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Geometria Analítica

01. (Unicamp 2010) No desenho a seguir, a reta y ax= (a 0) e a reta que passa por B e

C são perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2, 0), resolva as

questões que se seguem.

a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a.

b) Supondo, agora, que a 3,= determine as coordenadas do ponto A e a equação da

circunferência com centro em A e tangente ao eixo x.

02. (Unicamp 2016) A figura abaixo exibe o gráfico da função f(x) 1 x,= definida para todo

número real x 0. Os pontos P e Q têm abscissas x 1= e x a,= respectivamente, onde a é

um número real e a 1.

a) Considere o quadrilátero T com vértices em (0, 0), P, Q e (a, 0). Para a 2,= verifique que a

área de T é igual ao quadrado da distância de P a Q.

b) Seja r a reta que passa pela origem e é ortogonal à reta que passa por P e Q. Determine o

valor de a para o qual o ponto de intersecção da reta r com o gráfico da função f tem

ordenada y a 2.=

03. (Unicamp 2013) Considere a família de retas no plano cartesiano descrita pela equação

(2 ) (2 1) 8 4 0,− + + + + =p x p y p nas variáveis x e y, em que p é um parâmetro real.

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a) Determine o valor do parâmetro p para que a reta correspondente intercepte perpendicularmente o eixo y. Encontre o ponto de interseção neste caso.

b) Considere a reta 3 12 0+ + =x y dessa família para p = 1. Denote por A o seu ponto de

interseção com o eixo x e por O a origem do plano cartesiano. Exiba a equação da circunferência em que o segmento OA é um diâmetro.

04. (Unicamp 2018) A figura abaixo exibe, no plano cartesiano, um quadrilátero com vértices

situados nos pontos de coordenadas A ( 5, 0), B(5, 0), C(4, 3)= − e D ( 3, 4).= −

a) Determine a área desse quadrilátero.

b) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta que passa

pelos pontos B e C. 05. (Unicamp 2019) No plano cartesiano, considere a reta r de equação 2x y 1+ = e os

pontos de coordenadas A (1, 4)= e B (3, 2).=

a) Encontre as coordenadas do ponto de intersecção entre a reta r e a reta que passa pelos

pontos A e B.

b) Determine a equação da circunferência na qual um dos diâmetros é o segmento AB. 6. (Unicamp 2014) Considere no plano cartesiano os pontos A ( 1, 1)= − e B (2, 2).=

a) Encontre a equação que representa o lugar geométrico dos centros dos círculos que passam

pelos pontos A e B. b) Seja C um ponto na parte negativa do eixo das ordenadas. Determine C de modo que o

triângulo ABC tenha área igual a 8.

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Resolução 01:

a) BC1

ma

= − (a reta BC é perpendicular á reta CA) e C(0, c)

Logo,

c 0 1 2c

0 2 a a

−= − =

−

Portanto, 2

C 0,a

b) Se a 3,= temos BC1

m3

= −

Equação da reta BC : 1 1 2

y 0 (x 2) y x3 3 3

− = − − = − +

Resolvendo o sistema

1 2y x

,3 3

y 3x

= +

=

temos: 1 3

A ,5 5

Equação da circunferência.

2 2 21 3 3

x x5 5 5

− + − =

02:

a) Se a abscissa do ponto P é igual a 1, então pela função f(x) dada, P terá coordenadas

(1,1). Analogamente, se a 2,= então pela função f(x) dada, Q terá coordenadas (2,1 2).

Assim, a área do quadrilátero T será:

T T

111 1 1 1 52S 1 1 S2 2 2 4 4

= + + = + =

Calculando o quadrado da distância entre P e Q, tem-se:

( ) ( ) ( )2 22

PQ PQ PQ1 5 51d 1 2 1 1 d d

2 4 4 4= − + − = + = =

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b) Seja I o ponto de intersecção entre a reta r e a função f(x). Se sua coordenada y é igual a

a 2, então, pela função f(x) sua coordenada x será 2 a. Ou seja, o ponto I tem

coordenadas ( )2 a,a 2 .

Considerando como s a reta que passa por P e Q, tem-se que as coordenadas do ponto P

são (1,1), e do ponto Q são (a, 1 a). O coeficiente angular desta reta será:

s

1 1 1a

a 1 aα

−= = −

−

Logo, o coeficiente angular da reta r que passa pela origem e é ortogonal à reta que contém

P e Q será igual a r aα = (condição de perpendicularidade).

Assim, a equação da reta r pode ser escrita como:

y 0 a (x 0)

reta r y ax

− = −

=

Como o ponto I pertence à reta r e tem suas coordenadas ( )2 a, a 2 , pode-se escrever:

a 2y ax a a 4

2 a= = =

03:

a) 2 – p = 0 p = 2

Fazendo p = 2, temos 5y + 16 + 4 = 0 5y = –20 y = –4.

Logo, a reta intercepta o eixo y no ponto (0, –4). b)

x + 3y + 12 = 0 Fazendo y = 0, temos: x + 12 = 0 x = –12

Portanto, a reta intercepta o eixo x no ponto A(–12, 0) e o centro C da circunferência de diâmetro AO será dado por

xc = (–12 + 0)/2 = –6

yc = (0 + 0)/2 = 0

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Logo, o centro será C(–6, 0), o raio será r = 6 e a equação dessa circunferência será dada por:

(x + 6)2 + y2 = 62

(x + 6)2 + y

2 = 36. 04:

a) A área do quadrilátero ABCD é dada por

5 5 4 3 51 1(15 16 9 20)

2 0 0 3 4 0 2

30 u.a.

− − − = + + +

=

b) Desde que o coeficiente angular da reta que passa por B e C é

3 03,

4 5

−= −

−

podemos concluir que a resposta é dada por

1 1 5y 0 (x ( 5)) y x .

3 3 3− = − − − = +

−

05:

a) Seja s a reta que passa pelos pontos ( )A 1, 4= e ( )B 3, 2 .=

s

s

2 4m

3 1

m 1

−=

−

= −

Assim, uma equação da reta s é:

( )y 4 1 x 1

y 4 x 1

y x 5

− = − −

− = − +

= − +

O ponto de intersecção entre as retas r e s pode ser obtido através do sistema linear abaixo:

( )

( )

y x 5 i

y 2x 1 ii

= − +

= − +

Das equações (i) e (ii),

x 5 2x 1

x 4

− + = − +

= −

Substituindo x 4= − na equação (i),

( )y 4 5

y 9

= − − +

=

Assim, as coordenadas do ponto de intersecção entre a reta r e a reta que passa pelos

pontos A e B são: x 4= − e y 9.=

b) Se AB é diâmetro da circunferência, seu centro C é dado por:

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( )

( )

c c

c

c

c

c

C x , y

1 3x

2

x 2

4 2y

2

y 3

C 2, 3

=

+=

=

+=

=

=

Sendo r a medida do raio da circunferência, temos:

( ) ( )2 2

r 1 2 4 3

r 2

= − + −

=

Logo, uma equação da circunferência na qual um dos diâmetros é o segmento AB é:

( ) ( )2 2

x 2 y 3 2− + − =

Resposta:

a) x 4= − e y 9;=

b) ( ) ( )2 2

x 2 y 3 2.− + − =

06:

a) O lugar geométrico pedido é a mediatriz do segmento de reta AB. Logo, como o ponto

médio de AB é 1 3

,2 2

e o coeficiente angular da reta AB é 1

,3

segue-se que a equação

da mediatriz de AB é dada por

3 1y 3 x 3x y 3 0.

2 2

− = − − + − =

b) Se C pertence ao semieixo negativo das ordenadas, então C (0, ),α= com 0.α

Sabendo que a área do triângulo ABC é igual a 8, temos

1 2 0 118 16 | 2 2 2 |

1 2 12

| 3 4 | 16

20 ou 4.

3

α αα

α

α α

− −= = − + − +

− =

= = −

Porém, sendo 0,α só pode ser 4.α = −

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FUNÇÃO

1. (Unicamp) Sejam c um número real e 2f(x) x 4x c= − + uma função quadrática definida

para todo número real x. No plano cartesiano, considere a parábola dada pelo gráfico de

y f(x).=

a) Determine c no caso em que a abscissa e a ordenada do vértice da parábola têm soma

nula e esboce o respectivo gráfico para 0 x 4.

b) Considere os pontos de coordenadas A (a, f(a))= e B (b, f(b)),= onde a e b são números

reais com a b. Sabendo que o ponto médio do segmento AB é M (1, c),= determine a

e b.

2. (Unicamp) A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No

Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados

Unidos a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5

para mulheres.

a) Considere a tabela abaixo.

Numeração brasileira (t) Comprimento do calçado (x)

35 23,8 cm

42 27,3 cm

Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a

numeração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores

dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados

brasileiros em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão

que fornece o comprimento em termos da numeração.

b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de

maneira aproximada pela função real f definida por f(x) = 5(x – 20) / 3, em que x é o

comprimento do calçado em cm. Sabendo que a numeração dos calçados nk forma uma

progressão aritmética de razão 0,5 e primeiro termo n1 = 5, em que nk = f (ck), com k natural,

calcule o comprimento c5.

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3. (Ufmg) Observe a figura.

Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos ( 4, 24)− − e (2, 0).

a) Determine a equação da reta r.

b) Determine a equação dessa parábola.

c) Seja f(x) a diferença entre as ordenadas de pontos de mesma abscissa x, nesta ordem:

um sobre a parábola e o outro sobre a reta r.

Determine x para que f(x) seja a maior possível.

4. (Ufmg) A fábula da lebre e da tartaruga, do escritor grego Esopo, foi recontada utilizando-

se o gráfico abaixo para descrever os deslocamentos dos animais.

Suponha que na fábula a lebre e a tartaruga apostam uma corrida em uma pista de 200

metros de comprimento. As duas partem do mesmo local no mesmo instante. A tartaruga

anda sempre com velocidade constante. A lebre corre por 5 minutos, para, deita e dorme

por certo tempo. Quando desperta, volta a correr com a mesma velocidade constante de

antes, mas, quando completa o percurso, percebe que chegou 5 minutos depois da

tartaruga.

Considerando essas informações,

a) DETERMINE a velocidade média da tartaruga durante esse percurso, em metros por hora.

b) DETERMINE após quanto tempo da largada a tartaruga alcançou a lebre.

c) DETERMINE por quanto tempo a lebre ficou dormindo.

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5. (Ufmg) Uma fábrica vende determinado produto somente por encomenda de, no mínimo,

500 unidades e, no máximo, 3.000 unidades.

O preço P, em reais, de cada unidade desse produto é fixado, de acordo com o número x

de unidades encomendadas, por meio desta equação:

90, se 500 x 1000P .

100 0,01x, se 1000 x 3000

=

−

O custo C, em reais, relativo à produção de x unidades desse produto é calculado pela

equação

C 60x 10000.= +

O lucro L apurado com a venda de x unidades desse produto corresponde à diferença

entre a receita apurada com a venda dessa quantidade e o custo relativo à sua produção.

Considerando essas informações,

a) escreva a expressão do lucro L correspondente à venda de x unidades desse produto

para

500 x 1 000 e para 1000 x 3000;

b) calcule o preço da unidade desse produto correspondente à encomenda que maximiza o

lucro;

c) calcule o número mínimo de unidades que uma encomenda deve ter para gerar um lucro

de, pelo menos, R$ 26.400,00.

6. (Unicamp) Uma grande preocupação atual é a poluição, particularmente aquela emitida

pelo crescente número de veículos automotores circulando no planeta. Ao funcionar, o

motor de um carro queima combustível, gerando CO2, além de outros gases e resíduos

poluentes.

a) Considere um carro que, trafegando a uma determinada velocidade constante, emite 2,7

kg de CO2 a cada litro de combustível que consome. Nesse caso, quantos quilogramas de

CO2 ele emitiu em uma viagem de 378 km, sabendo que fez 13,5 km por litro de gasolina

nesse percurso?

b) A quantidade de CO2 produzida por quilômetro percorrido depende da velocidade do

carro. Suponha que, para o carro em questão, a função c(v) que fornece a quantidade de

CO2, em g/km, com relação à velocidade v, para velocidades entre 20 e 40 km/h, seja dada

por um polinômio do segundo grau. Determine esse polinômio com base nos dados da

tabela abaixo.

Velocidade

(km/h)

Emissão de

CO2 (g/km)

20 400

30 250

40 200

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Resolução

01:

a) Sendo 4

22 1

−− =

a abscissa do vértice, vem que a ordenada deve ser igual a 2.− Logo,

temos 22 2 4 2 c c 2.− = − + =

Portanto, segue o gráfico de f.

b) Desde que a b, vem

2 2 2 2

2

a b1

b 2 a2

a 4a c b 4b c a 4a (2 a) 4(2 a) 0c

2

b 2 a

a 2a 2 0

a 1 3.

b 1 3

+=

= −

− + + − + − + − − − ==

= −

− − =

= −

= +

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02:

a) t(x) = ax + b

27,3.a b 42

23,8.a b 35

+ =

+ =

Resolvendo o sistema, temos: a = 2 e b = –12,6.

Logo t(x) = 2x – 12,6.

Agora escrevendo x em função de t, temos:

x(t) = 0,5t + 6,3, portanto c = 0,5 e t = 6,3.

b) 5.(x 20)

f(x)3

−=

n1 = 5, n2 = 5,5, n3 = 6, n4 = 6,5 e n5 = 7.

Fazendo 55.(c 20)

7 ,3

−= temos:

5 5c – 100 = 21

5 5c = 121

5c = 24,2 cm

26 a 12

1a

24

− =

= −

Daí,

21y x24

= −

O comprimento da coluna 1h é igual a:

( )2

1

1

1h 9

24

27h m

8

= − −

=

O comprimento da coluna 5h é igual a:

25

5

1h 6

24

3h m

2

= −

=

Resposta: Os comprimentos das colunas de sustentação 1h e 5h são, respectivamente,

iguais a 27

m8

e 3

m.2

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03:

a) equação da reta é dada por

y−0=−24−0/-4−2(x−2)

y=−24−6/(x−2)

y=4(x−2)

y=4x−8

b) a equação da parábola é dada por

y=a[x²−(2+0)x+2*0]

y=a(x²−2x)

como a parábola passa pelo ponto (−4,−24)(−4,−24) temos

−24=a[(−4)²−2*(−4)]

−24=a(24)

−24/24=a

a=−1

logo a equação da parábola é

y=(−1)(x²−2x)

y=−x²+2x

c) f(x)=(−x²+2x)−(4x−8)

f(x)=−x²+2x−4x+8

f(x)=−x²−2x+8

para achar o valor de x, para que f(x) seja maior possível. Devemos calcular o x do

vértice

assim

xv=−b/2a

xv=−(−2)/2*(−1)

xv=2/−2

xv = -1

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04:

a) Velocidade média da tartaruga é o coeficiente angular da reta que representa seu

deslocamento:

200 0 20 5 m 5 m. 50m/h

1240 0 24 6 min 6h

60

−= = = =

−

b) Equação da posição y da tartaruga (m) em função do tempo x (minutos): 5

y x6

=

Equação da posição y (m) da lebre no instante do encontro: y = 50

Resolvendo a igualdade 5

x 50,6 = temos x = 60 min = 1 hora

Portanto, a lebre e a tartaruga se encontrarão 1 hora após o início da corrida.

c) As velocidades são iguais, portanto os coeficientes angulares das duas retas são iguais:

200 50 50 0 15010 t 230mim

245 t 5 0 245 t

− −= = =

− − − (tempo em que a lebre voltou a correr

depois que acordou)

Portanto, a lebre ficou dormindo 230 – 5 = 225 min = 3 horas e 45 min.

05:

a) O lucro com a venda de x unidades do produto é dado por

2

2

90x (60x 10000), se 500 x 1000L P x C L

100x 0,01x (60x 10000), se 1000 x 3000

30x 10000, se 500 x 1000L .

0,01x 40x 10000, se 1000 x 3000

− + = − =

− − +

− =

− + −

b) Para 500 x 1000, temos que o maior lucro possível é

L 30 1000 10000 R$ 20.000,00.= − =

Para 1000 x 3000, vem que

2 2

2

2

L 0,01x 40x 10000 0,01 (x 4000x 1000000)

0,01 [(x 2000) 3000000]

30000 0,01 (x 2000) .

= − + − = − − +

= − − −

= − −

Desse modo, se a fábrica vender 2.000 unidades do produto terá lucro máximo igual a

R$ 30.000,00. Daí, como R$ 30.000,00 R$ 20.000,00, o preço de venda unitário das

2.000 unidades a serem vendidas para maximizar o lucro é

100 0,01 2000 R$ 80,00.− =

c) Queremos calcular o menor valor de x tal que L R$ 26.400,00.

Tomando a expressão de L obtida no item (b), vem que 2 2

2

30000 0,01 (x 2000) 26400 0,01 (x 2000) 3600

(x 2000) 360000

600 x 2000 600

1400 x 2600.

− − −

−

− −

Portanto, deverão ser encomendadas no mínimo 1.400 unidades do produto.

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06:

a) Numa viagem de 378km são consumidos 378

2813,5

= litros de combustível. Logo, a

quantidade de 2CO emitida pelo carro foi de 28 2,7 75,6kg. =

b) Seja 2c(v) av bv c= + + a lei da função que fornece a quantidade de 2CO , em g km,

com relação à velocidade v, para velocidades entre 20 e 40km h.

Da tabela fornecida obtemos: 2

2

a 20 b 20 c 400,

a 30 b 30 c 250

+ + =

+ + =

e

2a 40 b 40 c 200. + + =

Assim, queremos calcular a, b e c, de modo que:

400a 20b c 400

900a 30b c 250 .

1600a 40b c 200

+ + =

+ + = + + =

Logo,

1a

c 400 20b 400a 2

50a b 15 b 40 .

60a b 10 c 1000

== − −

− − = = − + = − =

Portanto, 21

c(v) v 40v 1000.2

= − +

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