Geometria das Massas

Centro de Massa (Centro de Massa de um Sistema Discreto de

Partículas)O que é o Centro de Massa de um Sistema de Partículas ?

Como calcular a posição do Centro de Massa de um Sistema Discreto de Partículas?

Como avaliar a posição do Centro de Massa de um sistema de duas partículas ?

Qual é a  posição do Centro de Massa quando as partículas forem de mesma massa ?

Como calcular a velocidade do Centro de Massa quando as partículas componentes do sistema estão se deslocando ?

O que é o Centro de Massa de um Sistema de Partículas ?

É um ponto cujas coordenadas são médias ponderadas das coordenadas das partículas componentes do sistema.

Como calcular a posição do Centro de Massa de um Sistema Discreto de Partículas ?

Como o sistema de partículas é constituído em princípio por partículas de massas diferentes a média utilizada é a média ponderada tomando como pesos na média a massa das partículas.Consideremos o sistema de três partículas mostrado na figura, onde estão indicadas as massas e as coordenadas de cada partícula. A figura mostra ainda o Centro de Massa CM e suas coordenadas.

As coordenadas do Centro de Massa são calculadas pelas médias ponderadas, como está indicado na figura.

Como avaliar a posição do Centro de Massa de um sistema de duas partículas ?

Consideremos o sistema de duas partículas mostrado na figura e o seu CM.

A posição do CM é calculada pela média ponderada das posições das partículas. Em função da média ponderada o CM está sempre mais próximo da partícula mais importante ou seja a partícula de maior massa.

Partindo da média ponderada verificamos que a distância do CM à uma partícula é inversamente proporcional à sua massa.

Exemplo:Considere um sistema constituído por duas partículas de massas 3g e 1g, separadas por uma distância de 40cm. As distâncias do CM às partículas são inversamente proporcionais às sua massas e valem d e 3d como mostra a figura.

 Conseqüentemente o CM está a 10cm da partícula de 3g e a 30cm da partícula de 1g

Qual é a posição do Centro de Massa quando as partículas forem de mesma massa ?

Quando as massas forem iguais as partículas são igualmente importantes e conseqüentemente o CM será eqüidistante das partículas.

Como calcular a velocidade do Centro de Massa quando as partículas componentes do sistema estão se deslocando ?

Consideremos um sistema de duas partículas de massas m1 e m2 em deslocamento na mesma direção como mostra a figura.

Sabemos que as velocidades são as derivadas das posições em relação ao tempo, logo:

Derivando ambos os membros da igualdade, que fornece a posição do CM, em relação ao tempo teremos:

É importante verificar que a velocidade do CM é também uma média ponderada

Propriedades do Centro de Massa

Qual o significado físico do Centro de Massa ?

Como calcular a energia potencial gravitacional de um corpo em função da posição do Centro de Massa ?

Como calcular a quantidade de movimento de um sistema de partículas em deslocamento em função do Centro de Massa ?

Como avaliar o movimento do CM de um sistema de partículas em movimento ?

O que pode ser afirmado sobre o movimento do CM de duas partículas que se chocam apoiadas num plano horizontal liso ?

O que pode ser afirmado sobre a quantidade de movimento de um sistema de partículas no Referencial Centro de Massa (RCM) ?

Qual é a relação entre as quantidades de movimento de duas partículas no Referencial Centro de Massa (RCM) ?

Qual o significado físico do Centro de Massa ?

Como o CM ocupa a posição média das partículas que constituem o corpo, a sua posição representa o conjunto de posições das partículas.

Conseqüentemente a partícula material cuja massa é a massa total do corpo e cuja posição é a do CM, equivale fisicamente ao corpo quando este está em repouso ou em movimento de

translação

Como calcular a energia potencial gravitacional de um corpo em função da posição do Centro de Massa ?

Como o corpo equivale fisicamente à partícula material de massa igual à do corpo e cuja posição é a do CM a energia potencial gravitacional do corpo será igual à da partícula (supondo o campo gravitacional uniforme).

A energia potencial gravitacional será:

EP = P.h >>> EP = mg.h

onde m é a massa do corpo e g é a aceleração da gravidade

Exemplo:Considere uma esfera de material homogêneo de massa 5kg e 20cm de raio, apoiada numa mesa de 1,2m de altura como mostra a figura. 

A energia potencial gravitacional da esfera será igual à energia potencial do seu CM supondo toda a massa da esfera nele concentrada.

EP = mg.h >>> EP = 5x10x(1,2 + 0,2) JEP = 70J

Como calcular a quantidade de movimento de um sistema de partículas em deslocamento em função do Centro de Massa ?

Como um sistema de partículas equivale fisicamente à partícula material de massa igual à massa total do sistema e cuja posição é a do CM, a quantidade de movimento de um sistema de partículas em deslocamento é igual a quantidade de movimento do seu CM supondo nele concentrada a sua massa.

Exemplo :Considere duas partículas em deslocamento como mostra a figura onde a velocidade do CM é 14m/s (calculada como a média ponderada das velocidades das partículas).

A quantidade de movimento do sistema psistema é:

Considerando o conjunto das partículaspsistema = 4x10 + 1x30 >>> psistema = 70kg.m/s

ouConsiderando o CM

psistema = (4 + 1)x14 >>>>>psistema = 70kg.m/s

Como avaliar o movimento do CM de um sistema de partículas em movimento?

Um sistema de partículas equivale fisicamente à partícula material de massa igual à massa total do sistema e cuja posição é a do CM.Para determinarmos a aceleração do CM procedemos da seguinte maneira:- concentramos no CM toda a massa do sistema- aplicamos no CM todas as forças que atuam sobre as partículas do sistema- calculamos a aceleração por meio da 2a Lei de NewtonÉ importante observar que a soma das forças interiores é nula uma vez que estas forças são formadas por pares de forças de Ação e Reação, conseqüentemente no cálculo da aceleração levaremos em conta apenas as forças exteriores.

Exemplo: Um projétil é disparado e realiza uma trajetória parabólica quando desprezamos a resistência do ar. Num determinado instante o projétil explode e é dividido em três fragmentos como mostra a figura. 

Constatamos que mesmo após a explosão o CM continua na trajetória que possuía, uma vez que, as forças resultantes da explosão são forças interiores e não influenciam no movimento do CM.

O que pode ser afirmado sobre o movimento do CM de duas partículas que se chocam apoiadas num plano horizontal liso?

Quando duas partículas se movimentam apoiadas num plano horizontal liso a soma das forças externas é nula e conseqüentemente a aceleração do CM é nula e a sua velocidade é constante.

Exemplo:Considere as partículas da figura antes do choque com o CM a uma velocidade de 26m/s. 

Pelo exposto anteriormente a velocidade do CM sendo constante o seu valor é o mesmo antes, durante e depois do choque como mostra o gráfico vxt da figura abaixo.

O que pode ser afirmado sobre a quantidade de movimento de um sistema de partículas no Referencial Centro de Massa (RCM) ?

Como um sistema de partículas equivale fisicamente à partícula material de massa igual à massa total do sistema e cuja posição é a do CM, a quantidade de movimento de um sistema de partículas em deslocamento é igual a quantidade de movimento do seu CM supondo nele

concentrada a sua massa.A velocidade do CM em relação ao CM, isto é no RCM é evidentemente nula, logo a quantidade de movimento do CM no RCM é nula.

Conclusão:A quantidade de movimento do sistema de partículas no RCM é nula

Qual é a relação entre as quantidades de movimento de duas partículas no Referencial Centro de Massa (RCM) ?

A quantidade de movimento do sistema de partículas no RCM é nula, isto é, a soma da quantidade de movimento das duas partículas é nula.

Conseqüentemente:

 as quantidade de movimento das partículas são iguais e contrárias. as velocidades no RCM são inversamente proporcionais às massas.

m1 v1 = m2 v2 >>> v1 / v2 = m2 / m1

Exemplo 1:As partículas de massas 40g e 10g , movimentam-se em relação ao CM com velocidades v e 4v.

Exemplo 2:Um indivíduo de massa 80kg esta em pé sobre uma canoa e em repouso. A canoa de massa 800kg está parada em águas tranqüilas de um lago. Quando o indivíduo inicia uma corrida sobre a canoa com uma velocidade de 10m/s verificamos que a canoa passa a se deslocar com uma velocidade 10 vezes menor, isto é, uma velocidade de 1m/s.

Propriedades do Momento de Inércia

Cálculo do momento de inércia em relação a um eixo em função do momento de inércia em relação a um eixo paralelo que contem o centro de massa. (Teorema de Steiner)

Exemplo de utilização do Teorema de Steiner. Cálculo do momento de inércia de uma superfície retangular em relação a um eixo paralelo à sua base passando pelo Centro de Massa  

Cálculo do momento de inércia por adição e/ou subtração.

Relação entre o momento de inércia polar e os momentos de inércia axiais em relação à dois eixos ortogonais.

Exemplo de utilização da relação entre os momentos axiais e polar.

Cálculo do momento polar de uma superfície retangular em relação ao centro de massa.

Exemplo de utilização da relação entre os momentos axiais e polar.Cálculo do momento axial de uma superfície circular em relação a um eixo que passa pelo seu centro.

Propriedades do Momento de Inércia

Cálculo do momento de inércia em relação a um eixo em função do momento de inércia em relação a um eixo paralelo que contem o centro de massa. (Teorema de Steiner)

Considere um corpo de massa M sendo Iy e Ix os momentos de inércia do corpo em relação aos eixos paralelos conforme mostra a figura.

O Teorema de Steiner é válido também para os momentos de inércia superficiais.

Exemplo de utilização do Teorema de Steiner. Cálculo do momento de inércia de uma superfície retangular em relação a um eixo paralelo à sua base passando pelo Centro de Massa 

Considere a superfície retangular e dois eixos paralelos como mostra a figura.

O momento de inércia em relação ao eixo que contém a base b será representado por Iy e o momento de inércia em relação ao eixo paralelo à base b que passa pelo centro de massa será representado por Ix.Vamos calcular Ix conhecido o valor de Iy

Cálculo do momento de inércia por adição e/ou subtração. GMS020403

O cálculo do momento de inércia de um corpo ou de uma figura plana pode ser calculado como sendo a adição e/ou a subtração dos momentos de inércia de suas partes.

Exemplo:Cálculo do momento de inércia da superfície da figura em relação ao eixo marcado em azul.

Cálculo por adição.

O momento de inércia I da superfície é a soma dos momentos de inércia I1 e I2 dos dois retângulos amarelos da figura abaixo.  I = I1 + I2.

Cálculo por subtração.O momento de inércia I da superfície é a diferença entre os momentos de inércia I1 do quadrado amarelo de lado b e o momento de inércia I2 do quadrado branco de lado b - a.  I = I1 - I2 .

Relação entre o momento de inércia polar e os momentos de inércia axiais em relação à dois eixos ortogonais.

Consideremos uma superfície de área S contida no plano XOY de um sistema de 3 eixos ortogonais como mostra a figura.

Os momentos axiais em relação aos eixos OY e OX serão representados por  Ix e Iy e  o

momento polar em relação ao eixo OZ será representado por Iz.

Exemplo de utilização da relação entre os momentos axiais e polar.Cálculo do momento polar de uma superfície retangular em relação ao centro de massa.

Considere a superfície retangular da figura.

Chamaremos de Ix e Iy os momentos axiais em relação aos eixos OX e OY da figura e de ICM o momento polar em relação ao centro de massa

Exemplo de utilização da relação entre os momentos axiais e polar.Cálculo do momento axial de uma superfície circular em relação a um eixo que passa pelo seu centro.

Considere a superfície circular da figura.

Chamaremos de Ix e Iy os momentos axiais em relação à eixos ortogonais da figura e de ICM o momento polar em relação ao centro de massa. O momento axial em relação a um eixo diametral qualquer será representado por I.

Aplicações do Momento de Inércia

Quais são as aplicações do momento de inércia na Física?

Aplicações do Momento de Inércia

Quais são as aplicações do momento de inércia na Física?

O momento de inércia é utilizado no estudo da dinâmica das rotações de corpos extensos.

O momento de inércia superficial é utilizado no estudo das tensões que ocorrem nas flexões e  torções. O momento de inércia superficial é também utilizado na avaliação de forças resultantes de pressões sobre superfícies.