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Grupo de Pesquisa História e Educação Matemática

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j\'!EMORIA

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DEDJCA

o T!UDUCTOR


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PHEf?ACIO

olrcl'~(lndo 110 publico csta tnulucc:l0 lla ohm]ll1,lhnllla de Condorcct-.IIoytlIO d'llprendre Ii COli/1'/'-1' ;flU'elIII'llt d atee {aci/ili-, PlII'OCClI'llOS que~el'ia uti! e"horn.r, ::Linda ::t tra<;o~ r:I]litios. limauotiria dos !ll'illcil){\C~ ncolllc~illlllllto~ tln. vi(\;l. dolila illusf.!'c ([lIIi0 Illl'cli7. sCl'vidol' da l1umiuddadc.

1';1l1 csta CI'CIl/in. c;<crevemOi;\ (If; linhl\S que so Sil/oillC11l iu:ercn !.h' Condorcet, e quo, !'lClll cnccrrat'emcl'tlldo biogl'aplJico, cantern 0 resumo de sua \'i'la.11l1hlic:'l. csb~ad:\ com bnta fldelidllde quanta!}("]'mitlcm os cstll(lo_~· historjcoi a seu !'('!'lpcitCl.

M. J. Ant. Nic. Caritat, marquezde CONDORCET

Uc lloiJre proce\ICllci1\ vcia i' IllZ, 0111 17 ue ~I'

""mum ((0 1713 I'm Ribcmontc, 0 11l1l1'qUOl de CondOl'cot. DUl'antu O~ pl'imeil'os annos tI ' !'Iun illf:mc:l:\di!'ll)(m~a!'am t11l,} O~ SOliS mniores ct:llcac,:iio qllr.pOl' pfrmillil.da, pl'c,jnl1icou 0 sell rlo~or.\'oh·imCllto

plt.\'.~h::o scm, se:J;lll'flmente, eOllCOl'lel' p:ll'1\ 3.\'igo.l"al'-lhe u:; fucnJdatles intellectuucs. J:"l ntl. idlldc tlron1.C rtUIlOS deixllll elle:u; vestes feminina.s, quc at,",


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Hit

l'nt;io tr·OIlXCra. C foi l'IlII'rgue aos cllidados do."jf'.,.uHas de Rcims: que Ihe rnini."(I'.'I.I'am 0" prirncir'o>:rlclllellUlS Je instruCt;;io, :\It\ aos qu"n7.e ann03,quando ;«!!l'uio para Pariz a comp!e(llr Of; e~tuflo"no collrilio lie Xa\"llrJ':l, Cere•• Jo urn 1111110 depoi~

flefL'llllia clle uma thp8/3 sobre .1 ,ltdy$", ar;;:,ui:lo POtd'.\[rmbcl't, ClaiI'<lut e Fontaine. C 0 fez com tal!lro:iciencinque encheu de adrnil'ac;iio seus P0l"<:'ctoojuiz"!'l. que logo Ihe aUjfllrnram a brilhante C:lrl'eiraque triJhou. Fa! r.;-te 0 sell primril'O lla.'N nolllunl!o !'lcientifico. D,)U" anno" depois cscruvia clleUn! opusculo. dcdi"allo a Tllrgot. intitulado JJi.,haPI'Ofi~~ilio de (i. c aos "inte e dous ::Innos dirigin II.A cadr:mia das scir:llciu$ ()I'; HIlS(lfo~ sabre 0 calculoill/t'g!'((I, qlle cOllstitUl'lU um t.I'u!Jalho de elcvndnirnpol'lnncia e que mOl'eeeu os llHtiores clogios do.plIl'le de d'Alembcrt.

Contilllltudo em PI'O.'lIJl(]n::: illdagaqoos scientj.flcns, escrCWlI aiuda 0 illustro mnthl'matico diver.~ns obl"lIs sobrll asslIlIlllto.s: como fo.'>Scrn-Calclilod,,1$ diff/'rell fJU fill i/().$ ,-S(l'if!s I"<,ICfJ'fr"'IIf!S,-Calcufod,' prQIJf(I!I'ljdadr~_, etc., que 0 c'lllocaram na alt uradO$: mniore.~ .;:ahios de srll t.empI) c petmittirarn-lhenlcanqal' lu;;al' di,tincto entl'c os (Iue mnis illu~tr:Wttlll ent:l0 a Fl':ln<:~'l.. elc\'nntlo-~e {, di!!lIiJa'lede !'t.'l.:I'Ctnrio pcr:-etuo da AC:ld"lIIla dtl.,,, stl,'ncia$e tarnhem de membroda Acad·'mia Frall~l'" 0.",1f'

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disti:l:::lliO-~C ainda pOl' S(:II<: 1mbalhos littcl':1rios,consegllinrlo gl':l.llficar a admirac:flO de Voltaire,com quelll pri\"oll pol' mllil.o tempo. A~sim explllldindo-se 0 sell t."Itento, pudc clle, mai~ {~ vontndc, exercit,:lr 0 s<,u incomparavel pOtier :l.llalylioono c~tudo c10s [heto!! sociaes, como eonlirmam osSOliS trn.hn\hos cscriptos nn.!! vesperas 0 tllll'ante al'evohu;ao de 8\.1,

Digaffios de passagem. que, ainda que cntrcgllea novo curso de hl{'as. j."mais deixou de cultivara<;sidu:rnf'nte 1\ sc:iencia que Ihr del'n. luT. ao espi!'ito e que occupam exclusinlme:lte os primeirosal1no~ de Slla brilhant(l carl'ciru .•-Ao cho[.{lll'em Ii Europa. os pl'imciros 6005 do.indepenrlcaciu. americana, ,·ol!nram·se as "l«'tns deColidOl'cct para 0 estado social do vclho C<lntincntec partieularmentc de sua p;.ltria; fen e<;pil'ito,(critlo peln dccomposi~iio da mOllar('llia a\)!l(\lutac de todn!! as vellHul instituiqul's, pl'o-cntio 0 ahaloq110 ia SOrrl'el' 0. oi "i Iisag;1O occirlen tal e tu tV()Z mesillO a terrin}1 cO'lvu!l:lao qlln f\meaqasa. sun propriapah-ia. Suns id':>:ls f1xaram·se dellniti\'ameulc I1U!>illl:ilituiC;:ues republienna~, lie modo que no nascer arcYolu~iio, tinha elle 0 espirito pl"rreitamente prepl\l'ado e eonstituia mil Ynlio~o clcmcnto para au"X i1ial' 0 regular dasen vol \' imonto d"s 1l0VtIS ideftS.

- Ate 1780 Sl~ conscrvarn om celilmlo CCOlltava


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x

jll qUincntn. e qualro anllO!;, quando 0 arnOt' veto.'Jorpl'cIIClllld-o no nlCio de stlns llJl'ditu~Gcs (' lev 011-0 a eontnlhir 1I11pcins {'Olll Mlle. Grouchy.irma do depais m:u'echal do Illl.'''mo Ilome. A lelicitlnde destl\ amONS,' ulliiiu !lim fol cntrotantoIImito looga; dUl'OU npena!'! oito UllllOS que, formamo romplcmento do. ,-ilia social dc"tcgrandc ~Cr\"i(lor

dn. humnnitlade.

- Dcput:H[o {t lcgislativll c membro dll ronstituinta c da COIlWllli,;i!O, presidio a u&"cmblc(t rmli92. Hm'Ullcnte ('I't\ sua voz ouvida lin Il'ibunll.IIOl'o}lll 0 sell con;;elho j;unais foi <!('spl'csado c 0>;Ctl talcula imllll!\h~h~(', InosmU Sell] os artillciOi3 daOl'atorill, que lhccl'um Jledado~ pela LnrlllCZ:L phy8ictl como peln repugnant.'ia tltlP' 8"11 carader 0ll

punhn {IS dccisves lUlllUltUOSn!;,Dopais do 10 de Agosto foi ('nral'l'cgado pela

N:!Iemblca \10 diril;il' urn manifesto il Europa e aosfrnncezcs 1'~plican,lo a supprcss;10 do Ilei. Foielcito membro e ti nhll todl\ inflllollcia 111\ C0mmissfiocomposta ill" git'ondinas, a cargo dn qual Ikoll 0

jll'ojecto de \'on"tituil::tio qUt:, unIn Yez apl·l'"clltlldo.roi udiado pOl' instancills da montanha, cujlll> opilJilles t\caLU1'[l.m pOl' JlI'edulllinal', sontlo 1I01llQllda

outra commissiio pam ol'gani!llll' noyo [lrojccto,antes de euj:L discu!:s3:o foi docretlllia a arre.st:u:iio(Io~ principacs chefrs gi rondino".


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XI

ConJorcet manifcstou -se cnergicamclltc contra unovo pl'ojecto c protcdoll contrll. a violcncia fcitnIl.OS SCllS cOrl"Ii;;ion:\rio~('m lIlll Jnnnifc5to dirigidono poro. Seu cseripto loi dClltlneindo ti COllvCTI~iio

porChobot c estll. challlOll-O il bal'l"1 para respondel'.CondorC'ct l'abia 0 que cspel'ar desse t"I'rivC! tri·bUllal c I,ro('ol'ou fugir tis SIIh!> g:ll'l'as.

:\ 1110atanlli'\ .'j,i csper:l\'a occasiiio niHla pal'n,vbtel' da COllvrnllao a nl'l'cst,u;iio de mais csta vi·ctima. ('omlol'c.. t havill, pol' occ:l$iiio llo julga-mcnto de Luiz X\"l, rn\"idarto todos Of: esfor\;osllJlr::L r\ital' a COlllllllUli:i'~i'iO do d('sgl'a~:\(lo rCi itmorte; 0 S:Cll \'oto foi c p..ja penl mais grate quemio s,ja a de ItWrk ~ C, Um'll ....ez condemnado 0

rei, apprllon !)ara 0 PO\·o. E~tes faclos dCIHllIcia·"am clarn,meut" ao~ jJlC'obinos ll. bL'andura e eomp3.s..<ibilidaup do seu carnctcl', e !)Or is:;o nao trepi!lararn em submcll.cl·o ll. julgamcnto. Foi, pois,Condorcet cnndtlmnndo it mOJ'te pOl' contllma.cia,Ileus hens f"wam confiscado;; c seu nome inscl'iplonn li'ltn dos cmigr:Hlo;:.

.\lgllm temponn/(ls dc~tc tCl'rivel ncontecimcntoli't\'n impresso, pol' ol'dem ua Conven~o. urn dosultimo'" ('!<Criptos que es~ gl'antle espirito deu :'llllZQuadl'(J dos jJi·ogre.'·so$ do espiritQ hUl1l(lIto. - Comoj:'l IJi~scmos, proclll'ilra clle fugir (IS ganus da Con~

...·enc;;io, ao s..'\bcr <In Ilenllncia. que delle dera ella·


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XI!

hot; com elfllito con~e.:tuio O~Ctllt:\I'-se r1m':llltn1I0ve lllC7.C8 em ca~:\ tit! Mme. YOl'llct. rlljn A'C'IIOl'(l~itl::v[e dlt'gfl\"a as,'illl :\0 ponto olc, pol" tau precio"'lexi;>tenC'ift, expor a prnpria cfl.~a Dur'lllte est"tempo ('scrc\"ell clle 0 lil'l'lllho fjue ol'a tmdllzimos e pol' (1m, l'c::eiando compl'Ornetlel' sua g'O

nero'a gUfl.l"diil, ~t\.hiG sem SCI' pl'escnti,IG, :ltr:\·"CSSOil Pariz e i'oi tel' :\ nldc:\ tic CIl\Ill:lI't,

Esta ultima pcrcgl'inarJ,o tlm'oll dOllS di:UI, :lO

CftOO dos qll:le~ a fume ob~i'l"oa-o a entrar emtlma miscl'a,-el taverna, onJe suns mnneiras, alll'anCllrn dc suns mlio!! e a rli'itinecilo tic Sll:l ph)l"ionomiadespel'brnm suspei:a~, quI' dernm lugaraser elle prcsue conduzido t\ Bouq b.-Reine ondefoi enetu'ccralio n"; de ,\111'jl de 1";9-t A tl, (IUnnd,)clLegal'am os ftuardas p:H'll conrluzil·o n Pari;: en·cO:ltrarllm-o mort,:" ao nbril' a prisiio, ,'el'iilcnn,do-se (Ine so havia ello enl'cntmado, scrvindo-sopart!. i~sodv uma sub~tanciR que trazin no cast:lo deum ancl. ..

T<i.o triste sorto concol'l'e aill'.l1\ pn.m mais renlQfu'o lil'ilho des..~e tal€Jlto pri\"ilegildo, que scm du\'idateria prcstado a~ig,l:\la,10,~ :s':'rviQo~ :1 sua patl-ia,so hou\'cra sido chnmado a tl'abnlh::l.t' na Sll:l. l'eOl'·ga!lisa~io_

o Tluon,Oll.

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AlIITlDl ETICA

i',\R,\ '\1'IlE~"RR ,\ (:ovr,\H. CO)I SEGUR'\~1j.~

l'; ~·'\Cll,Il)AlIl';

se cm prescnQa de dOlls objeett>s quaesquer quenos pal'ccem semelhantcs, dirigilllos n atteot;ao pitTa.c:l.da urn em particular e em ~eguidn para a reu·niao dos dOllS, lormamos a iMa de um objetto c deflous objecto~. de um e de dous.

So depois de lWI e dut" vemos tl'e&, fJuatro, formamos a principio a id~n do lIlJI, em segllida a jledmlS, tlell'es, do ql/(I{ro, quo niio silO 11m C(Iue ditTe·f('m eatre si ; istO C, forruamos a idea de unidade c!I 110 que 6 tWI repctido mais 011 monos vozes, ahlt\a do IIlmuro, (n)

Aos llumcros foram dados nomes ; nssim urn !'Cu·nido a l'nt denomina-so dous, c a meSmu,COllsa que,10118, (} igual a dOlls; 'Urn cum S;.1o--dolls

em I'clluide a dous ou, a quee 0 masma. a. um eII IflJl, denomin:l'se tres, c igual air,;, ,. 11111 e dOHSliao-tre.r.


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-~-

Um \','llllido 1\ I"/,$ dcnomina-Rc qlUlIIVl, 0 igual :\qualro; 111I1 c t,.c.; silo-quairo,

If,a r('unido :\ 'illfltrt) licnomllla-sc Cill!:l', CiguaI aciIIC"" It,ll C qUai"V S~tO-cillco.

r'll mUlliJo a ci'l' denomin:\·sc Jieis ; 111,1 C;:-jllc.o&to-uk

Cm t'Cu!litio a. sds deilomil\:t-"C v·lt'; ""I " fi"i~Si"to-ulc.

r'm l'cunitlo a setc Il('nomilla·~c oiiO; 1011 C .,·,·k~;\O-'Ilil(l,

UIIl I'clInhlo 1\ oit .. dcnoll:lina·~~' 1l0t' ,. 1/'" C oilosaO-IIOl·p.

em l'<:,ulJi 10 n 110ft' (lC!lomill{l,·'· dr.; II ,I C Ilort

",io-d...:. \0).Reunir lW, n iGlI~ co llH'."mn I!UC ,('II11i., ff(jU~ :\

11 11. pois ~:'io ,empre dOl'S 011j('C'O~ (' tf 'I ohjeeto quo~o I'CUllcm.

I"m C d'Jl,ss:10-I,"'s: ~I"I e /I','," ~f\O-llltllll'o; fl.".sim, 'ilull.·o (, \) 1\l('!'I\lO fltH' </O'IS a que ~e l'('l1nil'''('ltlll e rlcplJb II II. 'J 1tlt'~,1l\1 (ille d II~ a 'Jill' ~C ret'·nis~(>1lI I/U 1$ ; d 'S e If U~ •••0- 'J" lfl·o.

q"" Ir" OUI I a '1l1C S(> rcullin I I. d('pJi""11* dl"pois "III, ('. }wj!>o 11l"~1Il0 que doffS odol/<, lrt':: t' I' ,;

"iio todlls Ilumero" ip-u ....C".Gin"" e ifni ~lil) t 'is: sris l' lwt f<ito sel,-; Sf'le (' TI1,1

siio ",'10: H!<f<ill1 oilo c a IlIcsma ('Ol1~a fjUI' cinco nfjll(' ~l' rClIlli"f'1' "iii. rlrpoi>; IIi" C :lilHla JIm, pOI'hll :l

!'ClIlli'-IO de 1011, dCflOis mit C nilllla 1'Jit I' a m""lll:t('ou~a 'lue r",llIil (r'<; Clltlio oilo " 0 mcslUO 'lilt'('h,ro a 'IIII' !<" r, ll11b~~'lll Ire~: (',11("1) C 1"'8";'10 'Iilo.

DUo t: ;'1Il "ilO >lore e 11m ;;';-l{) tI,:; lop-o oilo tl dOllS)o,,'io dcz; por,"m, como j,l \"in\f!~, t:ilio {' lrt:S ~ilO

odo: In/.:'o ri""u, I{I'S t' dOllS "ilO d/:: ,(').Djz·"r de 01111'0 mOllo; II somllln de '-iwu c (res b


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oilo; n somma do sl'is (l mit () ~ot('; n somma rledileo, tr'-t e dous l" doz.

A flomm:\ Ill' dou~ HumerCl:> ,; 0 numcro qyC pro,em dll. r{'lIlliao drs;;c~ Ilumf'ro~ lUll flO outro: ~

~ommll de nl\1ito~ llUmrI'O_~ (0 0 numcl'O qllo pl'o\'cm!In l'eUllli\o d:l,qllell"~, ~lIc('e.!=.~i\"amelltr UlLS no!;O\ltI'O~.

:-''lll(l-Sc, pOil<. j:l ('xprimir os llumrl'OS ate dez,ix!m ,'omo sommlll' C l'Xlll'ilrlil' ~ua somma, '1l1llndo{'stn nilo c maior do que del.

Do m~mo modo que trmos at,· aqui procedldopo'llI'ri;\ffi03 continl1f1l'. ROlJlffillndo Ruccc~~i"nmente

nnidndc.<; n drz r. dallllo n rnda 11111 do~ numCl'OSa..~im fOl'mfldo~ urn nom,· purti\'ultll': por.!1ll ~"I'ia

tal a di!liC'ulululc de ]'rtrr de nWl1lo,ia tantoo 110+1Il!:'~ que d'i~~o I'CRultaria g'l'andr fani,em C Illutiltraoalho; cOll\'indoainda llotP.l'l]IlC a enda llllmrl'Oque Sf' thesse furmado pot!el'-H·in J:'''Wpl'l' ;,cere~·1'001.'\1' aindH lima uoidnde fonuando 11m noyo WJmcm no filial ~cl'in nete~slll'io tlnr urn no\'o nome;l'esllltnndo d't\hi que pnl'H fnz('l'mos·nos I'ntcn'lertcri;lmo~ lI('('r,,~idnde de oxplicllr l',"~I''' nomes nosoolro". qUf' Jlor "un \t'Z \ l'-~,"'iiio WI. nt'c,'~"iclnde

d" gunrdnl-o~ c1". memoria. Para r"itllr tal diflkul(\fl.t!r pI'Ol'IlI'Olh'C f':'IJll'imil' torlo~ Oil lllllllt'roS ('omurn pequeno numf'ro d" nom"~. de modo que.qualql.ler qU(' fo",'" 0 numero quP !'c exprimi~~r.

lotios os que ('onh('(,ps._elu 0 modo do formal' os nomos podrssem ontendel·Q.

,0tOIl-,,!' de pOl' qll." praticando 3.<: cont:l~, ('"lasse IOrl.urinm lll11.ito lonf!:\" !,,' ,I' tiH~,,-"(l "cmpl'c df'l'.'l'reVer 0<: nume" (Ie turlos 0" nunll' 1'0;;, r pro('u rOll,;c cxprimil-o<: pOl' moio de signnr<: ou (':l.l'actN'('1lque sc por!r"SCllJ till'mar lllai~ pl'ompt3.llwllh'.


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-,-Um escrcve·se.........•......Gm e um au dOffS escreve-st' .On e dvl£l OU irel escl'en~-se .UfJl e Ires 011 q.alro eSCI"e\"e-se.lJ'1If, e qlUllro au C;ltCCl esc!'e\'o-SClim e cinco au sei, escrcyo-se ..lim e sri, au ute cscre'"e-se .l,m e ute on oilo escrc\'e-se .lim e oito au flare escrcvc·ge•..lim e 1Im,um mals vm escreve·seem mais dOla escreH?se _

123,567891 + I1 + 2

o signal + Clltl'C dous nUlllCI~S iudiea que se 0;;considcrn cornu somnll~dos urn 3.0 antl·o; wm mais.m c igual a dOllS, CSCl'(lVC-SC;

1+1=2Um lUllis dous .J igual a ItCS, c~crcvc-se;

1+2=3o sigml! = indica flue dOllS llumcl'OS siio ;gll:lC~

entre 8i (d) (B).00 m('smo modo que Plll'll as nomrs, roi necessa

ria limitar a nm pequeno numera de gig-naes as ernpregadoSJlara expl'imll' todos os lIumcros. eviLa.ndot'l.ssim :l itllculdnde do rete!' muitos 0 a neeessidade de in\'entar noyos todas as ,"czcs que novosnumcro~ fasscm farmadas.

Estes signaes chamam·se a/gariS/lim.Este modo de exprimir todos os numeros com

urn pequeno numero dc palnn-l'ls e mgarismos,chama-se lIJ1merOrllo: liCnrlo possin'!l exprimir osnumcros de muitos modos, uda um d·elles chama-seI'm sJstema de tatmerardo.


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Ei~ qual 0 J:.y~tema de Ilumera~iio em 1150 entrontis:

Um "Ommado n de: /liz-so Ii,.; e 11m Oll QIi,"e. 1

[:In sommado fl dl'; e IIlIl (;11 dmls somm:Hto n,de: di~.·~e de::: I' dOlls Oll dO:i'.

em "omnmdo a de; c d()H$ ou I;'es ~omlll:l,Ilo a11ez diz·"e d.,; t t'('$ ou ire:c.

Cm !':ommntlo a If·; "Ird 011 '1,'alr') iOlllmndo ade: Ihz-,,'" d.,.' ,'"w,/ra 011 qUIlIO,.:,>.

f""l "olllm:vlo a (fc: c quo/ro ou CillCO sOlllmadoa dl.'; dil-"e de: c ('iI/co ou quill?".

r.;m Rommndo fl d,... e cillro flll so,is sOIUlll:),doa de; <liz-se 1!1':,'seis.

nn somma,ln :l. ci,'; e ads 011 ~ete sommado f.\dt; db.·,;c de:,·sc(c. ~

L"m sommado a lit: t Sf/'- ou oilo sommado a de:.diz-se de: e oi/o au dr:oi/o.

Ihit ,sollllllndo a dl'z e oito ou 1/0rc sommado adez diz·se dc:c!lOl:C.

Pal'a expt,jmir 0 llumerO "eguinte 011 um 8Omm:l.'lo a dt." " lIor,> nilo (\it'('ffiO" tI,·: ,'d,:, pois acontinU:lf chegariamo~ a formal' nume" lao long-o"que !<el'ia di1ficil compreheudel' e pl'Onuneiar. (e)Chlllua-sc poi8 a estc lIUlDCrO dimla ou f!inte.Assim:

Um e dez c 1IO~t't de:, c de: di7;-!<e DlE~l'A OllYI:\"TE.

em e d.1I1! lliz-se rinte e '1111.

tim c t:infC e 11m, dous sOlUm:vlo a Ti,de {liz-sot:illle c do~.s.


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fjllart'"la.clm;'(}{', la.sI'v"nla.St't"'llo.Oileil!lX.

11tJUIlIQ•

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em c ~jlllo' t' duu.•, 'r,-s ;:Ollllllfilio a 'ti'Nle lb;-;:cr;inte f' 1ft's.

Um e rllll,: C liilo, ""rt ;:oluillatio n rill/e djz-~eflillte c tlorl'.

ern c ci"le I! IIOre,1:I •• /e cd,,: diz'''G tn",'Jlta 011trin/a.

YC"~e lo~o que ttm c It-i,,/a 11(!\"tHe dizl'll' trill/IIII WlIt, e ::l..~~im pol' diantc ate 11m C ,dll{a c Oilo queS6 tliz tri"la C 11(,[".

Continuando diz-sc:Urn C frillta .. lIQU, t,.l/l(a cd,·: ....Um e fjrO",·I<laenore. fju'lrc1//lI '-d': ...Um e f'ilicOC'/tla t' J10~", cil/ro 1l((J. (' de:1'111. C S....~.~"ll(a e '10t<', ~"'\'- 'ula c tf ': .. 'Um r- s<'/pl!la r nOte, sek/lta e d·-: .Uln 0 ai/m{a cllore, IJikl/fu. I' a,,:;, .

•'remos n~silll urn lUeia lie CX/H'imil' Sllccc;:si\"n

mente fodos os llumerOl!. Ile~l, e 11m :'116 NOT!e'u!ae 110t)('.

Exprimindo depois :

Urn C1l0vrltia e lwre. 1/0C,'III(/,. de: 1)01'cenlo ou, " , .. ,." .. , ... ""..... ('('Ii!.

Cem 0 cern ou dlW$ -r,,;e.' C('I1l pal' ... ,. dtl;nlllJ$.Cern c dW:CIII('$ all 11'<:$ re:," rem pal'., Il'e:"ntos.Gem e oilocelltQ$ 011 IlIJ~e 1:1':"$ C"m par. nor;ect!'lIo.<.

E collocnndo dcpois dn jlHlan:\ Nil'" O!< Ilome~dos 1l1liUeros inferiore.~ a ('"". des,le UIII ate /lOr"1I111eo 1fI)U. parn'exprimil'. IJUC ~owm:\Ilo~ a rem. adtt::rnlo.<, a tlOCl'rrlllo' 1~H'm(\m I) llumCI'O Que ~Quel' in'lic:lI', pu'lcl'.~,..ll(\ l'xjll'imil' tOllo., o~ ]lll'moros, Ire 1!11idad,,- em Ituida(h', ate fl(Jrcct'/I10S (.JlO1:enta ... 'lot',>.


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7

Um 0 11Ol!I'CCll/OS I' 1/01;,'nla 1.1 '/tIlVtI, no"ccclllOs 11Cel/l, d,'; teo',',' cem, dlZ-liC mil.

COIl(l('tl.I:r!O :l.ll\C.~ fla palann mit 0 nulUcro deveZfE; 'tlle ella e rcpdi<.h c dC\lOi_ della "r. queex j!l'j melll 0 lHlllW]'U llo Hltidad".• infvl"iol' II mil. qlie!'C the ([1I1n' :'hl,liciuUflI'. lCI'-l'c·]m 0 lUcio de ex\Jrilllil' lodo>: 0;; lIUUlC!"OS de IIIlldade em 1midade,at.; ),oruntl()$ c IlOf,.ula c 1I0l::e mil nllfCCt:ntos cII()I;"I/Ia (' 1IOr,'.

r,,! wrnmndo 1\ c!'te nUllJero scl'ia 0 mesmarille m.-t ~Olllm:ltlo n ffur<'c '/liO$ e nor"llla C '101::e"lil, que 1.1,'''1 ;"il ;omlllndo :;l. nar:l'c,·nl,!.~ mil, dezu:r:.: r()lJI mil Oll mil ,nil. 1'1\1'1.\ expl'indl' ostolJllll\()J'O eillpl'f'ga se a lJalaYI':l milhilo: tu!simcnund ,n,lo ante>; lla Vl11a\'1':\ filllhd.o 0 Ilurni)ro doV1:!ze" (ille ella c rcpcUlla, ,Ie.dc IUlla rA'Z ate no\'eceJlta~ (' lIU' enh e nove '"ezes. t\ (lepols ({('lIa 011lllllel'O inlCJ'lul' a 11m milhiio, l)ue 0 sOllunlldo ao1Jumet'O de milhue~ p.tra !',rmal" 0 que :::e querill'hrill', 1}()(lemo~ expl'iwir tOtlos os numel'Os deutllrlad,' ew llllidwlt, at,', 1lUr<·",'l!los e not,'llla IJ

llOti' milhO<!s, n()U~"'lltos <! I/OV/i/lla <! 1lmJI.: mil nova(".'IlIOS " nvr"nta (' 11'11"'.

Se ~ e;:t.c IIUUlel'O ~e junb uma IIni,lade rorm~e

1/<Jt''C<?f11Q8 <l 1IO't -,lia " llOfC milll0,." 0 tlIn milAMt!ll ',lil milhija (IUe se dcnowilla lli1hiio. 0 emllrcg:lmlo para os hilhoc>: 0 lllr"mo mojo de (IUO1101' I'('rdmos pam OJ; milhOCs poderemo$ lei' lOdesos lIumeroo' alAI II<>/:('c,'nl08 .. t1(J1:<'1Ila r flOtC bilkDe~

Ilot<'cetllo.< e 'WI.R'/lill " nor" Milhr;"s IlOt,'ceHlos cIlIJf"nUl t.' 1lve« "Iil IIQOI'C('1tl(J~ e flOlJOI/l1 e nOlle,.It!sij:rn::l.ndo pois " d bi/llDe$ peln palanu trilllao.mil tl'ilh~ pcla palavm {lllutrilhiiO C a~~im pol'


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•

,

-1$-

{Hunte, ".e p\>(ICI\\ cxpl'imir todos 0" numel'o~ ,,('m66 ~el' obrigf\dO :\ cmpl'e,w.I' IImfl. non. pnbvraatjj qlle ~e tcnh:~ llece~sill:'ule de exprimil' urnllUmCl'O mil YC7.Ci:l maiOl' do que [l,flUclle no '1.UOI

j:\ sc dDn um nomc, (al


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_9_

TERCF.IR'" Llf \.0

.~l:' :l'lui::o l'abemos exprimil' poI' al~ari~mos asIlllllI<:'l'O'" fl>ll, dOllS, at:· Iwr,', com n.u~i1io dos1";11" Il'h'I'C'<

".'.3'. .'" v, 6.,.~.n.

,I[t Ilz('nlO5l '-er que. ~e cornu el'tc~ caI'Uctercs'luizt',h('tnos :uloptl\l' nm pam cutin oumeN a me·1l101'i:l. n40 UO: lKlllcria gu:mlar al(\1ll lie um lennallHtitO {H"l,)ximo; foi POl'tuuto 1lC','C"'l':\riu arloptul'11111 mcio de c''llrimir todo;;: 0$ nUlllcru~ com poncas('unwleres, poL' excmplo. com os nove 1l1ellciolIa(lo~.

Pnt'il. i'<!'o udmiltio-sc !luc, expriminrlo 0 priwciro nl~al'i;<mo 0 1I1l111CI'O (Ie ·ill\l(lrl.(!C~ aM nove,n que !lIO l\cns~c iUullcdiul'1.mentc;'l c~ql1cl'lln cxpl'imi!'~o lUlIt,u dcmna" !lu::l.1lbls unidndc!; clle cxpriInit'in, ~o ('~tivc~"e is()1;\dl).

I\!'sim nn. oxprc$!'tio 3:2 0 alg-:Il'i.'<1l10 <In. dircihdcsil{na \111idadc~, () l1UC c"tll II ,~1I1t C"'querdf\.c'-primo dC7.CllaS; 32 exprime p<.'il'l que ~e tl'3.t:'t.de um numel'o fOl'lllado tie dua." wlldt/rIc.<, e doI/','S d,':('uas; lie dm(.\· ed" lriula; a !l;I'JlluJa emaJJ!al'ismo~:Hoxpl'imo trillta e d()IIs,

1':,bl){'IC'('ido bto, paTa (,xpl'imil' 1Il1) numeroIIUC, l'OIllO d,:, filiI,', !liMa. " t'Olll~o~to lio1IUII1('I'0 cx:.wto de dc/ona". ha"t:II'(1 illll!C3.1' que<I al .. ll\"i-lI,o quo eX!1l'illle e'~ lltllllC'!"O e4:'t na~e;::-lI11 b ()l',lem, quo c~t:_ 1'1 (HlllE'I'lia elo IIl}!at' oude1'1- 1!L'n:rl:l rul!ONIl' a" lllli,Ja,lc,.. :'0 H' (Iui/e"sc e;;l'le\(.'I' 0 1l11111el'O quo a:; expl·illli.,.-e; () lIIeio mai~


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- II _

oxi~tem entre duns CL'11k'IIUS, de I 3 W: podemospois OXIlI'imil' todo~ 0,_ numerus de I n 99!).

CO/lljuutllHlo do llleSlllo modo e t.'oIJocando um'Ilwrtn UI!!';"II'i-lllO Ii e;:HlllerJa, do que indica ceme./lO,tl inrlit'ar,i ('lie l:tnb~ deZe1l(h de Ct!1Itenu8 OUtan O:s ",i/hart's tjllanta.:; CL'1I1enu6 rile indic.'\ria serl'Clla!">,<, llllla ordem para fl (lil'eila; tall las eente_Iltl" nt' d<.:<'/Iaf quantas dr:c1fQs indiC3rill, se rccna.8SCr1ua.,,, : IlnallUcnte talltos "Ii/Aa.rts (jUIlllt:u; unidadesindic:aria ~C l'eCua&:e tre" : assim, poi~, 6lflt indica.l<:liS11Iilhor.'I, IjIfMr') Ulllffl(U, C;1I1'1/ df':e1fa.~ C duasffllid<ldc$ e ""-Pl'im(! 0 1I1Imero sei,t mil'lIfQlroce¥tose clllCOcllla adDu,.

o 1111ill to ni.!{fl rismo, poiS, expl'illl i l'i"i tnntas deze.litiS flc JIliihul', 0 !'exto, tantas ceutclltlS de milbar,n setimo (antos ruilJl0es,o nonQ tnntns f!pzCIlUS delllilhoc~ °M~iUl POI' dianlc, I(Unllta:;: unidudes ex~pri mirb 'C ~c achnssc colJocado n.'\ ])I'imeirl\ ordem,

11m algul'ismo quaJqucl' Cxpl'imo, pais, S()lJlPI'8bntas dcmnn~, qUillltns unirladl's eXjll',mida so 1'0.('IIWi~() limn m'dl'/I! par:) a dil'oi/a; tallla~ cClltenas'illallla.~ Ilnidadpsexprimil·ja.p r('Clla'1;~e duas or.,lrll.'; 1:<11108 milhal'CS I(uanta~ lInitladcs eXlll'imil'ia.l' l'l'I'lla"(' 11'f'.~ : blltru; drzcnn" (1(' milh::l.I'. tanlas

' ,'IlII'lIaK (Ic wi/hal'. tantos ll1iJhoe.~, et(·, ,. como ex.I'I'jmiri:1 tI(, 1I1lidlldes ~e l'eclia~;<e qualm, eiuco, sois

'r1('11.~ 1);.11·,,\:a e1il'dla. en~_im POI' diantc,() tllaiul' IlUtlICI'O que ~e pocle l'XllI'imir com um'alJ:!'l\l"I~lIl(\(;!J;('om dou~\' 9!1; ('am trc.~ Ii 999;>Ill ']11;111'0'-' !lfl\I<.I, I'm poet'ai, 0 maior nUilll'rO que1)(,,1,. "XJlI'itltir ('om \1m ('('rlo IlUlUel'l,) lIe alg-aris-

llWs ('{lIUI'llC-'e de uma N"de tll'!l; poi- I"lle C'ontcrJ,,I'_ill (I Ullli"l' IlUruCI'O <It' lui'!ada:;, dtzClla', ccn.


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-- lu -

:simples t: pui~ pl'e~r\('hl"l' <I pl'imt'il\! Iv~,tl, l','lllum symbolo Oll c:U'al'ttll' tle~tltl:\dv Illlil'allll'nh' :1indical' que {I ali{ari~lllo '1110 ahi ,}~ti\'CR"I' cXlwiJnil'ia (lilidarlc~ 0 que 0 quI' i'(l adl:l (l c~qll('l'rtn

ex prime pol'tl1nto IlcD'na" TOllIOII'~C p:nn tul rlluo caudel' (} quo i"C pl'Omllll,ja :('ro:

Assim, lit': cSC'I'(}YC ~" Ill: 0 al!!al'i"lllo quI;' ~c

achn. om seguudo In:mr llhlil':m,lo Ilr1RJl;I.$, In expl'imc uma. d":nUJ 011 d ..,

Yinte (,<(,I'C\-e-lle 211; .I algal'i<mo que occura 0segund<"l lll:!ar expl'imiu.lll Ilez8l1us. 20 eXIl!'imcd"a,' u(':enas Oll d,;; cd,': 011 till'"

Como enlre lima. del.olH~ e ulila oull'a n:w ll:~I'Ol1:(0 lIove lllliLlIHIC'.':. os IIUn) ('nl'al'lere.': adoplndo~ bnstalJl pal'a expl'lIni)' lodu~ O~ allillCI'()~ (111('exh:llem(llltrl'a~ (\f'Z(!I1:l"i (t \"i,,1;\ ,10 II!!!"' poJOI'cmosexpl'imil' cOIn tluus 'uuieo" alJl";\I'i."IllU.~ I"do:; O~ llll·lllel'O~ at ~ lI',r"1f11l " 11 ,r 'Ull ll')r,' d"""IlQs lIlai,;;tlot·~ ~nidai,'< 00 ·i-O='o';l.

Proi'i~alllo~ rio mc;:mo m" 10 0 C'uuVCII('i')I1I'llw"qu.e um :l!,.':wj<mo :'l c.~lllll'r,[a Ju (\ue i!l,!iI'R ,It'·zen::u; cxprilllc b.ut:!." 1IN.(l1·>I'< tic IIt'zeU:l" (Ill \;\ula ..ccutenas qualltas dezcnas cxpl'imil'ia so reCtl:l~"C

UlDa ol'tlcm pal'a a llircit~t

Tomemo>: a cxpl'e~s:\1l :!:H. 0 nlp:>ll'jslllo ,I il111ic1l'jllalro mlida((~s. 0 :ll~!al'isllw :~ illl!ira INS d":(·ll11.~,

o nl!:W.l'i>:lllo 2 ililliea <llIn" I'(mteua~, tllllta<: tlezeaa"quanta" ulliJII,le~ rXIll'imiria "e e,..ti\('~~C no lu:!ftt'de 3, tantas ('eutoll:l"' qualll:." llui.Jadc... cxpdmil'il\so ~ achn..""" 110 l:l.!:u' 110 4, illtO (', "e l'ccua<:.'i(ldUM m'tlens ]l:u~J. a t1il'l'il;.\

A' ..im. l· ...1Il 0 t<'I"CCIl'Q a:;;\:'bmo t·,primc.~l'

cnJtrIlQ,'. de"le ,,1:l1 1I0\"(!Cl'.ltO., e "0111 "

dous :l1g-ari~Juv,:; t"uintcs to [os 0." 11ll111eI'O.~ IIIW


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tena!'!, etc" que 0 po:-~i\-el imlienr nas respccth'asordell~,

o monol' numero que sc pod.' expJ'imil' CI]l1l dOllsalgal'i:<mos e 10, com trC>i C 100, COlli quatl'o 01000; em goral 0 1111'1101' llumel'O qno se pode ex.~

primir com mIl dokl'mino.do llnmCI'O do o.lgnl'ismos(; a unidade segnidn de :CfO: rwi!'\ a Iwidade Gomonol'do<:, IlUmCI'OS quc /luUom oceupar n. ultimaol'delll (1 eSl'Juerdn, e quo. quer 01111'0 llumcro quofo~se collocnrto em Jugal' de urn dos :eros formlll'i<~

um numcro to~lmaior,

o maior llllJDCro que !'e p6(lc cxprimil' com urnW alfr.\ri~lDo e 0 mellor que demanda dou,>, 9 e 10.difrct'cm entre si de UIDa uilidad', 0 maior nllmel"Oquo se pOdo exprimit' com dous ullioo!'! a1:rarismoseo lllellor que (ICllmMa tres, 99 e 100, diltcrem entre si de um<:\. uni(tade. Em gel'at. 0 maior nUlllOl'Oque so p61lc expl'imir com urn determinndo Ilumm'ode :l..l~nl'ismos 0 0 menol' quo uemandur rnnisum diJl'Ol'il'ao entre ~i rl(' umu IIllitlo.ul!; com efl'oito, dos dous nUllJel'O<;;Clll qucsli'io 0 menor eompucse do umn ~crie de t): <;;0 se Somma lima unidadetis novc d'e~te numCl'O Jorma-se lima dt'7.cn~. quoreullido. [l<;; no\"o CUI'rna limn ecntenl\, (I\le reunidnas lI/l\'C (6rmu IIUl milhnr, Ctl' .. fOl'lllando ul'<;;im!:'cmpl'C 11m numer<)expl'("~'l pela -1<Hid!ldl'se~uida.

do !:Illlo... ; 'u< quant,,-: cram 0" IlO\'e;: do meno,'flos I\llllW~0<.

U'c~te mo,[o <:C p'J<[('(':1 exprimil' todo'i os ullmero."'.

CUIll l,rreito. <;;(' a 11m llumcro qualquer eompostotilt unhl:ulc <e:.;:uida <1(' ;':"0.' 1'0 :\11;.\"lllollta 11111 ~~.,.('

eo uumcl'o lOl'n:\-~(.) d('~, \"Cll'S maiul'. i' cl:u'o quo (,sompt'o llO""ivol eX}ll'illliJ' a!'<im nlll lIum\'t'O maim'


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do que fjualqucr que so tivessc OSCl'ipto, llcando osleoxpresso POl' menor ullmero de algul'ismos.

Tomalldo 0 maior llumero que so pode oxprimireom 0 llumoro de algarismos que compMm ol1umc·ro qucso quer escre\'CI' e collocnndo em lU~:lr do '.)qne occupa.a c<-..;;o das unidade.~8, ;.6.5, 4. :l, 2, 1.0,c claro que 0 DUnlOI'll tlcan\ su<X:cssivamente mellor de uma, t111as. tre~, etc.. e, tlnalmente. de novI'uf,idades; l'ealiza:ldo a mcsmt\ 0IMW:ll;:.10 com 0a,lgarismo !J que oceupa a Cas:J, dllS dczonus diminuiremos estas successivamente de tiffin. dua~, etc.,ate no\'o dorenag e assim pOl' diante. de modo queo nllmoro ileaI'll. a 11l'iIlCipio, unidade pOl' unidadc,diminllido de nove unidndcs; depais de uma dozenRe novo tlllidades, duas dcwn:lS e novo unidl\des,etc., cons:cguindo-se ll.ssim chegul' ate a combina·~o de algurisraos que exp'rime 0 rmmero que sequer escreyer.

~;e sa nos propre escrevel' em algnrismos urn numt!ro expres;.o pol' pala\ ras, suppondo primeiro<Iue n:i.o exceda l\ centenns, romo pol' example :tN~I:UIoSl!cilltXH'JIta .. dnu.•, Oh~I'\-al'Cmos quo e.stenumero c compo.sto tic 3 centcnas. ;j dezenas 02unidadc~. Escrevcndo pl'imeil'o 0 algarismo quo ill'dica celltellflS, om SOg-Uit!:l 0 It t1il'Citll 0 quo indicat1C1.enas 0, ainda, :\ direita d'este, 0 que indica uni~

dades, tercmos expresso em algarismos 0 numera"l:<')~..

POl' quanto jli &'\bemos, que e~crevendo um algarismo {t csquerda de oulro elle inriical'll dC7,Cna..<i seo outro indicava unidade::. c que.jlOrtanto, 0 alj:arismo collocado ,i dil~ita de outro indicara un idalies se 0 ou11'0 indiC;l t1ezenas.


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Sf' 0 numeN C!lC<'I'T'a1' quanti,tndecClltcllas. e.orno no.~ AAhemos quo a~ flcllominn slllmkull t.Qllasns vczc~ que 0 nUlllel'O 8c torn;t milvezes llmiol', bto t\ fJlji d'l ('cntenas Olli}I llnilbde~ ~(' dCHomina fIlif" Oll milllal'. (Juc nd Iilhares 1;0 drnomiliU milhiLo. mil lIJiJJll)e~, 1Jil!1" . etc..nos bast:lr:l f'~CrC\'CI' SU('l'C~i'i\·alllc;ltc ll:l ItlCl'llapara a direil~l 0 nllmen) fill l:CI:lcna". rlezt.>nas 0unillndl's do milhiio, ce.ntenas, (lez"nas C Ilnid;utede milhal' c as.,jm f\f.t'> ns uni,hulcs ,i tncdirln (' segundo n Ol'dcm em que so as ]1l'onullcia,

..H~im. para CSCI'C\"CI' (rt':'IIIQ.' t' r ''Ita'" Oilll milhut>y gil i Ilhl'utos l' .< '/t'nla l' qtl'l','O ill if IW&CftlllQ$ t!

_'·:U,'lIta", V"I, eserc\"e-:re succe~~h':Ullclltc 0;;' alga." 3"8--'°",il-1Il0S ,_, ,:>, I, ,_, I, .

:1"2:,57490 I.,IhHIlJllo nITo ha dcnomiur$~iio (Ie Ullidntlo, llezcnn!'

(Ill centt!uas n~1O ~e Ill'onulll'in 0 t'('!!'pcdi\"o nomc :n~~ij(l ~c!!'c tliz tl'eZ""to~c 1:0\"0) lUi! {' trinta e lim.nao liC prollun('in 0 llomc ,I:l~ del.l'll:\~ de lllillla\'ucm 0 das {'Cl,tcna~ ,Ie uni,lr\'lc_~; l'OlllO pOI'.'lll. c~

el'ev'-)lIoio Clll nlg(\l'i~mo~ () lUgilr (' 0 que indica u\"0.101' de C:ldll urn. p:lra que rlle,> 0 tellham l'cal·mcnte c preCbo t'olloc:\I' lPI" no ]U.2,'U' COl'l'e_~poll

dento;t ,lennmin:H;'ao qne !lao ~" prunllllt'ia: c--cl'e\"Cr-.;ckl P'li~, :30.lIJ,il, pol'llllanh, ,0 Sf.' c"'cre'YC!;.," 0, 3. I :<ell) ('<)1\0'::\1' zero 110 Ill;!IU' (I lie c1c\'iamoecup:l1' fl~ C('llt{JII:l~, tCI'·,C·JI(l. O:H 1I'11;,'C,'/IIOs "l!'ililae tllI't' 1l~IO /If,,',' mil " 11';l/la.' /I,,',

QU{'I'Clltlo ('< 'I'e I'e r /I ,Ct' , 1;1, """ '1'0"0-'.' ~M")' );) "0110('anllo n 110 11I1!.1I' '-1111' occilpal'iam a., (,,',Iteu;ts. lie·zen:$; t' uulol.tlle" 'lUl' 1l~loJ eXi'h'lll no IlllmCr(l ,htlo.

Para CUUlll'i:l.f 11l1l1l1llll"1<Q c~(,l'il"') elll alg:nrJ:<-


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- I:; -

lllO~ prUClll~\-~e ('OJlh~o;!l':1 c!"llOlUit1;lo,;a.l plW omlc;:eut.n~ llrilll'ipl:ll'. l\,,~im, T('lIlJO l:·k;-, e ~abl!ntlo que Q

!ll'I<neJl'O :lLr:wi'lllo '1:1 dh'elta illlliL-1I llllilll\t1e~,

achvernos que 0 lWl-(llllllll iru!i(':\ llezel1a~, olcl'ceil'ocen~laS e 0 qU:\l"tLlC ultimo milh:\l'c:'i; (, pois jlormil que pJ'iIl('il)ia 0 ellllll('iallo, l.!l7.cn!lo fliites docalla dOllomlnlle'\O 0 1IL1111CI'O 0~pl'eS:';o jlClfll·CSPCt:·th'o >'tlg.'\l'i'mo: entuWhU'I'1ll0S !'lltito ql/(Jlro Millrt'$r/l(o.~ e tillft' e Ctlico.

S,> ti\e~SelJlO~o numCI'O :l:?ic;QI\:N, COlilOO prilllcil'O :\Igal'i~mo da llil'cita rlc,i~n:l. uni-Iade-. tlil'iamo;;. irJ.lo da l!il-.:ita para :1 C"'1.lIcl\la, 1111idades,dr :;,',!(/sI.C''1lf'lUl '. III iUra "i~ ,d ":1'1'1]$ de m ifhar,"'~ IIle-nlUd~ milkltr, lIIitA"·,. d<"::t'lHI' d.. mil!l'lo. C"lfklla~ dehlitkilo: tendo ChC:!.Hlo 300 ultimo alf!:\ri<:mo 3, entlnCial'i:lmo" tre-cato, c yintJ' c "de lJIi1iu)e,; lluzentose cincocut,\ e :;ei$ mil quatroccntos e llu\'entl1 C oita,~n2.3G~\l8.

So h:t zeros !lao ~o jJl'Ollllllcia as dellominat:()esCOI'I'CSjlOll(ll'lltes (l~ cla~~es qllO ('lIe~ OCl'llpalll, poi"~O 1':10 C"t"l"ipto~ para (1;[1' htjt:1I':\ que c:HI" alg:u'bIllO sej:\ c:oU'Jl:lulv lla or 10m quo lhe corrl':,pondc Cque (\etpl'mi:ln 0 "eLl valor, emqu:mto que Ita. nlllllCl',I(;iio exprl.'::o"a pOl' p:"\l:\\"l',l~ I';W:b denomina.(',It:" que in,lil-am 0 valor .\fh nUlllel'OS c.: portantapl'ud~o suppl'imil' at'juella~ n que niio t-ol're'pond~II t1J1lCl'O algum,

Se. pol' '"XClllp!O. temr,,, :'~J3OU530I, dil'ClllOOIlll.::('nfr-s e 1/"., MilkO os, cincQ nuf Ir,":Plltu, .. flU-lit",l)OI~qllC u:iu ha ItO lllllllCl'O 1I~'lU dCZCll:ls lIe milh;iu!lCIl} t'cntcn:\s 0\1 dClCIl:l.<; de lllilhal', nom dCZCllasde ullidade~, (.\) (a)


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- 16-

S.a1.lt'IlIU":, poi~. ~gom cxpl'imir pew pal:wraspol' nlg:ari"mos todosos Ilumcros que ."C pOde forma,escrevcr 11m alj!3rismo os que ~'10 prollunciado eexpri~lJil" pol' palavraso:- (lllU \'emos escriPt

7", ,.

alg31'1!'1ll0.


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-Ii-

Acabou-se de ,ocr como se forlr,aVflm Oil fillmoros.l'cllnindo unidndes:\ unidades, dC7.cnas a dczcnas.rcntenas l\ cenlen3S. etc.

supponhnmos agora conhecel' dous numel'Os cuja.somllll\ 1108 .reja necess.'l.rio dclel'miunr, iHO C. conhoocr 0 Dumere que resultario. dB. reuoHio dosconhceitlos. 011 0 oumerD total de objectos reprorent..'\dOfl, parte pol' urn destes numCI'OS c pal'tepoloDutro. IA)

St>Ja. pol' examplo. que tenhamos 13 o1)jecto~ emmo lugar e '16 em Dutro, c que qucil'amos saberquantos slio as objectos no todo: i~to ~e consegml'llsommando os dois Dumeros dados, 011 rCllnindo13 a. 26.

Nota.ge immediatamentc, que l:.t £lompOc-sa de Idc?cna e de 3 unidades. que 213 £lompOc-SO de 2 dezen a.,; e (l llilidadcs; sabema;; jft, /lila 3 1I11iLlades e6 unidndefl formam 9 llnidaucs. quo I dezena c 2dewlIflfl (H'Ill!'m 3 dezcnas : assim, pois. os daisnumcrofl (;ncermm ao touo 9 Ill1idadDS c :3 dCl':enns :sua somma c pois 39.

o mesmo pl'ocesso e applicaveJ a dOllS llUmel'OSqu(\esquel': olltendo-se pOl' llloio delle a somllla <insuoidades, das dezena.'!, das cenlenns quo eontem ostlois numeros flea conhecida a somma dasses numeros.

Tomcmo!". pol' ex<:mplo, para sommar 135 a 643Oll 23;45 a ~21. : notaremos em primeiro Jugal' q~eos 1.1018 prlmelfOS numeros reuDldo:o: conU!m 8 UDIdade"', 7 dezen:tS e 7 centenas; sua somma sera


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- 18-

!lui"_ ,7:'). O~ ioi~ st1~ufldo" nom... t·... ' 1"'oui,los (;0111"'1':10 {j L111 i'hHles. (j dezena". !l Ci'll lent\.." .'::> mi III 111'<"" ;s,'r:i n >:ua ~mma ;)\XiG. tal

A~- im proce!le udo concebc-~('j:l (IUlO !Ii rtl.::il ,.;(>1':.~Ll:I1'<In.r ('m memol'ia ll. ~OmllKl. ua" lIuidadts, dasfit':tttIU. ,las c, /I(..aIlS. dos Iililh, rt.• , quando os 1Il!

IllCl'US a I'cunir "e compuzcl'cm de ),:Talule UumCl'llde al}tari5mo~ : vencc·~(' por~'m ft\t'ihoclItc a dillieuMade escr~yendo Un! flumero POl' l>:1ixo rio ontrotie modo que llquem unidade" llchaixo !I... unidadc.<:.deZtlllM debaixo de de7,tma". ccnll'nns dcbllixo decclltcnas: isto felta, pal'3. sommaI' 08 (lois primeiroslllllllCI'OS dil'ClllOS : :; c 3 ;;ao ~, rscrc\'c·l'e 8 sob a~

unlt!afles ; 3 e 4 siw "{ que .<:e C'<:CI'CV(, !'.Db as rle7.e11a!>: I (l (i s,io { que ~e CS~l'cve dchnixQ das COIltonas ; a SOlllma e pois ;,8, C pol'tanto r~5 mais{j~3 fazclll iid_

Do mcsmo modo pal'a, os dais seguuLlos llUlllel'OSL1il'cmo_~ : 5 e I _~flo 6, flue so C9;Cl'eVe sob as unidades; " c 2 sao 6, CSCl'c\"c-se (j::~ 0 Gsan (J, eSCI'ove-se() ; :2 c a sfto :i, OSCI-OVO-Sr. ;) ; a ~omml\ >:or'l ,'))66 epOI'b.nto _n·l:J m::lis :m21 [IZC1Jl :-MGO.

FOI'lllUh 13::1 ')31-- .,dn \ + 6.13 , + 3i3i I

I IOI)cl'a~iio = "t' :-19('lG

Tomcmos ull:0ra 0" doi,; nUlJwros Il{ c 2:); dil't'lIlo!'.8 e !) s.-w 13. e,;cl'cve·~e I:l ; 1 l' 2 llozo:l:ls "';i.u:3 dezpnnll ou 30, eSl;[-e~-e-"c :J,.): tem- l' a""im It)mai<: :!;) hmal a 13 mai<: 30.


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•

19 --

"\ . "I ~ l:l

T30

Dkemos em ;;c.tuida : 3 IIllirtarles do prilllciro Ill.·IllCI1> cO du ~l::tunf\o &10:3 11l1ida,le~ Oil, 1lI1is simpIC~lllOllk, :> t'0 ~i\o 3, e~cr('ve·~c3 ~ohas uni,I:l,tfcs,I d('zcn!\ ~ 3 tlezella~ S!1O <I dezenl\i'. esct'~n'o'Stl <I soh

115 (luzenaf;: {('I'emu;; as~im l:~ m:lis :«>, l"]llC C 0lllC:<tno que I~ mats:1'3, igua!a -13.

I :l\ . '0T

'=-:;3

Para cheg,u' a cstlJ ultimo l'c~ultado fui'IlOO lIetes!'aria ell'ectuar duns opel'aC~"i que seria. commodof('duzil' a uma unien ; p'\ra bso ,)lI{cm,'S quu dcpoi!llie !lan'r oito il c b~ao 13 niio 11:\ mais unidades a('onsidel'iu': C~c[c'·e-.~C cnttlO 3 lll\idadcs, ]'csb.ndoI dczrn;\ quo se COJl~et·\·[\. em memoria. dizcndo tl ej ~tlO 1:l. l'ser.... vc-!''' :l ~,)b as unidade- e re,.t,.", 1 dezell:~; I dezcna de l'e."Cl'\'a e I [lczena sJo dUM, e 2"iio 4, c..;rl'C\"c·,e .j ~ob ns dezella~.

(lJ)

{ IH

I,} or:!i)

, = 43


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-20-

'fomemos ainda os dous numer08 4758 e 0067: di·remos 8 e 7 sao 15, ~cre\'e-se 5 sob as unidadese rosen"arse uma dezen:l, dizendo \·ai I; 1 dezcnae 5 dczenas sao 6 dezeuas c G derenas sao 12 dezenns, escreve-se 2 sob a6 dezenas C I'eserva"se1 ccntenn dizendo \'ai 1; I e 7 Silo 8 e \} suo 17, escreve-se i soh liS centellas dizendo vai 1 (I dezC1lade cell/QlIIS ou I milhar); 1 e 4 sflO 5 e rl s1."l 13 (13milhares) escrc\'e-se 13, ficalldl) 0 al~arismo 3 sobos mi\hares: aeha-se nssim que 4758 maL'l8967 eigual a 13725.

Ie) 14758

+3001

=137~5

,

Scndo tres numllros a sommaI' 8e;IIt..'-SC 0 mesillapl'ocesso: eollocrtln·seoll tres numcrosdc modoa tlcn~

rem sam pre liS ullidades todlls lla mc~ma W[tllnnaTertical e'llssim as dczelJ:l$, contenflS, etc.: sommam-sedepois as unidades do I-numcro as do 2",asun somma {IS do :10; as dcz('uas do 1° llumero [tSdo 2°, n SOlllma :IS do 3°; as centenns do 1° nilmero .IS do Z", a somma ,IS do 3~ (' nssim pOI' dinntf';ao tcrmo dc c:lda urn1\. destas :uldiCOes llarciQ.l:lsde unidades, de dezenas. tie cl'ntenas,' etc., CSCl"evem se as uilidades simples, as unidndcs de dezenas, de ccnicnll.s que resultam dc-Has t' rrservamse as dczcna$ de ulIiJulles, dr dezcnas, de cantenas.ctc., que forem nppareccndo.

AliSim. se ..-e quer sommar CIS tres numcl'OS 1759,7837,84;;3, dcpois de os !Laver cscripto como dis~

selllos [\ cima }lroscgllC-$C, diz:endo 9 c 7 slio 16 c 3


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- 21 -

sIio 19, cscreve-se 9 c resarva-re I dizcndo vai 1; 1 e5 silO 6 03 sao 9 c 5 sio 14. escreve-sc 4 e rcserva~c 1 dizeudo vai 1; 1 I'i 8:108 e 8 sao 16 e <\ aiio 20(ou 2 dezpna.s), cscre\'"{'·re 0 c re:!f'l'va. sa 2 dezcnnsdlzendo vfio 2; 2 a I ~o 3 c 7 sao 10 0 8 sao 18,eScroye-se 18,0 v6-se que 1750 mais iKl7 mais 8453e igual a 18040,

'1i59

!-+- 7837+ 8453----= 18049

(b) Heconhecc·ge agol'acom facilidade que seguindoll. mesmll. mnrcha. pOde-se executaI'll. mesma ope·ragao sobrequantos numeros se quaiI'll., eontenh:'.lI11clles qunnws algarismos couti verem. I~st.a QPeraq30pormrio da qual reune-so mllil.os numcros em urn"0, t'hama-se adtli~l!O,

... •, ," ,<'

,~ , S .,t, • • •h." I , ..... --1., ~, .8 • <.)


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- 22

QU1:\:'r,\ I.If-J\O

Ate aqui iemos vl~to como podcm l;Cl' fOl'maJostod' s o~ nl1mcro~ pela :111([[<;.10, mals Oliltlenos rc,peUda. lie unillarlcs ou de autral; numero~. _~uccc"·

f: \'amclIte; 0 lllllllerO doz. pol' excmplo, potlc ."CI'forma~lo nlltticionallllo-sc 1'1. 7 ll'es llllilltHles, n~sim :7+:1=10: I'cn\ facil poduuto cOIll'luir que >iC de do?se til'al'em Slll~'~~ivamente h'c>, ullidade;; 0 r-.:sto!'Cl',\ tete c que 10-:1=7 (A)

OS mcsmos lllOti\'OS quo nos flZ€I'am I'cctnheccl' anC<'e&>idade de rCllllir Oluitos uumcl'o" em WI 1'0.indic..'llll·no. t..'llllhem que tcremes muitas ,("zes detil'a.l' all sulitrallir 1101 lI11mero mellOI' lie I1ln maiol',~clldo us"im. para llxecutal' n opera<;>fl.O rle que ttcce~!'iw.mos f:cr·nos-i,\ ncct>K1.I'jo c la/Ub('m po~_,i\'el

51; ,trallir l'UCCe"Sl \":lmcnW, do maior llumm'., tantas11l1illat!I''; (llIilllt.a" TOl'cm a~ ('lJntidus 110 mello\,: 6POI'Cill faeil I'cconhecer qne tal procc"so ,,;C1';a @.ma,i:i3.do IOllgo. mc"mo {Ju:\utlo 0 IlUlllel'O a 511btraldl' nilo fos~c llluiw g-ranrlc.

(;ollvil'{\ pois pl'oelll'iH' IIIll modo nmis ~imp!1'4 depxceuta\' lli Ol)t'l'nl;i1o; tent{'IllOS aprliC<ll' aqni 0meio (I"e, com SIlC'C,SU. ,h\ cmpre!l.:lnw" PUI';\ a.addicilo, subtrahinuo as 1I1litln los d,~ llllirladf'S, asllczclla" tlns lIczenl\.", w; tentcn:ls l!:lS \:t'lltella:<('omo 5'IJIllUI:UIlM antes (pal'a. fatilitar a 0pcl'u("iio(I arldk:10111l1itladC4 ft l1nill:ldcs.(Iczl;'na4:\ dez('nn 4 ,

O:Clltcnn,." :\ C'elltena~, etc.\a)CollVII'ICtIIOS ,10 mc"mo modo mll lIumeN I)QI'

h:\ixo till ulltl~J de matlcir:\ (I Ill' 0" al,;rtri,..mo!' "'lICilul iClllll dc III ,mi na<;ves ."em()1 h;l.ll /..(Is 5'C (,ol'rC'spol1dam ,e COll\"('llhuIIlU" elll t"olloci\!' \) 1I111l1e'O ~\ "uhtl'ahirabai\.o tlaqueJlc de (111(' &l fjllCI' ~uhtrahir.


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-ZJ-

St'ja put' p\.emph: It I a !'uht,'ahil' .Ie :~1;7 ; ,tirdmos, til'nlldo ·1 llJ1idllr1C~ de i uni,I:1,lc.. {Ill til'ando,j (I.' 7 l·('~taIJl :~ Hili l:tilc~ ou restam :1: til'[Llldo 2JtlZ,'Il:b ,1(' {j (Ielenl~" Ol! lil"l!ldo:? tie ij restam 4t1e;wnao:. ou re.~I.\IlII: tir-,J.D.!,' 1 centena de 3 centCl1:U; ou til'ando I ele:l \'(',;1,1111 Z cl'nlell:lli ou fe,;Ullll t; ~~'m :\(·har(·mo!<. I'ju,' ~<J se til'a I tol d.~ :1(07]'''stam 243: OliO 3D, tIlellO~ 124 ~ ll{l1nl a '243.

Furmula \<.h Opel'i.Ujii.o (

XiI ;?-t

(I)

Slja fl.lo!t.lrn iH:l ~t1btr:\hirde ,1: oota-"o :l 1'l'imeil~1 yj",ta que niLo $0 pule .<:ubtrahirUlli"ades deunidl\f!es, PVl'fll1ll11tO -1 (', maior que I: porem nos epo!'~h'cl . Omll.l' 11m", ,lezena ao maiol' dO$ llUmCI'OS.fill" Ikal'.\ :linda la-unl 011 moiO!' do que 0 numero a~ubtrahir. Re~tam ain{a tluf'lt!;las de que S(' (!t.\"cmsubt I'l1hil' 5 "omealC ; 0 me~mo acontecer[l em todosos o,\so.< ~0m('1 hall{e!".

Co 11 eft'cito. ~lIppoJlhamos mCllOl' do que 5 0 resl.ode d"zel1:l.~, que 0 ~':',\ !,e!o men'J" Ill' L isla (', lieI dcze:la: mas entfw elle "",1, i.!ual a :l antes deIlia haH"["lnos snhlrnhio.lo tlm!l ,Ief."n{\. e por b.nto0" (Ioi,. ll(1meI'O" rho 1o.. contcri.\ln 011 e8m') nn 11el'0de dezelll\.!;, C'11 teu l\,"", ..• e ,Ii ,red !'inIn tI 11 ira mentcpcbs tllli,lade", 1[a" 0 lIumero a subtrahir COl\t~m

I S gui :'lllii " pro,~"~$1I "rolm'lr;o 'h "uhtnl~;";por,:m n.s Ilotr,~ lillll"" :lIJr,' ~Ilto duis outroll, dos qUllesQ ultimo me purcee IJl"eff"ri\'d

);. A


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= 17

-24

mnis llllidadGS C pOl'tanlo et'!\. mnior toque 0 llUmero de que sc 0 quer sulitrahil'; a opel't\<;iio sedai:npo,,,,i \'cl. (b)

Dire lIOS pois; lirar ,I de 1 c impossivcl; lOrnauma <.1M i dezenas, tomo uma uelcna emprestada,10 e I ,,10 II, tiro 4. de II rest..'\lll i; tiro;) dezcllasde 6 dC7,cnas <tue restam. poi,;: que ha\"iam 7 e jlltil'oi I1ma; j il'o 5 de G, l'cstn. I.

Vomosassim que 113.\'ondo tirndo 54 do 71 restam17; que il menos 51 c igual a 17.

71\ - :H,

&l tivcssemos Ilgom lie su~lt'f\hjl' 4;):13 ,Ie (l.~:t:~diri:uno,,: Ural' 5 de:~ ~ impo,,-~i\'cl; willa etl1prc~

tada IImll dez,'na: 10 e:l ((\nirlade~ (IUO entl'am nopl'imeiro numero) ",;io \:J; til'O;} de I:J. ['cst:lm 8.til'al' 3ldezcn~1 tie I uniea dt.'zen3. que l't-~t.a. 1>0'quante jil mmd cmprestada uma tiM duns que la\ iam, Cimpcw~ivel ; toma emprc_tada uma centeno.;uma. dt:.'zenade (Iczenas C Illlla (ICZCllll. que eu tillhaslio II dezenas; 10 e I silO II; tir(! 3 (dczelll\;:') deII (dezeoas) l't:.'st.am 8 (I!('zenas), Til'lU' 5 centena>:,de I centenn.que l'esta. ~ in possi\'cl; tomo empl'cstada uma dezena de ccnteuus on mil; uma dezcno.de centcnRS e lima centeno. quI:' me l'e~f1.. 10 e Isao I\, tit'o 5 de 1\, re;;tam Ii centeno.;:. Tirotlnalmente" milha!'es de j milltare.::. pol" que ell>;:'

() que haviam j,\ tomei mn empI'cstado, Uro 4 de ~)

l'est(\, I ; c neha que subtrahilldo 15';":0:; do C>2'23 l'e~·

tam IG88, que (j~23 melLDS -1535 oj iguul a 1088.


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62234535

25-

I-I

- 1688

Tomemos flnnlmente urn ultimo example 0 sub·trahiAmofl. 2·15:) rle 3QOl : rliremos: lira\' 3 de I cimp(lAAi"CI; notllremo.<: ('ohio flue 0 primeirorlosnnmcros nila cOlltem c1czenfl.'. mllS lluicamcnteccntanas; po{le ~e poi:;; lomar uma cer,lena ou dezrlezonas (' dallas tarnal' cmprl'slada lima dezena,l'CsC['\'i\.nl!o ~l~ 110\"0 outl'ns. Allsim tlinllllOS: tomoempl'e.<dada umn (lezena: 10 c 1 sao 11: tiro ;j rle11 re~t3m }\.

Temo" a~orn lit' subtl'ahil' ;) (dC7.enas): como rc~·t;unl,) ths 10 (]ue h:\Viflmo~ tom do, direm~: lirar;; de 0 tJ impossh'cl. tCIllO emprcshdo uma dczena(Ill' (leZ6I1ft:;;) (]a f)'.ml jtt tomoi uma d01.ClJ:l, I'estam9 : tiro ;) de f1, I'(!$t,'lnl -I; til':\I'.j ('(ln1C'na" lIe umaccntcna que rcsta c impos.;;ivcl: lomo emprc<:t.'vlotim{\, dClCn:l (Ie N!ntelln~: 10 c I que I't'stn S;-10 II :tiro I dc II r('~tnlll i: tiro 2 milharc!i de 2 millm·res que l'c$tam. l'e~ta fl; :\C]IO JlOi~ (IUe snbtrahir.dn20\:):1 tie :3201. restam ;48; CIllo; 3201 monos 245:'16igunl a 74K

IHI\I

3WIi-i5.1

i4f!

l'ouC'·!<c ait0l'a ohSeryul' que Dastal',l sempre tornarelOpresulIla Ulllll uuitl:ule ao algru-j,;'lllo que oxprimodczena.s em rcla~tlO ao que se quer subtrahil'.


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- 26-

Com effcitn, supponhamos que a e~ta \lnid;vlc fiedczen:l~ jiL t'VClIlOI' nC<"(>;:sidadc 11(' to rnl' eIllIlI'Ci;:bda llmt\.un',lallc, I'C~t::ll'rWn; 01'.'1., (I Iltllllrrl) qlle~f' kill do suhtrnhir scn'L ~ClllPI'(! illlllli a fl 011 mc1101' ,10 (IU!'!'l; C j(1 \'illlu~ '[IlC, toltus n" "eze" fluel$C tOlna ClllPI'Cs\..:tda Illna Ilezena. U 'jl1(' l'l-sln /!;\totalidaul' 11M Iltllll(!I'OS II llL'Cc.-:"'lI"iallll'nh' Ie) iJ.!u'l!011 lJl:\ic/l' do que' 0 (l\1e niurla lc"tn a ~llbl1·[lhir.

o r,lIC rCsta fir unl )1l\l1ll'l'O, (lcpoi$' lie 1Ill\"Cl'dl'JJcf<ubtrahi.ln um mellOI', (I nUnl('!'O {JllC rCIJl'c~cllta (I

cxc('~:<o ,Ill maiot' _~tlhrc lIIenOl', dIUlIH\·!'<C dijftr""CG<,,,II'" eS<"$ f1UI'/"ros.

\ o]J'Cl'J<:i'i1J !)lJ1' moio lilt fluall'C til'a, ~e 8ubtl'nhctlJIJ numOl'v de Dutro. dlnllm·sc· .1"I)/J'oq:11".

l)a-Hl 0 ILOIllC de ul'i/llmttica it lH'W <1<.> fazC'!'qI1Ui!:!-C(t1t'I' o~r.\~s l;Cbr(' os lLumCI'(l!<.


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E' po~i\'el commcttcr cngallo fazenllo umanddioao au llm~ sllhtracQilo. In)

!;cl'in pois COJlHlllicntc conlICCCI' 11m maio de vcl'ilicnr:l ojlem.Qiio.

Este meio ~ uma out r:\ operacao que de\-c lInl' lllilccrto l'esull(l.do d'antcm~1O COJllleeido, se !\ prim eil'lloperac;iio esth'cr eertn.A~~im ; tcndo-~e suhtrahido urn nllmero de Dutro,

pol' cxelllplo, 17 de ;;4; nellau-so lima dijfel'cl1<):l(J110 ~or:l OI1WO de :\7. So esta diOcl'ollca do 37 foru Ycrdadeil'U, scrii niX."e'~nl'io que, nridieionnndo-nao menol' llumcro 17. aehe-se do novo 0 maior 51.

Com eJl"cikl, ~c 17 mnis 37 sao ;)4, til'nuda Ii deM 1'c:stnr~lO 37.

So urn llll'Alera somma 10 a outl'O lcl'ma llill cortollllillcro dado. e elnt'o '1ue, se do ultimo llUlllOl'l)sulllmhirmos um dus pl'imeil'l>S, aeharemos paradilTerenca 0 outro. (b)

Assim. poi' eWllIplo, depols de havel' aehlldo que1728 menos 8W sao 869.

\

172800.- ""'"---

= 869

&;9\ + M9

/-1728

Sommnrelllol'l 0 mellor dos numero.': (H~m com n.dHrel~llQn (HtJ9) e, sClldo a 1'.Ommn. igunln 1i28.concluiremos que nao nos cnganllRlOS oa opcmc;llo.


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-28-

Sa a somma do menor numero com a dilTtlrenl<ll.nae. for igual no mrdor numera, "Ct'a foro;080 COllcluil' quo hOllYC Cllj:!;ano lla operaciio, podelldo Sorna somma au nn. differem;a, Oll em ambos; dc\'c-soentfw rocomcc;ar uma e Dutl'a opera~10, 0 M~im

ate que elias aprescntcm 0 result.'\do que dove tel'lugar, quando e~Uvercm cerbs. (A)

So S<lmmanuo ll. differenc..'\ com 0 mellor dos IlUmoras 0 resultado for igual aD major, e ninda pos.sive! (lile sc tenha commeitido cnganos llUS dUMopera~)cs, mu.."" de mancil'n tal q ue elles so compcnsassom; como se, tcndo o.cllll[10 a dimmmg.'l. Ill<. llordo flue rcalmentc ella 6. tle duas unidadcs pOl'excmplo. achu!'scmos UIlM somma maior de Ilu3.Suoidadcs dll. que dcves!'e ella ~r; 011 !>C, adllllldo adiiIereOl;a mellor t\Chn..~cmos a somma maior deduas unidadc;:. ~Ias do>(" :oer ffilli raro commcttcr-senas duns oPCl'lU;oes cngnm;H em sentido contl':\l'io edo mesmo numero ('ill amha".

E' muito Pl'oYfivol qtie f\ pt'imcira como a scgunda OpBl'Q<;ao cslcjam cerifi~, quando asta aprescnt..·'tro l'ei:'ulkLdo que devel'iaquanuo ambas estives~om

r~almellto cel'tas. E' mnis proyave! que ambas estejam ccl'tasdo queconlcnham ambas precisamp.nteurn erro igual e em sentldo colltrario. (e)

So so quer "critical' umn addi~io, pol' excmploesta

357+ 229+ 342

= 928


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- 29-

notaremos que, subh'ahido 2'29 dB. somma dos tresnumeros.o resta sera igual A somma dos dous 1'C •

bntes. Faremos pOl' tanto as duns opera¢es seguintes:

= 699

35i\ + ;W2 (I)

I _ 6'J9

De ser 11 di£fcren~ entl'e t\ somma de tres numcros e urn delles igual it somma dos dOllS restantc!(, concluiremos que a oper:H;iio foi bern faita;lie ou11':l. SOl'te seria preciso que nOl'l hOtlye~emos

engl\l\a.do em dullS destas opcrn~l)11S c que as Cl'ros1'10 tivcsscm eompensado, 0 que nao e pl'ovl'n'el.A 0.1'01'3.61.0 ou opcl'a~Oes pOl' moio das quaes seVCl'lrlCa. o.quo so tern (cito, formam 0 que se chamaa proM.

A somma tie dous llumeros C 0 ffi£lior maia 0meuor. S<.>jam 5 c 9, sua somm:1 U 14, 5-19=14.A difrcronqa entre dous numcros C 0 maior menoso menor; a diftcrOlll;;a cnh'c \) 0 5 (\ 4, 9-5=4.So juntarmos a somma com a dHTeren<;a, teremOSo m"ior llumel'O malS 0 menor, mais Hma v cz 0maiol' menos 0 mellor; por~m somml\r um numeromenos um outro e sommal' 0 pl'imciro c subtl'8ohil' 0 segundo; porquanto, juntando 0 primeiro

(1\ ,\ prova da additiio oonhel'idll Ol'<.iiuariamenle ecoruplieada c deBgosta quasi todos os r.rincipiantes : aque Ihe substituiruos aqui e ruais simp es e, alem dis!onito a& csquece tao .facllmeute.


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-30-

juntoll-se urn numero maior do que dcyja, ~cr delllll:l. (]u:l.ntidado if:P1fl1 aD SCg"Ulirlo.

A~ du:'s opcracocs de .'Iomm:lI' I' !'lubll':.thil' 0 nw·nol' do.~ lIumero" ,16tl\){!m·~t!: !\:;Silil poi~ n ~Omlll:l.

-dn :;OInma e 1.1;), difTercnca tlO.'l tlous llUmCI'OSserii igllal a duns vel.es 0 nHl.iul';

9+;)+9-5-00..:.. 1<1;, 14+4=18,

14 mais 4 e ig'ual a l~, " il!llnl a lluus VOles 9

Assim tambenl, ro Ull S:Offim:l. (Ie dOIl~ JllllllCI'C>Sse j:uhh-nhe a l'U:\ rlitrerenc:a. tem·se 0 'naiM numero, mais: 0 menol'. de qll" e ncct:s-:H'io s-ubtrallit'o maior monos 0 menor: mas .'Iubtl'allir 0 m:tiol'menDs 0 mel101' e 0 m"smo qne "uhtl'uhil' 0 maiol'e summar 0 menor: parqnc subh'uhin,lo IInicamente 0 maiur, tirn-,;c urn nUllieM que c'X('edc 0que s:c (lcveria tirar de urn ftUlllCro i:!ual aD menor;lira-se poi~ esto rIc l\l;tis:, e Olllfio dc\'c-.<o SOlllJnt\.!·o p::tl'a r<,-fabcleeel' a idcllti lndl' ; t{'l'emo~ portanto que :l ,litTerenca ('litre a -"mma e a ,lim'renrade dOl1~ Ilumero~ C illllal a dUll'> vel':C~ 0 menor dv~

nllnICJ'O~;:lOqlle ~e dcycsommnr [linda r\ maio\' C~ll[)tL'ahi [,0 de no\'O, opeJ'n~,lCs (11lC 8C rlc-t!'oem: adilTcren~a tlcnr{i poi~ i(!'lInl a tlua~ \e7.C~ 0 mellOJ'<los numero.~: 14 mello~ 4 e igllnl a 10. qne l' 0dolli'o rle 5,


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- 31

SETUIA. I.IVAO

Aconleccnrlo (/l1C 1I0S seja necessaria somUl:ll',1lI11 com 0 outl'O, dOIl~ llumeros iKllllCS entre si.potlercmo~ llllllfnr m50 do proccsSo (tllll para LaJ11m Ul:uurLmos de eshular; Illali, 8'~ so tratal' deSOlllmar vinic, lI'illtn, cem nUllH!]'OS i::=:uaes entresi, tal P['oCC!:'~o (l:1da ern l'c~ult~do uma (1)e1'<lC<locxtrcmamcntu longa : ~cl'-nos·ha. poLs. uti! COil he·eCl' urn mcio que no~ pcrllllUa abre\'ial-a.

Para !wocuml' cs~c mcio tOlUcmos 0 llilmoro 2:)1c supon lamas que cite deve SCI' rcpetirlo cinco\'c~e.". ou, 0 que C 0 musmo. SOllllllfU!O quntl'o,"ozes a !'i mcsmo. Pal'll exC<.:utur a ad,liciio escI'C\Cl'Cmos cinco ycres c.-te ntllllON, (,Ill' scgllida~{/1Il1IJal'cmO>l lluatro \'ezc~ 0 llUUlel'Q·1 a si meslllo,o que uti 20, e.."<:l'(lv\'·se 0 no re:'ptlclinJ tugaf C]('\':\-t;C :2 para a columna scruinte; fcilo isio,l(!rcmo~ de :'Ollllllar (llmh'~ ye1.CS 0 llumero :i llezena~ u ,j lJlC.~IlW, 0 que dA 2~, f.l q'lC junl<trtlmos:t que trouxelllOJl da columna llrccet.lcnte. pl'l,.'la·~.clldo a.....~im 2'7; ('~crel-c"~e 7, Icva.ndo 2 pam acollllllna ~cgttilJlc; IlllallllCnte, ~o!nmal'elno:,quakoYC1.e.~ 0 lllllnC)'O:2 ('("uteua.." a Jli lJlc~mo, 0 'Iue ria10, a que jl111t~\l'Cmo,; aintla :2 que tl'ouxcmo~ dll.pl'credcntc colullllla, prdazendo :u;sim 12: esel'C\"C"se U e teroUios [I,,,im .'..>5·1 tomado ciuco Ve7.C8,sommado quall'o Y(>l.e,; a si mc.~mo, i~ual a. 1270

251

\+ 2;)-1+ 23~

+ ~I1+ .'..>5·'"",1270


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- ~2-

POrOlll em vcr. de dizer 4 c 4 sao 8 6 4 sUo 12 e 4s5..0 16 e 4 Silo 20, poderemos dizcl'. 4. l'epetido ciucovozes. ciuco vozes 4 sao 20; eSC"IH"e-se 0 c g-ual'da!'c 2; elll ,"OJ: de;) e 5 >:3.0 10 e 5 sio 15 c 5 siio ;2() e;)HaO ;!:1, t1irclllos [) rcpetido cinco vczes au cincovel,OS 5 >:5025 r 2 de l·tl~OI'\'a sCla 21; escl'cvo-SC 7 0H"llnrda.·sc 2; tlnallllcute, I) dcrcUlos ;lizel' cinco vezas2 S-lio 10 e :2 de l'eSCI'm .~;lO lZ, escre\'e-~c 12. Estemoio t'llluito mai>: espedito e apenas eXige que seconsorve em memori:l. flue cinco vezc..~ .J SilO 20.que cillCo vozes 5 !'-ilo 2:1. que cinco vozc.s 2 saO 10.

Scjll. agOl'a 0 tlllmeN 35-16 e proclIl'omos ammma dcste tlumero repctido 7 vozes all sommadoGveres a:li rnCSlDO; dil'ClllCiS ~ete vozes 6 $;1042.escre"e-se 2 C I'CSel'V(l·se <I; :;etc veros 4. &to 28 e 4de rcserva. sao 32; cS{'reH~'se 2 e rel;Cn"3,·se 3;soto vezes :-) sao 33 c 3, de resel·va. s'-tO :*!; eserevcS6 R e reill't'V:I-se 3; jete \'07.08 3 silo 21 a 3. del'eSCl'va, silo :M; cs~reve-se 24.

FormuuJ \ +

I35~6

7

24822

fazer a somma de scto numeros iguaes entre si,do lllcsmo numero l'epetido sete "ezes, on tomarsolo 'oozes 0 mesmo Ilumero, chama-so lambemrnulriplicar 0 lIumcro pol' 1.

o IlUlllCrO que so dave sommaI' comsigo mCSlllO,repetir ou tvmal' Illuitas YCWS, chama-se mulripUclUldo; 0 que designa qnantas YCZ(;.S 0 pl'iroeil'Odove set tornado, cbama-;;c flIl1l1iplicaMr.


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- 3:3-

o llllllH'I'O que "c outen} tOl!l;,\nuo um ('(,l'to numm'Q lIe ,·cz('~ oub'o 1111ll1lH~I, mult.iplil·[lliclo 11mllumel'Q pol' Olllro. challl:l·>:e prmlw:/fl. ,\ O[l('l'aqao1101' meio ,Ill, qua! ~e [\.irma 0 pl'Ofhwto, l,;huma·~e

tIlulljplicm;do. (> :(t-\b;l\no~ ,Ie n~r ·..pc ella nao elll[li~ do t[I1C um:~ (l,M;,.", abrf,·j,/d".~o I.'Xl.'lJll,lo pr£!el'Jellt£! :1.,Uj., 0 IIl1lllfJl!in",dn. 7

o IIIIfl/jl,ljrllrilll". :!~'itz 0 prod«r/,,; 0 ~i:lln[ X inuic:\que 0 IlUlllCI'Q 'lue 0 prece.le dl.'H~ ~l~r muHiplif'nrIoI,elo flull 0 ~l·,;me..-\ iiJl'lllllla ndma c\.primc quc;j.').lfi lllultip!icado pori e i;lIal a ~.jl':U,

TN'~ YCZl'S leo m(,~llIo qne llllltl. "l'Z h'es: com('O'cilo. t1·c~ ,'ellS 1 {> a unid:vle repcliu,l. tJ'e~ H~'lC~. e IIIUa VCl 3 Hi10 C Illai~ do quc 3 ou uma IIlli·dado re"eli,la 1re;; yele~.

Cinco "cze~ n e 0 Ille~mo quc non~ YC7.('!'l 5, pol'qunnto n {> n ullidade repctill::\ novc VCles, e cinco~('7.ell :'I ll11idflde ~ilO 5; d~o vczcs 0 e I)O[S 0. lllcsmaCOIII'.'\ qlle f) J'cpetido nove vczc~, 0 meslIlo que no,'e"c,,-cs 5,

So ti\'cs_"om\l,~ fIe mulUplict),1' 2 por :3 C 0 PI'OJudo flchfldo Illu[tiplicflr pol' I, t(!l'if\mo~

.'1x3 6, fiX 1=2·1 ;

por~1l1 Clll vcz de 6 podel'ifllll'lS ('~l.'I'CVcl' 2X~, pot'qUflnto :IS tlu;!:; c"'prC~'(k'" dc~illl\alll 0 Illo_~mo nllIllcro: tcrcmo" polS

~3 1-=2.1.


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- 34

Aenhnmo!; (Ie yer quo

6x4=-tx6. -tX6=·IX2x3

e flOl' eon~cquenci:\

2x3x·b4X2":}

])ondc "(' ('onrlno que. tendo dc Illulliplkal' 1'tlC('e~"'inl.mcnl,(' 111l1ito.;; nl.lmero~. un" pelo>: oulros, 0pror!urlo llCl~'1 0 mcsmo,qun1lluer qUd ~cja a ord<>mdn llJulliplicaciio: COlllO .iiI "jmo;; que a ~onJllla Nfl.a me;;ma, quaJrl'l.er que fo;;-c a orllem em que csliyc","em c:ollo/:.Hlas a" pareelln;;.rodercmo~ a!!ora. ~em allxilio rlp qunlqu('1' ope

l':l.'tiio 110\'1\. multiplicnr 1.1111 numel'o lie 11m 80 alj!arbmo pol' outro, SP. tormnl'mO$ C j!1Hl.rrlarmolltic memol'ia os Yalorc..~ ~s protluctos do

110 1' 2pot' 3pOl' ,pOl' ,}lOl' f>pOl' 7Jlor "po\' 0o.

2-3-4-:l-G-i-8-0,:)-.I-;}-u-'i-8-0,

4-5-G-i-~-~),

;-)-6-'7-8-0,G-7-8-£l,

7-8-9.8-0.

fie .de .de .ric .de ........•..............110•..•••.•.....•.......•.••

do. . . . . . . . . . . . . . . . .. . .

Com cfrcito. nao Ita neec~idrl.fl~ de I'eler em memoria 0 prodlll'to fl~ ~ por:{ ue.;do quo ('o:lilel'(lIllCl" °110 :~ pol' :2 que f' a me"rnll l'I)U~I.. e as:iim pOl'rHallte: "el'lIO poi;: flpC'na.; :~> pl'O,!lll'lo." lltlC predI;'\rem~ li>!'llllU' prc\'iamentc C I'ct.'r fie lllCUlot'ia.


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-35-

Sa,bemos jii qual 0 mcio a. ClllPI'Cg':1l' para. ach~u'

o protilldo tie tun t1Urnlll'O qUfllqucl' pOI' outl'O fill'maclo de l\lll su alg:u'bmo, Pr'llri~llllJOS ng01':1. eomIl1'cl!cndel' n appJie::l.Gi'l.o de tnl pro~'es:>o :1.0S CMOSem que 0 multip1iclHlol' tern mllitos algal'islllos.8eja, pol' excmplo, 4G7 a multiplir-nr pol' Z~: se·~uiremos a mel'rna mnrcha que ate aqui no;:. ternservido. Cllcurundo 0 numcl'O 2:-l.~ como formadode 8 ullitll1.d~. :~ dezcna" C 2 centeu3.S; aSSllll 0:10tercmos mais do que Iilultiplical' ·16, pol' 8 ullitl::u.lcs.pol' 3 dC1.cnnS ou 30 c pol" 2 centl'nns ou 200, <.l del)(lis sommflr e~tc:; tres pl'Odudos p:1.1':l. ohic.' 0 de40- 'NOI pOl' _,>0'

Orn, 116s jil saLemos multiplicat· 407 ])01' 8 llllidatics, agora obscrnl.l'cmos que mnlti}Jlicul' pOl' J dezenas Ii 0 meSilla quo) m~ltlplicar 1)01' tres e dopoiso pl'oducto JlOl' 10, e que multip1iC:l.r pOl' 10 c tor·nal' 0 nU!l1CI'U del VClCS maior,de SOl'te que elle yema contel' tnill'\S dezcnn~ quant.'\S unidades simplicescontinh:l. n principio, tantas ccntenas quanl'\s dezenas, C :\..,,<;im pordinnte, OU, em g('ral. tmtas dezenas (IUnnl:J.s l.Inid:ltlcs.

Para oMcl', pais, a pro~ludo de 4m pol" 3 dezclla.s,muhiplic3.l'emos e~to llUmer(l pOl' 3 e em seguid~~

tOl'nal'cmos a prouucto obtiJo del vozes mnio\', 0(IUC SC (:otl~el{ue coUoc"ndo 0 i\ dil'cita dos tdgal'ismos quo 0 eXpl'imClll,

POl' tim owerVat'CillOS de um modo analcgo quemuUiplicar pol' 2 CCllt('nas C0 mC!'lmo que multiplicar pol' dOll!'l a principiu c depois 0 producto por100, tOI'J1nll(loo cem V('zcs maior, fnlf'llfJo ('Om lllleclle contenh:\ tanta.<: centenas qllanL'1.S unldaJc;;


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continlla, 0 qu£' so consejZue collOC311rlo dous 0 iLdireita do!; al;;!'(uiilIllO<:. que 0 expl'imcm.

Diremos pois: 8 "C"lCS i sao 56. cscre\'c,"'c Ge 1'c.."Crva--se 5: 8 ,'ues (; sao ·18 0 :> de I'rsena. ~:l.O

53; cscrc\'c-~e 3 e rc~erva-sc 5; 8 YC7.e.c; 1 ~io 32 e5 de rescna. sao 3i. CSCl'en~·se 31: 0 producto tie4Ui pOl' 8 scr:L pois 3736.

•(1 ) !

4G7x 8

=3730

Dircn,DS dcpoi.~ : :\ ,'czes 7 suo 21. c!!crc\'c·se 1e I'csel'va·se 2; 3 yozes G suo \8 c 2 de l'csernt,suo 20, ~Cl'l,we·sl,· () c rc<:.erV:HC 2: 3 vcus 4 SilO12 C 2 de rl'SerVil, ...ao [4. Cst'['CWl·SQ II; terem~

pois 0 producto de ,un f)Ol' :3. i;!:'unl a 1101; por~m

cste prorlueto doye $Cl' llluitiplicll.llo pol' dez ouigunl a 14010.

(2) \4117

X 2

, =931

Finalmentc diI'ClllO.~: 2 vozes 7 sao \4. ('!'creve-s4 c rescn'i\-:iC I; 2 \'(.·7.e.~ G 8110 12 e 1 de rrsenn,silo 1:3, esC'I'CyC·...c 3 c rcserva-sc I; ~ VCl,C!'I 4 >:iio 8e 1 de rc.<:cl'Yu. silo 9, C'<:('l'()w'-se 0: 0 lJl'odncto de407 por 2 6 0:~4; mas 0 pl'oducto do ,167 pOl' ;!OOdeve SCI' cum VC7.CS maior: >:cr:'1 ])oiS 03400

Para terml>s ngorn 0 pl'odllCl0 dc ,J(j7 pOl' 2:'18 (:prcciso rolllmaros tl'es produdos pardaes de Wi


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- 37-

pol' 8. pOI':l) e pol' 200: faremos poiS ~ :).ddi~io

do~ tTl'S' pT'OIIUCLIIS e atllarcmo;; SUa. folomma ignnl:\ lllllG: 0 pl'Olluctll lleW7 pOl' 2:lS ;;Ol'a pvisigl1UI:\ 1111111.

( I)

3730\+ 14010

.J... \,:HOO1--

1111t!)

PIKlc·se (.ntnllanto simplirlcar 0 modo lela execu·tar csta operac:io. mlliliplici\nrio em primeirolUKar 0) numcl'o 40, pol' tl c escrcvcndo 0 res·pectivo prooucto; multiplirundo·o em "~guida. pol'3 c escrevenrlo, imme,liaUl.monte abaixo do p1'i.mciro, c4e no,o P]'ooucto, de mod" que as uni·dadcs do segundo correspondflm liS dezenM doprimeiro; lln.1Jmf'ntc. multip'icando pol' 2 c escrevendo. immenill.hmente flbaixo dos dam: pl'jmeiros,este terccil'Q producto. de modo Que as suns uni·druJes correspon'!lIlD [lS dczenall do segundo c ascententl.S do pl'imeiro.~ .. J ~ . ----:.,

(

'.j 467 :-,~.!

'x ~3~_.-~ 3i~ .',

I 11111093400

----\= 111146


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-38-

Assim, part\. ncllar 0 ~roducto do urn numeropot outra f!ualquCl', nlultlplica-sc-o palos lIumerosaimplicctl que fOl'mum 0 Illultiplicadol" come~alluopelallunidadcs. C oollocalluo os I)rod~ctos formados tie modo tal. que as suas unilJades pn~SClll aexprimir unidades, dczcll:l:<. ccntcn:\$. milhlll'C;o.etc.,oonforme exprimil' 0 algarismo do multiplieador, que ser\'iu para 0 rllfllltU', ullitlfldcs, dczenas.centenlll!', milh:u-e". etc. (n) A

•


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-31)-

""o~'" LIf-Ao

A~sim como sentimos [l, ne 'essidade de oonhecero result-"vla ria addi~ao de multo! numel'08 iguaes,pode acontc('('l' que, conhcccndo urn numero, teonhamos nC('c;:~idade de saber qt:anw.s VC1.os soria.nece..~~ado \,,'peli!' um outro lIumel'O menor parafOI'mnl' 0 lll'imciro; 01\ ailltla, qual soria 0 numera,quo l'(lpetido urn llumoro dado uu \"rzes. produzirino primciro.

Sc tiVCI'IlWs. pOl' exrmplo, 0 uumaro 2124, pVdoacontC!ccl' qne prpl'isemos couhcccr quan!.::ls ,'ozesser.i preciso I'Opctit' 0 Illlmcro 6 para obter 212.-;quanta.<; ,-0;,:r8 0 Il1lmero 6 c contido em 2124; 011ainda, conhccer (jun.1 lJ 0 1l1imerO que repetido soisVC7.e$ dr, 212~, 011 que c contitlo sois \'eus emZiN.

Ser-lles-llia Ilcrcssario sahel': que numero do vewsfie conti/lo em 2121 011 quantas vezes e nl.lCessar'ioIcpetir Ii para- forlllar 212.4. I'C, per exemplo. tendo21~4 objectos l\ distl'ibuir. do\'endo lIar 6 a cadape!'soa. quiz('~~mo5 saller a qllantas pessoas seastenderia II dislrihlliqao: teriamos necwid1\.de desaber quc numcro c oontido 6 vczes em 21~4,

(Inal 0 numero que repcUdo 6 vezes da 2124,se, tendo !?124 objcctos a distribuir igualmente pol'6 peS$ou=". quizc5.-<tCmos ;;abcl' qual 0 uumero deobjcctos a dar a clvla p<'!<'~O:'l.

"':e. tendo !?12 i objeclo;:.. qllizc'I.<:em09 lO.'\ber pol'qualltll,. Ilessou.... os podel'iamos disbribnil" dando 6oJ.tjectos a calla UmA ,$cr~nos·hja fadl reconhecer,quesllOtrahindo I) cle 2124, do I'CSto sublrnhindo ainda6 c assim pol' dillllte, poderiamos dar I) a. taulas


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- 40-

pcssoas quautas Ihs.-cm liS \ezc:; que pudcssemogelTecluur a sllbLrncC;110.

Se so tl'UtaJ' de piu·tillw.r i!!IJn!lu('ntc 0 lllc~mo

numcro de olljeetos entre r. I-"'s·oa~. ,"cremos quenos ~n\ neCCSSUI'1O 1:.IIl~r miio (Ie G ol!j('(·t0~ pUfl\dar um n CfHl:\ pei'soa C (IUO, pOl·tanto, podcrcmosdar 3. ('ada pes."').'\ lan1o<t Ohj{l{.. lo.~ fluant:l~ liJrclllns v, zes {Jue podrrmo.': por ellai' IliHlibuil'H; ('onsC'!llontClncllle, lalltns \'('zes Iju:\!'tns rllJdGI'lllO~

subtrtl.hir 6 de 2124. (AIPodel'i:ullOS exccutar immedialameutc e",fa ope

rn\)uo; porelll e fucill'econheccJ', pOI'mni:; i'illllllf'1'quc seja cada SUbtNWitO cm Illl.l'ticular, quilo longae )>tlllO&'\ so tOI'unrja a op('l'Ucrw pela g. [lllde numero de subtl'uc\Oes a [;,tzar. (8)

Proccl'cmos, pors, able\ ink\: pnra jpso oL~cn'e,

mos que i'C, POI' exemplo, i'ubtnlltirmos no em vezde fl, tel'cmos subtJ'alddo lloz vczes 6, r (IUe, 1)01'tanto, podrrcmo5 5ubtrnldl' 0 tautns dezenas deyeZe5 qU3.nt.'\S YC7.e5 podel'lDOf'! su1Jb~lhil' 60,

Ai'sim tamoom, ~e suhtrll.hil'1ll0S 00() em yez lie tillou em vo?, de 6. lercIllo5 811btl'allido lte;/; YCZ05 ()(),ou, 0 que C 0 mc~mo, c. III ,,('zes (): Iwder-eillos poiilsubh':lhil' 00 tautas dezenas de y<,zes. C () t.'\IIUl.1centcnas tic vezes (IUUllt:lS \'czes pOtJCl'ffiOS 5ubtl'H'hir GOO.

Como niio 1l0~ i' pos.,j"cl subtrahir fllo() de tl24,pOl' SCI' cste mcnOI', ('om()~aJ'CIJIO~ IlOl' subtrahil'000, bnta!! YCZC;; (I muta;; n opcr'H;.lo luI' po~ivcl,c tf~rcm05 a.."Sim 0 nlllllCl"O de cclllcll~ lie \'czesque e possivel sllbtrn.hir 6.

Com cJTcito, n.-to pode Cllt~\O l'cdal' SCIl;lO U1U


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- ,n-

nllmet'O inferior ~ li'JO. do Illl:\1 U niio p6de seTsubtrahido cem 'C7.e;:;.

() rmmel"o de y(·7.c~. que se P(j(lll ~ubtr:\hir 000,C mCllOI' (1o que HI; porqne dcl. \'t..'i'.cs (j()() ~ao 6000,c 0 lllllllcro dalh) ,', lllCllor 110 quc r.ooo,

Tomantlo 0 l'esl<J, (Inc e mCllO!' lIn que GOO, delleflu1)ll'ahil'cmns 0 I. tnlltas YC1.(),~flnn.lltnsa opel'uqflolUI' possiyel, C tN'UIllO.s as.sim ° lJUmCl'O de dC1.enfi$lie vezes que delle,\ pnssil'el subll'allil' fi c tim rcs-tomono\, 110 que GO; (\ unme\'ll lie llczonus de VC7.esIIIlC fole l'e7. :\ suhtr::lC~tl,l) s{'J',i mellor do que 10,!lOr'llmnto 0 numel'O de fltl<' folllbtrahimos tiO c,como j;, Yimos, mt>IlO\' flo quo Ij{)f).

l'illahnente, toml\udo e:,:w ultimo resto que seobkm, tlelle !'l11)tl'3.hiremos ij tanta.~ "ezei' quanUVlflw pol't!>ivel. e WI'CIllO':; 0 IlUlllt'\,O ,Ie "eres que (ipOIle delle ~el' SlIblrahillo. IlWIlCro e4tl menor dofille 10, pois que 0 r<Jsto ('l'fi n-j('nol' ,10 que 60.

'J'el'CtllOS, linnlmente, em pl'i1l1Cil'o lus;r:l1', 111111mel'O de cenl.cll:.'\S tie \·e1.c~, Clil ~e~uida 0 ,[oJ deiWlH\S de vezes C pOI' ultilllU 0 1Il1!lJOl'O 110 sinlplicosIlnitlndes de vczes quo.s:e pudo ~IILJh'ahir 0: cansoIlllentcmontil l) llUruCl'O flo veze~ (Itle 0 [lutle SOl'1'1Ibtrailido de 2124,

Po...·'m, 1'0 ti\'es-emo!" dll suhtrahir 600 'de 2124,"el'i;uno~. prali('alllio a opern(';io. que no,~ ('e~tli

l'i:l1l1 lantn..;: uui,htl('!< c dezelln~ Ilu:mw exiMiam('Ill 2124, 110i~ llut' d.-lie mio tcrialllOl' de subfrnhil'qIH'I' uni,l:ltlt>i". '[11('1' t1<-I."Jl"~: l'eeollheceriamlJ'l. tel'ij ccntell:l;< n "llhtl';lhil' <I.. :d ccnH'na..~. 0 de 11, eflue a "1Ihll':1(',10 plHll' "CI' ti'ita:~ '·C1.c.<:: que 1101' conseq llcneia n >'(i I),"l~' ,~l'I' ;<uhtl'a h ido tl'c.~ ccntenas de"CZC~, 0 que l'c~tal'iw :1 cell/"IIIIS" mas, rio numero21illloS rC'l.ta\':1m nillda?4 llllidndcs; tercruo'l. Jlor-

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tanto urn resto wtal igual a 324. Procul':\('emos Ill:!pois quanbs vetes sa p6de subtrallir 60 de 324 ; no·taremas, em pl'imel'o IUglU', qU(l liDS r.~stam 1'$. .junidades (pois (Ille n:1O lemas unidallcs :1 suht.rallil')e tel'emos .somente 6 dc~cJlas ft suull'aliit· tIe 3~dczenas, 6 de 32.

Esta oper:u;ao podo SCI' l'epelidn. <:inco vezes;() pode. pols SCI' suutl'ahillo cinco dczonus doVCtOS 0 resbr-llos-Iiil:o 2 dez(Jllas, lIS quaes rouniromos 4 unidadcs, que jtt 8-abcmos nos restarem.

Teremos assim 24 de quo dcvcmos subtrahil' 0, encharemos _lue so so pode faze!' isso 4 vozos. Teromos. em summa, achado que (J pode SCI' subtm·hido de 2124,3 c'!ntenas de Yl;ZCS, 5 rlczenas deTezes e 4 voxes, Oll ;w4 YCXOS (C) (I)

Quando so pode sllbtrahir tllll l1umero de 11mQutro um corto IlUmCl'O do Ve7.08, n,tl\ qUI3 0 I'estoseja mellor do quo "'0 pl'imeit·o RumCl'O, cOllcluimosque osm primeiro numCI'O (I conUdo no segundo 0mesmo llumcro de ve7.es, com tim l'esto: 3.8Sim, pOl'

el) Estil Pl1)Vll da diyi~iio pal'ocen-me dOYOl' serllubstituida a pl'ovn ol'dimu'in, no toxto dis<e a l'al.Hodfsso, porque noste periodo da instl'uc<;iio os alumnosdevem estal' slifficientomoLlte eXOl'Citarlog panl ~entil-a.

e porquc e imp0l'tllrlte dcixll.l' \ or no en~ino 0 monosIlue fOl' possil'cl ItS 1I,'JIOIW;llI.lfl'ies e 11l1'tho//os m'IiiI,'I/,.iQs, Ou\'i urn grande philosopho ~CnSlJrnl' a algebl'apOL' qUQrCl' ella condlizll-o [I I'CI'dade dcspolicamCl1tc,~em dizcr-lho rOl'que 0 fazia soguil' tal Oll tal caminllo,e como so linha vindo a sabol'quc Illll tal conlln·!.irill.ao resultado dcsejado: confessM'n olle qU(! <l<tn flllta,nl¥o do methodo en, ~i, ma~ dos livl'os, iosph'/lva-!hourn COl'lo desgoslo lnvolnnlftrio por lisle estndo.

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excmplo. I) e CO:llirlo;3 \'eze~ om 21. com 0 rcsto 3;I) e conUdo 5 V(!ZCS em 32, com 0 re.-:to ~; 6 (, eOIltido 4 vczes em 24 e linda resia.

Achar qunnt.."LS \'cze~ urn nllnlcro pOdo SCI' conlido em outl'O, chama·se dieidi,. 0 segundo pel0 prjlllcil'O, pOl'qne ista imporla dh'idir 0 segundo omtantns pal'te~ qu:\nlas sao as unidndes do primeiro.

A('har quant:ls y('zcs 6 ~ contido em 2124, e di·,'idir 2124 pOl' 6; e i1ividir 212·1 em SCIS partesiguaes. l>ois que IIllla das pnr!o~ rcpctida seis VO:L08f;m'i. 2124. 0 numera (IUe $6 diviLle chama-sa dit;j.dClldo: aquelle pelo quaL~e di\"ide chama-sedrllisor:o numero de vozes que 0 dh"isor CcOIlUdo 110 dividendo chama-sc qllociellte.

:\~im. no presente exemplo. 2124 ~ 0 dioidendlJ,6 0 iicisor, 354 0 qllocicllte.

Como as slIbtraCl;i>eS !'ucce£si\'!,-s que so precisacXe(ut3r para saber quanras '"OZC!l IlfU nUfUero ecootido o1m oull'O. potlcm ainda. conduzir a. fUuilongll. opcnu.;iio, proc\H'cmos, pam 0 mesmo tim,um mcio mail' simple!'.

Nolemo::. em pl'imeiro lugar, que 0 primeiro nulllel'O C contido 110 seg:ulIl!o pilla menos uma ,cz,paiS (IUC 0 ~CA"untl0 (0 necc&illriamente maior do quea primciro: em scguidB.!lUO ~ cantillo oo"e "czes nomai!', p()i~ '1110, 8e fo~~e conlido deT. "czes au mnislie dez \CZI~(, tcl'ialllo~ pOll ida suhtl'ahir ao menolltlllIa. "ct, (' I' me"lIlo nUffioro. tOl'lIado flcT. vezesmaiOl'; ('Il:. j llallto qu~. SCjZUillllo n r"alocha tla ope.1'1\(,':'10 PI"'(·~'rk:1lc. ViOlaS m"to ser mais ista possivol

IliI'clLl,'" l' Ii,,: COl ''11 qmmtas vcze,'! !La 6! Slip·!J(lnh'J IlllC ll;j fillatl·v Yczes; quatl'o yoze;: 6siio 21.1lJ:l." ;::1 L' maiow (10 (1110 "'21. ;2·1 ;> 21. hn poLs moMs


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de ([\lab"') nlZIl-; snpponhamo;: Cjne hnja i.l'S"Vozes: trell \C1.(':; 6 ~iio 18. 18 c lUellor do {IUu I,18 < 21, 113. poi;; mellOS de qu:dl'o vozes c mai~ deU'f'~; !l:l. cnttlO Ir/;'$ 'C~;es <'Om um N!>to.

Em /IC1>::l1. "er.i fllwicQ fllz~r e;;t.'1s tcnh\tit'as aleque se tculm achndo dois IlUmCI'OS coll¥"utivostaes, que 0 pl'OI.lucto do menor polu d~'isOI' scjamenor do que (I di,'idcndo. C 0 pl'oduetd do maiorvolo divisOI' seja maior do quo 0 di\'idcndJ, Sa 0Ill'oducw do dh'jf'ol' JXlI' \I c mellor tit qlle 0 di,'jdcndo, Ii chu'o que 0 dl\'i~ol' ~el',\ qonlido no dividendo no\-e VCZfu'. pois que se robe de Rutemiio queo prooucto do dh'j.;or pol' iO e rnnlUl' d) qee 0 dividendo. Com elIcito. sent ellt.-,o 0 menor dos IlUmeros 0 (IUocicntc, pois que 0 divisOI' SCt'l1 coutidecate numcl'O dc vczes no dividendo, COlli nlll rcstomenor do (JlIe 0 diviso!,-

SUpDOnllft-se qtle, temos a.t;:ora 253 18 a di vidil' pol'i; 1I0lal'CIilOS em primeh'O Ingar 'Itle 0 quodentelIao p6d1' contel' dezclla:; ric milllnr, poi~ que setevezes oo&10סס1 iOOOO >- 23348, ma.~ que pOdc conteI'milharc>-, pais Que scte \ ew~ 1000 s.10 7000 < 25348.Dit'emos pais: em 23 (milhares), l]uanta!'. "ezes Jln'i ~ ha tl'e,; \'czes: H'OS V07.C87 slio 21. til'cmos 21 do25, l'estal'a.ll 4 \milllfl.I'CS.), ('sC]'e\'Ol'CmOs pob :3 (llliIhal'es) no quocicntc, P:u'a tefmOS IleJX'i~ 0 nlllllCl"Ode centcnas rle ,ezes que 7 \}tj([e SN' contilJo no numero que ~ta, cOllsidel'lll'('IllO;: qn,' a1e1ll do resto4 (milh.) temos tt',;- cellt('lla~ que 0 r1i\-ident.lo ("011

tinha: dirclllQ::' ellliio: e1ll4;~ (cent.) 'Juan/a" \eze,..:ha 7! lIn. ,,{'is \"C'ZO" (",eis cCll1l'ml~ de \·C7.t',\; sci!'.\C7.es 7 siio .1:.:'. l"6ta um:l lent.cll:l. l'al':1 adla.l' 0IlumCI'O tit) dezenas de vozes qll(' i pode ;:t'l' cUlltidono novo rc~to, l;olal'Cmol' !"Jue a[elll de Ulna ('ell ten:\.


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l'e~tanH10" " dezonns, quo continlia 0 divit!(llldo:tt:1'emos nssim qunlorze <.Iezona~, 0 diremos : em 14(dezen~) quantas yozes ha 7? 1m Ilua~ (duns u{'zena."ue voz sl j dua~ "OZl'S -; ~f\O 14, que sllbh'ahilldode 14. dii para resto O.

Para. nch[l.I' 0 llllnlero 110 vczes que 7 pode SCI"contillo no 1LlImel'(':I que I'C"ta, u\)scn'ill'omos l"Juc~6 1l)S l'est:\ln as R \111idade~ tlo di\'idernlo, e dil'emo~: em R qualltml vczcs h(l. ,? ltl11n ve.: C l"esta I..-\!'.."j'll sabcrcmoo 11'10 em :?334~, -; e cOllUdo tresmil "cza~, seitl (.Cnlella..~ do vezcs. duns dezenas devezo" 0 Ulll(l. \"(~z. com 0 l'C>'to I ; ou J621 YCZCS,corn reslo I; 0 quocionte de 25348 pOl' 7 sera, pOl'lan{(), 30'?1 com 0 resto I.

4J14H

(I))

'?5.'HR I\ ,3G2r, resto 1

I

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Scja ain'lfL !6J I n di\'itlil" pOl' ft: ob."Cl'\"aremo,Illll' 0 Illl()('icnte nflO p6rle l'Ontcl' mnis do QUOccntell:ls: I' dil'emo~: cm 16 (cl>nlonas) qunnt.'l.'lVC1.l'S ha R ~ dUMI (centcnas de vozcs); duasvezc" B s:10 16; til'amos 16 ric 10. J't:sta 0, Tel'emosllcpois:1 (de1.enfl~l $urncnto, e dil'cmOil: em 3 (tle~eIH1"\ Ijuautll'! lliezenas de vczes) ha 8'~ llom UlIlll{dez!;!ua ,Ie n~ze,;;:l, 0 1}1I(wieule n:lo poder,\ entaoconl('I' fl('zNI:l.~; (' 'lil'emM om !'C~l1jdn, 11:'10 Im"entlo majq ~enao :l-.l nnirlades, om 34 qnantas\ezl'S hl~ R? Iluatro vcze$; qUl'Itl·o \'ozes 8 SilO 32;


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t.i1':.~.SC :l:l de :-U. restam Z: 8 seril pOlS cOlltido em163-1. dUlls oonteoas de YCzcg, ncnhumn dezen:\ deYeres, qUfltro \'ezes, ou 201 VC7,eS. com I'esto'o quocicnte da divi~\.o de 1631 pol' 8 serlt, por"to, ;')().t, resto 2.

163418 :?(U, rcsto 2

----34 1

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DECI"" 1,1«;,\0

. Ac1miUnmos n/{Ol'a quo 0 divi~ol' lOllila mUlto!!).j/{al'ismo~: pOOl'1'1'1l10S flllpregar aioua 0 lUcsmom>thodo

r,l' exclllilio. tcmJo Zi4i a dividit' pOl' 123,procn'a,t'omos, Olll prilllCiro lUg-HI" qual u a mnL~

elevnU:J, dCliominaciQ nU1I1crica que possa tor 0quocielf.". aclmrmllos que !laO pOt.Ic couter miIllares, t{lis que mil \'ezes 1<.'3 iNio 12:«>00:;;.. 2723i;mfts Que 1.6<10 ('onter (:entcnns, pois que 100 VC7,eS12J suo I23¥) < Zi23i. Em f':cguilla ObSCI'Vl\relllOS(jUe :1." dczc~as e as ullitlades lIo dividendo niiointlucm sabre 0 numNO lie ccntCllas de 'oozes quoo divisor pOdo '.lel1e SCI' contido. c que, em genii.t.ollo llumel'O do l[cllominalt;lO inferior :\ do quedc\'c CUtl'IH' no qnociculc, nao iutlue souro oUe,pois que 0 augmcnto de uma unidade ncste ultimoIlUIllCro, impol'ta. pt'lo mt'no~. augmpnto lIe um:\unithllle da ort!(!ll1 dcste me~mo numcro, no rli,'idendo,

Dii mesmn maneira que nn nona lil,ao, para.sabel' que !lUmeN de yeleS C 123 ('ontitlo emcad(\. Ulll dos dividcllll~ pnrcincs llue tcremosde formal'. observ:u'cmos que esse numero naopode SCl' maior do quo!); pl'ocurtll'cmos entiio,tio'sde I ate 0, dous 11l1lllCl'OS consrcutivos taes,que 0 PI'Ol.lueto rio tli,'i-m' pelo menol' F;cja lllenor,C 0 prodllcto do flivisor pelo maior f:f'ja Illaior doque 0 diyidendo. Sf' 0 PI'Q<illdo do di\'i~or l,or 0 Cmellor ti~ que 0 lli\'idelHlo, il'l'-sc.ha, pOl' i~o lllCS010, \) no quoeicntc

Assim r1il'cmos: em til. (ecnknas) quantas vezeslIa 123" dll:lS (ccntenas de "eles); :2 veles 12'3 sao


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241): til'.,\I1I!1) 246 de 2ii', re"If\1Il 211 (centcn:lsl. e3 (dezcn:l~l que 1m no didJ,·udo. ~:10 ~(j3: em 21;:jhlezella..~1 lillftlltas veres 1m. It3! ,Iua" (delen,de yeze~). :2 veze,; 12:~ ",:0 21(): 111':1l1llu "!de 2(;:~, rc.<:tnm Ii (dC~,i'nas). fllHI ('om :IS 7 I 1dades do Ili\'illc11l1o. Fiio 177. Em Iii 'Ill as"01.0';; lin 1:?3~ Ilma \'('7.; til','UlIlo 1:t.:1 dc ITt I' bm5-1. 0 ql10dente set'it poi" C011l[)O!lto de ,II Cl'UtOlla$;, rlllt\~ orzena,; C IIllla llllidalltJ; S6I'[t' 1. como I'C~to ;; I.

2ti3177

Resto .. , 711

ComprellC'ndc-sc Que quantfo 0 llivi~or e lim nu·mern /(mnde. a nCl..>(!sl:idade de tentar t..:xlos osJlumcros de 2 11 9, Pftl'a. saber qUf\lltas VClOS eclio {'ontido em ervin \Ill! dos dividendos pMcmes.importa perda de tempo Que convii'li ol'itar.

COll<;Cj!uil'cmos isso do modo qnc segue: !'lUpponha-se quo t.cmos 727 3. divitlir pOl' 122: nttcndcndo a que 700 <: 727 c 200 > 12~, reconhecc-sequP 200 scndo C<:lnlido ll'CS \'C1R!l I'm 700. 1210~cr-J pelo monos tres Vl'l.e~ em 727; ntt+'ll!lendotlepois 3. que ~OO > 727 e 100 < 122, rN.:ouhcce-8etamltcm que 100 contelltlo-se ex,~ctamcllte S yczesem 8('0, I:?'l ml0 ptXIer!l se conteI' Illaiil de 7 vezesem 727; restnr-nos-h3. :llt0m unicalllente experi

mental' os Ilum('ros de 3 n 7.


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Do mc~mo modo se th'el'm~ 21;l.l :\ flividir pol'326•. ob."cr\"arcm~ que i'tOO > ~WW. :~fJO < 326, ecOllcluircmos que, :iOQ niio ;:e flOllclillo ConteI' mnisd~ !tete \·e7.e.~ cm :?~OO. 326 nao JlOIlel~'1 ser contidotamhem Illai" dd S('{(! Ye7~ em tl3.1.

Ob..--erw,l'ernos t1rpoi"que :!IOO < :!1:J1 (' 1')0> 326:poi." que 400 C cOlltido cinco ycz.e.s em :2100, :tW1<('1'1\ tonlicto ao menm; cinco yeleS em :2134.

Se em yel d' 213-1 tiVeg<;emo5 2lXH a di,idirpol' 326. ouservnri:"tmos que 2100 > 2034 nAo COlltendo >'ellao sele \'07£8. cxactamcnle 300 < 326. 3'26niio »<kle gel' contido sen:'10 ~t'i" YCles. no maisem :!(HL Verulcanuo em se~llida. que 400 > 3~ t:contido !'inco "czes em 2000 < 203.1, concluiremosqllc 326 (\ conti([o no mel\O~ ciuco \'e7.1·~ COl tfJ3-1 ilm!'llu'-nos-ha pois tCIlt.'l1' 0 numcl'o (j (a).

POI'que • W 0 producto to\' maior rio (11lC 2034.3Z0 serii COli lido cinco YC1.f'to. nC!'ltc llumero, e sei s!';e 0 prollucto lUI' !uenor.

_.-


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Ul"<iDECUI,\ 1.1".\0•

Quando pl'QC'lll'umos. em Illll do~ cxcmplus ilnnOlla Ii<;ao. pal'tilh:lr W:H obieclo.~. i;.\'11f11mcutc.outre 8 pc-soo:;, nch:UllOS I)ue ('ada II lila «CHrlS pod i.'trcecber 201 c que rcstal'inffi:'2.

Supponhamos que os olJjectM em f!UCSWo 5:"0 tlosqllO ~e, POdOlll dJvidir elll muittls pUl'lcs, e que teuhamos di\'idido 11m dalles em I'j p:utes iguacs;poderemo~ «at' tlffia de~tll.s pllrles a cal[n uma (las8 p~ssoas e, dh'it!il\r[o 0 outro objccto que resta,tambem em 8 das; me.mms partes. podcrcmos d:\l'ninda umn de:;L,'ls partc~ a crltln pe"~oa : eatln umatlas pe~"'oa~ teria 3!'Sim I'cccbido dvaz do'S/US ]JaTlt,~.

<las quaos 8 formam um objecto intcil'O, Oll dOllSoit::wos do objecto.

DevCl'emos poiS dnl' a calla pej:.~o:\ 204objcetose ainlla dous 0]taY05, que so e~crc\'cm tl~ : dove-socntiio dal' 20~ +~ 'g •

&l SlIppomos Illlla COU$a dividi(ln em 11l1l cel'iollumel'O do partes iguacs, de modo quo a ~omrn:t lietotlas estlls pnJ'tes seja a pl'opl'ia cousa, oxpJ'ime·seUllla dostns partes flccl'cscentnillio dl'os flO nome doIlumero (Ille indica em quantas parle!:! a COU$a.considemda Cl'U dividida. (l)

III Adoptalllo· n ralavra firos e:n H!Z dn f('I'miU3l:a:),:;iIllQ, p"rqu(' (',1:1 prf'd><flri'i de ullin el:Jlli(..\~,1 mUilQm'is longs e m('no~ i"t"llil:i,·(·llis Clillll\-lS. V prof(',-~o,"pod~", ir jutrodu7.indo \Jger,,-amente O~ lerrllOS cornIt ultima tennin,(il.o. sem COllllu<lo I'nJrlll" om long,l';expljclI<,"oe~.

(.\'. ,10 T.!


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50 Mlppomo.~ a COU53. di,'idirJ", em 100 partes,calla p~wte chama'So;l urn-cern-avos (um centesimo) ;l'C a suppomos dividi,la em 238 parte,>, catla Jmrtef'ham:\.·re Il on du :;(Illo~-t-irillill+oito-d,,-c..~.

As,im, dnus vilo·"r".~ (oita\·o-). t A. indicam queun1:\. COllI':\. toi clivi<lirla em oito partes e que satomam duas (Ic.~ta'" partes.

I'cl:lllle~llla 1':\7.;10 dt:; oilo-aro.~. 1"1•• iDllic:\rn quea unidntle (vi Ilivj,lida cm oito p:lI'tes, e que setomaOJ <lin tlc",-"'t/i p:u'te,,: 1)()I~m oito formam umobjeeto inteiro : CllttlO, tamar 10 ll(l!'les e 0 mesmoque tom3!' lllli objecto e dOLI! dlo-axos. I+'{ .

Quando li"crmos lie partilhRI' 1634 objcctos cutreoito pc~o.'l.S, POOCl'CIllOS di\'idir carla objGCta em oitoparte" e cia!' a cadape"soa IH34 ncstas pades;!)QI'CIll. 16:-14 de~t:lS partes sao a mesilla COllFa qua204 e t/~. que?04 olliectos inteil'OS e dou,; Olta"oS deUIIl <testes oLjectos. A:<sim 1G3418=204+t/~.

\'cmospoi~ quo, sLlppolldo que a <ti\'i~;lo rcal dosobjcctos nila apl'eFente iuronvenionte algum, tedamos ailllll~ \'anlagem em dl\,l' 204 objcclos intcil'osc n:lO dividil' scnao 2, e. pOt· con~cC]t1cllci[l, [lcll..r 0l'esultallo lin divisAo indicaull, pOt' l{)31~.

Podemofl ll~Ol'n notal' quc t~. dnus partes de timohjf)rto (li\'lrlldo em nit\). tl 0 ffit>smo que n quarla.plu·te. que II. degte objecto.

Sa em vez de ([lIC'rC'r partilhnr 1634 ohjeetos(,Dtre oito PC!'~O:1s. qtlize.~~emo" l'ahel' n quantal;1"'-~'I:\S !)()del'iallIOS .Ial' oito rl,,"te;; ohjaclf)~. l:.chari· II'" aillll.~ ::?O leo I'C-'W 2: 'el··lLo~·hia IM"Si\cl.1. ,Iar 1::I n :!i14 pc;:."Oa,,: t('ria ll1o.;; a~~ i III :!Ill por~(\c_~.

mna. t'tltlll}{):'la de 8 objedo;:. intl'iro~. e lima.l' ',';If) ("(Ill\plJ.~ta de rlois IIl1s IIh>lIH)S ohjedo5;i ,t''''1Il c,ta pOl·,'.iO CQmpo"ta ,Ie (lois ob,jecto!' (0 l~mal


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a~,' lie uma pCll'(':10 do oito ohjeclo~: !(lI(lm03poi:; 2(H PON;X)eS e :? oitavo!': do uma 1)o1'~;IO ; 0 quocleute ",ern M+2;S'

.so th'er;:5emos tido 164 a dividir pol' 0, nchRI'ia·mOll 18 0 um I'e"to iswal 3. 2.: llC poi~ th'o<::llemos1(14 ohjcdos:l partilllal' entre 9 pe~!<Ol\ll, caberiaru18 :l. caua limn, e,Ji\'i,lilHlo 0" dou~ 1'(,8tantc.~ ('m 9jl:"ll'lC!'i, earla pc.<::'!;O:l. ,('I'ia ninda duui:: desla.... partes:u quocieute sel'in 18+'jp. Sa quizessomos dislribllireslos 164 objocto, em POl'c;OCS composb.s de 0, cadalImn,lcl"iarnos 18 POl'liO.'S C l'cstal'ia llma ]\01'1<,1.0composta s6mente de dOIl$ objectos, POl'lfiio esta que!':cril\ 2/9 de Ulria <las oull'M; soria pois 0 fjuocicnto 18+t / g,

Pelo que fica dito rcconhece-re que niio basta,de]Xli~ de hayer FcilD a di\'i;:iio, inuicar.\'implcs.mente 0 resto, tiiZOIWlo, pol' exemplo, se se divide163.1 pol' 8, yem p;\m 0 '1uocionte :2O-l com i'e"to 2:l'C so diYide 16-1 POI' 9, quociente JR ("om l'esto 2 ;Ina.<:: que c precisodizel', re"to t'~. 1'e4o!~. porllue.ainda que em amhos o~ ca,;o~ l'~st('rn rloi<::. oiljeeto" .....10. elll urn ca~n, dois ol~ieaos a partilhnl' cntreoito pcswa.\', 0 DO outl'O, doh: objectos t~ p:ll'tilhal'entl'e no\-c : em tllll, lima ptU'te que c i~tml a <loisoita.vos Jus oulm.S pal'te~, no outro. UllIn. })lll'teque c igual a. doi~ llonos lIas outra,:,

AS cXIll'e~sl)cs 2,~, ~/v cllllnlaIH-:;e {I'IlCf(WR; dIUlI111nl;.Sc nll"lel'O$ ill{rim,< o~ 1]\10 :\le alilli t0mos('Otll.:itlOl'aU0, (jllatHln e Jlc('I's!':al'io di~tillj.(lIil-o.<::. liMCXpI'f.'~"Des 21~, 201+~f5' pol' exemplo, Il1lCflan OIlcnCCl'fam f1'acc::Oe~.


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- 53-

o nnmeN) de partes que de::igna umn rrac~

chama-lie Imm..rlldor da r,.at:¢'1; 0 numero de11UrtcS em que C8-M oobjecfo di\'idido, chllma·~e

dellomillador. (A).

••

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DUOIIl·:CU',l Uf-AU

Vimos na sext..'\ Ii~'io que, depoi" do h:wcl' cxe·cui.ado uma opel'ac;ao arithmetica, nos coa\'iri:l. WI'um meio de \'cl'irtcal-a; jA s.'\oomos tomo so p6deYCl'jltcar uma mblrac¢o ou umn addi¢o; l'csta-nosagora pl'oclll'ar um meio de \'el'incar Ilmft di~isdo e1I11m 1Il1lltiplicardI'J,~llpponhamos quo t(>nllo (\i\'idido \'?72 pol' 24,

achOll-iW pfll'a f;uocioJ\tu 53 j c claro qUI', se 24'<:0contcm cxuelamcntc 53 VPU)!> om 12i2, ,j;{ \'ozos NIlcrlio a JlH'sm", con~n quI' 12j2. 0 que, pOl' COll,sCj:{uinle, 0 pt'Odllclo do 2~ por;,3 SOI';1 1272,

As.,.im, 11"5 di\"i~<k'S l'm quo niio 111\ l'Ql;w. " 1)1'0'ducwdo tlivisOl' pelo quociontc, ou, I'j qllo C 0mesmo, 0 produ<.'to do quociente pelo divisor, ser;\igu:l1 ao dividendo, gil amhas as opel'a~iCs loremhem f~it:l~, , •

:)'} tl\'c;;scmoi' :lj:!om lim rl'sto, como :!e hou\'csscmos <Ii \idido 1"2;;:~ pol' 2,'; f' achado pill"'- quociente50 com 11m I'esto 3. C ct:110 qllC50 \'czes 25 dcvescl'i~ua.1 ft 1253 menos 3 ; qlle 0 producw de 2S pol' 50dnc 51'1' igual a 1253 ilIonos 3. e que, em geral. aSOlllma compost:l do producto do diYi:so.. palO quoeipntt'. em numel"Os intciros, edo resto I..'llllbom cmnumcros inteiro~, c igual 0.0 dh'identlo. isto so veritlca:-a se:lll oporal.:iles forem bem feitas,

I~m geral, 0 (\indendo e igunl 0.0 pl"O(lucto lto di\' iWI' pllio q1I0cient(', ta II to intei 1'0 C:>!nO fI'al'el Ollar j 0;1~;):3 c ignal ao pl'oduCIO de i5 pOI' 50 1-3/t~, poisque 2;) \'c~es:3 J):l.I'tc~ de um objeclo. que ~c >luplJoe(\i\'iditlo em 2;) pal'tes. C 0 mC~lllO quu :'1 \·cr.('s i',jt1c~~a" pfll'teS, 0 !)(ll'tanto 0 m('!'i'tllO tjuc :'1 \'CZCl:' 0ol!jccto inteil'Q: a~~im como 3:·~~ dc t5 ol!iectos 8,:0


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-l)j-

ires ,'{'Ze$ {l, ,-igcsima quinta parte de 25 objectos.011 tro~ Wze8 urn objecto iuteim.

Trudo ffinltiplic:ldo ~ pOl' 25!' achfltio 0 pror1u·do lXII (. (,Inl'o que ~,~ cOlltt·'1l1·~e :dl ve7.C~ em J:~~)O

Fe 0 jlrOuucto e~ti\'cr cxact.L Assilll POdOl'elllOli val'Hlcar a exnclidllo da Opel'al;;ilo. dh-iditldo 1350 pol'25: e nconte<:cr;i em j!;(,r.ll, que. nas operncOes quefOI'f'ffi hem rcit-as, acharemot que 0 ql10Cientll lin.divis:lo do producto pclo lllulliplicador ,. igllal nomuJliplicnlldo.

Porum. ncollteco que. quantlo ') llluitiplic<l.lldo "urn nUfficro grande. {'sUI. opel'3~1i.o hITlla·~c p..'no!'fl;soria port:lnto hom !Oubstituir·lhe outl-as ffi:l.is ~im

!lliccs: llolemas p:lr:\. i.-so que qU:1.l1l1o SO multiplica 54 pol' 25 multlplir:Hc. pdmci!'o I~r fl ulliuadc:l eobtem·seo producta ~70. dcpnis pol' 2 dozeIl:ll' e obtcm-sc 0 producto 108 (d.ezcllils): aK~im 5de,'e colltel'-se 54 veze-~ tm 270 e 2 se deve 5l cm108, se a opcrat;:.lo 1'01' bem rcihl. Poderemo::. poi!;.vCl'irtcar a multiplicaci'io di \·id illdo sllcces.~i\·llmelltc

as prodllctos pnrciacs: que COI'mamo !ll'OUUCW totill,pelos algal'ismos COl'l'fSpolll.leutes do lllultiplicador,lIevendo ent'-io todos os quociclltes ser ifo;unes 0.0multiplicalldo.

Restal'ia pol'lim unicamcnt.e "eritlcal' I:C a audioo;io dos PJ>()(!UClOS pal'cines 10i f':\acta..

Esta pl'ovn do. mulliplicn~ao importa maiol' numf'\'O de operac;ues, que sao entrctnnto mnls simplices; tem dIn, alcm dis.."O, a \'flntageffi de mostl'llrIffimediatamcnte cm quc Jugal' da multiplicac;aoe~ttl 0 eno (b) (A) .

•


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"J- '"f<.1 ) ..... f'''' ~

""'t'-' ............. rJ ..-r I .......

,-OBSERVMOES

RELATIV AS AO E"SrNO

'"ARITHMETICA

t)~c",. @,,~~H"o

..:P~o~r~t~Q.~.~,~._


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, e>~.,,, <!'''Oti~ffO

.-·.

(A) VOla lilJao COlltem 0 que pareceu possi\'e1eXpOr em uma aula e uti! consen'ar scm mutilnc:lo;entretanto, depois dt'st.'l. pl'imeil'a. exposi/F-'o, podemos deseuvolvimentos desla me~lnJ. li~i1o c as operaroes, sobro que con\'em excl'cita,' os alumnos,aliin de wrnal'·lh'f\s mais familial'CS, occupar muitasaulas.

(a) 0 institllid01' tcrlt cuidndo dc explicul' nquiaos alumnos como n idia de llltll1/..-rO, pro\'indo dapel'CCp<]flO simultauca de muitas cousasscffirlll3.11tes,estcudc·se a oousas nilo' fcmclhallt~. Oir-Ihes-haque, par... fnler esia extenSilo, altl·ibue-;:c II estascousas differentes lima qualirJadesC'ml'lhantc e queso flS con~idel'a wmente em I'Cl:uJtQ a csta qua!idada.

Assim so disse: 1I/)1a fllard e lima mUfa siio dtlas"Wf'ls" depais, 101111 mart! F 1/tna pi,.a $:10 dlla.~

r,.U.clas; c ninda, Willi f/1uj:(1 e maa pera silO 1/Incor[XJ C um COl"fW, ~ilo dOlls corjJQ$.

Emflm, deiXOll-SC mC;:lllo de eonsidera!' estss qua·lidades scmelhnlltes e, enta~, 90 disse uma coula elima cot/sa sao dllas cotIS'as; urn C urn sao dOlll, consid<!rando :1." dua." cousas como possuindo urna qualidade semelhante qualquer. em l'ela~io:1 qua.l seas pudesse con~iderar como identicas.

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Quando so con~itlm'a U!llll. qunlidl1de communi nIlluito..<: objeeto~. sem attendllf {ll' Que os c1isti ngucm,scpnrantlo II iMa dc~t:l qllalidndc com mum unfla-; outras QIll\lidades. tliz·~e que a jch1a dcsta (lIla'lid:ule II UIllR jllia aLsl"octa, porqUl' ~c n ~cparn flasoutNl~ ql1alidade.~. com a;;: 'lllaes ella SC Cllcontranos diversos objecto;;, abstrahindo \Ic~las. A' est.'lid(>;\ uft-"'c tamlwlll 0 nome de {r,-a!. I)(,lrqllc ella ea iMa do uma qllaHclade ou de muitas qualidada<:que $tIO communi!! n ol)je<'tos differcllte~.

:'lluito.<: objeetos quetem uma ou mail; qualirladescommunS fOl'mam urn genera de oqjectos.

Nll0 acreditamos necessaria anal~~al' minuciosl'l.mente. p:ll'fl. as alum nos, as ideas expt'<.lssas pelRspalan'l\.S percep~o. a/tel/wo. idea. object". qlt"Uda£k;basta quo se Jiles faC:ll co'mprchclIlll!!' osontido pol'moio de oxernplo~.

(b) t\\lui COl1vcm flue ~e ih<;n. ob~cr\'al' nos nillmnosas divet'sos usos das iJa1anas,qllfJ slio: 1° solicitll.r aatten(}ao de outrem para a idea qU6 [l, ralnvI'Il.oxpt'ime, 0 que exigo, quo para todO~OB individuosem todns as occasilles em quo rOI' elln cmpl'egada,exprima. a mesm:t, idca;dahi rosulta. 1111c 0 sontidodas paLa.\'I'a.':1 dc\'e sel' {iXQ e. pol' ta.l lOl'ma detel'minado, qne pos!'", ser promptamenle compl'Chendido pclos dh'OI'SOS indi\'iduOSi ompl'egoa'Il6 tambempart!. ropa!'s:u' a propria attelljrLO sobre ideas quesojnffi scmp!'e a" mrsmas, tina mente para quI' sopossa., I' mcdida do. vontllde, I 'mbrat' ccrlns idfusQUo convcm tel' 0 conservaI',

tie, pol' exemplo, nos ~el'vimo~ <In. pilla"I':!. 'lOrepara IflZCl' oomprehendt'r a Qutrom qlll' om t.lllugal'oxiste este numero de tacs au tacs Qutros objocws,ser\'imo-nos tambem p3ra lembl'at' ., n6s mesma


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o llllmt'ro des-tf'!' olli{'('lo~. $"Ill tel' nec"f;f;idflde derecol'rrr ~hi opl'raeues f('ila~ pflr:l O~ ccutar.

Trws nom~~ foram r,;tabf'lrrhlos pOl' so reconhc·eel' nan SO a nec{'>:"idac!f' ufl !'f'!pmbrar, :'t nossa.\'ontadc. liS ld"<lf; do'l divrrso'l nurneros. tomo quetaes ideas {'!':1m da da..":'e da'llAcllns l'obre que oonyem f'xc!'eital' 0 r~pirito.

(1') 0 jJTOlcs.;ol' n.tl'{l Ilohu' quo qUllndo so di7., ume UIll e ainua 11111 ;:ciio Ires; tllll e df/IJ ~iVl h'es: i!:'to~ignitlcn 'Iue a cxprr~~l\o lml C U/II e a cxpre,;,:liodOllS; n exprc"~iio 11111 e >/1/1 e ainda Ultl en. ('xprc,,suo If'c~; a CXpl'CS«:iO UIll e dOllS, " a expl'rs~iw 0'C5,lOr <:{' nUOlld,' llni{'umont" 80 fillmoro. de!1-i!!namuma mesma irll~a: nilo e cnirH:mOO mcnos rXlIcto(IIII' UIll C 11,,1 exprimem urn objrcto e outro objccto,e qur dous rxpl'imem 0'1 lUP~mO'i objeclofi COll'iidcr~l!los juntllml'utp. " como 1"'uniUo~.

A~sim tambemn_~exprc~_~ 11m e tlllI eroni" 11m,um c dOlU, /,.e5, I!psign:l111 nm mc~mo 1l1l1ll1'1'O;por('m n pritllt'il'1l npl'dCuUl. as tres unidadri< comodi"tincln$: a- s('zunrll! apre;:euta um,~ d".~Ii~1lda Ila1;dua,,; outl'3." e e"ta'i COlUO reunida;;; a tCl'ceira asaprc;;enta como l'f'unidn.i<.

As pal1lvl'fls trm e "Ill, e \<111 nprt',entam immedia!.allll'llt.(! trf'''' unidarle_ distindn"'-: ,v p.."\lavrasfUll e (/()l,~. ullln unidrule 0 WI/!f coU•.'C¢.o de dlUlS1l/lidad"s; ll. paln\':'1I. II'C5, 1Wlt! co!lccr;UQ de /,'<:$ tOllJades.

E· ('buo, pais. que n Jlroposi!;'~hl 11m ~ dollS i'aolro". ullo rxpl'l111e himf'llte que ;:0 charMl /,·,·s, VII~

sommauo a d(Ju~; mas ~i~nirica talllbem que ;;Olllmado Ifln a d(JlI,i lem·~e 0 me.~mo llum"l'O (IUO "eobtem sommando ;\ principio 1/11l n tilT\. e depoisaind1l1tln.


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- B2-

l~sl'l. obscrvaoiio esco.pou n. mebph)'!'icos celebres.

f'nl'·~e·ll:), 1I0tar em mllita.s propo8i~Oe>; de:<b.especie (collYcm Illultiplical' os tlXCmplo8), as dua!!i(lCas que I\S formam 0 as pa[avrM Ii l.' ;00, que ex~

prin1l'1ll n existencj" de limn idcntidade p:H'cialentre esw duas id~ IS.

Aquella P:\I't\ que so l'econhcce a idcntidMe,rlcnominn·gc 8ujeitn; aquella em que cxi~te est.'\idcntidade parcinl com n. pl'lmcira. chama-seal/ributo.

ilia Proll,osiciiO-dollJ i 11111 nUIllt"1'O,-I'cconhccc·scuma itlentidadc p~u'Cial Clltl'e <\ ItMa de doust oolfee{rio de dllas ulliaade,. e a i.Made 1Il1mt'/"O, cOlleCf(iode l/llidade. ern ~el'aJ.

Quando 0<; moninas esliverem urn pouco udestrados COl dizct'; quaIro " /1';:$ ~ao Uk, cillCO e quah"!isao !lot·.... dc, se Iheij lur:i notal' que ('lie!' aOf'itam.;sW proposi«>es... nind:l. qua no momrnto d~ aspronunci:w nilo $(! rCOOl'dcm di:-tinctamente romoapl'('ndl'1"31ll a rutmnr 0 nUlUfro :ttfe. rcunindo ;1qU(ltro,111l1 depois UIII e <linda mila unidadr: notandaporem ao met-mo tempo, qm" elks 1'l'COroam-sedistiDcl'tlnente que,quando flzrrnm estns 0Pl'1'U~,viI':l.m clarnmcnte que quatro e Ire/; sao setc. E' csL"('ren~a pOiR nceit:\ com ("onllany.'\, \'islo ('.omo ell,..;:ll'mhram-se de tel' chl"Wtdo a pcrerbel' a ideotidndl'pal'("ial dCRlas duns idens, a igualdade entrf" estesdous numerOR.

Conscqucntcmcntc tlcnl'iio elias SJlbelldo que alembrany't di;;tincta do tel' tido a pereep<;;\o daidentidaJe dcstas dUBS idea:::. que IOl'mum unwproposil}ito, iRto r:, da cvidencia df"l,ta Pl·opo;;i~:io. (,o tlnieo motivo Que ha para a,cl'il:\l-a. quando 11:-10


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-63-

sc pcrN'be nlllis immcrliatamentc esb ~viden('ia, 0que nnfeamentc a IcmlJl'flm:Jl. de luwer scrnprc re·pl'tido ou cscripto esL.'\ proposilfuO, s('m terrceonheciclo:l. slla e\'idellcia, nao scrl:\ urn born motj,"opara acc;ta!·a.

E' l'acil l'cconlll'cOI'q{l(l t:\I'8 ann.lysc.'l ,lpplicnm-se{l~ p"oposiliocS qUi: !If' ell('outram nas lic;oes seguinf, ~. sed pol'tanto inutil in~i~tir nell;\!! ate que osaiUlnno!! as fcoham pcrfcitamentc comprchcnrlidoe ,I (., "ol,;tdo; 8(,1'1\ en tl'ctaII to ll('ce,,~ill'io rep rO((lIzi 1-ll.1:ll'l'pli 'ando-;ls a Olltro,," examplo!;!,

::\.I.U Ita. rundanH'nto para a~"ustar-se com a dim·NIMade do pl'euder a e.'llas analySes a nttenQi"tO domen; 1108 niacin mllito jOVCI1S; so, fOcgllndo a mal'l.:haIlatul'nl do c:;pit'ito humano, nlio.!le Ines mostrat'aspropo.~iC'Oe':. :til ob,j('!"'ac;oe;; ~erncs. ~enii.o dcpoisde lhas ha,"et' (('ito nota r multos exemplo"~. sobre os(Illaes 11:\jllllJ clles I'Cpcti((o llA mesilla.;; opcnt9~cS,

Illio Wl':\o dies rCpUllJllllltla. "crito pOl' 8i megmo 0qul' ha de COllllllllm entrcl'stes exemrlo~c ndquirlrflo. pOl"tanto, as idl'as RC!'ae8 quc S6 Illes quor dur.

Fn.1'-sl'-lm sog-uil' c olJSo!'''!\!' a08 cstudllutcs as(!i,'crsas oporacGes pOl' IUrio <las qUlles dies che~am a urn resultRdo: sa lllrs farA notal' oomo, sa·bendo qne oito {; a llIesma cousa {IUO cinco a. ql10sljjUllta~scm 11I11.11111 C 1P". C sabemlo aillda que!i!ommar lim e 11111 c 1I11~ ~ Q mCl!mo (Iue l<ommar t"eS',!lC !}erccbl' quc oilo c 0 mosmo que cinco a. que seflommassemlrcs. E'clc impo!'luncin. fa1.tlr-Ihes obser.val' {jup pllos "lio podpllI pCI'cel)(,I' a idcntidndoexpl'Cs.sa 11M duas primcir3!i prO!)(lSil,illes, sem tel'l'imultancamcntc a idea da identidade cxprcssa.pela lel'ccirn, 0 que signillca (illeaterccira proposiqlio resulta dill> duo,s outrllS. Aasim lambent, quando


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-IH -

,'Ilc~ diZcm aita e 11M (' liM !'flo (?"::, lugo vito c dOlls~i\o dc~, nilo podem percell!;,l' [l Idcnti(bdo ('xJlI'c.-m )Jcln prilllf'll'[l pI'OllO"i<;flO ~cm simllltnueamente llCl'cebpr n que tl ('XpreSSR prla. l'ef!'undEl..

Pam (jue tal acoutf'(i:l C l'lItrrtanto necessarioIcmbral'-l'c que um e am Siio dvllS.

1\0 primciro ('xcmplo " impo".jw·1 .lchA!' dePI'I'Cllb'T n klelltldadccxpl'l!~:la peln tel'coir(\ prop()~j~iiO, i1csde qlle SC pf'I'ccbrJ. a n:pl'es~a pclllSrh1l' ~ ollft'nl': no ;lCA'tlllrlo oxemplo l'el'in p()s;~i\'f'1

11C1'o('IJ('1' fl. idelltidndl' eXpl'f'';:l'[l, pola pl'illlrira f'niio :t da .;:t.'j:runda: i ...to acont«cria 80 lI,in 1'0""0It'mhr:l(lo qlle 11m e lWI -flO a JllI'''W(l cou-a (IUCdQws: que acere'>centnr lim p 11111 e 3.~Cr''''CCllti\r

dOtl$ ~iio n !llf'~nHI. COUSl'I: !';C csla ultima proPO~'l,:;i1o

lIiio e enunciadl'l C porque se sUPp'''>e que dill soapl'eserda pOl' si mN,ma.

Pel'CelJcl' a Ilopc14dencifl. om qlle so nella 1I11la,J!ropo~il;il.O de (Ina)! uutl'U'" ou de l\llH\ ~li, ("hUllla-seMlle/Hil·. A palana t, go e,;pt'iwe quI' ~o cOl\tlueum:t pl'opo~i~i'io de umn ou de dun~ outr;\s Hntcl'iormelltl' rnlillcind:n:.

Chama-se l'w:iQCi"io a ojll'l'aciio pol' !llrio (In qual!It' clle;;fl:\ ao,S"ntil'C'rnuma prllposit:iin, recoulwcen·llOflUO eJlal'O!iulta 'Ic olltra<:.,j;\ acoltas. Um raeio~

('juio 1\ :\ I'cll1li»o dcstas pl'oposi<;OCs r. de seu 1'e"'uI1.;1do: 0 I'C'iUltnlto c1l1lU},'l ~c COllcl«SM POI"lue 6CQncluido da>; outra>; Jlropo~l~oes.

A.:: dua'- proj>O-"i~:oe~de qll~ "e ('(Indue Cha/ll,'llll-~eIJ/·~miua." PO!'lill~,.C as clllJ"jl!era romo mloptada.sJlI',~"ialUclIle.

COll\'t.'tll, aJlll'~ tic pl'O~I'Cdir mai~, tOI'IHU' e"I.<\>;llo\'Oefl fUl1lilial'(\,; nos esludante~, pol' meio de bon,;l'xcmplos. C;OIlYCm tamliom, SCllljHf' que allrescn~


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- G,-, -

tarCllI-:;c t'ollcltlS<){,~ Ilcoluzidus de tlllla ~u )lI'O{)O~ iQuo. ex Cl'ci la r os a lu 1l1llOS em Sl1 PPl'il' a l'1'0 po~i<;iio

quo cstiver sllUcnl.endidll..M cxpuzemo8 anal.l"licl\lIIcntc:1.0 .\ formag[[o da~ ill"ag nhstt'llct.ll..- ;2.° A natureza !Ia.~ pl'oposi<;Oes exach~, Iltle "'on

:;istell' nn JH!"""O(l;O d,' """I .dnllid(ld.. l".r.-iul ent.red mlS idt':u:;

:1." A nahn'czlt do a~sell"'O itS pI'O~OSi~OCs, II uandoapunas nos lembrullws de hnvrr t1do csta pcrCCpciio tla idcnlidu("~ :

.1." A nalUl'ljza (lns IH'Opo~i~ue!;Clll que estn iliClU{ilia/Ie I'Cirnlt.a ,In IluC tem sido perccl!ida cm Olltrasvropo~i~oes.

Tcmus, portulliu. j;\ II~OCS sohre as tres 01}i,!1'a{'{.os intel1l'C'tunt'~ dt:! que (; eapn nosso c!lrldto:a ro'''ltl~il) d,u itiioJl, 0 juHo. 0 Mdoci!lio.

COUhCCc-15C, nl,'m di~so. dua~'\>spc('jes de aS8ellSOa lllll juizo; a pl'imrirn, fUlldadn nn ~l'cepciio imllJeclinta Oll ll1('dinta da hlentidrvlc parcial cllkeas 1M-as; f\ ol1trll n9. lcml.H'all~JI tic tel' tido c"b.l)e rl'c j)(;ao .

E' possiYc! (juc. me"ulO em 11m l'tlciooinio '<:'imllle",t'~ta ldtim:"\. especic tIe ~~~cn~o tenlla Jugal' jll\l';\as jll'Cmi<:i'll..':'; c~ta ultima llnnlysc, porom, (> muit.o~t1htil para della no~ ()('("u()tlrmos em ulLa imdl'uctiie("ommum,

lB) 0 instituidvl' .Hlestrftl'il 03 alumno8 em lOt'·mar c t'econhcccf os algal'isllloS e os signae1l + c = ;ll.':'silll como om formaL'os nnmcros o.tedcz pOl' nddi·l;OCS.-lJous C 11'l!S suo ... cinco: quali'v e 'I'<:S SllO, ..ISele; ~o no CIlI'SO do eXI'I'f'icio elles se IlroPllZCl'CIlI areunil' rmmeN" ('(~ja :,(llilmu scja maior do que dez,

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COII\'il'{t dcmonstl'ar·lhes (IUe ella excelle l\ ,Iez eaccl'c."c-cnt.'uqucntl licao seguinte elles npl'tlndCI'flOa Cllunciar 6 a escrever em algarismo os numcl"OSacima de dez.

Se, por exemplo, s.., pl'opuzl'l'em flies :lchar aSQlJlrnll dc oito c setl',!'c Ihc~dir{1 l!,t" 0 11m silo 1I0\'C,C IN! SilO de:: immediauunente cUes perl'ehel'iioIlue :\ l;OIlun3 \.' umior do qut! dez

pod£'l'-!;(!·ha cntiio fater-Illes alll'l:l o\.l:;(lnar 'Illc.iil addciolial'am Ifill e 'WI ou ,IOll~: 1111(' !<etc i> vIllC!<1Il0 que dOl',' e Ci"CO: lille. l)(ll'tallto, lllc" restal.laiuda cillco l);ira addiciol1ar: que R !<omma scr,iCIlW.O a IllC.~lLla causa qur. de: a qul'!'c adtlicioIl3.SSt'1I1 rim'u.SeriaentiiO Jlo~~i\"t'l (ItlC al/-rurm tle~ea dcnomina()i'io dc d·;;; e clIlL".) 011 :<l' Ih~ poderiaJ~l~bral-n. (l l'm'jn, j fI nma lll'i'jl:l.l'(l(:,;o paI'n a seftulldah~ao,

(rl) Fl\l'·~('-h;'\ 1l0{'l.1" ao~ alUlllIlO"~ a COllllllodidadcfloil nl~lll"iilmos 1, 2,.,. n, quo Ot'cuP~\1Il menos.cspa<:o c c~crCVClH'SC mais facillllllnlr '111(\ fir< pH'laVI'M IWI, dOI!~"," not'l'.

Cabo a mcsmu obsel'vn~i"to ucel'cn (j(J9 >-i:-r1wcS+, =; COllvimlo f>l7,el' notal', pOl' cxemplo, quc:1 !-tJ=9, Ut"lO so Ci'Cl"c\"e-sc lllni~ clOpl'o~'a llo queIl"t"~ IIwis Seill i if/llal a nou, mas pcrccbe-se auprimeil'o oillal',

FinalultHlte. fal'·se· ha obscr\"al" que os a.lRal'ismos,romo os s;~naes. como M palavffis Iml, dOlls • . 1/tlC<"suo arbih'l\rios; que so poderia tel' e"colhido algalismos lie outra fOrma. outres !:jig-llaes, ouh-a!' I) ,!a1l11'<; IluO tcmlo eslas palll\"rn~ ,.,ill" ,-on\"oncioll:trlas cnll .... 11m ccrto IlUllierO II.: iu,livj,III'I$, apl'incipiu, ", flue a (>"te.. ,-ieralll I'1llUlir·-.c a'('lpta·

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ram a. IIIC$mfl (:onvemilO, de que fomm insh'uidos .....'OIUO so ar:lb:\ lie instrl1il' :l.OS alnmno9; isto porquo Illes era rommodo entender c SCI' cnl.cndido"l;que c:;tas palnn'as nlriam lias durcre ntcs ling-LIas.e que se os alg:l.ri~lllos v;\riam men os., c porqucsentio-se fl vantagem de os tornar oom IUUIlS, apczard30 difTcrenlJll das hnguas, Yanta~cm que faeil·mellte (oi rstabell',;ida e con~er\'arla em ,·j,ta dopequeno JlUmCI'O de l'illn:l.e~.

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(a) ~r:\ neee$.~t\rio fazer llOt.'\!' qlle as pallwrnsri lite (dicntlJ l,lriII /a, qllaT.'lIla,etc .• siio UP 1'1"auas dosnomos dOKS, i,elf, quaiTo, etc.. qne exprimem 0 numel'O dA rlezcnllS representado rei'l)Cctiv3mcntepolos Ill'imciros. Esta Obi'Cl'vaqilo pCl'l1lilUr[1 Iclet'mnis facilmente a :;ignitlcaqao Ilestas pala\Tas.

l}:l mCi'ma l\)rlllll. tiliIlu]o flxprimill1lo 111,1 lIli/;bi/haQ. mif millliks .. tl"illui.rl. mU f,ilhQl'$, etc., vli-scque cgtes nomoi' sao :linda dcriva.lo..-: /10:> lJomesdOllS, I/'('S, qutU,·o. qUf'ent:locxprimcm 0 nllmcro devcr.cs que toi nccc~:ario rCCOl'rel' ll. tac!'l denOliJlnll.·GOos, }lllra. expl'imit' os nUffiCl'OS (10 mil em milV(!ZCS mniol'cf'.

Disto J:<e1'eWOS conduzidos a vcr que. 1<0 a term inactiio em Ihaoou em <'lIta foi arbitrnriament.c e~...'OIhida. ha motil'o<: de utililhvle llIn e.;;tabelC'C(!I· estareladio entre c_ti Stll'if' ric tLome~ (' :\ (Io~ liasIInidrules.

Ycremos quao mal!! cOlnmodo e nail lingua;: 0uso de p..'\la\'ras (Ieterminadafl em pal'te pOl' OOI'laSrclaguc8, do que de p.'\laq':lS :1l'bitrariM quC', ~Obl't1

~rem mni~ dil1lcilmcnte retidas, a sua siA'nitlc~l,(;iiode modo nl~um II Icmbrndn.

Con \'il'[l tambcm explical' 0 IISO dos pontos illtCI'1\lcdiarios, de que ne~ta H<ilO encontrnm-se dOll;:excmplos; c, para melhor 0 {';)ZCI' cotnprehondcl"COl1\'cm prcenchel' os internl.llos escreveudo immedialamentc 0 que cstivor Sl.lbelltendido, exel.'cit.,\ndoos alumnoscm li\7.cl-o pol' si mesmos. e lazendo-Ibcsvcr que seria mnis lOllg'o e, de ordinario, monosclnl'O tUllo exprimir; porquull.to, !lenllo tmlo expres-


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so, ~crin aiml(\, necesstl.l'io advertir que Ilem urn in·tCl'lllcllinl'io (,ira ~llvpl'e,,;;o,

Com elTeito. qucm Ic~sc podcl'ia, au rleSCliidar-sode Obl'C'I'V:l.l', all nrlO se lembl'flr pOl' lim do. serieinteira (\0> tnt;~ nome>:.

Finalmcnh', fnz.... udv prollunciar nomrs de nnmeros mnito C\.I"n"o>:, ldo ~l\ (!In'CI':1 t!csruidal' dedllllll:l.l':l. atlent;:io 1)1I!'il 0 :U'l'flUjO s)'lllctrko queaprr;:ellt.:\ l'~tc ~y~t{'lll:\ ,\.. lllUnel':l.<::io; ar:>nnjo('!SIC n1. Ilue Ill'olllllll'iamio _~elllpr(' lIlll cr!'to llUIIlCI"O !II' ('Cnleull,., lie ,Ielena" c de ullidades. osllOlllt'8 "Iil, "lilll<j,·~, 'Ji(,Mjr;.! ... prolluncinrlos depoisd'cste 110lllel'(l. i!Hlicam imllleJlI\tamcnto so os (ille00; pr,'f'I'dcm Ilc~il!nam ccnten:lS, uczC'nas e unidalIe", dc mil. .Ic milh;-lO. ou de hilhfio, etc,


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_ ';0 --

TI';HCt:IIU. 1.I(',io

(A) FIII'· ....o-ha notlll' a porN" IlOlldcup ill' lit Ill! III Pra<..;5.o fuUnda com a lI11mPl'u<;iio cscl·ipla. mostl'andoque trc$ algarismos cOI'I'cspondrm selilpro tL carladenominaitiio 1II1id(ldl', mil, miffuio. 0 que (leu,ll'mina sempl'e a. l1enQminacflO de centcnllS IlU

primeil'Q rIa eSl'J.uerda destes trcs aJgnrisoo", ade dezenas ao segundo, a de unhlades an tel'cciro. Con\'iI'i! excl'tital' os alulllllos nas dll:'l!>especiel! tie numern~ao. multiplicando tambem 0..<;observll¢cs como a que ac:l.llillllOS de apresent,'ll'.Em Sllmm:'l, se IlLes lornal,;j as dUM espc6e~ donumel'a~i)cs 1..:10 HUllllial'€S qUfUito po~sjvel, flomontl'etant.o perde]' muito tempo, pOl'ql1unto liS !iC.(iosS<!guintes iorneccl'fio llcrasi:10 do acabat· n ill~trllcc<fio dos que so tivlU'nm nll'nzlldQ, scm rQl'rtll'perigo de flltigar estl$ 011 de.<:~~lar os Qutros.

E' a(lui occasiiio de explienr nos alumnos [l~

)k'\lavms pri>llci,'O, stgIIlH[O. d,.'cimo, 1I1ldecimo, dlWdceimo, ~ig<'nmo, d,;.; nssim como as expl'eS8~

primo, secundo, lel'til) e primei"llnacl,te, etc.; com l)

moao de escl'ever cstns eXjll'cssves pot' moio de:llgarj~mos, ,Jesignando sua tcrminl\c<;lo e seu SOll'tido pOl' lIlMl. lett'a eollocnda l\ llireita e UIH pourollcima do algul'ismo.

Se Ihes poderl' frw,ll' eSCl'evel' 0 eonstrui I' quadrospara ~i mesmo, COIl\'c-m, cntretanto, nita I' qU:l.ntopossi\'el os quadrofi impl'essos nos pl'imelros elementos; pais, (luan1o 1I111.is commodo!l S-\O ellestanto mal~ pl'egui~!>O tornam 0 e-;pirito, r, emuma instrllcg;\O em que nfio 1)()Ile c~te ir aU'm flo


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- il -

prilllciro pfbSO, \'OOl't'lll excl'rilal-o 0 mais Ilue forPO&;1 vol.

(II) E' inutil ohsen'flx f1qui que as deuominac;oostll)~ 1I1lmc1'0-", como a o~cripta POl'IIlCio (lo~ olgurismos, ~c~l1cm a \llC~llla rnal'eha til! lim llUml'rO para.0111.1'0 dez VCZCf> maiOl', uma 1"'''9,'cssa(J d,'cupia; enccc<:<:ario expli('ar 0 tm'tllo pl'l!yrr~~ii(J. quc (: deI"h·:ltlo de alldw': i\ pallnl'a d"rllp/('. que s-ignitlea11-': rC':nl,"'li"r,

Esta pl'O!l;'res"rlo J,-r"l,l" cncollU'a-:;c JlOS ")'stClllllS,I", lI11llleraei"io de tollos o~ Il.li/.e.~: Ilniforlllidadcque p:u'crc' tel' OI"i;!,lUl no~ dl'z dedos (IUC n6st<'JOO$. \'Om o~ (lu:~e" ~":"\cil illuicar torlo~ O~ uumcros alo.\ I[C/.; pel I'll iI' al(lm soria necessariaJ'ceOI'r01' a Olltl'O" mcios.

Conn'Ill, enll"lJ-hUlto, mostl':\!' (ille sc podcriaaJolltJll' ouh'a 1)['01-'1'('5..<::10: l.alvez lllesIDo lb"se can·vcnicnle 11110 a pl'ofo~sol" dc.ss?~xolllplos dif:!so,sc soach:ls.~o em e::.tallo do 0 fuzer, Cmostru~~~, parl'xcmplo. como. chlllllundo d"z"~lIl11, (JIIZ... 0 do:z-e·dims. d,,:,', i:!(.' IXM!erin ~J1tao <IilCl' dtJz.....··Il>ll om yez\Ie d<!:;.",,'r.~,- d,,:.··..-dotl$ em VCl dedez-<.:-qllotrQ,~'d'J:;'·.. ··III1Z" om V(>l ,1(> t:i,'le...'·t'· ...~. etc...


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- 7:t -

VUAR'I',\. ur-,n(A) Com·I'm lIqlli fazcl" ~clltil' ao~ nIIltIJllu.-, 1!QI'

moio \Ie excmplos, quo rlk!'; Jlodcm tc>1' dl'!';('.IU OilllerC~Bid:Hlc til' .ooTllmnr dl l1fi lIiJlllrl·O': que Ihe"})ode S('I" llATlldaycl ou util !-[lII(>r fazer ('~t:lorrl [leilo,

Ao profe~,or wrnlwtc ('~colht,1' t;\l'S ('xclujllo.<:,pol'quc cou,·l'rn e"Co hl'l-(,,, de Il]()llo que 0" nlUIJJllofigillinm realllleute (\ Illilidade (' 0 pl':.11.CI", {' nao Ofireccl13m eOlllo umn mC1'1l Il.\potheFe.

E' pois ell] Vi!;t11 \lns cir('umstnllcia~ padiclllal'Cf<ClU quo se p08sam :lelml' (11l nlumnufi, (1110 taCl' ('Xl'H)'plos dcyem for dctcrlllinlldo", 0" (Itle tI(' IOIlj".,"I'lt€ll1po s;10 in~cridQ>lnQ!:; Iinos ('1('mC'nl~rCl:.po-,memquasi semjlre, 0 inNlnYcnientc, on tit' c\C's{!ol;hll'cmos moninas, ou (Ie IIICs jJ:l1'prCrl!llll'idielllo~~,

{B) 0 pl'ofc""OI' tCI'{\ cuidndo: I", pm (:1:1.CI'1l0tUI'quanto (\ eOllllllodJ 0 met llano tle (;ollo('ur, !l1l." "ellos OUb'OE, em nma llJ(,~IllU l:OIUlUn:t yetlk.1I O~

algal'isllloS que eOI'r~pond,III :);; me~llla~ dCllomi·11l1.('OCS do "yste-lUa de nUrnel'fl~t\O: ~.: eUl fuzc!"uppliear a muitos oxclllplo~ a operfl~:lo que flf\uiso fc:l. sabre as ntlmel'OS 180 :!J; 3°: ClU CXCI'citnl'~olJl·c varias addicors d(' dOllS IHUllCI'OS. tcn'lo 0cui dado de ese-oillet' exemplol' em 'lue ~e I('lllJa, (ll'ade gllnrdar rcserYJl~.ol'ade linda g-u:ll'dnl'iem quc M:tenha 0 a e!'-CleYCI' ou 0 n fommnr, atim dc lltlhituuros alumnoli a se nfio em!IUI'U,';lI'Cm ('Olll estaS dillicul\lntles, \\lui pp'1Uellu,- !'cm tluvil1a, m:\s muitorene!'! para 0,0. pl'ilJeipialltes 1]11(', "em terelll :lindahabito algum de e:J!('ul", Corell} nUll} di'so dot..'ldo~

lie pouca ~u~lle,(bde l:afurnl.Mas c enlao e~~cllcinl \'oll(w"l·o>< I'lIl c"tatlo J~\

l' c~olYer lac.. llnvidn)< pol,!Oj me-lllo~, "tim ric c,.illll'


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- j:l -

IpH! 101l1clll" Ilabil', ,Ic 1'CI)ctil' a~ ]m]nn'f1<:. ('~rr

t""~". ,.,.Sf,...,/-."·; 'I'm I'c(lex;"io 0 pOI' urn nd.o lIla·!"Ilinnl ria lll('mOl'ia.

fa J ..\ rl'e~cll {alll·st' IItlas ob"er\'a\lt)e<:; c~scnciaes,I A ,10 l'aciocinio Iwlo qual. reeonhe<'f'ndo que

a SOlUma Jus unidt\dc_ ,Ie (Ioui' numoral'; C 6, a dnsdezelms "'1;, a (las rClltena<: C9, :\ do,> milhnrcs c 5.('onduimo:,> que :U;:Olllma. lias dOll" nUfficro" e 5066..\ l'OIll'!u,iio e llllui '[e'!uzida. dll.:'> qllfltl'O proposi.(·<IC.... l' nflO se pudo reconhcrel' a \'cl'r1arlc destasPl'opo~il$oes >:elll adluittil' 0. '[:1 ronclll~l"io, A conclns;io l'csllltlh poi" flilui rle mn.i~ de dllas proposi(;Uel;: em gel'll! umf, roncl115ilo ]ludo resulfar deItluitns proposi<:i)C':<, •

:t. O \ rln Opel'fl('fw J}C']a qnnL "aboudo que, so.-1' 1'('unCHl as Iluida,les. e ,;:ep3.1'flrln.mente Il<! deze·IIns ('ontilbs em dOll$. IlllmCI'OS. obfem-se a 50mmarlos dou.. n\llncro.~. 1'!J,',:::n-;:.C)', pl'Op<><:irJo ~ern!; que" Itll'~UlU tem Im!,u' para :\<l r"nlena<l, os milharas,a ... d('ZPll:l~ dp llIi!J';,r. ('lC' .. p:H'a tOLb" :\il denomi·IUIl';"'" Je numCl'O_. :tin(b que Hl u:io tenlla perce·hi<lo inllllcuht:\l1lellte a identid:\de rle looas asjlfllpO;:.ic;...."..; que a PI·OI)Q~ic,;:o ~...ral rllcel'm. Far-seha Pllt,"iO n"l II'. (111l' dal',unell(e ~" perceLc n:iOop(J1I(,I'l'~la pl'UI",si,::"i,) ";"1" w'r.l:v[,'il·n pl\ra (lu:'l'" deIHltllin:1C"('''; ~ 'Ill n '('l' P'll';! to'[n~ a~ uutrn.il: conn~m

rll'l.l'l" "rl' qu,' t:'ll ,'. () !HOrIO pOI' 'ille nO<l llpel'cebeIIlO~ ,ia i,t"nlirl,\d(' lla" rwop""ir,,8<l ~cI'nl'~. quando:'( rl!il~ ~omo" ('olldlll.i,!os ]lor {'''II,;i(Irr;\(':\o (Ie 011tl'a" 'tlW ') silo IrlC([O";.

1-'al·-"c·h:l Jl(JI:ll':1 ,lil1,}l"'lll':'l qlw ('>;:i_l" 0.1111'e e~t:\

(' a mal'r;ha flu!' !'Iq:U(' \l ('''pirilU, qll:lIHlu Jll'incipia1)01' concelocl' 3.<l i,llJ:lil g-(!I':W'i (Ille en11'f1nl nil pro,

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p?!Ii<;:iO, C illlmClli:llamollh' rill flt'i!lllll:l I~l't'l'ho 11iliontil.llulc ,

A ss.i III fl verd a,le uosla prul",~i"'lio ::-('I'fll-/I ""m lll'l

tI.· dflll$ 111'"lr,'f>.t i if/'mI Ii d". ~""""II" l"I,,,jl/$ {''''maooJ pllCl Q(fI{icgiio llo.t ,IIIm,'m III d-'''flllljll«~$

Slm,lhmltes 'Jill' romporm cfld" ""I Ilfll primt'irospOdc SCI' pcrrcbirlfl, quel' l'onsitlrrnndo immedintaIllente esh prol)()Sl¥io poem 1. qllPT roll<:itlCI'll.lltlO asproposi~" palticularcs I]tJo IlIC corl'(.'spondem, nocaBO dos numel'os que niiocnccl'ram Mn;IO dUllS Olltrcs dcnominal;Oe.", ~ observando que Il" propo"i<;.'escOl're!lpondentes nao podem ~r pal'a bt.'\~ vcrd~dri·

Pas, scm 0 !<('rem para urn nUIllCIXI C111i\lqllel' de tlenomilla~)c:<.

Eu mc })Cl'rnittirei aql1i lima ohscl'va<:!io unicamCllte pal'a 0 professor, :"c, lomnndo 0 f'aciocinion, I, s.c Ih!! accresceula a pl'oposiC;flO ~crnl que nell.'h.'1mos tic cnuncial" lWlpregando-a como umn PI'Oposl~i\o mcnol', tel'cnlos 11m vCl'dnt!"in' syJlngismo.IllllS (t-rlfl.ro fJl1cnc.~tc caso e"t,fl, mono I' IIrlO c scni'ioa eXlwessilo lh ligacilo nl!CCSM\l'ia quo exi~te entl°l)liS duns Pl'oposj~oe~, Elli\ mio ~Q1'virA pOI'tnnto senti 0para <lnl' ll1l11t [(,I'rna rp!!l1!tu' e lel'll/li('1l, flO l'ft{,iocillio.

no mcsmo modo, se se l'e(luzis~p ItS proposil;Dcs(luC e"t:lO ~cprl,radns no mesmo n, 1 a lonna!' umaunicn, at1m lIe ,lal' no raciocillio a 1;;I'mn syllogi<:tica; Oll. 'Ie, eonscrmndo-ns .!'cparlll!a", se all rombinasse com propos.iC'Ot'!s intcrmetlit\rino; Ilam formal'lima s"rio de srI1ogi:<mos. r~l1ltarifl. aiuda quo sepO!:lc llPmpr(> I'cduzil' toJos OS rnciodnios a !:ylloJ!ismos., mas nilo que IlGs Si;:r-UIlOS nahll'almentc c<:tft(ol'mll em t()do.~ 0<; I'aeiocinios,


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01';\ ell cL'Cio 'Iue a conYc~"to de lod,,~ l).'i racioohnios em ~yIlOJi.~rnM. :limb (\Ile mllito util :lOS quejll'ctcndem aPI'orllnda]' a nrte do rnciocinio, fatiga·!'itt illutilmcnte O~ f\1111ll110~ Nn nmn euucllqiio commum.

3.' QIl~lllrio ~c con~ider:l scp~u~ldMmentc liDSllUfficros:..>34:> c :JOtJ as lIuirlarlc;<. :1.6 UCZCU:lS. asecnwlI:ls. os millHwe_~ contido_~ em enda Illll delles,para formal' a somma p<I.l'\'inl das ll11idIHles, 11Mdez"lllts, dn,; ccntenfl.~. dos milhal'CS. cujll reullirioforma a somma tohl: chama· so a c....ta operaq:i.o. queronsbte em t1ecompol' O~ nnmcros dados e considerar t'ep..'ll'lHjnmente :;Ufts Pl\l't~ cOI'r~pondcntes,

lllal!l'~I'.

Quando wia ~e 1'('COI11ICCo ilUlllCd iatamCllte a idcntillarlc enll'C duns id~<ls. ~e:1" decom pOe em partes'l1wlo.qtU 0)1\tl'8 si. comp.'\I'lU!I-:;e c"tas partes para.I'el:onhl.'eel' a "un identicl:ule, atlm de, pol' estcmeio. l'econheeel' :\ identirlnde till" iMrLS pl'imiti\";),~. 0 moio pfllu lIunl l'(:' clles-a il "ct,lndc de tlllUlIHO]lnsi~iio (lue nITo 0\':1 immcdiafamentc pOI'CCllti\'cl, dmllla-l'O "wtlwdu analytic".

i':' hom fazer \'Offi/lrt'h"n'!I't' aD" alllmn()_~ em quot'on~i~1e ('~tl! mcthot o. l',1m 0 qlllli ter.-,o rio cucon·tl'::U·-.~ em to,I;\5 M lJal'tn,~ tla. inslrllc(}ilO, c (1116tel·ttO nCM-,,~ida\l(> dc Oll1pr('!5f11' mesmo em Sll<~

l'Oll'll:da llabitllili.(') 'five ('uil/:Ilh l!e lldalhnl' 11Ii'danlcntc todo

u CtIl',,) tla l1p.:I~\r:vl. ','m "lIJlpl"illlit' tlUI" <:0 irleaint"l'lllc,!inl'i"l. :1 n,'til "1'1' .b OI'!.lem ,las quepv,I"1ll &'1' "lIllprid:l" pe!UI"lIll'llIlillll'nto umil' limit1I d(). I': '11 .-el-!lIld: I. .- 11\'1)1' i III inr10 ,~II'"( '(w;i \'1\ 111011 tc:JIg-HUM" ,ll"!-". 1'<:'ll1Zi ;\ IIPCI"Il';\OllO 'Ill" db ,l(lre,,'I" '1'1 lI",'ul'.lill:ll'i". P"I" ",'I" /lll'io, lnllmu,to U~


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- ili-

alumllOil 0 habito de razer a 01l61':\~M rom a neec,~

saria. promptidao, j,\mrtis a fl\rao ('Oh'cttillto pclaroHnn, pOl'quanto teriio plin('ipilHlo pol' CXecll'tal-a raciocinando :iobre too:los 0:1 dctalli/.''' que ellaencerra.

o pl'Olessor pOller-:l tornal' e:<l3. llI:u-cha mai" lcnlado que a lh.cmos aqni, I.' attclluar:\" "IlJlIJI'l,,,~(~g

muito bruscns de alguns illtcrmcdiario",(It) Aqui se far,i notal', lluc, ~.> I.a J)or uxelllplll,

nece~ld:ltle de sommal 0" IJUDl('rol< 5, i, l'{, Ii, 4. C:lahar lllll llUf!lero i~ua' 1\ 5+i+t-:-i-li H. e ([UC ,.0diga

5+1=1212+8=2020.1-0=<.'(;2fH4=30

5+'1+8+0+1=;)0, a <:0IH.:IU$110 l'e~11Jj;t das quall'olllroposi~1CS que a pl'ccedem.

AcOml'fl,llhando c~tas opPI'::t<:l)('i't. IUlia'o l'spil'itoque elle :\lldicionfl su<:ce,;:;i\'alllcnl'i todos os 1I11111e1'05 quo dc\'em entral' nn :<OllLlIll\, C j)el"\.:c!l(' tamhcm$llccessi\'lImcnte [\ iu.entidadc l!u ('1111:1. ]ll\lpo,.;i<:iio. Cassim )lel'Ccb", que csta illelltldadc 11ilO IlI,lle (PI' lugar em lodfls scm (IUC 0 tonll;\ tanlhcm 11;\ ('.IIlt'! lJ~'\O.

Podo-so notal' aQui, como rI:\ (lh~"I'I':H:;lnpl'e,·e·dente (iJ), qno, fl prvpo~iI"itO ~el'al 11'1 <lllal :'0 seennu1l(lja:;sc a ultim:1 llc.~I:l~ !"omllla" lie nUlIll'!'O:',tomatlo~ dOll~ a ,IOIl~, St'l'ia i~lHll [UIIII lIa CUI que :;cCllUIlCia.:;sc a :'UllHlla do~ l'iuC'Q 1l11l1H'I~H: J1Ul~, a~

lll'Opo"i ~oe~ intel'lUClI iaria" l!UC "I' Il'rill Ill' Cill Jlrc)!:\I'


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i7

I:-:lr., dtll':\ [orma syllogi<:;tica, OIICI':\c:io pela. qualiii.! c!leg'a ;'1 conclusiw, nao dcvcm SCI' considcl'adasCOlll('llazendo p...'\l'tc c,osencial da opcl'nc:ao. e a oondU>110 !-lll'ia a mf',;llla,

\~illl, IIrlO Illo~trt\l' au~ ahUJlllOS t:OtlJO estes l"af'iucinios IH'W!effi redlllil'·~C tl ~y110gil'IllO~, nao (0

{It'rultal"-J It''' a m31....·ha .fa lIahll"ell!.

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-7R- !QUINT" I.I~"O

(A) E' noccsslll'io dfll' nlgun<: examplos d~lloperal;ao. qu(' OOrl<:iste em W-ar urn numcl'O de outro, fuzenrlo vcr. pOI' exemillo, (Iue 7 mnis 3 sondoigual a 10, 10 menos 3 de\'c ser l!!unl a Ij e que10 menos 4 sendo igUlll a fl, 6 mnis .4 dove SCI'ig'uul a 10. gm tacs 0pcl'ilCues cOllvjn\ excr\'itn.r osalumnas, COlUO lIil adrligilO de nurnrros simplices.

a) Connlm fa'ter nOL"l' nos alumnas que. se umatal dccomposit:;iio au analysf' dos numeros facilitou·Illes 3. adLli~10, hn algum fundllmento para erel'Ilue tal marcha SCI'l\ de algum modo uti! (IS DutrasUpel'l\iiUCS sobro 1I!lIllO.'OS, pOl' exemplo. i\ opeJ'llqao cujo objccto 6 suuh'(lhil' urn JlUlrlCIV do autl'o.TaL crell~a funda-so em pl'imeiro lugnr nn 111l:tlogia.em sercm seml'illRlltcs'~sdUM opem"oes pol' seremt\mbas oxecut..'\dns sabre numcl'OO, e pol' so tel' em\'bt.1. pRra urn" como pal'U Oulm, simplillcal', abrc\'iaT, f"cililal' a oxcculflio,ainda que {'lias nilo sejalllJ;cmelhantes. e antes. oj)posla.s em 8eU 11m imme<.liato; tendo a primeifa l)Or lim r~l\lIir llIn lllllIlCI'Qa outro; a SefJlwda til'fll' tun llUDlel'O de outro. SanpoisollOlQgo" scm SCl'em senulhanles A palavra te·fIl<;lha,.te nao indica. se hn cOtll'ol'mitladc nbsolul.:\Oll quasi ahsoillu, ou so ha somente em cortospontos: :.lo palan't GIla/fJI}') exclue a ronformidadcabsolufa ou qu.usi uhwluta

EHa ('onliatlpa, flltHlatla n:l. aualo)!ia. 0 o.J tambctllsobre a e'\pel'iclIcin ,pOlS ella (,Otlstalltcmclltc lJl0stru,que CO\l!<IIS. llll,~ <]uacs so IJll('olltl'a sctllelltall!:a 0111aigulls pontos. tr::tulblJllI a t.hll. ft'c(IUeutoluelttc,em alp'utl~ outro", c quo pOI' b~(l ~('I'elllO~ 1I1tlit:l~


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- i() -

\'i~Zc~ bem ~1l('ce,lillo~. applit'flllrlo;l nmn 0 (jtlO J<lfoi. com !'<lIcce"'" I. a ppl it-ado ..~ out 1':\,

se Ihf'S far~"t OU5e1 val' qUI' quanto maioI''; It fll\:llogifl. mfLi!1 CXtCIl~ (- fl relac;\O entre fl ronl()l'lniolade a vCl'ificfll' C flg (ille itt ;;lttJ conhe('ill:l~l C lUaliltlllll.OOm ll. exprriClII'ifl prO\'n, '"Iuc c~tfl no\':\ nn:\tO~in scria \'~IiI1cndfl pelo CXlllllC.

Proeedcndo como $C n analog-ia e,\btlsse. mlliorC"'pcrfllll'n de !;ucces,<'o se deve tel'. e. POl't:\lltO. urnmoth'oue obl'tll' ru:li~ podero~o.

DeHHe difltillguir nqui e$le mo/lr/) de ol,,'QI' doIUQliw dr (',t<'. que ..('r!, \'('I'111('aoo pda !'<uppostaannlogio.,

So )hes fa!'ll \'Ell', que ~e ('omo 110 pl'c~ellte exomplo,desejll.Jll elles nehar 11m melD dOl abl'cvial' Uffitl. opera~ao. e quC' ~eja I'rpciro pl'()('ural-o. umll el'co93.aillda (l'3.('a, 1\0 ~UC('C$"O de 11m melo que se apreflf'Ilt.'l. d(',\,e "lOr "nfficiclite pitrt\ d!'terminar a ten-lal-o. •

(b) OfllllumIlOS,j[;, recolllH~Cel'(lm quo 0 1'3ciocinioeonsi~te I'm "Ct' que a ido'lltid:tl!e. que nao Illes eritirumrdiataruf'Jl\c pCl'Ccpl[vc[ entre :}S dWls ideasque iorlll3ffi uma PrOl}()~It];tO, resultll lIn que ellest(lm percebi,lo em muila" outl'M. Se liles d6\'t>r!1lllo~tl':U'. pol' c~te excmplo, que 0 I'Ucioclnio con~ sl.e tambem I'm \'('1' qlJf' n ncg-agiio Ita identldadcllnc elll'~ )1;-10 perl'ebem clltr,' duns hkilS, rc<;:nlt::l.dn. llep;n~iio lle:<tn. itlontidaolu. que cUes pcrccbcmentre outras iden". idellticn~ com as pl'imeil'as,

Sc Illes 1':\1';', oh"en'ar que lima pl'oposi~ao lIegaii\'a tonsiHe t'm exprimir qlW ~e VCIX'ebe n nflOhlcntidade entre <lila" ide:\-;. Till 11111'1111'0 min':i!lllola faf fJl{fm. sig-nUh-a (Ille <;:0 l)cl'Ccbe que :l.identldadc dl' llllIllCI'(1 niio exlste entre cllos,


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-AA-

::;cj:\ tlill \'<'1"10 hltlllCn>. 1:.' pOl" exelUpl'l. (':\ i,lt.'n,iidall .. lh' ;!1'undt.'za ,h'!-lC IlUlUl'l'O ('(1111 t:'ll 0111]',,;tH-4 pOl' excmplo, tcmo~ ()~ dOllS tcrmll~ tla JlI'Upp·fliqiio; flO pCI'CebemOfl n j,lontidado exiflton\e. IOt'n}amas r\ jll'UIJOsic:l() po~i1i1'n; !Ole nilo a vcmol'!. tcnlosentretMto a tM:\ dn uum pl'Opo,o.il;ilo po"itiqf. Cl'Csta·nos procurnr YiH' se podl'lllus perrc!)('t aunito a identidade que ella Clllllll'ia.

5eja ainda um certo uunlcro. 12 pol' cl:cmplo.e a illcntidade de {!'rnndeza Ue5"te ullmero comonh'O, 7 +4. pOl' exemplo: lCOlO"- dOllS termO!l II ...Ulll:\ Jlropo~i~;IO: So percebemoo;; ([ue e;;tn idcnlidade niio !'''iste. formamofl nllla pl"Qposi~iio IICK:lti,,:),; mns ~c n110 cremas. \eIl1US CJltllO sdmcllte :lid(>n (Ie tal pr0po~il;ito c I'c~ta-IlQs ycrillcar gilperccbcmos Oll n£IO que cstn identiuado nao existe.

Obr.cI·\·o quo ~o p6de dizer. qll£, ulna proposicaonegativiL pOde tomfl.llt!'e po~iliwl. quando !'"e (liz,Cfomo pol' exemplo: lal IPI "INO I,a,) 19liol a fal QUi,.,.,.em Inj:(ar de: tal >lIIml','/) lui·' i igual II tal Olltl"';e (jut" aM se reconhp('''l lima Yordadeirn iliontidado J,)t\T'Cia! entl'e n idCn do primeil'o nUlUero e ads mia I~ualdadl'eom o~l'J!nll(lo. )Ia~. applko a[Juia que Illssemos antos tlcel'c:\ <In re<hlC<:;-H) do!( l'adOlli nios A forma F;yII oJ!istiea. dc!(ta po!';si bi Iidalia detOI'nnl' }lositivns todns n!( IJI'oposilloes lltlO l'CSUlt11[110 fI. }Jl'oposieao. II'I',~ 1/(jf) C qUI//ro. n:l0 eOllSir.tflem \'cr que nilo 11iL idcllticl:ulll de J!1'll.lllleza catre~ 0 4. Ser:'1 portanto inulil oc('uP:\1' 01'; fl,[umnMeom to'll IIi~cus..",io.

Da ob<rel'\'a('~io que acab..'lmos (Ie fazel' >:(1)I'C 0Nleioduio. eujll condus:.l0 ~ Ill'f!':\ti\':l. r('~llIL'l Clue,indepcllIlentcmcnlc Il"s![L eonelnsao, 0 raciodnioencel'rt\. ao mcnos lIm:\ pl'opO~i~iio positi,,:\ C llma


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- 81 -

11",Wlivn: 1>(11' '1I1HIIIO, Iliil'1 ~(' p,;,ll' !,I'J'f'I~lJCI' n. lliinillC'lltidnrlc 1'lltI'C:lH dlla~ i(h':lfl qne Olltl';lll1 lIa ('{11lrlusilO, ~rllii() porsI' haviJr \)(!I'cebido a n:lo i!lcoti(111110 cntre ouus OUlr:l8 0 a idcntilladc t.!estll<:; ('om::lit primeira".

~c llH's faril comprehentll'r talJlbem e;:.b "'I'llirl,I" l'adCW'inio: tJ 11Ilm,'ro ,1,·rtl i!l,/Cd "11 Ulojor dfl fj"rf"l ''''11'0: pl/l'qU", .", ru<~' lIlPIlOJ' ,',',<lll/(u'ifl Iflt"J!~II,.do.

Aql1l !lOlli so PCI'C'C!Jt.> 1\ itlentiolfHlc cllll!lf'iadn]lela primeim 1)]'Opol:icao, Jlt'tlI quo (',;ia il'I'ntr,ladeulio l'xh<te: m:\." I,(,l'onhecc-s\' que ella ,.;:.tl\ IIN'!'!'S:ll'i:Ullcnte li;!atla a out~<: identidlldt:S : e eutiiul'onclue-:-e qu{' ('JIll nao p6de dcixal' ,Ie exi4il'.

o que di"tingll" e;;lfo rnri()('inio tl que a principiofal-"" ahstrnclii"W da vCI',lade das JlI'Opm:iC;<.le~, tinillentidadeolltl'e:1-1; ilU'us 11110 ns IOwrll:\m, pam 10,,'HlIen([m' I:CIli'iO Ii "11:\ epcntiellrifl, ali· 0 momf'nto"Ill '1ue, jlCl'C<,!J<'lldo:t identi2:tde 011 a ll,"lo i,l('uti·,1:1,1(' lie lima nO\':t propo"i~iil) c lcmlJrando :t j;'L no1:1,[:\. li;!1I(';1o. con<'!uf'-;;:e 1\ i,lf'nHdarlr 4'1I :l. willillcntidalll' Ita pl"itul'ira IHUfKl~ic:.o),

Temo,~ lleima Illll exemplo do qUI' (\('ontl't'~ 1I()!l]'neiorinio,<; de"ta I'sl>eci:-. ql1ando $(' rceollliet'l' ;1lIiIQ idl'ntid:"Hll'

1':\1':1. rxempll) 110 raso am 1[L1C flO rundue n id~ll

tidnde, tOlllCIllO!1; :t Il))C!':\(::'l:) ~::rLlilitlJ; ~L1ppollha

1ll0" qllO It m('no~ ,-) sej.:l.llI i; entaIl;) I' 7 <:01':,,, 1~ ;Illn":-l e 'i 'lin It; :)s!lim pN\,('hf'lilO,,:t princLpio :tidontitl:l.ll(' ,II' Ii lJlt'lIosj" ,If' 'i, 1i:md;~ ;1 lie ;.mnis, c lll' 12; 1'111 ~eA"L1id;L IleI'<,,'h<'IlIos f"!1;b 111·tima illelltidadc 0 ('onclnimo~ a !lI'imril';!, quI' It

]ll'in<:ipio "0 cOn~ill('L'nlilO~rom 0 fllli I[c 1'1'('onherer(] Ut: ou tl'l\~ id en tid nde:; srl'iam dcl [n ('onS~.lll{'n(' ia ,


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- h'2 -

F'ar-~f'-II3. not:\r ~lJ~ :iIUmllll~ :i ~e;!lIinjt' JlI'OpOtii~:II): lilt lI\lm....,·o i uJ(lio,' OIl i!/uall1 lal 0'1/1'0:a(jui n. identidndc parri:\1 e ClIll'(' tal llumrl'O e :\qUlllid:\dc dc ;';("1' mllior 011 ig't'lill a tal oull·o.

(BI l'Olll'r-3c·lli:\ f:l~pl' a ~Ilbtl'rt('~iio a~>lim:

6U'345:3-")

16>'>'

Tll'al' 5 dp :3 e impo;;!'i\'el: tOIllO urn:\. dt'l';ena empl'elltaJn: 10 e 3 l:'iio 13: tiro 5 tie 1:1 rf'!'tam 8: :~

e J que iiI tornei cmpl'esbdo siio 4: tiral' 4 dl1 '! tiimposf;l\'el; tome pmprestnda llma dpzena: 10 p ~

8rlO I:?, tiro 4 de 12, \'c~tam R: ;) e I que j:'l tomeiemprp!'tado sao (): tirar 0 de :2 .... impof;!<h'el : tomolima dcz{'na empl'est:uln, It) (' ~ srlO 12: tiro II de12 l'elltllm f... : 4 e I ql~e ];'\ tomci empl>estndo silo;':tiro [) de (} re;:ta. I.

Estc methodo Ii mais simples, no eft"'O em (lUI' 0llUmf'1'O de que sc Rubtrahe eontern urn Z{,I'O r fllH~

!re e obl'ip-ado a tomnr cmprestadn uma centro:\..•"lqual tomrH,e uma dcz('na r{,."eI'\'ltnrlo 13_

Pc)de :oeainda. serllir dest"vutJ'o methodo: 1;223 {.o me~mo (]ue filOO rnni!'> 223: liOOO 6 0 mCS!110 'Iller)~99 1I111i!'> 1 . til'o Im;J dl' ;-J!)f)9, tonho pnl'(\ I'I'!'itoI·jllj : ntldicioon I c 2~:j Oil 221, que Iltlv;nmos SU]Ih'flhitlodo pl'imciro Ilum p ro. c t"lI11o :l. difl'el'rllcaigu31 n 10&3.

Sc fives..<:e!llo6 <II' !'>llbh'fllJil' 6:"J:l4 de 7012. Stlmloo alp;Rri!<mo I 0 jll'imeiro la eont31' da e~qll<!rdal

tlo maior Ilumcro (Itle ,. '1I1tlrior ao corr"~I)()o(lenti'

(10 meIlO.'. (Iirinmor,: 7"12 fO 0 me~lllO qnt' 71;00 m:li,;;:


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- H:J-

I~; 7iiOO CO 1Jli}g1l1O 'Ille ,.'jJ.1 /Ililb I ; tuulO 3. t1ilfel'en\ta entre Dun 0 fl.'"~. flcho 1000; ad'liciollo J:Jc tenho 10713, qne 6 a din'Pl'en~a pl"OCurada.

Esto ultimo methodo e aindll mais simples; noprofes.cor CUlllj)l'cjulg-ar 1"C dt'\'e I'lll',inlll' l'sles donst1ltimo~jllntamente com 0 ml'thodo ordinario ex·posto no texto (.a).

(C) ne,-crosc-!la. explie:lr a }htlaHll lleceu{l.·iQ""'Ii!"', dizcndo que uma roma t' Iitceuariamell{rtal. q l1allrfo ef' reconheec que ellll nao pOde SCI' deontl'o modo. I),Ululllo ~e CQllcelJe que se ella fos,-"elie outro lUOllo. resultaria l1l11 absordo, Ulila iden·tid adt.' ontrE' duns ideA6 que se rcconhe<'C llt1.U puder('xi 5t: 1'.

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Ifl) E' illlJ}O'sivel que Ill~um alumna so ml0 tcnha('llf!IIlHulo na:; l'Cgl'l"lS IjtlC Ihe fOI'3.111 dadll" paraapplicul' aus ext!mplos.

o llt'Ofcssor de\'o WI' nobHlo e moslmuO (llll quel'on<:isHa 0 eno, bem l:OIllO 0 que 0 jllutivOLl

Aqui dcvcl'A clio l"Ceoruar 0 facto. piU'tt fan!!' ~ell·

til' ao~ tl1umno$ ql1ll.llln. utilirll\de ha rm saUer I'econlll'COI' os pl'opt'io" en'os

[~nkct.'\nto, dos el'I'Og que commottom os prinei·pinntcs pode-so tirnl' illlpol'tantcs li9l)cS, (111.e1\([0Illes anl\IY~;H'OFl pl'orossos que a ellos os COtu.1uzom.

\0 Acoutcce dizcr, 1)01' (xemplo, ern llma operac:;f\O; 6e8s/1Q 16,011 aintlll, tiro7de /f;rcstUIIII:'J.

E' precbo Illostrar·lhes lJIlC quando clles assimcllunciaUl SOluma.:; olJ l1ilfcrcn~as, nao lem COll"dcncia das opcra~oo~ pOl' melo das quncs, fltfuit'iOlllUlllo 6 lI11idadell R tlllnitlarle:;,acha·~c n romma,Ill! bem, sllbtrahiElflo 7 unid,u!c.'" de Iti unillades,;whn·ro a dilfcl'cnc:\: l~l't\m, que S:lUelUlo !Kll' expoI'ienda, line quanrlo lil.crnm CSt35 ojlCrlU;;'lJcs C aeha·I'am 0 l"csultado ('(.,'t;ofllarallHo, niio:'o dl' as ha\'cffeito em outl'lI O\:c..'l.sW.o, como de ha\"cl' cltc~<lo 300tuCsmo I"l'sulllldo, c(,nsoj!uinrlu-o de novo todlls asVOle,; ql1e tf-Ill proeUl':ldo formal-o, l'cpcliudo asIJlI'smll~ opcra¢es, 'e ellt~1O jlll~al'am (IUO n. 1110mOt'in. Ihes tbl"llcein. cOII<:;tantf'lIlonte l'osultado \"CI'dadoil'o: Oh,CI'\'UI';llll dl'pois qllO, mesmo scmtel' cOIl<:;ciOllria di~tinclu. do llavCl' exc('llta,lo esl..:\opcnu;ao 0 achatlo l'stO l'csullado, ~lla mellloria.Ihes Ilpt'o"'.'nMnl, illllllL'Iliatamclltc apl;s douS' IlU·lIa'i'O"', '" '1110 I'OPl'\)~\)lltava I'calllLClllc a -Oillum


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011 \1 tliJl'C'rcuC;a; I' ;<I:ontcce II Ill', pOI' esta (lxllel'iellCb, aCl'itflm ~elll lllai~ exaU1C, 0 que ella:lpre~cDt=l.

~I'U f'l'ro provi'io. poi~. It 0':' ha WI' I'n~anadoc~taIllt'mol'ia de hnhito. ,i filial ~e ,'on'i:ll'lItn ante,; doh<\\"cI' sUJlh-ie~ltclllcnte \'cl'iI](wlo:<0 ell:l Ihe.~ 1'1I1.ia('1I11\lIlcilll' 1\:< \cl·drl(leil·a.~ ~omllH.\:< Oll dill"el'CIII'[\s •

.\IClJl di,~o (),:,ia mrmoria cll;.:allaailldll, ([uall/lono~ rC{'lllllamo,",. ('olll I'crta rhn"i,lfl, que tal ('l~\ (J

l"(',ultado 'Iuc,:,(' tem (t,-ha,lo.E' llCl.'C~1i-'lriQ pui,;:;. lulo lit\l' IIR memoria til' ha

hito, srni'io (lcpois de 1 '1' \'cl'itlcado mnita~ vcze1ia f'xftclidfio !los re~ultfldos; e nUlica llar·,:.c quallliohom'oJ' sentimculo de il\CC1'tcnl,

2' EII!;:o.nam·,:.e ('lies ainda, c>,qnccclH.lo-,;c <ttlaHelldel' n:1. ad(liC;,10 ,b I'c"('I'\"I\' e na subtrl\r,'.10aru; empl'e:>tilUo~. • ~ ,

;'lIas enl£lll a coufiulll;a itO l'csultado j. fundudn ellli"lI\lpOrClJl \.'lIM leI' exetlltndo ('el't~8 Opel':1ClJcse cmlJl'Hl't'lIl'~() (It· lel' Hrlo a ('Ollvicriio (1(> I")UC,'slas oprl'Ut"-'l''; d:udLll.i:'l.lll a tIlU l'csullado exaeto,

n CI'I'Ll 1l1·0\· ..·1ll en jilll 11e l'eJ1re"nta t'·"C·lhe nUL Iit11ll'lOol'ia ,"I:l 'I'ric d.' 01X!r:1~'.·~, Oll <11' url'ellit~r~1il l'lh'~ Il:l i,!fonti.! ul" lib I")ue I -';1'l'utallJ I'omiLi" .Ie fllll' s.· l<'lnh~alll, "'IL. tel' um sClltilllcnto ,'InfO'[I' tnt id"lllil!:U!" : Clll hi l'irrll111stalH'illllma llUCIIf'i'lo llI11is j;,I'((' r Illcno~ Jll'ccipitnr£lo OK impC\IiI':"lOd(> lill'ma]' liJll 1'("UltUdl , ant"_,, (lc H~riJkal' ~'c lernl(>mhr,llIl'"' .Ii~tlll,'bda ~"l'ie ",' O[l(ll',H';""; 'IUC (,Oll'· ..·m eXI l'lll~r " .!t':I'" 11:1\'''1' e'" 'L1l.t 10,

lb) ,\C[ui 'c f.\l,t oh<:"J'\-.u' au' ahlllln,," a lll'vJlo~it'f\fl j'lllltliciOll:l1. ,(' :1"; 17'(1":-; I, ,'i 1 ""11M


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17 SUQ 3r. ~ Illes fltrl\ Vel' (Ilia cstu pl'Oposil'iio cc1luivalento [l, esta Qutrll: It idelilirhde eXIWt$Sapdtf, segll1ld(~ proposif(io rUllI/a do idt'litidade I!xl>reuaflt/I! prjlll~ira .. mas que esln propOl.ir,uo l11\da enuncia Aeeroa da identidade expNl..~ pol' uml\OU pOl'QutNt.

~I'iu uti! que 0 proft'ssol' eS!'Olhe,,~e. IIlllll "cz auouhkd.. alguns cxcmplos de pI'OposiCOc~ composta~,pura redmdr :\ PI'oposi(:M~ simplices e excl'citat,assim os nlumnos em rcc(,lllll~cel' as idcntitlndcs queCllllS expt'imem. Os exempl~ dc\'cm !let' escolhidos1I11. p..'l.I'te pUrIlmenle llI'itinnetica do texio.

(A) 0 proft'!SSOr farll empcnho em 11:'11' pnra. cxelll~ploi'! do C3.!>O em (jlle a prom faz lie«'obril' e1'l"O,alguns dos ('rro.~ l'c.'les 'ille 0': alumllos {ivQI'emc(lmmettido. Em A"cl':\l COllvcrll O\'itlll' tanto (j1H\lltopOHl'ilve] fllle (~lltllidllrle do que se cn"infl fl,pl'l:,"enle-se, de principio, COUtO pll ramentc hypothrtico.

(c) 0 primciro CXfOllllllo ,It' uma \"rcllI;n fUrl,la'!aIIIl Jll'Ohnhilidsde e ao lnesmo trmpo fie nma lnHrcha'Iirlg'id:\ por esta pl'Obahili,h.. tlc. C POI' dcrnais ("Ompli....ado plU~1 tillC ~Cjll po!!~i\·el cmpl'l'g:ll·o (l,'lui,"om 0 lim de doL~l1\'olvera lI~ltl1l'C7..1. rlesta espeeie\Ie ('ren~n, e do.~ llJoth'os que JlOS ]lodclII determinftl"It lomal-a plll'a ha~e or nOSsaS J1cc(\cs"

I.imital'-nos-IH.:'IUOS poi~ n. Oh"Cl'\"ltl" flue, ~c l'lllCOllsa~ Oil acontecimcntos, que l)al'ecelll igualmcntcJl0s.... i\·eis. ha tim p-I'aude IlUIllCI'l) qu" dlt Ulll ('crtoI'C~llltlldu 1\ 11m IIU111rro mui PeflUCIiU II II£' 1I;i, um re~llliado CI)Ilt!'al'io. di~"·;:e (Iue (\ mai~ jll'Ovan'! que~~li8(HC lllll do~ aconiecinwnlos Ila pl"impirn cspc~i'. porI[ 11() ~(' 1elU 1,1 J~rl'\"a(lo q 11(' cm ;!f'!'a I" \", il"'8i Ill,SVlllU~ J,ui~ illdll/.idv~ it 1'1""'1' qllc ~f~ f~;~Ii~nl';"1 u,l\""llt"("[llll'IJtO ))jab 11["(>\1\'1'1. e lIU' cUrltllly.iIllO~


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-8i-

como 'c to11t, ~,' II '\'l'''''l'' 1'\l:di~:I1',I,,,r II Ill' (' lalllhelllIllab prov.lvd rlllC t~t: CO!lrhll'l:L ''''ja 11 l'Jue prUlltlz,\a Y;dllap:cm (11lll ~t" ,llmcj,l,

Depoil'i:'t" i:H':'1 "cl' ao~ ;tlumnoQ (jll,', 'ILlAnrlo jOeeXf"cuh n 0ppl'lH'ao atlClltauwntc \. l'3.1'O MlllmcHcl'f"ng:l.nO; /IIIC mais raramcntc aintla ~ commetlCl'l1cngallO ('m duas opera~~ \'onse<:utim'l. e que.niuda wah rnro ~crl1 cn~nal'-:;e de motlo que 0"cl'ros se compen~m, - Por meio de e:c;emplos $etorMmi !luis ~('mi\'ei~, nao ,,0 c'las prim('ir:ts id(·3.~

sobrc probabilinarle. couw "II:\. aPI)licl\('ao:\O \'l\"U

actual.SH:'10 tOIll:\.dos IXIr3. e},cmplos acontecimenw><

ph~'8kos que silO constante~, ninda que slIjeitos aexel" pei)(>", e nos qUll.e~ ,', l1cce-~3. rio COil' Iuzi rose comoSf' InCll; c):('cpruc~ nllO dCH'8~e/ll I~ t' lUglll', TI'I'-~e

h:\ 0 I'llirl:vlo ric o!< escolhel' tn.er; qUf' Cstn falta deI)I'C\' irlcncia sej II. claramcll te1 usti ft('n,"cJ.

Ha iodo a flllubmenio p:lI'n ~I't\r /}ue 0 (\l1C Ita linpOIICr) p1'ofundo e POIICO rig01'O~O no 1l1lQ (ii$Scmo,~,niio clil\mfll'll n ntton"lio do~ nll1ll1nol<, que oUes lIilo1)1'0(' 1I rn 1':"10 pI' net l'tll' a l('111 (10 q lIe ~(' Ihc~ a presc nla ;<'n1I'Cla,lIto, ....c () fiz('~~elll, .... 1" Ihes itfl\"Bl'ia di1,Cl' l'Juob(>~ ()u!l('lIridade~ :"cl';10 dis!':'iparl:\s adiantc: fazen(10-1l1(>~ ~cntil', rom 0 propl'io I'xcmpl0 rlUfl !i('ij(':,

Jln!l~:vla~, llue nadn 8e p6rll" DIlI'cndcl' ~cll;10 SUCCC!':"~i\'f1Il)('ntl' C ....(':!undo !lOIn {,('l'la Ol',lcllI : i"to l'cri:\mais limn. li~i'io.

Ill) 0 pt-ol'c:,-"or tel'il {'uidrtdo de till\" muito~

l':>;(,lIlplo:" Il(':"ta J1!'Opo~ir;;-l() f!cl'rtl, nllm de a f,\:lel'l'OIllI)I'chcnd~r: i!lsi-lindo, em ta('~ ('x('mplo~, ~ohrca iii ('II tidade 'Ia oj>Cr.-II<.tO 11 ue l'OlI Qi:"tfl em ;,vlrl i"ionn.1'It i'Q1J1I1l1l jft fOl'malla :'1 diITel'en(' I tnmhcm j;\ funn:t.-


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,III, Oil em "IIhi 1',1 hi" Ulna ,la I .tlll'a, C :1 'Ill(' /'0 n,~iS((,I'1ll rU ~,l'l' CS t:l. neld i<;.-,o c C"t:~ .~ lJlll rac('ilo pun", 'I'VI\ ado os clelliento« lillc ~('l'\'b':l.lll p~l':l. fOI'Ul:\l":\ !'Olllll1:\e :I. dim.'I" 11('.3,.

l){>vcm !leI' cllidildnsnmcnle oll~enl\do" 0:: I]Cllt!'C'os a1UlIIIlO!' l] uc t iverem fi\l'il id rille em nPlwopl"ial'-,'oel'l:\ p\'Qpo~ic;10 !!,pr:d. em cOmpl'phllflllrl'l}llc. addiciOlta " II In 1111mao 'll~I/O$l!In ouiro, i addicioll aI" f) pl'i.mdr" C-'lJbl/'(}hir 0 SI'!/undo,- I}I/I'srd,tr"kir lim 1lI11t".,."lilt' litiS Hill OIl/I'D, i .~lIb/l'(phil' u pJ'imciro,' add/ciullaI' n.~I!g,rnd/J. Os que ~c!ltircm jmw'r, llmf~ ,Orll' d,' s.,\t j"I;I,:'ao em (',)nh('('('l' ('.'<til. t1 opo, ir.io ~('rnI, d:ll~-\O

lIlli siJ!'llal Ill' -ua capacidn,j,> n:l\lll'al pHI'l1 fl!" ('011"C])"(I(>,< r f11' v('1'11:Hlc1' f1h.~tr:\('t:\",

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1';,1 l~ dUlls lic,oc~ IwnhullU nohl 1).\1'1 kular ofi"en'l'Clll.

,'];L~ I' lIpe(',~"d<) llue ° pl't>lr-,or l'l,mtinue <ll'll.crOi)-l'l'\'Il' prl ,.; "lUlltno,.; <I>: rlh"'l',a" l'.llf'd('~ dt;.' l'a·l'iol'illio" 'Ille. ll,,.; api' :,ent:llll, ;1' I,·'rm:l.-~ que SlTH'll1 p.ll·a I,· Ollh "c'l' ('all" 1!('IllOli"ll'al'lUI. ~gujr

11 b 0 Uu oJ cUllIprell. llrkr 0 p"lliullClO.EliI' Jlle" 1.11', 'er " ,n1O 1'\ rleC'olllpo,i":IO ,10 mll]

tipJiellllllo!ln cl:llla H('i"LO I' a dupl:l Ik...·omvo-il;;w110 wllltipli.';ulllu I' do lilultiplicauol' II:.!. oihl\tl.I olldllZCllJ a :'11"1:111" ° llH'tllOdll dt' !':W{'llIftl' a 0llf'l'af',hl IJrI'pl "1,1, ill~i~tiIltIUlIUqu!' 1<li dill/a Inl J'C~IK'iT:l

IW"; "I"('I\;,u:ioe,.; \WeCl'Uellt'-",T(,'l',i tllllll'('lll (I cllidado Ill' lhl!,.. fa/.cl' 110tal' ,'01\LO

t'l](oj; ,,'> -CI" ('111 :l fill i dll nd~l!i"i.o, qIll' .i a cull !tCl'llll , e,1m: lll'i Ill' ipiu~ >:oLl'e q11 (' :l'" I'll I'll 0 "y ~tcnJ:), Iia lllllllC'1'11(',\0 cl;criptn, para adllll' !":H;ilwentu O~ IlrOtiHclostil' Illll Il\lmel'O pOl' outro undo, dc tlCl."lIa~, tic Cl'II!PlI:ls,11p millml"'1 cte ,ou pnl'(t dedm1l' 0 pl'oductotolrd d()>:Ic~ PI'Otlllcto~ pRl'l'incf\ I\('hl\rlo~ "Opnl':Hln·monIc,

F:\I'-l1le~-lrn \'('1' flue tendo IllUa lemhl'anon lJemdi~lirH"t'l 11t1 hl\\'l'I' I'eronhrl'i,!o :l. \'pl'l\;ulc (Icst('~

rl'iul'ipio.- (' n ccrtcza de~ta" 0PPI'II\'Ues, !lL"lem-as!'XC('ulal' "ell! lemor ill! ell.!nlllnl'-~r, C ;l(lhcl'il' 1i,r'OIll'lu""('" l1UC l't'Sultam e!:ll'alllcnH' dc"te~ prille[\,i(J~, fjunl1,lo n...~lllo 11,10 tenhnm a pOI1,.;pien<'ia imlllediata .11' ,ua exal,tiJiio, lin irlC'llti']:vlc da~ idea.:.<(jnc t'ol'1u:\m a 1'I'OPO,i<:>;IO p<'Ja l1ual ":io cxpr(',,~"

(,,.;11'" !Willl'!llilJ-'Ik 110"0 Ill.:" l"al1\ ~('lltil' ('OIllV, lcn'lo-lIu~~ l1Iun


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ex pcriCIIl' l,\ l:l)II~t.a IIl~' 1)\'0vallo que ~CIl.lpre ~e chc;:m:\ d~robril'(!Sla il!enlit ad(',~c n ellll.!"I! tiwr c1legado11m:\, vc~, somo,.; dC!lOis in\·ululltll.I'ill.monle levados a1'1'\'1' que ella exi~te, meslllo (IUando niio n, prl'ceha'1I10S, coml:lJIlO [IOrem. que ltO~ If'mhrrmo:< ('Ial'll.menie de ... lin \"el' p(>l't'cbitlo em Ollll'll. uce3.'lliio Subl'Ctu! n~.':>l1l1lptt) ,', ILcces':ll'io illsi,til', P0J'(jIIO,} pl'c('I"~l

mente ~obl~ e~Ie fll nd.HllCll to fllle o~ aJ II til no,; It; riiotlepoi",ll' af)()inr·~c, par, "10 110\'0' "'I(·lot·juiu" ~I'I'

\il','Ill'''(' ,Ia" !wopo;;i<:',c.;; cllja Vl'I'rl,II[O \.('111 l)lloJ.~

:- \H'rc"'$i f:llUen t" ['C COil hecido ,Quando 0 (}1'Ore~~ol' 0$ jull-"al" "ulllcientelllClL!e

lexorcltlldo", Illes fn,ra dii<Unguir as tl'es es~C"ies ,I.,:lssonso qUB so pode pl'cSt:lI' [\ lima pl'oposll<iiO.

1,° EllI primeiro lugal' 0 que llfu;CC d_' pcrcep{io tinlldentidade, Oil ua ne,!!a('i'lo dn identiuadC' ent\'(' (},;'JOIIIl tenuo,: (I UI'I' e Ill' 8cj1 illlm I'd into, (I um' 1'\,\5\11 tetlli'll I..\~l>) :hhl cl\io I"'tllj 11'\:1 I comprelwlldelllOs,]lor l\--sim dizcr, lie ullIn:- j \-l~ita. .

[)iz-se enLio 'ille tal'~ PI'Opo~i<:,)p5 s':-I.O ~ridclltes.

:!" D.,pois 0 a~~enl'so qne _~e l)r('.~tn u lima ]JI'OPO~

,i<:I'iO, tille result:\. de mtlita~ outras, pol' IlO~

lembl':\rmos di~tinrlalllefltr ht\\'el' l'CC<.Inheeido q liea i.lentidnt!c pOI' ella expNNn. re~lIltn. d~\ qlle foiirJlmediatamelltr pel'cebld~\ em outl'as proposi<1')es,

:i,· Finalmcnte. so far,\ notal' as proposie<M;l'; a(Ille~ assente nnieamonte pOl'qnea cx.pcl'iencin t(Jmrlcmonst!'ado, quo maio; fl'eqllclltomentc so cheg."l.aum l'eSlillauo verdlldeil'o O;egoindo a me~m(llllat'Cha;

l'omo qu:..ndo so ~Ilppoerert..'\. umn OI)flCra\~10 CIl,jOl'o,"'ulta,lo so \'critiefl" IYqjll 1I ultima Oliscl'vaCilolOohl'C:l sext.'1. lir{IO. \

l,t I :01'1(\ nCI'(:~:,al"iu t:l:ll.'l' I)' :11111111l0' cx,'I'Citll!"'IlH,e l1il PI'tl.I[I'a (Ia llIulliplwRrilO " tempo sllm~


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dent.e. JlnJ'a I)~ t1l1nilinl'i!l3.I' eOIll O~ trintrt c _-cispl'oductos 11enuJllt'I'o~~implke",que lll'c.<:isfl,ll} guurtlat' em mcmol'ia, plU'J1 Dxccnl.'\1' lll'omplamcnte cstnOpel'luJao.

;';iio conv('m fl\1.CI"'lhe~ <11'001'11.(' a t::t.boo dos pl'O·dudos, Deltl fOI'Ile<'cl'·lhe IAa taboa cOllfeccionnda,porqunnto (. muito mitis importante Ibrtilicar-lhcs.pelo cxcrcirio. tl intelligencifl e a memoria, do quelIldical'·lhes as melOs lie pOUpal"8C ao hoabalho de~r\·ir·l'Cdrllas.

Collvirl1 portaulo razor-Illes fOl'm::tr jlOl'lli meSillat,aes pl'oductos, quando auo os cOnllCCel'Cm all aslivel'om cS(juecido: Se 0 numel'O de alumna!! ml' umpulleo cl(lYado. aconteccr,i que aljl;ullS dolles naotcnham oCCllsiau Lie [Ol'ill:!!' pol' si meslllo !llguns pl"Odudos. pol~m, como elias se..lo obrigadollll. retckll'o11,"indo o_~ outros eUllncial'cm. ser":io naturalmcntl'Icvados a e....lIminnr pol' si rnqsmo 8C (!Stao eelio~:

o que nao rtt"ollteccrin :se eltl!S os eneontrassem estampados em UlIl!ivl'o all 8C 0 pl'ofessol' lli'os en~i

nasse.Alcm di~~o e 110 pl'ofessor quo compete actlnr meio

de eXel'titrH' as ahul1nos com ignnldade: esta igualdade nilO deve entl'etanto SCI' absolutll.: COIlVclllpl'Oporciollal.a as di!'iposiQOc< naturacs dos meninos,exel'cit.,·u· os qu(' M possuem em menor grito deprerel'encia. :'OUI'O liS cousnil mais racei;;;, C sabre liSmn!!> dilliccis, os quo S~ mostrarem mais nptos ;deixamlo para exercitnl' os mnh lracos, sobre Il.!:lcausas mais dill1ceis, quando cllcsj 11 csti\'erem con·venient omonte inst rnidos caul ocxemplo dos onll'os,

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:\'0:\,.\ U~;,\O

fA) Em lima di\'i!liio rJOtl~ objl'eto"l S{l plhlem tCl'em vi.!'b. ninda que 0 ~(>u I:m ,(!'el'ul !<I.'j:\ di\"idh'11m certo IIllmcro cle ('ou~:'\.~ em pat'les i/!u;\c..;l}orqutlnW pO!lt'-~c !lUppCll' cl'nltCl.'j,!o 0 IIUIl.ero deparll'S. e entao tem-sf' em \"i"la "uiK!I' 0 luC (' entiaI\m~... dellas; 011 nill'ln p6t!(!·Hl :<;ullllf'l!' cOllhed(lo 0oue (\ catll! pnl'l<'. ('0 ohjc~lo "1'1'1\ C\luhccOl'qmtntf'!l~r podem fOI'IWlI' .

\'imo~ IlO texto porque n O!Jrnu::lQ wht'('o!; numero" era n llle~ma \'ou"n em ambos 0';: C:\.."O"

o profl"!'''OI' d"\'e luI' Cuidl\ 0 UI' l'sculher exemrlos em flue se tenha em n"cl:l ort\. IIm,H'OIl!ln, oraDutra e (1I'moustl':l.1' como, tomando 0 in\"cl':'o dolllC"IllO problema tcr-:;e·hia :\ttingido Qntro 11m pormnia da lllcsmn opl'l'ftGiio.

(B) Seria ntH t()l'Dar srnsi\'cl e"lta rlilll<,ultlnoic('om algumas tcnttl:UHI.",

(C) E' in,li:>pen~wcl que 0 prof~,;ol' lrtl;tl ox.e('L1L'lr nUTI.rricalllcnte e"tas oper.l~,-....s sabre nl~tlll!\

llllffit>rO$ (' quI' tambem a.~ I:H~J. ex('('uL'lI' II? l1lC~ffiO

modo pam a tlh'isao ('omposlll: hto alim de queO~ alumnos, tenrlo seguido ('01 lotios os srUl; detaIhes n, mlu'ella ria O]HlrngiiO. ontcnd:un-n. mnl~ facilmente e tenlmm drlln \tma id~;:~ lllai>; rli~til\da

(IUando a H\'rrcm ell.' ex.C'cutal' 1<01; fOrma ;\1)I'e·\"iad~, 0 me"mo mrio ~e:'{~ cmpre::w.do para fazel'1111'S comprehendcr c ta ultima, ", ni~~o encontl':l,l'C'm alguffia diftlcllldtvie.

Alcm lIe tudo este methodo,j muito :;imples eb.'lStanlo com modo, ainda flue lon~o; c havcriioalllln1l0~ que, Olt 1lor POIlC:lo 11ppliraqilo ou POI'


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nalural fraqtleza de inlelligencia. niio poSS•.'Ull, noesp~1;O do lempo c com os cuidados que ~ possivelcon6.'\gl'nr 1\ tal esludo, bern comprehend!::r a J'ew,.ol'dinaria C guftJ'rlll.l·l\ cOIl\"cnielltemente tIc JlJ"moria pal"t doll!(\, sel'\"il'·se.

Ei>tn J'l'Ara, a~:!",~ complicadn, cum dos p1'lmeiro!'<ponto3 em que t\ c:\pcriE'lltia prom. (lue so e"b.t:leleee llmn 1>orte lIe ~epal'a~:10 entre os c~piritO":.

:'Iluito<; !lornI'll!';. de PI'Olii'''O£>~ t'0l (IIII' 0 calculo t'nc<:e",~:\l'lo, acllam-J'(! p'lrados nC,;te tel'mo, pol'nao 113'\"Cl'cm emprc;{ado 0 tempo e a nppli('a~flU

necess.,l'[a para. ll'an<;pol-o: em tal's <'ir{,um<;tnncin.!;; cst(' mclhodo Ihcf! SCI';, urn ntH !';upplemcnto,

(D) 0 professor, emillandoll. di"POI'1l. formula.,explicnri, porquc elhl \' commoua, como occnpamouos CSPllQO c nprcsent:J.,'t.S opel'n.~uc,; pal'ciae~ tiemOtlo mais cllll'O do que l1ualqulll' oulra l!isllo-Sit;i"lO. or

:'\iio cOll\"Cm, em gernl. l}l1.Cl' IeI' desCl'iill;:'otie umn. opera\:aollCnsi\·cl. sn.l\"o 0 caso de n:10 lta\'er outra 1'(!CUrsO, C (ICWl-5'e tel' lIe antcmao hahi·t nado o~ mCIl;ncs:\ ollvll' II dic;cl'iPlF10 Y('rbal dospl'op~iOll' ohjf'C'to'l, d,' ullia op!'l':\ll;10 que ~(' ('>;rcub.ric limn Ilj:!'UJ'a qUE' "e ttllGft, nnt('s ria lhcll' f..,\1.cr leI":l di~l'ip~:1()dr um o'~eC'to, ctljn imll.gem ~(' Ihe"mOl<tJ'n, Oil da 0pCl'.tt'i1O que <;;c JhE's 1'\'pl'cSl'ntaexccutada.

"oltal'pi fJ, bl a~~l1mptl) nn" Oh~rl'\':It:(jp" "ohrc0" elcmcnto<; 11(' ;:!eometl'in,

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nEUM,\ uf'i.u

IAI AilH11l. que aqui ~M' ClICOlltrc \Ill! CXCJilplu.\-c·~ clnramclltc que t! indi~pell~.(t \'~l exigi!' lllllitapl'atica dos alumnos sobre esta opera~5o.

(al ilia cxposirao de5:te rock> muilo simples deab:'f'\'inr as tentati\'as para OS calcuro~ 1111I pouco<'Ol\lphcados, e em muit:ls outr!l.'l opel·a~OCg. tenIJome content:u.lo com applicRI' 0 principia geml, :\urn au muitos exemplos, sem 0 deSllll\'oh·cr.

&lrli nc«'Ssario filzer com que os alumnos pm·tiquem llIll certo numero de cXl'mpros c fnzer-lilesem >it'guida ob~ern\r 0 principia Il:erll.l, ql'" e com·mum a todD exemplopartlcnlar, pnra que cUes 0,/I'!l('Ul!rtl,lIl, de algum modo. pOI' ill mesilla"', I'aumdoentao com Que 0 enunciem.

Oepoi$ !lC chamaI'll. Sua attenc:iio J).'\l'n a mnl'c]w.(lliC scguell! Hesta ~ntJrnlisa~i\o, rill,clldo nolar('OIllO, a mcclida que 'applieam urn Hl'('iocinio a urnIlumcro ouquc cxccutum uma opcl':lt;ao SObi'C cstellllllWI'O, tlim cUes urn senlilllcnto distincto dapossibilidadc de applicar estc raciocinio a um outJ'oItumero, de iazcI' lima opera~uo sClJltJlhantc.

So Ihes esclarecera, que, assim COlllO elles {killadqui rido ideas gcraes, ftxandollulL uttcn"iio sobreasImrles COlllllluns a muitas ideas pat'Ucularcs. dameSilla mancira i'ariio idea de umn Ol)era~io ~eraJ,

fixalldo u attcn"iio sabre 0 que ha de COllllllUIll aIlluitas opera~s ; e como, executalltlo IIllla opeI'a.~"io particular, t':m elles depois sculimcnto cla:'Ode {IUC l'CKuem a opera6i:o p-eral.

Sabendo. poif':, que l'rgllindo-:\ rle'·cm dte~:U' a11m 1'e9:111ttl.,lo !'xa.do, l'eguem clles a opel'll.<)iio


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p(utl('ul:tr rom conrian('a. ;,;em leI' necc""i,h,,le de~lltil' a ~Il:t. CX:letid;10.

A"~im, tie poi:; de bavel' comprl'hendido a ex3.cti'hl0 do methodo gpral c das opera¢e~ particl/l:lre~. al'a~m ('lies pol' apoial' "UIl. "onlianl;a llacX'ldid,lU (LIs opera~ qlle eXel'utlun, $Obl'c a ,10ml'thollo J.l:('l':l.1.

:-:c I;W:IO tamhem OIr-.eI·\·ac.......'S: ] ,'Ohl't' a nalur8/...\ ,1l'''L'\li oPCI'3.(fi}e;;< ; tal 'lUU,:ipllte t' illierif\r;t10. t' maim' II" '1IIe:~ C 1lll'1101' lill fine 8, "dr,t, pot·IUllo, ·L ;,. ti UII j : Ull a identid,td" !l,m'iaol cxi.... tcentl'e a llualidade de S",' ,!UtlCi"lllt em till hy!)()thci;Cc :l de ~". inf<1Tiol' (I dt~. de "el' maim' do (IIIC 3 emeuol' lin que t". de ser 11m do<: quatm llUlnero".I. 5, ti, i.

A id('nthl:l(le ['xisH! pois enll'(' a qualid;ldc absoInt.'\, t' dct..'l'minada de SCI' IH!J tal qlltlclell'" e a I/uaJhladc tlptel'lninada de cO'/(JI"$Jlj"llo (11011<1 lal CO/l'lIi!,'(; 0; mas o::;t<l qun!illude (. iulletel'llI i untit\. q nil. 11 t'l(\ J[1'lU\flcy.a do quocientc.

:-it! lIotal'll. pol'tanto. que toda a jll-opns,iciio r.\ ellllli lllr~m(l rlotcl'lIliUl\da; lila,. que om l'ch,~ii(l It utH]lOntolle ,·\~t;l particu!:ll' po Ie ~e]' inlll{rl'lllinatla.

(;01\V{'111 notal' lllCm di~~o quo a pl'Ojlo:<it;;\O !liioP()l]C Hlr "cnhuleil'a ~earlO no sentido om que ellal'~ detel'lllinarla; que ....'S50 (0 0 \luko ~entl(lo qucpermUte rel'ollhecel' ou ('onellli" limn identidal!f'purcial.

As PI'Op,"si~Otc>" pl'el'~ellte", lla,la cxprilllClilIjUilnW ~'I quanlidade ah;;olut3. de..tc qUCK"ientt:'. ma-"lIuic:un('ntolHluilllto aos lilllitP~ ,!t."'la quanlirl3t!l'.

'J' ::)(lit]"!., (1 l~ll'iodnio, 1>Ol' Illl'ill do I/llal Mlprmil'IUe I'Ll "(lnl~I\l-~ pi' (I llIellO" ll'r~ '·ctc". ew


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.... 11 l!rl.eu!\._ C a", unida(I(!:O; torn:l.ltl lUJlIi 0_ 1I11mCl'OS mais complic:h!os, C nor COll~(lflllcn('ill. lcm·scmailll' t1'abalho elll I'ceonhcccl' quallt.'\'" "('zes llIll

\l'llle ,'ontel' 0 Olltl'O; Jl()(te·~c, ))0[;;, I'cJllzil~o~

a IIUlllCI'O~ lllai~ ~i!lll)lice"" p<l1't.;1l1 tll(,~ IluC 0 nUllleroric ,"el,e:; Illl" I11n 101' ("ontido no OUU'O, seja i~tlul

ou maior do 'Jllt) ('1';1 Vlll'a 0':; llumelXl'" dnJOli,.'\;\0 e,llllle('('IHlo 0 limite almb,o ,in Ilual <'"tc

(illol."it'ntl> !liio p611e Cslal', pl'(j('lll'a·'<' ,I()u~ llU1tlPro~ Jnai~ 'imp1i('c~ ,'l\io IIIlOCiclltt> t('llha lIUl limiie iUl'l'l'il'r, igmtl Oll IllcnOl',

o mC';'l\lo h'lIl 1<l~I\l' para" O\lll~) limite: lll~" ".olli". pOl' al'a~o (lue rOJn')~ c:onduzidu< 1\ c~ic nl'"thOtlo; lLIa~, ml','e ell..: dc-ta l'ell(''i,llo, flue !lilO sa\'(" facilnumtc 1Il11 lilllilc pl'o:dmo pal'a 0 (l(lorion1"'Iuanuo 0" fllIl1I0ro~~O ~l'nllllc~ e filiI' <C V(' fa~'il~IIlcrlte qu<llllio ,,0110 l>eflI1clle-,


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C\:lU:CUf,\ uf.io

(A) 1::' Dece~~:ll'io ~uid:\.(.h) em exel'cital' os alumI\OS de 1ll0llo a tOl'u3.r·lbes familiares as primcil'asideas sobl'e IlUlUC!'(lS fl'acciollario.~. que adialltecllas Ihei'Srl'fto ut('is para a pcl'fl'ita comprehen&10tla de lima 1'C-la<:J.o :em gel'sl. E' tambcm necesMriO atlestl'al-o,,; no usa tlo pequt':lO Ilumero del'ignaes IIUC lle<t..'\S li~lIe.~ introtluzimos.

(4) Advertir·se ha ao_~ alUlllllOS que a pal;WI'Olfrac~o tlcrivn de uma pala \Tll Jut ina que ~iKnific..'l.wlia JlfJJ'flio IJW! ~e dpsulCa dt 11171 oI,jfXlO qutbruJtlUH):que 0 numcl'lHlor un Ih\c()ao :u;.sim Fe ('hama, pm'indicat' 0 nllmel'O de porl;ues ou parte,:; qliP secoll::;idel':lm; as fra('~ocs 'i~, !/~. s/~ :::0 denominnm 11muital:o, dOU8 oila1:os, Ires oilatos: 0 uCllomill(ulo\'deYe WlIllOIrlC a ([IIC cllcintlica 0 nUlIlCl'O de parte.:;(10 olljcdo, que sc sUPp\lc dividit/o em tantas(luanhlS 5:10 f\S ullidadcs que 0 t1enomin;\t!ol' cantern.

~c Illes fani W'!' como esbs ,IOllo'minaliul'S Coramintroduzidas n" lingl1:lgem scicntitl{'ft,sem arlJitrio,Illas POt' tLllulogia.

So Illes f<'mi comprchent/cw, que quando 8C convem clllJlI'cgar Ulna pnlavl'[l., de "cuthlo vago egeral, em uma sciencia. Oll arir, a pnlavra rcceooPOI' isso mesmo tlma limitac:/to dl' scntillo que ~/"toma en tao detel'minado c preciso.

As palflYl'as ditisuo, mU/liplicu(lio, etc.. que COIIsel'\'am divcrs..'l.S accep(,;oes vul;ml'es l'elatlYas a seu8entido fl"eral c primitivo, e que lornam nn seienciaum sentillo proprio [l. designal' uma opcr:w:U) arii hmelica, ~ao bOIl~ exclllplo:s di::~o,

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IlljODE(;U", I.I~;,\U

:\altlrahll(,llle ousenou-sc (Iue nas h'es ultima..:\1(,;'00." OEI desenyohimenlo.'l e.~crjpto.~ silo muitumenos e:densos. .-\0 prore..~r compete suppl'il-os.T1avcl'ia inconveniente em seguir pol' lUuito tempoa mesmn mal'Cha que 113!j pl'iUleiL'tl:I lil,-o&:; eU..~ tVTllfll'in fastidiosa pormuito faeil e favorecerial\ PI'6KUil;3 de espil'ito. POn'm a pa.."Sagl'ffi de.<;t.'\m:u'eha para 11m3 mais cCl'nu!a den' R{>1' racilitadllpol' cxpliC3.QOeS vt'rbaes: a mcmorin /le taes expli('ac;ues c urn auxilio pam a intelligencia do texto.11111\lIdo sa 0 relC : poi!! pcw orn l'11a l\iio l~ drvidllIllliramcnlc:I nttcnl}ftO.

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FrM


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EXTRACTO DO CATALOGO

GrammatiCo1. i'iacional. pol' AlIlete .";elect.'l. portugue7.3. p3.r:l uso dns escolas,

pol' AlhJI'ade..... _.............•...•.Luziadas, pol' Camoes .1'\0\'0 methodo lheorico c prntico de ana

lyse flyntatica. pol' Cost.'\ e Cunha.. ,.l;o'lorilelCio BI"azileiro da. Infancin. parll

exercicios de JOltUl'a. de \'ersos lIali CS-colas publicas, pOl' JoI'tliio .

Lilj()es praticas de orthographfl'Lt 1)01'MattD"At'alljo •..•..•.•••.............•.••..•

Gl'o.mmntica analytica e expllcati\'r:t dalingua POl'tugueza, obra adoptarla pelainspectoria de insll'ucljf"tO publica. comapprovaciio do governo imperial pal'lt('om~ndio d[l,S escolas puhlicas, pOl'Ortiz &; Purda!. .

Sy;;tema metrico decimal. pol' Jordiio .f..<lmpendio de :l.rithmethica pal'a instt'uc·

(fiio p1'illlaria, ob1'a adopt..ub, pcla inspc"cto1'la fie instrucc;iio publica com approy~o do go\"erno imperial, pelo Exm.Sr. sepado1' Ottoni. ".' "....•...•.... ",

\I'ithmetica. pam criangas, pol' Pinheiro.

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2$000ISooo

1S500

2$000


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(;E()(HUI'IIIA DAS J>nO\IXCM.S DO RII.\ZIL.pclu Ur. Alfrello ;\Ioreil':l {Pinto, autordo Di0.:iouario Gt'o~raphioo do Rrazil

:\~ elelJ}ellta('e~ de I-(c(l~raphia ~cl~\l

c especialmentc do Brazil. pol' Zaluar.l'ollectallea~ do!! Autore~ Clas:;ico.~. pol'

Coutinho .GramUlatica l-'I":lll':Cla, pOl' Sen\ne .Bc.'\utc:; de Chateaubrilllld et lIu Theatre

C1w,iquc Fl'all(iuil;, Iltll" Marcou •.....•Grammatica praticn Ul lingua inglCla,

ti(ll~~'t:\fS;~~g~~'~f jlrose' ';l;;t' P~~·t;·y~ .byi'l1. ~cYiIJe .

lil'ammalir.a bUr,a (cxcrdcios e vDcabulurios), pOl' Clilltuk, traoJ.. do Or. Ln-cindo....•....................... '" ..

Al'le versilicaturia (medic;iio dos YCr"DS!nliuos), pOI' ~il,e ra '.,

H!stor!{l. Anti$"(l !pon1o_~). par Leitiio,. , ,.Ihstorla mCdlft. ld('rn, pclo me:<ffiO. .. . ..Philorophia ElemenHl.I" (compendiG), POl'

1, I" "C IS~ler , .

E~I~~~~~.~~..:.r~~l~I,I~~t.i~~: .~~. ~~.d.l~~~~Elementos de Algebra, pelo I~xm. Sr. se·

nndOI' Ottoni , , , .,1~lemclltos do Goollletl'ia e trigollomet\,ia.,

pclo Cixm. S\'. $l'lI[ulol' Ottoni. ... , .. '"NO<:?l<!~ cia vida pI'aliea, pOl' Felix Fer-

I'cil'a ,., ", , .:'\O~DCS da vida dotl!C~tica, pOl' FeLx 1"01'-

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