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GEOMETRIA ANALTICA: CIRCUNFERNCIA
PROFESSOR RAFAEL LOUZADA
CIRCUNFERNCIA E CRCULO Crculo e circunferncia so a mesma coisa ?Vejamos as definies:
Circunferncia:
o lugar geomtrico de todos os pontos de um plano que esto localizados a uma mesma distncia r de um ponto fixo denominado centro da circunferncia.Crculo(Disco): o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distncia a um ponto fixo O menor ou igual que uma distncia r dada. O crculo a reunio (ou unio) da circunferncia com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma.
CIRCUNFERNCIA E CRCULOIO RA r
rea do crculo
S = r
O Comprimento da Circunferncia IMPORTANTE SABER: 1)Todo ponto da circunferncia pertence ao crculo. 2)Existem pontos do crculo que no pertencem circunferncia. 3)O centro, raio e o dimetro da circunferncia so tambm centro, raio e dimetro do crculo.
C=2 r
Circunferncia no Plano CartesianoSabemos, pela Geometria Plana, que circunferncia o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo.y
A
O ponto fixo Ochama-se centro da circunferncia.
O C
x
B
y
o ai R r
x
Equao da Circunferncia Considerando determinada situao em que a distncia entre os pontos P(x,y) e A(5,3) igual a situa 2. Qual ser a relao que se pode estabelecer entre x e y ? ser rela
Pela frmula da distncia entre dois pontos temos que:
d
( P , A)
= ( x 5) + ( y 3)
d =2 2 = ( x 5) + ( y 3) 2 = ( ( x 5) + ( y 3) )( P , A) 2
4 = ( x 5) + ( y 3)
y
3
5
x
(x,y) = (5,3) (x-5)^2+(y-3)^2=4
y
x
EQUAO REDUZIDA DA CIRCUNFERNCIA
(x a) + ( y b) = rNa equao temos: O centro O da circunferncia O (a,b) e o raio r.
EXERCCIO: 01-D as coordenadas do centro e o raio das circunferncias representadas pelas equaes: A) (x 5) + (y 4) = 1 B) (x -2) + y = 4 C) (x + 3) + (y -1) = 16 D) x + y = 10 02 Determine uma equao da circunferncia que tem: A) centro em C(2,5) e raio 3 B) centro em M(-1,-4) e raio 2 C) centro em Q(0,-2) e raio 4 D) centro em D(4,0) e raio 5
EQUAO NORMAL DA CIRCUNFERNCIA
Vamos desenvolver a equao da circunferncia (x a) + (y b) = r:
EQUAO NORMAL DA CIRCUNFERNCIA
Ao desenvolvermos obtemos o que se chama de EQUAO NORMAL OU GERAL DA CICUNFERNCIA:
x + y - 2ax 2by + (a + b - r) = 0
EXEMPLO DETERMINE O CENTRO E O RAIO DA CIRCUNFERNCIA QUE POSSUI EQUAO x + y -2x + 4y 4 = 0.
RESPOSTA: CENTRO O(1,-2) E RAIO r = 3
EXERCCIO As seguintes equaes representam circunferncias; determine as coordenadas do centro e o raio em cada caso: A) x + y - 4x 8y + 16 = 0 B) x + y + 12x 4y 9 = 0 C) x + y + 8x + 11 = 0 D) 2x + 2y - 8x + 12y 6 = 0
Condio de Existncia de uma CircunfernciaConsideremos a equao genrica Ax + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. Para 0 que ela represente uma circunferncia necessrio que sejam atendidas trs condies:
1 condio:
tem de ser igual ao coeficiente de y.
A= B0
, ou seja, o coeficiente de x
2 condio: C = 0, ou seja, no pode existir o produto xy.
3 condio: D + E - 4AF > 0, ou seja, garantimos que o raio raiz de um nmero positivo e portanto nmero real.
Posies Relativas entre ponto e CircunfernciaVimos que um ponto pertence a circunferncia quando a distncia entre o ponto e o centro igual ao raio e/ou suas coordenadas satisfazem a equao da circunferncia. No entanto, h casos em que, dado um ponto qualquer, este pode no pertencer circunferncia, sendo sua distncia ao centro maior ou menor que o raio. Assim, dada uma circunferncia de centro C(a,b) e raio r e um ponto P ( , ) qualquer, h trs possibilidades:
x yp
p
1- O ponto pertence a circunferncia: As coordenadasdo ponto satisfazem a equao da circunferncia, isso significa que a distncia entre o ponto e o centro igual ao raio.
( x p a) + ( y b) = r p
2 -
do ponto no satisfazem a equao da circunferncia e a distncia entre o ponto e o centro da circunferncia maior que o comprimento do raio Nesse caso, temos:
Ponto Exterior Circunferncia: As coordenadas
( x p a) + ( y b) > r p
.P
ponto no satisfazem a equao da circunferncia e a distncia desse ponto ao centro menor que o comprimento do raio, isto :
3 - Ponto Interior Circunferncia: As coordenadas do
( x p a) + ( y b) < r p
.P
Posies Relativas entre Reta e Circunferncia:So trs as posies entre reta e circunferncia: 01) Secante: 02) Tangente: 03) Exterior Circunferncia:
Nesse caso, a distncia do centro da circunferncia reta menor do que o raio.A reta e a circunferncia tm dois pontos comuns.
Nesse caso, a distncia do centro da circunferncia reta igual ao raio. A reta e a circunferncia tm um nico ponto em comum.
Nesse caso, a distncia do centro da circunferncia reta maior do que o raio. A reta e a circunferncia no tm ponto comum.
OBS.: Para realizao dos exerccios fundamental lembrarmos da frmula da distncia entre ponto e reta.
d=
| a xp + b y + c |p
a + b
Exemplo So dadas a reta r, de equao 2x + y 1 =0, e a circunferncia x + y + 6x 8y = 0. Vejamos qual a posio da reta r em relao circunferncia. 1 Passo: Devemos encontrar o centro e o raio da circunferncia. 2 Passo: Determinar a distncia do centro da circunferncia at a reta, comparando com o raio (se maior, menor ou igual)
EXERCCIOS
01- Identifique a posio da reta em relao circunferncia, em cada caso:a) x y + 3 = 0 x + y + 4x - 6y + 11 = 0 b)x y 2 = 0 x + y - 8x + 4y + 18 = 0 c)x y 2 = 0 x + y - 10x + 2y + 18 = 0 d) 2x y 3 = 0 x + y - 3x + 2y 3=0 e) x y + 1 = 0 x + y - 10y + 15 = 0 f) 4x 7y 28 = 0 x + y - 2x - 4 = 0
RESPOSTAS: a) Tangente b) Exterior c) Tangente d) Secante e) Secante f) exterior
02 A equao da reta tangente circunferncia de centro (-2,1) no ponto (-3,3) : (A) x 2y + 9 = 0 (B) x + 2y 9 = 0 (C) 2x + y + 1 = 0 (D) 2x + y 1 = 0 (E) 2x + y 9 = 0
03 A circunferncia com centro na origem e tangente reta 3x + 4y = 10 tem equao: (A) x + y = 1 (B) x + y = 2 (C) x + y = 3 (D) x + y = 4 (E) x + y = 5