GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁ

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

UNICENTRO – UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE

NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO DE PITANGA

UNIDADE DIDÁTICA

JOGOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA

O JOGO COMO RECURSO DIDÁTICO NO ENSINO DA MATEMÁTICA NA 6ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL

Professora PDE: Ivani Moschen de Medeiros

Professora Orientadora: Profª. Ms. Vania Gryczak

Disciplina: Matemática

Nível de ensino: Ensino Fundamental

IES – UNICENTRO

PITANGA 2011

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111 UUUMMM PPPOOOUUUCCCOOO DDDAAA HHHIIISSSTTTÓÓÓRRRIIIAAA DDDOOOSSS NNNÚÚÚMMMEEERRROOOSSS IIINNNTTTEEEIIIRRROOOSSS

Segundo SILVA (2009), ao longo da história, pode-se observar o avanço da

Matemática. A necessidade de contar e relacionar quantidades fez com que o

homem desenvolvesse símbolos no intuito de expressar inúmeras situações.

Diversos sistemas de numeração foram criados em todo o mundo no decorrer dos

tempos, sendo as mais antigas originárias do Egito, Suméria e Babilônia.

Outros sistemas de numeração bastante conhecidos também podem ser

citados, como o Chinês, os Maias, o Grego, o Romano, o Indiano e o Arábico.

O homem criava situações interessantes na contagem de seus objetos,

animais e etc. Ao levar seu rebanho para a pastagem, relacionava uma pedra a cada

animal. No momento em que recolhia os animais, fazia a relação inversa. No caso

de sobrar alguma pedra, poderia verificar a falta de algum animal.

Mas o homem buscava algo mais concreto, que representasse de uma

forma mais simples tais situações. O surgimento dos números naturais (0, 1, 2, 3,

4...) revolucionou o método de contagem, pois relacionava símbolos (números) a

determinadas quantidades.

Com o início do Renascimento, surgiu a expansão comercial, que aumentou

a circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem situações

envolvendo lucros e prejuízos. A maneira que encontraram para resolver tais

situações problemas consistia no uso dos símbolos + e –.

Suponha que um comerciante tenha três sacas de arroz de 10 kg cada em

seu armazém. Se vendesse 3 Kg de arroz, escreveria o número 3 acompanhado do

sinal –. Se comprasse 8 kg de arroz, escreveria o numero 8 acompanhado do sinal

+.

Utilizando essa nova simbologia, os Matemáticos da época desenvolveram

técnicas operatórias capazes de expressar qualquer situação envolvendo números

positivos e negativos. Surgia um novo conjunto numérico representado pela letra Z

(significa Zahlen: número em alemão), sendo formado pelos números positivos

(Naturais) e seus respectivos opostos, podendo ser escrito da seguinte forma:

Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.

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222 HHHIIISSSTTTÓÓÓRRRIIIAAA DDDOOOSSS NNNÚÚÚMMMEEERRROOOSSS NNNEEEGGGAAATTTIIIVVVOOOSSS

A noção de números negativos demorou a ser aceita por muitos estudiosos

matemáticos. Os egípcios, babilônios e gregos não trabalharam com esse tipo de

número.

Até onde se sabe, os números negativos surgiram inicialmente na China, há

pouco mais de dois milênios. Entre outros fatores, a dificuldade de comunicação

entre povos distantes impediu que essa contribuição chegasse logo ao Ocidente.

Segundo Iezzi (2009, p.61), na obra mais influente da Matemática chinesa

da Antiguidade – Os nove capítulos da arte da Matemática (século III a.C.) – já se

encontram enunciadas as regras de sinais para adição e a subtração: para a

subtração, com os mesmos sinais, tire um do outro; tirar positivo do nada dá

negativo; tirar negativo do nada dá positivo. Para a adição, com sinais deferentes,

tire um do outro; com os mesmos sinais, acrescente um ao outro; positivo com nada

dá positivo; negativo com nada dá negativo.

No entanto, não há registros na matemática chinesa do uso da regra de

sinais da multiplicação e da divisão, anteriores ao século XIII.

Os chineses desenvolveram a prática de operar com números inteiros

usando barras de bambu estendidas sobre um tabuleiro. Para distinguir número

positivo de número negativo, adotaram a seguinte convenção: barras vermelhas

indicavam números positivos, e barras pretas, números negativos.

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Figura 1. Barras vermelhas e pretas usadas pelos chineses

Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAABIX0AF/numeros

Depois dos Chineses, os hindus foram os primeiros povos a trabalhar com

os números negativos. O matemático Bháskara interpreta os números negativos

como “perda” ou “dívida”.

Entre os matemáticos hindus, o primeiro a falar sobre os números negativos

foi Brahmagupta (século VII), que enunciou até a regra de sinais para a

multiplicação. Entretanto, os hindus não aceitavam a idéia de que números

negativos pudessem representar quantidades.

Os árabes, divulgadores e continuadores da cultura matemática hindu,

aceitaram a idéia de número negativo, mas com restrições.

Os símbolos + e – que conhecemos foram criados aproximadamente em

1489, pelo alemão Johann Widman, em um livro de aritmética comercial. O símbolo

+ representava excesso e o -, deficiência, em medidas nos armazéns.

Aos poucos, os números negativos foram aceitos como números até que,

em 1659 (século XVII), foram usadas letras para representar tanto números

negativos como números positivos.

4

333 OOO CCCOOONNNJJJ UUUNNNTTTOOO DDDOOOSSS NNNÚÚÚMMMEEERRROOOSSS IIINNNTTTEEEIIIRRROOOSSS

O conjunto dos números naturais é representado por:

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

Atribuindo-se, então, o sinal negativo aos números naturais diferentes de

zero. Obtém-se um conjunto formado por números inteiros negativos.

Assim são números inteiros negativos:

Z*- = {-1, -2, -3, -4,...}

Portanto, a união dos números naturais com os números negativos,

denomina-se de números inteiros, e é representado pela letra Z maiúscula em

homenagem ao matemático alemão Ernest Zermello (1871- 1955).

União do conjunto dos números naturais e dos números negativos.

IN U {-1, -2, -3.} = Z

Conjunto dos números inteiros:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Os números positivos são representados com o sinal de (+) positivo na

frente ou com sinal nenhum (+2 ou 2), já os números negativos são representados

com sinal de negativo (-) na sua frente (-2). O número zero não é positivo nem

negativo.

Os subconjuntos de Z são:

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} Conjunto dos inteiros não negativos.

Z- = {..., -4, -3, -2, -1,0} Conjunto dos inteiros não positivos.

Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} Conjunto dos inteiros positivos.

Z*- = {..., -4, -3, -2, -1} Conjunto dos inteiros negativos.

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3.1 Módulo (ou valor absoluto)

O módulo de qualquer número inteiro diferente de zero, é sempre positivo.

3.2 Reta numérica inteira

Pode-se representar os números inteiros por pontos de uma reta, em pontos

igualmente espaçados.

Da esquerda para a direita, os números vão aumentando (ordem crescente).

Partindo do zero para a direita, os números positivos, aumentados de 1 em 1. Do

zero para a esquerda, os números negativos, diminuídos de 1 em 1.

Obs.: O número que está à direita na reta númérica sempre será maior

do que o que está a esquerda.

Exemplos:

3.3 Aplicação Prática dos números inteiros

Os números inteiros são encontrados em várias situações em nosso

cotidiano.

-3<2 0<3 2<5 -3<1

|+5| = 5 |-3| = 3 |0| =0

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3.3.1 Na temperatura

Na chegada do inverno, é comum notícias como publicado no site da globo

no dia 05/07/2011, “Santa Catarina registra temperatura de quase 7ºC negativos...

Todos os estados do Sul voltaram a registrar temperatura abaixo de zero. De acordo

com o Clima tempo, no Rio Grande do Sul, conforme a medição do Instituto Nacional

de Meteorologia, a temperatura chegou aos 4ºC negativos em São José dos

Ausentes”.

Por outro lado, no verão, os meios de comunicação trazem: “Segundo o

Instituto Nacional de Meteorologia (INMET), São Paulo registrou a temperatura mais

alta do verão 32°C. Guarulhos, na Grande São Paulo, a temperatura atingiu os 34°C,

também a mais alta deste ano na região.”

Qual a relação dessas temperaturas com os números inteiros? Quando

falamos de temperaturas acima de zero, estamos nos referindo aos números

positivos, e quando falamos de temperaturas abaixo de zero, estamos nos referindo

aos números negativos.

Portanto, 7ºC negativos e 4ºC negativos representam temperaturas abaixo

de zero, igualmente representadas como -7ºC e -4ºC. Já 32ºC e 34ºC representam

temperaturas acima de zero, e podem ser representadas com a utilização dos sinais

+32ºC e +34ºC.

3.3.2 Saldo bancário

Seu João tem R$ 800,00 depositados num banco e fez sucessivas retiradas:

• dos R$800,00 retira R$300,00 e fica com R$500,00;

• dos R$500,00 retira R$300,00 e fica com R$200,00;

• dos R$200,00 retira R$350,00 e fica devendo R$ 150,00.

A última retirada de Seu João, fez com que ele ficasse devendo dinheiro ao

banco. Assim:

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Dever R$150,00 significa ter R$150,00 menos que zero. Essa dívida pode ser

representada por – R$150,00.

3.3.3 Na altitude

Para representar a altitude de certo lugar, deve-se observar o nível do mar.

Se a altitude for acima do nível médio do mar, será positiva. Se a altitude for abaixo

do nível médio do mar, será negativa.

Para um lugar de altitude negativa, usam-se os termos depressão, se está

emerso (B), e profundidade, se está submerso (C).

Figura 2: Nível do mar Fonte: http://www.prof2000.pt/users/elisabethm/geo8/relevo1.htm

O lugar A encontra-se acima do nível do mar. Portanto, sua altitude é

positiva.

Os lugares B e C se encontram abaixo do nível do mar. Portanto, sua

altitude é negativa.

A maior elevação na Terra é no Monte Everest (Nepal-Tibete, China), com

8848 metros acima do nível do mar, e o local mais baixo (maior depressão) no

planeta é na Costa do Mar Morto (Israel) com 418 metros abaixo do nível do mar. O

lugar mais profundo da Terra situa-se no Oceano Pacífico, na fossa das Marianas, e

tem mais de 11000 metros de profundidade.

Ou seja: +8848m maior elevação, -418m local mais baixo em terra

(depressão), e -11000m, lugar mais profundo da Terra em profundidade no oceano

pacífico.

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444 OOOPPPEEERRRAAAÇÇÇÕÕÕEEESSS FFFUUUNNNDDDAAAMMMEEENNNTTTAAAIIISSS

4.1 Adição

Somando inteiros com mesmo sinal:

Somando inteiros com sinais diferentes:

4.2 Oposto ou Simétrico

O oposto de um número é o número que se encontra em uma posição

simétrica em relação ao zero na reta numérica, por isso também é chamado de

simétrico.

4.3 Subtração

Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o

oposto do segundo.

(-3) + (-5) = -3 - 5 = -8

(+3) + (+5) = 3 + 5 = 8

(-3) + (+5) = -3 + 5 = +2

(+3) + (-5) = +3 – 5 = -2

O oposto de – 3 é + 3

O oposto de + 5 é – 5

O oposto de 0 é 0

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4.4 Multiplicação

A multiplicação de dois números inteiros de mesmo sinal resulta em um

número positivo.

(-). (-) = + (+) . (+) = +

Exemplos:

A multiplicação de um número inteiro positivo por um número inteiro

negativo, em qualquer ordem, resulta em um número negativo.

(+). (-) = - (-). (+) = -

Exemplos:

4.5 Divisão

Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um

número positivo.

(+): (+) = + (-): (-) = +

(-3) – (-5) = -3 + 5 = +2

(+3) – (+5) = +3 – 5 = -2

(-3) – (+5) = -3 – 5 = -8

(+3) – (-5) = +3 + 5 = + 8

(+3). (+5) = + 15

(-3). (-5) = +15

(-3). (+5) = -15

(+3). (-5) = - 15

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Exemplos:

Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um

número negativo.

(+): (-) = - (-): (+) = -

Exemplos:

Observação: A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z,

pois nem sempre resulta num quociente de número int eiro.

Exemplos:

555 CCCOOORRRRRRIIIDDDAAA DDDOOOSSS IIINNNTTTEEEIIIRRROOOSSS

Para poder jogar a “corrida dos inteiros”, é necessário conhecimento das

operações elementares dos números inteiros, possibilitando que os alunos

percebam e expressem propriedades matemáticas relativas às operações

fundamentais.

Organização da classe: de dois a quatro alunos.

Recursos necessários: para cada grupo, é necessário um tabuleiro,

marcadores de cores diferentes, que são tampinhas de creme dental (material

reciclado), um dado, 18 cartas com números positivos, sendo três cartas de cada um

(+8): (+2) = +4

(-8): (-2) = +4

(+8): (-2) = -4

(-8): (+2) = -4

(+7): (-2) = -3,5

(1): (+2) = 0,5

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dos seguintes valores: +1, +2, +3, +4, +5, +6, 18 cartas de números negativos,

sendo três cartas de cada um dos valores: -1, -2, -3, -4, -5, -6, e 4 cartas zero.

Figura 3. Marcadores feitos de tampinha de creme dental

Fonte: A autora/2011

Figura 4. Dados Fonte: A autora /2011

Figura 5. Fichas com números inteiros

Fonte: A autora/2011

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Figura 6. Tabuleiro da Corrida dos Inteiros

Fonte: A autora /2011

Após algumas jogadas, propor algumas questões para os alunos, como:

- Se o seu marcador estiver na casa 3 –?, de que monte deve retirar uma

carta para poder avançar?

- De que monte deve-se retirar uma carta se o meu marcador está na casa

-? + 1.

- Se o marcador estiver na casa -3 . ?, de que monte devo retirar uma carta,

para poder avançar?

- O que acontece quando o marcador está na casa -3 . ? ÷ ?, ou na casa

-? ÷ ?.

- Se o seu marcador estiver na casa 3 . ? -4, de que monte deve-se retirar

uma carta para poder avançar? E qual não se deve tirar para não poder voltar?

5.1 Regras do jogo

As cartas são embaralhadas e colocadas em três montes (positivos,

negativos e zero), viradas para baixo.

Na primeira rodada, cada jogador em sua vez lança o dado e avança o

número de casas igual ao obtido no dado; recolhe uma carta de um dos montes, à

sua escolha. O valor da carta deve substituir o ponto de interrogação da casa onde

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seu marcador está. Efetuam-se os cálculos e o resultado obtido indica o valor e o

sentido do movimento; se for positivo, o marcador do jogador avança o número

correspondente de casas; se for negativo, recua o correspondente número de casas;

se for zero, o peão não se desloca e o jogador passa a vez ao adversário.

Se o peão cair numa casa que contém uma instrução, o jogador deverá

executá-la nessa mesma jogada.

Sempre que o jogador escolher um número que anule o denominador,

deverá voltar à casa de partida.

Caso um dos montes de cartas esgote-se antes do final do jogo, então as

respectivas cartas devem ser embaralhadas e recolocadas em seus lugares.

A partir da primeira rodada, não se usa mais o dado.

Vence o jogador que completar em primeiro lugar duas voltas no tabuleiro.

5.2 Explicando o jogo – Corrida dos Inteiros

Com um tabuleiro ampliado (mural), serão explicadas algumas jogadas, para

que fiquem claras as regras do jogo. Enquanto é feita a explicação do jogo,

aproveita-se para rever a história dos números inteiros, história dos números

negativos e as operações com os números inteiros, reforçando as regras de sinais

para a adição, multiplicação e divisão.

Depois de algumas jogadas para aprenderem as técnicas do jogo, os alunos

serão divididos em grupos, sendo entregue um tabuleiro, um dado, os marcadores

das jogadas e as fichas numéricas para cada grupo.

Os alunos registrarão os cálculos das jogadas no caderno para verificação

do professor em caso de reclamação do adversário.

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666 RRREEEFFFEEERRRÊÊÊNNNCCCIIIAAASSS BBBIIIBBB LLL IIIOOOGGGRRRÁÁÁFFFIIICCCAAASSS

IEZZI, Gelson. Matemática e Realidade: 7º ano. 6ª ed. São Paulo: Atual, 2009. SILVA, Marcos Noé Pedro Da. O Surgimento dos Números Inteiros. Disponível em: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/o-surgimento-dos-numeros-inteiros.htm, acesso em: 15 de junho de 2011. Figura 1. Barras vermelhas e pretas usadas pelos chineses. Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAABIX0AF/numeros, acesso em: 15 de julho de 2011.

Figura 2: Nível do mar. Disponível em: http://www.prof2000.pt/users/elisabethm/geo8/relevo1.htm acesso em: 05 de agosto de 2011.