24

16. Observe a sequncia de trapzios rectngulos construdos como sugerido na

figura.

Seja (a n) a sucesso das reas dos trapzios, em que o trapzio de ordem 1 tem dois vrtices nos pontos (1, 0) e (2, 0) e o trapzio de ordem n tem dois vrtices

nos pontos de coordenadas (n, 0) e (n +1, 0).

16.1 O termo de ordem 20 da sucesso (an) igual a:

A) 45 B) 22,5 C) 43 D) 21,5

16.2 A soma das reas dos 20 primeiros trapzios igual a:

[A] 260 [B] 130 [C] 70 [D] 450

17. Seja (Un) uma progresso aritmtica de razo r igual a (-5) .

Qual das afirmaes seguintes verdadeira?

[A] U7 = u3 20 [B] U7- U3 = - 4r [C] U10 = U2 + 40

[D] Un+ 1 = Un + 5 para todo o n, natural;

18. Seja (Un) a sucesso cujo termo geral d a rea de cada um dos quadrados que

se obtm como mostra a figura. O lado do quadrado inicial 3; o lado de cada

quadrado seguinte metade do lado do quadrado anterior. Ento o termo geral

da sucesso (Un) :

[A] 9 x 2n-1 [B] [C] [D] 9 x 21-n

25

19. O valor da soma 3 + 5+ 7 + 9 +11 +... ... + 77 :

[A] 3003 [B] 1520 [C] 2880 [D] 3040

20. A sucesso ( Wn ) definida por Wn =

1n, 2

3

1

1

nn WW

W

O termo de ordem 100 da sucesso igual a:

A) 195 B) 205 C) 3 D) 201

21. A sucesso (Un ) definida por Un =

1n, 3

3

1

1

1

nn

UU

U

O termo de ordem 10 igual a:

[A]

10

3

1

[B] 93 2 x [C ]

9321

x [D]

103

2

22. Considere um quadrado de lado unitrio. Sendo a diagonal desse quadrado o

lado de um segundo quadrado e a diagonal desse quadrado o lado de um 3.

quadrado, e assim sucessivamente, obtm-se uma sequncia de quadrados.

Se P1 for o permetro do 1. quadrado, P2 o permetro do segundo quadrado, e

Pn o permetro do quadrado de ordem n, ento:

A) (Pn) uma progresso geomtrica de razo 2.

B) (Pn) uma progresso aritmtica de razo 1/2 .

26

C) (Pn) uma progresso geomtrica de razo 1/ .

D) (Pn) uma progresso aritmtica de razo .

Vendo um carro, que tem 4 rodas e cada roda tem 6 parafusos, nas seguintes

condies: o 1. parafuso vale de escudo; o 2. vale 1/8 de escudo; o 3. vale

1/4 de escudo, o 4. vale 1/2 escudo; o 5 vale um escudo e assim

sucessivamente. Ento, vendo o meu carro por:

[A] 1024 contos [B] 2048 contos [C] 2.097.151$875 [D] 980.750$

23. A sucesso (Tn ) definida por Tn =

1n, 2

5

1

1

nn TT

T

Prove recorrendo definio que (Tn ):

23.1 montona.

23.2 No limitada.

24. A sucesso (Zn ) definida por Zn = 11

3

1

nn

n

24.1 Calcule a somados seus quatro primeiros termos.

24.2 Prove que (Zn ) limitada.

24.3 Prove que (Zn ) no convergente.

25 A sucesso (Wn ) definida por Wn =

mpar n se 152

par n se 31

n

n

Prove que:

25.1 (Wn ) divergente;

25.2 (Wn ) no limitada

25.3 (Wn ) no montona

25.4 Existe uma ordem a partir da qual os termos de (Wn ) so superiores a

1020.

27

Temas V e VI

Propostas de questes

Funes Reais de Varivel real; Derivadas e suas aplicaes

1. Considere a seguinte funo, real de varivel real, definida por:

senxxf 23 )(

1.1 Calcule o valor exacto de

ff

3

4.

1.2 Determine, em IR, os zeros da funo.

1.3 Sabendo que 31f e que

,

2, calcule o valor exacto de

3

2cos tg .

2. Seja f a funo de domnio IR , definida por a

exf

x 1

)(

, com 0a .

Sabendo que 5)2( f , escolha a letra que corresponde ao valor de aln :

(A) 5

e (B) e5 (C) 51 ln (D) 5lne

3. De uma funo g definida em IR sabe-se que:

g injectiva

as rectas de equaes 1y e 1y so assmptotas horizontais do

grfico de g.

Qual das afirmaes seguintes necessariamente falsa?

(A) g no par.

(B) xy assmptota do grfico de g.

(C) g no tem assmptotas verticais.

(D) g mpar.

28

4. Indique qual das seguintes afirmaes falsa:

(A) Para f(x) = ex , ento f(-0.5)= - ;

(B) Para 0< a < 1, f(x) = ax uma funo decrescente;

(C) O grfico de y = a-x , a > 1, tem uma assimptota horizontal;

(D) log 3 (102) + log 3 (10

5) = 7 log 3(10).

5. Considere uma funo h de domnio 3,1 . Qual o domnio da funo

13)( xhxj ?

(A) 0,4 (B) 6,2 (C) 2,2 (D) 1,3

6. A figura representa o grfico de uma funo f de domnio .

Qual das seguintes afirmaes verdadeira?

(A) )x(f

limx

1

(B) )(

1lim

2 xfx

(C) )x(f

limx

1

(D) )(

1lim

2 xfx

7. Considere a funo f definida por xe)x(f 1

3

1.

7.1. Estude a funo f quanto existncia de assmptotas paralelas aos eixos

coordenados no seu grfico.

29

7.2. Resolva analiticamente a equao 1xf , apresentando a soluo na

forma )ln(ke , onde k representa um nmero real positivo.

7.3. Analise a funo dada quanto monotonia e existncia de extremos.

8. Seja f a funo de domnio definida por

1)1ln(

14

123

1

)(

xx

x

xx

x

xf

8.1. Determine caso exista, )x(flimx 1

?

8.2. O que se pode concluir quanto continuidade de f em x=1?

8.3. Prove pela definio que a restrio de f a IR- injectiva.

8.4. Prove analiticamente que 1)0( f .

8.5. Determine analiticamente uma equao reduzida da recta tangente ao grfico

de f , no ponto de abcissa zero.

9. Considere a funo g da qual se conhecem as seguintes caractersticas:

3)(lim0

xgx

g contnua esquerda em x=0;

1)1( g e 0)1(

g

0)1()(lim

xxgx

As rectas de equaes 3y e 0x so assmptotas do grfico de g.

Em 2x a funo g contnua mas no derivvel.

Esboce um possvel grfico para a funo g de domnio IR indicando, de

acordo com esse grfico, o contradomnio da funo.

30

10. Considere a funo de domnio IR definida por

xsenxxg 2

22cos3)(

10.1 Mostre que )2cos(2)( xxg

10.2 Determine os zeros da funo pertencentes ao intervalo 2,0 .

10.3. Indique o contradomnio da funo h, definida por h(x)= 3+ g(x).

11. Considere a funo f representada graficamente na figura seguinte.

11.1. Escreva, utilizando intervalos, o

domnio e o contradomnio da funo.

11.2 Escreva equaes das assmptotas

do grfico da funo.

11.3 Sabendo que o ponto

2

3,0

pertence ao grfico escreva uma

expresso analtica que permita definir

a funo.

11.4 Indique, justificando, o valor lgico de cada uma das seguintes frases:

11.4.1 f crescente em IR\ {1}

11.4.2 2)(: xfRx

11.4.3 1\, Rxxfxf

11.4.4 1\, Rxoxf

11.4.5 f (x)

31

12.1 Simplifique a expresso analtica, escreva-a na forma dx

baxj

)( e

indique o domnio em que essa simplificao vlida.

12.2. Sabendo que a expresso simplificada de )(xj equivalente no domnio de

j da funo )(xf diga, justificando, se os grficos das funes f e j so

iguais.

13. Pretende-se desenhar um rectngulo com 80cm de permetro.

Qual das expresses seguintes permite obter a rea (em cm2 ) do rectngulo,

em funo do comprimento x (em cm) de um dos seus lados?

(A) xx 40 (B) 280x (C) 40xx (D) xx 80

14. Nas duas figuras esto representadas graficamente as funes g e f. Qual das igualdades seguintes verdadeira?

(A) 11)( xgxf

(B) 11)( xgxf

(C) 11)( xgxf

(D) 11)( xgxf

15. Se g uma funo par e P(1,-2) pertence ao grfico de g, qual dos pontos no

pode pertencer ao grfico de g?

(A) )2,3( (B) )2,1( (C) )2,1( (D) )1,2(

16. No referencial monomtrico da figura, est

representada a recta r que contm a origem

do referencial e tem inclinao 45 e

a parbola, grfico da

y

x

0

A

B

32

funo26)( xxxf

, o ponto A comum recta e parbola e o ponto B

comum recta e ao eixo XX.

16.1 Prove que A(5,5) e que B(6,0).

16.2 Calcule a rea do tringulo [ABO].

16.3 Determine, a taxa mdia de variao da funo f, relativa ao intervalo [1 ; 5]

16.4 Prove, recorrendo definio de derivada de uma funo num ponto, que

24 f .

16.5 Determine, recorrendo funo derivada de f , as coordenadas do ponto C,

do grfico de f ,no qual a recta tangente tem declive 3.

17. Considere a funo g , de domnio 1\IR , definida por x

xg

1

12)( .

17.1 Determine o conjunto dos nmeros reais x tais que 1)( xg .

Apresente a resposta final na forma de intervalo ( ou unio de intervalos).

17.2 O grfico da funo dada tem duas assmptotas. Escreva as suas equaes.

17.3 Na figura esto representadas graficamente

a funo g e a sua derivada g . Os pontos A e

B so os pontos de interseco dos grficos.

A funo derivada de g a funo definida

por 21

1)(

xxg

.

. Determine uma equao da recta tangente

ao grfico de g , no ponto de abcissa 3.

18. Seja 3,3u um vector director de uma recta s. Supondo que s tangente ao grfico de uma funo g num ponto de abcissa a, podemos afirmar que:

0

A

B

33

(A) 3

3)( ag (B)

6)(

ag

(C) 3

3)( ag (D)

3)(

ag

19. Uma funo f tem domnio IR e contradomnio 0IR .

Qual das seguintes expresses poder definir analiticamente a funo f ?

(A) senx (B) 3x (C) x (D) x

20. Considere a funo de domnio R definida por

2cos3)(

senxxg

20.1 Determine as solues da equao 1)( xg pertencentes ao intervalo

;2 .

20.2 Prove que verdadeira a afirmao: O contradomnio de g um conjunto

limitado.

20.3 Calcule a ordenada do ponto do grfico de g, cuja abcissa 23 /6.

21. Na figura esto as representaes grficas das funes f e g de domnio IR . Responda s seguintes questes, apresentando os clculos ou justificaes

necessrios.

21.1 Determine o valor de:

21.1.1 3 fg

21.1.2 31 g

21.1.3 )2( fg

21.2. Calcule:

21.2.1. A taxa mdia de variao

de f, no intervalo 2,3 .

21.2.2. Um intervalo onde a taxa mdia de variao de g seja negativa.

21.2.3. Os valores de IRx para os quais 0)( xf .

4

2

-2

-4

y

-10 -5 5 10x

y=g(x)

y=f(x)

0 1

-3

2

3

-1

34

21.2.4. O domnio da funo g

f

21.2.5. Os valores de x para os quais a funo gf no negativa.

21.2.6. O domnio da funo g .

22. O grfico de uma funo g tem por assmptotas 2x e 5y

Ento o grfico da funo f , definida por 2)1()( xgxf tem por

assmptotas:

(A) 73 yex (B) 71 yex

(C) 33 yex (D) 31 yex

23. Na figura encontra-se representada uma funo h , de domnio IR.

Qual dos conjuntos seguintes poder representar o domnio da funo g

definida por )(

1)(

xhxg

(A) baIR ,\ (B) ba,

(C) ; b (D) ,, ba

24. Considere a funo 2

13)(

x

xxf ;

24.1 Escreva f(x) na forma dx

baxf

)( ;

24.2 Indique o domnio e o contradomnio da funo.

24.3 Determine as assmptotas de f ;

24.4 Determine analiticamente os valores de x para os quais a funo positiva.

24.5 Determine pelo mtodo que achar conveniente )2(1f .

x

y

35

25 Determine o domnio de cada uma das funes reais de varivel real f, g, h, j assim definidas:

f(x) 76

25

2

2

xx

x

g(x)= 32 x

x

h(x) = 52

13

x

x

j(x)= 2||

1

x

x

26 Defina, por uma expresso analtica, uma funo racional com as seguintes caractersticas:

a) Tem uma assimptota horizontal y = 4 , tem uma assimptota vertical x = 3 e a

imagem de 1 1. b) Tem dois zeros x = 4 e x = 3 e duas assmptotas verticais x =1 e x = 2 .

27 A previso da evoluo do preo de um determinado produto calculada pela

funo P, definida por

1

9503000)(

t

ttP

Em que P significa o preo em escudos caboverdianos e t o tempo em meses.

27.1. Qual o preo inicial do produto?

27.2. Qual o preo ao fim de 2 anos?

27.3. Haver uma altura em que o preo seja aproximadamente 620 euros?

27.4. Interprete no contexto do problema a assimptota horizontal do grfico da

funo.

28. Sabe-se que o ponto P (1,3) pertence ao grfico da funo . f (x) = 2ax 1, a IR. Qual o valor de a ?

(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 2

26 Na figura 1 est representada parte do grfico de uma funo g, de domnio IR e

contnua em IR \ {-2}

As rectas de equaes x=-2 e y= 1 so as nicas assmptotas do grfico de g..

36

Seja (xn) uma sucesso tal que (xn) = +

Qual das expresses seguintes pode ser o termo geral da sucesso (xn)?

(A) -2 + (B) -2 - (C) 1 + (D) 1 -

27 A figura representa parte do grfico d funo f , de domnio IR, sendo y = -1 a

equao da nica assimptota do seu grfico.

30.1. Qual o valor do ?

(A) - (B) - 1 (C) 3 (D) 3

27.1 Verifique se verdadeira ou falsa, cada uma das seguintes afirmaes:

A funo derivada da funo f uma funo afim.

A derivada da funo f nunca se anula.

37

A segunda derivada de f negativa.

28 A massa de uma substncia radioactiva diminui com a passagem do tempo.

Supe-se que, para uma amostra de uma determinada substncia, a massa, em

gramas, ao fim de t horas de observao, dada pelo modelo matemtico:

M(t) = 15 e-0,02t para t > 0.

Resolva, usando mtodos analticos, as questes que se seguem.

30.1. Ao fim de quanto tempo se reduz a metade a massa inicial da amostra da

substncia radioactiva? Apresente o resultado em horas arredondadas s

centsimas.

30.2. Mostre, justificando, que houve pelo menos um instante, entre as 2 horas e

as 4 horas aps o incio da observao, em que a massa da amostra da

substncia radioactiva atingiu os 14 gramas.

29 Considere a funo g, de domnio IR, definida por

g(x) = 2 + sen (4x) .

32.1 Estude a monotonia da funo g, no intervalo ]0 ; 2 [ , indicando o valor

dos extremos relativos, caso existam, e os intervalos de monotonia.

32.2. Resolva em IR a condio g(x) < 3/2

30 Considere a funo g definida graficamente ao lado.

38

32.1) Determine:

o domnio e o contradomnio

o conjunto onde g(x) > 0

os zeros

os mnimos locais e os respectivos

minimizantes

o mximo absoluto

um intervalo onde g positiva e

injectiva

33.2. Complete : g(-2) = . . . . ; g(-) = . . . . . . ; g( . . . . )= 2 .

33.3. Construa a tabela de sinal da funo g.

33.4. Construa a tabela de variao da funo g.

33.5. Determine analiticamente a expresso analtica da funo g para valores de x inferiores a 2

34. O ponto (-1, 3) pertence ao grfico da funo h cuja representao representado

a seguir.

39

34.1. Quais so as coordenadas do ponto correspondente ao grfico de g sendo

g(x) = h(x+3) ?

(A) (-1, ) ; (B) ( -1, - ) (C) (-1, ) (D) ( -1 , 3 ) .

35. A magnitude de um sismo na escala de Richter dada pela expresso

M (w)= 0.67 log (0.37 w) + 1.46

Onde w representa a energia do sismo em Kw/hora.

35.1. Indique o contradomnio e explica o seu significado para essa funo

concreta.

35.2. Determine a magnitude de um sismo com energia de 50 000 Kw/hora.

35.3. Caracterize a funo inversa de M.

35.4. Determine a energia de um sismo de magnitude 7.

36. Mostre que log(1 - x3) log(1 - x) = log (1 + x + x2 ) , x - , 1 .

37. Considere a funo g definida por g(x) = .

37.1. Determine a(s) equao(es) da(s) assimptota(s) ao grfico da funo g

37.2. Determine para que valores do domnio o grfico da funo dada situa-se no semi-plano inferior.

37.3. Analise a funo dada quanto monotonia e existncia de extremos.

38. Seja f uma funo real definida por

38.1. Analise se a funo f continua para x = 2

38.2. Investigue, utilizando a definio, se existe derivada de f para x = 2.

40

39. Esboce o grfico de uma funo que verifique simultaneamente as condies seguintes:

tem domnio -5 , 6 ;

no tem derivada, mas contnua para x = 5 ;

descontnua em x = 0 ;

tem derivada negativa para x < 0 ;

tem uma assimptota vertical para x = 6 .

40. Considere as funes reais de varivel real g e h definidas analiticamente por :

x g(x) = x h(x) =

40.1. Escreva a expresso da funo g na forma y = a + b/(x+c)

40.2. Determine o domnio, contradomnio da funo g.

40.3. Indique as assimptotas ao grfico de g.

40.4. Construa a tabela de variao de g.

40.5. Resolva e apresente o conjunto soluo da equao g(x) = f(x)

40.6. Caracterize a funo composta f o g , referindo domnio e expresso analtica.

41. Para que um medicamento produza o efeito desejado, a sua concentrao na

corrente sangunea deve estar acima de um certo valor, designado por nvel

teraputico mnimo.

A concentrao do medicamento Semdor, t horas aps ser ingerido, dada

pela expresso C(t) = , em mg/l e o seu nvel teraputico mnimo de 4

mg/l. Determine quando excedido esse nvel teraputico.

41

42. Identifique qual das seguintes afirmaes falsa:

(A) Para f(x) = ex , ento f(-0.5)= - ;

(B) Para 0< a < 1, f(x) = ax uma funo decrescente;

(C) O grfico de y = a-x , a > 1, tem uma assimptota horizontal;

(D) log 3 (102) + log 3 (10

5) = 7 log 3(10).

43. Observe o grfico seguinte representativo da funo g e, das afirmaes que so feitas, escolha a nica que verdadeira.

(A) A funo g(x) = f(x + 4) tem contradomnio

positivo;

(B) Existe a funo inversa de f;

(C) O grfico de g(x) = f(x) + 4 obtido a partir

de uma deslocao do grfico de f associado

ao vector (4,0);

(D) f (-4) no existe .

44. A figura abaixo representa o grfico da funo f. Escolha a afirmao verdadeira:

(A) e ;

(B) e

(C) e ;

42

(D) e .

44. De uma certa funo f : IR+ IR sabe-se que:

f(1) = 0 ;

a sua derivada, f definida por f (x) =

45.1. Escreva uma equao da recta tangente ao grfico de f no ponto de

abcissa 1.

45.2. Poder concluir-se que f continua para x = 1? Justifica a tua resposta.

45.3. Estude a monotonia de f e averigua quanto existncia de extremos relativos.

46. A funo p, definida por p(x) = 3600(4/3 )-x

+ 40x para x > 0, usada para

determinar o preo (em contos) do automvel Prado 4D, passados x anos aps a

sua compra.

46.1. Qual o custo inicial do carro.

46.2. Determine o custo do carro ano e meio depois da sua compra.

46.3. O Sr. Antnio gostaria de ter esse carro, apesar de no ter condies para o

comprar novo. Sabe que apenas pode dispensar 50 contos mensais durante

ano e meio. Qual o nmero mnimo de anos do Prado 4D que o Sr Antnio

pode comprar?

46.4. Caracterize a funo inversa da funo j, definida por

j(x)= p(x) 2(1 + 20x)

47. Esboce o grfico de uma funo que verifique cumulativamente as condies :

- tem apenas um zero para x = 2 ;

- tem a segunda derivada negativa para x < 0 ;

43

- continua mas no derivvel para x = 0 ;

- para x>0 tem a primeira derivada positiva ;

- para x>0 tem a segunda derivada negativa.

48. Considere as funes f , g e h assim definidas

1 se 2

5

1 se 54

)(

2

xkx

k

xxx

xf

)32(log2

1)(

2

1 xxg 2 2( ) .cosxh x e x

48.1. Determine o valor de k, de modo que a funo f, seja contnua em x = 1.

48.2. Utilizando a definio, calcule f (1+) .

48.3. Resolva a condio )1(log)(2

1 xxg .

48.4. Identifique, em relao funo h, a afirmao verdadeira:

A) h(5/2)= - e-5 B) h(5/2)= e-5 C) h(5/2) = 101

e

D) h(5) = 10)(

1e

E) h(5) = 0 F) todas as alneas anteriores so falsas.

49. Seja a funo m real de varivel real definida por:

2 8( )

3

xm x

x

49.1. Estude a funo m, quanto monotonia e existncia de extremos relativos.

49.2. Escreva as equaes das assimptotas verticais e no verticais, caso

existam, do grfico da funo m.

50. A maquete de uma escada foi construda com a retirada de um paraleleppedo

recto e rectngulo, de outro paraleleppedo recto e rectngulo de dimenses 12,

4 e 6 representada na figura seguinte.:

44

x

y

x

y

x

y

50.1 O menor volume possvel para essa maquete :

A) 190 B) 180 C) 200 D) 194 E) 240

50.2. Analise o significado geomtrico do volume retirado nas condies de 1.1.

51. Uma funo f representada graficamente de acordo com a figura ao lado.

Uma representao grfica da funo derivada

de f pode ser:

(A) (B) (C) (D)

52. Dada a funo 3( ) 6g x x x , ento os zeros da sua funo derivada so:

(A) 0, 6 (B) 2, 2 (C) 1

,16

(D) 3,1

53. Uma bola lanada de baixo para cima na vertical e a sua altura em relao ao

solo dada pela funo 2( ) 45 5e t t t , onde e o espao percorrido em

metros e t o tempo em segundos.

53.1 Determine o valor da velocidade mdia da bola no intervalo 2,3 . 53.2 Calcule a velocidade no instante 2,5 segundos

53.3 Determine a altura mxima atingida pela bola.

x

y

x

y

f

45

54. Para cada valor real de a, a funo f representa uma funo real de varivel

real.

ax xx

axxxxf

se 1

se 32)(

2

2

54.1 Para que f defina uma funo contnua, qual deve ser o valor de a?

54.2 Para a = 0:

54.2.1. Analise a funo obtida em relao monotonia e existncia de

extremos.

54.2.2. Calcule as derivadas laterais da funo obtida, no ponto de abcissa x=0

e conclua sobre a existncia de derivada nesse ponto.

54.3 Escreva uma equao da recta tangente ao grfico de f no ponto de

abcissa x= 1, quando a = 3.

54.4 Mostre que para qualquer valor de a, o contradomnio de f no um

conjunto limitado.

55. A funo j est definida em IR por j(x) = log1/3 (2x - 1) + 4log1/3

55.1. Determine o domnio da funo j dada.

55.2. Determine para que valores do domnio, o grfico da funo j situa-se no

semi-plano superior.

55.3. Mostre que j injectiva no seu domnio (primeiro utilize as propriedades do

logaritmo e depois analise a injectividade da expresso obtida luz dos

intervalos de injectividade dos polinmios do 2 grau).

55.5. Escreva uma expresso da funo derivada da funo j

56. Quando uma substncia radioactiva se desintegra, a sua massa, medida em

gramas, varia de acordo com uma funo do tipo

m(t) = a.ebt , t > 0,

em que a varivel t designa o tempo, medido em milnios, decorrido desde um

certo instante inicial. A constante real b, depende da substncia e a constante

real a a massa da substncia no referido instante inicial.

Relativamente a um certo fssil, sabe-se que:

46

a massa de carbono-14 nele presente, mil anos depois de um certo instante

inicial, era de 2,91 g

a massa de carbono -14 nele presente, dois mil anos depois do mesmo instante

inicial, era de 2,58 g

Tendo em conta estes dados, determine:

o valor da constante , para o carbono -14;

a massa de carbono -14 que existia no fssil, no referido instante inicial.

57. De uma funo f de domnio [1; 3] sabe-se que:

f contnua em todo o seu domnio

f(x) < 0 para qualquer x do intervalo [1; 3]

f(1)= f(3)

Das afirmaes seguintes em relao funo f, identifique as que so

verdadeiras:

a) A funo f uma funo constante.

b) O grfico da funo f situa-se no semi-plano inferior direito

c) A funo f ou montona crescente ou montona decrescente.

d) A funo f admite x=1 x= 3 como maximizante

e) Se a funo f no for constante ento admite extremos.

f) Nada se pode concluir em relao injectividade da funo f.

58. De uma funo f, de domnio IR, sabe-se que:

a sua derivada, f , definida por f (x) = (2-x)ex

a ordenada do ponto de interseco do seu grfico com o eixo dos yy 3

58.1 Escreva uma equao da recta tangente ao grfico de f no ponto em que

intersecta o eixo dos yy

58.1 Identifique os intervalos de monotonia da funo f .

58.2 Conclua sobre a existncia de extremos.

59 A funo real de varivel real g, est definida analiticamente por :

47

g(x) =

59..1 Determine o domnio da funo dada.

59.2. Calcule o

59.3. Justifique a afirmao : a recta tangente ao grfico da funo g no ponto de

abcissa 4, decrescente.

59.4. g no admite assimptotas horizontais. Apresente os clculos que provem a

afirmao.

60 Sabe-se que a concentrao, C, em miligramas por litro, de um analgsico, na circulao sangunea, t horas aps a sua ingesto, dada por:

C(t) = 10 (e-t e-2t)

60.1 Determine o tempo necessrio para que a concentrao desse analgsico

seja superior a 0,01.

60.2 Mostre que C(t) = 10 (2e-2t e-t)

60.3 Determine o tempo (hora) a partir do qual a concentrao comea a

diminuir.

61 A funo m, definida analiticamente por m(x) = 1+ e1-tg (2x)

61.1 Determine o domnio de m

61.2 Determine os valores de x que satisfazem a condio m (x)= 2.

61.3 Calcule m (x).

61.4 Verifique se m admite assmptotas.

62 Na figura seguinte est representado um projecto de uma escultura em cimento

para o jardim de uma escola, constituda por uma esfera colocada sobre um

cubo.

Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de 2 metros.

48

Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de trs possveis concretizaes desse

projecto.

Designe por x o raio da esfera (em metros):

62.1. Indique, na forma de intervalo de nmeros reais, o conjunto dos valores que

a varivel x pode assumir.

62.2. Mostre que o volume total, V , em metros cbicos, da escultura dado, em

funo de x , por

62.3. Determine o raio da esfera e a aresta do cubo de modo que o volume total

da escultura seja mnimo. Apresente os resultados em metros,

arredondados s centsimas.

63 Considere o tringulo da figura inscrito numa semi-circunferncia de centro C.

63.1. Justifique que o tringulo rectngulo.

63.2. Exprima a rea (A) do tringulo em funo do raio e do cateto x.

63.3. Qual deve ser o raio da circunferncia para que o tringulo tenha rea 10 e um cateto seja o dobro do outro?

2m 2m 2m

x

. C

49

63.4. Se o raio for igual a 5, qual a maior rea do tringulo inscrito?

64 Na figura pode encontrar parte da representao grfica de uma funo f, de

domnio IR.

Tal como a figura sugere, o eixo OX e a recta de equao Y=1 so assmptotas

do grfico de f.

Seja g a funo, de domnio IR, definida por g(x) = ln [ f (x) ]

Numa das opes seguintes est parte da representao grfica da funo g.

Em qual delas?

65 Considere a funo f definida

50

analiticamente por geometricamente por :

65.1 Determine a distncia entre os pontos do grfico da funo f para os quais

admite extremos relativos.

65.2 Determine os zeros de f e construa a tabela de sinais de f.

65. Observe o grfico seguinte relativo a uma funo f de domnio 1,1; 4 e

contradomnio 0,2 ; 1.

65.1 A partir do grfico apresentado, represente graficamente as funes

definidas por:

a) f (x) + 1;

b) 3 f (x);

c) f (2x);

d) f (0,5x);

e) |f (x)|

f) f (|x|).

-1 0 1 2

y

x

51

65.3 Identifique, para cada uma das funes anteriores, o domnio,

contradomnio e zeros.

66. Considere a funo f de domnio IR e de contradomnio [a , b [, com a, b IR.

Indique, justificando, os contradomnio das seguintes funes:

a) f (x) 3

b) 3.f (x)

c) f (x 3)

d) | f (x) | sabendo que a < 0 e que b < 0