Matemática Financeira(básico)

ACELERADORA ESCOLA

O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

CONCEITOS

• Capital ou Valor Presente (VP ou PV)

Capital ou Valor Presente (VP) é o Capital Inicial em uma transação financeira, referenciado, geralmente, na escala horizontal do tempo, na data inicial (n=0). É, ainda, o valor a vista quando nos referimos, nos termos comerciais, àquele valor "com desconto" dado como opção às compras a prazo.

É considerado também como o investimento inicial feito em um projeto de investimento.

• Juros (J)

Os juros (J) representam a remuneração pela utilização de capitais de terceiros, ou por prazos concedidos.

Podem ser, também, a remuneração por capital aplicado nas instituições financeiras: o custo do dinheiro.

São considerados rendimento se você os recebe, e são considerados despesa se você os paga.

• Taxa de Juros (i)

Taxa de juros (i) é o valor do juro em determinado tempo, expresso como porcentagem do capital inicial. Pode ser expresso da forma unitária ou percentual (0,15 ou 15%, respectivamente). Veja:

Se um banco me paga R$ 400,00 de juros sobre um capital de R$ 4.000,00 aplicado durante um ano, a taxa de juros nada mais é do que:

Isso significa que esse banco está pagando uma taxa de juros de 10% ao ano.

• Prazo ou Periodo (n )

As transações financeiras são feitas tendo-se como referência uma unidade de tempo (como um dia, um mês, um semestre e etc.) e a taxa de juros cobrada nesse determinado tempo.

• Valor Futuro ou Montante (VF ou FV ou M )

Montante é o capital acrescido do rendimento obtido durante o período de aplicação e representado pela letra“M” ou“FV” – (future value).

FÓRMULAS BÁSICAS

basicas mesmo!

M=C+J J=C . iOnde:

M: Montante

C: Capital Inicial

J: Juros

i: Taxa de Juros

EXEMPLOUm capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de 12% a.m. Calcule os juros e o valor do Montante ao final do primeiro mês.

EXERCÍCIOSuponhamos que você aplicou R$ 1.500,00 a uma taxa de juros de 25% a.a. Qual seria o rendimento de juros e quanto seria resgatado em 1 ano?

EXERCÍCIO 2Você tem R$ 2.346,00 hoje, mas daqui a um mês terá que pagar uma dívida de R$ 3.123,00. Para honrar a sua dívida, alguém sugere que você aplique seu dinheiro para que, no futuro, tenha o que precisa. A qual taxa de juros você precisaria aplicar esse capital?

M=C+J J=C . i

i = - 1 MC

FLUXO DE CAIXA

Fluxo de Caixa é o conjunto de entradas e saídas monetárias (pagamentos e recebimentos) referentes a uma transação financeira de uma empresa ou projeto de investimento.

• DEFINIÇÃO

• REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

• REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

• As setas não são necessariamente proporcionais ao valor das entradas e saídas.

• O fluxo de caixa é muito útil na análise de problemas com séries de capital.

• Os intervalos de tempo entre os períodos são todos iguais.• Os valores serão colocados no início e final de cada

período, dependendo da convenção utilizada, mas nunca durante o período.

EXERCICIOUm investidor compra um título hoje por R$ 1.000,00. Esse título lhe dá o direito de receber, durante 5 anos, a quantia de 10 % a.a (ao ano) sobre o valor inicial pago, mais o capital inicial de volta no final do quinto ano. Represente o fluxo de caixa da operação

1000

100 100 100 100

1100

EXERCÍCIO Sua startup acessou uma linha de crédito para capital de giro no Banco do Brasil e se capitalizou em R$ 20.000 para iniciar sua operação. A carência do empréstimo é de 3 meses e a amortização será feita em 1 ano. com uma intermediária de R$ 5.000 a ser paga 1 ano após a aquisição. Desenhe o fluxo de caixa da operação.

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

• CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

Os juros são sempre iguais e incidem somente sobre o capital inicial durante todo o período.

O montante, dessa forma, cresce de maneira linear.

Nessa forma de capitalização, geralmente os juros são pagos no final da operação.

EXEMPLOAplica-se um capital de R$ 2.000,00 no início do primeiro ano e espera-se resgatá-lo daqui a 3 anos. Sabendo que o regime é de capitalização simples e que os juros são de 17% a.a., veja como fica o fluxo de caixa:

2000

340 340

3020

340

Normalmente temos que transformar a taxa de juros de um período para outro período.

Esse cálculo é muito usado em transações financeiras em geral e as taxas que procuramos são denominadas taxas equivalentes, isto é, que produzem o mesmo montante se aplicadas sobre um mesmo capital em um mesmo intervalo de tempo.

• TAXAS EQUIVALENTES (JUROS SIMPLES)

No caso dos juros simples, o cálculo é muito fácil e simplificado pelo caráter linear desse tipo de capitalização. Pode sempre ser feito por meio da proporcionalidade (usando regra de três simples, por exemplo).

Se quisermos calcular, por exemplo, a taxa anual em juros simples, equivalente à taxa mensal de 2,5 % a.m., teremos:

FÓRMULAS

capitalização simples

M=C+J J=C . i . n

M=C (1 + i . n)Onde:

M: MontanteC: Capital InicialJ: Jurosi: Taxa de Jurosn: periodo

EXERCÍCIO 5 (grupo)Suponhamos que você tenha uma aplicação de R$ 120.000,00, que rende, a juros simples, 15% a.t. Quanto esperaria ter no final do ano, se aplicou seu dinheiro no primeiro dia do ano?

EXERCÍCIO 7 (grupo)Uma quantia foi aplicada a juros simples de 6% ao mês, durante 5 meses e, em seguida, o montante foi aplicado durante mais 5 meses, a juros simples de 4% ao mês. No final dos 10 meses, o novo montante foi de R$ 234,00. Qual o valor da quantia aplicada inicialmente? 

EXERCÍCIO 8 (grupo)Um investidor aplicou a quantia de R$ 500,00 em um fundo de investimento que opera no regime de juros simples. Após 6 meses o investidor verificou que o montante era de R$ 560,00. Qual a taxa de juros desse fundo de investimento?

• CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Nesse modelo, o capital é remunerado a cada período e os juros incidem sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até a referida data.

Sendo assim, o montante, ao final da data 1 (n = 1), por exemplo, é o capital inicial da data 2 (n = 2) e sobre ele incidirão juros novamente.

O montante, neste caso, cresce em progressão geométrica, ou seja, o crescimento é exponencial.

EXEMPLOAplica-se um capital de R$ 2.000,00 no início do primeiro ano e espera-se resgatá-lo daqui a 3 anos. Sabendo que o regime é de capitalização composta e que os juros são de 17% a.a., veja como fica o fluxo de caixa:

2000

23402737,43

3023,23

FÓRMULAS

capitalização composta

M = C . (1 + i)n

Onde:

M: Montante ou Valor FuturoC: Capital Inicial ou Valor PresenteJ: Jurosi: Taxa de Jurosn: periodo

C = M / (1 + i)n

Onde:

M: Montante ou Valor FuturoC: Capital Inicial ou Valor PresenteJ: Jurosi: Taxa de Jurosn: periodo

i = (M/C)1/n -1Onde:

M: Montante ou Valor FuturoC: Capital Inicial ou Valor PresenteJ: Jurosi: Taxa de Jurosn: periodo

n = (LnM – LnC) / Ln (1 + i )Onde:

M: Montante ou Valor FuturoC: Capital Inicial ou Valor PresenteJ: Jurosi: Taxa de Jurosn: periodo

i = (M/C)1/n -1

M = C . (1 + i)n

n = (LnM – LnC) / Ln (1 + i )

C = M / (1 + i)n

EXEMPLOQual a taxa mensal de juros compostos que está embutida em um produto que tem preço à vista de R$ 1.500,00 e a prazo, para pagamento daqui a 90 dias, de R$ 1.900,00

EXERCICIO 9 (grupo)Quanto tempo você precisaria para duplicar um capital de R$ 3.500,00 à taxa de juros compostos de 12% a.m.?

EXERCICIO 10 (grupo)Um empréstimo deve ser pago em 60 dias. O valor a ser pago é de R$ 15.000,00. Os juros (compostos) do empréstimo são de 12% a.m. Qual o valor desse empréstimo se ele fosse pago hoje?

Diferentemente das taxas equivalentes para juros simples, aqui nao existe proporcionalidade e portanto não podemos utilizar regras de três.

• TAXAS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS)

Utilizaremos a formula abaixo para obtermos taxas equivalentes em cálculos de juros compostos:

• TAXAS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS)

i1 = (1 + i2)n1/n2 - 1i1: Taxa equivalentei2: taxa conhecidan1: periodo proposto para equivalencia n2: periodo da taxa conhecida

EXEMPLOQual seria a taxa mensal de juros compostos de uma aplicação que remunera o capital à taxa de 42 % a.a.?

HP 12c

EXERCICIO 11Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 20.000,00, qual será o montante gerado ao final de 4 anos, sabendo que a rentabilidade mensal é de 0,5%?

EXERCICIO 12Quanto terei de aplicar hoje num fundo de renda fixa para que, ao final de 10 anos a uma taxa de 1,3%a.m., haja um montante de R$ 100.000,00? 

MEGA PROBLEMA (grupo)Para abrir minha startup preciso de um capital inicial de R$ 60 mil hoje. Os sócios dispõem de R$ 35 mil aplicados em fundos e o restante deve ser obtido no mercado. O único banco que tem interesse em me emprestar o montante é o Banco do Brasil, segundo as condições a seguir:

Emprestimo Banco do Brasil: acima de R$ 23 mil, sem carência, e juros de 1,5% a.mAbaixo de R$ 23 mil, carência de 6 meses e juros de 7,1% a.s.

Dados Complementares:Taxa de Inflação: 0,8% a.m. (no calculo, considere a desvalorização do capital inicial ao longo do tempo) Fundo Aplicado rende 11,35% a.a., mas o resgate só é permitido agora ou a cada 6 meses.

O que será mais recomendável financeiramente para abrir minha startup nos próximos 12 meses? Fazer um empréstimo agora ou postergá-lo visando obter melhores condições de financiamento? Nesse caso, quando seria conveniente fazê-lo e quais os montantes e condições envolvidas?