geoplana

7/22/2019 Geoplana

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Autor - Lucas Octavio de Souza

(Jeca)

Geometria plana.Resumo terico e exerccios.

3 Colegial / Curso Extensivo.

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Relao das aulas.

Aula 01 - Conceitos iniciais................................................................Aula 02 - Pontos notveis de um tringulo.........................................Aula 03 - Congruncia de tringulos..................................................Aula 04 - Quadrilteros notveis........................................................Aula 05 - Polgonos convexos............................................................Aula 06 - ngulos na circunferncia...................................................Aula 07 - Segmentos proporcionais...................................................Aula 08 - Semelhana de tringulos...................................................Aula 09 - Relaes mtricas no tringulo retngulo...........................Aula 10 - Relaes mtricas num tringulo qualquer.......................Aula 11 - Circunferncia e crculo.....................................................

Aula 12 - Inscrio e circunscrio de polgonos regulares.............Aula 13 - reas das figuras planas...................................................

Jeca 01

021828384862748498

112126

136146

Pgina

Consideraes gerais.

Este estudo de Geometriade Plana tem como objetivo complementar o curso quedesenvolvo com os alunos de 3 Colegial e de curso pr-vestibular. No tem apretenso de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita.

Autorizo o uso pelos cursinhos comunitrios que se interessarem pelo material,desde que mantenham a minha autoria e no tenham lucro financeiro com omaterial. Peo, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicaome dar a sensao de estar contribuindo para ajudar algum.

Peo a todos, que perdoem eventuais erros de digitao ou de resoluo e que me

comuniquem sobre esses erros, para que possa corrig-los e melhorar este trabalho.

Meu e-mail - [email protected]

Um abrao.

Jeca (Lucas Octavio de Souza)

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I)Reta, semirreta e segmento de reta.

A B

A B

A B

A B

reta AB

semirreta BA

segmento AB

semirreta AB

Definies.a) Segmentos congruentes. Dois segmentos so congruentes se tm a mesma medida.

b) Ponto mdio de um segmento. Um ponto P ponto mdio do segmento AB se pertence aosegmento e divide AB em dois segmentos congruentes.

c) Mediatriz de um segmento. a reta perpendicular ao segmento no seu ponto mdio

II) ngulo.A

O

B

a

OA - ladoOB - ladoO - vrtice

ngulo AOB ou ngulo a

Definies.

a) ngulo a regio plana limitada por duas semirretas demesma origem.

b) ngulos congruentes. Dois ngulos so ditos congruentes se tm a mesmamedida.

c) Bissetriz de um ngulo. a semirreta de origem no vrtice do ngulo que divideesse ngulo em dois ngulos congruentes.

IIa) Unidades de medida de ngulo.

a) Grau. A medida de uma volta completa 360.

1 = 60' 1' = 60"

b) Radiano. A medida de uma volta completa 2pradianos.

Um radiano a medida do ngulo central de uma cir-cunferncia cujo comprimento do arco correspondente igual ao comprimento do raio da circunferncia.

- grau' - minuto" - segundo

IIb) Classificao dos ngulos.

= 0 - ngulo nulo. 0 < < 90 - ngulo agudo. = 90 - ngulo reto.90 < < 180 - ngulo obtuso. = 180 - ngulo raso.

aaaa

a

Definies.a) ngulos complementares. o par de ngulos cuja soma das medidas 90.

b) ngulos suplementares. o par de ngulos cuja soma das medidas 180.

IIc) ngulos formados por duas retas paralelascortadas por uma reta transversal.

r

s

t

r // s

a

b c

d

e

f g

h

a) ngulos correspondentes (mesma posio). exemplo - b e f.Propriedade - so congruentes.

b) ngulos colaterais (mesmo lado). exemplo de colaterais internos - h e c. exemplo de colaterais externos - d e g.Propriedade - so suplementares (soma = 180)

c) ngulos alternos (lados alternados). exemplo de alternos internos - b e h. exemplo de alternos externos - a e g.Propriedade - so congruentes.

Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca

(Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)

Geometria planaAula 01

Conceitos iniciais de Geometria Plana.

Jeca 02

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1) Em todo tringulo, a soma dasmedidas dos 3 ngulos internos 180.

2) Em todo tringulo, a medida deum ngulo externo igual somadas medidas dos 2 ngulosinternos no adjacentes.

3) Em todo tringulo, a soma dasmedidas dos 3 ngulos externos 360.

4) Em todo tringulo issceles,os ngulos da base so congru-entes. Observao - A base de umtringulo issceles o seu ladodiferente.

a

b

ga+ b+g= 180

e

e1e2

e3

i

lado

vrtice

i - ngulo internoe - ngulo externo

Num mesmovrtice, tem-se

i + e = 180

III) Tringulos.

Propriedades dos tringulos.

Classificao dos tringulos.

a) quanto aos lados: - tringulo equiltero. - tringulo issceles. - tringulo escaleno.

b) quanto aos ngulos: - tringulo retngulo. - tringulo obtusngulo. - tringulo acutngulo.

ngulo externo.

O ngulo externode qualquer polgonoconvexo o nguloformado entre um

lado e o

prolongamento dooutro lado.

a

b

e e = a+ b

e + e + e = 3601 2 3a a

Exerccios.

01) Efetue as operaes com graus abaixo solicitadas.

a) 48 27' 39" + 127 51' 42" c) 90 - 61 14' 44" e) 4 x (68 23' 54")

b) 106 18' 25" + 17 46' 39" d) 136 14' - 89 26' 12" f) 3 x (71 23' 52")

Jeca 03

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

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g) 125 39' 46"4

118 14' 52"3

h)

i) 125 12' 52"5

9013

j)

02) Determine o ngulo que o dobro do seu comple-mento.

03) Determine o ngulo que excede o seu suplementoem 54

04) Determine o ngulo cuja diferena entre o seusuplemento e o triplo do seu complemento igual a54.

05) Dois ngulos so suplementares. O menor ocomplemento da quarta parte do maior. Determine asmedidas desses ngulos.

06) As medidas de dois ngulos somam 124. Deter-mine esses ngulos sabendo que o suplemento domaior igual ao complemento do menor.

07) Determine um ngulo sabendo que o suplementoda sua quinta parte igual ao triplo do seu comple-mento.

Jeca 04

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

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6/163

08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ngulo x.

a) b)

c) d) (Tente fazer de outra maneira)

e) f)

g) h)

i) j)

k) AC = BC l)

r

s

r // s

41

x

116

x

39

53

x r

s

r // s

39

53

x r

s

r // s

55

38

40

x

r

s

r // s

r

s

35

47

62

x

r

s

r // s

28

54

88

x 21 126

x

A

B

C

AB = AC

73

x

112 143

x

A B

C

46

x

x

158

67

38

Jeca 05

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

7/22/2019 Geoplana

7/163

11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.

30

x

yz

t

13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em funo dem.

x

4m

3m

m

12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma dasmedidas dos ngulos x, y, z, t e u.

xy

z

t

u

x y

10) Na figura abaixo, esto representados um tringuloequiltero e um retngulo. Sendo x e y as medidasdos ngulos assinalados, determine a soma x + y.

x

y

09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepos-tos. Qual o valor de x + y, em graus ?

A B

C

DE

F

a) 120b) 150c) 180d) 210e) 240

14) (IBMEC-SP) Sejam a, b,g, le q as medidas emgraus dos ngulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE dafigura, respectivamente. A soma a+ b+g+ l+ q igual a:

15) (ITA-SP) Em um tringulo de papel ABC fazemosuma dobra PT de modo que o vrtice C coincida como vrtice A, e uma dobra PQ de modo que o vrtice Bcoincida com o ponto R de AP. Sabemos que o trin-gulo AQR formado issceles com ARQ = 100; cal-cule as medidas dos ngulos internos do tringuloABC. A

B CP

TQ

R

25

16) Determine x, sabendo-se que ABCD um retngu-lo e que F e E so pontos mdios dos lados AB eAD, respectivamente.

A

BC

D E

Fx

Jeca 06

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.

r

s

r //s

43

x

a) b)

r

s

r // s

57

x

d)c)rr

ss

r // sr // s

4545

6262

xx

(Resolver de forma diferente da letra c))

(Resolver de forma diferente da letra g))

rr

ss

r // sr // s

140140

6565

xx

150150

h)g)

e)

r

s

r // s

147

82

x

x

126

80

r

s

r // s

f)

r

s

r // s

i)

42

5x-12

r

s

r // s

j)

48

40

x

43

k)

x

55

l)

r

sr // s

135 x

85



Geometria planaConceitos iniciais de Geometria Plana.Exerccios complementares da aula 01.

Jeca 07

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

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m)

43

x

r

s

t

u

r // st // u

r // st // u

n)

58

xr

s

t u

o)

62

79 x

p)

52

67x

q)

52

81

x15x18x

21x

r)

s)A

B C

38

x

AB = AC AB = AC

(Tringulo issceles) (Tringulo issceles)A

B C

138

x

t)

A

B C

AB = AC

152

x

u) v)

62 98 x

x)

A

B

C

D

AB = BC = CD

98

x

z)

A B C

D

E

AB = BD = DE

xy

y

y

y

Jeca 08

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

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02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.

a)

37

31

116x

b)

x

73

148

24

d)

f)

h)

j)

l)

c)

x 3

4

38

101

biss

etriz

x

128

36

42x

A

B

C

D

AD e BD so bissetrizes.

72

40

xD

e) D o ponto de encontro das 3 bissetrizes.

g)

r

s

r // s

68

5y3y

x 60

x+30

2x

i)

6x

9x

12x

43

62

60

x

k)

x

A B

CD

ABCD um quadrado.

30

118

x

Jeca 09

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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m) n)

o) p)

q) r)

s) t)

u) v)

x) z)

A

B C D

AC = CD

38x

A

C

B

D

E

AB = BC = CD = DE e AD = AE

x

A

B

C

D

E

F

x

AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF

A

B

C

D

E

F

44x

AB = AC , BD = BE e CE = CF.

A

B CD E

FG

x

ABC um tringulo equilteroe DEFG um quadrado.

A B

C

DEx

BCD um tringulo equilteroe ABDE um quadrado.

A B

CD

Ex

CDE um tringulo equilteroe ABCD um quadrado.

x

A

B

C

D

EF

G

BFE um tringulo equiltero, ABFG e BCDE soquadrados.

A B C

DEF

x

ACE e BDF so tringulosequilteros.

A

B CE F

x

65

70

D

AB = AC e DE = DF.

A

B

CD

x

AB = AD = BD = DC e AC = BC.

A

B CDE

x 38

AB = ACAD bissetriz de BCAE bissetriz de BD.

Jeca 10

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

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12/163

03) Na figura abaixo, determine x, y e z.

37

x

y

z

04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.

x

4x

z

2y

05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.

t z

2xy4x

40

06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do nguloCBE, determinar x + y.

A B C

DE

x

y

4x

57x

07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.

A

B

C

D

E

FO

x 28

08) Na figura abaixo, determinar o valor do ngulo x,sabendo-se que OD bissetriz de AOE, OC bissetrizde AOD e OB bissetriz de AOC.

09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y ez.

2x y

z + 26

2z - 84

10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que osmesmos formam uma progresso aritmtica de razo10.

x

yz

Jeca 11

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

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13/163

140

120

xt

st // s

11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x.

A B

CD

E

F

x

y z

t

u

v

A

B C Dx

B C D E

x

2x

13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine ovalor de x.

12) Na figura abaixo, determinar o valor da somax + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF um tringuloinscrito no quadrado ABCD.

14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC a bissetrizdo ngulo BAD. Determine o valor de x.

15) Na figura abaixo, determine a medida do ngulo xem funo de y.

xy 2y

5y

16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine yem funo de x.

A B C

Dy

x

18) Um dos ngulos internos de um tringulo isscelesmede 100. Determinar a medida do ngulo agudoformado pelas bissetrizes dos outros dois ngulosinternos.

17) Na figura abaixo mostre que vale a relao :a + b = c + d. r

s

r // s

a

b

c

d

19) Mostre que a soma das medidas dos ngulosexternos de um tringulo 360.

e1

e2

e3

20) Na figura abaixo, determinar x em funo de y e dez.

x

y

z

r

s

r // s

A

Jeca 12

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

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22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma dasmedidas dos ngulos x, y, z, t e u.

x

y

z

t

u

23) Na figura abaixo, calcule o ngulo x, sendo y o triplode z e t o sxtuplo de z.

80

x

y

z

t

A

B D C

25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ngulo ,demonstre que vale a relao z - y = x - t.

x y z t

A B

C

DE

x

y

z

27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar asoma das medidas dos ngulos x, y e z.

A

B C D

Ex

28) Determinar a medida do ngulo x, sabendo-se queos tringulos ABE e CDE so issceles e que otringulo BCE equiltero.

Jeca 13

40

x

y

24) (FUVEST-SP) No retngulo abaixo, qual o valorem graus de x + y ?

x

y

r

s A B

CD

21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD cortado porduas retas paralelas, r e s. Com relao aos ngulosx e y podemos afirmar que :a) x = yb) x = -yc) x + y = 90d) x - y = 90e) x + y = 180

A

B

C

D

E F

26) Na figura abaixo, o ngulo EAB mede 38, ABCD um retngulo e AB congruente a AE. A medida dongulo CBF :a) 38b) 27c) 18d) 19e) 71

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

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29) Na figura abaixo, determine a soma das medidasdos ngulos x, y, z, t, u e v.

x

y

z

t

u

v

30) Na figura abaixo, determine a soma das medidasdos ngulos x, y, z e t.

r

s

r // s

x

y

z

t

31) Na figura abaixo, determine a soma das medidasdos ngulos x, y, z e t.

32) Um retngulo de papel dobrado de forma que ovrtice D pertena ao lado BC, conforme a figura.Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ngulo x,conhecendo a medida de 140 do ngulo assinalado.

140

x

A B

CD

E

F

A

Dx

y

z

t

33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC

interceptam-se em P. Mostre que o ngulo MPB igual a

34) Na figura abaixo, os ngulos ABC, ACB e CABmedem respectivamente 30, 80 e 30. Sendo AD umadobra de tal forma que o lado AB simtrico do lado ABem relao a AD, determine a medida do ngulo ADB.

35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AEcongruente a AD, calcule a medida do ngulo CDE,sabendo-se que BAD = 48.

A

B CD

E

A

B C

M

N

P x y

x - y

2 A

B CD

B

.

Jeca 14

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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16/163

Jeca 15

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17/163

Importante para mim. Se voc, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande umamensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.

Jeca

Respostas dos exerccios da Aula 01

01)a) 176 19' 21" b) 124 05' 04"c) 28 45' 16" d) 46 47' 48"e) 273 35' 36" f) 214 11' 36"g) 31 24' 56" h) 39 24' 57"

i) 25 02' 34" j) 06 55' 23"02) 60

03) 117

04) 72

05) 60 e 120

06) 17 e 107

07) 225 / 7

08)a) 41 b) 64 c) 14 d) 14 e) 47f) 36 g) 62 h) 33 i ) 75 j) 34k) 113 l) 53

09) 270

10) 240

11) 210

12) 180

13) 2m

14) c

15) 70, 80 e 30

16) 25

Proibida a reproduo deste material sem a autorizao expressa do autor

Jeca 16

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Respostas dos exerccios complementares da Aula 01

01)a) 43 b) 123 c) 107 d) 107 e) 49f) 46 g) 55 h) 55 i) 30 j) 49k) 55 l) 130 m) 43 n) 122 o) 39p) 119 q) 133 r) 10/3 s) 71 t) 96

u) 104 v) 46 x) 123 z) 108

02)a) 48 b) 51 c) 29 d) 112 e) 18f) 111 g) 42 h) 70 i) 40/3 j) 45k) 90 l) 43 m) 14 n) 180/7 o) 20p) 68 q) 30 r) 10/3 s) 75 t) 60u) 120 v) 60 x) 150 z) 116

03) 143, 37 e 143

04) 36, 18 e 144

05) 20, 60, 80 e 60

06) 100

07) 33

08) 19

09) 22, 44 e 110

10) 50, 60 e 70

11) 70

12) 270

13) 10

14) 36

15) x = 8y

16) y = 3x

17) demonstrao

18) 40

19) demonstrao

20) x = y - z

21) c

22) 540

23) 50

24) 130

25) demonstrao

26) d

27) 360

28) 45

29) 360

30) 180

31) 540

32) 65

33) demonstrao

34) 130

35) 24


Jeca


Jeca 17

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mediana

mediatriz

bissetriz

altura

M

ponto mdio

Mediana - o segmento que une o vrtice ao ponto

mdio do lado oposto.

Mediatriz - a reta perpendicular ao lado do tringulopelo seu ponto mdio.

Bissetriz - a semi-reta de origem no vrtice quedivide o ngulo em dois ngulos congruentes.

Altura - a distncia entre o vrtice e a reta suportedo lado oposto.

Todo tringulo tem: 3 medianas 3 bissetrizes 3 mediatrizes 3 alturas

Pontos notveis do tringulo

BICO

- baricentro- incentro- circuncentro- ortocentro

Segmentos notveis do tringulo.

A

B M C

NPG

Baricentro (G). o ponto de encontro das 3medianasdo tringulo.

Propriedade. O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos.O segmento que contm o vrtice o dobro do segmen-to que contm o ponto mdio do lado oposto.(razo 2 : 1)

Observao - As trs medianas dividem o tringulooriginal em seis tringulos de mesma rea.

SS

S

S S

S

S

2x

x

AG = 2.GMBG = 2.GNCG = 2.GP

Incentro (I). o ponto de encontro das 3 bissetrizesdo tringulo.

Propriedade. O incentro o centro da circunferncia inscrita (inter-na) no tringulo. O incentro o ponto do plano eqidistante dos 3lados do tringulo.

I

aa

bb

gg

r

r - raio da circunferncia inscrita.

Circuncentro (C). o ponto de encontro das 3mediatrizesdo tringulo.

Propriedade. O circuncentro o centro da circunferncia circuns-crita (externa) ao tringulo. O circuncentro o ponto do plano eqidistante dos 3vrtices do tringulo.

C

R

mediatriz

ponto mdio

R - raio da circunfernciacircunscrita.

Ortocentro (O). o ponto de encontro das 3 alturasdo tringulo.

Propriedade. No tem.

hA

hB

hC

BC

A

O

ortocentro

A

A

B

B

C

C

hA

hB

hCO

hA

hB

hCO

rea de cada tringulo




Pontos notveis de um tringulo.

Jeca 18

7/22/2019 Geoplana

20/163

Observaes.

1) O baricentro e o incentro sempreesto localizados no interior dotringulo.

2) O circuncentro e o ortocentropodem estar localizados no exterior

do tringulo.

3) Num tringulo issceles, os quatroponto notveis (BICO: baricentro, in-centro, circuncentro e ortocentro) es-to alinhados.

4) No tringulo retngulo, o ortocen-tro o vrtice do ngulo reto e o cir-cuncentro o ponto mdio da hipo-tenusa.

I

O

G

C

medianamediatrizbissetrizaltura

mediatriz

mediana

bissetriz

altura

R C R

hipotenusa

ortocentrocircuncentro

R

r

hl l

l

Tringulo eqiltero.(importante)

Em todo tringulo eqiltero, os

quatro pontos notveis (baricentro,incentro, circuncentro e ortocentro)esto localizados num nico ponto.

- lado do tringulo eqiltero.- raio da circunferncia inscrita.- raio da circunferncia circunscrita.- altura do tringulo.

rRh

l

BICO

R = 2re

h = 3rr

r

r

01) Sabendo-se que o lado de um tringulo equiltero 10 cm, determinar :a) a altura do tringulo.b) o raio da circunferncia inscrita no tringulo.c) o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo.d) o que o ponto O do tringulo.

R

r

hl l

l

O

A

B C

O

02) Na figura abaixo, a circunferncia de centro O estinscrita no tringulo ABC. Sabendo que o ngulo BAOmede 33 e que o ngulo ABC mede 56, determine amedida do ngulo AOC.

A

B C

O

03) Na figura abaixo, a circunferncia de centro O estinscrita no tringulo ABC. Sabendo que o ngulo BOCmede 126 , encontre a medida do ngulo BAC.

Jeca 19

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

7/22/2019 Geoplana

21/163

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22/163

A B

C

D

E

08) Na figura abaixo, E o ortocentro do tringuloequiltero ABC. Sabendo que CD = k, determine, emfuno de k, as medidas dos segmentos CE, ED e

AE.

Peroba

Jatob

Sibipiruna

09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e omapa da localizao faz meno a trs grandes rvoresdo local. O tesouro foi enterrado no terceiro vrtice deum tringulo, onde o jatob o primeiro, a sibipiruna osegundo e a peroba o ortocentro do tringulo. Como possvel localizar o tesouro no local ?

A

B CD E

G

F

210) O tringulo ABC da figura tem rea 120 cm .Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se asafirmaes abaixo so verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) G o baricentro do tringulo ABC.2( ) A rea do tringulo AEC 40 cm .

2( ) A rea do tringulo BFG 40 cm .

A

B CD

EFG

11) No tringulo ABC abaixo, F, D e E so os pontosmdios dos respectivos lados. Sendo 30 a medida dongulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:a) a rea do tringulo ABC;b) a rea do tringulo AFG;c) a rea do quadriltero BCAG.

12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivascasas, sendo que as casa no so colineares e estolocalizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir umpoo de modo que ele fique mesma distncia dastrs casas. Supondo que a fazenda plana, comseus conhecimentos de geometria, que sugestopoderia dar a eles ? Justifique o seu raciocnio.

13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, napraa central, uma esttua em homenagem a Tiraden-tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essaesttua deve ser colocada, sabendo que ela deverficar a uma mesma distncia das trs ruas quedeterminam a praa.

Rua2

Rua1

Rua3

Jeca 21

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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02) Sabendo-se que o raio da circunferncia circunscrita de um tringuloeqiltero mede 5 cm, determinar :a) o raio da circunferncia inscrita no tringulo;b) a altura do tringulo;c) o lado do tringulo;d) o permetro do tringulo;e) o que o ponto O do tringulo.

R

r

hl l

l

O



Geometria planaPontos notveis de um tringulo.

Exerccios complementares da aula 02.

01) Sabendo-se que o lado de um tringulo equiltero k, determinar :a) a altura do tringulo;

b) o raio da circunferncia inscrita no tringulo;c) o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo;d) o que o ponto O do tringulo.

R

r

hO

k

kk

A

BC

D

E

FG

R

SP

Q

03) Na figura, AG e AF, dividem o ngulo BAC em trsngulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, divi-dem o ngulo ACB em trs ngulos congruentes.Assinale a alternativa correta.

a) P incentro de algum tringulo construdo na figura.b) Q incentro de algum tringulo construdo na figura.

c) R incentro de algum tringulo construdo na figura.d) S incentro de algum tringulo construdo na figura.e) Nenhuma das alternativas anteriores verdadeira.

T1

T2

O

R

04) (Unifesp) Numa circunferncia de raio R > 0 ecentro O consideram-se, como na figura, os tringulosequilteros T , inscrito, e T , circunscrito. Determine1 2a razo entre a altura de T e a altura de T .2 1

Jeca 22

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P so mdiosdos lados a que pertencem. Provar que G o baricentrodo tringulo ABC e que BG = 2.GN.

A

B C

M N

P

G

A

B C

D EI

A

B C

DE

M

07) No tringulo ABC da figura, BC = 10 cm e M oponto mdio de BC. Sabendo que D e E so os psdas alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM.

RESOLUO - Todo tringulo retngulo pode ser inscrito emuma semi-circunferncia.

AB

C

D

08) Na figura, o tringulo ABC retngulo em C, ossegmentos AD e DB so congruentes e o ngulo CADmede 65. Determine a medida do ngulo BDC.

A

B C

O

09) No tringulo ABC abaixo, ABC = 70 e ACB = 40.

Determine a medida do ngulo BOC, sabendo-se que oponto O o ortocentro do tringulo ABC.

A

B C

D

E F

40

10) No tringulo ABC abaixo, D ponto mdio do la-

do AC e CE a bissetriz do ngulo ACB. Determinea medida do ngulo BFC.

A

B C

D

11) Na figura abaixo, D o centro da circunfernciainscrita no tringulo retngulo ABC. Determine a me-dida do ngulo ADC.

12) (Fuvest) Um tringulo ABC, tem ngulos A = 40e B = 50. Qual a medida do ngulo formado pelasalturas relativas aos vrtices A e B desse tringulo ?a) 30b) 45c) 60d) 90e) 120

Jeca 23

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

06) Na figura abaixo, o ponto I o centro da circunfe-rncia inscrita no tringulo ABC. Sendo DE paralelo aBC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o permetro dotringulo ADE.

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A

B C

E

D

F

13) Considere o tringulo ABC da figura e assinale aafirmativa falsa.

a) F o ortocentro do DABC.

b) A o ortocentro do DFBC.

c) Os circuncentros doDBDC e doDBEC coincidem.d) BF = 2.FE.

e) O DABC acutngulo.

A

B CD

E

14) No tringulo ABC da figura abaixo, as medianasAD e BE so perpendiculares entre si. Sabendo queBC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.

130

120 11

0

D

A

B C

16) Determine as medidas dos ngulos A, B e C, notringulo ABC abaixo, sabendo que D o incentro dotringulo.

A

B

C

15) Na figura abaixo, o crculo inscrito no tringuloABC tem rea S e os ngulos A e B medem 50 e70, respectivamente. Determine as reas dos setorescirculares S , S e S , em funo de S.1 2 3

S1

S2

S3

17) Determine as medidas dos ngulos A, B e C, no

tringulo ABC abaixo, sabendo que D o circuncen-tro do tringulo.

D

A

B C

110

120

130 A

B

C

O

18) Na figura, a circunferncia de centro O est

inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm engulo central BAC = 60. Determine o raio da circun-ferncia.

A

B C

D

19) O tringulo ABC da figura retngulo em A e ostringulos ABD, BCD e ACD so equivalentes (tm amesma rea). Sendo BC = 18 cm, determine a medidado segmento AD.

A

B C

P

20) No tringulo ABC da figura, BAC = 50. Se P foro incentro do tringulo ABC, a medida do ngulo BPC x; no entanto, se P for o ortocentro do tringuloABC, a medida do ngulo BPC y. Determine arazo entre x e y.

A

B C

P

Jeca 24

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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A

B C

DM

P

21) Na figura, ABCD um retngulo, M ponto m-dio de AD e o tringulo BMC equiltero. Determinea medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm.

22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60 eo ngulo DAC o dobro do ngulo DBA. Determine arazo AC / BC.

A

B D C

A

B C

RMN

P

23) No tringulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontosmdios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cme AR = 10 cm, determinar :a) O que so os segmentos AP, BN e CM para otringulo ABC.b) Que ponto notvel do tringulo o ponto R.c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.

A

B C

O

q

b

g

a

24) Na figura ao lado, O o centro da circunfernciainscrita no tringulo ABC que retngulo em B. Sendom(ACB) = 30, determinar as medidas dos ngulos a,b,ge qe dizer o que a semirreta CO significa para ongulo ACB.

B C

D

A

EF

G

25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon-tram-se no ponto D, e os pontos E, F e G so ospontos mdios dos lados do tringulo ABC. Para otringulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o

que a reta FD.

26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de umsegmeno de reta AB a reta r que passa pelo pontomdio do segmento de reta AB e perpendicular aesse segmento. Assinale a alternativa incorreta.

a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distnciade P ao ponto A igual distncia de P ao pontoB.b) A interseco das mediatrizes de dois lados de umtringulo qualquer em a o circuncentro do tringu-lo.c) Qualquer ponto do plano a que no pertena reta r no equidista dos extremos do segmento AB.d) As mediatrizes dos lados de um tringulo podemse interceptar em trs pontos distintos.e) A reta r a nica mediatriz do segmento de retaAB em a.

Jeca 25

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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27/163

Respostas dos exerccios da Aula 02.

01)a) (5 3 ) cmb) (5 3 / 3) cmc) (10 3 / 3) cmd) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro.

02) 118

03) 72

04) Desenho ao lado.

05)a) 1 cmb) 2 cmc) 2 3 cm

06) 2k + w + z

07) 128

08) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 3

09) Desenho ao lado.

10) F , V e F

11)2a) 42 cm

2b) 7 cm2c) 28 cm

12) O poo deve localizar-se no circuncentro dotringulo cujos vrtices so as trs casas.

13) A esttua deve ser colocada no incentro dotringulo formado pelas trs ruas.

A

BC

G CI

O

04)

Peroba

Jatob

Sibipiruna

tesouro

O

09)


Jeca


Jeca 26

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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Respostas dos exerccios complementares da Aula 02.

01)a) k 3 / 2b) k 3 / 6c) k 3 / 3d) BICO

02)a) (5 / 2) cmb) (15 / 2) cmc) 5 3 cmd) 15 3 cme) BICO

03) d

04) 2

05)

06) 19 cm

07) 10 cm

08) 130

09) 110

10) 105

11) 135

12) d

13) d

14) 2 5

15) 25 S / 72, 23 S / 72 e S / 3

16) 80, 40 e 60

A

B C

M N

P

G

S R

S ponto mdio de BGR ponto mdio de CGMNRS um paralelogramoPortando, SG = GN = BSRazo 2 : 1

17) 55, 65 e 60

18) 5 cm

19) 6 cm

20) 23 / 26

21) 4 cm

22) 1 / 2

23)a) medianasb) baricentroc) 14 cm, 12 cm e 5 cm

24) 15, 45, 120, 30 e bissetriz

25) circuncentro e mediatriz

26) d


Jeca


Jeca 27

(GeoJeca)

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29/163

7/22/2019 Geoplana

30/163

r

s

OM P

C A

B

D

04) (importante) Na figura abaixo, AB uma corda da circunferncia de centro C. Provar que se o raio CD perpendicular corda AB, ento M ponto mdio de AB.

A BM

P

mediatriz

M

05) (Importante) Provar que em todo tringulo issceles a altura relativa base tambm bissetriz, mediana emediatriz.

A

B CH

Jeca 29

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto mdio,

provar que qualquer ponto da mediatriz eqidistante das extremidades A e B do segmento.

07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto mdio do segmento OP, determine ospontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M tambm seja ponto mdio dosegmento AB.

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31/163

A

B C

D

E

08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE socongruentes. Sabendo-se que o tringulo BCE issceles de base BC, prove que os segmentos AB eDC so congruentes.

09) (UFMG) Observe a figura:

A

B

P

O

C

R

r

s

q

Nessa figura, os segmentos AB e BC so perpen-diculares, respectivamente, s retas r e s. Almdisso, AP = PB, BR = CR e a medida do ngulo POR q. Determine, em funo de q, a medida do ngulointerno AOC do quadriltero AOCB.

A B

CD

E

F

10) Na figura, ABCD um paralelogramo e ossegmentos AE e CF so congruentes. Prove que ossegmentos DE e FB so congruentes e paralelosentre si.

A B

CD

E

F

G

H

11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH est inscritono quadrado ABCD. Prove que os tringulos AEH,BFE, CGF e GDH so congruentes entre si.

A B

CD

E

F

12) Na figura abaixo, ABCD um retngulo e ossegmentos AE e CF so perpendiculares aosegmento BD. Prove que os segmentos DE e BFso congruentes entre si.

A B

CD

E

13) Provar que se ABCD um paralelogramo e AC eBD so as diagonais, ento o ponto de interseco dasdiagonais o ponto mdio da diagonal AC.

Jeca 30

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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32/163

Teorema do ponto exterior.

Dada uma circunferncia l e um ponto P, Pexterior a l, se A e B so os pontos de tangnciadas retas tangentes a l por P, ento PA = PB.

A

B

Pl

PA = PB

Consequncia do Teorema do ponto exterior.

Em todo quadriltero circunscrito numa circunfern-cia a soma das medidas dos lados opostos constante.

l

AB

CD

AB + CD = AD + BC

14) Prove o Teorema do ponto exterior.A

B

PlA

B C

RS

T

15) Na figura abaixo, a circunferncia est inscrita notringulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Deter-mine a medida do segmento CT.

A

B

Pl

C

D

E

16) Na figura abaixo, A, B e D so pontos de tangn-

cia. Determinar o permetro do tringulo CEP, sabendoque a distncia PB mede 17 cm.

18) Determinar a medida da base mdia de um trap-zio issceles sabendo-se que os lados no paralelosdesse trapzio medem 15 cm cada.

A B

CD

AB

CD

17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo-

se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 eBC = 3x + 1.

19) Determine a medida do raio da circunferncia ins-crita no tringulo retngulo cujos lados medem 8 cm,15 cm e 17 cm.

Jeca 31

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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33/163

A

B

M

C

D

02) Na figura abaixo, M ponto mdio do segmento AC e os ngulos A e C so congruentes. Provar que Mtambm ponto mdio do segmento BD.

03) Na figura abaixo, M ponto mdio do segmento BD e os ngulos A e C so congruentes. Provar que ossegmentos AB e CD so congruentes.

A

B

M

C

D

A

B

M

C

D

A

B

M

C

D



Geometria planaCongruncia de tringulos.


A B

C

DJeca 32

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

05) Na figura abaixo, AB bissetriz do ngulo CAD e os ngulos ACB e ADB so congruentes. Prove que ossegmentos AC e AD so congruentes.

04) Na figura abaixo, M ponto mdio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD so paralelas.

01) Na figura abaixo, M ponto mdio de AC e de BD. Provar que o tringulo ABM congruente ao tringuloCDM.

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34/163

A

B CD E

F

G

06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o tringulo DCG issceles.

A

B CD E

07) Na figura abaixo, ADE um tringulo issceles de base DE. Sabendo-se que BD CE, provar que ABCtambm um tringulo issceles.

09) Na figura abaixo, ABC um tringulo eqiltero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC,respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE so congruentes, provar que o tringulo DEF eqiltero.

A

B C

F

D

E

A

B

C

D

E

08) Na figura abaixo, DAC BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os tringulos ABC e ADE so congruen-tes.

Jeca 33

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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35/163

12) Provar que em todo tringulo, o segmento que une os pontos mdios de dois lados paralelo ao terceiro ladoe vale a metade desse terceiro lado.

A

B C

D E

13) Provar que em todo trapzio, o segmento que une os pontos mdios dos lados no paralelos paralelo sbases e vale a semi-soma dessas bases.

A B

CD

E F

10) Provar que em todo losango as diagonais so perpendiculares entre si e bissetrizes dos ngulos internosdesse losango.

A

B

C

D

M

k k

k k

A B

CD

E

F

G

H

J

K

L

M

11) Na figura, ABCD e EFGH so quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vrtice E dooutro quadrado. Prove que os tringulos EJL e EKM so congruentes.

Jeca 34

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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36/163

Jeca 35

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Observao - Dependendo dos dados, um exercciopode ser provado por mais de um caso decongruncia. Levando em conta essa possibilidadenas respostas aqui registradas, em cada caso, foiconsiderado o caso de congruncia mais evidente.

01) Caso especial (CE)

02) L.A.A .O

03) L.L.L.

04) Caso especial

05) possvel provar por vrios casos.

06) L.A.L.

07) Demonstrao ao lado.

08) L.A.L.

09) Pelo caso L.A.L. prova-se que os tringulosAPO e BPO so congruentes.Pelo mesmo caso, prova-se que os tringulosBRO e CRO tambm so congruentes.

AOP = BOP =a e COR = BOR = bPortanto AOC = 2q

10) L.A.L.

11) A.L.A.

12) L.A.A .O

13) L.A.A .O

14) Caso especial (Una o ponto P ao centro)

15) 8

16) 34 cm

17) S = { x R x > 3 / 4 }

18) 15 cm

19) 3 cm

r

s

O MP

Resoluo

A

B

Seja BP // OA

OM = MP (L) - por hiptese

OMA = PMB (A) - OPV

AOM = BPM (A) - alternos internos

Pelo caso A.L.A., temos

DOAM = DPBM

Portanto AM = MB CQD

07)

A


Jeca


Jeca 36

(GeoJeca)

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Observao - Dependendo dos dados, umexerccio pode ser provado por mais de um caso decongruncia. Levando em conta essa possibilidadenas respostas aqui registradas, em cada caso, foiconsiderado o caso de congruncia mais evidente.

01) LAL

02) ALA

03) LAAO

04) LAL

05) LAAO

06) Caso especial

07) LAL

08) ALA

09) LAL

10) LLL

11) ALA

A

B C

D E

Demonstrao do exerccio n 12.

A

B C

D E F

Seja CF // AB (por construo) >DAE FCE (alternos internos)AE CE (E ponto mdio)AED CEF (opostos pelo vrtice)

Pelo caso ALA, temos: DADE DCFE CF AD

Mas D ponto mdio de AB CF AD DB

Se BD //CF e BD CF BCFD um paralelogramo

DF // BC e DF BCMas DE EF DE e DE // BC (CQD)

>

>

> >

> = BC2

>

>

Demonstrao do exerccio n 13.

A B

CD

E F

A B

D

E

C

F

G

>

A

CD

E F

DG = DC + CG = DC + AB

Pelo teorema demonstrado no exerccio 12, temos:

EF // AB // CD e EF

(CQD)

= AB + CD2

G


Jeca


Jeca 37

AFB CFG (A) (opostos pelo vrtice)BF FC (L) (F ponto mdio de BC)BAF CGF (A) (alternos internos)

Pelo caso LAA , temos: DABF DCGF AF FGO e AB CG

Considerando apenas o tringulo ADG, temos:

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

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39/163

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40/163

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41/163

A

B C

D E

09) No tringulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm eBC = 10 cm. Sendo D e E pontos mdios dos ladosAB e AC, respectivamente, determine a medida do pe-rmetro do trapzio BCED.

A

B C

D

E

F

10) No tringulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cme BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos mdios doslados AB, BC e AC, respectivamente, determinar asmedidas dos segmentos DE, DF e EF.

A

B C

D E

F

11) No tringulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.Sendo D, E e F os pontos mdios dos lados AB, AC eBC, respectivamente, determinar o permetro do qua-driltero BDEF.

A B

CD

E F

12) No trapzio ABCD abaixo, a base menor AB mede8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e Fso os pontos mdios dos lados AD e BC, respectiva-mente. Determine a medida da base mdia EF.

A B

CD

E F

13) No trapzio retngulo ABCD abaixo, a base menorAB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. SendoBC = 10 cm, E e F os pontos mdios dos lados AD e BC,respectivamente, determinar os permetros dos trap-zios ABFE e CDEF.

A B

CD

E F

14) No trapzio ABCD abaixo, a base mdia EF mede

17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine amedida da base menor AB.

A B

CD

E F

G H

15) No trapzio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm.Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine asmedidas da base menor AB e da base maior CD.

A B

CD

EF G

H

16) No trapzio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cme os pontos E e H so pontos mdios dos lados AD eBC, respectivamente. Determinar as medidas dos seg-mentos EH, EF, GH e FG.

Jeca 40

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

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42/163

M

N L

PC

D

E

F

17) Na figura, MNLP um quadriltero, C, D, E e F soos pontos mdios dos lados MN, NL, LP e PM. Deter-mine o permetro do quadriltero CDEF sabendo-seque ML = 14 cm e NP = 8 cm.

18) Determine as medidas dos ngulos internos de umparalelogramo sabendo-se que dois ngulos internosopostos medem 3x - 18 e 2x + 27.

A

B C

D E

F

20) No tringulo ABC abaixo, sendo F o baricentro,AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar opermetro do quadriltero AEFD.

A

B C

DE

F

21) No tringulo ABC abaixo, E e G so os pontosmdios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y,AC = z e GD = k, determinar o permetro do tringuloGEC e dizer o que o ponto D do tringulo ABC.

A

GE

D

BFC

23) (Fuvest) Em um trapzio issceles, a medida da altura igual da base mdia. Determine o ngulo que adiagonal do trapzio forma com uma das bases do trapzio.

A B

CD

22) Demonstre que o ngulo formado pelas bissetri-zes de dois ngulos internos consecutivos de umparalelogramo um ngulo reto.

Jeca 41

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

19) No tringulo ABC abaixo, D e E so os pontosmdios dos respectivos lados. Sendo o permetro dotringulo DEF igual a 23 cm, determinar :a) o que o ponto F para o tringulo ABC.

b) a medida do permetro do tringulo BCF.

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43/163



Geometria planaQuadrilteros notveis.


32

x

y

A B

CD

03) No retngulo ABCD abaixo, AC e BD so asdiagonais. Determine as medidas dos ngulos x e y.

A

B

C

D

q2q

04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se repre-sentado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do ladodesse losango.

A B

CD

E

F

05) Na figura abaixo, ABCD um retngulo e DCE um tringulo equiltero, onde o ponto E pertence aolado AB do retngulo. Sendo DB a diagonal do re-tngulo, F o ponto de interseco entre a diagonal e olado do tringulo e CD = 9 cm, determine a medida dosegmento FC.

06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposi-es.

I. Todo quadrado um losango.II. Todo quadrado um retngulo.III. Todo retngulo um paralelogramo.IV. Todo tringulo equiltero issceles.

Pode-se afirmar que:a) s uma verdadeira.b) todas so verdadeiras.c) s uma falsa.d) duas so verdadeiras e duas so falsas.e) todas so falsas.

Jeca 42

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

A B

CD M

E

6060

02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cme M o ponto mdio do lado CD. Determine o

permetro de ABCD.

01) Dado o losango ABCD abaixo e o ngulo de 138,determine as medidas dos ngulos assinalados.

A

B

C

D

x

y

zt

138

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44/163

07) (PUC-SP) Sendo:A = {x / x quadriltero}B = {x / x quadrado}C = {x / x retngulo}D = {x / x losango}E = {x / x trapzio}F = {x / x paralelogramo}

Ento vale a relao:a) A D Eb) A F D Bc) F D Ad) A F B Ce) B D A E

08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:a) Em todo paralelogramo no retngulo, a diagonaloposta aos ngulos agudos menor do que a outra.b) reto o ngulo formado pelas bissetrizes de doisngulos consecutivos de um paralelogramo.c) As bissetrizes de dois ngulos opostos de um para-lelogramo so paralelas entre si.d) Ligando-se os pontos mdios dos lados de um tri-

ngulo, este fica decomposto em quatro tringuloscongruentes.e) Todas as afirmativas anteriores so incorretas.

E

A

BC

DF

G

H I

09)(UECE) Na figura, o retngulo DGHI, o tringulo e-quiltero DEF e o quadrado ABCI, tm todos, perme-tro igual a 24 cm. Se D o ponto mdio de CI, o per-metro da figura fechada ABCDEFGHIA igual a:

a) 48 mb) 49 mc) 50 md) 51 me) 52 m

10) Determine as medidas dos ngulos internos de umparalelogramo sabendo que a diferena entre asmedidas de dois ngulos internos consecutivos 52.

11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango de-compe esse losango em dois tringulos congruentes.Se cada ngulo obtuso do losango mede 130, quaisso as medidas dos trs ngulos de cada um dos dois

tringulos considerados ?

12) (ITA-SP) Dadas as afirmaes:I. Quaisquer dois ngulos opostos de um quadrilte-ro so suplementares.II. Quaisquer dois ngulos consecutivos de um para-

lelogramo so suplementares.III. Se as diagonais de um paralelogramo so perpen-diculares entre si e se cruzam em seu ponto mdio,ento esse paralelogramo um losango.

a) Todas so verdadeiras.b) Apenas I e II so verdadeiras.c) Apenas II e III so verdadeiras.d) Apenas II verdadeira.e) Apenas III verdadeira.

Jeca 43

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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45/163

13) (UFV-MG) Num trapzio issceles de bases dife-rentes, uma diagonal tambm bissetriz de um ngu-lo adjacente base maior. Isso significa que:

a) a base menor tem medida igual dos ladosoblquos.b) os ngulos adjacentes base menor no socongruentes.

c) a base maior tem medida igual dos ladosoblquos.d) as duas diagonais se interceptam no seu pontomdio.e) as diagonais se interceptam, formando nguloreto.

14) (FUVEST-SP) No quadriltero ABCD, temosAD = BC = 2 e os prolongamentos desses ladosformam um ngulo de 60.a) Indicando por a, b,g e q, respectivamente, asmedidas dos ngulos internos dos vrtices A, B, C e D,calcule a+b+g+ q.b) Sejam J o ponto mdio de DC, M o ponto mdio deAC e N o ponto mdio de BD. Calcule JM e JN.

c) Calcule a medida do ngulo MJN.

A

D C

B

A

B C

D E

F

G H

I

15) Na figura, BC = 24 cm, D ponto mdio de AB, F ponto mdio de BD, E ponto mdio de AC e I ponto mdio de CE. Determine as medidas dossegmentos FG e GH.

16) (ITA-SP) Considere um quadriltero ABCD cujasdiagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cme 6 cm. Se R, S, T e U so os pontos mdios doslados do quadriltero dado, ento o permetro doquadriltero RSTU vale:a) 22 cmb) 5,5 cmc) 8,5 cmd) 11 cme) 12 cm

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

17) No trapzio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. SeAB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determineAF e EJ em funo de x e de y.

A

B C

D E

F

18) Na figura abaixo, o tringulo ABC retngulo emB, o ponto D ponto mdio do lado AB e o segmentoDE paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, de-termine a medida do segmento EF.

Jeca 44

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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46/163

Jeca 45

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47/163


01) 6 cm e 24 cm

02) 4

03) 11 cm, 4 cm, 14 cm e 24 cm

04) 32, 64, 90 e 116

05) 16 cm

06) Propriedade da base mdia do tringulo.BD // LP // MN e AC // LM // PNPortanto LMNP um paralelogramo.

07) 45

08) b

09) 25 cm10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm

11) x + z

12) 14 cm

13) 36 cm e 42 cm

14) 12 cm

15) 5 cm e 14 cm

16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm

17) 22 cm

18) 117 e 63

19) Baricentro e 46 cm

20) (x + y + 2w + t) / 2

21) (y + z + 6k) / 2 e baricentro

22) 2a+ 2b= 180 (alternos internos)

Portanto a+ b= 90

23) 45


Jeca


Jeca 46

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01) x = 21, y = 69, z = 42, t = 90

02) 45 cm

03) x = 64, y = 116

04) AC = 4 3 cm, AB = 4 cm

05) 6 cm

06) b

07) b

08) e

09) c

10) 64 e 11611) 50, 65 e 65

12) c

13) a

14)a) 360b) 1 e 1c) 60

15) FG = 6 cm e GH = 6 cm

16) d

17) AF EJ

18) 4cm

=3x - y

2=

3y - x2


Jeca


Jeca 47

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I) Polgonos convexos.

i

e

d

d - diagonali - ngulo internoe - ngulo externo

Classificao dos polgonos (quanto ao n de lados).

3 lados - tringulo4 lados - quadriltero5 lados - pentgono6 lados - hexgono7 lados - heptgono8 lados - octgono9 lados - enegono10 lados - decgono

11 lados - undecgono12 lados - dodecgono13 lados - tridecgono14 lados - quadridecgono15 lados - pentadecgono16 lados - hexadecgono17 lados - heptadecgono18 lados - octodecgono19 lados - eneadecgono20 lados - icosgonoi + e = 180

II) Soma das medidas dos ngulosinternos de um polgono convexo.

(S )i

III) Soma das medidas dos ngulosexternos de um polgono convexo.

(S )e

IV) Nmero de diagonais de um pol-gono convexo.

(d)

i1i2

i3

i4

in

S = i + i + i + ... + ii 1 2 3 n

S = 180 (n - 2)i

n - n de lados do polgono

e1

e2

e3

e4

en

S = e + e + e + ... + ee 1 2 3 n

S = 360e

Para qualquer polgono convexo

Diagonal o segmento que unedois vrtices no consecutivos.

d n (n - 3)2

=

n - n de lados do polgono

vrtice

lado

V) Polgono regular.

e

e

e

e

e

i

i

i

ii

a

Um polgono regular se tem:a) todos os lados congruentes entre si;b) todos os ngulos internos congruentes entre si;c) todos os ngulos externos congruentes entre si.

3 lados - tringulo equiltero4 lados - quadrado5 lados - pentgono regular6 lados - hexgono regular etc

Classificao dos polgonos regulares

Medida de cada ngulo interno de um polgono regular.

Medida de cada ngulo externo de um polgono regular.

i =Sin >

180 (n - 2)i = n

e =Sen >

360e = n(importante)

Observao - Todo polgono regular pode ser inscrito ecircunscrito numa circunferncia.

ngulocentral

C




Polgonos convexos.

Jeca 48

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01) Determinar a soma das medidas dos ngulos inter-nos e o nmero de diagonais de um pentadecgonoconvexo.

02) Determinar a soma das medidas dos ngulos exter-nos e o nmero de diagonais de um octodecgonoconvexo.

03) Determinar a medida de cada ngulo interno e decada ngulo externo de um enegono regular.

04) Determinar a medida de cada ngulo interno e o nde diagonais de um octgono regular.

05) Determinar a soma das medidas dos ngulos inter-nos de um polgono convexo que tem 65 diagonais.

06) Determinar o n de diagonais de um polgono regu-lar cuja medida de cada ngulo externo 30.

07) Determinar o n de diagonais de um polgono regu-

lar sabendo-se que a medida de um ngulo internoexcede a medida do ngulo externo em 132.

08) Determinar a medida do ngulo externo de um

polgono regular que tem 14 diagonais.

Jeca 49

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

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51/163

09) Dados dois polgonos convexos, A e B, sabe-seque B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A.Determine quais so os polgonos A e B.

10) Dados dois polgonos regulares, A e B, sabe-seque B tem 6 lados a mais do que A e a diferenadas medidas de seus ngulos externos 16. Deter-mine quais so esses polgonos.

11) Determine a medida do ngulo agudo formadoentre a diagonal AF e o lado AB de um dodecgonoregular ABC.... KL.

12) Determine a medida do ngulo agudo formadopelos prolongamentos das diagonais AC e DG deum dodecgono regular ABC...KL.

Jeca 50

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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q

13) (UNIFESP-SP) Pentgonos regulares congruen-tes podem ser conectados, lado a lado, formando umaestrela de cinco pontas, conforme destacado na figu-ra. Nestas condies, o ngulo q mede:

a) 108 b) 72 c) 54 d) 36 e) 18

14) (FUVEST-SP) Dois ngulos internos de um pol-gono convexo medem 130 cada um e os demaisngulos internos medem 128 cada um. O n delados desse polgono :

a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17

15) (CESGRANRIO-RJ) No quadriltero ABCD dafigura abaixo, so traadas as bissetrizes CM e BN,que formam entre si o ngulo a. A soma dos ngulosinternos A e D desse quadriltero corresponde a:

a)a/4 b)a/2 c)a d) 2a e) 3a

A

B

C

D

M

N

a

16) (MACK-SP) Os lados de um polgono regular den lados, n > 4, so prolongados para formar umaestrela. A medida, em graus, de cada vrtice daestrela :

a)

b)

c)

d)

e)

360n

(n - 4) . 180n

(n - 2) . 180n

180_ 90n

180n

Jeca 51

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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53/163

01) Dado um polgono convexo de 17 lados, determinar:a) a soma das medidas dos ngulosinternos.

b) a soma das medidas dos ngulosexternos.

c) o nmero de diagonais desse pol-gono.

03) Determinar o nmero de lados e o nmero de diagonais de um polgono convexo cuja soma das medidas dosngulos internos 2160.

04) Determinar a soma das medidas dos ngulos internos de um polgono convexo que tem 44 diagonais.

02) Dado um undecgono convexo, determinar:

a) a soma das medidas dos ngulosinternos.

b) a soma das medidas dos ngulosexternos.

c) o nmero de diagonais desse pol-gono.



Geometria planaPolgonos convexos.


Jeca 52

(GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca)


(GeoJeca)

(GeoJeca)

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54/163

7/22/2019 Geoplana

55/163

09) Dado um pentadecgono regular, determinar :

a) o nmero de lados do pentadec-gono.

b) a soma das medidas dos ngulosinternos.

c) a medida de cada ngulo interno.

d) a soma das medidas dos ngulosexternos.

e) a medida de cada ngulo externo. f) o nmero de diagonais do penta-decgono.

10) Determinar dois polgonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferenaentre as medidas dos seus ngulos externos 6.

11) Dado um decgono regular ABCDE , determinar a medida do ngulo agudo compreendido entre o lado ABe a diagonal AC.

12) Dado um dodecgono regular ABCDE , sendo O o centro do dodecgono,determinar a medida do ngulo AOE.

A

BC

D

E

F

G

HI

J

K

LO

Jeca 54



(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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56/163

13) Dado um decgono regular ABCDE , sendo O o centro do polgono, determinar :

A

B

C

D

EG

H

I

J

O

b) a medida de cada ngulo externo.

d) a medida de cada ngulo interno. e) a medida do ngulo obtuso forma-do pelos prolongamentos dos ladosBC e DE.

f) a medida do ngulo agudo forma-do pelos prolongamentos dos ladosBC e EF.

g) a medida do ngulo agudo forma-do entre as diagonais BI e AG.

h) a medida do ngulo EOG.

a) a soma das medidas dos ngulosexternos do decgono. c) a soma das medidas dos ngulosinternos do decgono.

F

i) a medida do ngulo EBC.

Jeca 55

(GeoJeca)


(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca) (GeoJeca)

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57/163

14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.

x

y

105

88

93

15) Dado um polgono convexo ABCD... com n lados,n > 3, o nmero de diagonais do polgono que nopassam pelo vrtice A dado por:

a) 5n - 4

2c) n - 5n + 6

2

2b) n - 11n

d) n(n-3)

22

e) 2n - 4

16) Se a soma dos ngulos internos de um polgonoregular 1620, sendo x a medida de cada nguloexterno ento:a) x = 18b) 30 < x < 35c) x = 45d) x < 27e) 40 < x < 45

A

C

D

E

F

GH

18) Na figura ao lado, ABC um tringulo eqilteroe DEFGH um pentgono regular. Sabendo-se queD pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G eH pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos

ngulos ADE e CDH.

B

G

H

19) Dado o enegono regular ao lado, determinar amedida do ngulo formado pelos prolongamentos doslados AB e DE.

AB

C

D

EF

I

X

17) Trs polgonos tm o nmero de lados expressospor nmeros inteiros consecutivos. Sabendo que onmero total de diagonais dos trs polgonos igual a28, determine a polgono com maior nmero dediagonais.

Jeca 56

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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58/163

21) (MACK-SP) Num quadriltero convexo, a somade dois ngulos internos consecutivos mede 190.O maior ngulo formado pelas bissetrizes internasdos dois outros ngulos mede:

a) 105 b) 100 c) 90 d) 95 e) 85

22) (ITA-SP) O nmero de diagonais de um polgonoregular de 2n lados, que no passam pelo centro dacircunferncia circunscrita a esse polgono, dadopor:

a) 2n(n - 2)

b) 2n(n - 1)

c) 2n(n - 3)

d)

e) n.d.a.

n(n - 5)2

23) (FEI) O menor ngulo interno de um polgono con-vexo mede 139, e os outros ngulos formam com oprimeiro uma progresso aritmtica de razo 2. De-termine o nmero de lados do polgono.

Jeca 57

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

20) (UFSC-2006) Considere um hexgono equingu-lo (ngulos internos iguais), no qual quatro ladosconsecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm,conforme figura a seguir. Calcule o permetro do he-xgono.

a

a a

a

a

B

C

DE

F

23

15

13

20

a

A

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59/163


01) 2340 e 90 diagonais


03) 140 e 40


05) 1980

06) 54 diagonais

07) 90 diagonais

08) 360 / 7

09) Heptgono e undecgono

10) Enegono e pentadecgono

11) 60

12) 75

13) d

14) b

15) d

16) b


Jeca


Jeca 58

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60/163


01)a) 2700 b) 360 c) 119

02)a) 1620 b) 360 c) 44

03) 14 lados e 77 diagonais

04) 1620

05) 360

06) Quadridecgono e dodecgono

07)a) 9 b) 1260 c) 140 d) 360e) 40 f) 27

08) Enegono

09)a) 15 b) 2340 c) 156 d) 360e) 24 f) 90

10) Pentadecgono e dodecgono

11) 18

12) 120

13)a) 360 b) 36 c) 1440 d) 144e) 108 f) 72 g) 54 h) 72i) 36

14) 74

15) c

16) b

17) heptgono

18) 24 e 48

19) 60

20) 99 cm

21) d

22) a

23) 12


Jeca


Jeca 59

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61/163

7/22/2019 Geoplana

62/163

IV) Consequncias do ngulo inscrito.

1) Todo tringulo retngulo pode serinscrito numa semicircunfernciaonde a hipotenusa coincide com odimetro.

2) Em todo tringulo retngulo, amediana relativa hipotenusa valea metade dessa hipotenusa.

3) Todos os ngulos de uma circun-ferncia inscritos no mesmo arcoso congruentes.

4) Em todo quadriltero inscrito nu-ma circunferncia os ngulos inter-nos opostos so suplementares.

5) ngulo excntrico de vrticeinterno.

6) ngulo excntrico de vrticeexterno.

hipotenusae dimetro

nguloinscrito

hipotenusa

mediana

relativa hipotenusaRR

R

b

b

bb

arco demedida

2b

a

bg

q

a+ b= 180e

g+ q= 180C

ab

x

x = a + b2x = a - b2

xa b

vrtice

vrtice

Exerccios - 01) Nas circunferncias abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ngulo ou do arco x.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

O

O O

O OO

x118

41

x

x

46

39x

x

O x62

O

x

62104

x O

x

87

Jeca 61




7/22/2019 Geoplana

63/163

A

B

CO124

x

D

x

3x

x55

x

35

02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferncia, determinar a medida do ngulo ou do arco x.

O O

OO

a) b) c)

d) e) f)

g) h) Tente fazer por outro mtodo. i)

j) k) l)

m) n) o)

52x

O O

OO

O

O OO

37x

O

37x x

88

56

x33

87

x

118

34

142

34x

146

x

x 54tang

ente

165

77

x

Jeca 62

3452 x

O

tangente



(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



7/22/2019 Geoplana

64/163

A

B

CD

E

F

GH

70

03) Na circunferncia abaixo pode-se afirmar que:

a) as medidas dos arcos AHG e EDC so iguais.b) a soma dos arcos AHG e ABC 180.c) a soma dos arcos GFE e ABC 140.d) o arco GFE maior que o arco EDC.e) a soma dos arcos GFE e ABC 220.

04) (J) Dada uma circunferncia de dimetro AB, sejaP um ponto da circunferncia distinto de A e de B.Pode-se afirmar que :a) PA = PBb) PA + PB = constantec) PA > PB

2 2d) (PA) + (PB) = constante

2 2e) (PA) - (PB) = constante

CA

B

D

E F

05) Na figura abaixo, a circunferncia de centro Ctangencia o tringulo DEF nos pontos A e B. Sabendo-se que a medida do ngulo interno D 40 e que amedida do arco AGB 75, determinar a medida dongulo x.

Gx

A

B

C

O118

x

y

06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C so pontosda circunferncia de centro O. O valor de x + y :a) 242b) 121c) 118

d) 59e) 62

A

B

PR S

M

N

K

07) Na figura abaixo, as duas circunferncias tm omesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A,P, B e S esto na circunferncia de centro R e ospontos M, N, R e K esto na circunferncia de centroS. Se o arco APB mede 86, ento o ngulo MKN,mede :a) 23b) 21 30c) 22d) 22 30e) 43

09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB so tan-gentes circunferncia de centro O. Determine a me-dida do ngulo APB sabendo que o ngulo ACBmede 61.

A

B

C

DE

08) Dado um pentgono regular ABCDE, consti-seuma circunferncia pelos vrtices B e E de tal formaque BC e ED sejam tangentes a essa circunferncia,em B e em E, respectivamente. Determine a medida,em graus, do menor arco BE dessa circunferncia.

N

SM

T

P

Q

10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP eMTQ medem,respectivamente, 170 e 130. Ento,o arco MSN mede:a) 60 b) 70 c) 80 d) 100 e) 110

Jeca 63

A

B

C

P

O

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

7/22/2019 Geoplana

65/163

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O

A BC

D

E

F

G

H

IJKL

M

N

P

Q

R

S

TU

O

11) No pentadecgono regular abaixo, determinar amedida do ngulo agudo formado entre as diagonaisNE e BJ.

x y

z

12) No icosgono regular abaixo, BK, CN e HN sodiagonais. Determine as medidas dos ngulos x, y ez.

A

AB

B

C

C

D

D

E

EF

FG

G

H

H

I

I

J

J

K

K

L

L

O

O

x

yz

t

13) No dodecgono regular de centro O abaixo, deter-minar as medidas dos ngulos x, y, z e t.

x

y

z

t

14) A figura abaixo representa um quadriltero BEFKinscrito em um dodecgono regular ABC... . Determineas medidas dos ngulos x, y, z e t.

15) A figura abaixo representa um enegono regularABCD de centro O. Sendo OI a bissetriz do nguloAIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar asmedidas dos ngulos x, y, z e t. A

B

C

D

EF

G

H

I

O

16) No enegono regular ABCD , determinar amedida do ngulo x formado pelas retas IB e DE.

DICA - Aplique ngulos inscritos DICA - Aplique ngulos inscritos



xA

B

C

D

EF

G

H

I

O

P

x

y

z

t

Jeca 64

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

7/22/2019 Geoplana

66/163



Geometria planangulos na circunferncia.


O86 x V

a)

246

xO

V

b)

76

x

V

O

c)

O136x

d)

x88

O

e)

x

29

O

f)

x 94

70O O

g)

87

23

xh)

68

102

O

x

i)

33

x

O

j)

O

38

106

x

l)

x

O

m)

O

n)

51

x

O

56

x

o)

x

O

196

p)


Jeca 65






7/22/2019 Geoplana

67/163

O O O

O

O

O

OO

O

O

O

O

O

O

a)

x

2x

b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) l) m)

n) o) p)

98

x78

x

57

x 4

2 x

5888

x

x

56

140 26

x

94

x

40

36

x

68

82

55120

x115

100

x

Ox

56

x

44

48

x


Jeca 66






7/22/2019 Geoplana

68/163

08) Na figura abaixo, AB = 12 cm um dimetro da cir-cunferncia de centro C. Sendo D um ponto da circun-ferncia diferente de A e de B, determine :a) a medida do ngulo ADB.

b) o tipo do tringulo ADB.c) o que o segmento CD no tringulo ADB.d) a medida do segmento CD.

A

B

C

D

A

C

B

D

E

03) Na circunferncia de centro C abaixo, AB umdimetro e a medida do segmento DE a metade damedida de AB. Determine a medida dos ngulos ADB,ECD e AFE.

F

A

P

B

C

D

04) Na figura abaixo, as retas PA e PB so tangentes circunferncia de centro C nos pontos A e B.Sabendo-se que o ngulo APB mede 48, determinara medida do arco ADB.

28

72O

x

A

BC

D

E

05) Na figura abaixo, A, B, C e D so pontos da cir-cunferncia de dimetro AD e centro O. Determinea medida do ngulo AEB.

06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferncia decentro O, tais que P e Q esto do mesmo lado dodimetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20 eROQ = 80, calcule o ngulo PQO.

OR

A B

C

D

E

F

07) Na figura abaixo, AB o dimetro e C, D e E sopontos da circunferncia. Sabendo-se que o nguloDCE mede 35, determine a medida do ngulo BFE.

Jeca 67

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

7/22/2019 Geoplana

69/163

A

B

C

D

EF

G

H

I

09) A figura abaixo representa um enegono regularinscrito em uma circunferncia de centro O. Determinara medida do ngulo agudo formado entre as diagonaisGB e HD.

Ox

A

B

C

D

F

EG

H

I

J

10) A figura abaixo representa um decgono regularinscrito em uma circunferncia de centro O. Sendo OJe OC as bissetrizes dos ngulos AJI e BCDrespectivamente, determinar a medida do ngulo COJ.

O

A

B

C

DE

F

G

O

11) A figura abaixo representa um heptgono regular

inscrito numa circunferncia de centro O. Determinar amedida do ngulo BDG.

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O


DICA - Aplique ngulos inscritos DICA - Aplique ngulos inscritosJeca 68

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

12) A figura abaixo representa um pentadecgono re-gular inscrito numa circunferncia de centro O. Deter-minar o ngulo obtuso formado entre as diagonais MDe BI.

7/22/2019 Geoplana

70/163

AB

C

D

E

F

G

HI

J

K

L

M

N

P

O

A BC

D

E

F

G

H

IJKL

M

N

P

Q

R

S

TU

O

13) No pentadecgono regular abaixo, determinar amedida do ngulo agudo formado entre as diagonaisND e BJ.

x yz

14) No icosgono regular abaixo, determinar as medi-das dos ngulos x, y e z.

A

AB

B

C

C

D

D

E

EF

FG

G

H

H

I

I

J

J

K

K

L

L

O

O

x

yz

t

15) No dodecgono regular de centro O abaixo, deter-mine as medidas dos ngulos x, y, z e t.

x

y

zt

16) A figura abaixo representa um quadriltero BEIKinscrito em um dodecgono regular ABC... . Determineas medidas dos ngulos x, y, z e t.

A

B

C

D

E

F

G

H

O

x

yz

t

17) A figura abaixo representa um octgono regularABCD de centro O. Sendo OH a bissetriz do nguloAHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar asmedidas dos ngulos x, y, z e t. A

B

C

D

EF

G

H

I

O

x

18) No enegono regular ABCD , determinar amedida do ngulo x formado pelas retas AG e DF.




Jeca 69

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

7/22/2019 Geoplana

71/163

A

B CD

E

F

O

23) No tringulo ABC abaixo, AD, BE e CF so as alturas relativas aos vrtices A, B e C. Sendo as medidas dos

ngulos ABC = 48 e ACB = 64,determinar as medidas dos ngulos internos do tringulo DEF.

Desa

fio

19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estona circunferncia de centro O. Se o arco APC mede160 e o ngulo BAC mede 63, qual a medida dongulo ACB ?a) 51b) 43c) 33d) 47

e) 37

A

BC

PM

N

O

20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estona circunferncia de centro O. Se o arco AMB mede110 e o ngulo ABC mede 63, qual a medida dongulo BAC ?a) 62b) 64c) 58d) 63

e) 59

A

BC

PM

N

O

35A BO

D

C

x

21) Na figura abaixo, AB o dimetro da circunfernciade centro O. Determinar a medida do ngulo ADCsabendo que o ngulo BAC mede 35.

22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um tringulo retn-gulo mede 20 cm e um dos ngulos mede 20.a) Qual a medida da mediana relativa hipotenusa ?b) Qual a medida do ngulo formado por essa medianae pela bissetriz do ngulo reto ?

Jeca 70

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

7/22/2019 Geoplana

72/163


01)a) 59 b) 82 c) 92 d) 39 e) 90f) 28 g) 28 h) 76 i) 87

02)

a) 28 b) 22 30' c) 110 d) 20 e) 18f) 38 g) 53 h) 53 i) 72 j) 120k) 42 l) 92 m) 107 n) 54 o) 59

03) e

04) d

05) 35

06) d

07) b

08) 144

09) 58

10) a

11) 84

12) 45, 99 e 36

13) 75, 30, 45 e 60

14) 60, 90, 120 e 90

15) 140, 140, 70 e 140

16) 40


Jeca


Jeca 71

7/22/2019 Geoplana

73/163

Respostas dos exerccios complemmentares da Aula 06.

01)a) 43 b) 123 c) 152 d) 136 e) 44f) 29 g) 16 h) 128 i) 95 j) 57l) 34 m) 90 n) 39 o) 124 p) 82

02)a) 60 b) 98 c) 204 d) 33 e) 48f) 156 g) 24 h) 42 i) 112 j) 96l) 65 m) 70 n) 112 o) 46 p) 48

03) 90, 60 e 60

04) 228

05) 22

06) 60

07) 55

08) a) 90 b) tringulo retnguloc) mediana d) 6 cm

09) 60

10) 108

11) 360 / 7

12) 108

13) 72

14) x = 27, y = 108 , z = 45

15) x = 75 , y = 45 , z = 30 , t = 120

16) x = 105 , y = 90 , z = 75 , t = 90

17) x = 135 , y = 135 , z = 67,5 , t = 112,5

18) 40

19) e

20) a

21) 125

22) a) 10 cm b) 25

Resoluo do exerccio 23) (Desafio) O quadriltero AFOE inscrito numa circunferncia, pois os os ngulos opostos AFO e AEO sosuplementares. Desenhando-se a circunferncia percebe-se que os ngulos EAO e EFO socongruentes pois esto inscritos no mesmo arco da mesma circunferncia. Anlogamente provam-se osdemais ngulos.

A

B C

D

E

F

O

DEF = 84DFE = 52EDF = 44

64

26

26

(GeoJeca)

Jeca 72

7/22/2019 Geoplana

74/163

II) Teorema da bissetriz interna.I) Teorema de Tales.

Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duasretas transversais, a razo entre dois segmentosquaisquer de uma transversal igual razo entre ossegmentos correspondentes da outra transversal.

Em todo tringulo, a bissetriz de um ngulo internodivide internamente o lado oposto em dois segmentosque so proporcionais aos lados adjacentes.

r

t

r // s // t

sa

b

c

dab

cd=

aa

bissetriz

A

B C

bc

x y

xc

yb=

Teoremade Tales

Teorema dabissetriz interna

r

s

t

r // s // t r // s // t

r // s // t

x

65

8

r

s

t

x 8

18 24

r

s

t

x

12 10

18

r

s

r // s

5

4x

8

x1210

6r

s

t

r // s // t

r

s

r // s

7

11

8

x

01) Determine o valor de x na figura abaixo. 02) Determine o valor de x na figura abaixo.



Exerccios.




Segmentos proporcionais.

Jeca 73

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

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75/163

07) (MAPOFEI 76) Trs terrenos tm frente para aRua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisaslaterais so perpendiculares Rua A. Qual a medidade frente para a Rua B de cada lote, sabendo que afrente total para essa rua 180 m.

40 m 30 m 20 m

RuaB

Rua A

yz

x

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s soparalelas entre si e so cortadas pelas retas u e v.Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.

u v

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

L

M

m

n

p

q

r

s

09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s so

paralelas entre si e so cortadas pelas retas u e v.Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.

u v

10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmen-

to AD dividido em trs partes: AB = 2cm, BC = 3 cme CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e asretas BB' e CC' so paralelas a DD'. Determine oscomprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' emcentmetros.

A B C D

B'

C'

D'

Jeca 74

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

7/22/2019 Geoplana

76/163

11) No tringulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz dongulo interno do vrtice A, determine a medida dosegmento AC.

a a

12

cm

6 cm 9 cm

A

B D C

12) No tringulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz dongulo interno do vrtice A, determine a medida dosegmento BD.

aa

A

CD

B

20 cm

16cm 10cm

13) Na figura, AD bissetriz interna do ngulo A.Calcule a medida do segmento CD.

A

B C

30c

m

14 cm

16c

m

D

14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figuraabaixo AD a bissetriz interna do ngulo A.

A

B CD12 cm 9 cm

3x+1

3x-3

15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm.Determine a medida do segmento DE.

a3a

A B

CD

A

B CD

E

3 cm 5 cm

10cm

16) Na figura abaixo, o ponto E o incentro do trin-gulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm,determine o valor da razo DE / AE.

E

a

b

c

d

17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do nguloA, determine a em funo de b, c e d.

aa

A

B

C

D

18) Dado um tringulo ABC de lado

geoplana

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