geometria.......4ºano

ACETATOS – MATEMÁTICA

4º ANO

Geometria

2013-2014

,......,, CBA

é um ramo da Matemática que estuda as propriedades e

as dimensões das linhas, das superfícies e dos volumes, no plano e no espaço.

O Ponto é o elemento mais “pequeno” que se estuda em Geometria, sendo

considerado a mais pequena unidade gráfica.

PONTO, RETA e PLANO:

Vós já tendes uma ideia intuitiva (clara) sobre ponto, reta e plano, pois:

Um furo de agulha num papel dá ideia de ponto.

Uma corda bem esticada dá ideia de reta.

O quadro negro da sala de aula dá ideia de plano.

O ponto, a reta e o plano são Conceitos primitivos no estudo da Geometria.

Conforme verificaste , o ponto, a reta e o plano são identificados de modos

diferentes.

PONTO é identificado com letras maiúsculas do nosso alfabeto

RETA é identificada com letras minúsculas do nosso alfabeto

PLANO é identificado com letras gregas minúsculas

Apesar de, habitualmente, se marcar um ponto fazendo pressão sobre o papel com

o bico do lápis ou caneta, em Geometria, o ponto é definido pelo cruzamento de

duas linhas, sejam elas curvas ou retas.

,......,, cba

,.....,,


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Geometria

2013-2014

As linhas são o prolongamento de um ponto

É o que fazes quando pousas o lápis na folha e sem o levantares fazes um

movimento.

Numa reta há infinitos pontos.

Num plano há infinitos pontos.

Num plano existem infinitas retas.

Por dois pontos distintos passa uma única reta. Num plano há infinitos pontos

Indicaremos por uma reta que passa pelos pontos A e B.

AB


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Os pontos alinhados, pertencentes a uma mesma reta são chamados Colineares.

Os pontos que estão à mesma distância de um dado ponto chamam-se

pontos equidistantes.

Assim, na imagem:

- Os pontos 3 e 4 estão

à mesma distância do

ponto 2 - são pontos

equidistantes do

ponto 2.

- os pontos M e N estão

à mesma distância do

ponto 4 – são pontos

equidistantes do

ponto 4.

Os pontos A, B e C

são pontos alinhados

- são colineares

Os pontos R, S e T

são pontos não alinhados

- são não colineares


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Em Matemática, existe um

sistema de referência que

permite localizar pontos no

plano - o referencial cartesiano.

Este é constituído por dois

eixos, perpendiculares entre si,

que se cruzam num ponto a que

se chama origem. Cada um

desses eixos tem uma

orientação, indicada por uma

seta, e uma graduação, tal como

se vê na figura seguinte.

COORDENADAS CARTESIANAS

As coordenadas formam o par

ordenado (x,y).

As coordenadas do ponto A são

(C,20).

As coordenadas do ponto B são

(G,20).

As coordenadas do ponto C são

(F,50).

Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º

elemento e y é o 2º elemento.

Os números do par ordenado são chamados coordenadas cartesianas.


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Plano Cartesiano

Representamos um par ordenado num plano cartesiano.

Esse plano é formado por

duas retas, x e y,

perpendiculares entre si.

A reta horizontal é o eixo das

abscissas (eixo x).

A reta vertical é o eixo das

ordenadas (eixo y).

O ponto comum dessas duas

retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado

(0, 0).


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As linhas são o prolongamento de um ponto.

É o que fazes quando pousas o lápis na folha e sem o levantares fazes um

movimento.

As linhas podem ser :

RETA - não tem princípio nem fim e identifica-se com uma letra minúscula

sobre a linha.

SEMI-RETA - com princípio e sem fim e identifica-se com uma letra

MAIÚSCULA no início.

SEGMENTO DE RETA - com princípio e fim ( pode-se medir ) e identifica-se, no

princípio e no fim, com letras MAIÚSCULAS.


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Asr

sr

Vamos aprender ou recordar o que define as linhas retas quanto à sua

posição:

HORIZONTAL quando se alinha pelo horizonte.

OBLÍQUA quando não está na posição vertical ou horizontal,

quando dá a sensação de inclinação.

VERTICAL quando toma a posição do “fio-de-prumo”.

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO

Retas concorrentes: quando têm um único ponto comum.

Retas paralelas: quando não têm ponto comum.


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PA

SEMI – RETA: Um ponto P qualquer de uma reta r divide esta reta em

duas partes denominadas semi-retas de origem

Para distinguir as semi–retas, vamos marcar os pontos A e B

pertencentes a cada semi-reta.

Semi-reta de origem P e que passa pelo ponto A

Semi-reta de origem P e que passa pelo ponto B

SEGMENTO DE RETA: Um segmento de reta de extremidades A e B

é o conjunto dos pontos que estão entre elas, incluindo as extremidades

Indica-se o segmento por

PB

AB AB


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SEGMENTOS CONSECUTIVOS:

Dois segmentos de reta que têm uma extremidade comum são

chamados consecutivos

SEGMENTOS COLINEARES:

Dois segmentos de reta são colineares se estão numa reta

e são colineares

SEGMENTOS CONGRUENTES:

Dois segmentos de reta são congruentes quando possuem medidas

iguais.

AB QR


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PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO:

Um ponto M é chamado ponto médio de um segmento se M está

entre A e B e

Vamos aprender ou recordar o que define as linhas retas quanto à sua

situação em relação umas às outras:

PARALELAS - São aquelas que por muito se

prolonguem, nunca se encontram, mantendo sempre a

mesma distância entre si.

CONCORRENTES - São aquelas que se cruzam num

ponto, formando ângulos entre si.

PERPENDICULARES - São concorrentes e formam entre si ângulos retos, com

90º.

ABMBAM


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ÂNGULO é uma região de um plano limitada por duas semi-retas (

lados do ângulo) com a origem no mesmo ponto (vértice do ângulo).

O é o vértice do ângulo

As semi-retas OA e OB são denominadas lados do ângulo

Para identificar esse ângulo utilizamos a notação AOB ou BOA

(Lê-se “ângulo AOB”) A letra que corresponde ao vértice deve ficar no meio.


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A “ Ferramenta” que utilizamos para

medir (saber o valor em graus) de

um ângulo, chama-se

TRANSFERIDOR.

Medida de um ângulo

ÂNGULO é o espaço compreendido entre duas retas concorrentes, sendo o GRAU (

º ) a unidade de medida da amplitude dos ângulos.

A medida de um ângulo é dada pela medida da sua abertura (amplitude) e a

unidade padrão utilizada é o grau, que se representa pelo símbolo º após o número.


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ÂNGULO RETO

ÂNGULO RETO quando as linhas formam

entre si um ângulo de 90º.

ÂNGULO AGUDO quando formam entre

si ângulos inferiores a 90º.

ÂNGULO OBTUSO

quando formam entre si

ângulos superiores a

90º.

Ângulo Raso

Quando duas semi-retas são opostas, dizemos que formam um ângulo

raso ou de

meia-volta.

BAC é um ângulo raso ou de meia-volta

Ângulo Raso: Ângulo que

mede exatamente 180°


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Ângulo Nulo

Quando duas semi-retas coincidem, obtemos um ângulo nulo, ou seja um

ângulo de amplitude 0º.

Ângulo Giro

Ângulo giro é um ângulo que mede 360°


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Ângulos Adjacentes

Ângulos adjacentes são ângulos que têm um vértice e um lado em

comum e não se sobrepõem.

Ângulo Geometricamente Iguais

Dois ângulos dizem-se geometricamente iguais, ou congruentes,

quando sobrepostos coincidem um com o outro, ponto por ponto; ou

seja, quando tem a mesma amplitude.

Na figura, temos que: ABC e DEF são

ângulos congruentes.

Dois ângulos opostos pelo vértice são

sempre congruentes


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Dois ângulos que tenham a mesma abertura dizem-se

geometricamente iguais. Quer dizer que têm a mesma

amplitude.

Ângulo Complementares e Suplementares

Dois ângulos são complementares quando a

soma de suas medidas é 90º .

Dois ângulos são suplementares

quando sua soma é 180°.


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Figuras no plano - Figuras geométricas

Em geometria, duas figuras são congruentes se elas possuem a mesma forma e

tamanho.

Polígono - figura plana limitada só por segmentos de reta, chamados lados dos

polígonos onde cada segmento de reta, interseta exatamente dois outros extremos;

-se os lados forem todos iguais e os ângulos internos também, o polígono diz-se regular.


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ELEMENTOS DE UM POLÍGONO

Polígonos Regulares

Polígonos com lados e ângulos todos iguais


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Polígonos Irregulares

Um polígono irregular é aquele que não possui os ângulos com

medidas iguais e os lados não possuem o mesmo tamanho.

Triângulos

Triângulo é uma figura plana limitada por três segmentos de reta (os

lados).

Existem três tipos de triângulos considerando as medidas dos

seus lados:

Equilátero: quando todos os lados

são iguais.


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Isósceles: quando dois lados e só 2 são iguais.

Escaleno: quando todos os lados são

diferentes.

Considerando as medidas dos seus ângulos, os

triângulos podem ser:

Triângulo Retângulo - triângulo onde um dos ângulos é

reto

Triângulo Acutângulo - triângulo cujos ângulos

são todos agudos

Triângulo Obtusângulo - triângulo onde um dos ângulos

é obtuso


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Paralelogramo: Quadrilátero com dois pares de lados paralelos;

Características de um paralelograma:

A soma de dois ângulos consecutivos é de 180°;

As diagonais cortam-se no ponto médio;

Os lados opostos são congruentes;

Os ângulos opostos são congruentes.

Tipos de Paralelogramas:

Paralelogramo Obliquângulo: Os lados

opostos são iguais entre si;

Retângulo: Possui quatro ângulos de 90°, e os

lados opostos são iguais entre si;

Losango: Todos os lados são iguais entre si;

Quadrado: Possui quatro ângulos de 90°, e todos os

lados são iguais entre si. As diagonais cruzam-se no

ponto médio.


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Trapézio: Quadrilátero com lados paralelos;

Pentágono é um polígono de cinco lados. A soma dos ângulos de um

pentágono é de 540 graus.

Hexágono é um polígono de seis lados. A soma dos ângulos de um

hexágono é de 720 graus.


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Heptágono é um polígono de sete lados. A soma dos ângulos de um

heptágono é 900 graus.

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.

Um quadrilátero diz-se regular se tem todos os lados e ângulos iguais.

Um quadrilátero tem:

4 lados - [AB] , [BC] , [CD] , [DA]

4 vértices - A , B , C , D ;

4 ângulos - CBA , DCB , ADC , BAD;

[AC] e [BD] são as diagonais


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Circunferência

Uma circunferência é o conjunto de

pontos que estão todos à mesma

distância de um ponto nele

fixado chamado centro

O centro não pertence à

circunferência.

Circunferência é uma linha

curva fechada, cujos pontos se

encontram todos à mesma

distância do centro.

Círculo - é uma figura plana formada por uma circunferência e por

todos os pontos que pertencem à sua parte interna.

O centro pertence ao círculo.

Círculo é o espaço limitado pela circunferência.

Semi é o mesmo que

metade!

semicircunferência

Semicircunferência metade de

uma circunferência.

Semicírculo metade de um

círculo.


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Diâmetro - é um segmento de reta que

liga dois pontos da circunferência

passando pelo centro.

Raio é qualquer segmento de reta

que liga qualquer ponto da

circunferência ao seu centro.

O raio mede metade do diâmetro.

Corda é qualquer segmento de reta que liga dois pontos da

circunferência sem passar pelo seu centro.

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