geometria anal itica e algebra linear notas de...

GEOMETRIA ANALITICA EALGEBRA LINEAR

NOTAS DE AULAS

Faculdade de Filosofia, Ciencias e Letras de Ribeirao

Preto

Universidade de Sao Paulo

Departamento de Computacao e Matematica

Prof. Dr. Jair Silverio dos Santos

Sumario

1 MATRIZES 11.0.1 Adicao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.0.2 Multiplicacao de Numero (Escalar) por Matrizes . . . . . . . . . . . . 21.0.3 Propriedades da Multiplicacao de Numero (Escalar) por Matrizes . . 2

1.1 Multiplicacao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Matriz Adjunta Classica e Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Sistemas de Equacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Operacoes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 GEOMETRIA 172.0.2 Segmentos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.0.3 Equipolencia de Segmentos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.1 Multiplicacao de Numero Real (escalar) Por Vetor . . . . . . . . . . . 242.1.2 Soma de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.3 Dependencia e Independencia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.4 Bases e Dimensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.1 Projecao Ortogonal de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.2 Bases Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.3 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.4 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3 Geometria Analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.1 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.2 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 ALGEBRA LINEAR 473.1 Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.2 Subespcos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.3 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.4 Conjunto de Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.5 Dependencia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.6 Soma e Interceccao de Subespacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3

4 SUMARIO

3.1.7 Base e Dimensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1.8 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 Espacos Euclidianos 694.1 Produto Esalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1.1 Projecao Ortogonal de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.1.2 Bases Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.3 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.1.4 Ortogonalizacao de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.1.5 Projecao Ortogonal de um Vetor sobre um Subespaco . . . . . . . . . 79

5 TRANSFORMACOES LINEARES 815.1 Kernel e Imagem de uma Transformacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.1.1 Transformacao Linear Injetora, Sobrejetora, Bijetora . . . . . . . . . 835.1.2 Teorema do Nucleo e da Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2 Matriz de uma Transformacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2.1 Tranformacoes Singulares e Nao Singulares . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3.1 Semelhanca de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Capıtulo 1

MATRIZES

Professor Doutor: Jair Silverio dos Santos

Matrizes Reais

Uma matriz real e o seguinte arranjo de numeros reais :

An×m =

a11 a12 a13 · · · a1ma21 a22 a23 · · ·a2m...

......

...an1 an2 an3 · · ·amm

,

onde, cada entrada (elemento) aij ∈ R, i = 1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · ,m.

Definicao 1.1. Chama-se Matriz Nula, a matriz cujas entradas sao zero, ou seja aij = 0,para i = 1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · ,m. Escolhemos a letra O para representa-la, isto e

On×m =

0 0 0 · · · 00 0 0 · · ·0...

......

...0 0 0 · · ·0

.

Seja Mn×m(R) o conjunto de todas as matrizes reais An×m. Note que O ∈ Mn×m(R).

1.0.1 Adicao de Matrizes

Definicao 1.2. Dadas An×m e Bn×m, a adicao de matrizes e uma funcao + : Mn×m(R) ×Mn×m(R) −→ Mn×m(R) dada por

+(A,B) = A+B,

onde An×m = (aij)n×m, Bn×m = (bij)n×m, A+B = (cij)n×m e cij = aij + bij, i =1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · ,m.

1

2 CAPITULO 1. MATRIZES

1.0.2 Multiplicacao de Numero (Escalar) por Matrizes

Definicao 1.3. Dados α ∈ R e An×m a multiplicacao de numero real (escalar) por matriz euma funcao • : R×Mn×m(R) −→ Mn×m(R) dada por

•(α,A) = α ·A,

onde An×m = (aij)n×m, α ·B = (cij)n×m e cij = α · aij, i = 1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · ,m.

Exemplo 1.1. Considremos as matrizes

A2×3 =

(1 −1 30 −2 2

), B2×3 =

(3 −2 02 2 1

)Calcule A+B e (−1) ·A.

Comecamos por determinar a matriz A+B,

A2×3 +B2×3 =

(1 −1 30 −2 2

)+

(3 −2 02 2 1

)=

(c11 c12 c13c21 c22 c23

)=

(1 + 3 −1 + (−2) 3 + 00 + 2 −2 + 2 2 + 1

)=

(4 −3 32 0 3

)= A+B.

A multiplicacao de numero por matriz (−1) ·A,

(−1) ·(1 −1 30 −2 2

)=

((−1)1 (−1)− 1 (−1)3(−1)0 (−1)− 2 (−1)2

)=

(−1 1 −30 2 −2

)= (−1) ·A.

Propriedades da Adicao de Matrizes

Dadas An×m, Bn×m e Cn×m, sao verdadeiras as afirmacoes abaixo:A1 : A+ (B+C) = (A+B) +C). AssociativaA2 : A+B = B+A. ComutativaA3 : A+O = A. Elemento NeutroA4 : A+ (−B) = O. Elemento Simetrico

• O elemento −A ∈ Mn×m(R) e o Elemento Simetrico de A em relacao a Adicao deMatrizes

1.0.3 Propriedades da Multiplicacao de Numero (Escalar) porMatrizes

Dados α, β ∈ R, An×m e Bn×m, sao verdadeiras as afirmacoes abaixo:M1 : (α + β) ·A = α ·A+ β ·A.

1.1. MULTIPLICACAO DE MATRIZES 3

M2 : α · (A+B) = α ·A+ α ·B.M3 : 1 ·A = AM4 : α · (β ·A) = (αβ) ·A = β · (α ·A).• Observe que o conjunto Mn×m(R) com as operacoes de Adicao e Multiplicacao por

Escalar, que aqui indicamos por (Mn×m(R),+, ·) tem estruturas especiais com as proprieda-des listadas emA1, A2, A3 eA4; M1, M2, M3 eM4 o que da ao conjunto (Mn×m(R),+, ·)um nome diferenciado, que e o de ESPACO VETORIAL.

1.1 Multiplicacao de Matrizes

Definicao 1.4. DadasAn×p e Bp×m, a multiplicacao de matrizes e uma funcao ∗ : Mn×p(R)×Mp×m(R) −→ Mn×m(R) dada por

∗(A,B) = A ·B,

onde An×p = (aij)n×p, Bp×m = (bjk)p×m, A ·B = (cik)n×m e cik =

p∑j=1

(aij · bjk).

Exemplo 1.2. Considere as matrizes

A =

1 −10 −23 2

e B =

(−1 1 −30 2 −2

).

Calcule A ·B.

Podemos utilizar umaa regra pratica que consiste de posicionar as matrizes A e B erealizar a multiplicacao como segue,

1 −10 −23 2

(−1 1 −30 2 −2

) (c11 c12c21 c22

)��

��

c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32

c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31

c22 = a21b12 + a22b22 + a23b32

c11 = (−1)1 + 1(0) + (−3)3c12 = (−1)(−1) + 1(−2) + (−3)2

c21 = 0(1) + 2(0) + (−2)3

c22 = 0(−1) + 2(−2) + (−2)2

Matriz Produto

Assim, obtemos a matriz A ·B dada por

A ·B =

(−10 −7−6 −8

).

Definicao 1.5. Dada uma matriz An×p = (aij)n×p chama-se Matriz Transposta deAn×p, outra matrix Bp×n == (bij)n×n tal que bij = aji , para i = 1, 2 · · ·n, j = 1, 2 · · · p eescrevemos B = At.


Propriedade da Transposicao de Matrizes

Dados α ∈ R e matrizes quadradas A e B tem-seT1 (At)t = A.T2 (A+B)t = At +Bt.T3 (A ·B)t = Bt ·At.T3 (αA)t = αAt.

Exercıcio 1.1. Dadas as matrizes

A =

1 2 −33 4 0−1 2 0

e B =

−2 1 00 3 05 −4 0

Calcule A ·B, (A ·B)t e Bt ·At .

∗ Dizemos que uma matriz quadrada A e SIMETRICA se A = At. A e ANTI-SIMETRICA se A = −At.

Exercıcio 1.2. Mostre que se A e B forem semetricas entao A+B e αA sao simetricas.• Mostre que se A e B forem semetricas entao A · B e simetrica se e somente se

A ·B = B ·A.

Propriedades da Multiplicacao de Matrizes

A partir deste momento, estaremos considerando apenas as Matrizes Quadradas, istoe, matrizes An×n ∈ Mn×n(R). Faremos isto somente por que nossos propositos estaraosatisfeitos com com matrizes quadradas.

• Chama-se Matriz Identidade a matriz An×n = (aij)n×n tal que

aij =

{1, se i = j,0, se i = j,

esta matriz sera denotada por In e entao

In = In×n =

1 0 0 · · · 00 1 0 · · ·0...

......

...0 0 0 · · ·1

.

∗ Dadas duas matrizes An×n e Bn×n, dizemos que as matrizes A e B Comutam seA ·B = B ·A.

Observe que a comutatividade do produto de matrizes nao e sempre verdadeira, vejaexemplo abaixo.

Exemplo 1.3. Consideremos as matrizes

A =

(1 −10 −2

)e B =

(−1 12 0

).

Verifique que A ·B = B ·A.


Aplique a definicao 1.4 (m = n = p) e vera que

A ·B =

(1 −10 −2

)·(−1 12 0

)=

(−3 1−4 0

)e B ·A =

(−1 12 0

)·(1 −10 −2

)=

(−1 −12 −2

).

Note que A ·B = B ·A.⋆ Nao e dificil ver que a matriz In comuta com qualquer An×n = (aij)n×n.

1.1.1 Matriz Inversa

Definicao 1.6. Dada uma matriz quadrada An×n ∈ Mn×n(R) chama-se Matriz InversaA a uma outra matriz Bn×n ∈ Mn×n(R) tal que

A ·B = In e B ·A = In.

Denotaremos a Matriz Inversa de A por A−1.

∗ A matriz A−1 e o elemento simetrico de A em relacao a Multiplicacao de Matrizes.

Exemplo 1.4. Considere as matrizes

A =

(−2 10 3

)e B =

1

6

(−3 10 2

).

Nao e dificil ver que,

(−2 10 3

)· 16

(−3 10 2

)=

(1 00 1

)e que

1

6

(−3 10 2

)·(−2 10 3

)=

(1 00 1

)Portanto, A ·B = In e B ·A = In. Ou seja B e a matriz inversa de A em relacao aMultiplicacao de Matrizes.

Propriedades da Multiplicacao de Matrizes

Dadas An×n, Bn×n e Cn×n, sao verdadeiras as afirmacoes abaixo:MM1 : A · (B ·C) = (A ·B) ·C). AssociativaMM2 : A · In = A, e In ·A = A . Elemento NeutroMM3 : A · (A−1) = In. Elemento Simetrico

Propriedades de Distributividade

Dadas An×n, Bn×n e Cn×n, sao verdadeiras as afirmacoes abaixo:DM1 A · (B+C) = A ·B+A ·C) e (B+C) ·A = B ·A+C ·A).

• A notacao An significa An−vezes

·A · · · A.


Exemplo 1.5. Dadas as matrizes

A =

(1 2 −33 4 0

)e B = At =

1 32 4−3 0

.

Uma Aplicacao das Matrizes

Exemplo 1.6. Uma industria produz tres produtos, X, Y , e Z, utilizando dois tipos deinsumos, A e B. Para a manufatura de cada kg de X sao utilizados 1 grama do insumo Ae 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y sao utilizados 1 grama do insumo A e 1 gramado insumo B, e cada kg de Z sao utilizados 1 grama do insumo A e 4 gramas do insumo B.

Usando matrizes o esquema de producao pode ser descrito da seguinte forma:

(1 1 12 1 4

) xyz

(x+ y + z2x+ y + z

)= A,

X Y Zgramas de A por kg

gramas de B por kgW =

kg de X produzidoskg de Y produzidoskg de Z produzidos

AW =gramas de A usadas

gramas de B usadas.

Exercıcio 1.3. Dadas as matrizes

A =

1 2 −33 4 02 3 −1

e B =

−2 1 −10 3 15 −4 0

Verifique se A ·B = B ·A.

Exercıcio 1.4. Mostre que as matrizes

A =

(1 1

y

y 1

)onde 0 = y ∈ R, satisfazem X2 = 2X. (X2 = X ·X).Encontre os valores de y ∈ R tais que A ·B = B ·A.

Nos definimos a Matriz Inversa (ver definicao 1.6) e nao dissemos que tipo de matrizquadrada pode ter inversa, e tambem, nao sabemos o que fazer para determinar a inversade uma matriz. Uma ajuda importante e dada por uma funcao chamada determinante.

Determinantes de Uma Matrizes

Ressaltamos que apenas as matrizes quadradas serao utilizadas neste momento.


Definicao 1.7. Seja An×n = (aij)n×n, n ≥ 2. Chamamos Menor do elemento aij, denotadopor Mij, a sub-matriz de ordem (n − 1) × (n − 1) obtida de A suprimindo da matriz A ai-esima linha e j-esima coluna.

Definicao 1.8. O determinante de uma matriz An×n = (aij)n×n; e uma funcao que a cadamatriz quadrada associa um numero real, isto e, Det : M(R)n×n → R dada por

∗ Se n = 1 entao o Det(A) = a11.∗ se n ≥ 2 entao

Det(A) =n∑

i=1

(−1)(i+j)aij Det(Mij) =n∑

j=1

(−1)(i+j)aij Det(Mij). (1.1.2)

• Nao e difıcil ver que se

A =

(a11 a12a21 a22

),

entao

Det(A) =2∑

i=1

(−1)(i+j)aij Det(Mij) =

(−1)(1+1)a11 Det(M11) + (−1)(1+2)a12 Det(M12) = a11a22 − a12a21.

Note que o determinante dado pela definicao 1.8 pode ser desenvolvido por linhas oupor colunas, (ver (1.1.2)). O determinante de uma matriz nos oferece um teste infalıvelpara saber quais sao as matrizes quadradas que podem ser invertıveis ou seja que possueminversa com relacao ao produto de matrizes.

• Uma matriz An×n = (aij)n×n, tem inversa em relacao ao produto de matrizes se esomente se Det(A) = 0.

Uma pergunta ainda se apresenta. Ha um mecanismo capaz de produzir a insversa deuma matriz quadrada em relacao ao produto de matriz ? Veja abaixo que o determinantede uma matriz tambem nos ajuda responder esta questao.

Definicao 1.9. Seja An×n = (aij)n×n, n ≥ 2. Chamamos Cofator do elemento aij, deno-tado por Aij, o numero real dado por

Aij = (−1)(i+j) Det(Mij), i, j = 1, 2, · · · , n,

onde Mij e o Menor do elemento aji, i, j = 1, 2, · · · , n.A matriz formada por todos os cofatores de A chamamos Matriz dos Cofatores de

A e denotamos por Cof(A).

Cof(A)n×m =

A11 A12 A13 · · ·A1n

A21 A22 A23 · · ·A2n...

......

...An1 An2 An3 · · ·Ann

,


Exemplo 1.7. Considere a matriz

A =

0 1 53 −6 92 6 1

.

Calcule Det(A).

Nos vamos calcular o determinante de A desenvolvendo pela primeira linha.

Det(A) =2∑

j=1

(−1)(1+j)a1jDet(M1j) = (−1)(1+1) · 0 ·Det

(−6 96 1

)+

(−1)(1+2) · 1 ·Det

(3 92 1

)+ (−1)(1+3) · 5 ·Det

(3 −62 6

)= 0 + 1 · 15 + 5 · 30 = 165.

Exercıcio 1.5. Considere a matriz

A =

0 1 23 −1 12 0 1

.

Calcule Cof(A), [Cof(A)]t, A · [Cof(A)]t, [Cof(A)]t ·A e1

Det(A)[Cof(A)]t.

1.1.2 Matriz Adjunta Classica e Inversa

Definicao 1.10. Dada An×n = (aij)n×n, chama-se Adjunta Classica de A a matriz[Adj(A)] = [Cof(A)]t.

Teorema 1.1. Dada An×n = (aij)n×n, se DetA = 0, entao

1

Det(A)·A · [Adj(A)] = In e

1

Det(A)· [Adj(A)] ·A = In (1.1.3)

Segue facilmente da definicao 1.6 que1

Det(A)· [Adj(A)] = A−1 ( Inversa de A).


A =

1 2 30 3 20 0 −2

.

Use (1.1.3) e calcule a martiz inversa (elemento inverso) de A em relacao ao produto dematriz.

Vamos calcular os cofatores dos elementos de A.

A11 = (−1)(1+1)Det

(3 20 −2

)= −6; A12 = (−1)(1+2)Det

(0 20 −2

)= 0;


A13 = (−1)(1+3)Det

(0 30 0

)= 0; A21 = (−1)(2+1)Det

(2 30 −2

)= 4;

A22 = (−1)(2+2)Det

(1 30 −2

)= −2; A23 = (−1)(2+3)Det

(1 20 0

)= 0;

A31 = (−1)(3+1)Det

(2 33 2

)= −5; A32 = (−1)(3+2)Det

(1 30 2

)= −2;

A33 = (−1)(3+3)Det

(1 20 3

)= 3.

Assim, a matriz cofatora de A sera dada por

Cof(A) =

−6 0 04 −2 0−5 −2 3

.

A matriz Adjunta Classica e a transposta de matriz cofatora de A, ou seja

Adj(A) =

−6 4 −50 −2 −20 0 3

.

O teorema 1.1 nos da a matriz procurada que e

A−1 =1

DetAAdj(A) =

1

−6

−6 4 −50 −2 −20 0 3

.

Exemplo 1.9. Uma industria produz tres produtos, X, Y , e Z, utilizando dois tipos deinsumos, A e B. Para a manufatura de cada kg de X sao utilizados 1 grama do insumo A e2 gramas do insumo B; para cada kg de Y s ao utilizados 1 grama do insumo A e 1 gramasdo insumo B e, cada kg de Z s ao utilizados 1 grama do insumo A e 4 gramas do insumoB. O preco de venda de um kg de cada um dos produtos X, Y e Z e R$ 2,00 R$ 3,00 e R$5,00 respectivamente. Com a venda de toda producao de X, Y e Z manufaturada com 1 kgde A e 2 kg de B, essa industria arrecadou R$ 2500,00. Vamos determinar quantos kg decada produto X, Y e Z foram vendidos.

Como ja vimos no exemplo 1.6 usando matrizes o esquema de producao pode ser descritoda seguinte forma:

1 1 12 1 42 3 5

xyz

x+ y + z

2x+ y + z2x+ 3y + 5z

1000200025000

= A,

X Y Zgramas de A por kggramas de B por kgpreco por kg

W =kg de X produzidoskg de Y produzidoskg de Z produzidos

AW =gramas de A usadasgramas de B usadas.arrecadacao

=(S)


Veja que a resposta a pergunta que foi formulada no exemplo 1.6 sera dada pelo conjuntosolucao para o Sistema de Equacoes (S).

1.2 Sistemas de Equacoes Lineares

Uma Equacao Linear em n variaveis x1, x2, · · · , xn reais e uma equacao da forma

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b,

onde a1, a2, · · · , an e b sao numeros reais que nao dependem das variaveis envolvidas naequacao e sao conhecidos. Um Sistema de Equacoes Lineares ou simplesmente SistemaLinear e um conjunto de equacoes lineares, ou seja

(S) ≃

a11x1 + a12x2 + · · · a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · a2nxn = b2...

......

......

......

...am1x1 + am2x2 + · · · amnxn = bm

(1.2.4)

onde os aij e bi i = 1, 2, · · ·m, j = 1, 2, · · ·n sao todos numeros reais conhecidos.Usando o produto de matrizes (ver definicao 1.4) o sistema 1.2.12 pode ser escrito como

uma equacao matricial,

AX = B,

onde,

An×m =

a11 a12 a13 · · · a1ma21 a22 a23 · · ·a2m...

......

...an1 an2 an3 · · ·amm

, X =

x1

x2...xn

e B =

b1b2...bn

. (1.2.5)

Uma Solucao para o sistema 1.2.12 e uma matriz

S =

s1s2...sn

,

tal que as equacoes do sistema 1.2.12 sao satisfeitas quando substituimos x1 = s1, x2 = s2,· · · , xn = sn.

Exemplo 1.10. Considere o sistema linear de duas equacoes e duas incognitas

(S) ≃{

x + 2y = 12x + y = 0

1.2. SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES 11

O sistema (S) pode ser escrito na forma matricial

(S) ≃(1 22 1

)·(xy

)=

(01

).

Ainda, podemos verificar facilmente que x =−1

3e y =

2

3formam uma solucao para o

sistema (S), ou seja

S =

(−13

23

)e o conjunto solucao de (S).

Um Sistema Linear que tem solucao e denominado SISTEMA POSSIVEL. Se umSistema Linear que nao tem solucao e denominado SISTEMA IMPOSSIVEL. Mas dentreos SISTEMAS POSSIVEIS, ha aqueles que possuem mais que uma solucao .

Exemplo 1.11. O sistema linear de duas equacoes e quatro incognitas

(S) ≃{

x + 3y + 0z + 2w = −50x + 0y + z − 3w = 2

tem mais que uma solucao .

Note que S1 = [−5 0 2 0]t e S2 = [−7 0 5 1]t sao solucoes para o sistema (S).Mas afinal dado um Sistema Linear (S) o que devemos fazer para decidirmos entre

as tres possibilidades; Sistema Possıvel com mais que uma solucao , Sistema Possıvelapenas uma solucao e Sistema Impossıvel.

1.2.1 Operacoes Elementares

Definicao 1.11. Uma Operacao Elementar sobre as linhas de uma matriz e uma dasseguintes operacoes com outra linha da mesma matriz:

(i) Trocar a posicao de uma das linhas da matriz.(ii) Multiplicar uma linha por uma constante (escalar) diferente de zero.(iii) Somar a uma linha da matriz, um multiplo escalar de outra linha da mesma matriz.

Dado um Sistema Linear (S) como em (1.2.12) temos a Matriz A e B associada a (S).∗ Chama-se Matriz Aumentada associada a (S) a Matriz

[A|B] =

a11 a12 a13 · · · a1m

... b1

a21 a22 a23 · · ·a2m... b1

......

......

... b1

an1 an2 an3 · · ·amm... b1

.

Exemplo 1.12. Considere o sistema linear de duas equacoes e duas incognitas

(S) ≃{

x + 2y = 12x + y = 0


A Matriz Aumentada associada ao sistema (S) e a matriz

[A|B] =

(1 2

... 1

2 1... 0

).

Teorema 1.2. Dados dois Sistemas Lineares AX = B e CX = D tais que a MatrizAumentada [C|D] pode ser obtida da Matriz Aumentada [A|B] aplicando-se apenasuma Operacao Elementar (ver definicao 1.11), entao os dois sistemas lineares possuem omesmo Conjunto Solucao .

Agora vamos utilizar o teorema 1.2 e apresentar uma maneira eficiente para encontrar-mos o conjunto solucao para um Sistema Linear.

Metodo de Gauss-Jordan

O metodo que vamos apresentar aqui para resolver Sistemas Lineares, consiste naaplicacao das operacoes elementares as linhas da Matriz Aumentada associada ao sistemalinear em estudo.

Primeiro procuramos atraves de operacoes elementares obter a Matriz Aumentada deforma que na primeira linha o primeiro elemento seja nao nulo, este elemento sera chamadode Pivo. Vejamos um exemplo.

Exemplo 1.13. Considere o sistema linear (S) dado por

(S) ≃

x + y + z = 12x + y + 4z = 03x + 2y + 5z = −2

A Matriz Aumentada associada a S e

A =1 1 1... 1

2 1 4... 0

3 2 5... −2

L1 = l1

L2 = 2l1 − l2

L3 = 3l1 − l3

1 1 1... 1

0 1 −3... 2

0 1 −2... 5

L1 = l1

L2 = l2

L3 = l2 − l3

1 1 1... 1

0 1 −2... 2

0 0 1... −3

(1.2.6)

Note que as linhas L1, L2 e L3 sao linhas da matriz aumentada obtida da outra matrizaumentada (anterior) cujas linhas sao l1 , l1 e l3 elas operacoes elementares indicadas (verfigura 1.2.6).

EXERCICIOS


1. De cada uma das matriz se abaixo Calcule a matriz cofatora, adjunta classica e coma Definicao 1.7 calcule o determinante. Em seguida calcule a matriz inversa caso elaexista.

A =

1 3 11 0 12 1 4

, B =

−1 0 −21 −1 20 1 −1

, C =

−1 −1 0 −2−2 1 −1 20 1 −1 12 −2 −1 0

,

Para cada uma das matrizes acima calcule a sua inversa usando escalonamento dematriz.

Agora usando o teorema 1.2 vemos facilmente que

(S) ≃

x + y + z = 10x + y − 3z = 20x + y − 2z = 5

≃

x + y + z = 10x + y − 3z = 20x + 0y + z = −3

Mas o Sistema

(S3) ≃

x + y + z = 10x + y − 3z = 20x + 0y + z = −3

tem como conjunto solucao S3 = [11,−7,−3]t, portanto pelo teorema 1.2, o conjunto solucaopara o Sistema (S) e S = S3 = [11,−7,−3]t,

Sistemas Escalonados

Dada uma matriz

An×m =

a1r1 a1r1+1 a1r1+2 · · · a1m0 a2r2 a2r2+1 · · ·a2m...

......

...0 0 0 · · ·anrm

, (1.2.7)

onde, a1r1 = 0, a1r2 = 0, · · · a1rm = 0. Se tivermos 1 ≤ r1 < r2 < · · · < rm ≤ m diremos quea matriz A esta escalonada.

Um Sistema Linear (S) esta escalonado se a matriz aumentada associada a (S) estiverna forma .

[A|B] =

a1r1 a1r1+1 a1r1+2 · · · a1n... β1

0 a2r2 a2r2+1 · · · a2n... β2

......

......

......

0 0 0 · · · amrm

... βk

0 0 0 · · · 0... βk+1

, (1.2.8)


ou seja

(S) ≃

a1r1x1 + a1r1+1x2 + · · · a1nxn = β1

0x1 + a2r2+1x2 + · · · a2nxn = β2...

......

......

......

...0x1 + 0x2 + · · · amrmxn = βk

0x1 + 0x2 + · · · 0xn = βk

(1.2.9)

onde, a1r1 = 0, a1r2 = 0, · · · a1rm = 0.

Discussao e Resolucao de Um Sistema Linear

Discutir um Sistema Linear (S) significa efetuar um estudo de (S) visando classifica-losegundo a definicao a seguir.

Definicao 1.12. Dizemos que um Sistema Linear (S) e Incompatıvel se (S) nao admitesolucao . Um Sistema Linear (S) que admite uma unica solucao e chamado CompatıvelDeterminado. Se um sistema admitir mais do que uma solucao entao ele e denominadoCompatıvel e Indeterminado

(I) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obtem-se

(S) ≃

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·0x1 + 0x2 + · · · 0xn = βk

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·(1.2.10)

com βk = 0, o Sistema Linear sera Imcompatıvel ou Impossıvel e denoteremos por (SI)ou o conjunto solucao para (S) e o conjunto vazio (ver difinicao 1.12) .

(II) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obtem-se

(S) ≃

x1 + a1r1x2 + · · · a1nxn = β1

0x1 + x2 + · · · a2nxn = β2...

......

......

......

...0x1 + 0x2 + · · · xn = βn,

(1.2.11)

o sistema (S) e Compatıvel e Determinado (o sistema linear esta escalonado e numerode equacoes e igual ao numero de incognitas)

(III) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obtem-se

(S) ≃

x1 + a1r1x2 + · · · a1rpxrp + · · · a1nxn = β1

0x1 + x2 + · · · a2rpxrp + · · · a2nxn = β2...

......

......

......

......

...0x1 + 0x2 + · · · xrp + · · · apnxn = βp,

(1.2.12)

onde, p < n o sistema (S) eCompatıvel e Indeterminado (o sistema linear esta escalonadoe numero de equacoes e menor ao numero de incognitas)

• Se um Sistema Linear tiver mais que uma solucao , entao o sistema tera infinitassolucoes .


Exemplo 1.14. Considere o Sistema

(S) ≃

x − 2y − z = 12x + y − 3z = 0x + 7y + 0z = 3

(S) ≃

x − 2y − z = 12x + y − 3z = 0x + 7y + 0z = 3

L1 = l1L2 = −2l1 + l2L3 = −l1 + l3

≃

x − 2y − z = 10x + 5y − z = −20x − 5y + z = 2

L1 = l1L2 = l2L3 = l2 + l3

≃

x − 2y − z = 10x + 5y − z = −20x + 0y + 0z = 0

L1 = l1L2 = l2L3 pode ser eliminada

≃ S3 ≃{

x − 2y − z = 10x + 5y − z = −2

O teorema 1.2, garante que o conjunto solucao do Sistema (S) e igual aoconjunto solucaopara o Sistema (S3), que e

S = {(15+

7

5z,−2

5+

1

5z, z) z ∈ R}.

Note que o Sistema (S) tem uma quantidade infinita de solucoes .


(S) ≃

x + y + z = 12x + y + 5z = 03x + 2y + 5z = −2

Precedomos ao escalonamento de (S),

(S)L1 = l1L2 = 2l1 − l2L3 = 3l1 − l3

≃

x + y + z = 10x + y − 3z = 20x + y − 2z = 5

L1 = l1L2 = l2L3 = l2 − l3

≃ (S3) ≃

x + y + z = 10x + y − 3z = 20x + 0y − z = −3

como conjunto solucao para o sistema (S3) e S3 = [−14 11 3]t, pelo teorema 1.2, o conjuntosolucao para o Sistema (S) e S = S3 = [−14 11 3]t. Note que o Sistema (S) tem uma unicasolucao e portanto (S) e Compatıvel e Determinado.


(S) ≃

x + 2y + 3z = 13x + 6y + 9z = 03x + 2y + 5z = −2


Precedomos ao escalonamento de (S),

(S)L1 = l1L2 = 3l1 − l2L3 = 3l1 − l3

≃

x + y + z = 10x + 0y − 0z = 30x + y − 2z = 5

Note que a segunda equcao ja e incompatıvel, e isto torna o Sistema (S) incompatıvel ouseja o conjunto solucao de (S) e vazio.

Capıtulo 2

GEOMETRIA

RETA Dados dois pontos distintos no espaco P e Q, existe unica reta que passa por P eQ. Denotaremos esta reta por PQ ou sera utilizado uma letra minuscula para representar areta, por exemplo s, t, ect... . Diremos reta PQ ou reta s por exemplo.

SEGMENTO DE RETA Dada uma reta r e dois pontos distintos sobre ela, o segmentode reta AB e o conjunto dos pontos da reta r que estao entre os pontos A e B.

Dada uma reta r ⊂ e um ponto P fora da reta r, existe uma unica reta t que passa por Pque e paralela a reta r. Ainda existe uma unica reta s que passa por P que e perpendiculara reta r.

2.0.2 Segmentos Orientados

Definicao 2.1. Um segmento orientado e um par ordenado (A,B) de pontos do espaco. Senos for dado um segmento (A,B), tal que o ponto A seja igual ao ponto B, diremos que osegmento (A,A) ou (B,B) e o segmento nulo.

• O segmento orientado (A,B) consiste dse todos os pontos da reta AB que estao entreA e B, inclusive os pontos A e B, mas deve ser considerado a orientacao de A para B.

• Um segmento orientado nulo e determinado por um par de pontos coincidentes.

A reta AB que contem o segmento AB e denominada reta suporte do segmento orientado(A,B). Os pontos A e B sao denominados origem e extremidade do segmento respecti-vamente. Geometricamente um segmento orientado sera indicado por uma flexa, veja oseguinte exemplo.

Exemplo 2.1. Dados quatro pontos A, B, C e D do espaco como abaixo, podemos consideraros segmentos (A,B) e (C,D) como segue

A�

CQQ

QQQQs D

B.

1. Segmento Oposto

17

18 CAPITULO 2. GEOMETRIA

Definicao 2.2. Dado um segmento orientado (A,B), chama-se segmento orientadooposto de (A,B) o segmento orientado (B,A).

Nao e difıcil ver que a cada segmento orientado (A,B) esta associado uma tres conceitosgeometricas importantes que sao COMPRIMENTO, DIRECAO e SENTIDO.A partir deste instante, estas propriedades dos segmentos orientados passam a ser onosso objeto de estudo e veremos que, com argumentos detalhados elas poderao nosoferecer uma vizualizacao particularmente especial do ”espaco que nos cerca”. Estesconceitos geometricos sao aqui denominados importantes por serem conhecidos comoGrandezas Vetorias e alguns dos exemplos mais populares sao FORCA, VELOCIDADEe ACELERACAO.

Note que, dois pontos quaisquer A e B do espaco, determinam os segmentos orientados(A,B) e (B,A), que poderao ser iguais se o ponto A coincidir com o ponto B.

Igualdade de Dois Segmentos Orientados

Definicao 2.3. Dois segmentos orientados (A,B) e (C,D), SERAO IGUAIS se esomente se, A ≡ B e C ≡ D.

2. Comprimento

Definicao 2.4. Fixada uma unidade de de comprimento, a cada segmento orientado(A,B) podemos associar um numero real positivo ou zero, que sera o COMPRIMENTOde (A,B).

• Dado um segmento orientado (A,B), a distancia do ponto A ate o ponto B sera ocomprimento do segmento orientado (A,B).

• Como a distancia de um ponto qualquer ate ele mesmo e zero, ao segmento orientado(A,A) (segmento nulo) esta associado o numero real zero, ou seja o comprimento dosegmento orientado nulo (A,A) e exatamente zero.

3. Direcao

Definicao 2.5. Dados dois segmentos orientados (A,B) e (C,D), diremos que elestem a mesma DIRECAO se as retas AB e CD forem paralelas.

Se dois segmentos orientados (A,B), e (C,D) tem mesma direcao, diremos que elessao paralelos.

Note que um papalelogramoABCD determina pelo menos um par de segmentos orientadosdigamos (A,B), e (C,D)

A

B��

��

��

C

D

19

Exemplo 2.2. Considere os dois segmentos orientados (A,B), e (C,D), de modoque as retas AB e CD sejam paralelas.

A

B

��

��

D

C

Pela defincao 2.5 os segmentos orientados (A,B), e (C,D) tem a mesma direcao.

4. Sentido

Definicao 2.6. Dados dois segmentos orientados (A,B) e (C,D) com mesma direcao

a : Se as retas AB e CD forem distintas, diremos que eles tem o mesmo SENTIDOse as segmentos de retas AC e BD tiverem intersecao vazia.

b : Se as retas AB e CD forem coincidentes, tome um ponto A′ /∈ AB e a unicareta s que passa por A′ e que e paralela a reta AB, em seguida tome o unico pontoB′ ∈ s de modo que os segmentos orientados (A′, B′) e (A,B) satisfacam a parte (a)desta definicao. Diremos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) tem o mesmoSENTIDO se (A′, B′) e (C,D) tiverem o mesmo sentido .

Exemplo 2.3. Considere os segmentos orientados (A,B), e (C,D) de modo que as retasAB e CD sejam paralelas e distintas, como segue

B

A

��

```````````��

��

C

D

Note que os segmentos de retas AC e BD tem intersecao vazia, ou seja pela definicao 2.6 a,os segmentos orientados (A,B), e (C,D) tem o mesmo sentido.

Exemplo 2.4. Considere os segmentos orientados (A,B), e (C,D) de modo que as retasAB e CD sejam paralelas e distintas, como segue

B

A

��

@@

@@@@

@@@!!!!!!!!!!!!!!!!

��

��

D

C

Note que os segmentos de retas AC e BD tem intersecao nao vazia, ou seja pela definicao2.6a os segmentos orientados (A,B), e (C,D) tem sentidos ontrarios.


2.0.3 Equipolencia de Segmentos Orientados

Definicao 2.7. Dois segmentos orientados (A,B), e (C,D) sao EQUIPOLENTES se

a : os dois forem nulos.

b : os dois sao nao nulos e eles tem o mesmo comprimento, mesma direcao e mesmosentido.

Notacao

(A,B) ∼ (C,D) indica que os dois segmentos orientados (E,F ), e (G,H) sao equipo-lentes,

Exemplo 2.5. Considere dois papalelogramos ABCD e EFGH suponha que eles estaorepresentados nas figuras abaixo:

A

B

��

��

C

D E

F��

��

G

H

Note que o fato de ABCD e EFGH serem um paralelogramos as definicoes 2.4 e 2.5 nosgarante que os pares de segmentos orientados (A,B) e (C,D); (E,F ), e (G,H) tem mesmocomprimento, mesma direcao, usando a definicao 2.6 vemos que (A,B) e (C,D) tem mesmosentido e portanto sao EQUIPOLENTES. Mas os segmentos orientados (E,F ), e (G,H)que tem mesmo comprimento e mesma direcao, usando a definicao 2.6 vemos que eles naotem o mesmo sentido, e por isto eles nao sao equipolentes.

Proposicao 2.1. A relacao de equipolencia goza das seguintes propriedades:a : (A,B) ∼ (A,B) Reflexivab : Se (A,B) ∼ (C,D), entao (C,D) ∼ (A,B) Comutativac : Se (A,B) ∼ (C,D) e (C,D) ∼ (E,F ) entao (A,B) ∼ (E,F ) Transitiva

A demonstracao sera omitida.

Exemplo 2.6. Considere os segmentos orientados abaixo. Suponha que as retas AB, CD,EF e FG sejam duas a duas paralelas e que os segmentos AB, CD, EF e FG tenham omesmo comprimento ver figura abaixo :

��

A

B

��D

C ��E

F ��G

H

2.1. VETORES 21

Usando as definicoes 2.4, 2.5, 2.6 e a transitividade da relacao de equipolencia (ver Prop. 2.1),podemos verificar facilmente que os segmentos orientados (A,B), (C,D), (E,F ) e (G,H)tem mesmo comprimento, mesma direcao e mesmo sentido, portanto eles sao equipolentes(Note que verificamos a equipolencia comparando grupos de dois apenas segmentos orientados).

Dado um segmento orientado (A,B) podemos pensar nos segmentos orientados quesao equipolentes ao segmento orientado (A,B) e estes serao muitos. Por exemplo sabe-seao arremessar-mos um objeto de massa nao nula para o alto, este objeto passara por umaquantidade enorme de pontos do espaco e a estes pontos denominamos de trajetoria. Emcada ponto desta trajetoria o objeto estara sujeito a Forca da Gravidade, ou seja ele estarasujeito a forca de atracao gravitacional, que aqui em nossa linguagem o que corresponde a umconjunto de segmentos orientados representado pela letra P (Forca Peso). Podemos agorapensar em todos os segmentos orientados que sao equipolentes a um segmento orientadofixado.

• Chama-se Classe de Equipolencia de um segmento orientado (A,B), ao conjuntode todos os segmentos orientados que sao equipolentes ao segmento orientado )(A,B).

Note que o proprio (A,B) e um segmento orientado deste conjunto. Na verdade se doissegmentos orientados (A,B) e (C,D) forem equipolentes entao a Classe de Equipolenciade (A,B) coincidira com Classe de Equipolencia de (C,D).

2.1 Vetores

Definicao 2.8. Um Vetor Geometrico e uma classe de equipolencia.

∗ Cada segmento orientado da Classe de Equipolencia ou do vetor sera chamado derepresentante do vetor.

• A forca da gravidade e um vetor, pois ela e um conjunto de segmentos orientadosequipolentes ou seja ela e uma Classe de Equipolencia.

• Representaremos os vetores por letra minuscula com uma seta sobre ela a b, u, v , wetc... ou ainda se o segmento orientado (A,B) for um representante do vetor u, por exemplo

podemos indicar o vetor u por AB .

Definicao 2.9. A classe de equipolencia do segmento orientado nulo ( (A,A) ) chamamosVetor Nulo.

Assim sendo podemos ver que(i) O vetor nulo tem comprimento zero.(ii) O vetor nulo tem a mesma direcao que qualquer outro vetor.(iii) O vetor nulo tem a mesmo sentido que qualquer outro vetor.O vetor nulo sera representado por 0.

Definicao 2.10. Chamamos Espaco IE3 ao conjunto de todos os vetores geometricos.

∗ Os vetores x, y nao nulos serao paralelos (indica-se x//y) se e somente se um repre-sentante (A,B) de x for paralelo a um representante (C,D) de y

∗ Chamamos Norma, Modulo ou Comprimento de um vetor ao comprimento dequalquer um de seus representantes.


• Dado um vetor v podemos tomar um de seus representantes, digamos (A,B) e indi-

carmos v por BA.

Vetor Oposto

Definicao 2.11. Se o segmento orientado (A,B) for um representante do vetor u entao osegmento orientado (B,A) sera um representante do vetor −u denominado Vetor Oposto

de u ou seja o vetor BA e o oposto do vetor AB. Indicamos oposto de BA por −AB.

• Dado um vetor u, existe um unico ponto A ∈ IE3 tal que u tem um representante comorigem em A.

Neste instante temos um conjunto muito bem definido que e IE3 e a partir deste momentonosso interesse e em explorar mais este conjunto, isto e saber quais sao seus elementos, comoseus elementos se relacionam com nossa vida cotidiana, particularmente algumas relacoesdos elementos de IE3 com a elementos da conhecida Geometria de Euclides.

ADICAO DE VETORES

Definicao 2.12. A adicao de vetores e uma funcao que a cada par de vetores (u, v) deIE3 × IE3 associa um vetor de IE3 que e chamado SOMA de u por v e indicado por u+ v.A funcao age da seguinte forma sobre o par (u, v): considere um representante (A,B) de u,e um representante de v com origem em B, e extremidade em C, a classe de equipolenciaque contem o segmento orientado (A,C) e o vetor u+ v.

Ver a figura abaixo:

A -

u

��

��B

v

w = v + v

QQQ

QQQQ

QQs D

Esta regra de adicao de vetores e conhecida como regar triangular. Ha outra regra que e aconhecida como regra do paralelogramo.

v

QQQQQ

QQQQs

��

��

u

A -

u

��

��B

v

w = v + v

QQ

QQQQ

QQQs C

��

��Q

QQ

QQQQ

QQsD

Esta regra se aplica da seguinte forma : Fixamos um ponto A ∈ IE3 e tomamos o unicoponto B ∈ IE3 tal que o segmento orientado (A,B) seja um representante do vetor u, em

2.1. VETORES 23

seguida com o ponto B tomamos o unico ponto C ∈ IE3 tal que o segmento orientado(B,C) seja um representante do vetor v. Analogamente, determinamos o ponto D ∈ IE3

e em seguida um ponto C ′ que por nossa construcao coincide com o ponto C. Assim te-remos o paralelogramo ABCD, e a soma dos vetores u e u e a classe de equipolencia dosegmento orientado (A,C). Note que o segmento AC e a diagonal principal do paralelo-gramo ABCD.

Exercıcio 2.1. Mostrar que a diagonal secundaria do paralelogramo ABCD nos da a dife-renca dos vetores u e v .

Note que o conjunto IE3 (ver definicao ) juntamente com a definicao 2.12 torna-se analogoao conjunto R (numeros reais) com a operacao de adicao de numeros, ja bem conhecida nossa.Mas a operacao adicao de numeros reais no conjunto R

• TEM ELEMENTO NEUTRO (ZERO),• E ASSOCIATIVA,• E COMUTATIVA,• CADA NUMERO REAL TEM INVERSO (a ∈ R tem inverso −a ∈ R).

Uma pergunta importante: A operacao adicao no conjunto IE3 (ver definicao 2.12) tem asmesmas propriedades que operacao adicao de numeros reais no conjunto R ?

∗ A partir deste instante o espaco IE3 sera referido como (IE3,+) espaco IE3 com aopercao de adicao

PROPRIDADES DE ADICAO DE VETORES

Dados u, v e w em (IE3,+),

PA1 (u+ v) + w = u+ (v + w) Associativa

PA2 u+ v = v + u Comutativa

PA3 u+ 0 = u Elemento Neutro

PA4 u+ (−u) = u Elemento Oposto ou Simetrico

Exercıcio 2.2. Considere os vetores a e b cujos representantes sao os segmentos orientados(A,B) e (B,C) respectivamente (ver figura abaixo) e calcule a+ b e a− b usando a regar dotriangulo e do paralelogramo.

C�

AQQQQ

QQQQQs B


Exercıcio 2.3. Considere os vetores a, b e e cujos representantes sao os segmentos orientados(A,B), (C,D) e (E,F ) respectivamente (ver figura abaixo) e calcule

• (a+ b) + e; • a− b− e • a− (b− e)usando a regra do triangulo e do paralelogramo.

CD�

AQQQ

QQQ

QQQs

-E F

B

2.1.1 Multiplicacao de Numero Real (escalar) Por Vetor

Vamos definir uma operacao externa em IE3.

Definicao 2.13. Multiplicacao de numero real ou escalar por um vetor e uma funcao que acada par ordenado (α, u) ∈ R×IE3 associa um vetor w ∈ IE3 denotado por α·u, (α, u)

m→ α·u.

• Como a funcao multiplicacao a associa um par ordenado, como na definicao , umvetor, se faz necessario saber informar qual e o comprimento a direcao e o sentido destenovo vetor.

∗ Se α = 0 entao (0, u)m→ 0 ou 0 · u = 0 .

∗ Se u = 0, entao (α, 0)m→ 0 ou α · 0 = 0.

∗ Se α = 0, e u = 0, entaoa : ∥α · u∥ = |α|∥u∥b : α · u // u ; (os vetores α · u e u sao paralelos).c : α · u e u terao o mesmo sentido se α > 0 e terao sentidos contrarios se α > 0.

Note que a multiplicacao de vetor por escalar (numero) pode aterar o comprimento e osentido do vetor, mas nao altera a direcao .

Exemplo 2.7. Dado um vetor v ∈ IE3 com segmento orientado (A,B), tomemos retasCD, EF e GH de modo que ass retas AB CD, EF e GH sejam duas a duas paralelas e oscomprimentos dos segmentos CD, EF e GH satisfacam a relacao

comp(CD) = 2comp(AB) = comp(EF ) e comp(GH) =5

2comp(AB). (2.1.1)

Usando a definicao 2.5 podemos ver os segmentos orientados (A,B) (C,D), (E,F ) e(G,H) tem mesma direcao, usando (2.1.1) e a definicao 2.13 (Note que α = 0), podemos verque

• segmento orientado (C,D) e representante do vetor 2v (α = 2) ,• segmento orientado (E,F ) e representante do vetor −2v, (α = −2)

2.1. VETORES 25

• segmento orientado (G,H) e representante do vetor5

2v, (α =

5

2)

e com isto construir a figura abaixo.

��

A

B

v��D

C

2v

��

−2v

E

F ��

5

2v

H

G

Vejamos agora como as duas operacoes dadas nas definicoes 2.12 em IE3 × IE3 , e 2.13em R× IE3 se relacionam.

PROPRIEDADES DE MULTIPLICACAO POR ESCALAR

Dados u, v ∈ IE3, α ∈ R β ∈ R, entaoM1 α(u+ v) = αu+ αv.M2 (α+ β)u = αu+ βu.M3 1u = u.M2 α(βu) = (αβ)u = β(αu).∗ A partir deste instante o espaco IE3 sera indicado por (IE3,+, ·) onde le-se espaco IE3

com as opercoes de Adicao e Multiplicacao por Escalar (Numero real)

∗ As quatro propriedades de adicao juntamente com a quatro propriedades de Mul-tiplicacao por escalar (numero real) fazem uma estrutura especial dentro do conjunto IE3

chamada Estrutura de Espaco Vetorial e por isto de agora em diante nos referiremos aoconjunto (IE3,+, ·) como um Espaco Vetorial

∗ Se α ∈ R e v ∈ R com α = 0, sera utilizado apenas a notacao1

αv , de modo algum

sera permitida a notacaov

α.

Exercıcio 2.4. Prove a regra dos sinaisa (−α)v = (−αv) para todo α ∈ R e v ∈ IE3.b α(−v) = −(αv) para todo α ∈ R e v ∈ IE3.c (−α)(−v) = αv para todo α ∈ R e v ∈ IE3.

Prova a : Note que pela definicao 2.11 a igualdade (a) nos diz que o vetor oposto de(−α)v e (−αv) ou seja, devemos provar que (−α)v + (−αv) = 0.

Mas

(−α)v + (−αv)M2= (−α + α) = 0v

Def 2.13= 0

Prova b: Agora devemos provar que α(−v) +−(αv) = 0.Mas

α(−v) + (αv)M1= α(v − v) = α0

Def 2.13= 0.

A prova de c e deixada como exerıcio.


Proposicao 2.2. Dado α, β ∈ R e u ∈ IE3,• se αu = 0, entao α = 0 ou u = 0.•• se u = 0 e αu = βu, entao α = β.

Prova : Priemiro vamos provar •. Supponha que α = 0 entao existe α−1 ∈ R tal queα−1α = 1. Multiplicando αu = 0 de ambos os membros por α−1 teremos αα−1u = α−10 = 0,entao u = 0. Vamos provar agora ••. Como

αu = βu ⇒ αu− βu = 0Def 2.13⇒ αu+ ((−βu)) = 0,

Portanto,

αu+ (−βu) = 0M2⇒ (α− β)u

Prop 2.2 •=⇒ (α− β = 0) ou u = 0.

Mas, por hipotese u = 0, portanto α = β.Como u = 0 temos α = β.

Exercıcio 2.5. Considere a figura abixo (o solido ABCD e um tetraedro), e os vetores m, n ep cujos representantes sao os segmentos orientados (A,B), (A,C) e (A,D) respectivamente.

AC

B

D

��

��

��

��

@@@@

@@

��

��

��

��

��+

AAAAAAA

AAAK

(i) • Encontre os vetores u, v e w cujos representantes sao os segmentos orientados(C,B), (C,D) e (B,D) respectivamente, como funcao de m, n e p.

(ii) • Seja M ponto medio do segmento de reta CB, exprima o vetor a com um repre-sentante dado pelo segmento orientado (A,M) em funcao de m e n.

2.1.2 Soma de Ponto com Vetor

Neste momento nos temos dois conjuntos muito bem definidos que sao o espaco no qual”vivemos”que denotaremos por IE ou o conjunto dos pontos do espaco e o conjunto deVetores Geometricos (ver Def. 2.1) que estamos indicando por IE3. Poderıamos dizer queo conjunto IE e o conjunto de dos pontos do espaco. Em verdade podemos definir umacorrespondencia entre estes dois conjuntos que e uma funcao . Veja definicao a seguir.

2.1. VETORES 27

Definicao 2.14. Dado um ponto P em IE e um vetor v em IE3, seja Q o unico ponto emIE tal que o segmentos orientados (P,Q) seja um representante para o vetor v. Este pontoQ ∈ IE e denominado a Soma do Ponto P com o Vetor v, e denotamos por Q = P + v.

PQ v�

Dados P ∈ IE e v ∈ IE3, Q = P + v ou Q = P + PQ

• Usaremos a notacao P − v para indicar a soma do ponto P com o vetor −v, e assimteremos P − v = P + (−v).

PROPRIEDADES DA SOMA DE PONTO COM VETOR

Dados P,∈ IE, v, u ∈ IE3, temosPS1 P + 0 = P ,

Esta e uma decorrencia do imediata da definicao 2.14, pois PP = 0 (ver Def. 2.9) entaoP + 0 = P .

PS2 Se P + v = P + u entao v = u.Note que se Q = P + v = P + u, ent ao da defnicao2.14 PQ = v e PQ = u, portantou = v. Esta propriedade permitem um tipo de Cancelamento do ponto P na igualdadeP + u = P + v.

PS3 (P + v) + u = P + (v + u).Sejam Q = P + u, R = Q + v,(ver figura abaixo) entao R = (P + u) + v. Ainda,

segue da definicao 2.14 que PQ = u, QR = v. Realizando a soma de PQ com QR teremosPQ + QR = v + u, mas PQ + QR = PR. Novamente pela definicao 2.14 R = P + (u + v)agora pela propriedade PS3 tem-se (P + u) + v = P + (u+ v).

P -

u

��

��Q

v

w = v + v

QQQQ

QQQQQs R

PS4 Se P + v = Q+ v, entao P = Q.Como

P + v = Q+ v ⇒ (P + v)− v = (Q+ v)− vPS3⇒

P + (v − v) = Q+ (v − v) ⇒ P + 0 = Q+ 0PS1⇒ P = Q

PS5 (P − v) + v = PEsta propriedade decorre de PS3 e PS1. Pois

(P − v) + v =PS3= P + (v + (−v) =

PS1= P + 0 = P.


• Neste caso se o vetor u tem como representante o segmento orientado (A,B), e

comum representar o vetor AB por−→

B − A.∗ A soma de ponto com vetor e uma relacao muito importante entre os conjuntos IE e IE3,

porque ela relaciona o conjunto de pontos do espaco com o conjunto de Vetores Geometricos.Esta relacao sera utilizada para descrever subconjuntos de pontos do espaco, por exemploRetas, Planos, Semi-retas, Semi-planos, e posicoes entre eles.

Exercıcio 2.6. Na figura ao abaixo os pontos M , N e O sao pontos medios de PQ, QR eRP respectivamente. Exprima RM , QO e PN como funcao PR e PQ.

P

M

��

��

N•

O•

QQ

QQQQ

QQQ R

Resolucao• E facil ver que RM = RP + PM , isto porque M e ponto medio de PQ, e pudemos

nos valer da definicao 2.12. Mas com a definicao 2.13 podemos ver que e novamente que Me ponto medio de PQ, vemos que PM = 1

2PQ. Entao,

RM = RP + 12PQ. (2.1.2)

Encontramos a funcao de PR e PQ que procuravamos.• Vamos escrever PN em funcao de PR e PQ.Use a deficao 2.12 e note que

PNDef.2.12= PR + RN,N ponto medio de QR nos da 2RN = QR

Def.2.12= RP + PQ,

Entao,

PNDef.2.12,2.13

=1

2

(PQ+ RP

)+ PR

MS1=

1

2PQ− 1

2PR + PR.

Portanto,

PN = 12PQ+ 1

2PR. (2.1.3)

• Fica como exercıcio provar que QO e funcao PR e PQ.A conclusao do exerıcio 2.6 e valida mesmo quando os pontos M , N e O escolhidos nao

forem pontos medios, ver o exercıcio abaixo :

Exercıcio 2.7. Na figura abaixo a medida de PX e a metade da medida de XR. ExprimaQX em funcao de QP e QR.

P��

��Q

X

QQ

QQQQ

QQQ R

2.1. VETORES 29

Resolucao O enunciado do exercıcio nos diz que PX = 12XR, entao

QX − QP = PX =1

2XR =

1

2

(QR− QX

)MS1=

1

2QR− 1

2QX

Observe a primeira e ultima igualdade, elas no dao,

QX − QP =1

2QR− 1

2QX

Def. 2.11⇒ 3

2QX =

1

2QR + QP

Def. 2.13⇒

QX = 13QR + 3

2QP . (2.1.4)

Exercıcio 2.8. Seja ABC um triangulo, e M e N pontos medios de AC e BC respectiva-mente. Mostre que MN = 1

2AB.

Exercıcio 2.9. Prove que se os pontos medios dos lados de um quadrilatero convexo foremvetices de um segundo quadrilatero, este sera um paralelogramo.

2.1.3 Dependencia e Independencia Linear

Observe que em (2.1.2), (2.1.3) e (3.1.4) temos os vetores RM , PN e CX, respectivamente,foram expressos como funcao de outros vetores, em verdade, a funcao que aparece no ladodireito de cada uma das expressoes de (2.1.2), (2.1.3) e (3.1.4) e uma Funcao Linear dosvetores envolvidos. Este tipo de expressao e denominado COMBINACAO LINEAR ou seja,

∗ em (2.1.2) o vetor RM aparece escrito como COMBINACAO LINEAR dos vetores

RP e PQ;∗ em (2.1.3) o vetor PN aparece escrito como COMBINACAO LINEAR dos vetores

PQ e PR;ver em (3.1.4) qual a COMBINACAO LINEAR que aparece.

Definicao 2.15. Dadas (α1, α2, · · ·, αn) sequencia de numeros reais (n-upla ordenada), e(u1, u2, · · ·, un) sequencia de vetores (n-upla de ordenada de vetores), dizemos que um vetoru inIE3 e COMBINACAO LINEAR dos vetores u1, u2, · · ·, un, se

u = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun. (2.1.5)

Exemplo 2.8. Tome na expressao CX = 13QR + 3

2QP .


Observe que α1 =13, u1 = QR, α2 =

32

e u2 = QP e se u = CX, temos a sequencia

de numeros reais (α1, α2) = (13, 32) e a sequencia de vetores (u1, u2) = (QR, QP ) e u escrito

como COMBINACAO LINEAR dos vetores (u1, u2) = (QR, QP ).

Exemplo 2.9. Seja PN = 12PQ+ 1

2PR como em (2.1.3).

Note que se α1 = α2 =12e u1 = PQ, u2 = PR, entao se u = PN teremos u escrito como

COMBINACAO LINEAR de u1 e u1.∗ Diremos que a COMBINACAO LINEAR

u = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun. (2.1.6)

e a COMBINACAO LINEAR NULA se u = 0 for o vetor nulo.

• Dada uma sequencia de vetores (u1, u2, · · ·, un), ha uma maneira muito facil, digamostrivial, de se obter a COMBINACAO LINEAR NULA destes vetores, que e escolher todosos elementos da sequencia de numeros (α1, α2, · · ·, αn) = (0, 0, · · ·, 0), e assim teremos aCOMBINACAO LINEAR

0u1 + 0u2 + · · ·+ 0un = 0.

Exemplo 2.10. Considere os vetores u, v e w com segmentos orientados (P,Q), (Q,R) e(R,P ) respectivamente, como na figura abaixo:

P�

u

��

��Q

v

w

QQ

QQQQ

QQQs R

Segue diretamente da definicao 2.12 que 0 = u+ v+ w ou seja, o vetor 0 e combinacao nulade u, v e w.

Observacao 2.1. Se dois vetores u e v forem paralelos existira um numero real α tal queu = αv.

Prova Como u e v sao paralelos e simultaneamente nao nulos, u e v tem mesma direcao.Ainda nao e difıcil ver que existe α ∈ R tal que ∥u∥ = |α|∥v∥. Como{

|α| = α, se α > 0,|α| = −α, se α < 0,

entao u = αv e α =∥u∥∥v∥

,. Se um dos vetores u e v for o vetor nulo, por exemplo u = 0, entao

tomamos α = 0 e poderemos escrever u = αv. Note que o vetor nulo e paralelo a qualqueroutro vetor.

Nas condicoes da observacao 2.1 podemos concluir que u e v terao mesma direcao seα > 0 e sentido contrario se α < 0.

2.1. VETORES 31

Tambem nas condicoes da observacao 2.1 pode-se obter a COMBINACAO LINEARNULA dos vetores , u e v ( u − αv = 0). Note que a sequencia de numeros (1,−α) e naonula. Vejamos qual e a relacao de depenencia entre α e e u e v, indnependente do valor deα.

Calculo do valor de α. O comprimento de αv e u sao iguais, entao

∥u∥ = ∥αv∥ Def. 2.13=⇒ ∥u∥ = |α|∥v∥;

• se os dois vetores forem nao nulos, entao ∥v∥ = 0 e assim,

α =∥u∥∥v∥

,

ou seja α e unicamente determinado.

∗ Dada uma sequencia de vetores (u1, u2, · · ·, un), tal que um deles e o vetor nulo, entaoexistira pelo menos uma sequencia de numeros reais (α1, α2, · · ·, αn) = (0, 0, · · ·, 0) que tornapossıvel a COMBINACAO LINEAR NULA de (u1, u2, · · ·, un). Vejamos e possıvel encontraruma sequencia de numeros reais (α1, α2, · · ·, αn) ’nao nula.Suponha que u1 = 0. Entao existe a sequencia de numeros reais (α1, α2, · · ·, αn) com α1 = 0por exemplo α1 = 2, e todos os outros αs nulos, entao a sequencia de numeros reais toma aforma (2, α2 = 0, · · ·, αn = 0), e como u2 = 0, u3 = 0, · · ·, un = 0 a COMBINACAO LINEARdos vetores dados sera dada por

2 · 0 + α2 · u2 + · · ·+ αn · un = 2 · 0 + 0 · u2 + · · ·+ 0 · unDef. 2.13

= 0.

Definicao 2.16. Uma sequencia de vetores (u1, u2, · · ·, un) sera Linearmente Indepen-dente e indicaremos LI, se a unica possibilidade de se obter a COMBINACAO LINEARNULA dos vetores (u1, u2, · · ·, un) for escolher (α1, α2, · · ·, αn) = (0, 0, · · ·, 0).

• Uma sequencia com apenas vetor (u), e Linearmente Independente se e somentese u = 0.

Prova Devemos mostrar que a COMBINACAO LINEAR NULA da sequencia (u) istoe,

αu = 0

somente e possivel se α = 0. Mas, pela Proposicao 2.2•, αu = 0 implica que α = 0 ou u = 0,como a u e nao nulo, α = 0 ou seja a unica sequencia possıvel de numeros reais que produza COMBINACAO LINEAR NULA αu = 0, e (α) = (0). Isto prova as duas afirmacoes .

Definicao 2.17. Note que uma sequaencia de vetores (u1, u2, · · ·, un) LINEARMENTEDEPENDENTE, indicaremos por LD se ela nao for LI.


• Dada uma sequencia de vetores (u1, u2, · · ·, un), se houver pelos menos uma maneira dese obter a COMBINACAO LINEAR NULA destes vetores utilisando-se uma n-upla ordenadanao nula isto e (α1, α2, ···, αn) = (0, 0, ···, 0), diremos que a sequencia de vetores (u1, u2, ···, un)e LD.

∗ Uma sequencia com dois vetores (u, v) e LD se e somente se u e v forem paralelos.Prova Se u e v forem paralelos, os comentarios logo apos a Obsevacao 2.1 nos assegura

que existe α ∈ R tal que u = αv, ou seja u−αv = 0 e isto implica que a sequencia (1, α) poderser utilizada para se obter a COMBINACAO LINEAR NULA de u e v. Como (1, α) = (0, 0),a definicao nos diz que a sequencia (u, v) e LD. Se u e v forem LD entao existe α ∈ R talque u−αv = 0, entao u = αv = 0. A definicao 2.13 assegura que u e v tem mesma direcao˙

Proposicao 2.3. Uma sequencia de vetores v1, v2, . . . , vn ∈ IE3 e LD se e somente sealgum destes vetores e combinacao linear (CL) dos demais.

Prova Suponha que {v1, v2, . . . , vn} e LD, entao pela definicao 2.16 existe uma n-uplade numeros reais (α1, α2, . . . , αn) = (0, 0, . . . , 0), isto e, pelo menos um dos αi = 0 parai = 1, 2, . . . , n, tal que

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0,

como αi = 0 para algum i = 1, 2, . . . , n, suponhamos que α1 = 0. Entao

α1v1 = −α2v2 − · · · − αnvn,

e dividindo ambos os membros por α1 teremos

v1 = −α2

α1

v2 −α3

α1

v3 − · · · − α2

α1

vn

ou seja o vetor v1 e combinacao dos demais.• Suponaha agora que um dos vetores v1, v2, . . . , vn e combinacao dos demais, podemos

supor que seja v1 este vetor, ou seja, pela definicao 2.1.5 existem β1, β2, . . . , βn−1 tais que

v1 = β1v2 + β2v3 + · · ·+ βn−1vn,

subtraindo v1 em ambos os membros da igauldade acima teremos

(−1)v1 + β1v2 + β2v3 + · · ·+ βn−1vn = 0. (2.1.7)

Note em (3.1.5) temos aCombinacao Linear Nula dos vetores v1, v2, . . . , vn com a sequencia−1, β1, β2, . . . , βn−1 de n numeros reais, e esta sequencia e nao nula, ou seja (−1, β1, β2, . . . , βn−1) =(0, 0, . . . , 0). Pela definicao 2.16 os vetores v1, v2, . . . , vn sao Linearmete Dependentes(LD).

Uma interpretacao da Proposicao 2.3

∗ Dados tres vetores u, v e w em IE3 com segmentos orientados (A,B), (A,C) e (A,D)respectivamente, os tres vetores serao coplanares se existir um plano π que e paralelo aos tresvetores simultaneamente, isto e os pontos A, B, C e D estiverem no mesmo plano, digamosπ. Diremos que os tres vetores u, v e w sao COPLANARES.

2.1. VETORES 33

Dados tres vetores u, v e w em IE3 tais que dois deles sao LI ou seja ha dois deles quenao sao paralelos, digamos u e v, se o terceiro vetor for coplanar com u e v, entao w eCOMBINACAO LINEAR de u e v. Veja figuras α e β abaixo:

-B

figura δ

MA

D

C

��

��

N

��

-

w ��

��1

• Pelo ponto D passamos uma reta paralela a reta AC e determinamos o ponto M e porconseguinte o segmento oriendatado (A,M), note que os segmentos oriendatados (A,B e(A,M) sao paralelos e portanto os vetores representado por (A,B e (A,M) serao LD.• Pelo ponto D passamos uma reta paralela a reta AB e determinamos o ponto N e porconseguinte o segmento oriendatado (A,N), note que os segmentos oriendatados (A,C) e(A,N) sao paralelos e portanto os vetores representado por (A,C) e (A,N) serao LD. Combase nestes comenterios e observando a figura δ poderemos entender facilmente a figura λ.

-ua

figura λ

��

��

b

v

Como b ∥ v, (b e u LD), ∃β ∈ R, β = 0 tal que a = βu

Como a ∥ u, (b e u LD),∃α ∈ R, α = 0 tal que

a = αu��

w = a+ b = αu+ βv

-

w ��

��1

• Segue da Proposicao 2.3 que Tres coplanares serao LD

Exercıcio 2.10. Mostre que tres ou mais vetores coplanares serao LD.

Exercıcio 2.11. Mostre que tres vetores u, v e w em IE3 serao LI se e somente se naoforem coplanares LD.

• Quatro vetores u, v, y e x em IE3 serao LD.Seja quatro vetores u, v, w e x em IE3 dados pelos segmentos orientados (A,B), (A,C),

(A,D) e (A,F ) respectivamente .

-��

��

��

B

figura γ

MA

E

F

��

C

D

N

Q

��

��

��

��

��

��

w ��

�


• Passando pelo ponto F uma reta paralela a reta AD e obtemos o ponto E, (os pontosA, B, C e E sao coplanares). Por E passemos uma reta paralela a AC e obtemos o pontoM e finalmente por E passemos uma reta paralela a reta AB e obtemos o ponto N . Dasfiguras δ e λ acima vemos facilmente que o vetor w da figura γ dado pelo segmento orientado(A,E) e soma de αu com βv, isto e w = αu + βv. Ainda na firuga γ passamos por Fuma reta paralela a reta AD e determinamos o ponto Q, vemos que o segmento orientado(A,Q) e equipolente ao segmento orientado (A,D). Portanto existe σ ∈ R tal que o vetordado pelo segmento orientado (A,Q) digamos c satisfaz c = σw. Observando na figura γ oparalelogramo AFDFQ, vemos que o segmento orientado (A,F ) que representa o vetor x,pode ser tambem ser um representante do vetor αu+ βv + σw. Portanto

x = αu+ βv + σw.

• Se um vetor v e Combinacao Linear dos vetores u1, u2, · · · , un, diremos que v e geradopelos vetores u1, u2, · · · , un.Note que, no caso acima o vetor x e gerado por u, v, w. Ainda mais, pela construcao podemosver que qualquer sequencia com tres vetores LI em IE3, e capaz de gerar todos vetores deIE3.

EXERCICIOS

1. De cada uma das matriz se abaixo Calcule a matriz cofatora, adjunta classica e coma Definicao 1.7 calcule o determinante. Em seguida calcule a matriz inversa caso elaexista.

A =

1 3 11 0 12 1 4

, B =

−1 0 −21 −1 20 1 −1

, C =

−1 −1 0 −2−2 1 −1 20 1 −1 12 −2 −1 0

,

Para cada uma das matrizes acima calcule a sua inversa usando escalonamento dematriz.

2. Suponha que os vetores de S = {u, v} nao sao paralelos. Se x = u+ 2v y = −u− 2v,

a: Verifique se S = {x, y} sao paralelos.

b : Verifique se o vetor z = 3x− 2y e gerado pelos vetores de S.

3. Suponha que S = {u, v} e Linearmente Independente (L.I.). Se x = u+3v y = 5u−3v,

a: Verifique se S = {x, y} e Linearmente Independente.

2.1. VETORES 35

b : Verifique se o vetor z = 3v − 2u e gerado pelos vetores de S.

4. Suponha que S = {u, v, w} e L.I..

a : Verifique se S0 = {u − 3v + w; −u + 3v − 2w; 3u − 3v + 2w} e LinearmenteIndependente.

b: Verifique se o vetor u+ 3v − 4w e gerado pelos vetores de S0.

c: De condicao sobre α ∈ R para que o vetor u+αv− 4w seja gerado pelos vetores deS0.

2.1.4 Bases e Dimensao

Definicao 2.18. Qualquer sequencia com tres vetores (e1, e2, e3) que seja LI em IE3 e de-nominada base de IE3.

e1

e2

e3

��

��

��+

AAAAAAK

Considere a terna ordenada de vetores B = (e1, e2, e3) ∈ IE3, LI (portanto uma base deIE3) entao pelo que ja vimos qualquer outro vetor u ∈ IE3 e gerado por (e1, e2, e3), em outraspalavras existe uma terna ordenada de numeros reais (a1, a2, a3) tais que

u = a1e1 + a2e2 + a3e3

a terna de numeros reais (a1, a2, a3) e denominada Coordenadas de u na Base B ou ascoordenada de u em relacao a base B. Indicamos (a1, a2, a3)B e observamos que as coorde-nadas de um vetor dependem da ordem que se apresenta a terna de vetores na base B , poristo uzamos o termo terna ordenada de numeros reais

• Adicao de vetores Se u = ae1 + be2 + ce3 e v = αe1 + βe2 + γe3, entao

u+ v = (a+ α)e1 + (b+ β)e2 + (c+ γ)e3

.• Multiplicacao por Escalar se λ ∈ R e u = ae1 + be2 + ce3, entao

λu = λae1 + λbe2 + λce3

∗ As coordenadas do vetor nulo sao (0, 0, 0) independentemente da base.

Proposicao 2.4. Dois vetores u = ae1+be2+ce3 e v = αe1+βe2+γe3 sao LD se e somentese as (a, b, c) forem proporcionais a (α, β, γ).


Prova : (→) Se u ou v for o vetor nulo entao, suponhamos que u = 0 entao u =(0, 0, 0)B e por hipotese existe λ ∈ R tal que λv = u. Ao tomarmos λ = 0 veremos queλv = 0(αe1+βe2+γe3) = (0, 0, 0) = 0 = u. Note que λ(α, β, γ) = (0, 0, 0) sao as coordenadasde u na base B. Se vetores u ou v forem nao nulos, como por hipotese existe λ ∈ R tal queλv = u, teremos

(λa, λb, λc) = (α, β, γ).

Consequentemente as coordenadas de u ou v sao proporcionais. A reıproca e trivial.

Proposicao 2.5. Suponha que {e1, e2, e3} e um conjunto LI. Considere o conjunto S ={u, v, w} cujos tres vetores sao dados por u = ae1 + be2 + ce3, v = αe1 + βe2 + γe3 ew = me1 + ne2 + pe3. S e LI se e somente se det(A) = 0, onde

A =

a α mb β nc γ p

.

Prova: Seja x, y, z numeros reais. Consideremos a COMBINACAO LINEAR NULAvetores de S dada por xu+ yv + zw = 0. Da definicao de u, v e w tem-se

x(ae1 + be2 + ce3) + y(αe1 + βe2 + γe3) + z(me1 + ne2 + pe3) = 0.

O que nos da

[ax+ αy +mz]e1 + [bx+ βy + nz]e2 + [cx+ γy + pz]e3 = 0.

Mas aqui temos uma COMBINACAO LINEAR NULA dos vetores do conjunto {e1, e2, e3}que e LI por hipotese. Entao, os coeficientes desta COMBINACAO LINEAR NULA ter aoque ser nulos, isto e

ax+ αy +mz = 0bx+ βy + nz = 0cx+ γy + pz = 0.

ou seja a α zx β nc γ z

xyz

=

000

.

Este sistema homogeneo tera uma unica solucao se e somente det(A) = 0. Podemos verfacilmente que a solucao para este sietema e {(0, 0, 0)}. Potanto, S e LI se e somente sedet(A) = 0.

2.2. PRODUTO ESCALAR 37

2.2 Produto Escalar

Dados dois vetores u e v, seja θ a medida do angulo entre u e v ( ver figura)

P

u�

��

��

�

⌣

Q

θ vQ

QQQ

QQQQQs

figura A

R

Observacao 2.2. Dados dois vetores u e v, seja θ medida do angulo entre u e v, pode-se verfacilmente que o angulo entre dois vetores iguais e zero, o angulo entre o vetor u e seu vetor

oposto −u e π. Ainda, os dois vetores u e v sao perpendiculares se e somente se θ =π

2.

Considere o triangulo PQR abaixo. Suponha que θ e a medida do angulo entre os vetoresu e v

P�

∥u∥�

��

��

�

⌣

Q

θ ∥v∥

∥w∥

QQQQ

QQQQQs R

Pela lei dos cossenos temos

∥w∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2 − 2∥u∥∥v∥ cos(θ) (2.2.8)

Definicao 2.19. Dados dois vetores u, v, chama-se Produto Escalar de v por v ao numeroreal

⟨u, v⟩ = ∥u∥∥v∥ cos(θ) (2.2.9)

• Dados u, v, w vetores e λ numero real, entao(i) ⟨u+ v, w⟩ = ⟨u, v⟩+ ⟨u, w⟩,(ii) ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩,(iii) ⟨λu, v⟩ = λ⟨u, v⟩,(iv) ⟨u, λv⟩ = λ⟨u, v⟩.

• Observe que o termo do lado direito de (4.1.3) aparece na Lei dos Cossenos (ver (2.2.8)).• Segue da Observacao 2.2 que ⟨u, u⟩ = ∥u∥2 porque o angulo entre u e u e zero. Ainda,

que ⟨u,−u⟩ = −∥u∥2 porque o angulo entre u e −u e π.• Segue da Observacao 2.2 que ⟨u, v⟩ = 0 se e somente se os dois vetores u e v forem

perpendiculares


2.2.1 Projecao Ortogonal de Vetores

Consideremos a base ortonormal dois vetors u e v como na Figura ∆.

-v

f igura ∆

aA

w6

-

u

��

��

��3

A projecao ortogonal de u na direcao de v e o vetor a (ver figura ∆) que satisfaz as trescondicoes abaixo:

(i) Existe λ ∈ R, tal que a = λv.(ii) Existe um vetor w, tal que ⟨w, v⟩ = 0.(iii) u = a+ w.

(2.2.10)

Queremos determinar λ. Veja que

⟨u, v⟩ = ⟨a+ w, v⟩ = ⟨a, v⟩+ ⟨w, v⟩ = ⟨λv, v⟩ = λ⟨v, v⟩, pois ⟨w, v⟩ = 0.

vemos dai que λ =⟨u, v⟩∥v∥2

Assim,

Projuv= a =

⟨u, v⟩∥v∥2

v. (2.2.11)

2.2.2 Bases Ortogonais

Definicao 2.20. Dada uma BASE B = {e1, e2, e3} do espaco, dizemos que ela e uma BaseOrtogonal se os vetores de B forem dois a dois perpendiculares isto e

⟨e1, e2⟩ = 0, ⟨e1, e3⟩ = 0 e ⟨e2, e3⟩ = 0 (2.2.12)


e1

e3

e3-

6

��

��

2.2.3 Bases Ortonormais

Definicao 2.21. Dada uma BASE ORTOGONAL B = {e1, e2, e3} do espaco, dizemos queela e uma Base Ortonormal se os vetores de B tiverem NORMA UM (comprimento), istoe

⟨e1, e1⟩ = ∥e1∥2 = 1, ⟨e2, e2⟩ = ∥e2∥2 = 1 e ⟨e3, e3⟩ = ∥e3∥2 = 1 (2.2.13)

Consideremos uma base ortonormal B = {ı, ȷ, k} e o vetor u = xı+ yȷ+zk. Entao pode-sena figura abaixo a interpretacao geometrica da relacao do vetor u com a base B.

e1xe1

e3

u = xe1 + ye2 + ze3

ze3

e2

ye2- -

6

6

��

�

�

• Deste instante em diante INDICAREMOS BASE ORTONORMAL por

B = {ı, ȷ, k}


Seja B = {ı, ȷ, k} base ortonormal, entao u = xı + yȷ + zk.

ıxı

e3

u = xı + yȷ + zk

zk

ȷ

yȷ- -

6

6

��

�

�

Lema 2.1. Se u = xı + yȷ + zk e v = aı + bȷ + ck, entao

⟨u, v⟩ = ⟨xı + yȷ + zk, aı + bȷ + ck⟩ = ax+ by + cz (2.2.14)

Prova Segue da definicao 2.20 ⟨ı, ȷ⟩ = ⟨ȷ, k⟩ = ⟨ı, k⟩ = 0, ainda da definicao 4.5 que

⟨ı, ı⟩ = ⟨ȷ, ȷ⟩ = ⟨k, k⟩ = 1. Entao de (4.1.4) segue que

⟨u, v⟩ = ⟨xı + yȷ + zk, aı + bȷ + ck⟩ = x⟨ı, aı + bȷ + ck⟩+ y⟨ȷ, aı + bȷ + ck⟩+ z⟨k, aı + bȷ + ck⟩

= xa⟨ı, ı⟩+ xb⟨ı, ȷ⟩+ xc⟨ı, k⟩+ ya⟨ȷ, ı⟩+ yb⟨ȷ, ȷ⟩+ yc⟨ȷ, k⟩+ za⟨k, ı⟩+ zb⟨k, ȷ⟩+ zc⟨k, k⟩

= ax+ by + cz

Agora, de (4.1.6) segue, facilmente que

Projuv= a =

⟨u, v⟩∥v∥2

v =ax+ by + cz

a2 + b2 + c2· v, e que

V erso(u) =1

x2 + y2 + z2[xı + yȷ + zk]

(2.2.15)

Exemplo 2.11. Sejam u = 2ı − 3ȷ + k e v = −2ı + ȷ − 4k. Calcule ∥u∥, Versor(u), ∥v∥,⟨u, v⟩ e Proju

v.

Resolucao : Veja que ∥u∥2 = ⟨u, u⟩ = ⟨2ı− 3ȷ + k, 2ı− 3ȷ + k⟩. Entao segue de (2.2.14)que

∥u∥ =√22 + (−3)2 + 12 =

√14,


e de (2.2.15) segue que

V ersor(u) =1√14

[2ı− 3ȷ + k] =2√14

ı− 3√14

ȷ +1√14

k.

Analogamente, ∥v∥2 = ⟨v, v⟩ = ⟨−2ı + ȷ− 4k,−2ı + ȷ− 4k⟩. Entao segue de (2.2.14) que

∥u∥ =√(−2)2 + 12 + (−4)2 =

√21.

Para finalizar, segue tambem de (2.2.14) que

⟨u, v⟩ = ⟨⟨2ı− 3ȷ + k,−2ı + ȷ− 4k⟩ = 2(−2) + (−3)1 + 1(−4) = −11.

Portanto, de (2.2.15) segue que

Projuv=

−11

21[2ı + ȷ− 4k].

EXERCICIOS

1. Dados os pontos A = (−1, 2, 0), B = (−1,−1, 1) e C = (1, 2,−2).

(i) Verifique se estes pontos sao colineares.

(ii) Calcule a medida do angulo entre os vetores u = AB e v = CB.

(iii) Se w = CA, detremine a e b numeros reais tais que w = au+ bv.

2. Considere os vetores f1 = ı− 2ȷ− k; f2 = −ı + 5ȷ + k; f3 = −3ı + 2ȷ + 3k.

(i) Verifique se os vetores u = −2ı− 3ȷ + k e v = 2ı + k podem ser gerados por f1, f2e f3.

(ii) Verifique se os vetores f1, f2 e f3 geram qualquer vetor de IE3.

3. Suponha que S = {u, v, w} seja LI.

(i) Verifique se S1 = {u, u+ v, u+ v + w} e LI.

(ii) Verifique se S2 = {u− v, u+ v + w, w} e LI.

(iii) Verifique se S3 = {u− v, u− w,−u+ w} e LI.

4. i - Fixada uma base (ı, ȷ, k) sejam os vetores u = 2ı + 1ȷ + 3k , v = 0ı + 1ȷ − 1k e

w = 4ı + 5ı + 3k;

ii - Calcular m = u + v , n = u − 2v + 3w e p = u − 3v − w, e verfique se m, n, pformam uma base de IE3.

iii - Determine a e b numeros reais, para que au+ bv = w


5. Dado S = {u, v, w} LI,

(i) Verifique se A = {v − 2w + u, 2u+ v + w, u− v + cw} e LI.

(iii) Verifique se A gera o vetor v − w + u.

(ii) Verifique se A gera o vetor 3v − w + u.

(iv) - determine uma relacao entre a, b e c para que B = {v− 2w+ u, 2u+ v+ w, au−bv + cw} seja LI.

2.2.4 Produto Vetorial

Definicao 2.22. Dados u = xı + yȷ + zk e v = aı + bȷ + ck, chama-se Produto Vtorial deu por v ao vetor

u ∧ v = det

ı ȷ kx y za b c

= det

[y zb c

]ı− det

[x za c

]ȷ + det

[x ya b

]k (2.2.16)

Exemplo 2.12. Dados u = 2ı− 2ȷ + k e v = ı + 2ȷ− k, calcule u ∧ v.

Resolucao : Segue de (2.2.16) que

u ∧ v = det

ı ȷ k2 −2 11 2 −1

= det

[−2 12 −1

]ı− det

[2 11 −1

]ȷ + det

[2 −21 2

]k

Portanto, u ∧ v = 0ı− 3ȷ + 6k.

Lema 2.2. Dados u = xı + yȷ + zk e v = aı + bȷ + ck, o vetor u ∧ v e perpendicular a u eu ∧ v tambem e perpendicular a v.

Prova Devemos provar que ⟨u, u ∧ v⟩ = 0 e ⟨v, u ∧ v⟩ = 0.

⟨u, u ∧ v⟩ = x det

[y zb c

]ı− y det

[x za c

]ȷ + z det

[x ya b

]k = det

x y zx y za b c

= 0.

Ainda

⟨v, u ∧ v⟩ = a det

[y zb c

]ı− b det

[x za c

]ȷ + c det

[x ya b

]k = det

x y za b ca b c

= 0.

• O Lema 2.2 nos diz que, sempre que desejarmos encontrar um vetor perpendicular adois outros vetores LI, digamo u e v, realizamos o produto vetorial u∧ v encontramos o vetordesejado.

2.3. GEOMETRIA ANALITICA 43

2.3 Geometria Analıtica

Nosso inteesse agora e descrever as Retas e os Planos por meio de equacoes.

2.3.1 Retas

Definicao 2.23. Dados um ponto P0 = (x0, y0, z0) e um vetor nao nulo u, um ponto P =(x, y, z) perntence a reta r que passa por P0 e tem a direcao do vetor u se e somente se o

conjunto de vetores R = { P0P, u} for LD.

Vamos utilizar as coordenadas dos vetores envolvidos em uma base ortonormal. Seja

B = {ı, ȷ, k} base de IE3. Entao P0P =→

(P − P0)= (x − x0)ı + (y − y0)ȷ + (z − z0)k e

u = aı + bȷ + ck. Como R = { P0P, u} tem que ser LD, existe t ∈ R tal que P0P = tu ou

seja (x− x0)ı + (y − y0)ȷ + (z − z0)k = t(aı + bȷ + ck). Uma conta simples nos dax = x(t) = x0 + aty = y(t) = y0 + btz = z(t) = z0 + ct.

que sao conhecidas como equacoes parametricas da reta r. Assim, para determinar todos ospontos da reta r, e suficiente fazer t percorrer todos os elementos do conjunto dos numerosreias, osto e t ∈ R, Com isto definimos uma funcao F : R → R3 dada por

F (t) = (x(t), y(t), z(t)) = (x0 + at, y0 + bt, z0 + ct).

Exemplo 2.13. Seja P0 = (−1, 2, 1) e u = ı + 2ȷ− k. De as equacoes parametricas da retar qe passa por P0 e tem a direcao de u.

Resolucao A funcao F que da a reta r e dada por

F (t) = (x(t), y(t), z(t)) = (−1 + t, 2 + 2t, 1− t) t ∈ R.

e suas equacoes parametricas sao dadas porx = x(t) = −1 + ty = y(t) = 2 + 2tz = z(t) = 1− t t ∈ R.

Exemplo 2.14. De as equacoes parametricas da reta s que passa por P0 = (−1, 2, 1) eQ0 = (1, 0,−2).


Resolucao Neste caso e necessario encontrarmos um vetor que da a direcao da reta s

e que pode ser vetor→( P0Q0) =

→(Q0 − P0)= 2ı− 2ȷ− 3k. Agora temos um vetor na direcao

da reta s e um ponto pertencente a reta s. Entao

F (t) = (x(t), y(t), z(t)) = (−1 + 2t, 2− 2t, 1− 3t) t ∈ R.

e suas equacoes parametricas sao dadas porx = x(t) = −1 + 2ty = y(t) = 2− 2tz = z(t) = 1− 3t t ∈ R.

Exercıcio 2.12. Condisire os ponto P0 = (−1, 2, 1) e Q0 = (1, 0,−2) e M0 = (1,−3, 2).(i) De as equacoes parametricas da reta s que passa por P0, Q0.(ii) De as equacoes parametricas da reta s que passa por P0, M0.(iii) De as equacoes parametricas da reta s que passa por M0, Q0.

2.3.2 Planos

Definicao 2.24. Dado um plano π, um pono P0 = (x0, y0, z0) ∈ π e um vetor n = aı+ bȷ+ckperpendicular ao plano, um ponto do espaco P = (x, y, z) pertence ao plano π se e somente

se os vetores→

P0P e n} forem perpendiculares.

Entao

⟨→

P0P , n⟩ = ⟨(x− x0)ı + (y − y0)ȷ + (z − z0)k, aı + bȷ + ck⟩ = 0

Uma conta relativamente simples nos mostra que todos os pontos P = (x, y, z) do plano πtem que satisfazer a equacao

π : ax+ by + cz − [ax0 + by0 + cz0] = 0. (2.3.17)

A equacao (2.3.17) e conhecida como Equacao Geral do Plano π.

Exemplo 2.15. De a Equacao Geral do Plano π0 que passa por Po = (2,−3, 1) e e

perpendicular ao vetor n = 3ı− 2ȷ− 4k.

Resolucao Segue de (2.3.17) que o plano π0 tem Equacao Geral do Plano dada por

π : 3x− 2y − 4z − [3 · 2 + (−2)(−3) + (−4) · 1] = 0 ou seja π : 3x− 2y − 4z − 4 = 0.

Exemplo 2.16. De a Equacao Geral do Plano π1 que passa por A = (2,−3, 1), B =(1, 0,−1) e C = (0, 3, 1).

2.3. GEOMETRIA ANALITICA 45

Resolucao Neste caso e necessario termos certeza que os pontos A, B e C nao saocolineares e em seguisda determinarmos um vetor perpendicular ao lano π1. Veja que com

os pontos A, B e C conseguimos um conjunto com dois vetores digamos S = {→AB

→AC}. Os

pontos A, B e C nao serao colineares se S for LI. Depois poderemos no valer da Definicao2.22 para obtermos o vetor n que seraperpendicular ao plano π1. Pasemos al calculos.

→AB=

→(B − A)= −ı + 3ȷ− 2k e

→AC=

→(C − A)= −2ı + 6ȷ + 0k.

Como as coordenadas de→AB e

→AC nao sao proporcionais, o conjunto S = {

→AB

→AC} e LI

e assim, os pontos A, B e C nao sao colineares. Vamos usar (2.2.16) para determinarmoso

vetor→n perpendicular ao plano π1.

n =→AB ∧

→AC= det

ı ȷ k−1 3 −2−2 6 0

= det

[3 −26 0

]ı−det

[−1 −2−2 0

]ȷ+det

[−1 3−2 6

]k.

Assim, n = 12−4ıȷ − 1k e um vetor perpendicular ao plano π1. Agora, usamos o pontoB = (1, 0,−1), o vetor n, (2.3.17) e obtemos

π : 12x− 4y − z − [12 · 1 + (−4) · 0 + (−1) · (−1)] = 0,

ou seja

π : 12x− 4y − z − 13 = 0.

Exercıcio 2.13. Condisire os ponto P0 = (−1, 2, 1) e Q0 = (1, 0,−2) e M0 = (1,−3, 2) eN0 = (−1, 3,−2).

(i) De as equacao geral do plano π0 que passa por P0, Q0 e M0 .(ii) De as equacao geral do plano π0 que passa por N0, P0 e M0.(iii) De as equacao geral do plano π0 que passa por M0, Q0 e N0.(iv) De as equacoes vetorial, parametricas e simetricas da reta s que passa por M0 e que

e perpendicular ao plano π0 que passa por M0, Q0 e N0.

Exercıcio 2.14. Condisire os ponto P0 = (0, 2,−1) e Q0 = (1, 1,−2) e M0 = (1, 3, 2) eN0 = (−1,−3, 2).

(i) De as equacoes parametricas do plano π0 que passa por P0, Q0 e M0 .(ii) De a equacao vetorial do plano π0 que passa por N0, P0 e M0.(iii) De as equacoes vetorial, parametricas e geral do plano π0 que passa por M0, Q0 e

N0.(iv) De as equacoes vetorial, parametricas e simetricas da reta s que passa por N0 e que

e perpendicular ao plano π0 que passa por M0, Q0 e N0.

Capıtulo 3

ALGEBRA LINEAR

3.1 Espaco Vetorial

Definicao 3.1. Seja V um conjunto qualquer.• Uma SOMA em definida em V, e uma funcao que denotaremos pelo sinal + que toma

valores em V×V e associa valores em V, isto e + : V×V → V dada por +(u, v) = u+v ∈ V.• A Multiplicacao Por Escalar de K (Numero Real ou Complexo) e a multiplicacao de

um Numero Real ou Complexo λ por um elemento v de V que produz um valor em V e quee uma funcao que denotaremos pelo sinal ·, definida em K×V que toma valores em V, istoe · : K× V → V dada por ·(λ, v) = λ · v ∈ V (veja que K’e igual a R ou C).

Definicao 3.2. Um conjunto V e um Espaco Vetorial sobre um conjunto K se as operacoesde Soma e Multiplicacao por escalar da definicao (3.1) satisfizer todas as propriedades abaixo:

1. Dados u, v, w ∈ V, (u+ v) + w = u+ (v + w). Associativa.

2. Dados u, v ∈ V, u+ v = v + u. Comutativa.

3. Existe e ∈ V tal que e+ u = u para todo u ∈ V. Elemento Neutro.

4. Para todo u ∈ V existe u∗ ∈ V tal que u+ u∗ = e. Elemento Inverso.

5. Para todo α, β ∈ K e u ∈ V tem-se (α + β)u = αu+ βu Distributiva Multiplicativa.

6. Para todo α ∈ K e u, v ∈ V tem-se α(u+ v) = αu+ αv.

7. Para todo α, β ∈ K e u ∈ V tem-se (αβ)u = α(βu).

8. Para todo u ∈ V tem-se 1u = u.

Observacao 3.1. E bastante natural dar o nome de VETORES aos elementos de umEspaco Vetorial.

Exemplo 3.1. Considere V = E3 dado na Definicao 2.10. Suponha que em V temos aSOMA de vetores (ver Definicao 2.12) e a MULTIPLICACAO de escalar por vetor (verDefinicao 2.13).

47

48 CAPITULO 3. ALGEBRA LINEAR

Lembre-se que a SOMA de verotes tem as propriedades abaixo:

dados u, v e w em (IE3,+),

PA1 (u+ v) + w = u+ (v + w) Associativa

PA2 u+ v = v + u Comutativa

PA3 u+ 0 = u Elemento Neutro

PA4 u+ (−u) = u Elemento Oposto ou Simetrico,

e a MULTIPLICACAO de escalar por vetor tem as propriedades abaixo :

dados u, v ∈ IE3, α ∈ R β ∈ R, entaoM1 α(u+ v) = αu+ αv.

M2 (α+ β)u = αu+ βu.

M3 α(βu) = (αβ)u = β(αu).

M4 1u = u.

∗ A partir deste instante o espaco IE3 sera indicado por (IE3,+, ·) onde le-se espacoIE3 com as opercoes de Adicao e Multiplicacao por Escalar (Numero real) ou EspacoVetorial

Exemplo 3.2. Seja V = M2×2(R) conjunto das matrizes com entradas reais isto e se A ∈ Ventao A = (aij)2×2 com aij ∈ R para i, j ∈ {1, 2}. Defina em V soma usual de matrizes,isto e se A,B ∈ V, B = (bij)2×2, entao A+B = (cij)2×2 onde cada cij = aij + bij. Se K = Rdefina a multiplicacao usual de numero real por matriz, isto e se α ∈ K e A ∈ V definimosαA = (dij)2×2 onde cada dij = αaij. Pode ser verificado que V com estas operacoes de somae multiplicacao por escalar e um Espaco Vetorial

Resolucao Lembre-se que um vetor em V = M2×2(R) e uma matriz de ordem dois.Entao dados u, v ∈ V, teremos u = A2×2 e v = B2×2. Tambem neste caso quando conside-ramos u + v entendemos A + B soma de matriz. Analogamente, quando consideramos αuestmos considerando αA. Para V = M2×2(R) Espaco Vetorial temos que verificar que asoma de matrizes dois por dois satisfaz cada uma das propriedades de SOMA da Definicao3.2.

Sejam u, v, w ∈ V, onde w = C = (cij)2×2, entao

SOMA

1. (u+v)+w = (A+B)+C = (aij+bij)+cij = aij+(bij+cij) = A+(B+C) == u+(v+w).

2. u+ v = A+B = (aij + bij) = (bij + aij) = B + A = v + u.

3. Seja O = O2×2 = (0ij) matriz nula de ordem dois (ver Definicao 1.1). Obseve que

u+ 0 = A+O = (aij + 0ij) = (aij) = A = u.

3.1. ESPACO VETORIAL 49

4. Para cada u = A = (aij)2× 2 considere o vetor −u = −A = (−aij)2×2. Observe que

u+ (−u) = A+ (−A) = (aij + (−aij)) = 0ij = O.

MULTIPLICACAO

Dados α, β ∈ K temos

5. α(u+ v) = α(A+B) = α(aij + bij) = αaij + αbij = αA+ βB = αu+ βu.

6. (α + β)u = (α + β)A = (α+ β)aij = αaij + βaij = αA+ βA = αu+ βu.

7. α(βu) = α(βA) = α(βaij) = (αβ)aij) = (αβ)A.

8. 1 · u = 1 · A = (1 · aij) = (aij) = A.

Portanto, V = M2×2(R) e Espaco Vetorial.

Observacao 3.2. Tem-se muitos exemplos de conjuntos V onde se pode definir SOMA deseus elementos e MULTIPLICACAO de escalar por um elemento de V de modo a tornaro conjunto V um espaco vetorial. Mas ha conjuntos que nao pode ser espaco vetorial e asrazoes poder ser variadas. Veremos agora alguns exemplos de conjuntos que nao sao espacosvetoriais.

Exemplo 3.3. Considere o conjunto U = {(x, y) ∈ R × R, tais que x ≥ 0 e y ≥ 0}.Deifina em U a SOMA usual em R × R, isto e se u = (x, y) ∈ U e v = (a, b) ∈ U,u+ v = (x+ a; y+ b). Defina tambem a MULTIPLICACAO por escalar da seguinte forma,se α ∈ K = R, αu = α(x, y) = (αx;αy). Vamos descobrir por que U, com esta duasoperacoes nao pode ser espaco vetorial.

ResolucaoVeja que U e um subconjunto de E3 dado no exemplo 3.1.

-

6

oxO· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

oy U

Figura 3a

Veja que se u, v ∈ U, entao u + v = (x + a; y + b) e um eemento de U pois se x, y, a, b sao


numeros reais nao negativos entao x+ a e y + b tambem serao numeros reais nao negativos.Mas se α = −2, e u ∈ U, teremos αu = (−2x,−2y) e se x e y forem numeros reais naonegativos com certeza −2x e −2y nao serao numeros reais nao negativos e por esta razaoαu = (−2x,−2y) ∈ U. Isto faz com que U nao seja Espaco Vetorial.

PERGUNTA: QUAIS SAO OS SUBCONJUNTOS DE E3 QUE PODEM SERESPACOS VETORIAIS ?

1. Uma circunferencia no plano poderia ser um espaco vetorial?

2. Se f : A ⊂ R → B ⊂ R for uma funcao, o Grafico de f e um subconjunto do planocartesiano. Este conjunto poderia ser um espaco vetorial?

EXERCICIOS

1. Considere o conjunto V = {(x1, x2); x1, x2 ∈ R}. Dados (x1, x2), (y1, y2) ∈ V e λ ∈ R,defina as seguintes operacao :

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, 0) λ.(x1, x2) = (λx1, λx2).

(V,+, .) e um espaøvetorial? Justifique sua resposta.

2. Considere o conjunto V = {(x1, x2); x1, x2 ∈ R}. Mostre que (V,+, ·) nao e espacovetorial em relacao a cada uma das seguintes operacoes + e · dadas por:

(a) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) e λ · (x1, x2) = (λx1, x2).

(b) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1, x2) e λ · (x1, x2) = (λx1, λx2).

(c) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 − y1, x2 + y2) e λ · (x1, x2) = (λ2x1, λ2x2).

3. O conjunto de todos os vetores (x, y) ∈ R2, satisfazendo:

(a) x ≥ y e espaco vetorial? Justifique.

(b) xy ≥ 0 e espaco vetorial? Justifique.


(c) x ≥ 0 e y ≥ 0 e espaco vetorial? Justifique.

4. Dados V = P3(R) e W = {a+ bx− bx2 + ax3; a, b ∈ R}. Verifique se W e subespacovetorial de V .

5. Em cada item abaixo, considere as operacoes de SOMA de polinomios e multiplicacaode polinomio por escalar definidas no conjunto

V = P4(R) = {p : R → R, p polinomio de grau menor ou igual a 4} :

Em cada item e dado um subconjunto de V. Verifique se ele e espaco vetorial.

(a) O subconjunto de P4 formado pelos polinomios de grau par.

(b) O subconjunto de P4 formado pelos polinomios de grau tres.

(c) O subconjunto de P4 formado pelos polinomios que tem pelo menos uma raiz real.

6. (a) Mostre que o conjunto dos numeros complexos com as operacoes usuais e umespaco vetorial.

(b) Denote por C2 o conjunto de todos os pares ordenados de numeros complexos.Defina a adicao e a multiplicacao por escalar como em R2, exceto que os escalares saonumeros complexos. Verifique que V = C2 e espaco vetorial.

(c) Verifique se o conjunto de todos os vetores de C2 da forma (z, z) com as operacoesde (b) e espaco vetorial.

7. O conjunto de todas as matrizes 3× 3 da forma

a11 a12 13

a21 22 a23a31 32 a33

, onde a11a22a33 = 0,

com as operacoes usuais de soma e multiplicacao por escalar das matrizes e um espacovetorial?

8. Quais as seguintes subconjuntosW de Rn sao espacos vetoriais. Justifique sua resposta.

(a) W = {(x1, ..., xn) ∈ Rn; x1 ∈ Z}.

(b) W = {(x1, ..., xn) ∈ Rn; x1 = 0}.


(c) W = {(x1, ..., xn) ∈ Rn; x1 e irracional}.

(d) W = {(x1, ..., xn) ∈ Rn; xn = x21 + x2

2 + . . .+ x2n−1}.

9. Considere o conjunto V = C((a, b),R) = {f : (a, b)cont→ R}. Verifique se V e espaco

vetorial.

Quais dos seguintes subconjuntos de V e espaco vetorial. Justifique sua resposta.

(a) Todas as funcoes f tais que f(x2) = f(x)2.

(b) Todas as funcoes f tais que f(0) = f(1).

(c) Todas as funcoes f tais que f(−3) = 2 + f(1).

(d) W = {f : (a, b) → R; f(x) > 0 para todo x ∈ (a, b)}.

(e) W = {f : (a, b) → R; f(1) = 2f(5)}.

(f) W e o conjuntos de todas as funcoes contınuas em (a, b).

(g) W e o conjuntos de todas as funcoes estritamente crescentes em (a, b).

10. Seja V o espaco vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem n com as operacoesusuais de SOMA de matrizes e multiplicacao por escalar. Qual dos seguintes subcon-juntos de V sao espacos vetoriais? Justifique sua resposta.

(a) Todas as matrizes A invertıveis.

(b) Todas as matrizes A nao invertıveis.

(c) Todas as matrizes A de V tais que AB = BA , onde B ∈ V e uma dada matriz fixa.

(d) Todas as matrizes A de V tais que A2 = A.

(e) Todas as matrizes A diagonais.

(f) Todas as matrizes A tais que det(A) = 0.


3.1.1 Propriedades

Considere K = R ou C. Seja V um espaco vetorial sobre K. Indicaremos o vetor nulo de Vpor ⊙. Dados α, β ∈ K, u, v, w ∈ V. tem-se

1. Multiplicando-se qualquer escalar pelo vetor nulo obtem-se o vetor nulo, isto e, α⊙ =⊙.

Prova Sabemos que ⊙ + ⊙ = ⊙. Entao α⊙ = α(⊙ + ⊙) = α ⊙ +α⊙ . Somando−α⊙ em ambos os membros teremos ⊙ = α ⊙ +(−α⊙) = α ⊙ +α ⊙ +(−α⊙) =α⊙+(α⊙−α⊙) = α⊙+⊙ = α⊙.

2. Multiplicando-se o escalar zero por qualquer vetor obtem-se o vetor nulo, isto e, 0u = ⊙

Prova Agora, ⊙u = (0+0)u = 0u+0u. Somando −0u em ambos os membros teremos⊙ = 0u+(−⊙u) = 0u+0u+(−0u) = 0u+(0u+(−0u)) = 0u+(0u−0u) = 0u+⊙ = 0u.

3. Se a multiplicacao de um escalar por um vetor produzir u vetor nulo, entao o escalare nulo ou o vetor enulo. Isto e, se αu = ⊙ entao α = 0 ou u = ⊙.

Prova

Suponha que αu = ⊙ e α = 0, entao ⊙ = α−1⊙ = α−1(αu) = (α−1α)u = 1u = u.

4. Para escalares e vetores vale o seguinte jogo de sinais (−α)u = α(−u) = −(αu).

Prova Ha que se provar tres igualdades, sao elas

(i) (−α)u = −(αu)

(ii) α(−u) = −(αu),

(iii) (−α)u = α(−u).

Para provar a primeira delas observe que −(αu) e o vetor oposto de αu. Como (−α)u+αu = ((−α) + α)u = (−α + α)u = ⊙u = ⊙. Portanto, somando −(αu) em ambos oslados da ultima igualdade teremos (−α)u = −αu.

Para provar a segunda delas observe que ⊙ = α⊙ = α((−u) + u) = α(−u) + αuSomando −(αu) em ambos os membros teremos −(αu) = α(−u). A prova do itemtres e um exercıcio que deve ser resolvido pelo leitor.

5. (a) (α− β)u = αu− βu (b) α(u− v) = αu− αv.

6. Existe um unico vetor, aqui indicado por ⊙, em V com as propriedades do vetor nulo.

7. Para cada vetor u ∈ V existe um unico vetor em V com as propriedades do vetorsimetrico de u, que indicamos por −u.

8. Se u+ v = u+ w entao u = w.


3.1.2 Subespcos vetoriais

Definicao 3.3. Seja V um espaco vetorial sobre K. Um subconjunto W e um SUBESPACOde V se

(1) ⊙ ∈ W.(2) Se u, v ∈ W u+ v ∈ W.(3) Para todo α ∈ K e u ∈ W, αu ∈ W.

(3.1.1)

Exemplo 3.4. Considere K = R e V = R× R. Se u, v ∈ V, entao u = (x, y), v = (m,n) eu+ v = (x+m; y + n). Ainda, Se α ∈ K, αu = α(x, y) = (αx;αy). Com estas operacao desuma e multiplicacao por escalar V e um espaco vetorial. Vamos mostrar que qualquer retaque passe pela origem, isto e, passa por (0, 0) e um SUBESPACO de V.

Resolucao Se W = {(x, y) ∈ R2 tais que ax + by = 0 com a, b ∈ R}, entao W e

uma reta que passa pela origem em V. Vamos mostrar que W e subespaco de V (Wse⊂ V).

Temos que mostrar que W satisfaz os tres ıtens da Definicao 3.3.Prova do item (a) da Definicao (3.3). Tomemos o vetor nulo ⊙ = (0, 0). Veja que

a0 + b0 = 0, Portando ⊙ ∈ W.Prova do item (b) da Definicao (3.3). Se u, v ∈ W, entao ax+by = 0 e am+bn = 0. Mas

u+v = (x+m; y+n) e a(x+m)+b(y+b) = ax+am+by+bn = (ax+by)+(am+bn) = 0+0 = 0Portanto, u+ v ∈ W.

Prova do item (b) da Definicao (3.3). Se u, v ∈ W, entao ax + by = 0. Seja α ∈ K.Considere o vetor αu = (αx;αy), e calculemos αx+ bαy = α(ax+ by) = α(0) = 0 Portanto,αu ∈ W.

Teorema 3.1. Seja V e um espaco vetorial sobre K e Wse⊂ V, entao W tambem e um espaco

vetorial.

Exemplo 3.5. Considere K = R e V = R × R × R. Se u, v ∈ V, entao u = (x, y, z),v = (m,n, p) e u+v = (x+m; y+n; z+p). Ainda, se α ∈ K, αu = α(x, y, z) = (αx;αy;αz).Com estas operacoes de soma e multiplicacao por escalar V e um espaco vetorial. Vamosmostrar que qualquer todo plano π que passe pela origem, isto e, passa por (0, 0, 0) e umSUBESPACO de V.

ResolucaoComo sabemos um plano π que passa pela origem e dado por

π = {(x, y, z) ∈ V, tal que ax+ by + cz = 0, onde a, b, c ∈ R}.

1. Tomemos u = (x, y, z), v = (m,n, p) ∈ W, entao u + v = (x + m; y + n; z + p),α(x, y, z) = (αx;αy;αz e ax+ by + cz = 0 e am+ bn+ cp = 0.

Como a0 + b0 + c0 = 0, ⊙ ∈ W.

2. Tambem temos que a(x +m) + b(y + n) + c(z + p) = ax + am + by + bn + cz + cp =ax+ by + cz + am+ bn+ cp = 0 + 0 = 0. Entao, u+ v ∈ W.


3. Ainda, aαx+ bαy+ cαz = (α(ax+ by+ cz) = α0 = 0. Assim, αu ∈ R. Portanto, segueda definicao 3.3 que W

se⊂ V.

Exemplo 3.6. Considere K = R e V = Pn(R) onde n ∈ N e n > 0, e

Pn(R) = {p : R → R, p, e um polinomio, de coeficientes reais, e grau menor ou igual a n}.

Se u, v ∈ V, entao u, v e u + v e a soma usual de polinomios. Ainda, se α ∈ K, αue a multiplicacao usual de polinomio por numero real . Com estas operacoes de soma emultiplicacao por escalar V e um espaco vetorial. Vamos mostrar que se W = Pn−1(R), We um SUBESPACO de V.

Resolucao

1. Veja que se u0 = ⊙ ∈ V, u0 e o polinomio nulo, e este polinomio tem grau zero que emenor ou igual a n, mas tambem e menor ou igual a n − 1, ja que n − 1 ≥ 0. Entaou0 ∈ W.

2. Seja u, v ∈ V. Entao u = p(x) = an−1xn−1 + an−2x

n−2 · · · + a0 ∈ W, e v = q(x) =bn−1x

n−1 + bn−2xn−2 + · · · + b0 ∈ W. Por definicao de soma de polinomios u + v =

p(x) + q(x) = (an−1 + bn−1)xn−1 + (an−2 + bn−2)x

n−2 + · · · + (a0 + b0). Veja que opolinomio u+ v ∈ W.

3. Seja u ∈ W e α ∈ K. Temos αu = αp(x) = α[an−1xn−1 + an−2x

n−2 · · · + a0] =

αan−1xn−1 + αan−2x

n−2 · · ·+ αa0] ∈ W. Portanto, segue da Definicao 3.3 Wse⊂ V.

3.1.3 Geradores

Agora se faz necessario considerarmos a SOMA de mais que dois vetores,e queremos sabero que podemos produzir com esta SOMA. Vamos repetir a Definicao 2.15.

Definicao 3.4. [Ver [4]] Dado S = {u1, u2, · · ·, un} conjunto de vetores de V, dizemosque um vetor u ∈ V e COMBINACAO LINEAR dos vetores u1, u2, · · ·, un, se existirem{α1, α2, · · ·, αn} ⊂ K conjunto de escalares tais que

u = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun. (3.1.2)

∗ Se u ∈ V puder ser escrito como em 3.1.2, diremos que a u e GERADO PELOCONJUNTO S.

∗ Diremos que a COMBINACAO LINEAR

u = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun (3.1.3)


e a COMBINACAO LINEAR NULA se u = ⊙ for o vetor nulo. Neste caso dizemos que oconjunto S GERA O VETOR NULO.

• Dado um conjunto de vetores B = {u1, u2, ···, un}, ha uma maneira muito facil, digamostrivial, de se obter a COMBINACAO LINEAR NULA destes vetores, que e escolher todosos elementos da sequencia de numeros (α1, α2, · · ·, αn) = (0, 0, · · ·, 0), e assim, teremos aCOMBINACAO LINEAR

0u1 + 0u2 + · · ·+ 0un = ⊙.

Assim, vemos que o vetor nulo poder serGERADO por qualquer subconjunto de vetoresde V.

Exemplo 3.7. Considere K = R e V = Pn(R) onde n ∈ N e n > 0, e

Pn(R) = {p : R → R, p, e um polinomio, de coeficientes reais, e grau menor ou igual a n}.

Se S = {u1 = 1, u2 = t2, u3 = t3}, vemos que o polinomio p(t) = 3− 5t2 + πt3 e GERADOpelos vetores de S, pois p = u = 3u1 + (−5)u2 + πu3. Neste caso α1 = 3, α2 = −5 e α3 = π.

Exemplo 3.8. Na figura abaixo a medida de PX e a metade da medida de XR. ConsidereV = E3 e K = R. Exprima QX ∈ E3 em funcao de QP ∈ E3 e QR ∈ E3.

P��

��Q

X

QQ

QQQQ

QQQ R

Resolucao O enunciado do exercıcio nos diz que PX = 12XR, entao

QX − QP = PX =1

2XR =

1

2

(QR− QX

)MS1=

1

2QR− 1

2QX

Observe a primeira e ultima igualdade, elas no dao,

QX − QP =1

2QR− 1

2QX

Def. 2.11⇒ 3

2QX =

1

2QR + QP

Def. 2.13⇒

QX = 13QR + 3

2QP . (3.1.4)

Veja que o vetor QX e GERADO pelo conjunto S = {QR, QP} ⊂ E3 com os coeficientesα1 =

13e α2 =

32.


3.1.4 Conjunto de Geradores

Definicao 3.5. [Ver [4]]Seja V espaco vetorial sobre K. Se S = {v1, v2, · · · , vn} e um subconjunto de V, o con-

junto de todos os vetores gerados pelos vetores de S e denotado por [S] = {v ∈ V tal que v =α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn}. O conjunto S e denominado conjunto gerador do conjunto [S]

Lema 3.1. Seja V espaco vetorial sobre K. Se S = {v1, v2, · · · , vn} e um subconjunto de V,o conjunto [S] e um SUBESPACO de V ( [S]

se⊂ V) .

PROVA

1. Devemos provar que ⊙ (vetor nulo de V) e um elemento de [S]. Mas podemos verfacilmente que ⊙ = 0v1 + 0v2 + · · ·+ 0vn. Entao, ⊙ ∈ [S].

2. Sejam u, v ∈ [S]. Pela Definicao 3.4, existem α1, α2, · · ·, αn ∈ K e β1, β2, · · ·, βn ∈ Ktais que u = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn e v = β1v1 + β2v2 + · · · + βnvn. Ainda,u+ v = (α1 + β1)v1 +(α2 + β2)v2 + · · ·+(αn + βn)vn. Entao u+ v e combinacao lineardos vetores de S e assim segue da Definicao 3.5 que u+ v ∈ [S].

3. Dado λ ∈ K, λu = λα1v1 + λα2v2 + · · · + λαnvn. Entao αu e combinacao linear dosvetores de S e assim segue da Definicao 3.5 que αu ∈ [S]. Portanto, segue da Definicao

3.3 que [S]se⊂ V.

Como sabemos dos estudos de Geometria Analıtica, podemos perguntar maso conjunto S e Linearmente Independente ou Linearmente Dependente.

Observacao 3.3. Observe que se V espaco vetorial sobre K e S = {v1, v2, · · · , vn} e umsubconjunto de V, subespaco [S] de V pode ser igual a V. Neste caso S gera todo o espacovetorial V e dizemos entao que o conjunto S e um conjunto gerador de V. Se V = E3, tresvetores nao coplanares S = {e1, e2, e3} ⊂ V formam um conjunto que gera V e e LinearmenteIndependente.

3.1.5 Dependencia Linear

Definicao 3.6. Seja V um espaco vetorial sobre K. Um conjunto d de vetores S = {u1, u2, · ··, un} sera Linearmente Independente e indicaremos LI, se a unica possibilidade de seobter a COMBINACAO LINEAR NULA com os vetores u1, u2, · · ·, un for escolher (α1, α2, · ··, αn) = (0, 0, · · ·, 0).


Definicao 3.7. Seja V um espaco vetorial sobre K. Um conjunto d de vetores S = {u1, u2, · ··, un} sera Linearmente Dependente e indicaremos LI, se existir PELO MENOS UMApossibilidade de se obter a COMBINACAO LINEAR NULA com os vetores u1, u2, · · ·, un forescolher (α1, α2, · · ·, αn) = (0, 0, · · ·, 0).

Proposicao 3.1. Seja V um espaco vetorial sobre K. Um subconjunto de vetores S ={v1, v2, . . . , vn} de V e LD se e somente se algum destes vetores e combinacao linear (CL)dos demais.

Prova Suponha que {v1, v2, . . . , vn} e LD, entao pela definicao 3.7 existe uma n-uplade numeros reais (α1, α2, . . . , αn) = (0, 0, . . . , 0), isto e, pelo menos um dos αi = 0 parai = 1, 2, . . . , n, tal que

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = ⊙,

como αi = 0 para algum i = 1, 2, . . . , n, suponhamos que α1 = 0. Entao

α1v1 = −α2v2 − · · · − αnvn,

e dividindo ambos os membros por α1 teremos

v1 = −α2

α1

v2 −α3

α1

v3 − · · · − α2

α1

vn

ou seja o vetor v1 e combinacao dos demais.• Suponaha agora que um dos vetores v1, v2, . . . , vn e combinacao dos demais, podemos

supor que seja v1 este vetor, ou seja, pela definicao 3.4 existem β1, β2, . . . , βn−1 tais que

v1 = β1v2 + β2v3 + · · ·+ βn−1vn,

subtraindo v1 em ambos os membros da igualdade acima teremos

(−1)v1 + β1v2 + β2v3 + · · ·+ βn−1vn = ⊙. (3.1.5)

Note em (3.1.5) temos aCombinacao Linear Nula dos vetores v1, v2, . . . , vn com a sequencia−1, β1, β2, . . . , βn−1 de n numeros reais, e esta sequencia e nao nula, ou seja (−1, β1, β2, . . . , βn−1) =(0, 0, . . . , 0). Pela Definicao 3.7 o conjunto de vetores S]{v1, v2, . . . , vn} e Linearmete De-pendentes (LD).

Proposicao 3.2. Seja V um espaco vetorial sobre K. Se um subconjunto de vetores S ={v1, v2, . . . , vn} de V. Se S tiver um subconjunto nao vazio que for LD, entao S e LD.

PROVA Seja m ∈ N tal que 0 < m ≤ n e S0 = {v1, v2, . . . , vm}. Suponhamos que S0 eLD.

• Se m = n, entao entao S0 = S1. A prova esta encerrada.• Se 0 < m < n e S0 e LD, pela Proposicao 3.1 existe um vetor de S1 qua e combinacao

linear dos outros vetores se S1. Vamos supor o vetor de S1 que e combinacao linear dosoutros seja v1. Entao pela definicao 3.4 existem α2, α3, · · · , αm tais que

v1 = α2v2 + α3v3 + · · ·+ αmvm.


Entao, ⊙ = −v1+α2v2+α3v3+· · ·+αmvm, ou seja⊙ = −v1+α2v2+α3v3+· · ·+αmvm+0vm+1+· · · + 0vm. Neste caso temos uma combinacao linear dos vetores de {v1, v2, . . . , vm} de S0

tal que os coeficientes sao dados pelas n−upla (−1, α2, α3, · · · , αm, 0, · · · , 0) = (0, 0, · · · , 0).Potanto, segue da Definicao 3.7 que S e LD.

Proposicao 3.3. Seja V um espaco vetorial sobre K. Se um subconjunto de vetores S ={v1, v2, . . . , vn} de V e LI, entao qualquer subconjunto nao vazio de S tambem e LI.

PROVA Suponha que S tem um subconjunto B LD e nao vazio. Da Proposicao 3.2segue que S e LD. Isto e uma contradicao.

EXERCICIOS

1. Seja ABC um triangulo, e M e N pontos medios de AC e BC respectivamente. Mostreque MN = 1

2AB.

2. Seja V = R3 e K = R.

(a) Mostre que os vetores u0 = (1,−1, 0) u1 = (1, 1, 0) e u2 = (0, 1, 1) nao sao copla-nares.

(b) Encontre (α0, α1, α2) para que v = (5, 3, 4) seja GERADO por u0, u1, u2. Respα0 = 3 ,α1 = 3 e α2 = 4

(c) Encontre (α0, α1, α2) para que v = (−5, 2, 4) seja GERADO por u0, u1, u2.

3. Considere V = R3, K = R, B0 = {(1,−1, 2), (3, 0, 1)} e B1 = {(−1,−2, 3), (3, 3,−4)}.Podemos dizer que o conjunto de vetores de V que pode ser gerado por B0 e igual aoconjunto de vetores de V que podem ser gerados por B1?

4. Considere V = R4, K = R e os conjuntos B0 = {(1,−1, 2, 0), (3, 0, 1,−1)} e B1 ={(−1,−2, 3, 0), (3, 3,−4,−1)}. Podemos dizer que o conjunto de vetores de V quepode ser gerado por B0 e igual ao conjunto de vetores de V que podem ser gerados porB2?

5. Considere V = R4, K = R e os conjuntos B0 = {(1,−1, 2, 0), (3, 0, 1,−1)} e B1 ={(−1,−2, 3, 0), (3, 3,−4,−1)}.

(a) Verifique se v = (−3,−3,−4,−1) e GERADO por B0.

(b) Verifique se v = (−3,−3,−4,−1) e GERADO por B1.

(c) Podemos dizer que o conjunto de vetores de V que pode ser gerado por B0 e igualao conjunto de vetores de V que podem ser gerados por B2?


6. Considere K = R e V = P2(R)

P2(R) = {p : R → R, e polinomio, de coeficientes reais, e grau menor ou igual a 2}.

(a) Se p0(t) = 1, p1(t) = t − 1 e p2(t) = t2 − 2t + 1, encontre (α0, α1, α2) para quev(t) = 2t2 − 5t+ 6 seja GERADO por p0, p1 e p2. Resp. (α0, α1, α2) = (3,−1, 2).

(b) Se p0(t) = 1, p1(t) = −t − 1 e p2(t) = t2 + 1, encontre (α0, α1, α2) para quev(t) = 2t2 − 5t+ 6 seja GERADO por p0, p1 e p2. Compare com o item anterior.

7. Considere K = R e V = P4(R)

P4(R) = {p : R → R, p, e um polinomio, de coeficientes reais, e grau menor ou igual a 4}.

(a) Se S0 = {u1 = 1, u2 = t2 − 1, u3 = t3 + 2t}, encontre, se poss´vel, α1, α2, α3 ∈ Kpara que p1(t) = t2 + 2t seja gerado por S0.

(b) Se S1 = {u0 = 1, u1 = 3t, u2 = t2 + 1, u3 = t3 + 2t2}, encontre, se possıvel,α1, α2, α3 ∈ K para que p1(t) = t2 + 2t seja gerado por S1.

(c) Verifique se p(t) = 2t4 + 3t3 poder ser gerado por S0.

(d) Verifique se p(t) = 2t4 + 3t3 poder ser gerado por S1.

(e) Verifique se S0 e L.I..

(f) Verifique se S2 = {u0 = 1, u1 = 3t, u2 = t2 +1, u3 = t3 +2t2, u4 = 2t+3t4} e L.I. .

8. Considere V = M2(R), K = R e os vetores

u0 =

(1 00 1

), u1 =

(1 10 0

), u2 =

(0 01 1

), u3 =

(0 11 2

)

(a) Verifique se u =

(−2 3−1 2

)pode ser GERADO pelos vetores u0, u1, u2, u3.

(b) De condicoes para que x, y ∈ R para que u =

(x 3−1 y

)seja GERADO pelos

vetores u0, u1, u2, u3 .

(c) De condicoes para que x, y, z, w ∈ R para que u =

(x yz w

)seja GERADO pelos

vetores u0, u1, u2, u3. Podemos dizer que os vetores u0, u1, u2, u3 GERAM todos osvetores de V?

3.1.6 Soma e Interceccao de Subespacos

Definicao 3.8. Sejam W1 e W2 dois subespacos de um espaco vetorial V.


1. Definimos a soma dos subespacos, W1+W2 , como sendo o conjunto de todos os vetoresde

V que sao soma de um elemento de W1 com um elemento de W2 , ou seja,

W1 +W2 = {w ∈ V tal que w = u+ v com u ∈ W1 e v ∈ W2}

2. Se o espaco V e tal que

V = W1 +W2 e W1 ∩W2 = {⊙},

dizemos que V e soma direta de W1 e W2 e denotamos por V = W1 ⊕W2.

Lema 3.2. Se V for espaco vetorial sobre K e W1 e W2 forem subespacos de V, entaoW1 ⊕W2 tambem e subespaco de V.

PROVA

1. Seja u0 = ⊙ ∈ V. Como W1 e W2 sao subespacos de V, u0 ∈ W1 ∩W2 e u0 = ⊙+⊙.Segue da Definicao 3.8 que u0 = ⊙ ∈ W1 +W2.

2. Sejam u ∈ W1+W2 e v ∈ W1+W2. Segue da Definicao 3.8 que que existem u1, v1 ∈ W1

e u2, v2 ∈ W2 tais que u = u1 + u2 e v = v1 + v2. Queremos mostrar que u+ v e somade um vetor em W1 com outro em W2. Um calculo simples mostra que

u+ v = u1 + u2 + v1 + v2 = (u1 + v1)︸︷︷︸∈W1

+(u2 + v2)︸︷︷︸∈W2

.

Entao u+ v e soma de um vetor de W1 com um vetor de W2. Segue da Definicao 3.8que u+ v ∈ W1 +W2.

3. Sejam λ ∈ K e ω ∈ W1 +W2. Segue da Definicao 3.8 que existe u1,∈ W1 e u2,∈ W2

tais que u = u1 + u2. Devemos mostras que λu e soma de um vetor em W1 com outrovetor em W2. Mas λu = λ(u1 + u2) = λu1 + λu2. Como λu1 ∈ W1 e λu2 ∈ W2, segue

da Definicao 3.8 que λu ∈ W1 +W2. Portanto, pela Definicao 3.3 W1 +W2

se⊂ V.

Lema 3.3. Se V for espaco vetorial sobre K e W1 e W2 forem subespacos de V, entaoW1 ∩W2 tambem e subespaco de V.

A prova e trivial.

Exemplo 3.9. Seja V = R4 e K = R. Considere a soma usual em V e a multiplicacaousual de escalar de K por vetor de V. Se S = {u1 = (1, 1, 0, 2);u2 = (−2,−2, 1,−5);u3 =(1, 1, 1,−1)}.

a : Verifique se S e um conjunto Linearmente Independente.b : Encontre um sistema linear homogeneo cujo conjunto solucao e o subespaco [S].

Resolucao


1. Vejamos se S e Linearmente Independente. Sejam β1, β2, β3 ∈ K tais que β1(1, 1, 0, 2)+β2(−2,−2, 1,−5)+β3(1, 1, 1,−1) = ⊙ = (0, 0, 0, 0). Entao a terna (β1, β2, β3) tem queser solucao para o sistema

(S)

β1 − 2β2 + β3 = 0β1 − 2β2 + β3 = 00β1 + β2 + β3 = 02β1 − 5β2 − β3 = 0

que e equivalente a (S0)

β1 − 2β2 + β3 = 00β1 + β2 + β3 = 02β1 − 5β2 − β3 = 0

Mas a matriz do sistema (S0) e dada por

A =

1 −2 10 1 12 −5 −1

que tem determinante diferente de zero. Portanto, o sistema (S0) em uma unicasolucao, que e (β1, β2, β3) = (0, 0, 0, ). Da Definicao 3.6 segue que S e LinearmenteIndependente.

2. Como queremos um sistema linear homogeneo cujo conjunto solucao e o subespacoW = [S], e suficiente encontrar todos os vetores u = (x, y, z, w) ∈ V tal que o conjuntoformado pelos vetores de S ∪ {u} seja Linearmente Dependente (ver Definicao 3.7).Para isto, podemos nos valer da seguinte tecnica. Como S e Linearmente Lndependentemontamos uma matriz M cujas linhas sao as coordenadas dos vetores de S ∪{u}, coma ultima linha tendo as coordenada vo vetoro u, escalonamos M e impomos que ultimalinha seja nula.

A =

1 1 0 2

−2 −2 1 −51 1 1 −1x y z w

∼

L1 = l1L2 = 2l1 + l2L3 = l1 − l3L4 = xl1 − l4

1 1 0 20 0 1 −10 0 −1 30 −x+ y −z 2x− w

∼

L1 = l1L2 = l4L=l2L4 = l2 + l3

1 1 0 20 −x+ y −z 2x− w0 0 1 −10 0 0 2

Veja que os vetores do conjunto S ∪ {u} serao Linearmente Dependentes se x− y = 0,z = 0 e 2x− w = 0, Assim, como z = 0,

W = [S] = {(x, y, z, w) ∈ V tais que x− y = 0, z = 0 e 2x− w = 0} (3.1.6)

Portanto, W e dado pelo conjunto solucao do sistema


(S) ∼

−x+ y = 02x− w = 0z = 0.

Veja que no Exemplo 3.9 o subespaco [S] e gerado pelo conjunto S e este conjunto tambeme Linearmente Independente. Quando estudamos o espaco E3 vimos que se um subconjuntoB de E3 fosse Linearmente Independente e gerasse E3 este subconjunto B era denominadoBASE DE E3 (ver Definicao 2.18).

Observacao 3.4. O item b do Exemplo 3.9 e importante por que para se calcular ainterseccao entre dois subespacos e necessario primeiramente descrever cada um dos doissubespacos como o conjunto solucao de um sistema linear homogeneo.

Exemplo 3.10. Sejam V = R4, W o subespaco de V dado por (3.1.6) e U = {(x, y, z, w) ∈V tais que x− 2y + 3z +w = 0 e − x+ 2y − z −w = 0. Calcule W ∩U, W+U e verifiquese esta soma e SOMA DIRETA.

Resolucao Devemos encontrar todos os vetores u = (x, y, z, w) ∈ V que estejam si-multaneamente em W e U. Entao queremos os vetores cujas coordenadas estao no conjuntosolucao do sistema linear do por

(S∗) ∼

−x+ y − z + 0w = 0−3x+ y + 0z + w = 00x+ 0y + z + 0w = 0x− 2y + 3z + w = 0−x+ 2y − z − w = 0

como z = 0 ∼

−x+ y + 0w = 03x+ y + w = 0x− 2y + w = 0−x+ 2y − w = 0

(S) ∼

as duasultimasequacoes saoequivalentes

∼

−x+ y + 0w = 03x+ y + w = 0x− 2y + w = 0

Como o determinante da matriz −1 1 03 1 11 −2 0

e dois (2), o sistema (S) tem uma unica solucao. Entao o conjunto solucao para o sistema(S∗) que equivalente ao sistema (S) e U ∩W = {(0, 0, 0, 0)} = {⊙}. Segue da Definicao 3.8que soma U+W e SOMA DIRETA ou seja U⊕W. O calculo da soma U+W e exercıciopara o leitor.

3.1.7 Base e Dimensao

Definicao 3.9. Seja (V,K) e B = {v1, v2, · · · , vn} ⊂ V. Dizemos que B e uma BASE deV se

1. V e gerado por B.


2. B e Linearmente Independente.

Exemplo 3.11. Se V = E3 e K = R, V e espaco Vetorial sobre K, seja B = {e1 = ı, e2 =

ȷ, e3 = k}. Se os vetores e1, e2, e3 nao sao coplanares, entao B gera E3 e e LinearmaenteIndependentes. Segue da Definicao 3.9 que B e BASE de V.

Exemplo 3.12. Se V = Rn e K = R, V e espaco Vetorial sobre K, seja B = {e1 =(1, 0, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, 0, · · · , 0) · · · , e3 = (0, 0, 0, · · · , 1)}. Se os vetores e1, e2, · · · , en,entao pode-se ver facilmente B gera Rn e e Linearmaente Independentes. Segue da Definicao3.9 que B e BASE de V.

Exemplo 3.13. Se V = Pn(R) e K = R, V e espaco Vetorial sobre K, seja B = {e1 = 1, e2 =t · · · , e3 = tn}. E facil ver que os vetores e1, e2, · · · , en, søLinearmente Independentes equeB gera V. Segue da Definicao 3.9 que B e BASE de V.

Observacao 3.5. As BASES dos Exemplos 3.11,3.12 e 3.13 sao as BASES CANONICASdos respectivos Espacos Vetoriais.

3.1.8 Coordenadas

Definicao 3.10. Seja (V,K) se B = {v1, v2, · · · , vn} ⊂ V e uma BASE de V entao comoB gera V, dado ω ∈ V, existem β1, β2, · · · , βn ∈ K tais que

ω = β1v1 + β2v2 + · · ·+ βnvn. (3.1.7)

e (β1, β2, · · · , βn) sao denominadas coordenadas de ω na base B.

Exemplo 3.14. Se V = Rn, K = R ou C e ω = (ao, a1, · · · , an),com a0, a1, · · · , an ∈K, como B = {e1, e2, · · · , en} dado no Exemplo 3.12 e BASE CANONICA de V,(a0, a1, · · · , an) sao as Coordenadas Canonicas do vetor ω na base B.

Exemplo 3.15. Se V = P (Rn), K = R ou C e ω = p(x) = ao + a1x1 + · · · + anx

n, coma0, a1, · · · , an ∈ K, como B = {1, x, · · · , xn} e BASE CANONICA de V, (a0, a1, · · · , an)sao as Coordenadas Canonicas do vetor ω na base B.

EXERCICIOS

1. Seja V = R5 e K = R. Considere a soma usual em V e a multiplicacao usual de escalarde K por vetor de V. Se W = S = {u1 = (1,−1,−1, 2, 0);u2 = (1,−2,−2, 0,−3);u3 =(1,−1,−2,−2, 1)}.a : Verifique se S e um conjunto Linearmente Independente.

b : Encontre um sistema linear homogeneo cujo conjunto solucao e o subespaco [S].(Sugestao Siga os passos do Exemplo 3.9).

2. Seja V = R5 e K = R. Considere a soma usual em V e a multiplicacao usual de escalarde K por vetor de V. Se U = S = {u1 = (1,−2,−3, 1,−2);u2 = (1,−1,−3, 2,−4);u3 =(1,−1,−2,−2, 5), u4 = (3,−4,−8, 1,−1)}.a : Verifique se S e um conjunto Linearmente Independente.

b : Encontre um sistema linear homogeneo cujo conjunto solucao e o subespaco [S].


3. Considere os subespacos W e U dos Exercıcios 1 e 2. Calcule W + U e verifique se aesta soma e direta. Calcule W ∩ U.

4. Seja V = Pn(R5) e K = R. Considere a soma usual em V e a multiplicacao usual deescalar de K por vetor de V. Se U = S = {u1 = t3 + 4t2 − t+ 3; u2 = t3 + 5t+ 5; u3 =3t3 + 10t2 − 5t+ 5}.a : Verifique se S e um conjunto Linearmente Independente.


5. Seja V = Pn(R5) e K = R. Considere a soma usual em V e a multiplicacao usual deescalar de K por vetor de V. Se U = S = {u1 = t3 +4t2 +6;u2 = t3 +2t2 − t+5;u3 =2t3 + 2t2 − 3t+ 9}.a : Verifique se S e um conjunto Linearmente Independente.


6. Considere os subespacos W e U dos Exercıcios 4 e 5. Calcule W + U e verifique se aesta soma e direta. Calcule W ∩ U.

7. De a base canonica para V = M2×2(R) com K = R. Tome a soma e multiplicacao porescalar usuais.

8. De a base canonica para V = M2×2(R) com K = C. Tome a soma e multiplicacao porescalar usuais.

9. De a base canonica para V = Mn×m(R) com K = R. Tome a soma e multiplicacao porescalar usuais.

10. De a base canonica para V = Mn×m(R) com K = C. Tome a soma e multiplicacao porescalar usuais.

Teorema 3.2. Seja (V,K), S0 = {u1, u2, · · · , un} ⊂ V . Entao

1. Sejam S0, S1 subconjuntos de V. Se S0 ⊂ S1, entao [S0] ⊂ [S1]

2. Se u ∈ V e gerado por S0 entao [S0] = [S0 ∪ {u}].

Prova Vamos provar 1. Seja u ∈ [S0] entao existem β1, β2, · · · , βn ∈ K tais que u =β1u1 + β2u2 + · · ·+ βnun. Como S0 ⊂ S1, β1u1 + β2u2 + · · ·+ βnun ∈ [S1]. Assim, u ∈ [S1].

Vamos provar 2. Devemos provar que [S0] ⊂ [S0 ∪ {u}] e [S0 ∪ {u}] ⊂ [S0]. A primeiradsta inclusoes e segue do item 1 porque S0 ⊂ S0∪{u}. Vamos provar a outras inclusao. Sejav ∈ [S0 ∪ {u}]. Entao existem α1, α2, · · · , αn, β ∈ K tais que

v = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun + βu. (3.1.8)

Mas por hipootese u ∈ [S]. Pela Definicao 3.1 existem γ1, γ2, · · · , γn ∈ K tais que u =γ1u1 + γ2u2 + · · · , γnun. Substituindo esta expressao em (3.1.8) teremos


v = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun + β(γ1u1 + γ2u2 + · · · , γnun) =

(α2 + βγ1)u1 + (α2 + βγ1)u2 + · · ·+ (αn + βγn)un

Entao, u e gerado pelos vetores de S0. Portanto, u ∈ [S0]

Exemplo 3.16. Seja V = E3. Como sabemos B0 = {ı; ȷ; k} e uma base para V, Entao Bgera V e e Linearmente Independente. Seja B1 = {ı; ȷ; k} ∪ {u = 2ı− ȷ + 3k}. Pelo Teorema3.2 o conjunto B1 tambem gera E3.

Exemplo 3.17. Seja V = R4. Seja B0 = {e1 = (−1, 2, 0, 3), e2 = (−3, 0,−1, 2); e3 =(1, 4, 1, 4); e3 = (−1, 1,−1, 1)}

1. B0 e base de V?

2. Seja B1 = {e1, e2, e4}. Mostre que [B1] = [B0].

Resolucao Veja que e3 = 2e1 + e2, Assim sendo, nao e Linearmente Independente, eentao segue da Definicao 3.9, B0 nao poder ser BASE de nenhum espaco vetorial. Tambempode ser visto facilmente que B1 ⊂ B0. Pelo Teorema 3.2 [B1] = [B0].

Teorema 3.3. Seja (V,K) e dim(V) = n. Se W e U forem supbespacos de V entao

1. Se B = {w1, w2. · · ·wr} gera W e C = {u1, u2. · · ·us} gera U, entao F = B ∪ C geraW+ U.

2.dim(W+ U) = dim(W) + dim(U)− dim(W ∩ U). (3.1.9)

A prova do segundo item deste Teorema pode ser encontrada em [4] pagina 82.

Exemplo 3.18. Seja V = R4 com soma e mutiplicacao por escalar usuais. ConsidereW = {[e1 = (1, 0, 1, 0); e2(0, 1, 0, 0)]} e U = {(x, y, z, u) ∈ R4, tal que x + y = 0}. De adimensao de W ∩ U e W+ U.

Resolucao

1. Vemos facilmentre que B = {[e1 = (1, 0, 1, 0); e2(0, 1, 0, 0)]} e base de W. Portantodim(W) = 2.

2. Se u ∈ U, u = (x, y, z, u) e x = −y. Entao (x, y, z, u) = (x,−x, z, u) = (x,−x, 0, 0) +(0, 0, z, 0) + (0, 0, 0, u) = x(1,−1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 0) + u(0, 0, 0, 1). Entao mo conjuntoC = {f1 = (1,−1, 0, 0); f2 = (0, 0, 1, 0); f3 = (0, 0, 0, 1)} gera o subespaco U. Podemosver facilmente que o conjuno C e L.I.. Portanto, dim(U) = 3.

3. Agora usamos a primeira parte do Teorema 3.3 e escolhemos os vetores L.I. no conjuntoF = {e1, e2, f1, f2, f3}. Por escalonamento de Matriz obtemos


1 0 1 00 1 0 01 −1 0 00 0 1 00 0 0 1

∼

L1 = l1L2 = l2L3 = l1 − l2 − l3L4 = l5L5 = l1 − l2 − l4

1 0 1 00 1 0 00 0 1 00 0 0 11 −1 0 0

∼

L1 = l1L2 = l2L3 = l3L4 = l4L5 = −l1 + l2 + l3 + l4

1 0 1 00 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

assim, se E = {(1, 0, 1, 0); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0); (0, 0, 0, 1)}, E e L.I., gera W + U. Entaodim(W + U) = 4. Temos dim(W) = 2, dim(U) = 3 e dim(W + U) = 4, da segunda partedo Teorema 3.3 segue que dim(W∩U) = 1. Portanto, W∩U = {⊙}, segue da Definicao 3.8que soma W+ U nao e direta.

EXERCICIOS

1. Da a uma base e a dimensao do subespacoW de R4 ondeW = {(x, y, z, t) ∈ R4 tal que x−y = y e x− 4y + t = 0}.

2. Mostre que B0 = {e0 = 1, e1 = 1+ t; e2 = 1− t2 e e3 = 1− t− t3− t3} e uma base paraP3(R) com soma e multiplicacao por escalar usuais.

3. Determinar uma base e a dimensao do espaco gerado pelo conjunto solucao de cadaum dos seguintes sistemas lineares.

a)

x− y = 0,2x− y = 0,3x+ 1

2y = 0

(b)

x+ y + z = 0,2x− y − 2z = 0,3x+ 4y + 5z = 0,

(d)

2x− 2y + z = 0,3x− y + 3z = 0,3y + 4z = 0.

4. No caso que V = R4 com soma e multiplicacao por escalar usuais, considere os su-bespacos de V dados por

W0 = {(x, y, z, v) ∈ R4 tal que x = 0},W1 = {(x, y, z, v) ∈ R4 tal que y − 2z = 0}W2 = [(1, 1, 0, 0); (0, 0− 1, 2), (−1, 1, 0, 2)].

Determinar base e dimensao dos seguinte subespacos: W0, W1, W2, W0+W1, W0∩W1;W0 ∪W1 e W0 +W1 +W2.

Capıtulo 4

Espacos Euclidianos

4.1 Produto Esalar

Definicao 4.1. Seja (V,K), com V finitamente gerado. Dados dois vetores u, v ∈ V, Pro-duto Escalar de v por v e o valor de uma funcao ⟨· ; ·⟩ : V× V → K que satisfaca

(i) ⟨u+ v, w⟩ = ⟨u, v⟩+ ⟨u,w⟩,(ii) ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩,(iii) ⟨λu, v⟩ = λ⟨u, v⟩,(iv) ⟨u, u⟩, e um numero real nao negativo, e , ⟨u, u⟩ = 0, se e somente se u = ⊙,

Propriedade do Produto Escalar

Seja (V,K = R) e u, v, w ∈ V

1. ⟨⊙;u⟩ = 0

Prova Como sabemos 0u = ⊙ para todo u ∈ V. Agora, ⟨⊙;u⟩ = ⟨0u;u⟩ = 0⟨u;u⟩ = 0.

2. ⟨u;λv⟩ = λ⟨u; v⟩.Prova Como sabemos ⟨u; v⟩ = ⟨v;u⟩. Agora, ⟨u;λv⟩ = ⟨λv;u⟩ = λ⟨v;u⟩ = λ⟨u; v⟩.

3. ⟨u;w + v⟩ = λu;w⟩+ λu; v⟩.Prova Como sabemos ⟨u; v⟩ = ⟨v;u⟩. Agora, ⟨u; v+w⟩ = ⟨v+w;u⟩ = ⟨v;u⟩+⟨w;u⟩ =⟨u; v⟩+ ⟨u;w⟩.

Definicao 4.2. Seja (V,K), com V finitamente gerado. Dado u ∈ V indica-se por ∥u∥ ocomprimento do vetor u que e dado por

∥u∥ =√

⟨u, u⟩ (4.1.1)

Lema 4.1. Seja (V,K), com V finitamente gerado (K = R). Dado u,∈ V, e λ ∈ K,∥λu∥ = |λ|∥u∥.

69

70 CAPITULO 4. ESPACOS EUCLIDIANOS

Prova Como ∥λu∥ =√⟨λu, λu⟩ =

√λ2⟨u, u⟩ = |λ|

√⟨u, u⟩ = |λ|∥u∥.

Lema 4.2. Desigualdade de Cauchy-Schwarz Seja (V,K), com V finitamente gerado(K = R). Dado u,∈ V,

|⟨u, v⟩| ≤ ∥u∥∥v∥ (4.1.2)

.

Prova Segue do primeiro item da Definicao4.1 que ⟨u+λv;u+λv⟩ = ⟨u;u+λv⟩+⟨λv;u+λv⟩ = ⟨u+ λv;u⟩+ λ⟨v;u+ λv⟩ = ⟨u;u⟩+ λ⟨u; v⟩+ λ[⟨u; v⟩+ λ⟨v; v⟩] = ⟨u;u⟩+ 2λ⟨u; v⟩+λ2⟨v; v⟩. Agora segue de (4.1.1) que ⟨u + λv;u + λv⟩ = ∥u∥2 + 2λ⟨u; v⟩ + λ2∥v∥2. Veja que(4.1.1) implica que ⟨u+λv;u+λv⟩ = ∥u+λv∥2 ≥ 0 para todo uv ∈ V e λ ∈ K = R. Entao,

∥u∥2 + 2λ⟨u; v⟩+ λ2∥v∥2 ≥ 0, para todo u, v ∈ V, λ ∈ K = R

Portanto, temos uma equacao do segundo grau que deve ser no negativa para todo lambda ∈K = R, ou seja devemos ter ∆ = [2λ⟨u; v⟩]2 − 4∥u∥2∥v∥2 ≤ 0. O que e equivalente a

|⟨u, v⟩| ≤ ∥u∥∥v∥.

Observacao 4.1. Como |⟨u, v⟩| ≤ ∥u∥∥v∥, −1 ≤ ⟨u, v⟩∥u∥∥v∥

≤ 1, entao podemos definir o

angulo θ entre u e v como o agulo cujos cosseno e dado por

cos(θ) =⟨u, v⟩∥u∥∥v∥ (4.1.3)

Exemplo 4.1. Suponha que V = Pn([0, 1]), e p ∈ V se p : [0, 1]polinomio→ R com ∂(p) ≤ n

e K = R. Dados p, q ∈ V, defina ⟨p; q⟩ =

∫ 1

0

p(t)q(t)dt. Entao ⟨p; q⟩ a e um Produto

Escalar em V.

Prova Temos que verificar as quatro condicoes da Definicao 4.1.

1. Sejam p, q, d ∈ V,

⟨p; q + d⟩ =∫ 1

0

p(t)[q(t) + d(t)]dt =

∫ 1

0

p(t)q(t)dt+

∫ 1

0

p(t)d(t)]dt = ⟨p; q⟩+ ⟨p; d⟩.

2. Para todo p, q ∈ V,

⟨p; q⟩ =∫ 1

0

p(t)q(t)dt =

∫ 1

0

q(t)p(t)dt = ⟨q; p⟩.

4.1. PRODUTO ESALAR 71

3. Dados p ∈ V e λ ∈ K,

⟨λp; q⟩ =∫ 1

0

λp(t)q(t)dt = λ

∫ 1

0

q(t)p(t)dt = λ⟨q; p⟩.

Finalmente,

4.

⟨p; p⟩ =∫ 1

0

p(t)p(t)dt =

∫ 1

0

(p(t))2dt.

Esta integral e nao negativa, e

∫ 1

0

(p(t))2dt = 0 somente de p for p polinomio nulo.

Exemplo 4.2. Suponha que V = P3([0, 1]), e p ∈ V se p : [0, 1]polinomio→ R com ∂(p) ≤ 3 e

K = R. Sejam p(t) = 1− t2, q(t) = 1 + t2, Calcule

1. ⟨p; q⟩ =∫ 1

0

p(t)q(t)dt.

2. ∥p∥ = ⟨p; p⟩ =∫ 1

0

p(t)p(t)dt.

3. ∥p∥ = ⟨q; q⟩ =∫ 1

0

q(t)p(t)dt.

4. O angulo entre p e q.

Resolucao

1. Observe que

∫ 1

0

p(t)q(t)dt =

∫ 1

0

(1−t2)(1+t2)dt =

∫ 1

0

(1−t4)dt = t−1

5t5∣∣∣10= 1−1

5=

4

5,

entao ⟨p; q⟩ = 4

5.

2. Como

∫ 1

0

p(t)p(t)dt =

∫ 1

0

(1− 2t+ t2)dt = 1− 2

3t+

1

5t3∣∣∣10= 1− 2

3+

1

5=

15− 10 + 3

15,

tem-se ∥p∥2 = 8

15.

3. Veja que

∫ 1

0

q(t)q(t)dt =

∫ 1

0

(1+2t+ t2)dt = 1+2

3t+

1

5t3∣∣∣10= 1+

2

3+1

5=

15 + 10 + 3

15,

entao ∥q∥2 = 28

15.

4. Finalmente, segue dos tres ıtens acima que

cos(θ) =⟨u, v⟩∥u∥∥v∥

=

4

5√8√15

·√28√15

=4 · 15

2√2 · 4

√7=

15

2√14

.


Como cos(θ) > 0, o angulo entre p e q e um angulo agudo.

• Segue da Observacao 4.1 se que ⟨ u, u⟩ = ∥u∥2, o angulo entre u e u e zero. Ainda, que⟨u,−u⟩ = −∥u∥2 porque o angulo entre u e −u e π.

• Segue da Observacao 4.1 que ⟨u, v⟩ = 0 se e somente se os dois vetores u e v foremperpendiculares

Observacao 4.2. A desigualdade dada no Lema 4.2 foi provada pela primeira vez em 1821por Augustin Cauchy, enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi provadapor Viktor Yakovlevich Bunyakovsky em 1859 e em 1888 a desigualdade foi redescoberta porHermann Amandus Schwarz e da, o nome de desigualdade de Cauchy-Schwarz.

4.1.1 Projecao Ortogonal de Vetores

Vimos ateriormente que se V = E3 e tivessemos dois vetores u e v como na Figura ∆.

-v

f igura ∆

aA

w6

-

u

��

��

��3

A projecao ortogonal de u na direcao de v e o vetor a (ver figura ∆) que satisfaz as trescondicoes abaixo:

(i) Existe λ ∈ R, tal que a = λv.(ii) Existe um vetor w, tal que ⟨w, v⟩ = 0.(iii) u = a+ w.

(4.1.4)

Queremos determinar λ. Veja que

⟨u, v⟩ = ⟨a+ w, v⟩ = ⟨a, v⟩+ ⟨w, v⟩ = ⟨λv, v⟩ = λ⟨v, v⟩, pois ⟨w, v⟩ = 0.

vemos dai que λ =⟨u, v⟩∥v∥2

Assim,

Projuv= a =

⟨u, v⟩∥v∥2

v. (4.1.5)

Agora nos perdemos parte da nocaogeometrica do espaco V = E3.


Definicao 4.3. Seja (V,K), com V finitamente gerado. Dados u, v ∈ V a projecao ortogonalde u na direcao de v e o vetor

Projuv= a =

⟨u, v⟩∥v∥2

v. (4.1.6)

Exemplo 4.3. Suponha que V = P3([0, 1]), e p ∈ V se p : [0, 1]polinomio→ R com ∂(p) ≤ 3

e K = R. Sejam u = p(t) = 1 − t2, v = q(t) = 1 + t2, Calcule Projuv

=⟨u, v⟩∥v∥2

v e

Projvu=

⟨u, v⟩∥u∥2

u

Resolucao Vimos no Exemplo 4.2 que ⟨u; v⟩ = ⟨p; q⟩ =4

5, ∥u∥ = ∥p∥ =

2√2√15

e

∥v∥ = ∥q∥ =4√7√15

. Entao segue da Definicao 4.3 que

Projuv=

⟨u, v⟩∥v∥2

v =

4

528

15

v =4 · 155 · 28

v =3(1 + t2)

7, e Projv

u=

⟨u, v⟩∥u∥2

u =

4

58

15

v =4 · 155 · 8

v =3(1− t2)

2.

4.1.2 Bases Ortogonais

Definicao 4.4. Dado (V,K), V finitamente gerado. Seja B = {e1, e2, e3, · · · , en} uma BASEdo espaco V, dizemos que ela e uma Base Ortogonal se os vetores de B forem dois a doisperpendiculares isto e

⟨ei, ej⟩ = 0, para todo i, j ∈ {1, 2 · · · , n} com i = j. (4.1.7)

Exemplo 4.4. Considere V = E3 e K = R, e os vetores de B = {e1, e2, e3} como abaixo:

e1

e3

e3-

6

��

��

temos ⟨ei, ej⟩ = 0, para todo i, j ∈ {1, 2, 3} com i = j.


4.1.3 Bases Ortonormais

Definicao 4.5. Dado (V,K), V finitamente gerado. Seja B = {e1, e2, e3, · · · , en} uma BASEORTOGONAL do espaco V, do espaco V, dizemos que ela e uma Base Ortonormal se osvetores de B tiverem NORMA UM (comprimento), isto e

⟨ei, ei⟩ = 1 para todo i ∈ {1, 2, · · · , n} (4.1.8)

Consideremos uma base ortonormal B = {ı, ȷ, k} base de E3 e o vetor u = xı + yȷ + zk.Entao pode-se na figura abaixo a interpretacao geometrica da relacao do vetor u com a baseB.

ıxı

k

u = xı + yȷ + zk

zk

ȷ

yȷ- -

6

6

��

�

�

EXERCICIOS

1. Determinar a dimensao do espaco sulucao de cada um dos sistemas lineares abaixo:

(S0) ∼

x− y = 02x− 3y = 0

3x+1

2y = 0.

(S1) ∼

x+ y + z = 02x− y − 2z = 0x+ 4y + 5z = 0.

(S2) ∼

2x− 2y + z = 03x− 2y + 3z = 00x+ 3y + 4z = 0.

(S3) ∼

x− y + z − t = 02x− 3y + 0z − t = 03x+ y − z + 2t = 0.

(S4) ∼

−x− 2y + 3z − t = 02x− y − 2z + t = 02x+ 4y + z − 2t = 0x+ 2y − z − 2t = 0.


2. Se V = R3 e K = R, mostre que B = {e1 = (0, 2, 2); (e2 = (0, 4, 1)} e base para osubespaco W = {(x, y, z) ∈ R3 tal que x = 0}.

3. Se V = R3 , K = R, considere os subepacos U = {(x, y, z) ∈ V tal que x = 0},W = [{f1, f2}] onde f1 = (1, 2, 0) e f2 = (3, 1, 2). Determine sistemas homogeneoscujos conjuntos solucoes sao os subespacos W∩U e W+U. Esta soma e soma direta?

4. Se V = R4 , K = R, considere os vetores f1 = (1, 2, 0, 1), f2 = (3, 1, 2, 0), f2 =(−1, 1,−1, 1) e f4 = (0, 1,−2,−1), os subepacos U0 = {(x, y, z, w) ∈ V tal que 3x −y − z + w = 0}, U1 = [{f1, f2, f2}] e U2 = {(x, y, z, w) ∈ V tal que x − y + z + w =0;−x− 2y + z + 2w = 0}.

a) Calcule um sistema tal que seu conjunto solucao seja U0 + U2.

b) De uma base para U0 + U1, U0 + U2, U1 + U2. Indique quais destas somas saosomas diretas.

c) Verifique se (U0 + U1) + U2 = V.

5. Mostre que B = {g1 = 1, g2 = 1 + t, g3 = 1 − t2, g4 = 1 − t − t2 − t3} e umabase de V = P3(R). Considere os subespacos W0 = [{g1 + g2, g1 + g3, g2 + g2}] eW1 = [{g1 − g2, g1 + 2g3,−2g2 + g2}],.

a) Verifique se o vetor u = 2 + t− t3 pertence a W0.

b) Encontre um conjunto gerador para W0 +W1.

c) Encontre um conjunto gerador para W0 ∩W1.

6. Seja V = R3 e K = R. Determinar sejam u, v, w ∈ R3 vetores unitarios.

a) Suponha que ⟨u; v⟩ = 1, ⟨u;w⟩ = 2, ⟨w; v⟩ = −1. Calcule ⟨u−2v+w; 2u−3v+w⟩b) Suponha que ⟨u; v⟩ = −3, ⟨u;w⟩ = 2, ⟨w; v⟩ = −1. Calcule Projv

u; Projvw e

Projwu

Suponha que V = P3([0, 1]), e p ∈ V se p : [0, 1]polinomio→ R com ∂(p) ≤ 3 e K = R.

Sejam u = p(t) = t, v = q(t) = 1− t2 e w = d(t) = 2− t3. Calcule

(a) ⟨p; q⟩ =∫ 1

0

p(t)q(t)dt, Resp ⟨p; q⟩ = 12.

(b) ∥p∥ = ⟨p; p⟩ =∫ 1

0

p(t)p(t)dt.

(c) ∥p∥ = ⟨q; q⟩ =∫ 1

0

q(t)q(t)dt, Resp: ∥q∥ =2√2√15

.

(d) O angulo entre p e q.

(e) Projuv, Proju

w, Projv

w.


7. Suponha que V = P4([0, 1]), e p ∈ V se p : [0, 1]polinomio→ R com ∂(p) ≤ 4 e K = R.

Sejam u = p(t) = 1 + t3, v = q(t) = 1− t4 e w = d(t) = 2− 3t. Calcule

(a) ⟨p; q⟩ =∫ 1

0

p(t)q(t)dt.

(b) ∥p∥ = ⟨p; p⟩ =∫ 1

0

p(t)p(t)dt.

(c) ∥p∥ = ⟨q; q⟩ =∫ 1

0

q(t)q(t)dt.

(d) O angulo entre p e q.

(e) Projuv, Proju

w, Projv

w.

4.1.4 Ortogonalizacao de Gram-Schmidt

Definicao 4.6. Considere (V,K). Dizemos que um conjunto O = {f1, f2, · · · , fn} e Orto-gonal se seus vetores forem dois a dois Ortogonais.

Exemplo 4.5. Considere V = E3 e K = R, e os vetores de B = {e1, e2, e3} como abaixo:

e1

e3

e3-

6

��

��

temos ⟨ei, ej⟩ = 0, para todo i, j ∈ {1, 2, 3} com i = j.

Uma questo importante e saber como transformar um conjunto de vetores LinearmenteIndependente em um conjunto ortogoniais. Se soubermos realizar atividade saberemos tr-nasformar uma base do espaco vetorial V em uma base ortogonal do espaco vetorial V

Lema 4.3. Considere (V,K) finitamente gerado. Se O = {e1, e2, · · · , en} = {⊙} for umconjunto Ortogonal, entao O e Linearmente Independente.

Prova


1. Suponhmos que e1 = ⊙. Queremos determinar todos os α1, α2, · · · , αn ∈ K tais queα1e1 + α2e2 + · · ·+ αnen = ⊙ (ver Definicao 3.6). Podemos ver facilmente que

0 = ⟨⊙, e1⟩ = ⟨α1e1+α2e2+· · ·+αnen; e1⟩ = ⟨α1e1; e1⟩+⟨α2e2; e1⟩+· · · ,+⟨αnen; e1⟩ =

α1⟨e1; e1⟩+ α2⟨e2; e1⟩+ · · · ,+αn⟨en; e1⟩ = α1⟨e1; e1⟩

por que o conjunto O e Ortogonal assim, ⟨ei; e1⟩ = 0 para todo i ∈ {2, 3 · · · , n}. Comoe1 = ⊙, entao ⟨e1; e1⟩ = 0, portanto α1 = 0.

2. Agora, queremos determinar todos os α2, · · · , αn ∈ K tais que α2e2+α3e3+· · ·+αnen =⊙ (ver Definicao 3.6). Podemos ver facilmente que

0 = ⟨⊙, e2⟩ = ⟨α2e2+α3e3+· · ·+αnen; e2⟩ = ⟨α2e2; e2⟩+⟨α3e3; e2⟩+· · · ,+⟨αnen; e2⟩ =

α2⟨e2; e2⟩+ α3⟨e3; e2⟩+ · · · ,+αn⟨en; e2⟩ = α2⟨e2; e2⟩

por que o conjunto O e Ortogonal assim, ⟨ei; ej⟩ = 0 para todo i, j ∈ {1, 2, 3 · · · , n}para i = j. Como e2 = ⊙, entao ⟨e2; e2⟩ = 0, portanto α2 = 0.

O resto da Prova segue por inducao sobre n .

Lema 4.4. Considere (V,K) finitamente gerado. Se B = {v2, v2, · · · , vn} for um conjuntoLinearmente Independente de V.

1. e1 = v1,

2. e2 = v2 − Projv2e1,

3. e3 = v3 − Projv3e1

− Projv3e2,

4. e4 = v4 − Projv4e1

− Projv4e2

− Projv4e3,

......

......

...

5. en = vn − Projvne1

− Projvne2

− Projvne3

− · · · − Projvnen−1

,

o conjunto F = {e2, e2, · · · , en} e Ortogonal.

Prova Como na prova do Lema 4.3, vamos desenvolver apenas uma parte da provado Lema 4.4. Veja que F e Linearmente Independente, assim, e1 = ⊙ e ⟨e1; e1⟩ = 0.

Calculando ⟨e2; e1⟩ = ⟨v2−Projv2e1; v1⟩ =

⟨v2−

⟨v2; v1⟩∥v1∥2

v1; v1

⟩= ⟨v2, v1⟩−

⟨⟨v2; v1⟩∥v1∥2

v1; v1

⟩=

⟨v2, v1⟩ −⟨v2; v1⟩∥v1∥2

⟨v1; v1⟩, Mas pode-se ver facilmente que⟨v1; v1⟩∥v1∥2

= 1. Portanto, ⟨e2; e1⟩ =

⟨v2, v1⟩ − ⟨v2, v1⟩ = 0. Com uma conta anloga podemos ver que ⟨ei; ej⟩ = 0 pora todoi, j ∈ {1, 2, · · · , n} com i = j.


Observacao 4.3. Considere (V,K) finitamente gerado. Se F = {e1, e2, · · · , en} a base

ortonormal de V, e fj =1

∥ej∥2ej, para j ∈ {1, 2, · · · , n}, entao de O = {f1, f2, · · · , fn} e base

Ortonormal de V.

Exemplo 4.6. Seja V = R2, com a soma e multiplicacao por escalar usuais. Se u = (x, y)e v = (a, b), as coordenadas de u e de v sao dadas em relacao a uma base ortonormal de V.Entao o produto interno (escalar) em V dado por ⟨u; v⟩ = ax+by. Se F = {e1 = (1, 2); e2 =(−2, 1)}, de uma base ortonormal para V usando os vetores de e F .

Resolucao Veja que F e ortogonal, ou seja ⟨e1; e2⟩ = 0; mas F nao e ortogonal, pois⟨e1; e1⟩ =

√5. Sejam

f1 =1√5e1 =

1√5(1, 2) = (

1√5;2√5) e f2 =

1√5e2 =

1√5(−2, 1) = (− 2√

5;1√5)

Pode ser visto facilmente que O = {f1, f2} e base ortonormal de V.

Exemplo 4.7. Seja v1 = (1, 1) e v2 = (2,−1). Com S = {v1, v2} e L.I., S e base de V = R2

com soma e multiplicacao por escalar usuais. Use o Lema 4.4 para ortonormalizar a base S

Resolucao Seja e1 = V ersor(u1) =1√2u1.

u1 = (2,−1)− ⟨v1, u1⟩∥u1∥2

u1 = (2,−1)− 2− 1

2(1, 1) =

3

2(1,−1).

Portanto, e2 = V ersor(3

2(1,−1)) =

√2

2(1,−1) e a base ortnormalizada e S = {e1, e2}.

Exemplo 4.8. Seja V = P2([0; 1],R), com a soma e multiplicacao por escalar usuais. DadoB = {v1 = 1, v2 = x, v3 = x2}, encontre uma base ortonormal de V com o produto interno

⟨p(x); q(x)⟩ =∫ 1

0

p(x)q(x)dx.

Resolucao Temos que encontrar um conjunto ortogonal F = {e1, e2, e3} e depoison conjunto ortonormal O = {f1, f2, f3}. Seja v1 = p0(x). Entao ∥v1∥2 = ∥p0(x)∥2 =

⟨p0(x); p0(x)⟩ =

∫ 1

0

p0(x)p0(x)dx = 1. Entao encontramos o primeiro vetor f1 = e1 =

p0(x) = 1 da base O = {f1, f2, f3}. Seguindo o Lema 4.4 vemos que

e2 = v2 − Projv2e1

Como ⟨e1, v2⟩ = ⟨1, x⟩ =∫ 1

0

1 · xdx =1

2, e Projv2

e1=

⟨v2; e1⟩∥e1∥2

e1,

e2 = x− 1

2

Encontramos o segundo vetor de F . Veja que ⟨e2; e1⟩ =∫ 1

0

(x− 1

2

)dx =

1

2x2 − 1

2x∣∣∣10= 0.

Vamos calcular e2. Segue do Lema 4.4 que


e3 = v3 − Projv3e2

− Projv3e1

Mas como

⟨v3; e2⟩ =∫ 1

0

x2(x−1

2

)dx =

∫ 1

0

(x3−x2

2

)dx =

1

12, ∥e2∥2 = ⟨e2; e2⟩ =

∫ 1

0

(x−1

2

)2dx =

1

12,

entao, Projv3e2

=⟨v3; e2⟩∥e2∥2

e2 = x− 1

2.

Ainda,

⟨v3; e1⟩ =∫ 1

0

1 · x2dx =1

3, ∥e1∥2 = ⟨e1; e1⟩ =

∫ 1

0

dx = 1,

entao, Projv3e1

=1

3, e

e3 = x2 − x+1

6.

O conjunto Ortogonal F e dado por F = {e1 = 1, e2 = x − 1

2, e3 = x2 − x +

1

6}. Temos

∥e1∥2 = 1, ∥e2∥2 =1

12e ∥e3∥2 =

14

45. Portanto,

O = {f1 = 1, f2 =

√3

2

(x− 1

2

), f3 =

√5

6

(x2 − x+

1

6

).}

4.1.5 Projecao Ortogonal de um Vetor sobre um Subespaco

Definicao 4.7. Sejam (V,K), S = {e1, e2, · · · , en} ⊂ V um conjunto ortogonal. Se U = [S]entao dado v ∈ V, a Projecao Ortogonal de v sobre U e o vetor

ω = Projve1

+ Projve2

+ · · ·+ Projven

Exemplo 4.9. Seja V = R3 com soma e multiplicacao por escalar usuais. Se S = {u1 =(1,−1, 1), u2 = (1, 1, 0)} e U = [S], encontre a projecao ortogonal dos vetores ω0 = (−2, 3, 1)e ω1 = (−2,−2,−1) sobre U.

Resolucao Veja que S e um conjunto ortogonal, pois ⟨u1;u2⟩ = 0. Segue da Definicao4.7 que ω = Projω0

u1+ Projω0

u2.

1. Vamos calcular Projω0u1. Como ⟨ω0;u1⟩ = 1(−2) + (−1)3 + 1(1) = −4, ⟨u1;u1⟩ =

1(1) + (−1)(−1) + 1(1) = 3. Assim, ∥u1∥ =√3 e Projω0

u1=

−4√3(1,−1, 1).


2. Vamos calcular Projω0u2. Como ⟨ω0;u2⟩ = 1(−2) + (1)3 + 0(1) = 1, ⟨u2;u2⟩ = 1(1) +

(1)(1) + 0(0) = 2. Assim, ∥u2∥ =√2 e Projω0

u2=

1√2(1, 1, 0). Portanto,

ω = Projω0

u1+Projω0

u2=

−4√3(1,−1, 1)+

1√2(1, 1, 0) =

1√6(−4

√2+

√3; 4

√2+

√3;−4

√2)

EXERCICIOS

1. Se S = {v1 = (0, 1, 2); v2 = (1, 1, 2)v3 = (1, 0, 1)}, encontre o conjunto S = {e1, e2, e3}tal que S seja a ortonormalizacao de S pelo processo de Gram Schmith. Resp: e1 =

V ersor(u1); e2 = V ersor(1, 0, 0); e3 = V ersor(1

5(0,−2, 1).

2. Se v1 = p1(t) = 1; v2 = p2(t) = t e v3(t) = t2 entao S = {v1, v2, v3} e uma base paraV = {p : [0, 1] → R, polinomio tal que ∂(p) ≤ 2}. Com a soma usual de polinomios emultiplicacao de polinomis por escalar, V e espaco vetorial e S e base de V.

a) Se B = {q1(t) = t2 + t; q2(t) = 2t − 1}, calcule a projecao ortogonal do vetorv3(t) = t2 sobre q2.

b) Se B = {q1(t) = t2 + t; q2(t) = 2t − 1}, calcule a projecao ortogonal do vetorv3(t) = t2 − t sobre q1.

c) Use o Lema 4.4 e ortonormalize a base S.

d) Se B = {q1(t) = t2 + t; q2(t) = 2t − 1}, use a Definicao 4.7 e calcule a projecaoortogonal do vetor v3(t) = t2 sobre o subespaco gerado pelo conjunto B.

3. a) Encontre uma base ortonormal para W = [S] com S = {v1 = (1, 1, 1), v2 =

(1,−1, 1), v2 = (−1, 0, 1)}. Resp. O = {f1 =1√3(1, 1, 1), f2 = (

1√5(1,−2, 1); f3 =

(1√2(−1, 0, 1)}.

b) Calcule a Projecao ortogonal de v = (−1, 2,−1) sobre o subespaco gerado peloconjunto B = {v1, v2}.

c) Calcule a Projecao ortogonal de v = (−1, 2,−1) sobre o subespaco gerado peloconjunto B = {v2, v3}

4. (a) Encontre uma base ortonormal para W = {(x, y, z) ∈ R3, tal que x − 2y = 0}.Resp. O = {f1 = (0, 0, 1), f2 = (

2√5,1√5, 0)}.

b) Calcule a Projecao ortogonal de v = (−1, 1,−1) sobre o subespaco W.

5. a) Encontre uma base ortonormal para W = {(x, y, z, t) ∈ R4, tal que x + y +

z + t = 0}. Resp. O = {f1 = (− 1√2,1√2, 0, 0), f2 =

1√6(−1,−1, 2, 0), f2 =

√3

6(−1,−1,−1, 1)}.

b) Calcule a Projecao ortogonal de v = (−1, 1,−1, 0) sobre o subespaco W.

Capıtulo 5

TRANSFORMACOES LINEARES

Definicao 5.1. Dados (V,K) e (W,K), espacos vetoriais , seja T : V → W uma aplicacaode V em V. Dizemos que T e uma Transformacao Linear se as duas condicoes abaixoestivrem satisfeitas:

1. Para todo u, v ∈ V tem-se T (u+ v) = T (u) + T (v).

2. Para todo λ ∈ K e u ∈ V tem-se T (λu) = λT (u).

Exemplo 5.1. Sejam V = R3, W = R2 e T ;V → W dada por T (x, y, z) = (ax + by +cz;mx+ py + qz).

1. Mostre que T e uma Transformacao Linear de V em W.

2. Mostre que U = {(x, y, z) ∈ V tal que T (x, y, z) = ⊙ ∈ W} e um subespaco de W.

3. Encontre um conjunto gerador de U.

Resolucao

1. Veja que se u = (x1, x2, x3) e u = (y1, y2, y3), u, v ∈ V, u+v = (x1+y1;x2+y2;x3+y3)e

T (u+ v) = T (x1 + y1;x2 + y2; x3 + y3) =

(a(x1 + y1) + b(x2 + y2) + c(x3 + y3);m(x1 + y1) + p(x2 + y2) + q(x3 + y3))

(ax1 + bx2 + cx3;mx1 + px2 + qx3)+ (ay1 + by2 + cy3;my1 + py2 + qy3) =

T (u) + T (v).

2. Veja que se λ ∈ K e u = (x1, x2, x3) ∈ V, λu = (λx1;λx2;λx3) e

81

82 CAPITULO 5. TRANSFORMACOES LINEARES

T (λu) = T (λx1;λx2;λx3) =

(aλx1 + bλx2 + cλx3;mλx1 + pλx2 + qλx3) =

λ(ax1 + bx2 + cx3;mx1 + px2 + qx3) = λT (u).

Segue da Definicao 5.1 que T e uma Transformacao Linear de V em W.

Exemplo 5.2. Seja V,K onde V = Rn, S = {e1, e2, · · · , en} a base canonica de V. Paracada α1, α2, · · · , αn ∈ K, u ∈ V, seja u = (x1, x2, · · · , xn) ∈ V, e T : V → K dadaTu = α1x1 + α2x2 + · · · , αnxn. Entao T e uma Transformacao Linear.

Resolucao

1. Temos que provar que T (u + v) = T (u) + T (v). Dados u, v ∈ V, u = (x1, x2, · · · , xn),u = (y1, y2, · · · , yn), u+ v = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn), assim

T (u+ v) = T (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn) =

α1(x1 + y1) + α2(x2 + y2) + · · ·+ αn(xn + yn) =

(α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn) + (α1y1 + α2y2 + · · ·+ αnyn) = T (u) + T (v).

2. Dado λ ∈ K, u ∈ V, λu = (λx1, λx2, · · · , λxn), assim,

T (λu) = T (λx1, λx2, · · · , λxn) = α1λx1 + α2λx2 + · · ·+ αnλxn =

λ(α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn) = λT (u)

Segue da Definicao 5.1 que T e uma Transformacao Linear de V em K.

5.1 Kernel e Imagem de uma Transformacao Linear

Definicao 5.2. Sejam (V,K), (W;K) espacos vetoriais, e T : V → W TransformacaoLinear de V em W. O Kenel ou Nucleo da Transformacao Linear T e o conjunto

Ker(T ) = {u ∈ V tal que T (u) = ⊙W}

onde ⊙W indica o vetor nulo de W.

Exemplo 5.3. Seja V = R3, W = R2 espacos vetoriais sobre K = R, T : V → W Trans-formacao Linear dada por T (x, y, z) = (x + y + 3;−x + 2y − 3z). Descreva o Kernel deT ,

5.1. KERNEL E IMAGEM DE UMA TRANSFORMACAO LINEAR 83

Resolucao Segue da DEfinicao 5.2 que v = (x, y, z) ∈ Ker(T ) se T (v) = ⊙W = (0, 0).Entao (x, y, z) deve estar no comnjunto solucao do sistema linear{

2x+ y + 3z = 0−x+ 2y − 3z = 0

L1 = l1L2 = l1 + 2l2

{2x+ y + 3z = 00 + 5y − 3z = 0.

Vemos que y =3

5z e y = −9

5z. Assim,

Ker(T ) = {(x, y, z) ∈ R3 tal que y =3

5z, −9

5z e z ∈ R}.

Como Ker(T ) e o conjunto solucao de um sistema linear homogeneo, Ker(T ), Ker(T )se⊂ V

(ver Obsevacao 3.4).

Definicao 5.3. Sejam (V,K), (W;K) espacos vetoriais, e T : V → W TransformacaoLinear de V em W. A Imagem de T e o conjunto

Im(T ) = {w ∈ W tais que existe v ∈ V e T (v) = w}.

5.1.1 Transformacao Linear Injetora, Sobrejetora, Bijetora

Definicao 5.4. Sejam V, W espacos vetoriais sobre K e T : V linear−→ W.

1. Dizemos que T e uma Transformacao Linear Injetora se dados u, v ∈ V tais queT (u) = T (v) entao u = v.

2. Dizemos que T e uma Transformacao Linear Sobrejetora se Im(T ) = V

3. Dizemos que uma Transformacao Linear e Bijetora e ela for Injetora e Sobre-jetora

Como veremos a seguir, para as Transformacoes Lineares definidas em espacos ve-toriais finitamente ggerados ha criterios relativamente simples que ao serem aplicados, elessao capazes de nos informar se tal Transformacao Linear e Injetora ou Sobrejetora.

Lema 5.1. Sejam V, W espacos vetoriais sobre K e T : V linear−→ W. Entao

1. Ker(T ) e um subespaco de V.

2. A Transformacao Linear T e injetora se e somente se Ker(T ) = {⊙V}.

1. Prova do primeiro item deste Lema.


(a) Se ⊙V e ⊙W forem o vetores nulos em V e em W respectivamente,

T (⊙V) = T (u− u) = T (u) + T (−u) = T (u)− T (u) = ⊙W .

Entao, segue da Definicao 5.2 que ⊙V ∈ Ker(T ).

(b) Sejam v1, v2 ∈ Ker(T ). Queremos mostras que v1 + v2 ∈ Ker(T ). Segue daDefinicao 5.2 que T (v1) = ⊙W e T (v2) = ⊙W . Assim,

T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = ⊙W +⊙W = ⊙W .

Entao, Segue da Definicao 5.2 que v1 + v2 ∈ Ker(T ).

(c) Dados λ ∈ K e v ∈ Ker(T ), sabemos que T (v) = ⊙W . Ainda

T (λv) = λT (v) = ⊙W .

Entao, Segue da Definicao 5.2 que λv ∈ Ker(T ).

Da Definicao 3.3 que Ker(T ) e um subespaco de V.

2. Prova do segundo item deste Lema.

(a) Suponhamos que T e injetora, como vimos no item 1(a) da prova do Lema 5.1,T (⊙V) = ⊙W . Suponha que u ∈ Ker(T ), entao T (u) = ⊙W . Da definicao deinjetividade segue que u = ⊙V . Entao, Ker(T ) ⊂ {⊙V}. Do item 1(a) da provado Lema 5.1, T (⊙V) = ⊙W , assim {⊙V} ⊂ Ker(T ). Portanto, Ker(T ) = {⊙V}.

(b) Reciprocamente, suponhamos que Ker(T ) = {⊙V}. Dados u1, u2 ∈ Ker(T ), entao

T (u1) = T (u2) implica T (u1)− T (u2) = ⊙W implica T (u1 − u2) = ⊙W .

Assim, u1 − u2 ∈ Ker(T ). Mas por hipotese Ker(T ) = {⊙V}. Potanto, u1 = u2.Segue da Definicao de injetividade que T e injetora.

Lema 5.2. Sejam V, W espacos vetoriais sobre K e T : V linear−→ W. Se U = Im(T ), entao

Use⊂ W.

Prova

1. Seja ⊙W ∈ W, mostremos que ⊙W ∈ U. Do item 1(a) da prova do Lema 5.1, T (⊙V) =⊙W . Veja que ⊙W e imagem pela Transformacao Linear T do vetor ⊙V em V. Entao⊙W ∈ U.

2. Sejam u1, u2 ∈ U = Im(T ). Pela Definicao 5.3 existem v1, v2 ∈ V tais que T (v1) = u1

e T (v2) = u2. Mas

u1 + u2 = T (v1) + T (v2) = T (v1 + v2).

Veja que u1 + u2 e imagem do vetor v1 + v2 ∈ V pela Transformacao Linear T . Entaou1 + u2 ∈ U.

5.1. KERNEL E IMAGEM DE UMA TRANSFORMACAO LINEAR 85

3. Sejam λ ∈ K e u ∈ U. Pela Definicao 5.3 existe v ∈ V tais que T (v) = u. Mas

λu = λT (v) = T (λv).

Como λu e imagem do vetor λv ∈ V pela Transformacao Linear T . Entao λu ∈ U.

Lema 5.3. Sejam (V,K) (W,K), (U,K), T : V linear−→ U, S : U linear−→ W.

1. Se U = V, S + T : V −→ W e uma Transformacao Linear.

2. S ◦ T : V −→ W e uma Transformacao Linear.

3. Se α ∈ K, αT : V −→ U e uma Transformacao Linear.

Prova Sejam u, v ∈ V

1.

a) (S + T )(u+ v) = S(u+ v) + T (u+ v) = S(u) + S(v) + T (u) + T (v) = S(u) + T (u) +S(v) + T (v) = (S + T )(u) + (S + T )(v).

b) Seja λ ∈ K, (S+T )(λu) = S(λu)+T (λu) = λ(S(u)+T (u)) = λ(S+T )(u). Portanto,S + T e uma Transformacao Linear.

2.

a) (S◦T )(u+v) = S(T (u+v)) = S(Tu+T (v)) = S(T (u))+S(T (v)) = S◦T (u)+S◦T (u).

b) Seja λ ∈ K, (S◦T )(λu) = S(T (λu)) = S(λ(T (u)) = λS(T (u)) = λ(S◦T )(u). Portanto,S ◦ T e uma Transformacao Linear.

3.

a) (αT )(u+ v) = α(T (u+ v)) = α(T (v)+T (v)) = αT (u)+αT (v) = (αT )(u)+ (αT )(v)).

b) Seja λ ∈ K, (αT )(λu) = α(T (λu)) = α(λ(T (u)) = (αλ)T (u) = λα)T (u) = λ(αT )(u).Portanto, αT e uma Transformacao Linear.

Observacao 5.1. Sejam (V,K), (W;K) espacos vetoriais finitamente gerados, e T :V → W Transformacao Linear de V em W.

(a) O Posto ou Rank de T e o numero natural igual a dim(Im(T )).

(b) A Nulidade de T e o numero natural igual a dim(Ker(T )).


5.1.2 Teorema do Nucleo e da Imagem

Teorema 5.1. Sejam V, W espacos vetoriais finitamente gerados sobre K e T : V linear−→W. Entao

dim(V) = dim(Ker(T )) + dim(Im(T )). (5.1.1)

Exemplo 5.4. Considere V = R4, W = R4, T : V → W dada por T (x, y, z, w) =(2x− y + z − w;x− y + 3z + 2w; 2x− 3y + z − 2w; 3x− 2y + 4z + w).

(a) Descreva o K(T ).

(b) Descreva a Im(T ).

Resolucao

(a) Se (x, y, z, w) ∈ K(T ), entao T (x, y, z, w) = ⊙W = (0, 0, 0, 0) ou seja (x, y, z, w) esolucao do seguinte sistema linear

2x− y + z − w = 0x− y + 3z + 2w = 02x− 3y + z − 2w = 03x− 2y + 4z + w = 0

L1 = l1L2 = l1 − 2l2L3 = l1 − l3L4 = l1 + l2 − l4

2x− y + z − w = 00x+ y − 5z − 5w = 00x+ 2y + 0z + w = 00x+ 0y + 0z + 0w = 0

Veja que da segunda equacao tem-se w = −2y. Substituindo esta informacao

na segunda equacao teremos z =11

5y. Usando a primeira equacao teremos x =

−8

5y. Agora podemos encontrar os geradores K(T ). Se (x, y, z, w) ∈ K(T ) entao

(x, y, z, w) = (−8

5y, y,

11

5y,−2y) =

1

5y(−8, 5, 11,−10) . Potanto, K(T ) = [{e1 =

(−8, 5, 11,−10)}]. Ou seja K(T ) e o subespaco geado pelo vetor e1 e assim,dim(K(T )) = 1.

(b) Vamos determinar um conjunto linearmente independente de geradores do su-bespaco Im(T ). Veja que

(2x− y + z − w; x− y + 3z + 2w; 2x− 3y + z − 2w; 3x− 2y + 4z + w) =

(2x, x, 2x, 3x) + (−y,−y,−3y,−2y) + (z, 3z, z, 4z) + (−w, 2w,−2w,w)

x(2, 1, 2, 3) + y(−1,−1,−3,−2) + z(1, 3, 1, 4) + w(−1, 2,−2, 1)

Entao se f1 = (2, 1, 2, 3), f2 = (−1,−1,−3,−2), f3 = (1, 3, 1, 4) e f4 = (−1, 2,−2, 1),o conjunto B0 = {f1, f2, f3, f4} gera o subespaco Im(T ). Mas B0 nao e linear-mente independente porque f4 = f1 + f2. Como ja sabemos o subespaco ge-rado pelos vetore de B0 e o subespaco gerado pelos vetores de B = {f1, f2, f3}sao iguais. Mas B = {f1, f2, f3} e linearmente independente e portanto, B e

5.2. MATRIZ DE UMA TRANSFORMACAO LINEAR 87

base de Im(T ). Veja que dim(Im(T )) = 3 e assim, pelo Teorema 5.1 dimV =dim(K(T )) + dim(Im(T )) = 4 . Segue da Observacao 5.1 que o Posto(T )=Rank(T )= 3 e Nulidade( T ) = 1.

5.2 Matriz de uma Transformacao Linear

Definicao 5.5. Sejam (V,K), (W;K) espacos vetoriais, e T : V → W Trans-formacao Linear de V em W. Consideremos os cojuntos E = {e1, e2, · · · , en} basede V e F = {f1, f2, · · · , fm} base de W. Entao se v ∈ V

(a) existem a11, a21, · · · , an1 ∈ K tais que T (e1) = a11f1 + a21f2 + · · ·+ am1fn.

(b) existem a12, a22, · · · , an2 ∈ K tais que T (e2) = a12f1 + a22f2 + · · ·+ am2fn....

......

......

......

(c) existem a1m, a2m, · · · , anm ∈ K tais que T (e2) = a1mf1 + a2mf2 + · · ·+ amnfn.

A matriz

[T ]FE =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

am1 am2 · · · amn

e denominada Matriz da Transformacao Linear T nas bases E, F .

Exemplo 5.5. Sejam V = R3 W = R2 e T : V → W dada por T (x, y, z) = x+y; y+z).De a matriz de T em relacao as bases E = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0); e3 = (0, 0, 1)}e F = {f1 = (1, 0), f2 = (0, 1)}.

Resolucao Veja que

T (e1) = (0, 1) = f1 + 0f2,T (e2) = (1, 1) = 0f1 + f2T (e3) = (0, 1) = −f1 + f2,

Portanto segue da Definicao 5.5 que

[T ]FE =

[1 0 −10 1 −1

]

Lema 5.4. Sejam (V,K) (W,K), T : V linear−→ W, E = {e1, e2, · · · , en} base de V eF = {f1, f2, · · · fm} base de W. Entao T (v) = [T ]FE (v).


Prova Se v ∈ V entao existem x1, x2, · · · xn ∈ K tais que v = x1e1 + x2e2 + · · · xnen

T (v) = T (x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen) = x1T (e1) + x2T (e2) + · · ·+ xnT (en)Def.5.5=

x1(a11f1 + a21f2 + · · ·+ am1fm) + x2(a12f1 + a22f2 + · · ·+ am2fm) + · · ·+ xn(a1nf1 + a2nf2 + amnfm) =

(a11x1 + a12x2 + · · · a1nxn)f1 + (a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn)f2 + (am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnz)fm

Veja que os numeros a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn, a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn · · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn sao as coordenadas de T (v) na base F . Mas entao T (v)poder ser obtido usando estas coordenadas da seguinte forma

T (v) = [T ]FE (v) =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

...am1 am2 · · · amn

x1

x2...xn

Exemplo 5.6. Sejam V = R3 W = R5, T : V linear−→ W, E = {e1, e2, e3} base de Ve F = {f1, f2, f3, f4, f5} base de W. Suponha que T (e1) = 2f1 − f2 + f3 − 2f4 − f5,T (e2) = f1− 2f2+2f3− f4− 2f5, T (e3) = −f1− 3f2− f3− f4− 2f5. Calcule T (x, y, z)

Resolucao Seja v ∈ V dado por v = (x, y, z) isto e v = xe1 + ye2 + ze3 e

T (v) = xT (e1) + yT (e2) + T (e3) =

x(2f1 − f2 + f3 − 2f4 − f5) + y(f1 − 2f2 + 2f3 − f4 − 2f5) + z(−f1 − 3f2 − f3 − f4 − 2f5)

(2x+ y − z)f1 + (−x− 2y − 3z)f2 + (x+ 2y − z)f3 + (−2x− y − z)f4 + (−x− y − 2z)f5

Assim, seguindo a prova do Lema 5.4

T (v) = T (x, y, z) =

2 1 −1

−1 −2 −31 2 −1

−2 −1 −1−1 −1 −2

x

yz

.

Portanto, T (x, y, z) = (x+ y− z;−x− 2y− 3z; z+2y− z;−2x− y− z;−x− y− 2z).

Lema 5.5. Sejam (V,K) (W,K), finitamente gerados, T, S : V lineares−→ W. Se E e Fforem bases de V e W respectivamente, entao

(a) A Matriz de S + T relativa as bases E e F e tal que [S + T ]FE = [S]FE + [T ]FE .

(b) Se Im(T ) ⊂ W, a Matriz de S ◦ T relativa as bases E e F e tal que [S ◦ T ]FE =[S]FE · [T ]FE .

5.2. MATRIZ DE UMA TRANSFORMACAO LINEAR 89

5.2.1 Tranformacoes Singulares e Nao Singulares

Definicao 5.6. Sejam (V,K), (W,K) e T : V linear−→ W.

(a) Dizemos que T e Singular se Ker(T ) = {⊙W}.

(b) Dizemos que T e Nao-Singular se Ker(T ) = {⊙W}.

A Transformacao Linear dada no Exemplo 5.4 e Singular porque dim(K(T )) = 1. Istonos diz que existe u0 ∈ V u0 = ⊙V tal que T (u0) = ⊙W.

Teorema 5.2. Sejam (V,K), (W,K), T : V linear−→ W e suponha que dim(V) = dim(W),entao sao equvalentes

1. T e Nao-Singular.

2. T e sobrejetora.

3. T e invertıvel.

4. det([T ]FE ) = 0, onde [T ]FE e a matriz de T em relacao a E uma base de V e F uma basede W.

5. Existe uma Transformacao Linear S : W → V tal que T ◦ S(w) = w para todo w ∈ We S ◦ T (v) = v para todo v ∈ V.

Exemplo 5.7. Sejam V = R2 = W, espacos vetoriais sobre K = R, T : V linear−→ W dada por,T (x, y) = (4x− 2y; 2x + y). Tome as B base canonica em V. De a Matriz de T e verifiquese T e invertıvel

Resolucao Vemos que

[T ]BB

[xy

]=

[4 −22 1

] [xy

].

Entao

[T ]BB =

[4 −22 1

].

Como det([T ]BB) = 8 = 0, segue do Teorema 5.2 que [T ] e uma Transformacao Linear N ao-Singular, isto no diz que T tem inversa, e a matriz da Transformacao Linear S : W → V edada por

[S]BB =1

8

[1 2−2 4

]= [[T ]BB]

−1.

e assim,

[S]BB

[xy

]=

1

8

[1 2−2 4

] [xy

].

S(x, y) =1

8(x+ 2y;−2x+ 4y).


Exemplo 5.8. Sejam V = Pn(R) = W, espacos vetoriais sobre K, T : V linear−→ W dada por ,T (p(t)) = p′(t).

1. Encontre a matriz de T em relacao a base canonica de V.

2. Mostre que T e Singular.

Resolucao Veja que a base canonica em V = W e o conjunto B = {en = tn, en−1 =tn−1, en−2 = tn−2, · · · , e2 = t2, e1 = t, e0 = 1}. Vamos segui as instrucoes do Exemplo 5.6.

T (en) = T (tn) = 0en + nen−1 + 0en−2 + · · ·+ 0e2 + 0e1 + 0e0.T (en−1) = T (tn−1) = (n− 1)tn−2 = 0en + 0en−1 + (n− 1)en−2 + · · ·+ 0e2 + 0e1 + 0e0.T (en−2) = T (tn−2) = (n− 2)tn−3 = 0en + 0en−1 + 0en−2 + (n− 2)en−3 + · · ·+ 0e2 + 0e1 + 0e0....

......

.........

...T (e2) = T (t2) = 2t = 0en + 0en−1 + 0en−2 + · · ·+ 0e2 + 2e1 + 0e0.T (e1) = T (t) = 1 = 0en + 0en−1 + 0en−2 + · · ·+ 0e2 + 0e1 + e0.T (e0) = T (1) = 0 = 0en + 0en−1 + 0en−2 + · · ·+ 0e2 + 0e1 + 0e0.

Entao, a Matriz e T e dada por

[T ]BB =

0 n 0 0 . . . 0 0 00 0 n− 1 0 . . . 0 0 00 0 0 n− 2 . . . 0 0 0...

......

......

...... 0

0 0 0 0 . . . 0 2 00 0 0 0 . . . 0 0 10 0 0 0 . . . 0 0 0

Como det([T ]BB) = 0, segue do Teorema 5.2 que [T ] e uma Transformacao Linear Singular.

5.3 Autovalores e Autovetores

Definicao 5.7. Sejam (V,K), (W,K), T : V linear−→ W, denomina-se Autovalor de Tassociado ao Autovetor v tal qua v = ⊙V, qualquer λ ∈ K tal que T (v) = λv.

Exemplo 5.9. Sejam V = R2 = W, espacos vetoriais sobre K = R, T : V linear−→ W dadapor, T (x, y) = (4x − 2y;x + y). Tome as B base canonica em V. De os Autovalores eAutovetores de T .

Resolucao

1. Devemos encontrar todos os valores λ ∈ K tais que

[T ]BB

[λxλy

]=

[4 −21 1

] [λxλy

]=

[1 00 1

] [λxλy

].

5.3. AUTOVALORES E AUTOVETORES 91

Entao devemos encontrar v ∈ V, v = (x, y) = ⊙V[4− λ −21 1− λ

] [xy

]=

[00

]. (5.3.2)

Portanto,

det([ 4− λ −2

1 1− λ

])= 0.

e assim, p(λ) = (4 − λ)(1 − λ) + 2 = λ2 − 5λ + 6 = 0. As raızes deste polinomo saoλ0 = 2 e λ1 = 3. Os Autovalores de T sao λ0 = 2 e λ1 = 3.

2. Calculo dos autovetores Nos voltamos em 5.3.2, substituimos λ0 = 2 e procuramoso vetor vλ0 = (m,n) que seja solucao para o sistema homogeneo[

4− λ0 −21 1− λ0

] [mn

]=

[00

]ou seja

[2 −21 −1

] [mn

]=

[00

].

Note que as duas equacoes do ultimo sistema sao proprocionais. Entao, e suficienteresolver apenas uma delas, ou seja m − n = 0 e assim, m = n. Logo vλ0 = (m,n) =(m,m) = m(1, 1). O Autovetor associado a λ0 e dado por vλ0 = (1, 1).

Voltamos em 5.3.2, substituimos λ1 = 3 e procuramos o vetor vλ1 = (p, q) que sejasolucao para o sistema homogeneo[

4− λ1 −21 1− λ1

] [pq

]=

[00

]ou seja

[1 −21 −2

] [pq

]=

[00

].

Note que as duas equacoes do ultimo sistema sao iguais. Entao, e suficiente resolverapenas uma delas, ou seja p − 2q = 0 e assim, p = 2q. Logo vλ1 = (p, q) = (2q, q) =q(2, 1). O Autovetor associado a λ1 e dado por vλ1 = (2, 1).

Conjunto de Autovalores {λ0 = 2;λ1 = 3}. Conjunto de Autovetores A = {vλ0 =(1, 1); vλ1 = (2, 1)}. Veja que A e Linearmente independentes.

Definicao 5.8. Dadas duas matrizes A e B, dizemos que a matriz A e semelhante amatriz B se existir uma matriz Q com det(Q) = 0 tal que

AQ = QB ou A = QBQ−1. (5.3.3)

Exemplo 5.10. Se

A =

0 0 00 0 00 0 5

, B =

1 0 −20 0 0

−2 0 4

, P =

2 0 10 1 01 0 −2

,

entao,


P−1 =−1

5

−2 0 −10 −5 0

−1 0 2

.

Ainda, podemos ver facilmente que A = PBP−1.

Definicao 5.9. Seja A uma matriz quadrada e λ0 um numero complexo. Um vetornao nulo v ∈ Rn tal que Av = λv e denominado auto vetor de A associado a λ.

• Suponhamos que λ ∈ C e um auto valor da matriz A e que a ele esta associado umauto vetor v. Entao Av = λv, ou seja existe um vetor v nao nulo tal que (A−λI)v = 0.Portanto, as coordenadas de v e uma solucao para um sistema linear homogeneo. Istoimplica que det(A− λI) = 0.

Definicao 5.10. Seja A uma matriz quadrada. O polinomio caracterıstico de A e opolinomio p(λ) = det(A− λI).


A =

a b cb a cb c a

. (5.3.4)

Os auto valores de A sao dados por λ0 = a− b, λ1 = a− c, e λ2 = a− b− c. Se b = 0

e b = c o autovetor de A associado a λ0 e vλ0 =(− a+ b

b;c2 − b2

b(c− b); 1)

• Calculo dos autovalores.

det

a− λ b cb a− λ cc b a− λ =

z=a−λ= det

z b cb z cc b z

= (z − b)(z − c)(z + b+ c).

Portanto, λ0 = a− b, λ1 = a− c, e λ2 = a− b− c.

• Calculo dos autovetores.

(a) Se λ0 = a− b, vλ0 e calculado apresentando o conjunto solucao S0 para o sistema b b cb b cc b b

xyz

=

000

.

Vemos facilmente que S0 = {(x, y, z) ∈ R2, tais que x = z = − b

b+ cy}. Por-

tanto,

vλ0 =(1,−b+ c

b, 1).


(b) Se λ1 = a− c, vλ1 e calculado apresentando o conjunto solucao S1 para o sistema c b cb c cc b c

xyz

=

000

.

Vemos facilmente que S1 = {(x, y, z) ∈ R2, tais que x = y = −b+ c

bz}. Por-

tanto,

vλ0 =(1, 1,−b+ c

c

).

(c) Se λ2 = a − c − b, vλ2 e calculado apresentando o conjunto solucao S2 para osistema b+ c b c

b b+ c cc b b+ c

xyz

=

000

.

Vemos facilmente que S2 = {(x, y, z) ∈ R2, tais que x = −y = z}. Portanto,

vλ0 =(1,−1, 1

).

Exemplo 5.12. Consideremos T : C3 → C3, com K = C, Transformacao Linear talque a matriz de T seja dada por

A =

−3 0 00 3 −20 1 1

Calcule os autovalores e autovetores de T

⋄ Calculo dos Autovalores

Seja

A− λI =

−3− λ 0 00 3− λ −20 1 1− λ

(5.3.5)

Temos que

det(A− λI) = (−3− λ)(3− λ)(1− λ) + 2(−3− λ) = −λ3 + λ2 + 7λ− 15 (5.3.6)

Assim, igualando (5.3.6) a zero obtemos os seguintes autovalores de A

λ1 = −3, λ2 = 2 + i e λ3 = 2− i

⋄ Calculo dos Autovetores

Calcularemos (A− λiI)(vλi) = 0, onde i ∈ {1, 2, 3} e vλi

∈ R3


• Autovetor de A correspondente a λ1 = −3:

(A − λI)vλ1 = 0, onde vλ1 = (x, y, z) um vetor no nulo qualquer ∈ R3 toma aseguinte forma matricial −3− λ1 0 0

0 3− λ1 −20 1 1− λ1

xyz

=

000

Substituindo λ1 = −3 obtemos 0 0 0

0 6 −20 1 4

xyz

=

000

(5.3.7)

Resolvendo o sistema linear (5.3.7) obtemos o seguinte conjunto soluo

S1 = {x(1, 0, 0) tal que x ∈ R}

ou seja,S1 = (1, 0, 0) + i(0, 0, 0) = u1 + iv1

Logo,vλ1 = (1, 0, 0)

• Autovetor de A correspondente a λ2 = 2 + i:

O processo similar ao anterior, portanto alguns passos sero ocultos. Assim,substituindo λ2 em (5.3.5) obtemos

[A− (2 + i)I]vλ2 =

−5− i 0 00 1− i −20 1 −1− i

xyz

=

000

(5.3.8)

Resolvendo o sistema linear (5.3.8) obtemos que x = 0 e y = (1 + i)z, ento

S2 = {z(0, (1 + i), 1) tal que z ∈ R}

ou seja,S2 = (0, 1, 1) + i(0, 1, 0) = u2 + iv2

Logovλ2 = (0, 1 + i, 1)

• Autovetor de A correspondente a λ3 = 2− i :

Por λ3 ser o conjugado de λ2, podemos concluir que

S3 = {z(0, (1− i), 1) tal que z ∈ R}ou seja,

S3 = (0, 1, 1)− i(0, 1, 0) = u3 + iv3

Logovλ3 = (0, 1− i, 1)


O conjunto de auvalores {λ1 = −3;λ2 = 2 + i;λ3 = 2− i}. O conjunto de auvetoresA = {vλ1 = (1, 0, 0); vλ3 = (0, 1 + i, 1); vλ3 = (0, 1 − i, 1)}. Veja o conjunto A eLinearmente Independentes.

Observacao 5.2. Veja que no Exemplo 5.12 o fato de encontarmos autovalores com parteimaginaria nao nula fez-nos escolher K = C e o fato de encontrarmos autovetores com parteimaginaria n ao nula nos fez escolher V = W = C.

EXERCICIOS

1. Seja V = R3, W = R, K = R e T0(x, y, z) = x− 3y + z, T1(x, y, z) = 2x− y + z.

a) Calcule bases para Ker(Ti), Im(Ti) para ı ∈ {0, 1}.b) Qual a dim(Ker(Ti)) e dim(Im(Ti)) para ı ∈ {0, 1}.c) Calcule uma base para Ker(T ), e Im(T )) se T (x, y, z) = (2x − 3y + 4z, 5x − y +2z, 4x+ 7y). Como T : R3 → R3 verifique se R3 = Ker(T )⊕ Im(T )).

2. Calcule os autovalores e autovetores da trnasformacao linear cuja matriz e dada por

M =

[1 42 3

]Seja P a matriz cujas colunas sao formada pelos autovetores de T . Calcule P−1 eP−1AP . Resp λ0 = −1, λ1 = 5, vλ0 = (1, 1), vλ1 = (2,−1),

P =

[1 12 −1

].

3. Para cada uma da seguintes transformacoes lineares T : R2 → R2 encontre os autova-lores e autovetores

a) T (x, y) = (3x+ 3y;x+ 5y).

b) T (x, y) = (y;x).

Seja P a matriz cujas colunas sao formada pelos autovetores de T . Calcule P−1 eP−1AP .

4. Para cada uma da seguintes transformacoes lineares T : R3 → R3 encontre os autova-lores e autovetores

a) T (x, y, z) = (x+ y + z; 2y + z; 2y + 3z).

b) T (x, y) = (x+ y; y + x;−2y − z).

Seja P a matriz cujas colunas sao formada pelos autovetores de T . Calcule P−1 eP−1AP .


5. Calcule os autovalores e autovetores da trnasformacao linear cuja matriz e dada por

M =

[1 −12 −1

].

Seja P a matriz cujas colunas sao formada pelos autovetore de T . Calcule P−1 eP−1AP .

6. Encontre a representacao matricial de cada uma das Tansformacoes Lineares abaixo:

a) T (x, y, z) = (2x− 3y + 4z, 5x− y + 2z, 4x+ 7y).

b) T (x, y, z) = (2y + z, x− 4z,−3x). Calcule os autovalores e autovetores de T

c) T (x, y, z) = (2y + z, x− 4z, 3x). Calcule os autovalores e autovetores de T .

d) Calcule os autovalores e autovetores Transformacao Linear cuja matriz e dada por

A =

1 0 −11 2 12 2 3

.

e) Considere o conjunto de todos os valores π = {(a, b, c) ∈ R3, tais que −a+b−1 =0}. Calcule os autovalores e autovetores Transformacao Linear cuja matriz e dadapor

A =

a 0 −11 b 12 2 c

.

7. Seja

A =

1 −3 33 −5 3−6 −6 4

.

Mostre que o polinomio caracterıstico de A e p(λ) = (λ + 2)2(λ − 4). Calcule osautovetores de A. Rep. vλ0=−2 = (1, 1, 0), v∗λ0=−2 = (1, 0,−1) e vλ0=4 = (1, 1, 2). SejaP a matriz cujas colunas sao formadas pelos autovetores de A.

P =

1 1 01 0 −11 1 2

. Calcule P−1 e P−1AP.


5.3.1 Semelhanca de Matrizes

Definicao 5.11. Sejam An×n e Bn×n matrizes. Dizemos que A e B sao Semelhantes seexistir uma matriz Pn×n invertıvel tal que B = P−1AP .

Exemplo 5.13. Sejam

M =

[4 −21 1

], N =

[2 00 3

].

Mostre que M e N sao semelhantes.

Resolucao Nao faremos muito esforco. No Exemplo 5.9 calculamos os autovlores eautovetores da matriz M , vimos que conjunto de Autovalores de M e {λ0 = 2;λ1 = 3} econjunto de Autovetores de M e A = {vλ0 = (1, 1); vλ1 = (2, 1)}. Com os Autovetoresde M , temos a matriz P cujas colunas sao formadas pelos vetores vλ0 e vλ1

P =

[1 21 1

],

e sua inversa os dada por

P−1 =

[−1 21 −1

],

Agora e facil verificar que

P−1MP =

[2 00 3

]= N.

Segue da definicao 5.11 que M e N sao matrizes Semelhantes.

Lema 5.6. Considere m,n, p, q numeros reais tais que ∆ = (m+ q)2 − 4(mq − np) < 0 e amatriz

A =

(m np q

). (5.3.9)

Mostre que existe uma matriz Q invertıvel tal que

Q−1AQ =

(a b−b a

), onde a =

m+ q

2e b =

√4(mq − np)− (m+ q)2

2. (5.3.10)

Demonstracao O Polinomio caractrıstico de A e dado por

p(λ) = λ2 − (m+ q)λ+mq − np. (5.3.11)

cujas raızes sao dadas por

λ0 =m+ q −

√4(mq − np)− (m+ q)2

2, e λ1 =

m+ q +√

4(mq − np)− (m+ q)2

2.

(5.3.12)


Agora, devemos calcular os autovetores associados a cada um dos autovalores λ0 e λ1 dadosem (5.3.12). Suponhamos que vλ0 = (v1, v1) e vλ1 = (u1, u1). Entao (v1, v1) e (u1, u1) saosolucoes dos respectivos sistemas lineares homogeneos com coeficientes complexos{

(m− λ0)x+ ny = 0px+ (q − λ0)y = 0

e

{(m− λ1)x+ ny = 0px+ (q − λ1)y = 0.

(5.3.13)

Para resolver os dois sistemas, multiplicamos a primeira equacao de cada um deles porp e as segundas equacoes −(m − λ0) e −(m − λ1) respectivamente. Para ver que, emambos os sistemas, e suficiente resolver apenas a primeira equacao, e necessario ver queλ20 − (m + q)λ0 + mqλ0 = np e tambem λ2

1 − (m + q)λ1 + mqλ1 = np. Isto segue do fatoque λ0 e λ1 sao raızes de p(λ) que esta em (5.3.11). Entao tomando v1 = n = u1 teremosvλ0 = (n, λ0 −m) = (n, a−m) + i(0, b), e vλ1 = (n, λ1 −m) = (n, a−m)− i(0, b). A matrizdos autovetores e dada por

Q =

(n 0

m− a b

)e Q−1 =

1

nb

(b 0

a−m n

). (5.3.14)

Entao,

QAQ−1 =

(k11 k12k21 k22

)(5.3.15)

Queremos, para i, j ∈ {1, 2}, determinar kji em funcao de a, b, c e d. Mas, k11 = bnm+bn(a−m), k12 = b2n, k21 = n[np+m(m−a)]+n[m−a+ q](a−m) e k22 = bn(m−a+ q). Agora, e

facil ver que k11 = a, k12 = b, e k22 = a porque m− a+ q = m− m

2− q

2+ q = +

m

2+

q

2= a.

Finalmente, resta ver que k21 = −b. Mas,

k21 =1

bn{n[np+m(m− a) + (m− a)(a−m) + q(a−m)]} =

1

b{np+ (m− a)(a− q)},

mas, m− a =m− q

2= a− q. Entao

k21 =1

b{np+ (m− q)2

4} =

1

4b{4np+ (m− q)2} =

1

4b{4np+ 2mq − 2mq + (m− q)2}

=4(mq − np)− (m− q)2

4b= −1

b

√4(mq − np)− (m− q)2

2

√4(mq − np)− (m− q)2

2= −b.

Teorema 5.3. Dado V espaco vetorial finitamente gerado e T : V linear→ V. Sejam v1, v2, · · · , vnsao autovetores de T associados aos autovalores λ1, λ2, · · · , λn de T , respectivamente. Se osautovalores forem dois a dois distinitos, entao o conjunto S = {v1, v2, · · · , vn} e LinearmenteIndependente.

Prova A prova sera feita por inducao.


1. Se n = 1, entao tem um unico elemento (S = {v1} ), e pela Definicao 5.7 v1 = ⊙,assim S e Linearmente Independente.

2. Sopunhamos que v1, v2, · · · , vn−1 sejam autovetores de T associados aos autovaloresλ1, λ2, · · · , λn−1 de T , respectivamente e que S0 = {v1, v2, · · · , vn−1} seja LinearmenteIndependente. Queremos determinar todos os α1, α2, · · · , αn ∈ K tais que

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = ⊙. (5.3.16)

Aplicamos T em ambos os membros de (5.3.16) e obtemos

T (α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn) = T (⊙) = ⊙.

ou seja

α1T (v1) + α2T (v2) + · · ·+ αnT (vn)) = ⊙.

Como T (vi) = Λivi,

α1λ1v1 + α2λ2v2 + · · ·+ αnλnvn = ⊙. (5.3.17)

Multiplicando (5.3.16) por λn teremos

λnα1v1 + λnα2v2 + · · ·+ λnαnvn = ⊙. (5.3.18)

Subtraindo (5.3.18) de (5.3.17)teremos

α1(λ1 − λn)v1 + α2(λ2 − λn)v2 + · · ·+ αn−1(λn−1 − λn−1)vn = ⊙. (5.3.19)

Como S0 e Linearmente Independente e λi = λn para i ∈ {1, 2, · · · , n− 1}, α1 = α2 =· · ·αn−1 = 0. Votando em (5.3.16) vemos que αnv=⊙. Da Definicao 5.7 v1 = ⊙, entaoαn = 0. Portanto, α1 = 0, α2 = 0, · · · , αn = 0.

Observacao 5.3. Se no Teorema 5.3 V e tal que dim(V) = n, os autovetores de T : V linear→ Vformam o conjunto S = {v1, v2, · · · , vn} que tem n vetores e e Linearmente Independente.Entao,

1. S e base de V.

2. Se para cada i ∈ {1, 2, · · · , n}, Wi o subespaco de V gerado pelo autovetor vi (Wi =[vi]), Wi e denominado Autoespaco de T asociado ao autovetor vi.

3. V = W1 ⊕W2 ⊕ · · · ⊕Wn.


4. A matriz de T relativa a base S e dada por

[T ]SS =

λ1 0 0 . . . 00 λ2 0 . . . 00 0 λ3 . . . 0...

......

......

0 0 0 0 λn

. (5.3.20)

5. Se B = {u1, u2, · · · , un} for uma base de V, M = [T ]BB for a matriz de T relativa abase B. Suponhamos que v1, v2, · · · , vn ∈ S sao os autovetores de M . Seja P a matrizcujas colunas sao formadas pelos autovetores de M ou equivalentemente de T . Entaodet(P ) = 0 e

P−1MP =

λ1 0 0 . . . 00 λ2 0 . . . 00 0 λ3 . . . 0...

......

......

0 0 0 0 λn

. (5.3.21)

Exemplo 5.14. Seja

M =

4 1 −12 5 −21 1 2

(5.3.22)

1. Calcule os autovalores e autovetores de M .

2. Calcule P e P−1 onde P e a matriz cujas colunas sao formadas pelos autovetores deM .

3. Mostre que se λ1, λ2 e λ3 forem os autovetores de M ,

P−1MP =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

Resolucao O polinomio caratrıstico de M e dado por

p(λ) = det

4− λ 1 −12 5− λ −21 1 2− λ

= λ3 − 11λ2 + 39λ− 45 = (λ− 3)2(λ− 5).

Os autovetores de M associado a λ1 = λ3 = 3 sao vλ1 = (1,−1, 0) e vλ2 = (1, 0, 1). Oautovetor de M associado a λ2 = 5 e vλ3 = (1, 2, 1). A matriz


P =

1 1 1−1 0 20 1 1

, P−1 = −1

2

−2 0 21 1 −3

−1 −1 1

e P−1MP =

3 0 00 3 00 0 5

EXERCICIOS

1. Seja

M =

(3 22 3

)(5.3.23)

a) Calcule os autovalores e autovetores de M .

b) Calcule P e P−1 onde P e a matriz cujas colunas sao formadas pelos autovetoresde M .

c) Mostre que se λ1 e λ2 forem os autovetores de M ,

P−1MP =

(λ1 00 λ2

).

2. Seja

M =

(1 −12 −1

)(5.3.24)


b) Calcule P e P−1 onde P e a matriz cujas colunas sao formadas pelos autovetoresde M .

c) Mostre que se λ1 e λ2 forem os autovetores de M ,

P−1MP =

(λ1 00 λ2

).

3. Seja T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) = (x− 3y + 3z; 3x− 5y + 3z; 6x− 6y + 4z). SeM e a matriz de T ,


b) Calcule P e P−1 onde P e a matriz cujas colunas sao formadas pelos autovetores deM .


c) Mostre que se λ1, λ2 e λ3 forem os autovetores de M ,

P−1MP =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

.

4. Seja T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) = (0x+ 7y− 6z;−x+ 4y; 0x+ 2y− 2z). Se M ea matriz de T ,




P−1MP =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

. Resp. P =

(9 5 43 1 22 2 1

). λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 2.

5. Se a matriz M for dada por

M =

α β γm q na b c

.

a) Mostre que se Tr(M) = α + q + w entao

p(λ) = −λ3+Tr(M)λ2−[det( α β

m q

)+det

( α γa c

)+det

( q nb c

)]λ+det(M).

b) Mostre que se tomarmos m = 0 = u e det(M − λI) = p(λ), entao

p(λ) = (α− λ)[λ2 − (w + q)λ+ qw − vn]

e que resolvermos p(λ) = 0, teremos ∆ = (w + q)2 − 4(qw − vn).

c) Escolha w = 1, q = 2, v = 2, n = 3 e α = −2.

• Calcule os autovalores os autovetores de T : R3 linear→ R3 cuja matriz de T e M .

• Calcule a P matriz dos auvetores de T e verifique se P tem inversa.

• Calcule P−1 e P−1MP .

6. Seja T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) = (x+ 4y − 3z; 0x+ 3y + z; 0x+ 2y − z). Se Me a matriz de T ,





P−1MP =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

.

7. Sejam a, b, c ∈ R e

M =

a b cb a cb c a

(5.3.25)

(a) Mostre que λ0 = a− b e um dos autovalores de M .

(b) Calcule os outros autovalores.

(c) Calcule os autovetoes asscoado a cada um dos autovalores.

8. Sejam a, b, c ∈ R e

M =

a b c db a c db c a db c d a

(5.3.26)

(a) Mostre que λ0 = a− b, λ0 = a− c e λ0 = a− d sao autovalores de M .

(b) Calcule o outro autovalores.

(c) Calcule os autovetoes asscoado a cada um dos autovalores.

Referencias Bibliograficas

[1] David, P.; Algebra Linear; Thombson, SAO PAULO; 2004.

[2] Lipchutz, S.; Algebra Linear; Colecao Schaum- McGraw-Hill, SAOPAULO (1972).

[3] Lipchutz, S.; Algebra Linear Teoria e Problemas; Colecao Schaum-Pearson-Maakron Books, 3a ed. SAO PAULO (1994).

[4] Callioli, C. A.; Domingues, H. H.; Costa, R. C. F.; Algebra Linear eAplicacoes ; 6a ed. Atual Editora , SAO PAULO (1990). 5825

[5] Lourenco, M. L.; Coelho, F. U.; Um Curso de Algebra Linear e Aplicacoes; 1a ed.Edusp , SAO PAULO (2005).

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geometria anal itica e algebra linear notas de...

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