ISSN 1982 - 0283

GEOMETRIA NO CICLO DE

ALFABETIZAÇÃO

Ano XXIV - Boletim 7 - SETEMBRO 2014

Geometria no ciclo de alfabetização

SUMÁRIO

Apresentação .......................................................................................................................... 3

Rosa Helena Mendonça

Introdução .............................................................................................................................. 4

Nelson Antonio Pirola

Texto 1: Objetivos do ensino de Geometria no processo de alfabetização ............................. 9

Mônica Mandarino

Texto 2: Práticas de ensino de Geometria: algumas experiências com o desenvolvimento da

movimentação e da localização de pessoas/objetos no mundo físico .................................. 16

Nelson Antonio Pirola

Texto 3: Figuras planas e espaciais: como trabalhar com elas nos anos iniciais do Ensino

Fundamental? ......................................................................................................................23

Odalea Aparecida Viana

3

Geometria no ciclo de alfabetização

apresentação

A publicação Salto para o Futuro comple-

menta as edições televisivas do programa

de mesmo nome da TV Escola (MEC). Este

aspecto não significa, no entanto, uma sim-

ples dependência entre as duas versões. Ao

contrário, os leitores e os telespectadores

– professores e gestores da Educação Bási-

ca, em sua maioria, além de estudantes de

cursos de formação de professores, de Fa-

culdades de Pedagogia e de diferentes licen-

ciaturas – poderão perceber que existe uma

interlocução entre textos e programas, pre-

servadas as especificidades dessas formas

distintas de apresentar e debater temáticas

variadas no campo da educação. Na página

eletrônica do programa, encontrarão ainda

outras funcionalidades que compõem uma

rede de conhecimentos e significados que se

efetiva nos diversos usos desses recursos nas

escolas e nas instituições de formação. Os

textos que integram cada edição temática,

além de constituírem material de pesquisa e

estudo para professores, servem também de

base para a produção dos programas.

A edição 7 de 2014 traz o tema Geometria

no ciclo de alfabetização, e conta com a

consultoria de Nelson Antonio Pirola, Pro-

fessor Adjunto do Departamento de Edu-

cação da UNESP (Bauru) e Consultor desta

Edição Temática.

Os textos que integram essa publicação são:

1. Objetivos do ensino de Geometria no pro-

cesso de alfabetização

2. Práticas de ensino de Geometria: algumas

experiências com o desenvolvimento da mo-

vimentação e da localização de pessoas/obje-

tos no mundo físico

3. Figuras planas e espaciais: como traba-

lhar com elas nos anos iniciais do Ensino

Fundamental?

Boa leitura!

Rosa Helena Mendonça1

1 Supervisora Pedagógica do programa Salto para o Futuro (TV Escola/MEC).

4

O Pacto Nacional pela Alfabetização

na Idade Certa (PNAIC) faz parte de uma

ação do Governo Federal, com adesão de

estados e municípios, em prol da formação

continuada de professores alfabetizadores

nas áreas de Língua Portuguesa e Matemá-

tica. O PNAIC foi lançado em novembro de

2012 e as ações preveem cursos oferecidos

por universidades, cujo material pedagógi-

co é disponibilizado pelo Ministério da Edu-

cação. Além disso, é previsto um sistema

de avaliação para o acompanhamento da

aprendizagem dos alunos. O objetivo maior

do Pacto é que todas as crianças brasileiras

estejam alfabetizadas em Língua Portugue-

sa e em Matemática até o terceiro ano do

Ensino Fundamental. Em 2013, teve início o

PNAIC de Língua Portuguesa e a previsão é

que o de Matemática se inicie em 2014.

Para subsidiar as ações do PNAIC, fo-

ram elaborados os Elementos Conceituais e

Metodológicos para Definição dos Direitos

e Objetivos de Aprendizagem e Desenvolvi-

mento do Ciclo de Alfabetização das crian-

ças brasileiras.2

Na área da Matemática, esse docu-

mento traz, de maneira geral, o entendimen-

to sobre o que é alfabetização matemática:

A alfabetização matemática é o pro-

cesso de organização dos saberes que a

criança traz de suas vivências anterio-

res ao ingresso no Ciclo de Alfabetiza-

ção, de forma a levá-la a construir um

corpo de conhecimentos matemáticos

articulados, que potencializem sua atu-

ação na vida cidadã. Esse é um longo

processo que deverá, posteriormente,

permitir ao sujeito utilizar as ideias ma-

temáticas para compreender o mundo

no qual vive e instrumentalizá-lo para

resolver as situações desafiadoras que

encontrará em sua vida na sociedade.

(BRASIL, 2012, P. 60).

introdução

ensino e aprendizaGem da Geometria no contexto da alfabetização matemática

Nelson Antonio Pirola1

1 Professor Adjunto do Departamento de Educação da UNESP/Bauru e Consultor desta Edição Temática. Email: npirola@uol.com.br

2 Disponível em http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=12827&Itemid=.

5

A alfabetização não se limita somente

ao campo dos números, mas também se es-

tende aos campos da Geometria, das grande-

zas e medidas e do tratamento da informação.

Um dos eixos estruturantes a ser

trabalhado no PNAIC é o de Espaço e For-

ma/Geometria. No ciclo de alfabetização,

as crianças deverão:

1- Construir noções de localização e movi-

mentação no espaço físico para a orienta-

ção espacial em diferentes situações do co-

tidiano. Por meio de brincadeiras, registros

orais e escritos, construção de maquetes,

trabalho com mapas e croquis, entre ou-

tras atividades, as habilidades de orientação

espacial podem ser desenvolvidas. Noções

como direita, esquerda, para cima, para bai-

xo, ao lado de, bem como as noções topológi-

cas como dentro, fora e fronteira podem ser

trabalhadas em conexão com outras discipli-

nas, como a Educação Física e a Geografia.

2- Reconhecer formas bidimensionais e

tridimensionais. O trabalho com as figuras

geométricas planas e espaciais possibilita às

crianças o desenvolvimento da percepção

geométrica que, segundo Sternberg (2000),

se refere a um conjunto de processos psico-

lógicos pelos quais as pessoas reconhecem,

organizam, sintetizam e dão significado às

sensações e estímulos recebidos pelos ór-

gãos dos sentidos. Essa percepção geométri-

ca pode ser desenvolvida por meio de várias

ações, como as de: a) montar e desmontar

embalagens para observar a planificação; b)

contornar as faces do sólido geométrico em

um papel, com uma caneta, para observar

as figuras planas que formam aquele sólido;

c) compor e decompor figuras planas e es-

paciais utilizando sucatas e quebra-cabeças

; d) ampliar e reduzir figuras em um papel

quadriculado; d) explorar simetrias em dife-

rentes contextos; e) desenhar vistas de obje-

tos tendo como referência diferentes pers-

pectivas, entre muitas outras.

No ciclo de alfabetização, é de fun-

damental importância que o professor alfa-

betizador saiba ouvir os relatos das crianças,

suas hipóteses, seus argumentos e o que

estão pensando sobre uma determinada si-

tuação. A experimentação nas aulas de Ge-

ometria é um recurso que pode levar os alu-

nos à construção de conceitos e princípios

(relações entre conceitos) e à resolução de

problemas. Materiais simples, como emba-

lagens, sucatas e etc., podem se transformar

em recursos interessantes para a aprendiza-

gem da Geometria. A visita a sites de mu-

seus, como o Museu de Arte de São Paulo –

MASP –( http://masp.art.br/masp2010/) pode

despertar a curiosidade sobre a vida e a obra

de determinados artistas, bem como sobre

os recursos geométricos utilizados na com-

posição de suas pinturas.

Há escolas que desenvolvem proje-

tos interessantes, como o projeto “recrian-

do obras de arte” que consiste em estudar

um artista, sua vida e obra. Depois, os alu-

6

nos, em um trabalho interdisciplinar en-

volvendo Arte e Geometria, recriam a obra

de acordo com o seu olhar. Trabalhos fan-

tásticos são produzidos!!!

O PROGRAMA

Para tratar do tema gerador “Ensi-

no e aprendizagem de Geometria no con-

texto da alfabetização matemática” foi

elaborado um programa que se divide em

três blocos que não são disjuntos, mas

complementares, e que fornecem escopo

para o entendimento sobre a amplitude do

trabalho com a Geometria nessa etapa da

escolaridade que envolve os três primeiros

anos do Ensino Fundamental.

O primeiro bloco intitula-se “Objeti-

vos do ensino de Geometria na alfabetiza-

ção”. A ideia é mostrar os diferentes con-

textos em que podemos explorar conceitos

e propriedades geométricas, como a nature-

za, arquitetura e obras de arte. Pretende-se

mostrar a importância da Geometria para

diferentes profissões, como a de engenhei-

ro, biólogo, matemático, etc.

A entrevista com especialistas na

área da Educação Matemática visa elucidar

o porquê, o como e o quando trabalhar com

a Geometria no ciclo de alfabetização. Ao

apresentar escola(s) em que o ensino de

Geometria se processa de forma diferen-

ciada, temos como objetivo mostrar que é

possível, utilizando diferentes tipos de re-

cursos didáticos, motivar a aprendizagem

das crianças, levando-as a construir concei-

tos de forma significativa e interdisciplinar.

O segundo bloco, denominado “Lo-

calização e Movimentação” pretende abor-

dar um dos eixos do ensino da Geometria

no ciclo de alfabetização, que é a localiza-

ção e a movimentação de pessoas e objetos

no mundo físico.

Situações cotidianas, como inter-

pretar uma placa de trânsito, entender a

informação do GPS para se localizar, ou

solicitar uma informação de outra pessoa

para se chegar a um determinado local,

são exemplos de como é importante o de-

senvolvimento de habilidades geométricas,

como a lateralidade, para a movimentação

e a localização.

A entrevista com especialistas na área

da Educação Matemática procura discutir

como trabalhar os conceitos de localização

e movimentação com crianças de 6 a 8 anos.

As conexões com a Educação Física e

com a Geografia são exemplos de como es-

sas disciplinas podem interagir com o ensi-

no de Geometria.

O terceiro bloco, denominado “For-

mas’, procura explorar as diferentes formas

geométricas, como as obras de arte, as pin-

turas e as esculturas; as construções, como

7

igrejas, prédios, monumentos; e as mani-

festações artísticas produzidas por diferen-

tes culturas, como cestarias e bordados,

que utilizam vários elementos geométricos,

como formas, simetrias, regularidades, pa-

drões, curvas, perspectivas, profundidade,

entre outras.

No contexto da sala de aula, o pro-

fessor pode utilizar esses recursos para ensi-

nar as características (atributos) das figuras

e suas principais propriedades. A simetria

é um importante conceito geométrico que

está presente em várias obras de arte. Por

exemplo, no quadro de Alfredo Volpi, pode-

mos estudar as formas geométricas (ban-

deirinhas), as regularidades e as simetrias.

Além disso, é um importante instrumento

para que os alunos façam conexões da Ge-

ometria com as Artes e conheçam as princi-

pais obras de importantes artistas.

Para subsidiar as reflexões sobre o

ensino e a aprendizagem da Geometria no

ciclo de alfabetização, foram elaborados

três textos que dão embasamentos teóricos

e metodológicos para a compreensão dos

três blocos do Programa.

TEXTO 1

O texto intitulado Objetivos do en-

sino de Geometria no processo de alfabe-

tização, de Mônica Mandarino, parte de

uma questão instigante: “Por que ensinar

Geometria nos anos iniciais do Ensino Fun-

damental?” A autora faz uma discussão que

envolve aspectos históricos e conexões da

Geometria com diferentes manifestações

artísticas e culturais. Destaca os dois eixos

do ensino da Geometria no ciclo de alfabe-

tização, que são: a visualização e o pensa-

mento geométrico, bem como a localiza-

ção e a orientação.

É destacada a importância dos re-

gistros orais e escritos das experiências vi-

vidas pelas crianças quando trabalham de

forma coletiva ou individualmente.

O texto em tela é importante para o

entendimento da importância que o conhe-

cimento geométrico tem para a resolução

de diversas situações que são geometriza-

das, como as que envolvem a orientação

espacial e a percepção geométrica.

TEXTO 2

O texto de Nelson Antonio Pirola, in-

titulado Práticas de ensino de Geometria:

algumas experiências com o desenvolvi-

mento da movimentação e da localização

de pessoas/objetos no mundo físico, faz

uma discussão mais aprofundada sobre um

dos eixos do ensino da Geometria no ciclo de

alfabetização, que diz respeito à orientação

espacial, discussão essa iniciada no Texto 1,

que enfoca os objetivos do ensino da Geo-

metria. Nesse texto, o autor destaca a im-

8

portância da exploração de diversos espaços

para o desenvolvimento dessa habilidade. O

Centro de Treinamento de Trânsito, o pátio

da escola e a sala de aula são alguns dos am-

bientes em que o trabalho com a movimen-

tação e a localização pode ser desenvolvido

de forma lúdica, constituindo-se em um ele-

mento motivador para a aprendizagem.

O texto traz depoimentos de uma

especialista em Educação Física que mos-

tra algumas interações possíveis da Edu-

cação Física com a Geometria. Além disso,

traz também o depoimento de uma profes-

sora alfabetizadora que interage o trabalho

com figuras geométricas espaciais com o

de movimentação e localização, por meio

da construção de uma maquete. Ainda des-

taca o GPS como elemento importante,

utilizado muito nos dias de hoje, para loca-

lização e movimentação.

TEXTO 3

Outro eixo do ensino da Geometria

no ciclo de alfabetização é destacado no texto

de Odalea Aparecida Viana, que aborda as Fi-

guras planas e espaciais: como trabalhar com

elas nos anos iniciais do Ensino Fundamental?

A autora destaca a teoria de Van Hie-

le discutindo e ilustrando os cinco níveis do

desenvolvimento do pensamento geomé-

trico proposto por esse autor. A seguir, são

apresentadas algumas atividades com o ob-

jetivo de levar os alunos do primeiro ciclo do

Ensino Fundamental à construção de alguns

conceitos geométricos. Algumas dessas ati-

vidades podem ser desenvolvidas desde o ci-

clo de alfabetização.

São apresentadas atividades que en-

volvem: a) identificação de semelhanças en-

tre figuras planas, b) composição e decom-

posição de figuras; c) antecipação de escolha

de faces para formar poliedros; e d) desen-

volvimento do vocabulário geométrico.

Espera-se que o programa, subsidiado

pelos textos, possa contribuir com o debate

acerca da importância do ensino articulado

da Geometria no ciclo de alfabetização com

outros áreas do conhecimento e com práti-

cas de ensino motivadoras da aprendizagem.

REFERÊNCIAS

BRASIL. Ministério da Educação. Di-

reitos de Aprendizagem. 2013. Dispo-

nível em < http://portal.mec.gov.br/

index.php?option=com_docman&task=doc_

download&gid=12827&Itemid=> Acesso em

17/02/2014.

STERNBERG, R. Psicologia cognitiva. Trad.

Maria Regina Borges Osório. Porto Alegre:

ArtMed, 2000, 494 p.

9

Ao pensar nos objetivos do ensino

de Geometria, em especial na fase de alfabe-

tização, surge uma questão mais geral: Por

que ensinar Geometria nos anos iniciais do

Ensino Fundamental?

Primeiramente, a Geometria está

constantemente presente em nosso dia a

dia. Tal afirmação traz implícita uma visão

de Geometria diferente daquela que valori-

za apenas a apresentação formal de regras,

classificações e nomenclaturas. Para nós,

a Geometria se faz presente desde os pri-

meiros meses de vida de uma criança, no

aprendizado dos movimentos e no reconhe-

cimento do espaço em seu redor. Com o de-

senvolvimento motor e cognitivo posterior,

as crianças começam a desenvolver compe-

tências geométricas cada vez mais comple-

xas, por exemplo, para: realizar e descrever

deslocamentos; reconhecer e descrever uma

localização; caracterizar e classificar objetos

do mundo físico. Assim, um dos objetivos do

ensino de Geometria é a sistematização des-

ses conhecimentos.

Em segundo lugar, nossa reflexão

precisa levar em conta a importância histó-

rica da Geometria desde as primeiras fases

do desenvolvimento do saber matemático.

As grandes civilizações antigas – chinesa,

hindu, mesopotâmica, egípcia –, a partir da

necessidade prática para resolver problemas

cotidianos, desenvolveram conhecimentos

geométricos, muitas vezes bastante elabora-

dos e formais. Sabiam construir figuras pla-

nas e espaciais, conheciam relações entre

as grandezas geométricas, calculavam com-

primentos, áreas e volumes, conhecimentos

que atendiam a necessidades socioeconômi-

cas e culturais de cada época e lugar. Dentre

elas, a civilização grega dos séculos 7 a.C.

a 3 a.C. é a mais reconhecida, por ter sido

responsável pela organização da Geometria

como ciência lógica e dedutiva.

texto 1

objetivos do ensino de Geometria no processo de alfabetização

Mônica Cerbella Freire Mandarino1

1 Docente do Programa de Mestrado em Educação da Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro (UNIRIO) e professora colaboradora do Programa de Mestrado em Ensino de Matemática da UFRJ. mmandarino@globo.com

10

Nessa concepção, é preciso consi-

derar que, ao iniciar o processo de alfabe-

tização, as crianças trazem consigo noções

geométricas informais, construídas em sua

vivência cotidiana. Como enfatiza Fonseca

et al. (2001), os estu-

dantes já exploram

o espaço e detêm al-

gum conhecimento

sobre o mesmo. Co-

nhecimentos cons-

truídos por meio de

suas brincadeiras e

da própria constru-

ção de brinquedos, de

passeios realizados

e também quando

auxiliam seus fami-

liares em alguma atividade. As experiências

prévias precisam servir como elementos de

referência para o professor organizar ativi-

dades que contribuam para, aos poucos, dar

significação aos conceitos matemáticos.

É importante salientar que partir dos

conhecimentos que as crianças pos-

suem não significa restringir-se a eles,

pois é papel da escola ampliar esse

universo de conhecimentos e dar con-

dições a elas de estabelecerem víncu-

los entre o que conhecem e os novos

conteúdos que vão construir, possibili-

tando uma aprendizagem significativa

(BRASIL, 1997, p.45).

As coisas que as crianças observam,

bem como as referências (estar distante de,

estar próximo de, por exemplo) e as relações

(como tem a mesma forma que, é maior do que)

que conseguem estabelecer, devem ser objetos

de reflexão associados

às atividades matemá-

ticas escolares.

Segundo os

PCNs dos anos ini-

ciais do Ensino Fun-

damental, os obje-

tivos do ensino de

Geometria no primei-

ro ciclo são dois:

• Estabelecer pontos

de referência para situar-se, posicionar-se e

deslocar-se no espaço, bem como para identi-

ficar relações de posição entre objetos no es-

paço; interpretar e fornecer instruções, usan-

do terminologia adequada.

• Perceber semelhanças e diferenças entre

objetos no espaço, identificando formas tridi-

mensionais ou bidimensionais, em situações

que envolvam descrições orais, construções e

representações. (BRASIL, 1997, p.47)

Na docência, quando refletimos so-

bre “para quê ensino algo” é preciso ir além

da dimensão utilitária como a resolução de

problemas da vida cotidiana. Como afirmam

Fonseca et al (2001), o estudo da Geometria

“ (...) As experiências

prévias precisam

servir como elementos

de referência para o

professor organizar

atividades que contribuam

para, aos poucos, dar

significação aos conceitos

matemáticos.”

11

é importante também como meio de facili-

tar as percepções espaciais dos estudantes,

contribuindo para uma melhor apreciação

das construções e dos trabalhos artísticos,

tanto dos seres humanos quanto da nature-

za. A Geometria está presente em diversas

manifestações culturais e artísticas: arte-

sanatos, tecelagens, tapeçarias, esculturas,

construções e objetos do cotidiano. Na arte

dos indígenas brasileiros, por exemplo, a Ge-

ometria se manifesta de forma marcante.

Fonte: http://meninasemarte.wordpress.com/tag/arte-indigena/

As ilustrações acima mostram o uso

de padrões geométricos. Tais padrões, tanto

os criados pelas pessoas quanto os da natu-

reza, se caracterizam pelo uso de simetrias,

do paralelismo e de polígonos regulares, en-

tre outros elementos geométricos. Uma das

riquezas de nossa cultura são os artistas po-

pulares e podemos tirar proveito disso para

explorar e sistematizar conceitos geométri-

cos de forma prazerosa. O desenho, a arqui-

tetura e a escultura também fornecem óti-

mos elementos para o ensino de Geometria.

É importante chamar a atenção das crianças

para características geométricas presentes

em obras de arte e em construções, como as

que destacamos a seguir.

Obra de Mondrian

Fonte: http://cealdecote.wordpress.com/2007/12/

Projeto de Oscar Niemayer MAC (Museu de Arte Contemporânea), Niterói, RJ.

12

Nossa proposta de abordagem da Geometria

Neste texto buscamos destacar a im-

portância de uma abordagem que integre

conhecimentos prévios, desenvolvidos na e

pela interação social com o mundo físico,

com conhecimentos mais formais, da ma-

temática historicamente construída. Nela

são muito bem vindos os inúmeros jogos ou

atividades com materiais concretos que po-

dem ser experimentados na escola. Os jogos

que envolvem movimento e localização das

crianças, a montagem de modelos concre-

tos de figuras geométricas com canudos de

refrigerantes, com garrafas pet ou com su-

cata, e muitas outras atividades desse tipo

podem enriquecer o ensino.

Destacamos especialmente as atividades de

desenho. Desde os rabiscos espontâneos,

até os desenhos com o auxílio de instrumen-

tos simples e adequados à faixa etária, existe

um vasto repertório de atividades escolares

que auxiliam a criança a representar os obje-

tos ao seu redor e a compreender as proprie-

dades geométricas das figuras desenhadas

ou reproduzidas em imagens gráficas.

Também são fundamentais as con-

versas e debates. Qualquer nomenclatura

se desenvolve e ganha significado apenas se

tivermos necessidade de usá-la. As crianças

pequenas, muitas vezes, usam termos liga-

dos à localização de forma equivocada ou

não conseguem descrever com clareza um

caminho a percorrer, por exemplo. É conver-

sando com os alunos que podemos desco-

brir como usam termos e pontos de referên-

cia e ajudá-los a aperfeiçoarem estes usos e

a ampliarem o vocabulário. Cabe destacar

que atividades de localização e movimenta-

ção não fazem muito sentido se reproduzi-

das em papel, no livro ou em folhas de exer-

cício. Estar perto, longe, em cima, em baixo,

atrás, na frente, entre, etc., só faz sentido

concretamente, a partir de um referencial

estabelecido com clareza.

Visualização e pensamento geo-métrico

Sabemos que as percepções prove-

nientes dos movimentos e dos sentidos, em

especial do tato e da visão, cumprem uma

função fundamental na constituição de nos-

so pensamento geométrico.

A visão nos ajuda a captar e interpre-

tar as informações provenientes do mundo

que nos cerca, bem como a constituir ima-

gens mentais baseadas nessas informações.

Por exemplo, ao olharmos uma bola de

futebol, criamos a imagem mental de um

objeto com propriedades apropriadas para

realizar movimentos muito variados e que

a torna propícia àquele esporte. É na escola

que podemos ajudar os alunos a fazerem a

imagem mental do objeto geométrico asso-

ciado à bola – uma superfície esférica – que

13

é uma abstração, definido como a região do

espaço na qual todos os pontos são equi-

distantes de um mesmo ponto, o centro

da esfera. Num sentido que se pode dizer

inverso, a visualização é outra capacidade

geométrica importante.

Estas capacidades estão sempre pre-

sentes em atividades de representação grá-

fica de objetos tridimensionais por meio de

desenhos. Reproduzir um objeto tridimen-

sional por meio de desenho é uma ativida-

de bastante complexa, já que o desenho é

bidimensional e é preciso fazer escolhas do

que representar e do que abandonar de in-

formação, tentando garantir que o desenho

“leve seu leitor” ao objeto representado. O

uso de capacidades como as descritas aqui

evidenciam que a Geometria favorece o de-

senvolvimento de um pensamento crítico e

autônomo nos alunos (PAVANELLO, 1993).

Como diz Freudenthal (1973) [...] as formas

no espaço são um guia insubstituível para a

pesquisa e a descoberta (p. 407).

Para nós, no estudo da Geometria, é

preciso investir na compreensão das repre-

sentações de figuras espaciais por meio de

desenhos em uma folha de papel. Estas re-

presentações, que Parzysz (1988) chama de

diagramas, incluem não apenas as represen-

tações de figuras geométricas simples, mas

também a representação esquemática de

objetos concretos. Uma das dificuldades em

Geometria é que nem sempre a compreen-

são da criança de um diagrama coincide com

a desejada pelo professor. Pesquisas apon-

tam para o fato de que as diferenças entre

a interpretação desses objetos se constitui

em um dos principais obstáculos no estudo

da Geometria (PARZYSZ, 1988; ARSAC, 1989;

LABORDE & CAPPONI, 1994).

Localização e orientação

Os movimentos da criança, a explo-

ração do espaço e as interações propiciadas

pelas diversas formas de linguagem caracte-

rizam a fase inicial, espontânea, da aquisição

das competências geométricas. Essas primei-

ras aquisições permitem à criança localizar

objetos, observar os seus deslocamentos e

situar-se no seu entorno físico.

A noção de referencial é básica em

todas as atividades que envolvem localização

e movimento. Reconhecer se um objeto ou

uma pessoa está longe ou perto, em cima ou

embaixo, à direita ou à esquerda, requer que

se estabeleça sempre outro objeto ou pessoa

como referência: longe ou perto da casa de

Maria; em cima ou embaixo da mesa; à direi-

ta ou à esquerda de Pedro. Como ocorre com

muitas noções básicas, o referencial é tão

enraizado nas atividades que envolvem a lo-

calização e o movimento, que ele acaba por

ficar implícito em nossas falas. Nesses casos,

sempre cabe ao interlocutor, dependendo do

contexto, tornar claro qual o referencial to-

mado numa determinada situação.

14

Apesar de, na linguagem cotidiana,

ser comum a ausência de explicitação do

referencial, o professor deve ser muito cau-

teloso nesse aspecto, já que a omissão do

referencial, em atividades propostas em li-

vros didáticos, por exemplo, pode torná-las

enigmáticas ou mesmo inexequíveis.

Atividades de representações gráfi-

cas como croquis, plantas baixas, mapas e

construção de maquetes, também são im-

portantes no ensino escolar, pois levam a

criança a adquirir competências mais elabo-

radas de localização de objetos e de observa-

ção de deslocamentos.

A maioria dos livros didáticos traz

propostas para que a criança trace percur-

so em mapas ou em malhas quadriculadas.

No entanto, muitas vezes, o “mapa” apre-

sentado contém erros de representação da

realidade que podem ser aceitáveis se pro-

duzidos pelas crianças, mas que não deve-

riam estar presentes nos livros. Um proble-

ma frequente é confundir quem está sendo

tomado como referência: o personagem na

ilustração ou o leitor do livro.

Atividades envolvendo malhas quadri-

culadas e o plano cartesiano para localização

de pontos ou de regiões são muito importan-

tes. Desde os primeiros anos de escolaridade

é possível brincar com quadriculados simples

para que a criança localize algo a partir da

descrição do professor de sua localização e

vice-versa. A descrição oral de percursos,

como o trajeto entre a sala de aula e outro

ponto da escola, são fundamentais para de-

senvolver competências de localização. O

professor pode, depois de ir com sua turma

de um ponto a outro da própria escola, pro-

por atividade de elaboração de um texto co-

letivo que registre o percurso, com pontos de

referência, como se fosse o registro para que

outras pessoas pudessem percorrer o mesmo

trajeto. Atividades deste tipo devem ser pro-

postas com ampliação do trajeto, individuali-

zação dos deslocamentos e uso das rotas des-

critas por uns e por outros alunos de modo a

verificarem sua eficácia.

Finalizamos este texto enfatizando

dois aspectos primordiais em nossa propos-

ta: o desenho e o registro oral ou escrito em

linguagem materna das experiências viven-

ciadas no coletivo ou individualmente.

15

REFERÊNCIAS

ARSAC, G. La Construction du Concept de Figure chez les Élèves de 12 Ans. In Proceedings of the

thirteenth conference of the International Group for Psychology of Mathematics Education,

pp. 85-92, Paris, PME, 1989.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curricula-

res Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. 142p.

______. Secretaria de Educação Básica. Espaço e Forma. Ledur, Berenice Schwan et al. Brasília:

MEC. Secretaria de Educação Básica. Universidade do Vale do Rio dos Sinos. 2006. 23p. (Cole-

ção: PRÓ-LETRAMENTO. Fascículo 03).

CARVALHO, J.B.P.F. (org.). Matemática: Ensino Fundamental. Brasília: Ministério da Educação,

Secretaria de Educação Básica, 2010. 248 p. (Coleção Explorando o Ensino; v. 17). Disponível

em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=16903&Item

id=1139. Acessado em 07/10/2013.

FONSECA, M. C. et al. O ensino de Geometria na escola fundamental: três questões para a for-

mação de professor dos ciclos iniciais. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.

FREUDENTHAL, Hans. Mathemathics as an educational task. Dordrecht: Reidel, 1973.

LABORDE, C. & CAPPONI, B. Cabri-géomètre Constituant d’un Milieu pour l’Apprentissage de

la Notion de Figure Géométrique. Recherches en Didactique des Mathématiques vol.14, n°1.2,

1994, p.165-210.

PARZYSZ, B. Knowing vs Seeing, Problems for the Plane Representation of Space Geometry Fi-

gures. Educational Studies in Mathematics, n°19.1, 1988, pp 79-92.

PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino de Geometria no Brasil: causas e conseqüências.

Zetetiké, n1, 1993. P. 7-17.

16

Este texto tem como principal ob-

jetivo apresentar algumas experiências de

práticas de ensino de Geometria no ciclo de

alfabetização (três primeiros anos do Ensino

Fundamental) no que diz respeito ao desen-

volvimento de habilidades relacionadas à

movimentação e localização2.

Algumas pesquisas, como as de Piro-

la (1995), mostram que, embora os currículos

oficiais preconizem o ensino de Geometria

em todas as etapas da Educação Básica, o que

se percebe, na sala de aula, é a predominância

de práticas de ensino de conteúdos de Geo-

metria alicerçadas em memorização de no-

mes de figuras e propriedades geométricas,

sem conexões com outras áreas da Matemá-

tica e outros campos do saber. Como salienta

uma professora do 3º ano do Ensino Funda-

mental, quando questionada sobre como era

o ensino de Geometria na época em que ainda

era aluna da Educação Básica, a Geometria,

tradicionalmente, sempre era deixada para o

final do ano letivo:

Geralmente o professor ensinava

Geometria no fim do ano, era um dos

últimos conteúdos. O tempo para tra-

balhar esse conteúdo era mínimo; os

professores não davam muita impor-

tância, era somente um conteúdo a

mais. Os recursos utilizados para ex-

plicação desse conteúdo eram: cader-

no, lousa, giz e réplicas de sólidos que

podíamos manusear, mas sem muita

contextualização, era somente para

reconhecimento da figura.

Dessa forma, o ensino de Geometria

quase sempre esteve pautado na visualização

de formas e no reconhecimento de proprie-

dades geométricas. O desenvolvimento de

outras habilidades geométricas, tais como

aquelas relacionadas à movimentação e lo-

calização, de orientação espacial e de per-

cepção geométrica, parecem sempre ter sido

pouco exploradas no ensino de Geometria.

texto 2

práticas de ensino de Geometria: alGumas ex-periências com o desenvolvimento da movi-mentação e localização de pessoas/objetos no mundo físico

Nelson Antonio Pirola1

1 Professor Adjunto do Departamento de Educação da UNESP/Bauru e Consultor desta Edição Temática. Email: npirola@uol.com.br

2 Neste texto a movimentação e a localização se referem sempre às pessoas e objetos no espaço físico.

17

O ensino de Geometria pode ser

mais atrativo se o professor incorporar em

suas práticas de ensino atividades lúdicas

e desafiadoras. Entre outras abordagens, o

professor alfabetizador poderá utilizar di-

ferentes espaços para explorar conceitos

e propriedades geométricas relacionadas à

movimentação e à localização.

A visita a um Centro de Treinamento

de Trânsito, que desenvolve projetos na área

de Educação para o Trânsito, poderá forne-

cer elementos para se trabalhar a movimen-

tação de pessoas e veículos, utilizando como

recursos as placas de trânsito e o semáforo,

por exemplo. Nesse caso, as crianças po-

derão compreender quando devem parar,

quando podem atravessar a rua, qual a faixa

de ciclista e também conhecer o significado

das placas espalhadas pela cidade.

A quadra de esportes e o pátio da es-

cola são ambientes em que o professor alfa-

betizador poderá desenvolver atividades de

Educação Física com interações com a Geo-

metria. Os jogos esportivos, como o vôlei e o

futebol, e as brincadeiras, como o “pega-pe-

ga”, são elementos importantes e motiva-

dores para se trabalhar, entre tantas outras

coisas, com a movimentação e a localização

das pessoas.

A seguir, destacamos um depoimento

de uma especialista que mostra algumas inte-

rações entre a Geometria e Educação Física.

A relação interdisciplinar na Educa-

ção Física, na infância e no ciclo de alfabe-

tização, na escola, é muito positiva, pois,

ao tratar com o movimento dos corpos, se

desenvolvem noções que envolvem experi-

ências lógico-matemáticas e as estruturas

cognitivas que pouco a pouco se modificam

conforme haja aprendizagens significati-

vas, ou seja, interessantes e apropriadas

para cada aluno, de acordo com sua cultura

e fase de desenvolvimento.

Trabalhar com deslocamentos no es-

paço, tal como na Geometria (andar,

correr, saltar, equilibrar, etc.), se deslo-

car de frente, de costas, de lado, numa

brincadeira de “pega–pega”, por exem-

plo, dá à criança possibilidades de ex-

perimentar seu corpo e os outros cor-

pos, entendendo o que está em cima,

embaixo, ao seu lado, e de que lado. Es-

tas são noções que se relacionam com

o mundo natural e com a Geometria,

uma vez que essa parte da Matemática

também se preocupa, desde a Educa-

ção Infantil, com o desenvolvimento da

lateralidade e do reconhecimento da

importância de se estabelecerem pon-

tos de referência para localizar uma

pessoa ou objeto no espaço.

Profª Drª Luciene Ferreira da Silva3

3 Departamento de Educação – UNESP -Bauru

18

Dessa forma, realizando atividades lú-

dicas, construindo brinquedos e trabalhando

em grupos, é possível desenvolver habilida-

des geométricas, explorando a lateralidade, a

orientação espacial e a

percepção geométrica,

componentes impor-

tantes do pensamento

geométrico.

As habilidades

de movimentação de

um objeto também po-

dem ser exploradas por

meio da brincadeira do

“passa-passa” (PIRO-

LA, 2006). Essa brinca-

deira consiste em dis-

por os alunos em fila

e entregar ao primeiro

um objeto (uma bola,

por exemplo). Vários

comandos podem ser

dados: Por exemplo, o

professor pode solicitar

a um aluno que passe

o objeto por cima de sua cabeça para quem

está atrás dele. A seguir, esse aluno deverá se

colocar como o último da fila.

Outros espaços podem ser explora-

dos pelo professor no processo de ensino

da Geometria. Por exemplo, em uma visita

a um zoológico, ou museu, os mapas e as

sinalizações com setas podem ser explora-

das para localizar um determinado animal

ou uma obra de arte.

A sala de aula também se constitui

em um rico espaço des-

tinado à exploração de

atividades de ensino de

Geometria.

A professora Alessan-

dra Vitali trabalha com

uma turma do 3º Ano

do Ensino Fundamental

da EMEB Prefeito Prof.

José Mendesano, da ci-

dade de Registro, São

Paulo. Ela relata uma

experiência interessan-

te em relação ao traba-

lho com a Geometria.

Utilizando embalagens

variadas trazidas pelos

alunos, a turma montou

um mercadinho. Ini-

cialmente foi feita uma

classificação dos pro-

dutos: produtos de limpeza, alimentação etc.

Posteriormente, as embalagens foram classi-

ficadas em corpos redondos e poliédricos.

Desde o 1º bimestre exploro a Geometria

com meus alunos, oralmente e com ativi-

dades pertinentes. Utilizo a interdiscipli-

naridade sempre que possível para explo-

rar, tanto oralmente quanto no registro,

sobre o tema. Os alunos gostam bastante

“ (...) realizando

atividades lúdicas,

construindo brinquedos

e trabalhando em

grupos, é possível

desenvolver habilidades

geométricas,

explorando a

lateralidade, a

orientação espacial e a

percepção geométrica,

componentes

importantes do

pensamento

geométrico.”

19

da comparação das formas geométricas

com os objetos que fazem parte do dia-a-

-dia, seja na escola, no trajeto ou em casa.

A maioria compreendeu bem a diferen-

ciação de figuras geométricas dos sólidos

geométricos, os quais explorei em sala

com objetos do mercadinho, comparando

formas, tamanhos e espessuras. (...) Neste

bimestre recortamos e colamos os sólidos

geométricos do livro didático. Foi uma ativi-

dade que os alunos adoraram. Após debate

e explicação das planificações para formar

os sólidos, fiz uma exploração inicial so-

bre as arestas, os lados e os vértices, com

os sólidos mais utilizados e conhecidos. As

crianças fizeram comparações e compreen-

deram que a Geometria está presente em

todos os lugares.

Também realizamos uma maquete sim-

bólica, com os objetos do mercadinho. Fi-

zemos uma disputa entre meninas e meni-

nos: montar uma rua com casas, prédios,

carros e outros objetos pertinentes, para

posteriormente explorarmos as figuras ge-

ométricas através dos sólidos. Claro que

houve empate! Todos demonstraram aten-

ção e envolvimento, se divertiram e apren-

deram um pouco mais sobre a Geometria,

deixando claro que vale a pena utilizar o

concreto aliado ao registro escrito, pro-

porcionando ao ensino uma melhor assi-

milação dos conhecimentos pelos alunos.

O trabalho com embalagens de di-

ferentes formatos é bastante interessante,

pois, por meio delas, é possível realizar clas-

sificações de sólidos geométricos e planifi-

cações. De acordo com o relato da professo-

ra Alessandra, também é possível fazer uma

maquete com ruas e prédios. A partir dessa

maquete, várias atividades de movimenta-

ção e localização poderão ser realizadas. Por

exemplo: na maquete construída da cidade,

pode-se identificar qual o melhor caminho

para se deslocar da praça à padaria. Aqui po-

derão ser utilizados relatos orais com o uso

de noções de lateralidade.

As habilidades de localização e movi-

mentação podem, ainda, ser desenvolvidas

utilizando o papel quadriculado, croquis e

mapas em um trabalho com interações com

a Geografia. A descrição de trajetos, a identi-

ficação de locais em mapas e a identificação

do que está ao sul, ao norte, a leste a oeste

são alguns elementos interessantes utili-

zados para articular o ensino da Geografia

com o de Geometria.

Atividades dessa natureza enfatizam,

entre outras coisas, a importância do reco-

nhecimento de pontos de referências para a

localização e a movimentação no espaço.

Vários recursos já foram desenvolvi-

dos para auxiliar as pessoas a se localizarem e

a se movimentarem. Um desses recursos é o

GPS (Sistema de Posicionamento Global), que

dá as informações necessárias para se che-

gar a um determinado destino. Entretanto,

o conhecimento das noções de lateralidade

é imprescindível para realizar um determina-

20

do trajeto com sucesso, uma vez que o GPS

utiliza comandos como: virar à direita, virar

à esquerda, fazer uma curva suave à direita,

manter-se à esquerda e assim por diante.

Antes da criação e utilização do GPS

em larga escala, outros recursos eram uti-

lizados para realizar a movimentação e lo-

calização. Entre esses recursos destacamos

as indicações orais e os mapas. Uma pessoa

que chegava a uma cidade em que nunca foi

e desejava localizar uma determinada rua,

geralmente parava o carro e perguntava a

alguém onde ficava essa rua. Com as infor-

mações obtidas, como “anda três quadras

e vire à esquerda, passando o supermerca-

do vire à direita” era possível chegar a um

determinado local. A consulta a um mapa

também possibilitava chegar ao destino de-

sejado. Quando não se dispõe do GPS, esses

recursos ainda são utilizados.

Com o GPS, as informações são obti-

das em tempo real, o que possibilita ao mo-

torista economia de tempo e maior precisão

nas informações.

O GPS facilita a movimentação e a localização.

Outro recurso muito utilizado para

dar a posição de uma pessoa é o celular, pois

muitos modelos já têm o GPS integrado. Vá-

rias pessoas utilizam as redes sociais para

postarem a sua localização em um dado mo-

mento (fazer check-in).

No ciclo de alfabetização, os regis-

tros oral e escrito dos alunos possibilitam

constituir um dos instrumentos para ava-

liar o desenvolvimento das habilidades re-

lacionadas à localização e movimentação.

O professor alfabetizador poderá utilizar a

roda de conversa, realizada no pátio da es-

cola, para pedir aos alunos que destaquem

alguns pontos de referência presentes em

seu trajeto casa-escola. Podem destacar pra-

ça, igreja, edifício, etc. A seguir, os alunos

poderão registrar esses pontos de referência

em um desenho. Uma variação dessa ativi-

dade é solicitar aos alunos que desenhem o

trajeto que fazem para se deslocar da sala

de aula ao refeitório. A seguir destacamos a

produção de um aluno de seis anos com o

desenho do trajeto de sua casa à escola.

Ao explicar o trajeto, o aluno disse

que sua tia saía de sua casa (B) e ia

buscá-lo em casa (A). A seguir, a tia

retornava no sentido de B para ir até

C, que é a escola. A professora dessa

turma ficou intrigada, querendo saber

por que a tia não ia direto de A para C.

Conversou com a tia e mostrou o tra-

jeto feito pelo aluno e questionou por

21

que, uma vez em A, não seguia direto

para C, não sendo necessário voltar.

A tia explicou que seu sobrinho tinha

feito o itinerário correto, uma vez que

para ir de A a C direto era inviável, pois

as ruas apresentavam muitos buracos,

dificultando bastante o deslocamento.

Extraído de Pirola (2006). P. 199-200

Feita a atividade, as produções dos

alunos podem ser expostas e cada um deles

pôde explicar o seu desenho e os pontos de

referências destacados.

De forma geral, existem muitas ati-

vidades interessantes a serem desenvolvidas

com os alunos para desenvolver a habilidade

de movimentação e localização. O professor

alfabetizador não pode ficar restrito somen-

te ao ambiente da sala de aula. Precisa se

movimentar com seus alunos, explorando

outros espaços e realizando conexões com

outros campos do saber, como, por exemplo,

a Educação Física e a Geografia. O trabalho

interdisciplinar é importante no processo de

construção do conhecimento, pois possibili-

ta, entre outras coisas, utilizar um determi-

nado conceito em diferentes contextos.

22

REFERÊNCIAS

PIRES, C. M. C; CURI, E. CAMPOS, T.M.M. Espaço e forma: a construção de noções geométricas

pelas crianças. São Paulo: PROEM. 2000.

PIROLA, N. A. Um estudo sobre a formação dos conceitos de triângulo e paralelogramo

em alunos de 1º grau. 1995. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação,

Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

______ . Espaço e forma na educação infantil. In: Coletânea de Textos do CECEMCA. 1ed, 2006, v.

1, p.192-240.

23

A Geometria escolar estuda o espaço

e as formas. Neste texto, iremos nos dedicar

às formas que podem ser representadas como

figuras geométricas.

Sabemos que a Geometria plana estu-

da as figuras planas (ou bidimensionais), como

quadrados, retângulos, triângulos, polígonos,

etc.; e que a Geometria espacial estuda as

figuras espaciais (ou tridimensionais), como

cubos, paralelepípedos, pirâmides, cilindros,

etc. Os objetos produzidos pelo homem têm

formas tridimensionais, apesar de, em alguns

casos, nos referirmos apenas à forma de uma

de suas partes. Por exemplo, quando olhamos

a porta, a janela, o quadro branco ou a própria

parede, associamos essas formas a retângulos.

Entendemos que explorar as proprie-

dades das figuras geométricas, bem como

compor e decompor formas, pode ser um bom

caminho para as crianças aprenderem concei-

tos e desenvolverem seu raciocínio em Geo-

metria. No entanto, inicialmente vamos con-

testar algumas ideias que, ao serem admitidas

de uma maneira simplista, acabam impedindo

que nossas crianças aprendam conceitos geo-

métricos. O Quadro 1 mostra algumas afirma-

ções que são frequentes nas falas dos professo-

res (VIANA et al., 2013) e a nossa percepção em

relação às mesmas.

AFIRMAÇÕES NOSSA PERCEPÇÃO

1ª) AO OBSERVAR AS FORMAS

DOS OBJETOS, AS CRIANÇAS

APRENDEM GEOMETRIA.

CONCORDAMOS ( )

NÃO CONCORDAMOS (X)

2ª) AO MANIPULAR OBJETOS

CONCRETOS, AS CRIANÇAS

APRENDEM GEOMETRIA.

CONCORDAMOS ( )

NÃO CONCORDAMOS (X)

3ª) QUANDO ASSOCIAM O

NOME ÀS FIGURAS GEOMÉTRI-

CAS, AS CRIANÇAS APRENDEM

GEOMETRIA.

CONCORDAMOS ( )

NÃO CONCORDAMOS (X)

4ª) AO DESMONTAR E MONTAR

CAIXINHAS DE EMBALAGENS,

AS CRIANÇAS APRENDEM

GEOMETRIA ESPACIAL.

CONCORDAMOS ( )

NÃO CONCORDAMOS (X)

5ª) AO CONTAR FACES, VÉRTICES

E ARESTAS, AS CRIANÇAS APREN-

DEM GEOMETRIA ESPACIAL.

CONCORDAMOS ( )

NÃO CONCORDAMOS (X)

Quadro 1. Afirmações comuns nas falas dos professores

Evidentemente, a alternativa assina-

lada “não concordamos” é uma provocação

para que possamos tecer algumas reflexões

sobre o ensino e aprendizagem da Geome-

texto 3

fiGuras planas e espaciais: como trabalhar com elas nos anos iniciais do ensino fundamental?

Odalea Aparecida Viana1

1 Professora da Faculdade de Ciências Integradas do Pontal, da Universidade Federal de Uberlândia. odaleaviana@gmail.com

24

tria. O objetivo deste texto é apresentar uma

concepção acerca da formação de conceitos

geométricos elementares e o papel das figu-

ras nesse processo.

Conceitos

Sob a perspectiva piagetiana, pode-

mos compreender a formação de conceitos

– tema de especial interesse neste trabalho

– por meio do entendimento das operações

que um indivíduo pode realizar ao longo do

seu desenvolvimento e na construção do es-

paço perceptivo e representativo (PIAGET &

INHELDER, 1993). Um conceito é uma gene-

ralização a partir de dados relacionados e

que possibilita responder a algo ou pensar

em estímulos ou percepções específicos de

uma determinada maneira. Quando a crian-

ça formou os conceitos de retângulo2 e de

trapézio3, por exemplo, ela pôde generalizar

as figuras abaixo como sendo representan-

tes desses conceitos e pôde perceber as tá-

buas do portão com a forma de dois retân-

gulos e quatro trapézios (Imagem 1).

Imagem 1. Trapézios à esquerda e esquema de um portão

formado por retângulos e trapézios.

A aprendizagem da Geometria se dá

pelo desenvolvimento do chamado “pensa-

mento geométrico”, conforme denominado

por Van Hiele – um autor que se preocupou

em estudar como os conceitos geométricos

podem ser formados pelos alunos (VAN HIE-

LE, 1986). O modelo, que pode ser visto em

Crowley (1994), consiste em cinco níveis de

compreensão: reconhecimento, análise, de-

dução informal, dedução formal e rigor e su-

gere que os alunos progridam através dessa

sequência hierárquica enquanto aprendem

Geometria. Esses níveis do raciocínio geo-

métrico foram descritos por Van Hiele (1986)

e são resumidos a seguir:

Nível 1 – Reconhecimento:

Neste estágio inicial, também chama-

do de nível básico ou de visualização, o alu-

no percebe os conceitos geométricos como

entidades totais; não vê componentes ou

atributos. A aparência física é determinante

para reconhecer figuras e não suas partes ou

propriedades. O aluno consegue aprender um

vocabulário geométrico, identificar formas es-

pecíficas e reproduzir um desenho com papel

quadriculado. Por exemplo, pode reconhecer

um dado, chamá-lo de cubo, mas não é capaz

de reconhecer as seis faces quadradas. Este ní-

vel mais elementar de raciocínio é decorrente

da forma como normalmente a Geometria pa-

2 Retângulos são quadriláteros (polígonos de quatro lados) que possuem quatro ângulos retos.

3 Trapézios são quadriláteros que têm um par de lados paralelos, e retângulos são quadriláteros que têm quatro ângulos retos.

25

rece ser ensinada nos anos iniciais do Ensino

Fundamental, ou seja, baseada em ativida-

des que têm por objetivo o reconhecimento

nos dois sentidos: nome <-> figura.

Em muitas ocasiões, as descrições

das figuras estão baseadas em sua seme-

lhança com outros objetos (não necessa-

riamente geométricos) que conhecem. São

usadas frases como: “... se parecem com...”,

“ ...a forma de...” etc.

Nível 2 – Análise:

Neste nível, o aluno reconhece as

partes de uma figura, começa a analisar

as suas propriedades e utiliza algumas de-

las para resolver certos problemas. Não é

capaz de explicar relações entre as mes-

mas, não vê inter-relações entre as figuras

e não entende definições. Pode perceber

que os lados opostos e, possivelmente,

que as diagonais de um retângulo são con-

gruentes, mas não notará como os retân-

gulos se relacionam com os quadrados.

Acrescente-se que, neste nível, o

aluno dá mais importância à existência de

algumas propriedades diferenciadoras nas

figuras que à existência de propriedades co-

muns. Como exemplo, dadas as figuras a se-

guir (Imagem 2), provavelmente as crianças

vão apontar diferenças: B é “maior” que A,

os “cantinhos” (ângulos) de A são “abertos”

e os de B são “retinhos”, mas demorarão

para dizer que as duas figuras são polígonos

e têm o mesmo número de lados. No segun-

do caso, talvez se refiram às alturas (o cubo

D é mais “alto” que o paralelepípedo C), às

faces iguais de D e diferentes de C, e só mais

tarde indicarão que ambas as figuras são po-

liedros com seis faces.

Imagem 2. A e B são polígonos de seis lados (hexágonos); C

e D são poliedros de seis faces (hexaedros).

No nível 2, por meio de atividades

exploratórias, as crianças poderão reconhe-

cer e nomear os grupos de figuras a seguir

(Imagem 3), já que agora elas conseguem

analisar as propriedades.

Imagem 3. Grupo A: retângulos; Grupo B: triângulos e Grupo

C: trapézios.

Da mesma maneira, no nível 2, as

crianças podem analisar semelhanças (o

que é mais difícil do que analisar diferenças)

e podem separar as figuras em poliedros4 e

não poliedros (Imagem 4).

Imagem 4. Poliedros (à esquerda) e não poliedros (à direita).

4 Os poliedros são figuras tridimensionais (ou espaciais) que são formadas por faces (superfícies planas), vértices e arestas. Os não poliedros são, em geral, chamados de corpos redondos (na figura estão um cone, dois cilindros, uma esfera e um tronco de cone).

26

Nível 3 – Ordenação:

O aluno, neste nível, ordena logica-

mente figuras e entende inter-relações de

propriedades tanto das figuras quanto entre

elas. É capaz de formar classes de figuras, e a

inclusão de classes é entendida. Pode enten-

der por que todo quadrado é retângulo, mas

pode não ser capaz de explicar por que as dia-

gonais de um retângulo são congruentes.

Nível 4 – Dedução:

O aluno compreende o significado da

dedução e é capaz de construir demonstra-

ções de teoremas. Em geral, esse nível não é

alcançado no Ensino Fundamental.

Nível 5 – Rigor:

O aluno, nesse nível, é capaz de tra-

balhar com outras Geometrias que não a

euclidiana. Estudantes de nível superior

podem atingir esse nível.

Algumas pesquisas indicam que os

alunos dos anos finais do Ensino Fundamen-

tal e até do Ensino Médio estão em um ní-

vel de formação conceitual bem abaixo do

esperado. Assim, são muitos os que não re-

conhecem as figuras constantes na Imagem

5, pois não analisam suas características, ou

melhor, não analisam as propriedades das

figuras. Evidentemente, não conseguem in-

cluir classes de figuras, entendendendo, por

exemplo, que quadrados são paralelogra-

mos5. A Imagem 5 mostra classes de figuras

para quadriláteros prismas6. O entendimen-

to das relações de inclusão ilustradas pelas

imagens requer o Nível 3 de desenvolvimen-

to do raciocínio geométrico, de acordo com

Van Hiele (1986):

Imagem 5 – Inclusão de classes para os polígonos que são quadriláteros (à esquerda) e para os poliedros que são prismas (à direita).

Consideramos que aprender Geome-

tria, mesmo nos anos iniciais do Ensino Fun-

damental, não se resume a reconhecer e no-

mear figuras, mas sim a desenvolver formas

de pensamento geométrico. Para desenvol-

ver os níveis de conceitos, são necessárias

operações mentais que vão muito além da

manipulação de manipular objetos.

De acordo com Piaget e Inhelder

(1993), todo pensamento surge das ações,

mas estas não se resumem a ações físicas

com objetos; é preciso que as crianças coor-

denem essas ações no plano do pensamen-

to. Assim, não basta montar quadrados com

5 Paralelogramos são quadriláteros que possuem dois pares de lados paralelos.

6 Prismas são poliedros que têm duas faces paralelas e congruentes e as outras faces (laterais) paralelogramos (geralmente retângulos).

27

quatro varetinhas do mesmo comprimento;

é preciso que, ao receber varetas de compri-

mentos variados, a criança imagine quantas

e de quais tamanhos ela precisaria para re-

presentar as formas de

um piso e de uma ban-

deira – e tentar expli-

car por que fez assim,

por exemplo. Essas an-

tecipações das ações

tornam-se verdadeiros

desafios para o aluno

e são conflitos cogni-

tivos que, de acordo

com Piaget, ajudam no

desenvolvimento intelectual dos alunos.

Assim, com base na teoria piage-

tiana, consideramos que oportunizar a

manipulação de material concreto pode

contribuir para a formação de conceitos

desde que as crianças possam agir no pla-

no do pensamento. Figuras desenhadas

nas folhas dos livros ou em cartazes não

permitem, por exemplo, antecipação de

deslocamentos e de giros, nem de verifi-

cação dos resultados desses movimentos.

Alguns exemplos de movimentos de figu-

ras são descritos a seguir, lembrando que

o professor pode construir, junto com os

alunos, a maior parte dessas figuras. São

também sugeridas outras atividades para

a Geometria plana e espacial.

Algumas atividades para construir conceitos

Exemplo 1: Trabalhar

com figuras planas

recortadas (que per-

mitam movimentar,

girar, sobrepor)

a) Identificar congruên-

cias7 em triângulos: Há

pares de figuras iguais

(congruentes)?

b) Identificar semelhanças nas figuras: Há pa-

res de figuras em que, ao que parece, uma é a

ampliação ou redução da outra? “Há pares de

polígonos que parecem ser semelhantes?”

c) Variação da atividade anterior: as mesmas

figuras poderão compor um jogo de cartas,

com os mesmos questionamentos anteriores.

“(...) com base na teoria piagetiana, consideramos que

oportunizar a manipulação de material concreto pode contribuir para a formação de conceitos desde que as

crianças possam agir no plano do pensamento.”

7 Dois triângulos são congruentes quando têm lados e ângulos correspondentes de mesma medida. Uma das maneiras de verificar a congruência é sobrepor as figuras.

8 Dois polígonos são semelhantes quando os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos correspondentes têm a mesma medida. Evidentemente, nos anos iniciais, exploram-se apenas as ideias de redução e de ampliação.

28

Exemplo 2: Criar, compor e decompor fi-

guras planas

a) Criar formas poligonais

A ideia é que a criança crie contor-

nos como os ilustrados, com auxílio de ré-

gua e sem medidas, apenas para caracteri-

zar polígonos. Não importa que as figuras

não fiquem simétricas, o importante é ca-

racterizar os lados retos.

b) Decompor e recompor o polígono criado

(dodecágono). Que figuras foram obtidas?

A “estrela poligonal” é um polígono

de 12 lados. Ela deu origem a 6 polígonos,

sendo 2 triângulos (triângulos equiláteros) e

4 quadriláteros (sendo um quadrado e três

trapézios). Entre esses 6 polígonos, há po-

lígonos congruentes?

c) Compor figuras (quebra-cabeça) com: (i)

contornos definidos, (ii) contornos não defi-

nidos, (iii) modelo com peças do mesmo ta-

manho, (iv) modelo com peças maiores que

o modelo etc.

d) Criar uma forma poligonal, recortá-la em

cartolina e usá-la para compor faixas (con-

gruência e translação/simetria). Abaixo, o

“cachorro poligonal” é polígono de 10 lados!

Exemplo 3: Antecipando construções

a) Antecipar a escolha das faces para formar

os poliedros (prismas, paralelepípedos, pi-

râmides). Observe os polígonos à esquerda

(eles serão as faces): quantas faces você vai

precisar para montar cada poliedro à direita?

Serão todas triangulares? Haverá quadrados?

b) Antecipar a escolha das arestas para for-

mar os poliedros (prismas, paralelepípedos,

pirâmides). Quantas varetas (arestas) você

precisará para formar o paralelepípedo? Te-

rão a mesma medida?

Exemplo 4: Desenvolvendo vocabulário

a) Jogo “Adivinha quem sou”: sou um polígo-

no, tenho quatro lados, tenho quatro ângu-

los, os lados são congruentes, os ângulos

são todos retos.

b) Jogo da memória de pares ou trios.

29

Considerações finais

Conforme as teorias mostram, é ne-

cessário que a criança estabeleça relações o

tempo todo: É igual? É diferente? É parecido?

O que tem de igual? É o ângulo? É a medida

do lado? É a quantidade de lados?

O enfrentamento de desafios, na for-

ma de antecipações, também é importan-

te. Na Geometria plana, por exemplo: Esta

quantidade de lados vai ser possível para for-

mar esse polígono? As medidas desses lados

formam aquele hexágono? Por quê? Se jun-

tar aqueles dois ângulos formará o ângulo

reto do quadrado? Na Geometria espacial:

quantas arestas e de que medidas você vai

precisar? Essas são as melhores faces para

aquele poliedro? E se pegar essas, forma

aquele outro poliedro que é pirâmide? E por

que não pegar aquelas? Se juntar essas faces

retangulares formará o paralelepípedo?

Além disso, apostamos em ativida-

des que incentivem a criança a criar, a in-

ventar, e a explorar as propriedades da fi-

gura criada. Na Geometria plana: Esse seu

“peixe poligonal” é um polígono de quan-

tos lados? Lados iguais? Quantos ângulos?

Tem ângulos retos? Na Geometria espa-

cial: Esse poliedro que você criou, quantas

faces tem? As faces são iguais? São dife-

rentes? Esse poliedro tem faces que são

iguais às daquela pirâmide?

Conforme podemos notar, o voca-

bulário deve ser aprendido pela criança

nas próprias atividades.

Esperamos ter explicado as nossas

percepções contidas no Quadro 1: na nossa

concepção, não se aprende Geometria ob-

servando formas de objetos e manipulando

materiais concretos, mas devemos dar ênfa-

se à criatividade e à exploração das proprie-

dades, de modo a contribuir para a forma-

ção de conceitos e para o desenvolvimento

dos níveis de pensamento em Geometria.

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REFERÊNCIAS

CROWLEY, M. L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico. In: LIND-

QUIST. M. M; SHULTE A. A. (org.) Aprendendo e ensinando Geometria. Tradução de Hygino H.

Domingos. São Paulo: Atual, 1994.

PIAGET, J.; INHELDER B. A representação do espaço na criança. Tradução de Albuquerque, B. M.

Porto Alegre: Artes Médicas, 1993.

VAN HIELE, P. M. Structure and Insight – A Theory of Mathematics Education, Orlando: Acade-

mic Press, 1986.

VIANA, O. A.; SILVA, R. M. M.; SILVA, B. A. R. Relações entre atitudes e concepções de professo-

res acerca da Geometria. Encontro Nacional de Educação Matemática, 11, PUCPR, 2013. Anais…

Curitiba, 2013.

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Presidência da RepúblicaMinistério da EducaçãoSecretaria de Educação Básica

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Acompanhamento pedagógico Grazielle Bragança

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Setembro 2014