TORSIÓN

CAPÍTULO 12

B

x

y

zMT

G

B

x

y

zMT

G

O x

y

O x

y

P τzxP τzx

τzy

000 ≠≠==== zyzxxyzyx τττσσσ

Solución tensional:

xy zyzx ∂∂

−=∂∂

=ΦτΦτ

00 =∂

∂⇒=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

zzyxzxzxxyx τττσ ( )yxzxzx ,ττ =1)

00 =∂

∂⇒=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zzyxzyzyyyx ττστ ( )yxzyzy ,ττ =2)

022

=∂∂

∂−

∂∂∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

yxyxzyxzzyzx ΦΦσττ

3)

¿Verifica esa solución tensional las ecuaciones de equilibrio interno?

),( yxΦΦ =FUNCION DE TORSION

σ1I NULO

Ecuaciones de Beltrami:

( ) 001 1 =⇒=∂∂

∂++ zxzx xz

Iτ∆τ∆ν

σ

( ) 001 1 =⇒=∂∂

∂++ zyzy yz

Iτ∆τ∆ν

σ constante=∆Φ

El giro absoluto experimentado por la sección genérica (a distancia zde la de referencia) alrededor del punto O (que no gira) sería igual al producto ω.z

Supongamos que el giro unitario (ω en rad/m) permanece constante a lo largo de la pieza (lo cual es cierto si la pieza es recta, de sección constante, y se aplican momentos torsores iguales y opuestos en sus dos caras extremas)

θ=ω.z

z = distancia de la sección considerada a la que tomamos de referencia y que supondremos que no gira en su plano

O x

y

Pδ

O x

y

O x

y

Pδδ

ω=θ/L

Giro por unidad de longitud:

Extremoempotrado

MT

L

A

B

O

R θ

γ

O x

y

Pδ

O x

y

O x

y

Pδδ

( )( )

),(.

.

1 yxWwxzv

yzu

ωω

ω

==

−=

Campo de desplazamientos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

== yx

Wzu

xw

Gzx

zx ωωτ

γ 1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

== xy

Wzv

yw

Gzy

zy ωωτ

γ 1

ω−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω−

∂∂∂

ω−ω−∂∂

∂ω=∆Φ

∂

τ∂−

∂τ∂

=∆Φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Φ∂

∂∂

=∂

Φ∂+

∂Φ∂

=∆Φ

G2yx

Wyx

WG

xy

yyxxyx

12

12

zyzx

2

2

2

2

ω−=∆Φ G2

O x

y

Mz dxdy

dsn

O x

y

O x

y

Mz dxdy

dsnn

0=+ zyzx ml ττ

dsdyl =

dsdxm −= 0=

∂∂

+∂∂

xdsdx

ydsdy ΦΦ

0=∂∂

sΦ

Equilibrio en el contorno:

( )∫∫ −=Ω

Ωττ dyxM zxzyz

xy zyzx ∂∂

−=∂∂

=ΦτΦτ

( )∫∫=Ω

Φ dydxyxM z .,2

Relación entre el momento torsor y la función de torsión:

O x

y

MzP τzx

τzy

x

y

a b

d

cx2x1

Un problema de torsión se resuelve obteniendo la función de torsión Φ(x,y) del problema, que debe poseer las siguientes propiedades:

En resumen:

ω∆Φ G2−=

0=∂∂

sΦ

( )∫∫=Ω

Φ dydxyxM z .,2

Conocida la función de torsión Φ(x,y), las componentes no nulasde la tensión tangencial son:

xy zyzx ∂∂

−=∂∂

=ΦτΦτ

TORSIÓN EN PIEZAS DE SECCIÓN CIRCULAR

r θ

P

O

R r θ

P

O

R

022 =− Rr

Ecuación de la circunferencia:

22)( Rrrf −=

constanter

frf

rf ==+=

∂

∂+

∂∂

= 4221

2

2∆

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= 22 RrCΦ

Función de torsión:

224 ωωφ GCGC −=⇒−==∆

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= 22 RrCΦ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−= 22

2RrGωΦ

ωωπθωΩΦΩ

πGIGRdrrRrdGdM

Rz 0

42

0 022

22 ==⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−== ∫∫ ∫ ∫

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−= 22

02Rr

IM zΦ

222 yxr +=Como:

rI

M z

0

=τx

IM

x

yI

My

0

zzy

0

zzx

=∂Φ∂

−=τ

−=∂Φ∂

=τ

RI

M zmax

0

=τ IO = πR4

2

Sección circular maciza Sección tubular gruesa

máx máx

( )41

422

RRIO −=π

R1

R2

R

4

2RIO

π=

rIM z

0

=τ

τmaxτmax

GabcLM

abcM zz

32

21

== φτ max

TORSIÓN EN PIEZAS DE SECCIÓN RECTANGULAR

p

Membranaflexible

ANALOGIA DE LA MEMBRANA

p

x

z

y

σ

σ σ

σ

ρ1

ρ2

ds1

ds2

p

σρρp

−=+21

11

32

2

2

1

1

1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+

∂∂

=

yz

yz

ρ 32

2

2

2

1

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

∂∂

=

xz

xz

ρ

2

2

22

2

1

110xz,,

yz

xz

yz

∂∂

=∂∂

=⇒≈∂∂

≈∂∂

ρρ

σpz

yz

xz

−=∆=∂∂

+∂∂

2

2

2

2

0sz =∂

∂ en el contorno

x

z

y

Plano de la membrana

zpGzp

Gpz

Gσ

ω

σ

ω

σω

2212

=Φ⇒∆=∆Φ⇒−

∆==

−∆Φ

ωG2−=∆Φσpz −=∆

0s=∂Φ∂ 0s

z =∂∂

PROBLEMA DE TORSIÓN PROBLEMA DE LA MEMBRANA

a lo largo del contorno a lo largo del contorno

∆Φ=−2Gωp

∆z= - σ

TORSION EN PIEZAS DE SECCION DE PARED DELGADA

Perfiles abiertos

Sin ramificar Ramificado

Perfiles cerrados

De una célula De dos células

PERFILES ABIERTOS SIN RAMIFICAR

fibra media

Α

Β

e

fibra media

Α

Β

e

x

y

z

x

y

z

σp

y

z

x

z−=

∂

∂+

∂

∂2

2

2

20

2

2=

∂

∂

x

zσp

y

z−=

∂

∂2

21

2

2Cypz +−=

σ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−= 2

2

42yepz

σz=0 cuando y=e/2

Forma de la membrana:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−== 2

2

42 yeGzpG ω

σ

ωΦ

0

2

=

−=∂∂

=

zy

zx yGy

τ

ωΦτ

eGωτ =max

x

yb

e

x

τmaxτmax

∫∫∫ ∫∫ ∫ ⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−===

−

le

ez dxpyedypGdz

pGdyxM

02

22

224

44),(2

σσ

ωΩ

σ

ωΩΦΩ Ω

le

MleelGM zz 2max

2max

3 333

=⇒== ττω

Si el espesor de la sección es constante y de valor e:

ωGM

K z=

Módulo de torsión:

leK 331

=

Para el caso de una sección abierta de espesor constante:

PERFILES ABIERTOS RAMIFICADOS

Mz = momento torsor aplicado a una sección de perfil abierto ramificado

Mz = momento torsor absorbido por el perfil abierto i

i

∑=

=n

i

izz MM

1

1

2

3

Mz1

Mz2

Mz3

Mz

ωωωω ==== n..........21ωωωω GGGG n ==== ..........21

eequivalentz

i

iz

n

nzzz

KM

K

MKM

KM

KM

=====∑∑................

2

2

1

1iii leK 3

31

=

zeequivalent

iiz M

KK

M = ieequivalent

zi e

KM

eG == ωτ max

donde:

1

2

3

PERFIL CERRADO DE UNA SOLA CELULA

C1

C2

C

x

y

z

z=z(x,y)

C1

C2

C

x

y

z

z=z(x,y)

membranas

Placa rígida

membranas

Placa rígida

p p p

Fibra media

M N

x

z

p p p

Fibra media

M N

x

z

e

Fibra media φ=constante

M N

z

x

x

z

N

h

e

α

α σ

M N

z

x

x

z

N

h

e

α

α σ

∫ =−Cm dssenpS 0ασ

ehtgsen == αα

∫ =−Cm ds

ehpS 0σ

Equilibrio de fuerzas segúnla vertical:

p

∫ =−Cm ds

ehpS 0σ

∫=

C

m

eds

Sph

σ

e

Fibra media

Sm

mzy eh

pG

xz

pG

xτ

σω

σωτ ==

∂∂

=∂Φ∂

=22

∫=

C

mm

eds

SeGωτ 2

Ω

σ

ωΩ

dzpGM z ∫∫=

4

hSdz m≅∫∫ ΩΩ

( )∫

==

C

mmz

edsSGhSp

GM2422 ω

σ

ω

∫==

C

mz

eds

SGM

K24

ω

mz

m eSM

2=τ

zpG

σ

ω2=Φ ( )∫∫=

ΩΦ dydxyxM z .,2

∫=

C

m

eds

Sph

σ

Cómo: