(art) kaleff geometrias não-euclidianas na educação bàsica utopia ou possibilidade

X Encontro Nacional de Educao Matemtica Educao Matemtica, Cultura e Diversidade

Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

Anais do X Encontro Nacional de Educao Matemtica Palestra

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GEOMETRIAS NO-EUCLIDIANAS NA EDUCAO BSICA:

UTOPIA OU POSSIBILIDADE?

Ana Maria M. R. Kaleff

Universidade Federal Fluminense

[email protected]

Resumo: Apresenta-se uma reflexo sobre a pertinncia da incluso de contedos

introdutrios s geometrias no-euclidianas na educao bsica, a qual pode ser

considerada como uma utopia ou como uma possibilidade. Tal incluso extrapola o mbito

da Matemtica, alcanando as polticas educacionais orientadoras da escola e da formao

do professor. Com essa reflexo, busca-se repensar o ensino da geometria escolar com

vistas a se levar o aluno, ainda no Ensino Mdio, a observar outros contedos geomtricos

para alm dos conhecimentos e paradigmas propostos por Euclides. Apresentam-se

aspectos da histria das geometrias e duas diferentes concepes de prticas pedaggicas: a

vigente nas licenciaturas e a proposta pelos Parmetros Curriculares Nacionais. Abordam-

se as conseqncias dessas concepes para o ensino das geometrias, euclidiana e no-

euclidianas. Seguem-se observaes sobre a importncia das imagens visuais e mentais, e

da utilizao de diferentes linguagens para representar conceitos matemticos em uma

sociedade cada vez mais influenciada pelas mdias visuais. Finaliza-se apresentando

algumas tentativas de incluso dessas geometrias na escola bsica e como elas se

encontram nos livros didticos do Ensino Mdio mais requisitados pelas escolas pblicas.

Palavras-chave: Educao Bsica, Geometria Euclidiana; Geometrias no-Euclidianas;

Livros didticos.

INTRODUO

O objetivo da presente contribuio apresentar uma reflexo sobre a pertinncia

da incluso de contedos das geometrias no-euclidianas na educao bsica. Esta reflexo

no se restringe ao mbito do conhecimento matemtico, mas envolve implicaes para as

polticas educacionais que orientam tanto a ao docente nas escolas como a orientao

pedaggica subjacente s prticas vigentes na formao do professor de Matemtica.

Para essa reflexo, sero consideradas algumas implicaes relacionadas a duas

concepes de prticas pedaggicas, a que habitualmente se encontra nos cursos de

licenciatura e outra decorrente de uma proposta governamental para a orientao da ao

do professor na escola bsica. Cada uma dessas prticas interfere em como so utilizadas

as figuras no ensino das geometrias, euclidiana e no-euclidianas. Por outro lado,

analisam-se aspectos relacionados ao papel das imagens visuais e mentais na histria da




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construo dos conceitos matemticos. Para efeito de ilustrao, so apresentados alguns

modelos de geometrias no-euclidianas possveis de serem utilizados na escola. Segue-se

uma smula dos resultados de dois estudos realizados na UFF nos quais se analisou como

se encontram os contedos no-euclidianos nos livros recentemente mais solicitados ao

Fundo Nacional de Desenvolvimento Escolar (FNDE), atravs do Programa Nacional do

Livro do Ensino Mdio (PNLEM).

O SURGIMENTO DAS GEOMETRIAS NO-EUCLIDIANAS

Desde a poca em que foi elaborado, aproximadamente 300 a.C., at o sculo XIX,

o mtodo axiomtico desenvolvido por Euclides em Os Elementos foi muito bem

considerado entre os filsofos e matemticos. No se pode colocar em dvida que essa

obra representa a contribuio mais importante da Antiguidade para o desenvolvimento das

Cincias, pois a geometria euclidiana (GE) tornou-se a forma de os estudiosos,

interessados em entender a natureza e o meio ambiente, descreverem e apresentarem as

caractersticas do nosso universo fsico. A GE considerada como uma janela para o

entendimento do mundo a nossa volta (MLODINOV, 2004). No entanto, o Quinto

Postulado da Geometria Euclidiana sempre foi alvo de crticas, devido a ser uma

afirmao de redao muito elaborada e de difcil interpretao, como aponta a primorosa

traduo de Irineu Bicudo:

E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faa os ngulos interiores e

do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas

retas, ilimitadamente, encontrarem-se no lado no qual esto os menores

do que dois retos (EUCLIDES, 2009).

Muitos estudiosos da Histria das Cincias e da Matemtica consideram que a

forma moderna de raciocnio cientfico surgiu com a criao das geometrias no-

euclidianas no incio do sculo XIX, por meio das vrias tentativas dos matemticos de

negar o Quinto Postulado e no mais de tentar demonstrar a sua veracidade como se fosse

um teorema. Esse postulado encontrado nos livros-textos atuais em uma verso bem

simplificada do sculo XIX, devida ao matemtico e fsico John Playfair, a saber: em um

FAMLIARealce




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plano e por um ponto no pertencente a uma determinada reta, passa uma e somente uma

reta paralela reta considerada.

Os esforos mal sucedidos para provar esse postulado, a partir de outros quatro

originalmente considerados por Euclides, perduraram durante mais de 2000 anos. Na

primeira metade do sculo XIX, vrios matemticos como Karl Frederich Gauss em 1824,

Nicolai Lobachevsky em 1829, Janos Bolyai em 1832, Georg Bernhard Riemann em 1854

e posteriormente Eugenio Beltrami, Jules-Henri Poincar e Felix Klein concluram que a

pretendida demonstrao no era possvel.

Foram esses estudiosos que nos permitem, nos dias de hoje, olhar para alm da

janela aberta pelos conhecimentos e paradigmas propostos por Euclides, pois a negao do

Quinto Postulado teve como conseqncia a descoberta da geometria hiperblica (em

cujos modelos existem mais de uma paralela a uma determinada reta) e da geometria

elptica (na qual no existem retas paralelas), e o surgimento de uma variedade de sistemas

axiomticos dedutivos alternativos ao euclidiano, conhecidos como geometrias no-

euclidianas (GNE). Essa descoberta representa um marco histrico no desenvolvimento

das Cincias, pois , nada menos que uma revoluo na geometria. Com o passar do

tempo foi provado que os efeitos da descoberta no foram menos profundos em outros

ramos da matemtica, da fsica e da filosofia (GANS, 1973, p. 4).

Foi atravs das novas geometrias que os cientistas iniciaram a busca por explicar o

mundo fsico dos nossos dias, por meio de ferramentas tericas modernas ligadas Teoria

da Relatividade. Essa grande abertura cientfica e filosfica, trazida pelo surgimento das

GNE s idias euclidianas e s de Newton relacionadas Fsica, que fez com que os

conceitos anteriores ao sculo XIX fossem considerados insuficientes para a representao

dos fenmenos fsicos. Embora, at ento, o conhecimento descrevesse as regularidades do

meio ambiente, os antigos conceitos geomtricos no descreviam to bem as formas

fragmentadas e irregulares, como aquelas normalmente encontradas na natureza.

Foi a partir da descoberta das novas teorias geomtricas que os meios cientficos

buscaram entender a geometria do universo e suas medidas, tentando decifrar os enigmas

das formas microscpicas s macroscpicas, para entender melhor as leis que regem o

Universo e o Cosmo, a aleatoriedade e o Caos (PENROSE, 1996).




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Por outro lado, no final do sculo XIX, tambm se tornaram conhecidos alguns

sistemas axiomticos interessantes, criados a partir de conjuntos finitos e com poucos

elementos arbitrrios. Os modelos desses sistemas negam o Segundo Postulado de

Euclides, o qual solicita que se considere poder sempre tambm prolongar uma reta

limitada, continuamente, sobre uma reta (EUCLIDES, 2009). Em alguns desses modelos,

os agrupamentos com exatamente trs elementos distintos so tratados como retas ou

linhas, cujas relaes so estabelecidas por meio de poucos axiomas, que negam esse

postulado, ou seja, no permitem que sempre se trace uma linha reta continua, na direo de

si mesma, at onde se queira. Esse tipo particular de constituio terica possui as

caractersticas do que se conhece nos dias de hoje como sistema axiomtico de geometria

finita. Ainda em 1898, Gino Fano, estabeleceu um modelo dessas geometrias com 7 pontos

e um outro, surgido em 1906, devido ao matemtico John. W. Young. O estudo desses

sistemas finitos fundamental para a Matemtica Discreta, Anlise Combinatria,

Estatstica e Teoria dos Grafos, e so importantes para os dias atuais, pois, por exemplo,

permitem o estabelecimento de logsticas na engenharia de transportes, tanto em situaes

relacionadas ao controle do curso de avies como no estabelecimento de linhas de metrs,

ruas e avenidas nos grandes centros urbanos.

Aps as descobertas iniciais, passaram-se muitos anos, para que outros conceitos

surgissem e permitissem descrever melhor ainda os objetos de nossa realidade, ou seja,

aqueles objetos naturais com formas repetitivas irregulares, tortuosas ou salientes. Em

meados do sculo XX, o matemtico Benoit Mandelbrot (1924 - ) inventou o conceito

denominado fractal. Este termo vem de duas palavras latinas fractus e frangere que

significam quebrar e partido, e refere-se s caractersticas naturais dos objetos que

parecem fragmentados, irregulares e partidos, cuja dimenso pode ser expressa por um

nmero no inteiro, fugindo da noo de duas e trs dimenses referentes aos objetos do

plano e do espao euclidianos. Desde ento, aquela geometria que trata mais propriamente

dos objetos naturais denominada geometria fractal e vem se consolidando como nova

rea da Matemtica devido ao desenvolvimento dos computadores e de novas teorias

advindas da Fsica, Biologia, Astronomia e outras Cincias.

Resumidamente, o surgimento das novas geometrias trouxe luz uma importante

caracterstica da prpria Matemtica que at o sculo XIX era pouco percebida, ou seja, a




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de que Matemtica um sistema de conhecimentos construdos atravs da histria, sujeito

a reformulaes e transformaes, cujas afirmaes, frente a determinados

questionamentos, geram revises de seus prprios conceitos, acarretando novas teorias

matemticas. Em sua origem, foram os processos de negao do Quinto Postulado

euclidiano que deram origem criao de novas teorias matemticas e ao grande

desenvolvimento da Matemtica do sculo XX e do atual.

O SURGIMENTO DE UMA UTOPIA NO ENSINO E DE UM QUESTIONAMENTO

Pode-se dizer que, a partir do momento histrico da criao das GNE, tambm

surgiu uma maneira inovadora de se criar conhecimentos cientficos, qual seja, a de se

desenvolver um novo conhecimento a partir da negao de outro previamente institudo.

Seria utopia, no entanto, afirmar que nos cursos de formao de professores de

Matemtica, o momento histrico da criao das GNE tem sido tratado pedagogicamente

com a ateno que merece, dando-se oportunidade ao licenciando para que observe e

pratique esta forma de se conceber e instituir uma nova teoria matemtica e, tambm, de

analisar as implicaes tericas envolvidas.

Cabe lembrar que, desde os anos 90, existem estudos internacionais que ressaltam

explicitamente a importncia de se considerar, no ensino, a incluso de outras geometrias

alm da GE. Portanto, h mais de uma dcada, existem propostas que buscam,

sensibilizar colegas das universidades para um fato, considerado

essencial e necessrio, tanto pesquisa matemtica, quanto para o

ensino: o de um conhecimento profundo e critico da geometria

elementar, incluindo o reconhecimento da importncia do papel da

habilidade da visualizao, os fundamentos das geometrias noeuclidianas, bem como suas aplicaes, seus aspectos epistemolgicos,

histricos e didticos (MAMMANA e VILLANI, 1998, p.326. Traduo

livre da autora).

Tudo indica que, no Brasil, a grande maioria dos cursos de licenciatura, alm de

passarem ao largo de um bom ensino de GE e da habilidade da visualizao, muito menos

levam em conta procedimentos didticos que permitem ao futuro professor analisar e

comparar sistemas axiomticos diversos, com outras regras e interpretaes. Ou seja,




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prticas que levem o licenciando para alm dos postulados e paradigmas grficos

euclidianos. Isso tudo, portanto, leva a uma pergunta muito importante:

Estariam os professores de Matemtica aptos a levarem outras geometrias para

suas salas de aula?

Dentre as muitas evidncias do pouco preparo dos professores para o ensino das

novas geometrias, encontram-se as advindas de uma pesquisa realizada pela autora do

presente artigo envolvendo um questionrio sobre a formao e os conhecimentos

geomtricos desses profissionais. Essa pesquisa envolveu 53 professores do ensino bsico,

com experincia profissional mdia de cerca de 10 anos. No questionrio, em que se usou

o termo axioma em substituio ao de postulado, como habitualmente se encontra nos

livros-didticos atuais, observou-se que aproximadamente 7% dos participantes afirmaram

no saber o que seja o plano euclidiano. Cerca de 18% admitiram desconhecer os

axiomas relativos a este plano, enquanto 20% afirmaram ignorar o que seja o quinto

axioma de Euclides. Ainda observou-se que aproximadamente 34% declararam no

saber o que sejam geometrias no-euclidianas ou que desconhecem outra geometria

alm da euclidiana, enquanto que pouco mais da metade dos participantes afirmaram

no ter estudado geometrias no-euclidianas no respectivo curso de graduao

(KALEFF, 2007).

Como se apresenta a seguir, esse desconhecimento das geometrias vem ter ampla

influncia na prtica do professor de Matemtica.

AS GEOMETRIAS NA FORMAO DE PROFESSORES

Inicialmente, cabe lembrar que, nos cursos de formao de professores, na

introduo aos modelos mais elementares de GNE, geralmente adotam-se procedimentos

pertinentes a uma concepo de prtica de ensino considerada como formalista. Nestes

casos, geralmente o aluno da licenciatura introduzido em sistemas axiomticos como um

conjunto formado por regras e axiomas, cujos elementos e termos geomtricos no

possuem o significado euclidiano conhecido desde os gregos, ou seja, no apresentam os

paradigmas visuais grficos euclidianos. As regras e axiomas apresentam termos e palavras

que a priori no pressupem qualquer significado e os procedimentos lgicos arrolados nas




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atividades so os de prova e demonstrao de teoremas, os quais no incluem o uso de

figuras.

Em alguns destes casos, a palavra reta refere-se a conjuntos quaisquer de pontos,

podendo at ser finitos. A palavra ponto se refere a elementos quaisquer (LOPES, 1962;

CASTRUCCI, 1978; BARBOSA, 1995). Deste modo, conforme cada interpretao

considerada para o sistema axiomtico, esses termos no assumem mais os significados

euclidianos habituais, como, por exemplo, o de reta infinita (de nmero de pontos e

comprimento infinitos). Por outro lado, tambm pressuposto que o licenciando domine as

tcnicas de inferncia relacionadas ao raciocnio lgico e aos procedimentos de

demonstrao. Nestes procedimentos, no se deve levar em conta as imagens obtidas por

meio da viso e advindas da observao de representaes grficas, sendo somente

admissvel a utilizao de tcnicas relativas a procedimentos inferenciais prprios

expressos e uma linguagem discursiva (o portugus, no Brasil, ou uma linguagem

simblica). Nesses casos, retas paralelas no devem ser interpretadas como eqidistantes,

mas sim, como um conjunto de pontos que no se interceptam.

Cabe lembrar ainda que, essa maneira formalista de se proceder nos cursos de

Matemtica tem origem no Movimento Matemtica Moderna, o qual, no final da dcada de

1950, veio alijar a percepo visual do processo educacional preconizando que deveriam

ser privilegiadas caractersticas do raciocnio lgico-dedutivo, ligadas s linguagens

simblicas. At antes dessa poca, a GE era ensinada nas escolas de maneira dedutiva e a

partir dos 13 anos, dando-se prioridade s dedues e provas. Porm o desenho geomtrico

tambm era intensamente trabalhado, pois compunha boa parte da grade curricular.

Por outro lado, nas duas ltimas dcadas, observa-se uma retomada da utilizao de

desenhos e figuras nas salas de aula. Isto , registra-se um retorno a uma concepo escolar

imagstica, que adota a observao de figuras no desenvolvimento do raciocnio

matemtico do aluno. Fato esse, cada vez mais acentuado pela aplicao dos recursos

advindos da informtica, pois hoje, no se pode negar, vive-se em uma sociedade

predominantemente visual. No Brasil, essa abordagem imagstica seria decorrente dos

princpios norteadores sobre os quais se fundamentam os Parmetros Curriculares

Nacionais - PCN (BRASIL, 1998) para o ensino fundamental, os Parmetros Curriculares

Nacionais para o Ensino Mdio - PCNEM (BRASIL, 2000) e o conjunto de sugestes de




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prticas educativas complementares denominado Orientaes Educacionais

Complementares aos Parmetros Curriculares Nacionais do Ensino Mdio - PCN+

(BRASIL, 2002). Esses documentos resgatam o papel das imagens no ensino da

Matemtica, portanto, da importncia dos desenhos, figuras e grficos na formao do

conhecimento do aluno.

Essas duas maneiras de conceber o uso das imagens grficas advindas das

tendncias formalista e imagstica no so incuas, tanto no mbito da formao dos

professores como no da escola, e trazem amplas conseqncias para a poltica educacional.

Essas se refletem na elaborao dos currculos e dos livros didticos, no desempenho do

professor na sala de aula e no desenvolvimento da aprendizagem dos alunos. No que se

segue, apresenta-se uma reflexo sobre as conseqncias dessas prticas no que concerne

s GNE.

ABERTURAS PARA SE IR ALM DA JANELA DE EUCLIDES

A nfase na retomada do papel das imagens para a organizao dos currculos se

apresenta nos Parmetros, principalmente nos PCN+. Nesses, a geometria tratada como

um tema cujo papel estruturante pode levar o aluno do Ensino Mdio a olhar para alm da

janela de Euclides, ou seja, a poder desenvolver habilidades relativas a medidas e

grandezas, permitindo-o a avanar na percepo do processo histrico de construo do

conhecimento matemtico para alm do euclidiano. Segundo essas orientaes,

[...] especialmente adequado mostrar diferentes modelos explicativos do espao e suas formas numa viso sistematizada da

geometria com linguagens e raciocnios diferentes daqueles

aprendidos no ensino fundamental com a geometria clssica

euclidiana (BRASIL, 2002, p. 125).

Ainda, segundo os PCN+, ao aluno deve ser dada a oportunidade de perceber como

a cincia Matemtica valida e apresenta seus conhecimentos, bem como ela auxilia no

desenvolvimento do pensamento lgico-dedutivo e no entendimento de aspectos mais

estruturados da linguagem simblica matemtica. Essa maneira de orientar a aprendizagem

no visa memorizao de um conjunto de postulados e de demonstraes, mas busca




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levar o aluno a perceber representaes matemticas diferentes para um mesmo conceito,

bem como a entender que uma afirmao matemtica considerada verdadeira por ser o

resultado de uma deduo lgica. Esta, se apresentando na forma de um encadeamento

lgico e como consequncia de outras proposies provadas previamente a partir de um

conjunto de afirmaes (postulados ou axiomas), aceitas como verdadeiras.

De forma bem direta e objetiva, em um documento regional, as Diretrizes

Curriculares da Educao Bsica - Matemtica - do Estado do Paran apontam que nos

ensinos fundamental e mdio, [...] o contedo estruturante geometrias se desdobra nos

seguintes contedos: Geometria Plana; Geometria Espacial; Geometria Analtica, e

noes bsicas de Geometria no-euclidiana. (PARAN, 2008, p.55). Particularmente,

em relao ao Ensino Mdio, destacam que os estudos das noes de geometrias no-

euclidianas devem ir alm daqueles modelos cuja origem deve-se negao direta do

Quinto Postulado. Consideram que alm das geometrias hiperblica e elptica, a geometria

dos fractais deve tambm ser abordada, pois esta abre oportunidade para a explorao do

floco de neve e da curva de Koch; do tringulo e do tapete de Sierpinski, conduzindo o

aluno a refletir e observar o senso esttico presente nessas entidades geomtricas,

estendendo-o para as suas propriedades.

Pelo exposto e enfatizado pelos documentos citados, desejvel que na educao

bsica o aluno seja confrontado com uma quebra de paradigmas para alm da pura

memorizao, por meio do reconhecimento da importncia das figuras, bem como do

entendimento de outras linguagens grficas e de uma introduo ao raciocnio lgico-

dedutivo no-euclidiano. Portanto, desejvel que se apresente a concepo imagstica na

sala de aula acompanhada de procedimentos que levem ao desenvolvimento de recursos

por meio de inferncias lgicas. Essa inteno vem valorizar a diversidade no tratamento

do conhecimento geomtrico na escola e abrir portas para a incluso de modelos

introdutrios s geometrias no-euclidianas, indo-se para alm do vislumbrado atravs da

janela de Euclides.

O PODER DAS IMAGENS E A QUEBRA DE PARADIGMAS




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Antes de se exemplificar modelos introdutrios s GNE, preciso ser enfatizado

que, na histria das geometrias, foram registradas grandes dificuldades quando os

estudiosos tentaram passar das concepes euclidianas para as abstraes no-euclidianas,

pois as imagens visuais, percebidas do mundo real, sempre influenciaram a representao

dos conceitos geomtricos. Essa influncia perdurou durante mais de 2000 anos, at o

surgimento dos modelos axiomticos das GNE. Estes modelos foram os primeiros

conjuntos de regras matemticas passveis de interpretaes e representaes grficas, na

forma de desenhos, que no correspondiam ao esperado pela percepo visual. Portanto,

modelos que fogem ao conhecimento gerado pelo senso comum.

A importncia de se trabalhar as GNE, at mesmo na escola e, principalmente, no

mbito da licenciatura, reside no fato dessas teorias possibilitarem a quebra de paradigmas

e padres visuais, trazendo o visualmente inesperado para a sala de aula e a oportunidade

de criao de novas imagens e conceitos. Ou seja, de possibilitar trazer padres de

desenhos e relacion-los a expresses e palavras com outros significados alm dos

euclidianos, unindo-se aspectos geomtricos aparentemente antagnicos, quando

apresentados em diferentes linguagens e em outros registros grficos de representao.

Quem no se lembra da imagem de uma reta linear, continua e paralela ao plano do

cho, quando ouve o termo reta? Quem no imagina dois segmentos retilneos

eqidistantes quando ouve a expresso retas paralelas? Como mostra a pesquisa realizada

na UFF, imagens como essas surgem e impregnam a nossa mente de maneira espontnea.

Interferir e quebrar com tais procedimentos mentais, to poderosos e comuns a todos, se

apresenta como um rduo trabalho para a escola...

Se for considerado o comportamento do professor, a incluso dos novos

conhecimentos geomtricos na escola pode no se realizar, pois, at mesmo no mbito da

formao continuada, se apresenta uma ampla variedade de dificuldades ligadas a essas

imagens, ao uso da linguagem e resoluo de problemas introdutrios s GNE, as quais

se refletem no desempenho profissional, como constatado nas porcentagens apresentadas

anteriormente, advindas da pesquisa realizada pela autora (KALEFF, 2007).

No que se segue, apresentam-se alguns modelos de GNE que tanto podem ser

introduzidos no ensino bsico como vir a ajudar o professor a transformar os seus prprios

conhecimentos. Esses modelos visam a preparar o profissional para melhor entender como




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o aluno pode ter o comportamento geomtrico influenciado por essas imagens na criao

de novos conceitos e nos estudos futuros mais avanados em Matemtica.

MODELOS DE GEOMETRIAS NO-EUCLIDIANAS: POSSIBILIDADES

Existe uma variedade de exemplos de modelos de GNE que permitem ao

licenciando e ao professor observar situaes introdutrias e a complementaridade entre

aspectos ligados a ambas as concepes didticas, imagstica e formalista. Por exemplo,

em alguns desses modelos podem ser vistos at mesmo desenhos de circunferncias que

so denominadas retas, ou mesmo traos, na forma de segmentos lineares retilneos finitos,

que apesar de no conservarem a mesma distncia so denominados retas paralelas.

Muitos exemplos interessantes de representaes de retas com aparncia visual inesperada

podem ser encontrados na literatura. Entre os modelos introdutrios mais sugestivos esto

alguns de geometrias hiperblicas: o circulo cujas retas so cordas, criado por Klein; o do

circulo cujas retas so circunferncias ortogonais e o do semiplano superior, ambos

criados por Poincar. Neste ltimo, as retas so ou semicircunferncias com centro em um

ponto da reta que determina o semiplano, ou semiretas com origem nela e perpendiculares

ela (FRANCO DE OLIVEIRA, 1995; KALEFF, 2005).

Figura 1 Exemplos de retas no modelo de Klein e nos de Poincar.

Entre os sistemas possveis de serem levados para a escola, cabe lembrar outra

geometria, criada com fins didticos e designada em ingls por Taxicab Geometry. Em

lngua portuguesa, designada por Geometria do Motorista do Txi, Pombalina, do Taxista,

ou ainda do Txi, a qual tem por base terica a adaptao de uma mtrica particular e

pertencente a uma famlia de espaos mtricos criados pelo matemtico Hermann

Minkowski, ainda no sculo XIX.




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So vrios os motivos que levam os educadores matemticos a proporem o ensino

da Geometria do Txi (GT) nas escolas. Nessa direo, ela pode ser apresentada com a

inteno de se integrar a Matemtica ao cotidiano do aluno e para a formao do cidado,

pois se apresenta em todos os lugares, no podendo, portanto, deixar de ser encontrada no

espao das salas de aula e at das ruas. Assim sendo, a GT modela mais fielmente uma

geografia urbana do que a prpria GE.

Na GT, se calcula a distncia entre dois pontos por meio da soma de dois valores

numricos absolutos, isto , medindo-se o comprimento dos menores caminhos percorridos

- em trechos horizontais e verticais, considerados segundo um determinado referencial -

respeitados os limites fsicos das construes, estabelecidos por meio de ruas, paralelas ou

perpendiculares entre si. Por outro lado, na GE, considera-se a distncia (euclidiana) entre

dois pontos como sendo o comprimento do segmento de reta que os une, obtida, portanto,

com o auxilio do Teorema de Pitgoras.

Embora a GT pouco difira conceitualmente da GE, pois o faz apenas pela

modificao da definio de distncia, esse pequeno detalhe matemtico, apresenta uma

grande diferena, quando observado do ponto de vista da concepo imagstica para a sala

de aula. Ou seja, as diferenas dos traados grficos das figuras, em ambas as geometrias,

permitem ao aluno observar variaes das formas e tamanhos entre os desenhos

padronizados da GE e aqueles das novas figuras na GT. Essas variaes de traados dos

desenhos podem ser percebidas at mesmo por jovens adolescentes. Por exemplo, o

conceito circunferncia, ainda que apresente uma mesma definio nas duas geometrias,

permite duas formas de traado. Na GE, como curva padro e redondinha e, outra, na GT,

como um quadrado.

A GT permite ainda se chegar negao de um dos axiomas euclidianos de

congruncia, o conhecido como LAL, tal seja: Se dois tringulos ABC e DEF tm lado,

ngulo e lado consecutivos respectivamente congruentes, ento estes dois tringulos so

congruentes.




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Figura 2 Exemplo de duas figuras na GT que negam o axioma LAL.

Cabe lembrar como essa peculiar GT est ligada a algumas experincias brasileiras

j realizadas para o ensino das GNE, desde a ltima srie do ensino fundamental at o

curso superior. Ela tratada por Kaleff e Nascimento (2004), que, de uma maneira muito

concreta, mostram que a GT pode ser modelada por meio de uma maquete de um bairro.

Por sua vez, Fossa (2003) e Noronha (2006) apresentam extensas colees de atividades

para a sala de aula envolvendo o traado de uma cidade e o desenho de redes. Uma rede

quadriculada d origem chamada geometria urbana e uma rede isomtrica geometria

isoperimtrica. Com base em uma pesquisa bem fundamentada na experimentao, com

vistas construo do entendimento dos conceitos de circunferncia e elipse a partir da

intuio, Noronha apresenta uma proposta de ensino para o 4 ciclo do ensino fundamental

baseada na modelagem matemtica dessas duas geometrias e na resoluo de problemas.

Existem outras GNE que tm sido pesquisadas com vistas ao ensino. o caso da

geometria da esfera, com sua interdisciplinaridade intrnseca geografia, cuja aplicao ao

ensino fundamental proposta por Martos (2002), em estudo baseado em uma experincia

envolvendo tambm turmas da 9 srie. Neste estudo, o uso de vrios materiais

manipulveis possibilita modelar a reta na forma de um crculo mximo, bem como

comparar distncias e medidas de ngulos na GE e na geometria esfrica. Para tanto,

Martos utiliza uma esfera de Lnrt (LNRT, 1996).

As experincias relatadas mostram que existem caminhos para que outros sistemas

geomtricos alm do euclidiano possam ser introduzidos at mesmo nas escolas de ensino

bsico. Tal possibilidade, no entanto, est vinculada ao livro didtico, ou seja, principal

ferramenta utilizada na sala de aula pelos professores desse nvel escolar. Dessa forma,

uma nova pergunta se coloca:

Como os livros didticos tratam as GNE?

A B

C D

E F




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AS GEOMETRIAS NO-EUCLIDIANAS NOS LIVROS DIDTICOS

Os modelos finitos de Young e Fano podem ser encontrados principalmente entre

os autores brasileiros pioneiros dos tratamentos axiomticos que modificam os axiomas

euclidianos, como os j mencionados Lopes, Castrucci e Barbosa; no entanto, isso no

acontece nos livros para o Ensino Mdio. preciso ser ressaltado que, em Portugal, as

geometrias finitas apareceram nos livros didticos para esse nvel de ensino j no final da

dcada de 1990 (JORGE et al, 1999).

Por outro lado, a to instigante GT j foi introduzida no Brasil por Antnio J. L.

Bigode, com o nome de geometria do taxista, em livro didtico para a antiga 8 srie, atual

9 ano do Ensino Fundamental (BIGODE, 2002). No entanto, em relao aos livros

didticos para o Ensino Mdio recentemente mais solicitados ao PNLEM pelas escolas

pblicas, isso ainda no acontece, como foi observado em dois estudos realizados na UFF.

Nesses, analisaram-se as trs colees de livros didticos mais pedidas pelos professores

em 2006 e 2008.

Entre as colees escolhidas em 2006, foram analisadas as duas primeiras:

Matemtica Aula por Aula (BARRETO FILHO & SILVA, 2003) e Matemtica (DANTE,

2004). Entre as mais solicitadas em 2008, foi analisada a terceira Matemtica (DANTE,

2008), a qual apresenta os contedos das trs sries do Ensino Mdio em um nico

volume. Os resultados dessas anlises esto resumidos em Kaleff e Franca (2008) e em

Kaleff e Morett (2010), respectivamente.

Nos volumes 1 e 2 da coleo Matemtica Aula por Aula, foi verificada a presena

de uma mesma citao relativamente a retas paralelas, na qual os autores fazem meno

existncia das GNE e da sua importncia no desenvolvimento da Matemtica, nos textos

introdutrios aos captulos Progresses e Retomando Progresses, respectivamente. O

segundo volume se encerra com outra citao, no contexto de A geometria no mundo

cientfico. A narrativa dessa citao muito semelhante anterior e tambm trata somente

do aparecimento histrico das GNE. O livro faz meno a uma reportagem da revista

Superinteressante que considera os fractais como A matemtica do delrio.

Na segunda coleo Matemtica, foram encontradas quinze citaes referentes s

retas paralelas e uma s GNE. Em relao a essas geometrias, a coleo apresenta, sem




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muito destaque, e em uma seo destinada leitura complementar, um resumo histrico

sobre a GE e o surgimento das GNE. O texto considera o Quinto Postulado como viga-

mestra da geometria euclidiana, explicando ainda que foi a partir da desconsiderao

desse postulado que surgiram os novos sistemas geomtricos no-euclidianos. Embora o

livro reconhea o surgimento dessas outras geometrias como determinante para o avano

das cincias, essa coleo tambm no traz nenhuma atividade didtica que permita ao

aluno vivenciar alguma noo no-euclidiana. Isso poderia ser realizado, por exemplo, no

primeiro volume, no captulo Funes, no qual proposto um exerccio que trata de

coordenadas geogrficas e faz referncia superfcie e ao globo terrestre. No entanto, nem

a geometria esfrica e nem as suas retas, na forma de circunferncias mximas, so

tratadas, ainda que sejam utilizados termos geomtricos como o de paralelos geogrficos.

Por sua vez, o mesmo autor da coleo anterior, na verso editada em volume nico

para 2008, apresenta postura semelhante, exibindo somente uma referncia histrica sobre

o surgimento das GNE. Nesse volume no h meno aos fractais.

Dos estudos realizados, pode-se afirmar que os livros didticos apresentam uma

louvvel preocupao em seguir as orientaes dos PCN, PCNEM e PCN+, quando se

referem s GNE em citaes histricas motivadoras para o desenvolvimento de outros

contedos matemticos ou em exerccios de aplicao. Embora os livros no tenham a

preocupao em introduzir contedos de outras geometrias alm da GE. Pode-se afirmar

que lamentavelmente os autores no se preocupam em explorar desenhos que chamem a

ateno do aluno para a existncia de outras representaes grficas, o que viria a

potencializar a quebra dos padres e paradigmas visuais euclidianos. Tudo indica que, no

caso das GNE, os autores de livros didticos muito contribuiriam se viessem a repensar e

reconsiderar como apresentam os novos contedos geomtricos.

Com base nas pesquisas aqui relatadas, acredita-se que os livros deveriam

considerar as dificuldades relacionadas s representaes euclidianas, bem como as

diversas formas grficas pelas quais os novos contedos geomtricos no-euclidianos

podem ser representados. Tal exerccio no se constitui em mais um revisitar de noes e

partes lgicas constitutivas da Matemtica, independentes das representaes e linguagens,

mas, requer tambm a considerao daquelas dimenses advindas das relaes entre o

ensino e a aprendizagem. Pelo apresentado, as concepes imagstica e formalista,




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consideradas por alguns meios acadmicos como antagnicas, poderiam ser tomadas como

complementares quando se tratam das prticas pedaggicas que visam a levar o professor e

o aluno para alm das concepes geomtricas euclidianas elementares.

Resumidamente, para se ir alm da utopia e se ter a possibilidade de introduzir as

GNE na escola bsica, necessrio que sejam consideradas as pesquisas realizadas pelos

educadores matemticos que vm tratando das maneiras de se apresentar contedos

geomtricos a crianas e adultos. necessria a cooperao de todos, no s no nvel da

formao do professor, mas tambm no dos autores dos livros didticos para que os

professores e alunos possam entender e ultrapassar as dificuldades inerentes ao processo de

aprendizagem, para que se possa vir a ter a possibilidade de enxergar para alm dos

padres euclidianos e da janela aberta por Euclides.

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