grau e compreender a grau e a vivenciar · 2015-04-03 · ... aluno(a), neste caderno você irá...

Caro(a) aluno(a),

Neste Caderno você irá estudar as equações de 2o grau e compreender a linguagem algébrica na representação e resolução de problemas. As equações de 2o grau são utilizadas em diversas situações do cotidiano, por exemplo: a região de um jardim onde não se tem todas as medidas do canteiro ou até mesmo o projeto de uma casa a ser construída.

Além disso, o Caderno convida você, aluno(a), a conhecer um pouco mais da história da Matemática a partir do uso das equações de 2o grau e a vivenciar atividades que resgatam modelos de problemas que foram criados por grandes matemáticos do passado a fim de registrarem seus conhecimentos.

Você terá ainda a oportunidade de estudar mais a ideia de proporcionalidade expressando algumas situações-problema presentes na linguagem algébrica. Nesse volume, as noções de proporcionalidade podem ser vistas, assim como as equa-ções de 2o grau, em diferentes contextos.

Esperamos que você goste de aprender com as atividades do Caderno. Bons estudos!

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

Equipe Técnica de Matemática

Matemática - 8a série/9o ano - Volume 2

3

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 ALGUNS MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES DE SEGUNDO GRAU

!?

VOCÊ APRENDEU?

1. Os participantes de um festival de música decidiram que, ao final do evento, fariam uma festa de encerramento. Nessa festa, cada um dos participantes daria uma flor de presente a cada colega que participou do evento. Quantas flores serão distribuídas se o total de partici-pantes for igual a 5? E se for igual a 6? E igual a 7?

2. Complete a tabela a seguir:

Número de participantes

Número de flores que cada um vai receber Total de flores

3 2 3 . 2 = 6

4

5

6

11

x

y + 1

3. Se o total de flores distribuídas na festa for igual a 930, então o número de participantes será:

a) 29 b) 30 c) 31 d) outro


4

4. Para responder à questão anterior, um aluno de 8a série, aplicando seus conhecimentos algébri-cos, fez a seguinte reflexão:

Escreveu a expressão algébrica relativa ao problema x(x – 1) = 930

Aplicou a propriedade distributiva x2 – x = 930

Deixou todos os termos no primeiro membro da equação, igualando-a a zero x2 – x – 930 = 0

Para resolver essa equação, o aluno substituiu a incógnita x pelos valores das alternativas e, assim, descobriu a alternativa correta. Use o mesmo procedimento e, em seguida, compare o resultado com a sua resposta, obtida na Atividade 3.

5. Traduza as situações a seguir por meio de uma equação. Depois resolva essa equação e encontre a resposta do problema.

(Dica: desenhe as figuras e represente os lados desconhecidos por uma letra.)

a) A área de um quadrado de lado x é igual a 49 cm2. Qual é a medida do lado desse quadrado?


5

b) Um retângulo tem área igual a 242 cm2 e o seu lado maior é o dobro do lado menor. Qual é a medida do lado maior desse retângulo?

c) A área de um triângulo retângulo isósceles é 18 cm2. Determine as medidas de seus catetos e de sua hipotenusa.

d) A área do retângulo representado pela figura a seguir é igual a 65 cm2. Calcule seu perímetro.

x + 8

x

e) Um quarteirão na forma de um quadrado foi reduzido de modo a ser contornado por uma calçada com 2 metros de largura, conforme a figura a seguir. Com isso, sua área passou a ser de 144 m2. Qual era a medida da área original desse quarteirão?

2 m

144 m2


6

LIÇÃO DE CASA

6. Escreva as equações elaboradas na Atividade 5 da seção Você aprendeu? na tabela abaixo. Em seguida, faça as operações algébricas necessárias de tal modo que o segundo membro da equação seja igual a zero.

Item Equação utilizada Equação transformada

a) x2 = 49 x2 – 49 = 0

b)

c)

d)

e)

Quais são as principais semelhanças e diferenças que podem ser observadas entre as cinco equações obtidas?

VOCÊ APRENDEU?

7. Resolva as equações a seguir e depois verifique se os valores encontrados satisfazem as mesmas.

a) x + =4 9 b) 2 162x =


7

c) x3 – 9x = 0 d) x4 – 16 = 0

8. Obtenha as raízes das equações a seguir:

a) x2 = 9 b) 4x2 – 36 = 0

c) 3x2 = 27 d) x2 – 4 = 12


8

e) 4x2 – 25 = 0 f ) 5 . x

2=

2 25

g) x2 + 1 = 0 h) 4 = x2

i) –2x2 + 7 = 0 j) x2 = 0

k) 3x2 = 0 l) x2 + 1 = 1


9

9. Se o produto de dois fatores é zero, necessariamente um deles é igual a zero. Assim, obtenha as raízes reais das seguintes equações:

a) (x + 2).(x – 6) = 0 b) ( ).(– – )3 212

0x x+ =

c) –x2 + 4x = 0 d) x2 + x = 0

e) (x – 3).(2x – 10) = 0


10

LIÇÃO DE CASA

10. Obtenha as raízes reais das equações a seguir:

a) x2 – 9 = 27 b) (x + 7).(–x + 11) = 0

c) 2x2 + 1 = 0 d) 3x2 – 12x = 0

e) 5x 2 – 125 = 0


11

Considere o seguinte problema:

“A área de um quadrado acrescida de 8 vezes o seu lado é igual a 65. Qual é a medida do lado desse quadrado?”

Na álgebra moderna, esse problema pode ser traduzido pela seguinte expressão algé-brica: x2 + 8x = 65. Resolvendo a equação, podemos obter a solução do problema.

Antigamente, contudo, os matemáticos não dispunham das mesmas ferramentas da álgebra moderna. Usavam, então, outras estratégias para resolver problemas desse tipo. Uma delas foi desenvolvida pelo matemático persa Al-Khowarizmi, que viveu em Bagdá no século IX.

O método desenvolvido por ele seguia os seguintes passos:

I. As expressões x2 e 8x eram interpretadas como as áreas de um quadrado e de um retângulo. A solução do problema é, então, a medida do lado do quadrado:

x

x xmais igual a 65

8

8xx2

x2 + 8x = 65

II. O retângulo era dividido em dois retângulos de mesma área. A equação era inter-pretada como:

x

x x

4 4

4x 4xx2 mais igual a 65

x2 + 2 . 4x = 65

Leitura e Análise de Texto


12

III. Cada retângulo era arranjado de modo que ficassem justapostos a dois lados do quadrado. Com essa composição, a área da figura continua sendo 65.

x

x

4

4

4x

4xx2

IV. De modo a completar o quadrado acrescentava-se um quadrado no canto da figura anterior. A medida do lado desse quadrado é a mesma do lado conhecido do retân-gulo, ou seja, 4. Assim, a área do novo quadrado é 4 . 4 = 16. Com esse método, “completava-se um quadrado perfeito” de lado x + 4 e área igual a 65 + 16 = 81.

x

x

4

4

4

44x 16

4xx2

x2 + 2 . 4x + 16 = 65 + 16 ou (x + 4)2 = 81

V. Sendo a nova área 81, então a medida do lado do novo quadrado é 81 9= . Assim, o lado do quadrado x + 4 = 9, portanto x = 5 é a solução.

VOCÊ APRENDEU?

11. Resolva o problema abaixo usando o método desenvolvido por Al-Khowarizmi, apresentado na seção Leitura e Análise de Texto. Desenhe as figuras e escreva as equações equivalentes a cada etapa, no espaço a seguir.

“A área de um quadrado acrescida de 12 vezes o seu lado é igual a 13. Qual é a medida do lado desse quadrado?”


13


14

LIÇÃO DE CASA

12. Encontre as raízes das equações de 2o grau aplicando o método do “completamento do quadrado” desenvolvido por Al-Khowarizmi.

(Observação: desenhe a figura do quadrado que representa a solução de cada equação.)

a) x2 + 20x = 300

b) x2 + 5x = 6


15

c) x2 + 2x + 1 = 0

VOCÊ APRENDEU?

13. Quais dos seguintes trinômios referem-se a quadrados perfeitos? Escreva-os na forma fatorada.

a) x2 + 4x + 4 b) x2 – 6x + 9

c) 4x2 + 12x + 9 d) 25x2 + 100x + 100


16

e) x2 – x + 1

14. Encontre o termo que falta para que o trinômio seja um quadrado perfeito:

a) x2 + 18x +

b) 9x2 + x + 4

c) x2 – 20x +

d) 4x2 – x + 49

e) x2 – 30x + 25

15. Resolva as seguintes equações de 2o grau.

(Dica: use a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito.)

a) x2 – 6x + 9 = 0 c) x2 – 4x + 4 = 0

(x – 3)2 = 0. Logo, x = 3.

b) x2 + 12x + 36 = 0 d) x2 + x + 1 __ 4 = 0


17

16. Descubra dois números cuja soma e produto sejam, respectivamente, iguais a:

a) 7 e 12 d) 10 e –24

+ =

. =

+ =

. =

b) 11 e 24 e) –13 e 40

+ =

. =

+ =

. =

c) 11 e –12 f ) –6 e –40

+ =

. =

+ =

. =

17. Use a ideia da soma e do produto e fatore os trinômios de 2o grau a seguir, conforme o exemplo abaixo:

a) x2 + 17x + 30 I. Descobrir dois números cuja soma seja 17 e cujo produto seja 30: 2 e 15; II. Fatorar o trinômio x2 + 17x + 30: (x + 2).(x + 15); III. Verificar se o produto obtido corresponde ao trinômio original: x2 + 15x + 2x + 30 = x2 + 17x + 30.

b) x2 – 12x + 32

c) x2 – 7x – 60

d) x2 – 4x – 60


18

18. Agora, resolva as equações a seguir, usando a fatoração de 2o grau (método da soma e do produto):

a) x2 – 2x – 15 = 0

Fatorando o trinômio, obtemos (x – 5).(x + 3) = 0 Logo, x = 5 ou x = – 3.

b) x2 + 7x + 12 = 0 d) x2 + 5x – 36 = 0

c) x2 – 12x + 36 = 0 e) x2 – 13x + 36 = 0

LIÇÃO DE CASA

19. Complete a tabela a seguir, resolvendo as equações apresentadas por meio de fatoração.

Equação Forma fatorada Solução

a) x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4).(x + 2) = 0 x = 4 ou x = – 2

b) x2 – 8x + 16 = 0 (x – 4).(x – 4) = 0 ou (x – 4)2 = 0

c) x2 – 10x + 24 = 0

d) x2 + 2x = 0

e) 6x2 – 18x + 12 = 0

f ) 2x2 – 18x + 36 = 0


19

VOCÊ APRENDEU?

20. Ao preparar uma atividade para seus alunos, um professor queria escrever uma equação de 2o grau cujas raízes fossem os números 8 e 9. Para tal, procedeu da seguinte maneira:

(x – 8).(x – 9) = 0 é uma equação cuja solução é 8 e 9. Aplicando a propriedade distributiva, obtemos: x2 – 9x – 8x + 72 = 0, ou seja, x2 – 17x + 72 = 0

Obteve, dessa forma, uma equação de 2o grau, na forma ax2 + bx + c = 0, com as raízes desejadas.

Agora é sua vez! Escreva equações de 2o grau que tenham como raízes os números:

a) –5 e 3 d) – 1 __ 2 e 2 __ 3

b) 4 e 12 e) 0 e 12

c) –2 e –2,5 f ) 5 e –5


20

21. Resolva as equações a seguir usando a fórmula de Bhaskara x = – b ± ® _______

b2 – 4ac _____________ 2a .

Lembre-se de que, para aplicá-la, a equação deve estar na forma ax2 + bx + c = 0.

a) x2 + 2x – 3 = 0 d) 2x2 + x = 1

b) 3x2 + 5x + 2 = 0 e) 3x2 – 2x + 1 = 0

c) 7x – x2 – 6 = 0 f ) 4x2 + 12x + 9 = 0


21

22. Discuta com seus colegas a seguinte afirmação:

“Dependendo do valor da expressão b2 – 4ac, uma equação de 2o grau pode ad-mitir duas raízes reais distintas, duas raízes reais idênticas (uma raiz dupla), ou não admitir raízes reais.”

Registre as conclusões da discussão no espaço abaixo.

LIÇÃO DE CASA

23. Resolva as equações a seguir por meio do método que julgar mais apropriado. Lembre-se de que uma equação de 2o grau pode ter duas raízes reais distintas, uma raiz real dupla ou nenhuma raiz real.

a) x2 – 4x + 4 = 0

b) y2 + y + 1 = 0


22

c) x2 = 8x – 15

d) y + 2y2 = 4

e) – x2 + 2x + 3 = 0

f ) x2 – 2x – 3 = 0

g) – 10x2 + 20x + 30 = 0

24. Explique por que as três últimas equações da atividade anterior têm as mesmas raízes.


23

VOCÊ APRENDEU?

25. Desenvolvendo-se algebricamente as equações a seguir, é possível obter equações de 2o grau. Utilize essa estratégia para resolvê-las.

a) xx

+=

53

2 b) 10

12 9

2x x x+= +

+


24


25

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 EQUAÇÕES DE 2o GRAU NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Leitura e Análise de Texto

A Índia foi palco de um grande desenvolvimento matemático entre os sécu-los VII e XII. Embora não haja fato histórico que relacione a fórmula da resolução de uma equa ção de 2o grau à figura do matemático hindu Bhaskara, faz-se de certa forma justiça ao associar um importante fato matemático ao povo hindu em geral.

Relevantes contribuições no campo das equações também foram dadas pelos árabes e babilônios. As atividades apresentadas a seguir resgatam modelos de problemas que es-ses povos criaram para aplicar e registrar seus conhecimentos sobre equações quadráticas. Alguns desses modelos são adaptações do livro “Lilavati”, escrito por Bhaskara.

VOCÊ APRENDEU?

1. Responda às seguintes questões:

a) O quadrado da oitava parte de um bando de macacos saltitava em um bosque, divertindo-se com a brincadeira, enquanto 12 restantes tagarelavam no alto de uma colina. De quantos macacos é constituído o bando?

b) Em ambas as margens de um rio existem duas palmeiras, uma em frente à outra. A altura de uma é 30 côvados; a da outra, 20. A distância entre seus troncos é de 50 côvados. Na copa de cada palmeira está um pássaro. Subitamente os dois pássaros descobrem um peixe que aparece na superfície da água. Os pássaros lançam-se sobre ele e o alcançam no mesmo instante. A que distância do tronco da palmeira maior apareceu o peixe?


26

A situação está descrita na fi gura abaixo.

c) Adicionei sete vezes o lado de um quadrado a onze vezes a sua área e o resultado foi 6,25. Qual é a medida do lado do quadrado?

30

20

50 – xx

© C

onex

ão E

dito

rial


27

2. Perguntaram a um professor de Matemática sobre o número de pessoas que o acompanharam na visita a uma exposição. Como resposta, o professor criou um probleminha explicando que todas as pessoas que o acompanharam, ao se encontrarem, cumprimentaram-se apertando as mãos e que, assim, ele observou 66 cumprimentos. Encontre esse número de pessoas.

3. Mostre que não existem dois números reais tais que sua soma seja igual a 5 e seu produto igual a 10.

4. Considere a equação de 2o grau x2 + bx + 9 = 0, sendo b um número real.

a) Substitua b por 10 e calcule as raízes da equação.


28

b) Determine um valor de b para o qual a equação possua duas raízes reais e iguais (pode-se dizer também uma raiz real dupla).

c) Determine um valor de b para o qual a equação não possua raízes reais.

5. A diagonal de um polígono convexo é o segmento que une dois vértices não consecutivos. Exemplo: na figura a seguir, os vértices C, D, E, F e G não são consecutivos ao vértice A.

A

B

H

C

D

E

FG


29

Considerando essa definição, responda:

a) Quantas diagonais tem um retângulo? E um pentágono?

b) Complete a tabela apresentada a seguir:

Número de lados de um polígono

Número de diagonais de um polígono

3 0

4 2

5 5

6

7

...

n

c) Qual é o número de diagonais de um polígono com 15 vértices?

d) Sabendo-se que um polígono tem 44 diagonais, quantos lados tem esse polígono?


30

e) Utilizando seus conhecimentos sobre equações de 2o grau, mostre que não existe um polígono com exatamente 42 diagonais.

LIÇÃO DE CASA

6. O projeto de um jardim retangular prevê que se coloquem pedras ornamentais, formando com o jardim uma área maior, também retangular. Na figura a seguir, a região cinza representa o lugar em que as pedras deverão ser colocadas.

x 15 m

6 m

x

Sabendo-se que a área ocupada pelas pedras é de 46 m2, calcule a medida x, em metros.


31

7. Em uma peça retangular de tecido, parcialmente representada na fi gura a seguir, o número de fi os de linha vermelha excede o número de fi os de linha azul em 5, sendo que o total de pontos de cruzamento entre as linhas azuis e vermelhas é igual a 6 800. Calcule o número de fi os de linhas azul e vermelha usados na confecção desse tecido.

fios de linha vermelha

fios d

e lin

ha a

zul

8. Um vitral retangular colorido de dimensões 2 m por 4 m será emoldurado conforme indica a fi gura (os quatro cantos da moldura são quadrados idênticos). Sabendo que a área total da moldura é de 7 m2, calcule a medida x do lado dos quadrados nos cantos da moldura.

xx

x

xx

x

xx 4 m

2 m


32

9. Com os procedimentos já estudados para solucionar equações de 2o grau, você pode resolver também alguns tipos de equações de outros graus. Assim, resolva as seguintes expressões algébricas:

a) x3 – 6x = 0

b) x3 – 6x2 = 0

Desafio!


33


34

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS: ESTUDO FUNCIONAL, SIGNIFICADOS E CONTEXTO

VOCÊ APRENDEU?

1. Discuta com seus colegas a seguinte situação: Paulo foi à feira e encontrou as seguintes ofertas para as maçãs:

Você acha que a oferta das 10 maçãs é vantajosa para Paulo? Justifique sua resposta.

2. A tabela a seguir indica como varia a grandeza y em função da grandeza x. Analise-a e, levando em conta os valores apresentados, diga se as grandezas envolvidas são ou não diretamente ou inversamente proporcionais. Em cada caso, procure escrever a sentença algébrica que relaciona x e y.

a) x 1 2 3 4 5 6 7

y 10 20 30 40 50 60 70

© C

onex

ão E

dito

rial


35

b) x 1 2 3 4 5 6 10

y 48 24 16 12 9,6 8 4,8

c) x 1 2 3 4 5 6 7

y 3 5 7 9 11 13 15

d) x 1 2 3 4 5 6 7

y 2 8 18 32 50 72 98

LIÇÃO DE CASA

3. Refaça a tabela apresentada na Atividade 2, item c da seção Você aprendeu?, e verifique se há proporcionalidade entre x e y – 1. Justifique sua resposta.

x 1 2 3 4 5 6 7

y 3 5 7 9 11 13 15

y – 1


36

4. Faça a mesma análise com o item d, da Atividade 2 apresentado na seção Você aprendeu?, verificando se há proporcionalidade entre os valores de y e os de x2. Justifique sua resposta.

x 1 2 3 4 5 6 7

x2

y 2 8 18 32 50 72 98

5. Em cada um dos casos apresentados a seguir, verifique se há ou não proporcionalidade direta entre as medidas das grandezas correspondentes. Se houver, expresse tal fato algebrica-mente, indicando o valor da constante de proporcionalidade, quando possível.

a) A massa m de uma pessoa é diretamente proporcional a sua idade t?

b) Quando compramos x metros de determinado fio, o preço p a pagar é diretamente propor-cional a x?

c) O preço a ser pago por uma fotocópia é diretamente proporcional ao número de cópias?


37

d) O perímetro p de um triângulo equilátero é diretamente proporcional ao seu lado de medida a?

e) A diagonal d de um quadrado é diretamente proporcional ao lado a do quadrado?

a

a

d

f ) O comprimento C de uma circunferência é diretamente proporcional ao seu raio r?

g) A área de um círculo é diretamente proporcional à medida do raio? E ao quadrado do seu raio?

VOCÊ APRENDEU?

6. Ao dirigir um automóvel o motorista deve estar atento à distância percorrida pelo automóvel quando o freio é acionado. O código de segurança nas estradas sugere uma relação entre a distância de segurança, isto é, a distância percorrida pelo carro após acionado o sistema de freios, e a velocidade do automóvel no instante da frenagem. A tabela a seguir mostra alguns valores encontrados em uma pista de testes.


38

Velocidade v (km/h) 0 10 20 30 40 50 100 120

Distância de segurança d (metros) 0 1 4 9 16 25 100 144

Observando a tabela, podemos escrever que d = k . v2.

a) Qual é o valor da constante de proporcionalidade k ?

b) A uma distância de 83 m o automóvel encontra um obstáculo. Qual deve ser, aproximada-mente, sua velocidade máxima de modo que ele não atinja o obstáculo?

c) Qual é a distância de segurança quando a velocidade do automóvel for v = 80 km/h?

7. Para produzir x unidades de um produto A, o custo total C é composto por uma parcela fixa de R$ 1 000,00 e uma parcela variável, que é diretamente proporcional a x. O custo total da produção de x produtos é, então, C = 1 000 + kx, sendo C em reais. A constante k representa o aumento no custo total C quando a quantidade produzida aumenta uma unidade. Sabendo-se que, para produzir 100 unidades do produto A, o custo total é igual a R$ 1 500,00, responda às seguintes questões:

a) Qual é o valor de k na expressão C = 1 000 + kx?


39

b) Quanto aumentará o custo total se a quantidade produzida aumentar de 579 para 580? E de 2 938 para 2 939?

c) Para qual valor de x o custo variável será igual ao custo fixo?

d) O custo total C é diretamente proporcional a x?

e) A diferença entre o custo total C e o custo fixo é diretamente proporcional a x?


40

f ) Preencha a tabela de acordo com os dados apresentados no enunciado do problema.

No de produtos (x) Custo total

Diferença entre o custo total e o custo fixo (custo variável)

Razão entre a diferença e x

1 1000 + 5 . 1 = 1005 1005 – 1000 = 5 5 ___ 1 = 5

2

3

4

10

8. Uma determinada revista americana apresentou duas leis que representam a relação entre o número do sapato (n) e o comprimento do pé (c) de uma pessoa em polegadas. Para as mulheres, a lei é n = 3c – 22 e para os homens a lei é n = 3c – 25. Assim, responda:

a) Qual é o número do sapato de uma mulher cujo comprimento do pé é 13 polegadas? E o de um homem com 16 polegadas?

b) Se um homem e uma mulher possuem o pé de mesmo comprimento, qual deles calçará o sapato de número maior?


41

c) Existe alguma medida de comprimento de pé que torne o número do sapato masculino igual ao do feminino?

LIÇÃO DE CASA

9. Quando mergulhamos no mar, a pressão aumenta com a profundidade. Na superfície do mar, a pressão é resultante do peso do ar atmosférico e sua medida é igual a 1 atmosfera. Quando nos encontramos a x metros de profundidade, a pressão p é uma soma de duas parcelas: a pressão ao nível do mar mais a pressão resultante do peso da água, que é diretamente proporcional à profundidade x, ou seja, p = 1 + kx (p em atmosferas, x em metros, k a constante de propor-cionalidade). Sabendo que a cada 10 m que descemos verticalmente na água do mar a pressão aumenta em 1 atmosfera, responda às questões a seguir:

a) Qual é o valor de k na relação p = 1 + kx?

b) Qual será o aumento da pressão se descermos verticalmente mais um metro na água?

c) A qual profundidade x o valor da pressão triplica em relação ao valor na superfície?


42

d) A pressão p é diretamente proporcional à profundidade?

e) A diferença entre a pressão p e a pressão na superfície é diretamente proporcional à profundidade?

VOCÊ APRENDEU?

10. A área A de uma imagem projetada é dada em função da distância d a que o projetor está da tela.

d = 1

d = 2

d = 3

a) Observando a fi gura, complete a tabela que relaciona a área A da imagem com a distância d do projetor:

Distância (d) 1 2 3 4 5 6 7

Área (A) 1

b) Qual das expressões a seguir representa a relação entre A e d:

A = 2d ( ) A = d + 4 ( ) A = d2 ( ) A = d + 1 ( )

© C

onex

ão E

dito

rial


43

c) A área A da imagem é diretamente proporcional à distância d do projetor? Se sim, quanto vale a razão de proporcionalidade?

d) A área A da imagem é diretamente proporcional ao quadrado da distância d ao projetor? Se sim, quanto vale a razão de proporcionalidade?


44

VOCÊ APRENDEU?

1. Considere as grandezas “distância de casa” e o “tempo decorrido” nas situações a seguir e in-dique o gráfico que melhor corresponde a cada uma:

I. Paulo saiu de sua casa de automóvel para ir ao seu trabalho, mas o pneu furou. Depois de trocá-lo, ele continuou o trajeto. Gráfico

II. Ana saiu de casa para ir ao banco, mas precisou retornar para pegar sua bolsa. Depois disso, ela foi ao banco. Gráfico

III. Pedro saiu de casa devagar, mas aumentou cada vez mais sua velocidade para chegar mais rápido ao seu destino. Gráfico

distância de casa

tempo

a)

tempo

distância de casab)

distância de casa

tempo

distância de casa

tempo

c) d)

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DE ALGUMAS NÃO PROPORCIONAIS


45

2. Mediram-se as massas de pequenas amostras de ferro de diversos volumes. A unidade de me-dida da massa foi o grama (g) e a do volume foi expressa em centímetros cúbicos (cm3). Com os dados encontrados, construiu-se o gráfico a seguir:

0 1 2 3 4 5

7,5

15

22,5

37,5

30

massa (gramas)

volume (centímetros cúbicos)

a) Qual é a massa de uma amostra de ferro cujo volume é 4 cm3?

b) Qual é o volume de uma amostra de ferro de 15 g de massa?

c) Explique por que as grandezas volume e massa de amostras de ferro representadas no gráfico são grandezas diretamente proporcionais.


46

d) Qual é a constante de proporcionalidade?

e) Escreva a relação entre a massa m e o volume V por meio de uma sentença.

3. O gráfico a seguir indica a velocidade que um automóvel precisa desenvolver em função do tempo para percorrer uma distância de 120 km.

(km/h)

0

60

40

302420

120

v

1 2 3 4 5 6 t (h)

a) A partir do gráfico complete a tabela a seguir:

t (h) 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12

v (km/h) 120 60

b) Explique por que as grandezas velocidade e tempo representadas no gráfico são inversa-mente proporcionais.


47

c) Escreva a sentença que relaciona v e t.

LIÇÃO DE CASA

4. Analise o gráfico a seguir. Ele indica o preço em reais de cada camiseta que uma confecção pro-duz de acordo com o número de camisetas compradas pelas lojas.

100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

(preço em reais)

200 300 400 500 600 (quantidade de itens)

O gráfico mostra que, quanto maior for a quantidade de camisetas compradas, menor é o preço por unidade. Veja: se uma loja comprar 100 camisetas, o preço de cada uma é R$ 16,00; se comprar 200, o preço por camiseta passa a ser R$ 14,00 e assim por diante. Agora responda:

a) As grandezas envolvidas, preço unitário p e quantidade q, são diretamente ou inversamente proporcionais? Explique.


48

b) O que acontece com o preço da camiseta quando variamos a quantidade vendida em 100 unidades?

c) Qual seria a diminuição no preço para um aumento de uma unidade vendida?

d) A partir dessas informações, escreva uma sentença que relacione o preço p com a quantidade q.

5. Dona Alice faz doces por encomenda. Ela fez 36 bombons e vai usar apenas um tipo de caixa para embalá-los, colocando a mesma quantidade de bombons em cada uma delas.

a) As grandezas (número de bombons e número de caixas) são inversamente proporcionais? Explique.

b) Preencha a tabela a seguir:

No de bombons No de caixas

2

3

4

6

9

12


49

c) Construa um gráfico que represente a situação indicada na tabela anterior.


50

VOCÊ APRENDEU?

6. Observe os três retângulos abaixo e responda às questões a seguir:

8 cm

3 cm

I

1 cm

10 cm

II

5 cm

6 cm

III

a) Calcule o perímetro e a área de cada um deles e, em seguida, preencha a tabela:

Retângulos Perímetro (cm) Área (cm2)

I

II

III

b) Considere um retângulo de mesmo perímetro que os anteriores, cujos lados medem x e y centímetros. Expresse y em função de x.


51

c) Construa uma tabela para a função anterior com valores inteiros de x variando de 0 a 11. Com base nesses dados, construa o gráfico dessa função.

Tabela

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y 11 0


52

d) Como varia y à medida em que aumentamos o valor de x? O gráfico é característico de uma variação proporcional entre x e y? Justifique.

e) Indicando por A a área do retângulo do item anterior, escreva-a em função de x.

f ) Preencha a tabela a seguir com os valores da área A para x variando de 0 a 11.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A

g) A área A é proporcional à medida de x? Justifique.

h) O gráfico a seguir representa a função da área A de um retângulo em relação a seu lado de medida x. A partir dele, determine o valor de x que torna a área máxima.

y

x0

10

20

30

10


53

7. Um quadrado de lado x (x > 0) tem perímetro p e área A.

a) Expresse algebricamente a relação existente entre os valores de p e de x.

b) Expresse algebricamente a relação existente entre os valores de A e de x.

c) Mostre que existe um valor de x para o qual a área e o perímetro de um quadrado são expressos pelo mesmo número.


54

LIÇÃO DE CASA

8. Um grupo de alunos da 8a série formou uma banda e precisa determinar o preço x, em reais, do ingresso para um show de apresentação. Eles imaginaram que, se o valor dos ingressos for muito alto, não conseguirão vendê-los e, se for muito baixo, não conseguirão lucro para permitir uma melhor condição nos ensaios da banda. Tomando como base os valores cobrados por outras bandas, os alunos concluíram que o lucro L de cada espetáculo, em reais, poderia ser dado pela expressão L = – x2 + 12x – 20. Vale observar que L > 0 significa lucro e L < 0, prejuízo.

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

– 1–1

– 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

y

x y

2 03 74 125 156 167 158 129 710 0

Observe o gráfico e a tabela e responda:

a) Qual será o lucro caso eles decidam que o preço do ingresso é R$ 4,00?


55

b) Se o preço do ingresso for superior a R$ 6,00, podemos afirmar que o grupo terá prejuízo? Justifique.

c) Para que intervalo de valores de x o lucro aumenta? E para qual ele diminui?

d) Qual é o valor do ingresso para que o lucro do grupo seja máximo? Qual é o valor do lucro máximo?

e) O que acontece quando o valor dos ingressos é inferior a R$ 2,00 ou superior a R$ 10,00?

f ) O que ocorre com o lucro quando os ingressos são vendidos a R$ 3,00 ou a R$ 9,00?


56

grau e compreender a grau e a vivenciar · 2015-04-03 · ... aluno(a), neste caderno você irá...

Documents