Geração de Tráfego Auto-Similar e Estimação do Parâmetro de Hurst

através do método R/S

Thiago Souto Maior

Roteiro

Geração de tráfego Relação Paretto/Hurst Quantidade de fontes Teste R/S Relação R/S com Hurst Ferramentas Referências

Geração de Tráfego

Utilizado o modelo On-Off Baseado em tempo de transmissão e tempo

de espera Normalmente possui um tamanho fixo de

pacote Esses tempos são regidos por uma

distribuição de cauda pesada– Paretto, Weibull, Lognormal...

Geração de Tráfego a partir da Paretto

Relação entre o parâmetro α (shape) da Paretto e o parâmetro de Hurst, para geração de tráfego através do modelo On-Off

2

3 H

Precisão do parâmetro gerado

Parâmetro de Hurst gerado a partir do modelo On-Off com a Paretto tem uma variação relativa à quantidade de fontes On-Off

Quanto mais fontes menor a variabilidade 50 a 100 fontes

– Esforço computacional maior– Variabilidade estaciona em valores pequenos

20 fontes já alcançam valores com variabilidade baixa

Extração do Parâmetro de Hurst através de dados de Vazão

Utilização de Testes estatísticos– R/S– V/S– Var[R/S]

Quanto maior a massa de dados, melhor o resultado

Quanto menor o intervalo de captura, mais preciso o resultado

Teste R/S

Sejam h(1), h(2), h(3), …, h(n) dados de uma determinada série temporal

Calcula-se a média desses dados

Calcula-se os desvios da média

– Note que o conjunto “x” tem média zero

n

i

ihn

M )(1

niMihix 1,)()(

Teste R/S

Calcula-se as somas dos desvios

Considera-se o maior e o menor valor do conjunto Y R(n) = max(Y(1..n)) – min(Y(1..n))

– Range

MijhiYi

j

)()(

i

j

jxiY )()(

Teste R/S

O valor do teste é calculado dividindo R(n) pelo desvio padrão (R(n)/s(n))– O resultado é chamado “Rescaled range”

Relação do R/S com Hurst

Temos que numa série de variáveis randômicas com desvio padrão finito e sem dependências, a estatística R/S cresce proporcionalmente a n½

– E[R/s] = cn½, sendo “c” uma constante

Sendo assim:– log(E[R/s]) = log(c) + (1/2) log(n)

Se plotarmos log(E[R/s]) x log(n), teremos aproximadamente uma linha reta com inclinação de 0.5

Relação do R/S com Hurst

O que Hurst achou foi– Quando os dados possuem dependência, a

inclinação da reta é sempre maior que 0.5 e obedecem à expressão

– E[R/s] = cnH, sendo “c” uma constante e “H” o parâmetro de Hurst

log(E[R/s]) = log(c) + H log(n)– Plotando num gráfico log(E[R/s]) x log(n), H seria

a inclinação da reta correspondente ao gráfico

Relação de R/S com Hurst

O gráfico deve ser feito em diversas escalas de “n” para provar a dependência em várias escalas

O gráfico terá uma aparência de pontos esparsos (scattered plot)

A reta construída para extrair o parâmetro de Hurst pode ser computada a partir de uma regressão linear com os pontos do gráfico

Ferramentas

R– Para calcular regressão linear – Comando lm(x ~ y)– Pode ser implementado o teste R/S

Código em C– http://www.csee.usf.edu/~christen/tools/rs.c

Referências

Accurate and Fast Replication on the Generation of Fractal Network Traffic Using Alternative Probability Models, Stenio Fernandes, Carlos Kamienski & Djamel Sadok

Hurst, http://gummy-stuff.org/hurst.htm