GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS - UMA EXPERIÊNCIA NA EDUCAÇÃO DE JOVENS E

ADULTOS

Loreni Aparecida Ferreira Baldini1

RESUMO

O presente artigo relata a experiência de ensinar Geometrias Não-Euclidianas na Educação de Jovens e Adultos. As atividades foram realizadas numa turma do Ensino Médio. Inicialmente, foram explorados alguns conceitos básicos da Geometria Euclidiana para apresentar aos estudantes os cinco postulados de Euclides e posteriormente compará-los e relacioná-los aos conceitos as Geometrias Topológicas, Hiperbólica e Esférica abordadas neste trabalho. As atividades foram desenvolvidas por meio da Investigação Matemática, também, foram utilizados alguns materiais manipuláveis e o software Geogebra. A experiência mostrou que este modo de introduzir as Geometrias Não-Euclidianas é bem sucedido, pois os alunos tiveram um grande envolvimento nas atividades, uma participação ativa, demonstrando uma aprendizagem significativa.

Palavras Chaves: Geometrias, Geometrias Euclidianas, Geometrias-Não-Euclidianas e Geogebra.

1 INTRODUÇÃO

Por ocasião da participação no PDE - Programa de

Desenvolvimento Educacional que visa a formação continuada dos

professores da rede pública do estado do Paraná construiu-se um

projeto2 de pesquisa, no qual aborda-se as Geometrias Euclidianas e

Não-Euclidianas. As atividades foram desenvolvidas no CEEBJA – Centro

Estadual de Educação Básica para Jovens e Adultos da cidade de

Apucarana – PR., numa turma do Ensino Médio, com alunos que nunca

tinham estudado, diretamente, estas Geometrias.

1 Professora da Rede Pública de ensino do estado do Paraná. Licenciada em matemática, especialista e mestre em Educação Matemática. 2 Projeto orientado pela Professora Ms. Luciana Gastaldi Sardinha Souza da Universidade Estadual de Londrina.

Teve como intenção propiciar situações em que os alunos se

apropriassem dos conceitos das Geometrias por meio de uma

metodologia que possibilitasse encontrar regularidades, refletir sobre

as questões, justificar, testar, identificar propriedades e generalizar

conteúdos. A Investigação Matemática, numa perspectiva de Ponte

(2006, p.13), na qual “investigar é buscar, procurar o que não se

sabe”, nos pareceu adequada a esse propósito.

Na Educação Básica da rede pública estadual, o ensino e a

aprendizagem de Geometria quase sempre se limitaram e se limitam

ainda, à Geometria abordada nos livros didáticos, ou seja, à Geometria

Euclidiana. Com a construção das Diretrizes Curriculares de

Matemática – DCE, do estado do Paraná, as Geometrias Não-

Euclidianas foram inseridas no currículo do Ensino Fundamental e

Médio, com isso, levantaram-se questões de como inserir estas

Geometrias na Educação Básica de modo que o aluno aprenda

significativamente. Além disso, tem-se também, algumas pesquisas em

Educação Matemática como Cabariti (2004), Prestes (2006) e Martos

(2002) que destacam a importância de abordar as Geometrias Não

Euclidianas na Educação Básica e que mostram resultados positivos

nas experiências realizadas.

Geometria Euclidiana

A História da Matemática conta que a Geometria surgiu

inicialmente de forma intuitiva em diversas situações, sugeridas pelas

experiências e pelas relações sociais. Eves (1992, p.3) destaca que

(...) a inteligência humana tornou-se capaz de, a partir de um certo número de observações relativas a formas, tamanhos e relações espaciais de objetos físicos específicos, extrair certas propriedades gerais e relações que incluíam as observações anteriores como caso particulares.

2

É oportuno dizer que os gregos acreditavam que a

geometria não devia ser estabelecida apenas por meio de

procedimentos empíricos, mas que também deveria possuir um

caráter dedutivo. Esta idéia provavelmente tenha surgido na antiga

Grécia com Tales de Mileto (640 a.C. a 564 a.C.) e Pitágoras (586 a.C. a

564 a.C), mas somente mais tarde foi sistematizada e organizada

passando a ter um caráter de Ciência.

Por volta de 300 a.C., um grego chamado Euclides, a partir

das noções primitivas de ponto, reta, plano e espaço, desenvolveu uma

teoria dedutiva, estabelecendo, sob a forma de axiomas, as relações

entre essas noções e suas principais propriedades. Euclides sintetizou e

provou teoremas descobertos por ele e por outros geômetras,

apresentou as noções comuns, os postulados, suas conseqüências e

várias definições, numa obra composta por 13 livros, intitulada Os

Elementos, que se tornaram grande referência até os dias de hoje

(GARBI, 2006, p.58). Assim, a primeira teoria matemática a ser

axiomatizada foi a Geometria, denominada na literatura de Geometria

Euclidiana referenciando Euclides, pois ele sistematizou de forma lógica

e organizada o saber geométrico, com isso, suas obras tiveram grande

influência no desenvolvimento da matemática e da própria ciência

dedutiva.

Garbi (2006, p.59) ressalta que Euclides apresentou nos

Elementos cerca de 465 a 470 proposições de maneira clara e

harmoniosa, precedidas por definições, postulados e noções comuns.

Um postulado ou um axioma, como é chamado atualmente, são

afirmações assumidas sem demonstração e relativo a uma

determinada ciência. Postular significa pedir para aceitar. É oportuno

dizer, ainda, que noções comuns também são afirmações não

demonstráveis, porém têm caráter mais geral e são válidas para várias

ciências. Para Mendes e Bezerra (2005, p.6)

A axiomatização é considerada um processo pelo qual passam os saberes praticados de maneira informal, quando levados a um nível de sistematização formal, considerando um conjunto de princípios previamente estabelecidos. Nesse

3

sentido, um axioma é uma proposição indemonstrável porque é evidente e admitida como ponto de partida de um raciocínio, em particular na Matemática.

Euclides inicia sua obra, Livro I - Os Elementos, com a

apresentação de várias definições, a seguir, destacam-se algumas

delas, extraídas da tradução brasileira de Irineu Bicudo.

Um ponto é aquilo de que nada é parte; E linha é um comprimento sem largura; E As extremidades de uma linha são pontos; Linha reta é a que jaz, por igual, com seus pontos sobre

si mesma; E superfície é o que tem, somente, comprimento e

largura; Superfície plana é a que jaz, por igual, com suas retas

sobre si mesma.

E ângulo plano é a inclinação de uma linha em relação a outra, de duas linhas no plano, tocando uma a outra e não jazentes sobre uma reta. (BICUDO, 2001, p.01).

É fundamental ressaltar que em 1898-99, o matemático

David Hilbert apresentou um outro método axiomático, organizando os

fundamentos da Geometria Euclidiana, com isso vários desses objetos

geométricos, passaram a ser considerados como entes primitivos e

indefinidos.

No livro I, encontram-se também as noções comuns

enunciadas por Euclides, entre elas, apresentam-se

1. As coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si.2. E, coisas iguais sejam adicionadas a coisas iguais, os todos

são iguais. 3. E, caso coisas iguais sejam subtraídas de coisas iguais, as

restantes são iguais.4. E as coisas que se ajustam uma sobre a outra são iguais

entre si. 5. E o todo [é} maior que a parte. (BICUDO, 2001, p.4)

Destas noções gerais citadas, observando quinta noção,

percebe-se que esta não é mais verdadeira nos dias de hoje, pois no

campo dos conjuntos numéricos é possível ter pelo menos o todo igual

à parte, ou seja, podem-se observar relações biunívocas como f: N

N.

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Ainda, no seu Livro I, Euclides enunciou os famosos

postulados das Geometrias. Trata-se de 5 proposições formuladas a

partir de algumas definições iniciais.

1. Fique postulado traçar uma linha reta a partir de todo ponto até todo ponto.

2. Também prolongar uma reta limitada continuamente sobre uma reta.

3. Também descrever um círculo com todo centro e raio.4. Também serem todos os ângulos retos iguais entre si.5. Também, caso uma reta, encontrando duas retas, faça

ângulos interiores e sobre os mesmos lados, menores do que dois retos, sendo prolongados ilimitadamente as duas retas, encontrarem-se sobre o lado em que estão os menores do que dois retos. BICUDO(2001, p.3).

Observa-se que o 5º postulado, não tem uma redação

breve e simples, não é tão auto-evidente como os demais postulados e

não é facilmente compreensível, o que possibilitou suspeitas que este

pudesse ser demonstrado.

Atualmente o 5º postulado, mais conhecido como axioma

das paralelas, é escrito de modo mais simples, como proposto em 1793

pelo matemático Playfai, ‘Por um ponto fora de uma reta passa uma e

uma só paralela a ele’. (GARBI, 2006, p.60).

Por muitos séculos a Geometria Euclidiana foi considerada

única, mas na busca de provar o 5º postulado surgiram outras

Geometrias, consistentes e embasadas teoricamente, que têm

conceitos apoiados nos quatros primeiros postulados da Geometria

5

Figura que representa o 5º Postulado

Figura que representa o 5º Postulado enunciado atualmente.

Euclidiana, apenas discordando, de certa forma, do postulado das

paralelas. São, por isso, denominadas de Geometrias Não-Euclidianas.

Geometrias Não-Euclidianas

Alguns matemáticos, como o Padre Jesusíta Girolamo

Giovanni Saccheri (1667-1723), Johann Carl Friedrich Gauss (1777-

1855), Janos Bolyai (1802-1860), Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-

1856) e Bernhard Riemann (1826-1866), ao longo dos tempos,

mostraram que existem conceitos importantes que não estão entre os

apresentados por Euclides e sim nas chamadas Geometrias Não-

Euclidianas.

Pela expressão ‘geometria não euclidiana’ entendemos um sistema geométrico construído sem a ajuda da hipótese euclidiana das paralelas e contendo uma suposição sobre paralelas incompatível com a de Euclides. (EVES1992, p.45).

Para o desenvolvimento das teorias que embasam o estudo

das Geometrias Não-Euclidianas, esses matemáticos destacaram duas

maneiras de negar a única paralela do quinto postulado:

Supor que por um ponto fora de uma reta dada

existe pelos menos duas retas paralelas e

Supor que não é possível traçar nenhuma paralela

nessas condições.

Dessa forma, as Geometrias foram constituindo-se

teoricamente e distinguindo-se uma das outras, surgindo assim várias

delas. Para a Educação Básica, as DCE destacam a Topológica, a

Hiperbólica, a Esférica, a Projetiva e a Fractal.

Nesta experiência, optou-se em enfocar apenas as

Geometrias Topológicas, Hiperbólica e Esférica relacionando-as com a

Geometria Euclidiana.

Geometria Topológica

A topologia originou-se como um ramo da geometria que

estuda figuras situadas no espaço, mais precisamente, as propriedades

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geométricas dessas figuras que permanecem invariantes quando

submetidas a transformações. Em linhas gerais, o estudo da Topologia

é fundamentado na equivalência entre objetos que, por meio de

transformações contínuas, podem ser continuamente desfeitas. Esse

processo é chamado de homeomorfismos, que na verdade tratá-se de

uma função contínua e biunívoca.

É importante assinalar que do ponto de vista da

matemática a Topologia é qualitativa, não contempla a quantidade. Por

isso na topologia não são considerados os conceitos de comprimentos,

áreas, ângulos e tantos outros da geometria métrica, mas os conceitos

de vizinhança, fora, dentro, interior-exterior, aberto-fechado, longe-

perto, separado-unido, contínuo-descontínuo, fronteiras e alto-baixo.

Convém destacar algumas transformações da Geometria

Topológica relacionadas às superfícies que não alteram as

características topológicas da figura em evidência:

Esticar ou alargar;

Encolher;

Entortar;

Cortar

Salienta-se ainda que a topologia geométrica apóia-se na

idéia de que os objetos podem mudar de forma, tamanho e posição,

quando movidos, por isso muitas vezes é denominada de geometria da

borracha. Uma abordagem importante desta geometria são as redes ou

as Teoria dos Grafos. Um grafo é um conjunto de pontos, chamados

vértices ou nós, conectados por linhas, chamadas de arestas ou arcos.

O desenvolvimento desta teoria possibilitou a resolução de vários

problemas matemáticos, além de contribuir com o avanço tecnológico.

Geometria Hiperbólica

A Geometria Hiperbólica é a Geometria Não-Euclidiana que

admite os quatro primeiros postulados de Euclides, mas nega a

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existência da unicidade das paralelas, ou seja, o V postulado. Nessa

Geometria o postulado das paralelas é substituído pelo postulado de

Lobachevsky, que diz:

Entre os modelos desenvolvidos de Geometria Hiperbólica,

destaca-se o de Henry Poicanré (1854 a 1912), conhecido como disco

de Poincaré, que foi contemplado nessa experiência. Neste modelo

duas retas são paralelas somente se elas não tiverem ponto em

comum. Na figura planificada a seguir, a e b são retas hiperbólicas e

são paralelas.

Para obter o disco de Poincaré, constrói-se uma

circunferência C no plano que é chamada de horizonte. O conjunto de

todos os pontos interiores a essa circunferência é considerado o plano

hiperbólico. Os pontos desta região serão denominados pontos do

plano hiperbólico. Os pontos de intersecção das retas hiperbólicas com

o horizonte não pertencem ao plano hiperbólico e são chamados de

pontos ideais.

As retas deste modelo

são arcos de círculos perpendiculares

à fronteira do círculo. O que se

denomina por reta hiperbólica é

muitas vezes representado por

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”Por um ponto P fora de uma reta r passa mais de

uma reta paralela à reta r”. (COUTINHO, 2001, p.40).

geodésicas. Uma geodésica é uma linha de uma superfície que

determina a menor distância entre dois pontos dessa mesma

superfície. Num plano euclidiano, por exemplo, esta distância é o

segmento. Nas regiões curvas como no disco de Poincaré ou no

pseudo-esfera, um ponto é ligado ao outro, por meio de uma

geodésica. Os ângulos do plano hiperbólico correspondem aos ângulos

euclidianos, são medidos como no plano euclidiano. Eles são, por

definição, a medida do menor ângulo formado pelas semi-retas

euclidianas tangentes aos arcos.

Geometria Esférica

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) na

tentativa de demonstrar o quinto postulado de Euclides abriu um

grande campo para novos estudos criando um novo universo

geométrico. Riemann, para consolidação desta Geometria, interpretou

o plano como a superfície de uma esfera e uma reta como o círculo

máximo de uma esfera ou geodésicas, desenvolveu um estudo

desconsiderando que a reta é infinita, mas considerando-a ilimitada.

Nesta geometria, contrariando o quinto postulado de

Euclides, Riemann estabeleceu como um de seus axiomas que:

Coutinho (2001, p.73) ressalta que por meio de uma esfera

é possível estabelecer que:

Quaisquer duas retas em um plano esférico têm um ponto de

encontro.

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“Por um ponto P qualquer, fora de uma reta r,

nenhuma reta que passa por P é paralela a ela.”

(COUTINHO, 2001, p. 73)

Dados dois pontos sobre a esfera, pode-se encontrar infinitas

retas que passam por esses pontos.

Duas circunferências máximas que passam pelos dois Pólos,

interceptam uma circunferência máxima oposta a esses Pólos

e formam um ângulo de 90º.

O ângulo sobre a esfera é chamado de ângulo esférico.

A união de três pontos A, B e C não pertencentes a uma

mesma circunferência máxima, forma um triângulo esférico.

Além disso, é possível fazer constatações que surpreendem

os estudantes que possuem embasamento só na Geometria Euclidiana,

como a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico e sua

classificação quanto aos ângulos e quanto aos lados.

A Experiência

Realizou-se uma experiência de ensino abordando as

Geometrias Não-Euclidianas, numa turma de 12 alunos, com faixa

etária de 18 a 45 anos. Realizaram-se quatro encontros com duração

de aproximadamente 4 horas. Todas as atividades foram realizadas em

duplas, porém houve muita interação entre os grupos. Neste artigo

apresenta-se algumas atividades que possibilitaram a sistematização

dos conceitos envolvidos.

Primeiro introduziu-se a atividade a seguir, adaptada de Borges (2005):

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Considere as seguintes questões:1) Qual é o comprimento e a largura desta sala de aula?2) Qual o ângulo feito por duas paredes?3) Qual é a área desta sala?4) Qual a distância do centro da cidade à sua casa?5) Aonde vamos no feriado?6) Você é vizinho de Bruno?7) Maria derramou o café fora da xícara?8) O móvel já está dentro da sala?9) Qual a divisa entre Paraná e Santa Catarina?10) A janela está aberta ou fechada?a) Tente responder todas as questões no seu caderno.b) Quais questões podem ser agrupadas por conceitos comuns?c) Compare os conceitos envolvidos nas quatro primeiras perguntas

com as demais. d) Qual “parte da Matemática” permite responder ao primeiro

Observou-se que para responder o item 1, os alunos

levantaram-se das carteiras e estimaram a medida utilizando seus

passos, alguns compararam com uma régua e sem grandes

dificuldades determinaram o comprimento e a largura da sala em

metros. No item dois imediatamente os alunos disseram que o ângulo

entre duas paredes era 90º. No item 3, houve um pouco de polêmica,

pois a sala era irregular, num formado parecido com um L e eles

queriam uma fórmula para este tipo de figura, mas quando um aluno

disse que ia fazer dois retângulos acabaram concluindo a atividade. No

item 4, os alunos não hesitaram e cada um respondeu por si. A partir

do item 5 até o item 10 os alunos ficaram intrigados, pois cada um

poderia responder “coisas” diferentes um dos outros.

Para responder quais questões poderiam ser agrupadas por

conceitos comuns, perceberam rapidamente que nos quatro itens

iniciais eles usavam algum tipo de medida e nos outros não. Essa

atividade possibilitou revelar que para responder aos quatro primeiros

itens utiliza-se um número ou uma quantidade, já nos demais itens é

possível, responder sem a utilização de um número que represente

uma quantidade. Assim, compararam-se questões relacionadas à

quantidade do objeto ou do fenômeno presentes nos itens 1, 2, 3 e 4

com as demais que se relacionam com a qualidade. Dessa forma,

destacaram-se os conceitos da geometria métrica, como comprimento,

área, distância e ângulos que são invariantes quando submetidos às

transformações do movimento como translação e rotação. Destacaram-

se também os conceitos de Geometria Topológica como os de

vizinhança, fora, dentro, interior-exterior, aberto-fechado, longe-perto,

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separado-unido, contínuo-descontínuo, fronteiras e alto-baixo,

introduzindo assim, a parte da matemática que não tem preocupações

com as medidas, a Topologia.

Na seqüência, foram analisadas algumas imagens para que

os alunos percebessem propriedades que permitissem dizer que certas

figuras são topologicamente equivalentes. São elas:

Com essa atividade houve muita discussão. Parecia

inconcebível afirmar que um quadrado é “igual” a um círculo. Explicou-

se que uma pode ser a deformação da outra, como se fossem feitas de

borracha. Elas têm em comum as seguintes regularidades: dividem o

plano em duas regiões, interna e externa; têm contorno chamado de

fronteira; são constituídas de uma única parte, ou seja, pode-se

percorrer o interior de ambas sem precisar passar pelo exterior;

possuem pontos que são vizinhos e que permanecem vizinhos após a

deformação. Assim, introduziu-se o conceito de regiões interna e

externa, pontos (vértices) e segmentos (arcos) e destacou-se que em

topologia, estas figuras são chamadas de curvas simples fechadas.

Notou-se que algumas propriedades euclidianas, por exemplo, círculos

equivalentes a quadrados, tornaram-se obstáculos na construção de

conceitos topológicos.

A seguir apresentou-se um problema clássico da Geometria Topológica,

o das pontes de Königsberg, que possibilitou mostrar que para a

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Observe as figuras abaixo:

O que elas têm de comum?

solução deste problema as distâncias são irrelevantes, importando

apenas como as porções de terras são interligadas, permitindo, desse

modo, discutir uma noção de Grafos.

Percebeu-se que eles acreditavam que era possível passear

por toda a cidade passando uma vez só em cada ponte, achavam que

iam descobrir a solução por meio de tentativas. Depois das inúmeras

tentativas, não só as dúvidas surgidas na resolução do problema, mas

as diferentes estratégias utilizadas pelos alunos foram socializadas e

discutidas com a classe. Nesse contexto, abordaram-se alguns

aspectos da história revelando que o matemático

Euler visitou a cidade e para resolver o problema ele

utilizou conceitos matemáticos e construiu um

diagrama como o apresentado ao lado, chamado de

rede, que evoluiu para a chamada Teoria dos Grafos.

Um grafo é uma figura constituída de

finitos arcos que podem ser chamados de arestas,

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No século XVIII havia na cidade portuária de nome Königsberg na Alemanha, um conjunto de sete pontes que conectavam duas ilhas entre si e cruzavam o Rio Pregel. Atualmente tem o nome de Kaliningrado localizada no território russo. Os moradores de Köenigsberg levantaram a seguinte questão:

Seria possível passear por toda a cidade cruzando apenas uma vez cada uma das sete pontes?

Fonte: Borges (2005)

Observe a figura a seguir que melhor evidencia a situação e experimente traçar uma rota de modo que passe por todas as regiões cruzando apenas uma vez cada ponte.

cujas extremidades são pontos, chamados vértices. Um grafo pode ter

uma configuração plana ou espacial como um cubo. Um grafo planar

ou uma rede admite o passeio de Euler, ou pode ser percorrido quando

é possível passar o “lápis” uma única vez em cada aresta/arco, sem

tirar o lápis do lugar.

Com a finalidade de observar regularidades e realizar

generalizações foi proporcionada a atividade a seguir, adaptada de

Johnson (1972).

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Analise cada rede/grafo:

1) Tabele o número de vértices pares e o número de vértices ímpares e veja, se a rede pode ser percorrida, ou seja, se admite o passeio de Euler ou não.

Rede

Vérticespares

Vértices

ímpares

Pode ser percorrid

o(Sim /não)

2) Responda: a) Uma rede que só tem vértices pares pode ser percorrida?b) Uma rede que só tem vértices ímpares pode ser percorrida? c) Uma rede que tem mais de dois vértices pares pode ser percorrida?d) Uma rede que tem mais de dois vértices ímpares pode ser percorrida?e) Encontre uma regularidade que possibilite afirmar quais são as rede possíveis de realizar o passeio de Euler.

3) Tabele o número de pontos/vértices, de segmentos/arcos e de regiões.

Rede

pontos segmentos

Regiões

Ao preencher a primeira tabela e responder a questão dois,

os alunos perceberam que uma rede somente pode ser percorrida

quando:

• Possui somente vértices pares ou

• Possui somente dois vértices ímpares.

Além disso, notaram que o número de vértices de grau

ímpar de um grafo é sempre par.

Na seqüência, apresentou-se um modelo de

grafo das pontes de Königsberg, representado ao lado, e

solicitou que verificassem se o mesmo era um grafo que

poderia ser percorrido ou não. Alguns alunos ainda fizeram algumas

tentativas, mas outros concluíram imediatamente que não poderia,

pois o grafo possuía somente vértices ímpares.

A partir destas comparações e das considerações

realizadas visando a sistematização de quando um grafo poder ser

percorrido, apresentou-se dois teoremas:

O passo seguinte foi o preenchimento da segunda tabela, o

item 3. Na busca de resposta para o item 4, os alunos perceberam

facilmente a relação entre os elementos das redes e

surpreendentemente dois grupos apresentaram as seguintes relações:

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Teorema 1: Se um grafo possui seus vértices todos pares,

então ele admite o passeio de Euler. Esse passeio pode

começar e terminar em qualquer vértice.

Teorema 2: Se um grafo tem dois vértices ímpares e os

demais todos pares, então ele admite o passeio de Euler. Esse

passeio deve começar em um dos vértices ímpares e terminar

no outro ímpar.

Grupo A:

Pontos + Regiões – 2 = Segmentos

Grupo B:

P + R = S +2

Dessa forma, generalizou-se essa relação e explicou-se que

ela é conhecida como Relação de Euler, V + F = A + 2, na qual V são

os vértices (P= Pontos), F são as faces (R=Regiões) e A as arestas de

um sólido geométrico (A=Segmentos). Mostrou-se, assim, que esta

relação não vale apenas para corpos no Espaço R3, mas para figuras

planas também, como no caso das redes e realizou-se uma articulação

entre Geometria Topológica e Geometria Euclidiana inserindo, na

seqüência, algumas atividades com corpos tridimensionais.

Em virtude da discussão de espaços geométricos e para

melhor articular a discussão sobre as dimensões de uma figura,

desenvolveu-se uma atividade com a faixa de Möebius, que viabilizou a

o debate sobre superfícies de um só lado, além de surpreender os

alunos com os resultados dos diferentes cortes.

Antes da introdução da Geometria Hiperbólica, é oportuno

dizer que realizaram-se discussões de conceitos euclidianos por meio

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Existe algum objeto que tem só uma dimensão? Vamos conferir...1) Tome uma folha de papel na forma retangular. Para essa atividade vamos desprezar a espessura do papel.2) Recorte uma fita retangular de mais ou menos 6 cm. 3) Marque os quatro cantos do papel (A, B, C e D).4) Faça uma torção de 180º em uma de suas dimensões e cole as extremidades (A com C e B com D).

Após analisá-la responda as questões a seguir:a) Passe o lápis numa face pela fita toda. O que acontece? Que conclusão se pode tirar?b) Quantos lados a fita tem?c) Faça um corte longitudinal de ½ da faixa. O que aconteceu? E se fizer outro corte o que acontecerá?

d) Corte-a novamente numa distância de um 31 da margem do papel. O

que acontece?e) Se colar uma faixa sem torcer o 180º o que vai obter? Qual a diferença entre essa figura e a faixa de Möebius?f) Generalize

de algumas atividades utilizando software Geogebra, que serviram

também para a familiarização com o software. Entre elas, assinala-se:

Os alunos construíram um triângulo qualquer, mediram

seus ângulos e, utilizando o Campo de Entrada do Geogebra, obtiveram

sua soma. A partir de vários movimentos que o software possibilita e

da janela algébrica, observaram o resultado da soma dos ângulos

internos. Conforme a figuras a seguir:

Como se observa, os alunos puderam generalizar que a

soma dos seus ângulos internos de qualquer triângulo é 180º e que

isso não depende das medidas dos seus lados. Neste enfoque,

aproveitou-se esta atividade para discutir o quinto postulado de

Euclides e demonstrar o Teorema:

Vale dizer que a demonstração deste teorema pode ser

construída utilizando-se o Geogebra. A imagem a seguir apresenta esta

atividade.

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Utilizando as ferramentas do Geogebra:a) Construa um triângulo ABC qualquer.b) Meça os ângulos.c) Usando o Campo de Entrada, some os seus ângulos internos.d) Qual o resultado?e) Movimente os vértices do triângulo, de modo que aumente e

depois diminua o tamanho do triângulo, o resultado se altera?f) Que conclusão se pode tirar?g) A partir da medida de dois ângulos internos do triângulo é possível

determinar o terceiro? Como?g) Generalize.

Para todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é

180º.

Após a construção do triângulo solicitou-se aos alunos a

construção de uma reta paralela ao lado AC passando pelo vértice B do

triângulo. Em seguida pediu-se que medissem os novos ângulos

obtidos no Vértice B e que observassem e somassem as medidas

obtidas. Com isso, contemplaram-se questões do paralelismo, entre

elas, os casos de congruências de ângulos: alternos, correspondentes e

colaterais.

Esta atividade levou a um debate

sobre retas paralelas, ou seja, sobre o quinto

postulado de Euclides. Utilizaram o Geogebra

para construir retas e paralelas. Aproveitou-se o

debate das retas paralelas no enfoque

euclidiano e apresentaram-se as retas

hiperbólicas paralelas, construídas no

Geogebra, ilustrada ao lado, reta a e b.

Esta abordagem gerou novas polêmicas, do tipo:

• Uma reta pode ser uma curva?• Como medir esses ângulos?• Os ângulos não se formaram por semi-retas, mas por

curvas.Observaram-se novamente conflitos relacionados aos

conceitos euclidianos. Sistematizou-se, a partir das dúvidas e da

construção feita no Geogebra, que retas hiperbólicas no modelo de

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Poincaré, são os arcos de circunferências perpendiculares ao horizonte

e que a medida do ângulo formado por duas retas hiperbólicas é, por

definição, a medida do menor ângulo formado pelas semi-retas

euclidianas tangentes aos arcos, ou seja, as retas hiperbólicas.

Acrescentou-se ainda que, neste modelo:

• Duas retas são paralelas se, e somente se, elas não

tiverem pontos em comum.

• As retas paralelas nunca são eqüidistantes.

A partir destas noções acrescentou-se uma nova discussão

para construção de conceitos presentes no triângulo hiperbólico. Nesta

atividade disponibilizou-se para os alunos triângulos construídos

anteriormente no Geogebra, os quais possibilitaram movimentar seus

lados, medir e somar seus ângulos internos.

Após a realização dos itens da atividade anterior, os alunos

obtiveram imagens como estas:

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a) Meça os ângulos do triângulo apresentado.b) Usando o Campo de Entrada, some os seus ângulos internos.c) Qual o resultado?d) Movimente os vértices do triângulo, de modo que ele aumente e depois diminua. O resultado da soma dos ângulos se alteram?e) Que conclusão se pode tirar?f) Compare os resultados desta atividade com os do triângulo euclidianog) É possível determinar o terceiro ângulo deste triangulo conhecendo os outros dois? Justifique.h) Generalize

Esta atividade não só possibilitou a comparação dos

conceitos euclidianos com os hiperbólicos, como também ocasionou

grande surpresa aos alunos e professores presentes. Vale lembrar que

a Geometria consagrada nas salas de aulas sempre foi a euclidiana. É

importante ressaltar que a partir das figuras feitas no Geogebra e da

discussão, sistematizou-se que

• A soma dos ângulos internos de um triângulo é menor que

dois retos;

• Conhecendo dois de seus lados não se obtém o terceiro.

Ainda com o objetivo de levar os alunos a ultrapassarem a

visão euclidiana da geometria, desenvolveu-se algumas atividades

relacionadas a Geometria Esférica. Entre elas o problema clássico do

urso.

Observou-se que para resolver este

problema os alunos utilizaram o raciocínio

euclidiano. Fizeram um esquema como o

representado ao lado, usando segmentos de retas.

Levantaram hipóteses de como o urso poderia

chegar ao mesmo local que havia saído de acordo com esquema.

Pensaram inclusive num esquema como o triângulo eqüilátero, mas

perceberam que dessa forma não estariam seguindo as direções que o

problema indicava. Ainda mais, não conseguiam entender o que tudo

isso tinha a ver com a cor do urso. Depois de sociabilizar as

representações e as estratégias de cada grupo, percebeu-se que

20

Um urso saiu de sua casa e caminhou 100 km ao sul. Depois virou ao oeste e caminhou por 100 km. Então virou novamente e caminhou 100 km ao Norte. Qual não foi a sua surpresa quando percebeu que voltara novamente para a sua casa. Responda, qual é a cor do urso?

a) esboce no caderno a viagem do Urso.b) Como é possível ele chegar ao mesmo lugar após uma

caminhada como a descrita acima?c) Esboce numa superfície esférica (bola) a viagem do Urso.

ninguém havia encontrado uma solução adequada para o problema,

apenas concluíram que no plano euclidiano não era possível encontrar

uma boa solução para este problema.

Aproveitou-se o debate e inseriu-se outra atividade.

Para responder o item 1, utilizaram-se algumas laranjas

tomadas como representação de uma esfera, as quais foram cortadas

tanto no sentido dos gomos quanto no sentido contrário. Esses cortes

possibilitaram aos alunos a visualização de que é possível obter vários

círculos e de diversos tamanhos dependendo dos cortes, ou seja, das

secções. Aproveitou-se a discussão e foi sistematizado que um círculo

máximo é aquele formado pela circunferência máxima da esfera e

também outros conceitos como raio e diâmetro. Além disso,

levantaram-se questionamentos para que observassem que todos os

gomos da laranja convergem para um mesmo ponto, numa provocação

para que imaginassem como seria traçar retas paralelas numa esfera.

Utilizando-se bolas de isopor, com o auxilio de alfinetes e

barbantes traçaram várias retas, de modo que percebessem que nesta

superfície as retas são finitas. Os alunos ficaram bastante surpresos de

pensar que neste tipo de superfície uma reta é

uma curva. Neste raciocínio sistematizou-se

também que a menor distância entre dois

pontos é chamada de geodésica. A partir do

isopor perceberam que não existem retas

paralelas nesta superfície, uma vez que as

retas são formadas por um círculo máximo de

modo que sempre se interceptam.

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1) Se resolvêssemos “fatiar” a esfera, que figura encontraríamos?2) O que seria uma reta na superfície da esfera? 3) Usando a bola de isopor marque um ponto qualquer sobre a esfera

e responda as questões. a) Quantos círculos máximos podem-se traçar passando por

esse ponto?b) Nesta superfície esférica seria possível traçar retas

concorrentes? Verifique. c) Na superfície esférica existem retas paralelas?

Na continuidade da experiência foi introduzida a atividade

a seguir:

Ao marcar os três pontos distintos A, B e C e realizar a

união deles, apresentou-se o triângulo esférico. A partir de retas, ou

seja, círculos máximos, passando pelos três pontos verificaram-se

que determinam oito triângulos.

Com a intenção de medir os ângulos dos triângulos pediu-

se que construíssem um transferidor de papel para melhor ajustar

na superfície esférica. Por meio de dobraduras determinaram-se

alguns ângulos como 90º, 45º e 22,5º alguns preferiram marcar 30º,

60º e 90º.

Vale ressaltar que foram necessárias várias intervenções

quanto ao uso do transferidor, os alunos não mostraram

familiaridade com esse instrumento. Ao medir os ângulos

novamente entraram em choque:

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a) Inflar o balão de modo que fique o mais esférico possível.

b) Na superfície esférica, (balão ou bola de isopor) marque três pontos distintos e não alinhados, A, B e C e trace os segmentos menores AB, AC e BC, c) Que nome vocês dariam a essa figura? d) Quantos triângulos ficaram determinados pelas três circunferências máximas, que passam por A,B e C? e) Use o transferidor de papel e meça os ângulos do s triângulos. Qual a medida da soma dos três ângulos internos dos triângulos esféricos?i) Que conclusão se pode tirar?

Afinal quanto mede os ângulos de um triângulo?

Primeiro dizem que é 180º, sempre. Depois que é menos

que 180º e agora que é mais de 180º. Desabafou um aluno.

Corroborando a discussão, organizaram-se no quadro de

giz, as medidas dos ângulos interno dos triângulos, que os alunos

encontraram, bem como a sua soma. Apresentam-se alguns

resultados no quadro abaixo:

Ângulo A Ângulo B Ângulo C SOMA

90 120 90 300

135 90 90 315

85 95 60 240

É importante ressaltar que a partir desta discussão,

sistematizou-se que:

• A soma dos ângulos internos de um triângulo é maior do que

dois retos;

• O plano é uma superfície esférica, e a reta uma geodésica, ou

circunferência do círculo máximo.

Esta atividade possibilitou, também, que percebessem que

nesta geometria existem triângulos retângulos, bi-retângulos e tri-

retângulos, ou seja, com um, com dois e até com 3 ângulos de 90º.

Sistematizou-se ainda que:

• Se um triângulo for desenhado com seus três pontos numa

semi-esfera, a soma dos ângulos internos ( γβα ,, ) varia

entre:

º540º180 <++< γβα• Se a região delimitada pelos três pontos de um triângulo

ocupar quase toda a área da esfera a soma os ângulos

internos ( γβα ,, ) varia entre:

º900º540 <++< γβα

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Em virtude dessas considerações, retomou-se o problema

do urso. Os alunos com a ajuda de um pedaço de barbante, para

garantir a mesma medida das geodésicas, traçaram uma nova

trajetória para o urso, e disseram que ele era um urso polar, pois de

acordo com o enunciado do problema voltou ao pólo norte de onde

havia saído. Concluindo que o urso só poderia ser branco.

Algumas Considerações

O estudo das noções das Geometrias Não-Euclidianas

possibilitou aos alunos e aos professores regentes da turma várias

surpresas. Entre elas, observar que existe parte da matemática que

não está vinculada aos números, a Geometria Topológica. De igual

forma que a concepção de verdade, de rigor, de sistemas axiomáticos

muitas vezes é construída sem reflexões de outros eixos da Matemática

e também, de outras áreas do conhecimento.

É sobremodo importante assinalar que as diferentes

atividades desenvolvidas neste trabalho, possibilitaram verificar os

tipos de curvaturas, conforme apontado por Gaus em 1827, o qual

mostrou que uma curvatura pode ser positiva, negativa ou nula. Para

isso ele tomou três pontos distintos sobre uma superfície curva,

unindo-os dois a dois pelo cominho mais curto sobre a superfície.

Observa-se em relação ao triângulo formado:

A curvatura é negativa. Logo, o triângulo é hiperbólico, a soma

dos seus ângulos internos é menor que dois retos e a área é

proporcional à diferença da soma dos ângulos.

A curvatura é zero. O triângulo é plano e a soma dos ângulos

internos é igual a dois retos.

A curvatura é positiva. O triângulo é esférico, a soma dos ângulos

internos é maior que dois retos e a área é proporcional ao

excesso da soma dos ângulos. (GARBI, 2007, p. 350).

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Por outro lado, preciosas foram às contribuições do

Geogebra na construção dos conceitos da Geometria Euclidiana e

Hiperbólica, bem como, a dos materiais manipuláveis envolvidos nas

atividades da Geometria Esférica.

Como a intenção foi de verificar um modo bem sucedido

para introduzir as Geometrias Não-Euclidianas, não foi exigido tipo

algum de memorização por parte dos alunos. A avaliação se deu por

observação das estratégias, dos argumentos utilizados nas discussões,

na hora de definir objetos geométricos e de fazer sistematizações.

Cumpre observar que todas as atividades foram

desenvolvidas num processo de investigação, o que possibilitou aos

participantes levantar conjecturas e a construir a idéia ou o conceito

para posteriormente fazer a formalização. Isso foi fundamental para o

sucesso desta experiência. Neste processo, os alunos tiveram uma

postura ativa o tempo todo e assim foi possível perceber a evolução de

cada aluno em relação ao saber matemática, como também frente às

ações do aprender, pois estavam num ambiente que propiciou

enfrentar com confiança os desafios, que despertou curiosidades e

promoveu a iniciativa e criatividade na busca de soluções dos

problemas propostos.

Referências

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Implicações para o Ensino da Matemática. NEMOC - Núcleo de

Educação Matemática Omar Catunda.. Caderno de Física da UEFS, 03

(02). UEFS 2005, p. 15-35.

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em ambiente informatizado. São Paulo, 2004. (Dissertação de

Mestrado – PUC).

COUTINHO, Lázaro. Convite às Geometrias Não-Euclidianas. 2.ed.

Rio de Janeiro: Intecinência, 2001, p.116.

EVES, Howard. História da Geometria / Houward Eves; trad. Hygino

H. Domingues, São Paulo: Atual, 1992.

GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico

pelo maravilhoso mundo da matemática. 2.ed. São Paulo: Editora

Livraria da Física, 2007. 468 p.

JOHNSON, Donovan A; GLENN, William H. Topologia. In:_____.

Matemática sem problemas. Trad. Adalberto F.Bergamasco, et al. Vol

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MARTOS, Zionice Garbelini. Geometrias Não Euclidianas : Uma

Proposta Metodológica para o Ensino Fundamental. Rio Claro,

2002. (Dissertação de Mestrado - UNESP).

MENDES, Iran Abreu & BEZERRA, José Querginaldo, Geometria

espacial: interdisciplinar. Natal, RN: EDUFRN Editora da UFRN, 2005.

Diponível no site www.sedis.ufrn.br/documentos , acessado em

01/06/2008.

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O PRIMEIRO livro dos Elementos de Euclides. Tradução Irineu Bicudo.

Editor geral John A. Fossa. Natal: SBHMat, 2001. (Série textos de

história da matemática, 1).

PONTE, J. P.; Brocardo, J. & Oliveira, H. Investigações Matemáticas

na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.

PRESTES, Irene da Conceição Rodrigues. Geometria Esférica - Uma

Conexão com a Geografia. São Paulo, 2006. (Dissertação de

Mestrado – USP).

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