 7

5  con el centro en el punto   C 

−1,−3

5

.

12. Halle el centro y el radio de la circunferencia

1. x2 + y2 = 36 2. x2 + y2 = 7 3.   (x − 5)2 + (y − 3)2 = 49

4.   (x + 7)2 +

y +

 1

2

2= 64 5.   (x − 2.5)2 + y2 = 50 6.   (y + 2.5)2 + x2 = 21

13. Hallar el centro y el radio de los siguientes cı́rculos.

1. x2 + 6x + y2 − 4y + 3 = 0 2. x2 + y2 + y = 0 3. x2 + 3x + y2 = 0

4. x2 + x + y2 − y − 9 = 0 5. x2 − 5x + y2 + y − 16 = 0 6. x2 − 6x + y2 − 2y = 10

14. Demuestre que la ecuación dada es la ecuación de una circunferencia. Halle su centro y radio

1. x2 − 2x + 4y + y2 − 20 = 0 2. x2 − 6x + y2 + 10y + 9 = 0

15. Se dan los puntos   P  (2, 3) y   Q (10, 9). Escriba la ecuacíon de la circunferencia, cuyo diámetro es elsegmento P Q

16. Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados.

1. O (0, 0) , P  (3, 6) y   Q (7, 0) 2. K (4,−1) , M  (0,−7) y   N (−2,−3)3. A (2,−2) , B (−1, 4) y   C (4, 6) 4. P  (1,−1) , Q (−1,−3) y   R

1 −

√ 3,−2

17. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de los cuadrados de sus distancias a lostres puntos   A (0, 3),   B (3, 0) y   C (−2,−2) es siempre igual a 30.

Respuestas: Ejercicios

2.1.   (2, 3) ; 2.2.9

2,   92

; 2.3.

− 12

, 6

; 2.4.   (−1, 2) ; 2.5. 72

,− 32

; 2.6.

5,− 1

2

; 2.7.

− 12

,−1 ;

2.8.   (4, 2) ; 3.1.   2√ 

13; 3.2.   3√ 

10; 3.3.   2√ 

37; 3.4.   4; 3.5.√ 

74; 3.6.√ 

13; 3.7.   2√ 

10;

3.8.   12; 4. a. x = −2; 4. b. y  = 4; 4.c. y  = ±x; 5.a. x = 2y; 5. b. y =  x + 2; 5.c. x =   1y

;

6. x2 + y2 = 4; 7.   (x − 2)2 + (y − 3)2 = 25; 8.   (x − 3)2 + (y − 1)2 = 13; 9.   (x − x0)2 + (y − y0)2 =  a2;

10.1. x2 + y2 = 9; 10.2.   (x − 3)2 + y2 = 2; 10.3. x +   32

2+ (y − 8)2 = 1; 10.4.   (x + 3)2 + (y − 2)2 =   1

4;

10.5. x2 + (y + 5)2 = 25; 10.6.   (x − 4)2 + (y − 1)2 =  a; 10.7. x −   12

2+ (y + 4)2 =  π2; 10.8.   (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9;

11.a. x2 + y2 = 16; 11.b. x2 + y2 =   169

 ; 11.c.   (x + 4)2 + (y − 2)2 = 25; 11.d.   (x + 1)2 + y +   35

2=   49

25;

12.1. C  (0, 0) , r = 6; 12.2. C  (0, 0) , r =√ 

7; 12.3. C  (5, 3) , r = 7; 12.4. C −7,− 1

2

, r = 8;

12.5. C  (2.5, 0) , r = 5√ 

2; 12.6. C  (0,−2.5) , r =√ 

21; 13.1. C  (−3, 2) , r =√ 

10; 13.2. C 

0,− 12

, r =   1

2;

2

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13.3. C 3

2, 0

, r =   32

; 13.4. C − 1

2,   12

, r =

  19

2 ; 13.5. C 

5

2,− 1

2

, r = 3

  5

2; 13.6. C  (3, 1) , r = 2

√ 5;

14.1. C  (1,−2) , r = 5; 14.2. C  (3,−5) , r = 5; 15.   (x − 6)2 + (x − 6)2 = 25;

16.1.

x −   72

2+ (y − 2)2 =   65

4  , C 

7

2, 2

, r =√ 65

2  ; 16.2.

x −   11

7

2+

y +   267

2=   650

49  , C 

( 117

  ,− 267

, r =

√ 650

7  ;

16.3.

x −   83

2+

y −   2512

2=   2465

144 , C 

8

3,   2512

, r =

√ 2465

12  ; 16.4.   (x − 1)2 + (y + 3)2 = 4, C  (1,−3) , r = 2;

17.

x −  1

32

+

y −  1

32

= −14

9  ;

Bibliografı́a

1.   Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo”. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.

2.   Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.

Cálculo Diferencial e Integral - Plano cartesiano.   Prof. Farith Briceño

Última actualizacón: Julio 2010   e-mail : farith 72@hotmail.com

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