Geometria Analítica

Superfícies

Prof° Marcelo Maraschin de Souza

Hiperboloide de Revolução

Considere no plano yz a hipérbole de equações

𝑦2

𝑏2−

𝑧2

𝑐2= 1

𝑥 = 0

Os hiperboloides de

revolução são obtidos

por rotações em torno dos eixos y a z.

Hiperboloide de uma folha

Fazendo a rotação da hipérbole em torno do eixo z resulta no

hiperboloide de uma folha,

Hiperboloide de uma folha

A equação será obtida substituindo y por 𝑥2 + 𝑦2, ou seja,

𝑥2

𝑏2+y2

b2−z2

𝑐2= 1

De uma forma mais generalizada, pode dizer que a equação de

um hiperboloide de uma folha ao longo do eixo z é representada

por

𝑥2

𝑎2+y2

b2−z2

𝑐2= 1

Hiperboloide de uma folha

Hiperboloide de uma folha ao longo do eixo y é representada por

𝑥2

𝑎2−y2

b2+z2

𝑐2= 1

Hiperboloide de uma folha ao longo do eixo x é representada por

−𝑥2

𝑎2+y2

b2+z2

𝑐2= 1

Hiperboloide de uma folha

O traço do hiperboloide de uma folha ao longo do eixo z é dado

por

𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑦,𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1

𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑧,𝑥2

𝑎2−𝑧2

𝑐2= 1

𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑧,𝑦2

𝑏2−𝑧2

𝑐2= 1

Hiperboloide de duas folhas

Fazendo a rotação da hipérbole

em torno do eixo y resulta no hiperboloide de duas folhas.

Hiperboloide de duas folhas

Hiperboloide de duas folhas

A equação será obtida substituindo z por 𝑥2 + 𝑧2, ou seja,

−𝑥2

𝑏2+y2

b2−z2

𝑐2= 1

De uma forma mais generalizada, pode dizer que a equação de

um hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo y é representada

por

−𝑥2

𝑎2+y2

b2−z2

𝑐2= 1

Hiperboloide de duas folhas

Hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo x é representada por

𝑥2

𝑎2−y2

b2−z2

𝑐2= 1

Hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo z é representada por

−𝑥2

𝑎2−y2

b2+z2

𝑐2= 1

Hiperboloide de duas folhas

O traço do hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo y é dado

por

𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑦,𝑦2

𝑏2−𝑥2

𝑎2= 1

𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑧,𝑦2

𝑏2−𝑧2

𝑐2= 1

No plano xz, y=k, tem-se conjunto vazio, um ponto ou

elipses.

Resumo

Paraboloide

Consideremos a parábola no plano yz de equações

𝑦2 = 𝑏2𝑧𝑥 = 0

Paraboloide Elíptico

Paraboloide Elíptico

A rotação dessa parábola em torno do eixo z resulta no

paraboloide de revolução cuja equação será obtida da equação da

parábola, substituindo y por 𝑥2 + 𝑦2,

𝑧 =𝑥2

𝑏2+𝑦2

𝑏2

Um paraboloide ao longo do eixo z mais geral, denominado

paraboloide elíptico, é representado por

𝑧 =𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2

Paraboloide Elíptico

Um paraboloide elíptico ao longo do eixo y é representado por

𝑦 =𝑥2

𝑎2+𝑧2

𝑐2

Um paraboloide elíptico ao longo do eixo x é representado

por

𝑥 =𝑦2

𝑏2+𝑧2

𝑐2

Paraboloide Elíptico

O traço do paraboloide elíptico ao longo do eixo z é dado por

𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑦, 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚)

𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑧, 𝑧 = 𝑥2/𝑎2

𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑧, 𝑧 = 𝑦2/𝑏2

Obs: Traços no nos planos z=k>0 são elipses.

Paraboloide Elíptico

Paraboloide Hiperbólico

Paraboloide Hiperbólico

Um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z é representado por

𝑧 =𝑦2

𝑏2−𝑥2

𝑎2

Um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo y é representado por

𝑦 =𝑧2

𝑐2−𝑥2

𝑎2

Um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo x é representado por

𝑥 =𝑧2

𝑐2−𝑦2

𝑏

Paraboloide Hiperbólico

O traço do paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z é dado por

𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥 = 𝑘, 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦 = 𝑘, 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎

𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑧 = 𝑘, ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑢 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑠(𝑧 = 0)

Superfícies Cônicas

Considere no plano yz a reta g de equações,

𝑧 = 𝑚𝑦𝑥 = 0

Superfícies Cônicas

Superfícies Cônicas

Uma superfície cônica ao longo do eixo z, mais geral, é dada por

𝑧2 =𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2

Uma superfície cônica ao longo do eixo y, mais geral, é dada por

𝑦2 =𝑥2

𝑎2+𝑧2

𝑐2

Uma superfície cônica ao longo do eixo x, mais geral, é dada por

𝑥2 =𝑦2

𝑏2+𝑧2

𝑐2

Superfícies Cônicas

Os traços da superfície cônica ao longo do eixo z são dados por

• Em z=0, um ponto (origem);

• Em z=k, elipses (ou circunferências);

• Em x=k e y=k, hipérboles;

• Em x=0 ou y=0, duas retas.

Superfícies Cônicas

Superfícies Cilíndricas

Exemplo: considere a parábola 𝑥2 = 2𝑦

A equação da superfície cilíndrica também será 𝑥2 = 2𝑦

Superfícies Cilíndricas

Tome o ponto A(2,2,0) pertencente a parábola, todo ponto do tipo

(2,2,z) também pertence a parábola, já que podemos considerar a

equação 𝑥2 = 2𝑦 + 0𝑧.

Ou seja, o valor de z não influi no fato de um ponto pertencer ou

não a superfície.

De modo geral, o gráfico em 3 dimensões de uma equação que

não apresenta uma determinada variável, corresponde a uma

superfície cilíndrica ao longo do eixo desta variável ausente.

E conforme a equação dada, temos uma superfície cilíndrica

chamada circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica.

Superfícies Cilíndricas

Exercício: qual superfície cilíndrica representa a seguinte

equação?

𝑥2

4+𝑧2

9= 1

Superfícies Cilíndrica

Superfície cilíndrica elíptica ao longo do eixo y.