Geometria Analítica com vetores – III E. Wagner – IMPA/FGV

Introdução Nas duas apresentações anteriores do Papmem, tivemos oportunidade de abordar as propriedades e operações dos vetores no plano e também diversas aplicações. Aqui, a expressão Geometria Analítica deve ser entendida como a relação de paralelismo entre a geometria sintética e a geometria com coordenadas. Na geometria sintética o raciocínio para a solução de um problema é feito diretamente sobre uma figura enquanto que na geometria com coordenadas, o desenho perde muito de sua importância, pois o foco é direcionado para a utilização de ferramentas algébricas que são manipuladas para a solução do problema. Em resumo, os itens abordados nos cursos anteriores foram: • O plano cartesiano. • Operações com pares ordenados. • Operações com vetores sob o ponto de vista geométrico. • Equivalência das operações com vetores nos pontos de vista geométrico e algébrico. • Módulo de um vetor. • Distância entre dois pontos no plano cartesiano. • Condição de perpendicularismo entre dois vetores. • Equação da reta na forma vetorial. • Outras formas da equação da reta. • Vetor normal e vetor diretor de uma reta. • O produto escalar de dois vetores. • O cosseno do ângulo entre dois vetores. • Ângulo entre duas retas. • Projeção de um vetor sobre uma reta. Neste capítulo, vamos retomar o tema da distância de um ponto a uma reta fazendo uma recordação do que foi visto no curso anterior (janeiro de 2019) e desenvolvendo o tema até o seu final.

5. Distância de um ponto a uma reta Na geometria analítica tradicional que está presente nos livros didáticos brasileiros a distância de um ponto a uma reta, quando aparece, é dada por uma misteriosa fórmula.

A demonstração, em geral, não aparece nesses livros, pois demanda um grande trabalho de cálculos pelos métodos tradicionais, mas a ideia é fácil de entender. Dados um ponto 𝑃! e uma reta 𝑟, construímos uma reta 𝑠, que contém 𝑃! e é perpendicular a 𝑟. Determinamos, em seguida o ponto 𝑄, interseção das retas 𝑟 e 𝑠. A distância entre 𝑃! e 𝑄 é a distância de 𝑃! à reta 𝑟. Exemplo Calcule a distância do ponto 𝑃! = (6, 4) à reta 𝑟: 2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0. Solução Vamos resolver a questão seguindo, inicialmente, a sugestão dada acima. A reta dada é 𝑟: 2𝑥 + 3𝑦 = 5 . Como sabemos dos cursos anteriores, uma reta perpendicular a 𝑟 é a reta 𝑠:    3𝑥 − 2𝑦 = 𝑐 . Observe que as retas 𝑟 e 𝑠 são perpendiculares porque seus vetores normais 𝑛  ! = (2, 3) e 𝑛  ! = (3,−2) são perpendiculares, uma vez que 2 ∙ 3+ 3 ∙ −2 = 0. Como a reta 𝑠 contém o ponto 𝑃! = (6, 4) então, substituindo esse ponto na equação da reta 𝑠 temos 3 ∙ 6− 2 ∙ 4 = 𝑐, ou seja, 𝑐 = 10. Assim, a reta 𝑠 tem equação 3𝑥 − 2𝑦 =10. O ponto 𝑄, interseção das retas 𝑟 e 𝑠 é dado pela solução do sistema formado pelas duas equações:

2𝑥 + 3𝑦 = 5 3𝑥 − 2𝑦 = 10

Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda por 3, obtemos: 4𝑥 + 6𝑦 = 10 9𝑥 − 6𝑦 = 30

Somando, encontramos 𝑥 = !"!"

e, substituindo esse valor em qualquer uma das

equações encontramos 𝑦 = − !!"

.

Assim, o ponto de interseção das retas 𝑟 e 𝑠 é 𝑄 = (!"!",− !

!").

Vamos, a seguir, construir o vetor 𝑃!𝑄 e calcular o seu módulo.

𝑃!𝑄 = 𝑄 − 𝑃! =4013 ,−

513 − 6, 4 = (−

3813 ,−

5713)

Para facilitar o cálculo do módulo desse vetor, podemos observar que 38 = 2 ∙ 19 e que 57 = 3 ∙ 19. Assim, 𝑃!𝑄 =

!"!"(−2,−3).

Assim, a distância de 𝑃! até 𝑄 é:

𝑃!𝑄 =1913 −2 ! + (−3)! =

19 1313

Vamos ver a seguir que, com vetores, o trabalho se reduz consideravelmente. Antes porém, vamos tratar de calcular o comprimento da projeção de um vetor sobre uma reta. 5.1. Projeção de um vetor dado sobre uma reta dada Na figura a seguir, 𝑣 é um vetor dado, 𝑟 é uma reta dada, 𝑢  é um vetor unitário que tem a direção de 𝑟, 𝑝 é o comprimento da projeção de 𝑣 sobre 𝑟, e 𝜃 é o ângulo entre os vetores 𝑢 e 𝑣.

Temos que 𝑢 ∙ 𝑣 = |𝑢||𝑣| cos𝜃 e, portanto, 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 𝑣 |cos𝜃| . Mas como 𝑢   é unitário, então |𝑢 ∙ 𝑣| = 𝑣 |cos𝜃 | = 𝑝. Assim, o comprimento da projeção de um vetor 𝑣 sobre a reta que contém o vetor unitário 𝑢 é 𝑝 = |𝑢 ∙ 𝑣|. Com o que foi dito acima vamos repetir os dados do exemplo anterior para calcular a distância de um ponto dado à uma reta dada com esse novo ponto de vista. Exemplo Calcule a distância do ponto 𝑃 = (6, 4) à reta 𝑟: 2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0. Solução A figura ao lado mostra, em desenho livre, a reta 𝑟 e o ponto 𝑃. Consideremos a reta reta 𝑟 , passando por 𝑃 e perpendicular a 𝑟 com seu vetor diretor unitário 𝑢. Seja 𝑄 um ponto qualquer da reta 𝑟. A distância 𝑑 , do ponto 𝑃 à reta 𝑟 , é exatamente o comprimento da projeção do vetor 𝑃𝑄 sobre a reta 𝑠. E isso é o que aprendemos no item anterior. A reta 𝑟 dada, de equação 2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 tem como vetor normal 𝑛 = 2, 3 . Como o módulo desse vetor é 2! + 3! = 13, O vetor unitário de mesma direção e sentido que 𝑛 é

𝑢 =213,313

=113(2, 3)

Por outro lado, devemos escolher um ponto qualquer da reta 𝑟 e escolhemos 𝑄 = (1, 1). Assim, o vetor 𝑃𝑄 é 𝑣 = 𝑄 − 𝑃 = (−5,−3). Portanto, distância 𝑑, do ponto 𝑃 à reta 𝑟 é

𝑑 = 𝑢 ∙ 𝑣 =113(2, 3) ∙ (−5,−3) =

113

−10− 9 =1913

Passamos agora a enfrentar o problema de encontrar uma fórmula para a distância do ponto 𝑃! = 𝑥!,𝑦! à reta de equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. 5.2. A fórmula da distância de um ponto dado a uma reta dada Em muitas situações em geometria precisamos calcular a distância de um ponto dado a uma reta dada. Por exemplo, todo ponto da bissetriz de um ângulo possui mesma distância aos lados desse ângulo. Assim, na geometria com coordenadas, para encontrar a bissetriz de um ângulo dado por duas retas precisamos utilizar uma ferramenta que calcule a distância de um ponto a uma reta. Vamos então a seguir, construir essa ferramenta utilizando o que já vimos antes nessas notas. Consideremos a reta 𝑟 de equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, o ponto 𝑃! = 𝑥!,𝑦! e vamos seguir exatamente os passos descritos no exemplo do item anterior para calcular a distância de 𝑃! a 𝑟. Veja com atenção o desenho ao lado. Sabemos que um vetor perpendicular à reta 𝑟 de equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 é 𝑛 = (𝑎, 𝑏). Consideremos, então um vetor unitário 𝑢 com mesma direção do vetor 𝑛.

𝑢 =𝑛|𝑛| =

1𝑎! + 𝑏!

(𝑎, 𝑏)

Tomemos agora um ponto qualquer 𝑄 = (𝑥,𝑦) da reta 𝑟 de equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 e seja 𝑣 = 𝑃!𝑃 = (𝑥 − 𝑥!,𝑦 − 𝑦!). Observe a figura acima. O comprimento da projeção de 𝑣 sobre a reta que contêm 𝑢 é 𝑃!𝐴 = 𝑑, que é a distância de 𝑃! à reta 𝑟. Portanto,

𝑑 = 𝑢 ∙ 𝑣 =1

𝑎! + 𝑏!  𝑎, 𝑏 ∙ (𝑥 − 𝑥!,𝑦 − 𝑦!)

Acompanhe com atenção o desenvolvimento disso.

𝑑 =1

𝑎! + 𝑏!  𝑎𝑥 − 𝑎𝑥! + 𝑏𝑦 − 𝑏𝑦!

Veja que, como 𝑄 = (𝑥,𝑦) é um ponto da reta 𝑟 então 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = −𝑐. Assim,

𝑑 =1

𝑎! + 𝑏!  −𝑎𝑥! − 𝑏𝑦! − 𝑐

ou seja,

𝑑 =|𝑎𝑥! + 𝑏𝑦! + 𝑐|

𝑎! + 𝑏!  

Exemplo Qual é a distância do ponto 11, 9 à reta de equação 3𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0? Solução Aplicando a fórmula anterior temos

𝑑 =3 ∙ 11+ 4 ∙ 9+ 1

3! + 4!= 14

A ilustração está ao lado. A seguir, vamos resolver um problema que envolve o conceito de lugar geométrico dos pontos que possuem determinada propriedade. Problema São dados o ponto 𝐴 = (1, 1) e a reta 𝑟: 𝑥 + 𝑦 = 0. Determine o lugar geométrico dos pontos que equidistam de 𝐴 e de 𝑟. Solução O lugar geométrico dos pontos que equidistam de 𝐴 e de 𝑟 é o conjunto dos pontos que cumprem essa condição: ter mesma distância ao ponto 𝐴 e à reta 𝑟. Na geometria com coordenadas (geometria analítica) esse conjunto será descrito por uma equação que as coordenadas desse ponto deve satisfazer. Entretanto, muitas vezes, não é fácil perceber, no plano cartesiano qual é o aspecto do gráfico de uma equação do tipo 𝑓 𝑥,𝑦 = 0. Vamos inicialmente resolver o problema dado e, depois, discutir esse aspecto. Seja 𝑃 = (𝑎, 𝑏) um ponto que cumpre as condições do enunciado. A distância de 𝑃 ao ponto 𝐴 é:

𝑃𝐴 = (𝑎 − 1)! + (𝑏 − 1)!

A distância de 𝑃 à reta 𝑟 é:

𝑑 =𝑎 + 𝑏1! + 1!

=𝑎 + 𝑏2

Como essas distâncias devem ser iguais vamos fazer 𝑃𝐴! = 𝑑!

(𝑎 − 1)! + (𝑏 − 1)! =𝑎 + 𝑏2

!

Desenvolvendo isso chegamos a 𝑎! − 2𝑎𝑏 + 𝑏! − 4𝑎 − 4𝑏 + 4 = 0 e, trocando as letras 𝑎 e 𝑏 pelas tradicionais 𝑥 e 𝑦, concluímos que o lugar geométrico dos pontos 𝑃 = (𝑥,𝑦) que equidistam de 𝐴 e de 𝑟 é a curva cuja equação é

𝑥! − 2𝑥𝑦 + 𝑦! − 4𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0 Nos cursos universitários estudamos a equação 𝐴𝑥! + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦! + 𝐶𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, que é chamada de equação geral do segundo grau. Todas as cônicas são representadas por uma equação desse tipo. No ensino médio o estudo dessa equação é ainda prematuro, mas o aluno poderá ter a visualização perfeita da curva acima, digitando sua equação em um software de gráficos. A figura a seguir mostra a curva que é o lugar geométrico dos pontos que equidistam do ponto 𝐴 e da reta 𝑟 do nosso problema. Essa curva é uma parábola e o desenho mostra um ponto 𝑃 desse lugar geométrico, equidistante do ponto (1, 1) e da reta 𝑥 + 𝑦 = 0.

Outro problema clássico que envolve a distância de um ponto a uma reta é o problema da bissetriz de um ângulo. Dadas duas retas, como podemos encontrar as bissetrizes desse par de retas? Observe, na figura a seguir, que duas retas 𝑟 e 𝑠 possuem duas bissetrizes relacionadas aos ângulos formados por elas. Além disso, essas bissetrizes 𝛽! e 𝛽! que o desenho mostra são perpendiculares (procure justificar esse fato).

A propriedade que caracteriza a bissetriz de um ângulo é que ela é o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos lados desse ângulo e, na geometria com coordenadas, essa é a condição que um ponto deve satisfazer para que pertença a uma das bissetrizes de um par de retas. Vamos ver isso no exemplo seguinte. Exemplo Determine as equações das bissetrizes dos ângulos determinados pelas retas 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = − 𝑥 2. Solução As equações das retas devem ser escritas na forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. Assim, nossas retas são dadas pelas equações 𝑥 − 𝑦 = 0 e 𝑥 + 2𝑦 = 0. Seja 𝑃 = (𝑎, 𝑏) um ponto de uma das bissetrizes desse par de retas. Esse ponto 𝑃 deve ter mesma distância às retas dadas e, aplicando a fórmula que demonstramos, ficamos com:

𝑎 − 𝑏2

=𝑎 + 2𝑏

5

ou seja, 5 ∙ 𝑎 − 𝑏 = 2 ∙ 𝑎 + 2𝑏

Há dois casos a considerar: 1)

5 ∙ (𝑎 − 𝑏) = 2 ∙ (𝑎 + 2𝑏) 2)

5 ∙ 𝑎 − 𝑏 = − 2 ∙ (𝑎 + 2𝑏) Trocando os nomes das variáveis: 𝑎 por 𝑥 e 𝑏 por 𝑦, e trabalhando e organizando essas equações, chegamos as equações das duas bissetrizes:

𝛽!   ∶ 𝑦 = 10− 3 𝑥 𝛽!   ∶ 𝑦 = − 10+ 3 𝑥

O desenho ao lado mostra 𝛽!  . Observe ainda que 𝛽!   e 𝛽!   são perpendiculares porque o produto de seus coeficientes angulares é

− 10+ 3 10− 3 = −1

6. Área do triângulo Para calcular a área de um triângulo precisamos conhecer o comprimento de um lado e o comprimento da altura correspondente a esse lado, elementos que já sabemos calcular na geometria com coordenadas. Vamos calcular a área de um triângulo definido pelos vetores 𝑢 = 𝑂𝐴 = (𝑎, 𝑏) e 𝑣 = 𝑂𝐵 = (𝑐,𝑑) como na figura a seguir. Esse triângulo tem, portanto, vértices 𝑂 = (0, 0), 𝐴 = (𝑎, 𝑏) e 𝐵 = (𝑐,𝑑).

Vamos considerar 𝑂𝐴 como a base do triângulo 𝑂𝐴𝐵 e seja 𝑑 a distância do vértice 𝐵 à reta 𝑟 que passa por 𝑂 e 𝐴. Passamos então a calcular os elementos necessários para obter a área do triângulo 𝑂𝐴𝐵. O comprimento da base do triângulo é 𝑂𝐴 = 𝑂𝐴 = 𝑎! + 𝑏!. A equação da reta 𝑟

que passa pela origem e pelo ponto 𝐴 é 𝑦 = !!𝑥, ou seja, −𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 0. Passamos

então a calcular a distância do ponto 𝐵 = (𝑐,𝑑) à reta 𝑟 utilizando a fórmula que deduzimos. Essa distância é:

𝑑 =−𝑏𝑐 + 𝑎𝑑𝑎! + 𝑏!

Finalmente, a área 𝑆 do triângulo 𝑂𝐴𝐵 é

𝑆 =𝑂𝐴 ∙ 𝑑2 =

12𝑂𝐴 ∙ 𝑑 =

12 ∙ 𝑎! + 𝑏! ∙

−𝑏𝑐 + 𝑎𝑑𝑎! + 𝑏!

=12 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

Observe que a área do triângulo pode ser calculada a partir de dois vetores 𝑢 = (𝑎, 𝑏) e 𝑣 = (𝑐,𝑑), de origem em um vértice do triângulo e construídos sobre dois de seus lados. A área de qualquer triângulo definido por dois vetores 𝑢 = (𝑎, 𝑏) e 𝑣 = (𝑐,𝑑) é:

𝑆 =12 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 =

12

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

Exemplo Calcule a área do triângulo de vértices 𝐴 = (1, 2), 𝐵 = (7,−1) e 𝐶 = (5, 7). Solução Escolhemos um vértice qualquer do triângulo para ser a origem dos nossos vetores. Por exemplo, 𝐴. O cálculo da área 𝑆 do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é feito como se segue:

𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (6,−3) 𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴 = (4, 5)

𝑆 =12

6 −34 5 =

12 30+ 12 = 21

Simples assim.