40. SBAI- Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, São Paulo, SP, 08·10 de Setembro de 1999

Geração e Otimização de Caminhos de Corte 2D

Vidal Filho, W. B.wbritto@usp.br

Moscato, L. A.lamoscat@usp.br

Segenreich, S. A.solly@mec.puc-rio.br

1,2 Depto de Engenharia Mecânica - Escola Politécnica da USPAv. Prof. Mello Moraes, 2231CEP DSSDS-900 - São Paulo - SP

3Deptode Engenharia Mecânica - Pontifícia Universidade Católica do Rio de JaneiroRua Marquês de São Vicente, 225

Rio de janeiro - RJ

Resumo O presente trabalho aborda a geração automática decaminhos de corte para uma máquina de corte de materiaisflexíveis, bem corno a otimização deste caminho. A máquinade corte, em questão, se enquadra na classificação dos CNC e édestinada ao corte de tecidos. Notou-se que a heurísticainicialmente desenvolvida pode ser melhorada, resultando emuma heurística baseada no problema do "carteiro chinês".Palavras-chave: Automação, CAD/CAi\!I, Geração de caminhosde corte

Palavras Chaves: Automação, CAD/CAM, Geração decaminhos de corteAbstract: This work address an automatic generation of cutpath for flexible material cut machine. In addiction it addressthe path optimization. This cut machine is classified as CNCmachine destined to the cut of fabrics. It was noticed that thealgorithm adopted initially could be improved, resulting in analgorithm based in the Chinese post problem

Keywords: Automation, CAD/CAM, Cut Path Generation.

1 INTRODUÇÃONa indústria do vestuário o processo de corte começa peladistribuição dos moldes sobre o tecido a ser cortado, de forma aobter o melhor rendimento. Este procedimento já se encontraautomatizado por programas CAD , o programa gera o encaixede todos os moldes de forma a obter o melhor rendimento.Contudo o corte ainda é , na: sua maioria, manual. Para tantouma folha de tecido é riscada com o encaixe geradomanualmente, ou uma folha de papel é riscada no caso doencaixe gerado por CAD. Este tecido ou papel é colocadosobre uma pilha de tecido, o qual será cortado seguindo osriscos da primeira camada. No corte automatizado o arquivocontendo o encaixe é transferido para uma máquinacomputadorizada, onde um programa CAM gera os caminhosde corte.

O estudo e desenvolvimento de uma máquina de cortecomputadorizada para materiais flexíveis por (Vidal &Segenreich,9S) esbarrou no problema da geração de .caminhos

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de corte. Este problema, inicialmente, se resumia a partir dearquivos gerados em CAD obter o caminho de corte daferramenta. E isto correspondia a extrair dos arquivos asgeometrias dos moldes a serem cortados, · como tambémdeterminar a seqüência de corte dos moldes.

Para extrair as geometrias, basta conhecer a sintaxe do arquivo .gerado no CAD. Contudo para gerar o caminho de corte, há anecessidade de aplicar uma estratégia para obter um caminhootimizado. A importância de se obter um caminho otimizadoreside no fato de diminuir o tempo' de corte, aumentando aprodução e favorecendo a detalhes construtivos da máquina, osquais sem uma trajetória planar não poderiam ser empregados.

2 AS ESTRATÉGIAS DEGERAÇÃOO corte de tecido é um tipo de corte 2D, por isso pode-seanalisar o emprego de estratégias utilizadas em outros tipos decorte 2D. O ·corte à laser e o corte à tocha, de chapasmetálicas, são cortes planares. E como tais, suas estratégias degeração de caminhos de corte podem ser aplicadas no corte detecido, com as devidas modificações.

No corte de chapas ,à laser ou tocha, corta-se todo o contornoda figura antes de passar para outra figura. Isto decorre ,principalmente, de fatores tecnológicos.

Uma técnica já utilizada na geração de seqüência de corte emmáquinas CNC à tocha e à laser, divide a chapa em faixas demesmo tamanho (Geiger&Kóllera,9S) e os moldes, agrupadosdesta forma, são percorridos no sentido do comprimento das. faixas fig.l.

Um fato importante está na determinação do ponto de inicio docorte em cada molde. Algumas técnicas estabelecem ummesmo ponto de inicio do corte, para moldes iguais, o quesimplifica a geração da seqüência de corte. Contudo nãogarante um caminho de corte otimizado.

Figura l-Estratégia de dividir em faixas

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neurais. Em (Geiger&Kóllera,98) usa-se também esta analogiapara gerar uma trajetória otimizada no corte plano aLaser. Estaúltima é a melhor solução para a premissa de fechar cadacontorno antes de partir para o próximo . Mostra-se no presenteartigo que para obter a melhor trajetória no tempo tem-se queabandonar esta premissa de fechar cada contorno antes departir para outro. Devido a fatores tecnológicos , algunsprocessos não podem dispensar tal premissa, contudo no cortede tecido aqui descrito, pode-se dispensá-Ia. Pois a precisãodos deslocamentos são maiores que a requerida pelo setor.

A heurística inicialmente adotada para máquina de corte detecido, segue o seguinte algoritmo : Partindo do zero-máquina oprograma busca o molde mais próximo, que será aquele quepossui o vértice mais próximo deste ponto. Gera a trajetória deposicionamento do zero-máquina até este ponto e a partir destepercorre todos os vértices da figura, gerando o caminho decorte. A figura é percorrida em sentido horário, que é o sentidoem que ela foi arquivada A finalidade de estabelecer umsentido de armazenamento dos vértices, está no fato deembutir a informação de adjacências , deste. Após retornar aoponto de início do corte, busca-se o molde mais próximo, que éaquele que possui o vértice mais próximo deste ponto e assimrepete-se o procedimento anterior. A figo 2 ilustra estealgoritmo.

Figura 2- Trajetória de corte dos moldes

3 OTIMIZAÇÃO

Como observado a trajetória de corte pode ser melhorada,reduzindo o tempo de corte pela redução do percurso. Umamaneira de reduzir o percurso é reduzir as trajetórias deposicionamento ao máximo. O ideal é que todo movimentoseja produtivo, isto é, só de corte. A eliminação do movimentode levantar a ferramenta para mudança de molde. também éuma economia de tempo de corte.

Esta questão consiste em achar a mínima trajetória entre osmoldes, como também as trajetórias que passa por todas asarestas sem repeti-Ias. Este problema, a primeira vista, ésemelhante aos problemas de teoria dos grafos (Gibbons,85).

Um dos primeiros problemas da teoria dos grafos e que deuorigem a este ramo da matemática foi o problema das pontes deKrõnigsberg, um vilarejo formado por duas ilhas em um riotendo 7 pontes ligando as ilhas entre si e as margens, como nafigo4 abaixo:

Observa-se aqui a necessidade de levantar a ferramenta namudança de molde. A linha unindo dois moldes é a trajetóriade posicionamento que não é produtiva.

Como pode-se observar esta heurística pode ser melhorada,pois a mesma não garante um caminho otimizado. Pela figo3 aseguir, este fato pode ser visto.

Figura 3- Trajetórias de posicionamentoExiste outra trajetória de menor comprimento (2) unindo osmoldes, como pode ser visto na fig.3: A otimização global datrajetória, não depende da escolha da melhor trajetória entremoldes, dois a dois, pois a escolha do próximo ponto dependeda escolha do ponto anterior. Este problema é semelhante aoproblema do "caixeiro viajante", o qual deve percorrer umconjunto de cidades ligadas por .estradas, passando uma únicavez em cada e retomando a cidade de origem percorrendo omenor caminho possível (Lins&Kemighan,73). Estasemelhança já tem sido notada em outros problemas de geraçãode trajetória, em (Suk&Yang,96) a geração de trajetórias deusinagem de cavidades é resolvida pela analogia com oproblema do "caixeiro viajante" e pelo emprego de redes

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Figura 4-As ilhas e pontes e o grafo correspondente

O problema consistia em percorrer o vilarejo passando portodas as pontes uma única vez e voltar a margem de origem.Euler, estudando o problema, gerou o grafo figura 4, onde osnós correspondem as ilhas (ih Íz) e as margensúnj, mc),e aslinhas correspondem as pontes. Por este grafo ele mostrou queera impossível percorrer todas as pontes passando uma únicavez por cada. Desta forma surgiu -a teoria dos grafos , que sãodivididos quanto ao problema de percurso em Eulerianos eHamiItonianos (Boaventura,79). Os Eulerianos, a exemplo doproblema anunciado acima, consistem em achar um percursoque percorra todas as arestas só uma única vez. E osHamiltonianos que se caracterizam pela premissa de passarpor todos os nós ou vértices. Um problema hamiltonianoclássico é o do "caixeiro viajante", já comentado(Lins&Kernighan,73) . Para achar circuitos Eulerianos aplica-se o teorema de Euler, que dita só haver tais circuitos emgrafos de vértices de grau par, ou seja , vértices com umnúmero par de arestas saindo dele.

Abrindo mão da premissa de fechar cada moldes antes departir para outro, não temos só um problema Hamiltoniano que

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pode ser resolvido por analogia, mas uma combinação deambos. Um problema Euleriano no que diz respeito a percorrertodas arestas uma única vez e um problema Hamiltoniano nageração de caminhos entre os moldes. Uma estratégia analisadafoi a colocação de "pontes" entre os moldes, que são asmenores arestas ligando dois moldes, as quais podem serpercorridas na ida e na volta. Sendo assim, podemos obter umpercurso Euleriano passando por todos os moldes, servindo-sedas pontes para mudai' de moldes. Podemos ilustrar estaestratégia pela fig.5.

Figura 5·Trajetória de corte usando 'pontes'

A colocação de uma aresta ligando dois moldes, cria vérticesde grau ímpar o que implica no mesmo ter de ser percorridoduas vezes para se ter um percurso Euleriano por todos osmoldes. Por isso foram chamadas de pontes, pois sãopercorridas nos dois sentidos e s6 servem de ligação entremoldes. A heurística adotada pode ser vista na fig.6:

Determina moldes adjacentes

Gera-se as trajetórias

Figura 6·Hcuristica usando pontes

No bloco 'determina moldes adjacentes' é feito a determinaçãodos moldes mais próximos uns dos outros, em seguida no bloco"cria-se as pontes' determina-se, dois a dois, os vértices maispr6ximos entre dois moldes para gerar as pontes. Feito isso,partindo do molde mais pr6ximo da origem traça-se a trajet óriapercorrendo os moldes no sentido horário até achar uma ponte,adiciona-se à ponte a trajetória que está sendo gerada e passa-se ao molde adjacente ligado pela mesma. Percorre-se estemolde até encontrar outra ponte, quando, novamente, ocorre amudança de molde. Este procedimento se repete até que seatinja uma ponte já percorrida, onde começa o retorno aorigem. .

Na figo 7, observa-se duas trajetórias de posicionamento sobreummesmo arranjo, a fig.7a usa a técnica do "caixeiro viajante"(Geiger &KóIlera,98) e fecha cada molde antes de partir para opr óximo, a figo 7b usa o conceito das pontes para gerar umatrajetória com mínimo percurso de posicionamento,

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a) b)Figura 7- Dois percursos, um usando a estratégia do

caixeiro viajante e outro usando 'pontes'

Analisando a figo 7, conclui-se que se nenhum fatortecnológico exigir a premissa de fechar cada molde, aestratégia de .usar pontes reduz ao máximo as trajetórias deposicionamento. Contudo, no corte de materiais flexíveis comoo tecido, o problema de gerar a 'ponte' não vai existir pois anecessidade de máximo encaixe, faz com que os moldes setoquem. Como a limitação para o máximo encaixe é asobreposição das figuras; sempre haverá no mínimo um pontode contato entre os moldes.

Existindo s6 um ponto de contato entre os moldes fig.8,teríamos um grafo euleriano pois só teríamos vértices de graupar. Com isso não seria difícil obter um algoritmo que gerasseum caminho partindo da origem percorresse todo o arranjo evoltasse a .origem, sem repetir arestas. Contudo nem sempreisso ocorre, havendo contatos de arestas( fig.9).

Figura 8· Encaixe com contatos por ponto

Figura 9· Encaixe com contatos por arestas

Corno se pode observar, a necessidade de máximo encaixecomplica o procedimento de achar um caminho através detodas as arestas, sem repetir nenhuma e voltar a origem. Nestecaso algumas arestas deverão ser repetidas. O problema agora éachar o caminho que repita o mínimo de vezes cada aresta deforma que o percurso total seja mínimo. Este problema éanálogo ao problema do "carteiro chinês", proposto em (Mei-Ko,62), no qual uni carteiro tem de percorrer todas 'as ruas dacidade, repetindo o mínimo possível de ruas de forma que opercurso total seja mínimo. A solução fechada para esteproblema foi demonstrada em (Edmonds,73). O algoritmoproposto reduz o problema xío 'carteiro chinês' em umproblema de 'matching', o qual vai determinar quais arestasdevem ser repetidas, gerando um novo grafo que é euleriano.Quando ocorre contatos entre arestas cria-se um conjunto devértices de grau ímpar, que pelo teorema de euler vai necessitarser repetido para que o grafo seja todo percorrido, pois a

o problema da otimização de trajetórias 2D, apesar de ter sidoresolvido por várias heurísticas, não apresentava uma .soluçãomatematicamente fechada O presente trabalho veio mostrarque esta solução reside em uma analogia com um problemaestudado em outro campo do conhecimento. Isto vem ressaltara necessidade de um conhecimento geral.

Boaventura Netto, P. O ; Teoria e Modelos de Grafos, SãoPaulo, E. Blücher 1979

A grande vantagem de resolver este problema pela analogiacom o problema do "carteiro chinês" não está só na redução dotempo de corte, mas na vantagem de poder efetuar o corte detodos os moldes sem ter que levantar a ferramenta. A vantagemde não necessitar perder o contato com o material a ser cortadoé grande, pois permite a utilização de novas configurações deporta-ferramenta e ferramenta de corte que reduzem os custosda máquina e abrem novos campos de utilização. Pode-sepensar . no corte de grandes pilhas de tecido com laminasaltemantes, o que não seria possível de cortar levantando aferramenta para mudar de molde a ser cortado. Pois serianecessário furar a pilha para traspassar a lamina que tem fio decorte lateral

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

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Edmonds, J ; Matching, Euler tours and the Chinese postman,matbernatical programming 5 (1973) 88-124. North-HolIand Publishing Company

Gibbons, Alan ; Algoritlzmic Graph Teory, 1 ed , CambridgeUniversity Press 1985 .

Lins, S e Kernighan, B. W; An Efetive Heuristic Algoritlzmforthe Traveling Salesman Problem, operations research,vo121, No 2, Abril 1973

Mei-Ko, K, Graphic Programming Using Odd OI' Even Point ,Chinese Mathematics 1 (1962) 273-277

Suk-Hwan Sub & Yang-Soo Shin ; Neural Network Modelingfor Tool Path Planning of the Rougth Cut in ComplexPocket Milling, Joumal of manufacturing Systems Vol15 No5 1996

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repetência das arestas torna os vértices de grau par, condição 4. Conclusãoexcêncial . A questão é quais arestas devem ser repetidas deformas que se tenha o menor caminho.

o problema de 'matching' consiste em agrupar dois a dois osvértices de um grafo, de forma que os pares não contenhamvértices repetidos. Como será mostrado, a solução do problemade gerar um caminho pelo grafo que seja o menor possível, seresume o de agrupar os vértices de grau ímpar dois a dois. Nafigo 10 tem-se um encaixe de seis moldes , resultando nasobreposição de sete aresta e aparecimento de seis vértices degrau fmpar(vl,v2,v3..v6). Para haver um caminho eulerianotem-se que ter só vértices grau par, para tanto termos queacrescentar uma arestas em cada vértice de grau ímpar.Portanto as arestas devem começar em um vértice de grauímpar e terminar em outro de grau ímpar, o que eqilivale aagrupar os vértices de grau ímpar dois a dois(fig . 11).Determinando assim as menores arestas unindo dois vérticesímpar, estamos determinando os caminhos que devem serrepetidos que minimizam o percurso.

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Figura 10- Determinação dos vértices ímpar

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Figura 11- Agrupamento dos vértices ímpar

Feito isso basta acrescentar ao grafo estas arestas e iniciar umalgoritmo de buscar por um canú,nho euleriano no grafo.

. . v6 p4

Figura 12- Geração de um caminho euIeriano

Para grafo da figura 12, temos o seguinte caminho encontrado:pl-v1-v2-p2-v3-p3- v4-v5-p4-vô-pã-põ-v3-p6-v2-vl-p5-v5-v4-p6-p5-v6-pl.

Como se pode observar, satisfeita as condições do teorema deEuler, existirá um ou mais caminhos eulerianos, com o mesmocomprimento. Basta encontrar um destes .

Vidal Filho, W B. & Segenreich, S A. ..Automação do Cortede Materiais Flexíveis na lndustria do Vestuário, VCongresso de Engenharia Mecân ica Nor te-Nordeste,Fortaleza 1998

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