gerenciamento de texturas para aplicaÇÕes de...
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CÁLCULO DE CURVAS DE DISPERSÃO DE ONDAS
GUIADAS EM PLACAS MULTICAMADA PARA
CARACTERIZAR PROPRIEDADES MECÂNICAS DE
TECIDOS BIOLÓGICOS
Luiz Henrique de Araújo Vasconcelos
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Eletrônica e de Computação da Escola
Politécnica, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Engenheiro.
Orientador: Ricardo Rhomberg Martins
Rio de Janeiro
Novembro de 2014
ii
CÁLCULO DE CURVAS DE DISPERSÃO DE ONDAS
GUIADAS EM PLACAS MULTICAMADA PARA
CARACTERIZAR PROPRIEDADES MECÂNICAS DE
TECIDOS BIOLÓGICOS
Luiz Henrique de Araújo Vasconcelos
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO
DE ENGENHARIA ELETRÔNICA E DE COMPUTAÇÃO DA ESCOLA
POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO
PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO ELETRÔNICO E DE COMPUTAÇÃO
Autor:
_________________________________________________
Luiz Henrique de Araújo Vasconcelos
Orientador:
_________________________________________________
Prof. Ricardo Rhomberg Martins, DSc
Examinador:
_________________________________________________
Prof. João Carlos Machado PhD.
Examinador:
_________________________________________________
José Francisco Silva Costa Júnior DSc.
Rio de Janeiro – RJ, Brasil
Novembro de 2014
iii
Vasconcelos, Luiz Henrique de Araújo
Cálculo De Curvas De Dispersão De Ondas Guiadas Em
Placas Multicamada Para Caracterizar Propriedades
Mecânicas De Tecidos Biológicos/ Luiz Henrique de Araújo
Vasconcelos. – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica,
2014.
IX, 36 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Ricardo Rhomberg Martins
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso
de Engenharia Eletrônica e de Computação, 2014.
Referencias Bibliográficas: p. 22.
1. Ondas de Cisalhamento 2. Curvas de Dispersão 3.
Elastografia. I. Martins, Ricardo Rhomberg. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de
Engenharia Eletrônica e de Computação. III. Titulo.
iv
AGRADECIMENTO
Agradeço a realização deste trabalho à minha família que me apoiou em cada
passo da minha graduação, aos alunos, staff e professores do Programa de Engenharia
Biomédica da COPPE e do Biomedical Engineering and Physiology Department da
Mayo Clinic. Em especial o aluno José Francisco S. C. Júnior e o post-doc Ivan Nenadíc
Ph.D. pela amizade e inspiração, sem vocês este trabalho não seria possível.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletrônico e de
Computação
Cálculo De Curvas De Dispersão De Ondas Guiadas Em Placas Multicamada Para
Caracterizar Propriedades Mecânicas De Tecidos Biológicos
Luiz Henrique de Araújo Vasconcelos
Novembro/2014
Orientador: Ricardo Rhomberg Martins
Curso: Engenharia Eletrônica e de Computação
A dispersão é a mudança de velocidade dos componentes de uma onda com relação à
sua frequência. Esta propriedade pode ser utilizada para caracterizar mudanças na
rigidez de um determinado tecido e, assim, doenças. O cálculo das curvas de dispersão
e, por conseguinte, a determinação das propriedades reológicas é possível através da
análise do comportamento dos diferentes modos de velocidade de fase no meio de
interesse. Porém, a propagação de ondas acústicas guiadas em órgãos "finos" é afetada
também pelas propriedades mecânicas dos tecidos circundantes desses órgãos. A fim de
obter as propriedades mecânicas apropriadas de tais órgãos, uma solução analítica para
as curvas de dispersão em uma placa rodeada por sólidos semi-infinitos foi derivada e
validada com a utilização de softwares comerciais e experimentos com Phantoms de
PVA. Para a validação experimental foi utilizado um sistema ultrassônico de Shearwave
Dispersion Ultrasound Vidrometry (SDUV) operando a uma frequência de amostragem
de 10 kHz e gerando ondas guiadas com impulso de 200 µs. Os testes revelaram alta
correlação entre as curvas obtidas pelo método analítico e as ferramentas utilizadas para
validação.
Palavras-Chave: Ondas Guiadas, Curvas de Dispersão, Elastografia.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Electronics and Computational Engineer
Calculation Of Dispersion Curves Of Guided Waves in Layered Plates To Characterize
Mechanical Properties Of Biological Tissue
November/2014
Advisor: Ricardo Rhomberg Martins
Major: Electronic and Computational Engineering
Dispersion is the dependence of a wave phase velocity on its frequency. This property
can be used to characterize changes in tissue stiffness, what is often related to diseases.
The calculation of the dispersion curves, and hence, the determination of rheological
properties is possible by analyzing the different behavior of the phase velocity of modes
in the medium of interest. However, the propagation of acoustic waves guided in "thin"
organs is also affected by the mechanical properties of the tissues surrounding these
organs. In order to obtain the appropriate mechanical properties of such boundary
sensitive organs, an analytical solution to the dispersion curves for a plate surrounded
by semi- infinite solid was derived and validated using commercial software and
experiments with PVA Phantoms. Experimental validation was implemented using an
ultrasonic Shearwave Dispersion Ultrasound Vibrometry (SDUV) system operating at a
sampling frequency of 10 kHz, generating guided waves with a 200 µs pulse. The tests
revealed a high correlation between the curves obtained by the analytical method and
the tools used for validation.
Key-words: Guided waves, Dispersion Curves, Ultrasound Elastography
vii
Sumário
1. Introdução.................................................................................................................. 1
1.1 Tema .................................................................................................................. 1
1.2 Delimitação ........................................................................................................ 1
1.4 Objetivos ............................................................................................................ 2
1.5 Metodologia ....................................................................................................... 2
1.6 Descrição ........................................................................................................... 2
2. Base Matemática ....................................................................................................... 4
2.1 A Física de Propagação de Ondas em Materiais Isotópicos .............................. 4
2.2 Ondas em Placas Isotrópicas .............................................................................. 5
2.2.1. Ondas de Rayleigh ...................................................................................... 5
2.2.2. Ondas de Lamb ........................................................................................... 6
3. Modelo Analítico....................................................................................................... 8
3.1 Equacionamento ................................................................................................. 8
3.2 Resolução Gráfica ............................................................................................ 10
4. Validação ................................................................................................................. 14
4.1 Modelos em Softwares Comerciais .................................................................. 14
4.2 Modelo Experimental ...................................................................................... 14
5. Resultados ............................................................................................................... 17
5.1 Comparações com Softwares Comerciais ........................................................ 17
5.2 Comparações com Modelo Experimental ........................................................ 19
6. Conclusão ................................................................................................................ 21
Bibliografia ..................................................................................................................... 22
Apêndice A - Resolução Numérica ................................................................................ 23
viii
Lista de Figuras
Figura 1 – Esquemático de componentes de tensão, sendo x, y e z análogos à x1, x2 e x3,
respectivamente. ............................................................................................................... 4
Figura 2 – Ondas de Rayleigh. ......................................................................................... 6
Figura 3 – Modos de Ondas de Lamb .............................................................................. 7
Figura 4 – Geometria utilizada para as condições de fronteira ........................................ 8
Figura 5 – Mapa de soluções. Cada pixel representa o módulo de uma solução. .......... 11
Figura 6 – Mapa de Soluções após derivação com relação à frequência para a
identificação de mínimos locais. .................................................................................... 12
Figura 7 – Curvas de dispersão encontradas após interpolação de cruzamentos por zeros
........................................................................................................................................ 13
Figura 8 – Desenho esquemático do corpo de teste........................................................ 15
Figura 9 – Foto da montagem experimental. .................................................................. 15
Figura 10 – Comparação entre as curvas de dispersão obtidas com DISPERSE e a
solução analítica proposta para diferentes configurações. .............................................. 18
Figura 11 – Comparação entre as curvas de dispersão obtidas com ABAQUS e a
solução analítica proposta para diferentes configurações. .............................................. 18
Figura 12 – Comparação entre as curvas de dispersão obtidas SDUV (diamantes azuis) e
a solução analítica proposta (linhas) para diferentes configurações............................... 20
Figura 13 – Ilustração do procedimento numérico para encontrar curvas de dispersão. 24
ix
Lista de Tabelas
Tabela I – Resultados medidos para a velocidade de propagação da onda de
cisalhamento utilizando método SDUV ......................................................................... 16
Tabela II – Parâmetros constantes para o cubo de PVA e gelatina. ............................... 16
Tabela III – Coeficientes de Correlação de Pearson para cada experimento ................. 19
1
1. Introdução
1.1 – Tema
A ultrassonografia foi introduzida na prática clínica na década de 70, e hoje é
um dos principais métodos de avaliação clínica existentes, tendo fácil manuseio,
locomoção e operabilidade em tempo real. O ultrassom está fundamentado no principio
de propagação de ondas mecânicas, mais especificamente ondas acima de 20 kHz, ou
seja, acima da frequência audível humana. Assim podem-se construir imagens
anatômicas dos órgãos internos de maneira não invasiva [1].
A Elastografia teve seu início na década de 90 com o objetivo de obter dados
quantitativos das análises de ultrassom, em especial a rigidez do tecido. Esta análise
pode ser realizada através da deformação do tecido durante estresse quase estático ou
com o uso de ondas de cisalhamento.
1.2 – Delimitação
Com a difusão do método elastográfico nos equipamentos médicos e do seu uso
na avaliação de doenças, um estudo mais profundo da interação das ondas guiadas com
meios multicamadas se faz necessário. Busca-se compreender como tecidos envoltórios
podem afetar as características mecânicas de órgãos e tecidos dispostos como camadas
finas. Nesses casos, as condições de fronteira com tecidos adjacentes impactam
diretamente no comportamento das ondas de cisalhamento e, por tanto, nas curvas de
dispersão. Assim será possível uma maior precisão nos diagnósticos clínicos.
1.3 – Justificativa
O cálculo das curvas de dispersão e, por conseguinte, das propriedades
mecânicas é possível através da análise de como os diferentes modos de propagação se
comportam no meio em estudo [2].
2
Em muitos casos, a região estudada está localizada longe de quaisquer limites, e
pode ser tratado como parte de um meio infinito, por exemplo, em órgãos tais como o
fígado, mama e rim. Mas em tecidos e órgãos “finos”, como o baço, miocárdio, artérias,
bexiga e pâncreas, as condições e geometria de fronteira têm um papel importante em
no comportamento destes órgãos sob ação de tensões. Além disso, a propagação de
ondas guiadas em órgãos também é afetada pelas propriedades mecânicas dos tecidos
que os rodeiam.
1.4 – Objetivos
Neste projeto, uma solução analítica para as curvas de dispersão em placas
embutidas em sólidos semi-infinitos foi derivada. Softwares comerciais, juntamente
com a propagação de ondas de cisalhamento em placas de PVA (álcool polivinílico)
rodeado por gelatina, serão usados para demonstrar a viabilidade do método.
1.5 – Metodologia
O modelo analítico proposto neste trabalho combina teoria da dinâmica do
continuum dentro de cada camada e suas interfaces para derivar conjuntos de soluções
que podem ser combinados em relação às condições de contorno [3].
Os campos potenciais escalar e vetorial das ondas (φ, ψ) e as funções de
deslocamento (u) para a camada interna e as camadas semi-infinitas foram obtidos
usando a relação tensão-deformação para materiais isotrópicos e aplicando a equação de
equilíbrio de Navier. Isto cria uma solução mais geral para o problema, e, por
conseguinte, tanto modos de onda de Rayleigh quanto Lamb podem ser obtidos. A
validação destas equações foi feita de maneira comparativa com softwares já existentes
no mercado e com dados experimentais obtidos com phamtons de PVA e gelatina.
1.6 – Descrição
O capítulo 2 é uma breve apresentação do conceito de ondas guiadas e as
equações básicas.
3
No capítulo 3 será apresentado o modelo matemático utilizado na derivação das
equações de movimento e propagação da onda guiada.
O capítulo 4 faz uma breve apresentação dos softwares comerciais utilizados na
validação das equações, e apresenta o método experimental com a fabricação dos
phantoms utilizados na validação das equações.
Os resultados comparativos são abordados no capítulo 5.
O capítulo 6 apresenta a conclusão do projeto.
4
2. Base Matemática
2.1 – A Física de Propagação de Ondas em Materiais Isotópicos
As equações que governam a dinâmica de materiais isotrópicos, aqueles que
apresentam as mesmas propriedades físicas independentemente da direção considerada,
a partir das constantes de Lamé λ e µ são as equações de tensão de movimento [4]:
, (1)
E Lei de Hooke:
, (2)
onde é a tensão de Cauchy-Navier, , é a densidade do material, é o tensor de
deformação e é a função delta de Kronecker, e representa o deslocamento do
material. Fontes externas de força são representadas por e a segunda derivada de em
relação ao tempo é representada por . Seguindo a notação de índice para operações
com vetores e tensores, os subescritos , e determinam os planos cartesianos e as
direções de atuação, conforme a Figura 1.
Figura 1 – Esquemático de componentes de tensão, sendo x, y e z análogos à x1,
x2 e x3, respectivamente.
5
E a relação deformação-deslocamento:
(3)
Combinando estas equações em função do deslocamento é descrita a equação
de elastodinâmica para materiais isotrópicos [4], [5]:
(4)
2.2 – Ondas em Placas Isotrópicas
A teoria de ondas guiadas em placas foi desenvolvida em 1885 por Rayleigh e
1917 por Lamb. O conjunto de equações diferenciais que governa a propagação de
ondas em um determinado meio, juntamente ás condições de fronteira, podem descrever
a propagação de ondas em meios semi-infinitos, placas, cascas cilíndricas e outras
geometrias. Dependendo das condições de fronteira, diferentes tipos de ondas podem
ocorrer no sistema. Uma única extremidade livre origina ondas de Rayleigh, enquanto
as ondas de Love podem se propagar em uma camada no meio elástico semi-infinito.
Uma placa com a estrutura com duas interfaces livres dá origem a ondas de Lamb, que
também são conhecidas como ondas de Rayleigh-Lamb ou ainda ondas Rayleigh. Neste
trabalho serão focadas as ondas de Rayleigh e Lamb [6].
2.2.1. Ondas de Rayleigh
Ondas de Rayleigh são um tipo de onda que propaga junto à superfície dos
sólidos. Sendo causada pela interação entre ondas de pressão e de cisalhamento, elas
incluem tanto os movimentos longitudinais quanto transversais que diminuem
exponencialmente em amplitude com a distância de afastamento da superfície. Em
sólidos isotrópicos, estas ondas provocam nas partículas da superfície em que a onda se
propaga um movimento em elipse em planos normais à superfície, paralelamente à
direção de propagação (ver Figura 2).
6
Figura 2 – Ondas de Rayleigh.
Na superfície e em pequenas profundidades este movimento é retrógrado, ou
seja, o movimento no plano de uma partícula é anti-horário quando a onda se desloca da
esquerda para a direita. Em maiores profundidades o movimento das partículas se torna
progressivo. Além disso, a amplitude do movimento decai à medida que a profundidade
no material aumenta. A profundidade de deslocamento significativa no sólido é
aproximadamente igual ao comprimento de onda acústica.
2.2.2. Ondas de Lamb
São ondas elásticas cujo movimento das partículas encontra-se no plano que
contém a direção de propagação da onda e a normal à placa (na direção perpendicular à
placa). Um meio infinito suporta apenas dois modos de ondas que propagam a
velocidades únicas; mas as placas suportam dois conjuntos infinitos modos de ondas de
Lamb, cuja velocidade depende da relação entre o comprimento de onda e espessura da
chapa.
Ao formular o seu problema, Lamb confinou os componentes de movimento das
partículas na direção normal à placa (direção z) e na direção de propagação da onda
(direção x). Por definição, ondas de Lamb não têm movimento de partículas na direção
y. O movimento na direção y em placas é encontrado nos chamados modos de onda de
cisalhamento ou horizontal. Estes não têm movimento no eixo x ou z, e são, portanto,
complementares aos modos de ondas de Lamb [7].
7
Figura 3 – Modos de Ondas de Lamb
Ondas de Lamb também apresentam dispersão de velocidade; isto é, a sua
velocidade de propagação ‘c’ depende da frequência (ou o comprimento de onda). A
velocidade de propagação também depende das constantes elásticas e densidade do
material. Este fenômeno de dispersão é fundamental para o estudo e compreensão do
comportamento das ondas em placas e é o foco deste trabalho. As ondas de Lamb
podem se apresentar de dois modos, simétrico e antissimétrico, conforme a Figura 3.
8
3. Modelo Analítico
3.1 – Equacionamento
O modelo analítico proposto neste trabalho combina teoria da dinâmica do
continuum dentro de cada camada e suas interfaces para derivar conjuntos de soluções
que podem ser combinados em relação às condições de contorno [3], conforme Figura
4.
As ondas de campos potenciais (φ, ψ) e funções de deslocamento (u) para a
camada interna e as camadas semi-infinitas foram obtidas usando a relação tensão-
deformação para materiais isotrópicos e aplicando a equação de equilíbrio do Navier.
Isto cria uma solução mais geral para o problema, e, por conseguinte, tanto
modos Rayleigh quanto de Lamb podem ser obtidos [5].
Figura 4 – Geometria utilizada para as condições de fronteira
9
Para cada interface entre duas camadas pode-se escrever as seguintes equações
de deslocamento ( ) and tensão de cisalhamento ( ).
Para y = 0:
(5)
(6)
(7)
(8)
e y = h:
(9)
(10)
(11)
(12)
Onde:
(13)
(14)
(15)
(16)
Considerando todas as camadas como sólidos incompressíveis, homogêneos e
isotrópicos. As equações de campo potenciais são dadas por:
10
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
Nestas equações and são as funções escalar e vetorial, respectivamente. Os
símbolos arábicos representam os valores constantes de amplitude desconhecidos. Já e
são coeficientes dados por:
Onde e são os números das ondas de cisalhamento e
pressão, e é o número de onda da varredura atual. Substituindo as Eqs. (13 -16) nas
Eqs. (5-12), e usando as Eqs. (17 - 22) podem-se derivar oito equações com oito
constantes desconhecidas.
3.2 – Resolução Gráfica
O sistema proposto pode ser reescrito na forma matricial como
[equações]8x8.[variáveis]8x1 = [0]8x1. Como este sistema é constituído por equações
homogêneas, para ondas de amplitude não nula o determinante da matriz 8 x 8 deve
nulo. Igualando-se o determinante da matriz á zero as curvas de dispersão podem ser
obtidas. Ou seja, se um determinado par velocidade-frequência fizer parte da curva de
11
dispersão o determinante será zero. A técnica utilizada neste trabalho consiste em
encontrar as os pares onde o determinante é nulo, utilizando-se o software MatLab
R2011b (MathWorks, Inc, Natick, MA, U.S.A.).
Realizando-se uma varredura em velocidade e frequência pode-se construir um
mapa de soluções complexas a partir dos determinantes. Para facilitar a sua visualização
a amplitude de cada vetor complexo que representa cada solução é calculada para
construção do mapa da Figura 5. A escala lateral apresenta uma escala logarítmica das
velocidades, já que a variação de valores é muito grande, permitindo uma melhor
interpretação visual da escala de cor.
Figura 5 – Mapa de soluções. Cada pixel representa o módulo de uma solução.
Já que muito provavelmente os conjuntos de soluções onde o determinante é
igual a zero não farão parte dos valores discretos empregados na varredura, não é
possível encontrar diretamente os zeros do mapa. Sendo assim, para identificar vales
locais, que cruzem o zero, o mapa é derivado parcialmente com relação à frequência,
resultando no padrão observado na figura 6.
12
Figura 6 – Mapa de Soluções após derivação com relação à frequência para a
identificação de mínimos locais.
Em seguida, procuram-se no mapa passagens de negativo para positivo,
indicando assim, possíveis passagens por zero. Este método se mostrou eficaz, já que o
módulo no vetor complexo não pode ter valor negativo. Isto é feito comparando-se cada
derivada com seu vizinho adjacente, vertical e horizontalmente. Cada grupo de soluções
é agrupado e interpolado para se obter as curvas de dispersão. O resultado das
interpolações pode ser observado na Figura 7.
13
Figura 7 – Curvas de dispersão encontradas após interpolação de cruzamentos por
zeros
14
4. Validação
4.1 – Modelos em Softwares Comerciais
Para realizar a validação das equações derivadas, as curvas de dispersão obtidas
foram comparadas com as curvas calculadas pelo software DISPERSE 2.0.16d
(Imperial College, London, United Kingdom) [3]. Além deste, também foi utilizado
Método dos Elementos Finitos (MEF) de uma placa envolvida por sólidos semi-infinitos
no software ABAQUS 6.10 (SIMULIA, Providence, RI). Foram utilizados valores entre
16 e 25 kPa para a placa e 4 a 121 kPa para o exterior. Todas as simulações foram
realizadas em computadores do Ultrasound Lab da Mayo Clinic, Rochester, USA.
4.2 – Modelo Experimental
Um modelo experimental também foi desenvolvido e realizado nas
dependencias da Mayo Clinic para validar de maneira prática as equações aqui
desenvolvidas. Foi utilizado um sistema de ultrassom programável (Verasonics, Inc.
Redmond, WA, USA), operando um transdutor linear L7-4 (Philips Healthcare,
Andover, MA), para excitar impulsos de 200 µs em uma placa de PVA (Álcool
polivinílico) inserido em gelatina. O movimento do sistema durante e após a excitação é
captado à uma frequência de amostragem de 10 kHz pelo mesmo transdutor operando
em modo pulso-eco [8], [9].
As amostras experimentais foram feitas com placas de PVA (10% de PVA,
44,5% de propilenoglicol, 1% de celulos (50 μm), em volume, e todos fornecidos por
Sigma-Aldrich, St. Louis, MO), incorporadas em gelatina (80% água, 10% de Gelatina
de porco, Glicerol a 10%, em volume, sendo todos fornecidos por Sigma-Aldrich, St.
Louis, MO) no interior de um recipiente de plástico. Um cubo de PVA também foi feito
utilizando a mesma amostra para medir a velocidade de cisalhamento. Para criar vários
conjuntos de rigidez da camada interior o phantom de PVA foi congelado e
descongelado sucessivamente, em ciclos de 24 horas, e incorporado em novas amostras
de gelatina durante 5 dias. O desenho esquemático do corpo de teste pode ser observado
na Figura 8, sendo o transdutor posicionado conforme a Figura 9.
15
Figura 8 – Desenho esquemático do corpo de teste
Figura 9 – Foto da montagem experimental.
Para definir os valores de velocidade da onda de cisalhamento da camada
interna, o cubo de PVA e a gelatina foram analisados utilizando a técnica SDUV
16
modificada para medir as propriedades do material. Os valores para os conjuntos de
parâmetros são apresentados na Tabela I e II.
Tabela I – Resultados medidos para a velocidade de propagação da onda de
cisalhamento utilizando método SDUV
Tabela II – Parâmetros constantes para o cubo de PVA e gelatina.
Parâmetro Valor
Velocidade de Onda de
Pressão do PVA
1540 m/s
Velocidade de Onda de
Cisalhamento da Gelatina
1,2 m/s
Razão de Poisson
Grossura da Placa de PVA
0,4999
1,4 cm
Experimento # cs (m/s)
1 3,29 ± 0,07
2 3,42 ± 0,15
3 3,76 ± 0,09
4 4,79 ± 0,29
5 4,93 ± 0,15
6 4,91 ± 0,14
17
5. Resultados
5.1 – Comparações com Softwares Comerciais
A Figura 10 mostra as curvas de dispersão obtidas neste trabalho com a solução
analítica (linha preta) sobreposta à obtida usando-se o DISPERSE 2.0.16d (círculos
azuis) para diferentes conjuntos de parâmetros. Nela estão descritos, em cada gráfico, os
parâmetros de espessura e velocidades de propagação da onda de cisalhamento de cada
simulação.
18
Figura 10 – Comparação entre as curvas de dispersão obtidas com DISPERSE e
a solução analítica proposta para diferentes configurações.
Já a Figura 11 mostra os resultados obtidos, para os mesmos parâmetros
utilizados na Figura 10, com a solução analítica (linha preta) e ABAQUS 6.10
(vermelho, círculos pretos e azuis)
Figura 11 – Comparação entre as curvas de dispersão obtidas com ABAQUS e a
solução analítica proposta para diferentes configurações.
Os resultados foram capazes de validar com sucesso o modelo proposto neste
trabalho. Em comparação ao DISPERSE mostrou uma combinação perfeita para os
modos de Lamb, enquanto que para FEM mostrou coerência com os modos de
Rayleigh. Isto representa vantagem do software comercial, uma vez que nenhum deles é
19
capaz de calcular totalmente tanto modos Rayleigh quanto Lamb. Além disso, o modelo
proposto é geral e pode ser usado para qualquer faixa de frequências e rigidez. Os outros
softwares são otimizados para valores mais elevados.
5.2 – Comparações com Modelo Experimental
Os dados coletados com o SDUV foram processados e os valores de velocidade
de fase para gelatina e PVA foram inseridos na rotina de MatLab para obtenção das
curvas a partir do método proposto. Para comparação visual, ambas as curvas,
experimental e analítica, foram plotadas no mesmo gráfico. Para comparação estatística
dos resultados foram calculados os coeficientes de correlação de Pearson, dados pela
Equação 23:
(23)
onde é o resultado analítico e o resultado experimental. Os resultados estão
presentes na Tabela III, todos com forte correlação.
Tabela III – Coeficientes de Correlação de Pearson para cada experimento
Os resultados experimentais estão apresentados na Figura 12, onde os diamantes
azuis representam as curvas de dispersão a partir das medições SDUV, e as linhas
representam a solução analítica.
Experimento # ρ
1 0,9806
2 0,9844
3 0,9777
4 0,9063
5 0,9660
6 0,9876
20
A partir da análise dos gráficos é possível observar uma redução da velocidade
média das Ondas de Lamb, quando comparadas às obtidas no cubo de PVA (Tabela I).
Isto sugere que o meio externo, junto à geometria, pode ditar uma estimativa
comparativa errônea das características do tecido, o que muda o diagnóstico e
acompanhamento de doenças.
Figura 12 – Comparação entre as curvas de dispersão obtidas SDUV (diamantes
azuis) e a solução analítica proposta (linhas) para diferentes configurações.
21
6. Conclusão
As curvas obtidas estiveram em concordância com todas as técnicas utilizadas
para validar o modelo analítico. Os coeficientes de correlação entre as curvas de
dispersão calculadas e as obtidas através de SDUV foram acima de 0,9. Esta forte
correlação confirma o potencial do método para um melhor entendimento de como
ondas guiadas se comportam em diferentes tipos de geometria e número de camadas.
22
Bibliografia
[1] J.-L. Gennisson, T. Deffieux, M. Fink, and M. Tanter, “Ultrasound elastography:
Principles and techniques,” Diagn. Interv. Imaging, vol. 94, no. 5, pp. 487–495,
May 2013.
[2] S. Chen, M. W. Urban, C. Pislaru, R. Kinnick, Y. Zheng, A. Yao, and J. F.
Greenleaf, “Shearwave dispersion ultrasound vibrometry (SDUV) for measuring
tissue elasticity and viscosity,” IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control,
vol. 56, no. 1, pp. 55–62, Jan. 2009.
[3] M. J. S. Lowe, “Matrix techniques for modeling ultrasonic waves in multilayered
media,” IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control, vol. 42, no. 4, pp. 525–
542, Jul. 1995.
[4] A. L. Fetter, J. D. Walecka, and Physics, Theoretical Mechanics of Particles and
Continua. Mineola, N.Y: Dover Publications, 2003.
[5] T. Kundu, Ultrasonic Nondestructive Evaluation: Engineering and Biological
Material Characterization. CRC Press, 2003.
[6] J. Achenbach, Wave Propagation in Elastic Solids. Elsevier, 2012.
[7] H. Lamb, On Waves in an Elastic Plate. Royal Society of London, 1917.
[8] D. Alleyne and P. Cawley, “A two-dimensional Fourier transform method for the
measurement of propagating multimode signals,” Acoust. Soc. Am. J., vol. 89, pp.
1159–1168, Mar. 1991.
[9] M. Bernal, I. Nenadic, M. W. Urban, and J. F. Greenleaf, “Material property
estimation for tubes and arteries using ultrasound radiation force and analysis of
propagating modes,” J. Acoust. Soc. Am., vol. 129, no. 3, pp. 1344–1354, Mar.
2011.
23
Apêndice A - Resolução Numérica
Com o aumento do número de camadas, inserção de funções de Bessel para
cálculo de geometrias cilíndricas e aumento da precisão, o custo computacional para o
cálculo do mapa de determinantes cresce. Sendo assim uma nova forma de aplicar a
técnica proposta teve que ser desenvolvida. Em vez de se aplicar o cálculo de
determinantes em toda matriz, é possível aplica-lo em setores de interesse. Assim, é
possível encontrar as curvas de dispersão utilizando-se de métodos numéricos.
O primeiro passo é realizar uma varredura em frequência, utilizando uma
velocidade fixa abaixo da velocidade de propagação de fase do material. A partir da
análise de mudança de sinal no par complexo, vertical e horizontalmente, pode-se
identificar passagens por zero, e assim raízes primárias, aqui chamadas que sementes.
Pode-se então escolher qual semente será utilizada para dar início ao cálculo da curva de
dispersão.
O segundo ponto é encontrado fazendo uma varredura em uma área ao redor do
primeiro ponto, sendo escolhido o mais próximo, caso haja mais de um. Em posse de
dois pontos da curva já é possível extrapolar linearmente a posição do terceiro, assim,
uma área de varredura é construída ao redor deste ponto esperado, com largura df e
altura dc. Então, o novo ponto mais próximo ao ponto extrapolado é selecionado. Isso é
feito sucessivamente até que uma determinada frequência escolhida seja ultrapassada.
Uma ilustração de como este método é conduzido pode ser visualizado na Figura 13.
Também foi testado o método de extrapolação polinomial a partir do quinto
ponto, porém a extrapolação linear se mostrou mais efetiva, sendo escolhida como o
método padrão.
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Figura 13 – Ilustração do procedimento numérico para encontrar curvas de
dispersão.
O procedimento acima descreve como podem ser encontrados os modos de
Lamb. Para os modos de Rayleigh basta que dc seja negativo e a semente seja acima da
velocidade de propagação de grupo do material. Para uma matriz inicial de soluções de
500 x 1000 o tempo de processamento é de 13,54 segundos, lembrando que cada
elemento da matriz provém de um cálculo de determinante. O método proposto é capaz
de desenhar as curvas de Lamb em aproximadamente em 5,44 segundos. Para curvas
provenientes de meios com geometria cilíndrica a diferença de tempo se torna crítica, já
que as os determinantes incluem curvas de Bessel de primeira e segunda ordem, além
do aumento do número de equações. Para uma matriz de soluções 500 x 1000 o tempo
de processamento chega há durar mais de 40 minutos, onde o método numérico
consegue calcular a curva em apenas 3,9 minutos.