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Graduação em Engenharia Elétrica

MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO – ENE081

PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR E-mail: [email protected]

Aula Número: 11

UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA

Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 11 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR

Programação Não Linear (PNL)

ÚLTIMAS AULAS

MÉTODO DE NEWTON –PNL Irrestrita Monovariável

CONVEXIDADES

TRABALHO


Programação Não Linear Irrestrita

Método da Bisseção

Métodos de Resolução – PNL Irrestrita com uma única variável


Método baseado na redução do intervalo de canalização da variável (x) para se obter a solução de f(x)=0 não linear, sendo f(x) contínua e com solução dentro de um intervalo inicial de canalização [a,b].

Programação Não Linear - Método da Bisseção

Se há uma solução entre [a,b]:

f(a) x f(b) <0



Passos de Resolução – Método da Bisseção

Passo 1: Determinação do primeiro intervalo [a,b] de busca;

Passo 2: Calcule a estimativa da solução numérica

xnovo =(a+ b)2



Passo 4: Novo Intervalo Verificar se solução está entre [a,Xnovo] ou [Xnovo,b]

Se f(a) x f(Xnovo)<0, a solução está entre [a,Xnovo]

Senão, a solução estará entre [Xnovo,b]

Passo 5:

Com base no novo intervalo de busca, calcule a segunda estimativa e volte ao segundo passo

Passo 3: Convergência:

f (x)− f (xnovo ) ≤ tol



Solução Exata f(x*)=0

f(x)

x

Análise Gráfica



a

b

Primeira Estimativa

f(x)

x

Primeiro Intervalo

1° Iteração Erro Aceitável? Não

xnovo =(a+ b)2

Atualização do Intervalo



a

b

Segunda Estimativa

f(x)

x

Segundo Intervalo

2° Iteração Erro Aceitável? Não

xnovo =(a+ b)2

Atualização do Intervalo



a

b

Terceira Estimativa

f(x)

x

Terceiro Intervalo

Erro Aceitável? Sim

Fim do Processo Iterativo

3° Iteração

xnovo =(a+ b)2


Programação Não Linear - Método da Bisseção EXEMPLO: PNL IRRESTRITA VIA MÉTODO DA BISSEÇÃO


Programação Não Linear - Método da Bisseção Max

Área da Seção

Ponto de Máximo f'(x)=30-4x=0



Tolerância à 0.001

Estimativa inicial: xnovo =(a+ b)2

=15

Determinação do novo Intervalo

f ' (0) = 30 f ' (30) = −90 f ' (15) = −30

Novo Intervalo [a,b] à [0,15]

Erro= 0 – (-30) = 30 < Tolerância?

Intervalo [a,b] à [0,30]

se f ' (a)× f ' (xnovo )< 0 solução entre [a, xnovo ]se f ' (a)× f ' (xnovo )> 0 solução entre [xnovo,b]

f'(x)=30-4x=0



Intervalo [a,b] à [0,15]

Estimativa inicial: xnovo =(a+ b)2

= 7,5

Erro= 0 - 0 = 0 < Tolerância?

Fim do Processo

f'(x)=30-4x=0

15

7,5



Exercício (Casa)

Encontre a raíz de f (x) = x3 − 9x +3= 0

utilizando os conceitos do método da bisseção.

Considere o seguinte intervalo inicial [0,0.5].

Tolerância de 0.001

Responda: Quantas iterações foram necessárias? Compare o Método de Newton.



Métodos de Resolução – PNL Irrestrita com Múltiplas Variáveis


Determine a solução ótima e identifique se a solução ótima é um ponto de máximo, mínimo ou inflexão

f (x1, x2 ) = 3x12 + 4x2

2 −18x1 −16x2 +10


PASSO 1) Derivar a Função Objetivo em relação as variáveis

∂∂x1

f (x1, x2 ) = 6x1 −18 ∂∂x2

f (x1, x2 ) = 8x2 −16



6x1 −18= 0→ x1 = 3 8x2 −16 = 0→ x2 = 2PASSO 2) Fazer as derivadas iguais a zero (solução ótima)

PASSO 3) Verificar se a solução ótima é um ponto de máximo, mínimo ou inflexão.

f (x1, x2 ) = 3x12 + 4x2

2 −18x1 −16x2 +10

ponto de mínimo


Programação Não Linear Irrestrita - MATLAB

10161843),( 2122

2121 +−−+= xxxxxxf

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

Como plotar o gráfico de f(x1,x2)???

Comandos meshgrid e mesh



TOOLBOX DE PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR SEM RESTRIÇÕES



10161843),( 2122

2121 +−−+= xxxxxxfMin

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800



10161843),( 2122


Resposta MATLAB

33)2,3( −=f



10161843),( 2122


Ponto de Mínimo Curvas de nível



Método da Newton

Métodos de Resolução – PNL Irrestrita com Múltiplas Variáveis


Caso “N” Dimensional

0),( 2111 == xxfy

0),( 2122 == xxfy

PNL Irrestrita com Múltiplas Variáveis


MÉTODO DE NEWTON


Linearização é feita através da expansão de pela série de Taylor até o 2° termo:

0)( =xf

0)).(()()( 00'0 =−+= xxxfxfxf

0).().(),(),( 022

2

1011

1

102

011211 =−

∂

∂+−

∂

∂+= xx

xfxx

xfxxfxxf

0).().(),(),( 022

2

2011

1

202

012212 =−

∂

∂+−

∂

∂+= xx

xfxx

xfxxfxxf

Programação Não Linear - Método de Newton

Linearização da 1ª Função

Linearização da 2ª Função


0.. 22

11

1

11 =Δ

∂

∂+Δ

∂

∂+=Δ x

xfx

xfy

0).().(),(),( 022

2

1011

1

102

011211 =−

∂

∂+−

∂

∂+=− xx

xfxx

xfxxfxxf

0).().(),(),( 022

2

2011

1

202

012212 =−

∂

∂+−

∂

∂+=− xx

xfxx

xfxxfxxf

0.. 22

21

1

22 =Δ

∂

∂+Δ

∂

∂+=Δ x

xfx

xfy

1yΔ 2xΔ1xΔ



Forma Matricial:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Δ

Δ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Δ

Δ

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1 .xx

xf

xf

xf

xf

yy

Matriz Jacobiana = Jac

0.. 22

11

1

11 =Δ

∂

∂+Δ

∂

∂+=Δ x

xfx

xfy 0.. 2

2

21

1

22 =Δ

∂

∂+Δ

∂

∂+=Δ x

xfx

xfy



Sistema de Equações a ser resolvido:

Atualização das Variáveis: 1

011 xxx Δ+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Δ

Δ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Δ

Δ

−

2

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1 .yy

xf

xf

xf

xf

xx

2022 xxx Δ+=

yJacx Δ=Δ − .1



⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

n

n

2

n

1

n

n

2

2

2

1

2

n

1

2

1

1

1

n

2

1

Δx

ΔxΔx

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

Δy

ΔyΔy

Sistema Genérico de Equações


MATRIZ JACOBIANA

VETO

R D

E ER

RO

S VETO

R D

E VAR

IÁVEIS


0=h

)()( 0=−=Δ hiiii xfxfy Erros iniciais

Enquanto tolerânciamax >Δ iy faça

Jac Matriz Jacobiana

ii yJacx Δ×=Δ −1][ Passo de convergência

hi

hi

hi xxx Δ+=+1 Atualização de x

Atualização dos Erros

fim

)()( 1+−=Δ hiiii xfxfy

Contador de Iterações



⎩⎨⎧

−=−

=+

1xx2x1xx2x

212

211Condição inicial:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

0x

0x(0)2

(0)1

Escreva na sintaxe do MATLAB o método de Newton para a resolução do sistema de equações abaixo:

6;-1e tol =

Exemplo

Solução Exata: 11 +=x 12 −=x



Programação Não Linear - Com Restrições

Problemas de programação não linear com restrições

Pelo menos a função objetivo e/ou uma das restrições deve ser uma função não linear


Programação Não Linear - Com Restrições de Igualdade

Técnicas de Resolução - PNL

Os multiplicadores de Lagrange podem ser utilizados para resolver problemas de PNL em que todas as restrições estão descritas na forma de igualdade (forma PADRÃO).

Somente restrições de igualdade


Resolução:

1º Passo) Igualar as restrições de igualdade a zero e multiplica-las pelo seu respectivo multiplicador de Lagrange.

2º Passo) Adicionar a função objetivo as restrições geradas no passo1, Dando origem e chamada Função Lagrangeana.



3º Passo) Para obter o sistema de equações para a obtenção dos valores primais (x) e duais (multiplicadores de Lagrange), calculam-se as derivadas parciais da função Lagrangeana e iguala-se a zero.


4º Passo) Resolver o sistema de equações do passo anterior. OBS: Sistema pode ser linear ou não linear!!!!


Exercício: Obtenha o ponto ótimo do problema abaixo e

z(x, y) = −x2 − y2 + xy+ 6x + 2ys.a : 2x + 2y =12

x, y ≥ 0

determine se a FOB é convexa (ou estritamente convexa), côncava(ou estritamente côncava), convexa e côncava simultaneamente ou nenhuma delas.



Resolução:

1º Passo) Igualar as restrições de igualdade a zero e multiplica-las pelo seu respectivo multiplicador de Lagrange.

2º Passo) Adicionar a função objetivo as restrições geradas no passo1, Dando origem e chamada Função Lagrangeana.

0)22(12 =+− yx )2212(1 yx−−λ

)2212(26),,( 122

1 yxyxxyyxyxL −−++++−−= λλ


z(x, y) = −x2 − y2 + xy+ 6x + 2ys.a : 2x + 2y =12

x, y ≥ 0


3º Passo) Para obter o sistema de equações para a obtenção dos valores primais (x) e duais (multiplicadores de Lagrange), calculam-se as derivadas parciais da função Lagrangeana e iguala-se a zero.

∂L(x, y,λ1)∂x

= −2x + y+ 6− 2λ1 = 0

∂L(x, y,λ1)∂y

= −2y+ x + 2− 2λ1 = 0

∂L(x, y,λ1)∂λ1

=12− 2x − 2y = 0


)2212(26),,( 122

1 yxyxxyyxyxL −−++++−−= λλ


4º Passo) Resolução do Sistema de Equações

∂L(x, y,λ1)∂x

= −2x + y+ 6− 2λ1 = 0

∂L(x, y,λ1)∂y

= −2y+ x + 2− 2λ1 = 0

∂L(x, y,λ1)∂λ1

=12− 2x − 2y = 0

−2 1 −21 −2 −2−2 −2 0

"

#

$$$

%

&

'''

xyλ1

"

#

$$$

%

&

'''=

−6−2−12

"

#

$$$

%

&

'''

xyλ1

!

"

###

$

%

&&&=

3,6662,3330,5

!

"

###

$

%

&&&



xyλ1

!

"

###

$

%

&&&=

3,6662,3330,5

!

"

###

$

%

&&&

z(x, y) = −x2 − y2 + xy+ 6x + 2ys.a : 2x + 2y =12

x, y ≥ 0

z =16,333

Problema:

solução:



Convexidade da FOB ? Determinante da Matriz Hessiana (H)

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂∂

∂∂∂

∂

∂

∂

=

22

2

12

221

2

21

2

21 ),(

xf

xxf

xxf

xf

xxfH



Max z(x, y) = −x2 − y2 + xy+ 6x + 2y

H z(x, y)[ ] =

∂2z∂x2

∂2z∂x ∂y

∂2z∂y∂x

∂2z∂y2

"

#

$$$$$

%

&

'''''

= −2 11 −2

"

#$

%

&'


Det −2 11 −2

"

#$

%

&'= 3


Max z(x, y) = −x2 − y2 + xy+ 6x + 2y


-10-8-6-4-20246810

-10-8-6-4-20246810

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50 X: 4.5Y: 3.5Z: 17.25

Ponto de Máximo X=4.5 e Y=3.5 Z=17.25


Exercício:


Min f (x, y) = 6x2 + 4y2 +1s.a24x + 24y = 360x, y ≥ 0


Solução:


x*, y*,λ*( ) = 6,9,3( )

Min f (x, y) = 6x2 + 4y2 +1s.a24x + 24y = 360x, y ≥ 0


COMANDO MESHGRID MATLAB

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