GEOMETRIA VIVA NO ENSINO BÁSICO

Cristina Loureiro, ESE de Lisboa cristina@eselx.ipl.pt

Resumo

A expressão geometria viva que dá nome e conteúdo a esta conferência decorre de algumas experiências de sala de aula realizadas no âmbito do Programa de formação contínua em Matemática para professores dos 1º e 2 ciclos do Ensino Básico. Estas experiências e a reflexão sobre episódios nelas vividos têm contribuído para encarar novas caminhos para o ensino e a aprendizagem da geometria nos níveis elementares. O ponto de partida são sequências de tarefas de geometria que incidem fundamentalmente no estudo dos quadriláteros mas que incluem também o conhecimento sobre ângulos e sobre simetria. Por um lado, este trabalho tem-me levado a formular problemas matemáticos interessantes em que nunca tinha pensado. Por outro, as minhas perspectivas didácticas têm-se vindo a alargar ao analisar o raciocínio geométrico das crianças e o poder das actividades de geometria. Além disso, estas experiências têm constituído momentos de desenvolvimento profissional muito ricos para os professores que comigo as têm vivido. É por isso que considero que nos episódios escolhidos foram vividas situações que desafiam o saber matemático e didáctico do professor. Este trabalho apresenta e discute esses problemas geométricos e algumas perspectivas didácticas.

Este trabalho tem vindo a ser realizado nos dois últimos anos lectivos com

professores participantes no programa de Formação contínua em Matemática para

professores do 1º e 2º ciclos do Ensino Básico. A motivação para uma reflexão e estudo

mais profundo sobre a geometria vivida nas salas de aula do 1º ciclo ganhou força no

ano de 2008 em duas experiências realizadas com duas professoras diferentes, uma com

alunos do 2º ano e outra com alunos do 3º ano. Essas duas experiências levaram-me a

pensar em aspectos da geometria novos para mim. Este ano lectivo, num trabalho mais

consistente com quatro professoras, fui novamente levada a pensar em mais geometria

nova. Foi por isso que decidi designar este trabalho por geometria viva.

Perfilhando a ideia de geometria “como uma rede complexa de interligações

entre conceitos, modos de pensar, e sistemas de representação que são usados para

conceptualizar e analisar ambientes espaciais físicos e imaginados” (Battista, 2007),

faz sentido afirmar que a geometria está viva quando se descobrem ligações novas nessa

rede, ou quando se apela a novos modos de pensar e se recorre a novos sistemas de

representação, entendendo o novo como o que é desconhecido para o sujeito ou que ele

descobre pela primeira vez. Na perspectiva das crianças que viveram esta geometria,

penso que a vivacidade esteve presente no desenvolvimento do seu raciocínio espacial,

entendida como “a capacidade para “ver”, analisar e reflectir sobre objectos

espaciais, imagens, relações e transformações” (Battista, 2007).

As ideias geométricas novas que apresento procuram enquadrar-se nas

orientações desenvolvidas por Hans Freudenthal (1991) ao propôr o recurso a pequenos

mundos que possam ser estruturados pelas crianças. Essa actividade das crianças

constitui uma real actividade matemática que pode ser designada por matematização.

Neste caso particular da actividade geométrica penso que é importante destacar também

a visualização como um processo cognitivo fundamental. Segundo Duval (1998)

visualização, construção e raciocínio são os três processos cognitivos envolvidos na

actividade geométrica.

Classificação de quadriláteros

A primeira discussão parte de uma sequência de três tarefas experimentada com

alunos do 2º ano. O encadeamento foi a descoberta condicionada de figuras geométricas

no geoplano de 5 por 5 pela seguinte ordem: quadrados; rectângulos; quadriláteros. No

desenvolvimento das tarefas os alunos começavam sempre por representar a figura no

geoplano e depois representavam-na em folhas de papel ponteado. Na passagem da

primeira para a segunda actividade foi introduzido um pequeno instrumento de

cartolina, o detector de ângulos rectos, visível na figura 1, com o qual os alunos

aprendiam a decidir se um ângulo era ou não recto. Este tipo de decisão é fundamental

para identificar quadrados e rectângulos nas “posições inclinadas” no geoplano, isto é,

aqueles cujos lados não estão sobrepostos à rede de rectas paralelas e perpendiculares

definidas pelos pontos do geoplano.

Fig. 1

A segunda tarefa causou alguma discussão na turma sobre o facto de os

quadrados poderem ou não ser considerados também como rectângulos. Alguns alunos

aceitaram bem esta ideia, mas outros não. Sendo alunos muito pequenos, a professora e

eu decidimos avançar e foi por isso que passámos à tarefa dos quadriláteros para os

deixar livremente ampliar o seu mundo de quadriláteros. Nesta terceira tarefa surgiu

uma variedade muito grande de quadriláteros que permitiu organizar uma discussão

colectiva sobre classificação. Embora os alunos tenham ficado apenas na classificação

mais simples, separando os quadriláteros côncavos dos convexos, havia outras

possibilidades muito interessantes acessíveis a estes alunos. A reflexão sobre as

produções destes alunos levou-me à realização de um estudo sobre a classificação

(Loureiro, 2008), em que desenvolvo alguns aspectos desta acção como componente

básica do raciocínio matemático. Registo três classificações possíveis de quadriláteros:

sem lados paralelos

com lados paralelos

sem lados paralelos

com 2 lados paralelos

com 2 pares de lados paralelos

sem ângulos rectos

com 1 ângulo recto

com 2 ângulos rectos

com 4 ângulos rectos

Chamo especialmente à atenção para esta última classificação quanto ao número

de ângulos rectos pois é a que tenho discutido mais frequentemente. Na perspectiva

geométrica, esta classificação não se enquadra na geometria absoluta e sim na geometria

euclidiana, atendendo a que ela parte da incorporação implícita do axioma das paralelas

e assim corresponde a um nível de conceptualização mais elementar, como defende

Bongiovanni (2009). O seu grande valor didáctico é que esta classificação forma

naturalmente a classe dos rectângulos, onde se incluem os quadrados, como a classe dos

quadriláteros com 4 ângulos rectos. Para crianças tão pequenas o destaque de uma

classe de quadriláteros obtida desta forma ajuda a construir o conceito de rectângulo no

sentido lato que desejamos.

Os diversos exemplos de classificação matemática que estudei procuram seguir

a linha da importância dada a esta componente básica do raciocínio matemático,

destacada por Zaslavsky, Chapman e Roza (2003), que afirmam que a classificação de

diferentes objectos matemáticos de acordo com vários critérios pode salientar a

consciência que temos dos modos como eles se relacionam entre si. Para além da

identificação de semelhanças e diferenças entre os objectos matemáticos em diversas

dimensões, este tipo de raciocínio obriga-nos a pensar nas figuras geométricas como

objectos compostos cujas componentes têm papéis diversificados. Por isso este estudo

conduziu-me naturalmente à necessidade de melhorar as tarefas a propor aos alunos e à

realização de outras experiências de sala de aula sobre classificações de quadriláteros.

Assim, a tarefa da construção livre de quadriláteros evoluiu para uma proposta

condicionada à existência de pelo menos um ângulo recto em que era exigida a

identificação com cores dos ângulos do quadrilátero. Este destaque das componentes do

quadrilátero revelou-se muito importante e permitiu deixar abertos outros

encadeamentos de tarefas.

Ângulos num quadrilátero

Na classificação de quadriláteros pelo critério do número de ângulos rectos

destaca-se uma situação interessante, não há nenhum quadrilátero com apenas três

ângulos rectos. Este facto originou reacções expressivas por parte dos alunos,

nomeadamente a vontade de ir procurar esse quadrilátero na internet e a necessidade da

confirmação de que não é possível obtê-lo. Uma forma muito simples de provar que ele

não pode existir tem por base a ideia de que ao tentar obter o terceiro ângulo recto

necessariamente o quarto ângulo também fica recto. Esta verificação dinâmica pode ser

feita com recurso a um geoplano como ilustra a figura 2.

Fig. 2

A procura da explicação para a impossibilidade de obter um quadrilátero apenas

com 3 ângulos rectos conduziu-me a uma série de perguntas interessantes para trabalhar

sobre geometria elementar. Esta perguntas foram alimentadas também pelas

classificações que os alunos do 4º ano fizeram com os quadriláteros com os ângulos

assinalados. Na discussão colectiva sobre essas classificações começaram a despontar

ideias de separação pelo critério do número de ângulos agudos ou obtusos. Apresento as

questões que formulei sobre os ângulos de um quadrilátero. Porque é que não podem ser

todos agudos? Porque é que não podem ser todos obtusos? Pode haver 3 ângulos

obtusos? Pode haver só 2 ângulos obtusos? Pode haver só 1? Estas perguntas podem ser

formuladas também para ângulos agudos. Questões desta natureza conduzem muito

naturalmente à procura de figuras com as características pretendidas. Procurar um

exemplo de existência é um tipo de acção fundamental no raciocínio geométrico. Assim

como é próprio da geometria, no caso de não se obter nenhum exemplo, procurar uma

explicação para essa inexistência. O raciocínio geométrico consolida-se a partir das

relações que se vão estabelecendo na procura de objectos geométricos com

determinadas condições. A geometria elementar é fértil neste tipo de situações, como os

exemplos que discuto ilustram.

3 ângulo agudos 3 ângulos obtusos

a<90 b<90 c<90 a+b+c<270 a+b+c+d=360 a+b+c=360-d 360-d<270 d>90

a>90 b>90 c>90 a+b+c>270 a+b+c+d=360 a+b+c=360-d 360-d>270 d<90

Fig. 3

Procurei uma garantia da existência de um quadrilátero com três ângulos obtusos

estabelecendo um raciocínio algébrico como mostra o quadro da figura 3, e para obter

os exemplares correspondentes, figura 4, recorri à geometria dinâmica. Apesar da

elementaridade da situação, chamo a atenção para a analogia das duas colunas da tabela

da figura 3 e para a analogia dos dois quadriláteros da figura 4.

Fig. 4

Penso que é interessante estender a discussão anterior a outros polígonos. Na

geometria euclidiana, temos triângulos com um ângulo recto no máximo pois já não é

possível obter triângulos com dois ângulos rectos. Para os quadriláteros, vimos que

temos no máximo quatro ângulos rectos e é impossível ter um quadrilátero com os 4

ângulos obtusos ou com os 4 ângulos agudos. E como será num pentágono? Pode ter 5

ângulos rectos? Já poderá ter 5 ângulos obtusos? E 5 ângulos agudos? Estas questões

remetem-nos para a re-descoberta da soma dos ângulos internos de um polígono,

actividade de investigação que considero acessível a alunos do 2º ciclo, ou mesmo do

fim do 1º, quando existe um ambiente de aprendizagem favorável.

A curiosidade e o desafio são duas atitudes muito comuns nas crianças do 1º

ciclo. As questões que tenho vindo a debater alimentam essa curiosidade e desafio e são

muito bem aceites por alunos dos primeiros anos. Estes pequenos mundos geométricos,

constituídos por figuras construídas pelas crianças, ganham dimensões muito

interessantes porque o seu poder inventivo procura criar uma forma diferente da do

colega do lado. Além disso, a reprodução da figura do colega é também encarada com

interesse. O mundo a estruturar pertence-lhes, o papel do professor é alimentar essa

realidade. O episódio seguinte ilustra bem esta apetência.

Na procura de quadriláteros com ângulos rectos surgiram naturalmente

quadriláteros côncavos, com um novo tipo de ângulo que era preciso identificar. O

nosso instrumento auxiliar, o detector de ângulos rectos, teve aqui uma nova utilidade.

Recorremos a dois detectores, como mostra a sequência de imagens da figura 5, e

demos a essa ângulo o nome de super-obtuso. Este tipo de ângulo é habitualmente

designado por ângulo reflexo na literatura anglo-saxónica, designação esta muito pouco

comum no nosso léxico da geometria elementar.

Fig. 5

Composições com simetria

Esta discussão parte de uma actividade realizada numa turma de 3º ano a partir

da proposta de construir quadrados com simetria como composição de 16 quadrados de

duas cores, oito de uma cor e oito de outra. Para cada decomposição descoberta os

alunos tinham de identificar os eixos de simetria e registavam a composição, bem como

esses eixos em papel quadriculado. Não estava previsto pela professora a obtenção de

composições com simetria de rotação, mas é verdade que nenhum aluno as referenciou.

Os alunos descobriram composições diversas, tendo obtido composições com 1 eixo,

com 2 eixos e com 4 eixos, como ilustra a figura 5 com alguns dos exemplos obtidos.

Fig. 6

A exploração destes alunos não foi mais além porque o objectivo da aula era

apenas a obtenção das composições com simetria e a identificação das características de

cada composição. No entanto, no fim desta aula e em muitos momentos posteriores

ficámos a pensar em várias questões ligadas àquela conjunto de composições que os

alunos mal tinham começado a desvendar. A classificação aqui está novamente

presente. Porque é que não é possível fazer uma composição de quadrados com apenas

3 eixos de simetria? Haverá mais composições com 1, 2 e 4 eixos do que aquelas que os

alunos obtiveram? No caso de haver, em que posições relativas podem estar os eixos?

Será possível descobrir todas as composições para cada situação? E no caso de não

haver mais composições, como explicar essa impossibilidade?

A demonstração da impossibilidade de obter um composição com 3 eixos

parece-me simples e interessante. Uma via possível é recorrer a uma demonstração por

contradição. Este tipo de demonstração baseia-se na ideia de que se chegarmos a uma

contradição entre a hipótese, considerada esta como os pressupostos de partida, e a tese,

o que queremos provar, esta é falsa.

Hipótese: a composição tem 3 eixos de simetria, os eixos assinalados na figura 7.

Tese: o quarto eixo, assinalado a tracejado na figura 8, não é eixo de simetria.

Fig. 7 Fig. 8 Fig. 9

Assumindo que o quarto eixo não é eixo de simetria, temos que na figura 9 os

dois triângulos assinalados não são congruentes e por isso os designamos por letras

diferentes, A e B. Aplicando a esta figura as reflexões e suas composições que decorrem

dos 3 eixos considerados na hipótese, teremos a seguinte sequência de imagens, figura

10, em que os triângulos assinalados pela mesma letra são sempre congruentes.

A A A

B

Fig. 10

Chegamos assim à conclusão de que um dos triângulos assinalados é

simultaneamente congruente e não congruente com o triângulo A. Estamos perante uma

contradição que decorre do facto de termos considerado que estes dois triângulos

poderiam não ser congruentes, ou seja, que o eixo assinalado a tracejado poderia não ser

um eixo de simetria. Esta demonstração explica-nos a impossibilidade do quarto eixo

não poder deixar de ser um eixo de simetria e que é consequência de termos assumido

os três eixos como tal.

Uma ideia importante a registar sobre demonstrações em matemática é o desejo

de que uma demonstração dê indicações do modo como foi descoberta. Se queremos

aprender como as demonstrações são construídas é importante ir aprendendo como uma

demonstração pode evoluir a partir das ideias que lhe estão subjacentes e dos

pressupostos em que ela assenta. Garnier e Taylor afirmam que a lição importante a

aprender é que uma demonstração é um exercício de comunicação. Este exemplo

procura combinar estas duas preocupações, ou seja, articular a apresentação escrita com

o processo de construção da demonstração. Um dos desafios recentes mais

significativos para mim como professora de matemática tem sido o de construir

demonstrações para conjecturas surgidas em situações deste tipo. As vivências dos dois

últimos anos em salas de aula do 1º ciclo proporcionaram-me condições para pensar em

várias demonstrações como a que apresentei.

Esta família de figuras suscita outras questões da mesma natureza. Porque é que

se houver apenas 2 eixos, eles são perpendiculares entre si, isto é, não pode haver um

eixo paralelo aos lados do quadrado e outro coincidente com a diagonal. Esta

demonstração pode seguir um caminho análogo ao anterior para concluir que a

existência destes 2 eixos arrasta a existência de outros dois. Dito de outra forma, se dois

A

A

A

A

BA

A

A

A

A

BA

AA

eixos fazem um ângulo de 45º existem simetrias com qualquer par de eixos cujo ângulo

é múltiplo de 45°, isto é, 45º, 90°, 135º, 180°.

Este desenvolvimento de ideias sobre a reflexão e sobre relações entre ângulos

abre uma porta para o estudo experimental do efeito de simetria produzido por um

espelho e por um livro de espelhos e é uma abordagem interessante à reflexão, como

transformação geométrica com determinadas propriedades. Este tipo de actividades

geométricas articulam-se com o estudo da simetria de figuras particulares, como por

exemplo dos polígonos regulares, com a realização de experiências com caleidoscópios

e até mesmo com a construção destes objectos (Gay, 2998). Uma das dificuldades do

ensino da geometria elementar é a concertação do trabalho sobre transformações

geométricas com o estudo da simetria. Sobre esta concertação ainda há muito por

estudar e experimentar.

Didacticamente falando

As situações que levaram ao levantamento de todas estas questões foram vividas

em salas de aula do 1º ciclo do Ensino Básico, do 2º ao 4º ano. O ambiente de

investigação, ou inquiry como prefiro dizer, a construção de ideias, a procura de

materiais adequados às estruturas em jogo, a discussão e troca de ideias foram aspectos

que estiveram sempre presentes no trabalho destas aulas e sobre estas aulas, envolvendo

os professores por elas responsáveis. Assim, o desenvolvimento do saber matemático

ligou-se ao desenvolvimento do saber didáctico, mostrando que um não pode viver sem

o outro quando se trabalha com crianças. Esta ideia de geometria viva é a de que há

relações novas, interessantes e significativas para construir com as crianças. Podemos

criar novos mundos geométricos e novas formas de pensar mesmo quando os objectos

parecem já estar esgotados e nada mais terem para oferecer, como é o caso dos

quadriláteros. Fundamental é o modo como chegamos a esses mundos e o que fazemos

com eles, bem como as questões e os problemas que as crianças e nós professores

somos capazes de pensar sobre esses mundos. A aprendizagem da geometria elementar

tem aqui vários caminhos esboçados com algumas portas já entreabertas. Quero

acreditar que é possível vislumbrar mais geometria nas salas de aula, uma geometria

humanista, nossa, como Hersh tão bem defende.

“The view I favor is humanism. To the humanist, mathematics is ours — our tool, our plaything”. (Hersh, 1998, p. 60).

Referências Bibliográficas

Battista, Michael T. (2007). The Development of Geometric and Spatial Thinking. In Frank K. Lester, Jr. (Eds.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 843-908. NCTM.

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Duval, Raymond (1998). Geometry from a cognitive point of view. In C. Mammana e V. Villani (Eds.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century, 29-83. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic.

Freudenthal, Hans (1991). Revisiting Mathematics Education – China Lectures. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Garnier, Rowan e Taylor, John (1996) 100% Mathematical Proof. New York: John Wiley & Sons.

Gay, David (1998) Geometry by Discovery. New York: John Wiley & Sons.

Hersh, Reuben (1998) What is Mathematics, really. London: Vintage.

Loureiro, C. (2008). A par e passo. Dissertação apresentada no âmbito de concurso de provas públicas, não editada.

Zaslavsky, Orit, Chapman, Olive e Lekin, Roza (2003). Professional Development of Mathematics Educators: Trends and Tasks. In Bishop, A., Clements, M. A., Keitel, C., Kilpatrick, J. e Leung, F. K. S. (Eds.), Second International Handbook of Mathematics Education, 877-917. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.