geometria 4º ano

GEOMETRIAÉ um ramo da Matemática que estuda as propriedades e as dimensões das linhas, das superfícies e dos volumes, no plano e no espaço.

Do grego «terra», elemento de formação

de palavras que exprime a ideia de

Terra.

Suf. nom. de origem grega que exprime a

ideia de medição, medida

(calorimetria, volumetria).

O elemento mais “pequeno” que se estuda em Geometria, sendo considerado a mais pequena unidade gráfica.

PONTO, RETA e PLANO:

Vós já tendes uma ideia intuitiva (clara) sobre ponto, reta e plano, pois:

Um furo de agulha num papel dá ideia de ponto.

Uma corda bem esticada dá ideia de reta.

O quadro negro da sala de aula dá ideia de plano.

O ponto, a reta e o plano são Conceitos primitivos no estudo

da Geometria.

A

r reta

ponto plano

PONTO, RETA e PLANO:

A

r reta

ponto plano

PONTO é identificado com letras maiúsculas do nosso alfabeto

,......,, CBA

RETA é identificada com letras minúsculas do nosso alfabeto

PLANO é identificado com letras gregas minúsculas

,......,, cba

,.....,,

Conforme verificaste , o ponto, a reta e o plano são identificados de modos diferentes.

Apesar de, habitualmente, se marcar um ponto fazendo pressão sobre o papel com o bico do lápis ou caneta, em Geometria, o ponto é definido pelo cruzamento de duas linhas, sejam elas curvas ou retas.

Os pontos devem identificar-se com letras MAIÚSCULAS.

É o que fazes quando pousas o lápis na folha e sem o levantares fazes um movimento.

As linhas são o prolongamento de um ponto

Numa reta há infinitos pontos.

r r

Num plano há infinitos pontos.

Num plano existem infinitas retas.

m s

nt

r

Por dois pontos distintos passa uma única reta. Num plano há infinitos pontos

A B r

AB Indicaremos por uma reta que passa pelos pontos A e B.

A B

PONTOS COLINEARES:

Os pontos alinhados, pertencentes a uma mesma reta

são chamados Colineares.

Os pontos A, B e C

são pontos alinhados

- são colineares

C

Os pontos R, S e T

são pontos não alinhados

- não são colineares

RS

T

PONTOS EQUIDISTANTES

Os pontos que estão à mesma distância de um dado ponto chamam-se pontos equidistantes.

Assim, na imagem:

- Os pontos 3 e 4 estão à mesma distância do ponto 2 - são pontos equidistantes do ponto 2.

- os pontos M e N estão à mesma distância do ponto 4 – são pontos equidistantes do ponto 4.

COORDENADAS

As coordenadas formam o par ordenado (x,y).

A B C D E F G H I

As coordenadas do ponto A são (C,20).

As coordenadas do ponto B são (G,20).

As coordenadas do ponto C são (F,50).

Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

COORDENADAS

Coordenadas Cartesianas

Os números do par ordenado são chamados coordenadas cartesianas.

Plano Cartesiano

Representamos um par ordenado num plano cartesiano.

Esse plano é formado por duas retas, x e y, perpendiculares entre si.A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

COORDENADAS

As linhas podem

ser :

Quebradas

Curvas

Mistas

Retas

É o que fazes quando pousas o lápis na folha e sem o levantares fazes um movimento.

As linhas são o prolongamento de um ponto

Vamos aprender ou recordar o que define uma:

SEGMENTO DE RETA - com princípio e fim ( pode-se medir ) e identifica-se, no princípio e no fim, com letras MAIÚSCULAS.

SEMI-RETA - com princípio e sem fim e identifica-se com uma letra MAIÚSCULA no início.

RETA - não tem princípio nem fim e identifica-se com uma letra minúscula sobre a linha.

Vamos aprender ou recordar o que define as linhas retas quanto à sua posição:

HORIZONTAL quando se alinha pelo horizonte.

OBLÍQUA quando não está na posição vertical ou horizontal, quando dá a sensação de inclinação.

VERTICAL quando toma a posição do “fio-de-prumo”.

Linha do horizonte

FIO-DE-PRUMO

Utensílio de metal pesado, geralmente de forma cónica, suspenso por um fio, destinado a verificar a verticalidade de qualquer objeto, e de forma geral, a direção da vertical do lugar.

90º90º

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO

Retas concorrentes: quando têm um único ponto comum.

A

s

r

Asr

Retas paralelas: quando não têm ponto comum.

rs sr


SEMI – RETA: Um ponto P qualquer de uma reta r divide esta reta em duas partes denominadas semi-retas de origem

r

semi-reta semi-reta

P

Para distinguir as semi–retas, vamos marcar os pontos A e B pertencentes a cada semi-reta.

PB A

r

Semi-reta de origem P e que passa pelo ponto A Semi-reta de origem P e que passa pelo ponto B

PA

PB


SEGMENTO DE RETA: Um segmento de reta de extremidades A e B é o conjunto dos pontos que estão entre elas, incluindo as extremidades

BA

Indica-se o segmento por AB AB

NOTA: Entre as extremidades de um segmento há infinitos

pontos.


BA

SEGMENTOS CONSECUTIVOS:

Dois segmentos de reta que têm uma extremidade comum são chamados consecutivos

e

São consecutivos

AB BCC

AC


BA

SEGMENTOS COLINEARES:

Dois segmentos de reta são colineares se estão numa reta

C D

AB CD e são colineares

P Q R

QR QRe são colineares e (consecutivos)PQ


BA

SEGMENTOS CONGRUENTES:

Dois segmentos de reta são congruentes quando possuem medidas iguais.

C D

CDAB AB é congruente a CD

4 cm

4 cm

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO:

Um ponto M é chamado ponto médio de um segmento se M está entre A e B e AB MBAM

M A B

Vamos aprender ou recordar o que define as linhas retas quanto à sua situação em relação umas às outras:

PARALELAS CONCORRENTES PERPENDICULARES

São aquelas que por muito se

prolonguem, nunca se encontram,

mantendo sempre a mesma distância

entre si.

São aquelas que se cruzam num ponto, formando ângulos

entre si.

São concorrentes e formam entre si

ângulos retos, com 90º.

90º

ÂNGULO é uma região de um plano limitada por duas semi-retas ( lados do ângulo) com a origem no mesmo ponto (vértice do ângulo).

O é o vértice do ângulo

As semi-retas OA e OB são denominadas lados do ângulo

Para identificar esse ângulo utilizamos a notação AOB ou BOA

(Lê-se “ângulo AOB”) A letra que corresponde ao vértice deve ficar no meio

ÂNGULO

Bissetriz

Semi-reta

ÂNGULO

r

s

t

a

gf

e

cb

d

h

Ângulos formados entre retas

A “ferramenta” que utilizamos para medir (saber o valor em graus) de um ângulo, chama-se

TRANSFERIDOR.

45º

90º

135º

180º 0º

30º

60º120º

150º

A medida de um ângulo é dada pela medida da sua abertura (amplitude) e a unidade padrão utilizada é o grau, que se representa pelo símbolo º após o número.

Medida de um ângulo

Quando duas semi-retas são opostas, dizemos que formam um ângulo raso ou de meia-volta.

Ângulo Raso

BAC é um ângulo raso ou de meia-volta

Ângulo Raso: Ângulo que mede exatamente 180°

Ângulo Nulo

Quando duas semi-retas coincidem, obtemos um ângulo nulo, ou seja um ângulo de amplitude 0º.

ângulo nulo

Ângulo Giro

Ângulo giro é um ângulo que mede 360°

ângulo giro

Ângulo Adjacentes

Ângulos adjacentes são ângulos que têm um vértice e um lado em comum e não se sobrepõem.

<AOB e <BOC têm olado B em comum.

<AOC e <BOC têm olado C em comum.

Ângulo Geometricamente Iguais

Dois ângulos dizem-se geometricamente iguais, ou congruentes, quando sobrepostos coincidem um com o outro, ponto por ponto; ou seja, quando tem a mesma amplitude.

Na figura em acima, temos que ABC e DEF são ângulos congruentes. Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.


Dois ângulos que tenham a mesma abertura dizem-se geometricamente iguais. Quer dizer que têm a mesma amplitude.

Ângulo Complementares e Suplementares

Dois ângulos são complementares

quando a soma das medidas dos dois

ângulos é 90º .

Dois ângulos são suplementares

quando a soma das medidas dos dois

ângulos é 180°.

ÂNGULO é o espaço compreendido entre duas retas concorrentes, sendo o GRAU ( º ) a unidade de medida da

amplitude dos ângulos.

ÂNGULO RETO quando as linhas

formam entre si um ângulo de 90º.

ÂNGULO AGUDO quando formam entre si ângulos inferiores a

90º.

ÂNGULO OBTUSO quando

formam entre si ângulos superiores a

90º.

90º

<90º

>90º

Vamos agora rever o que aprendemos!

Tentar encontrar ...Procurar algumas linhas rectas ...

Procurar linhas rectas e paralelas ...Procurar linhas retas

perpendiculares...

Procurar linhas retas perpendiculares...

Esta é ........ HORIZONTAL!

Esta é ....

....VERTICAL!

Procurar algumas linhas curvas...

Figuras no plano

Figuras geométricas

Figuras no planoFiguras geométricas

Polígono - figura plana limitada só por segmentos de reta, chamados lados dos polígonos onde cada segmento de reta, interseta exatamente dois outros extremos;

-se os lados forem todos iguais e os ângulos internos também, o polígono diz-se regular.


Polígonos Regulares

Polígonos com lados e ângulos todos iguais


Polígonos Irregulares

Um polígono irregular é aquele que não possui os ângulos com medidas iguais e os lados não possuem o mesmo tamanho.

Figuras no plano - Figuras geométricas

Triângulos

Triângulo é uma figura plana limitada por

três segmentos de reta (os lados)

Existem três tipos de triângulos considerando as medidas de seus lados:

Equilátero: quando todos os lados são iguais.

Isósceles: quando dois lados e só 2 são iguais.

Escaleno: quando todos os lados são diferentes.


Triângulos


Triângulos

Os triângulos também são classificados de acordo com seus ângulos internos:

Triângulo retângulo: quando possui um ângulo igual a 90º e 2 agudos – a sua soma é de 180º.

Obtusângulo: quando possui um ângulo maior que 90º - 1 ângulo obtuso e 2 ângulos agudos.

Acutângulo: quando possui ângulos menores que 90º- tem 3 ângulos agudos.


Triângulos


Triângulos

Amplitude de ângulos de triângulos

A ângulo CBA mede 40º.

Lados diferentes e um ângulo reto.

Triângulo escaleno Retângulo


Triângulos


Cada um dos 3 ângulos mede 60º. 3 lados e 3 ângulos iguais e agudos

(congruentes).

Triângulo equilátero Acutângulo


Triângulos


Os ângulos medem: 65º, 70º e 45º.

Os ângulos são todos agudos.

Lados e ângulos diferentes

Triângulo escaleno Acutângulo


Triângulos


O ângulo CBA mede 65º.Tem dois lados congruentes.

Os ângulos são todos agudos.

Triângulo isósceles Acutângulo


Triângulos


O ângulo CBA mede 90º.Tem dois lados iguais (congruentes).

Tem um ângulo reto.

Triângulo isósceles Retângulo


Triângulos


O ângulo a mede 95º.Tem lados diferentes.Tem 2 ângulos agudos e 1 obtuso.

Tem um ângulo obtuso

Triângulo escaleno Obtusângulo


Triângulos


O ângulo b mede 110º.Tem 2 lados iguais /congruentes.Tem 1 ângulo obtuso.

Tem um ângulo obtuso

Triângulo isósceles Obtusângulo


Quadriláteros

Quadrilátero é um polígono de quatro lados.


Quadriláteros


Trapézio: Quadrilátero com lados paralelos; Paralelogramo: Quadrilátero com dois pares de lados paralelos; Rectângulo: Quadrilátero com todos os lados consecutivos perpendiculares (ou com 4 ângulos retos); Losango: Quadrilátero com todos os lados iguais; Quadrado: Retângulo com lados iguais (Podemos também dizer que é um losango com os lados consecutivos perpendiculares).

Figuras no plano - Figuras geométricas: Quadriláteros


Um quadrilátero tem:

• 4 lados - [AB] , [BC] , [CD] , [DA] ;

• 4 vértices - A , B , C , D ;

• 4 ângulos - CBA , DCB , ADC ,

BAD;

• [AC] e [BD] são as diagonais

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.Um quadrilátero diz-se regular se tem todos os lados e ângulos iguais.


Os Quadriláteros são classificados em:

Paralelogramas:

Se todos os lados opostos forem iguais e paralelos, trata-se de um Paralelogramo.Características de um paralelograma:

A soma de dois ângulos consecutivos é de 180°;As diagonais cortam-se no ponto médio;Os lados opostos são congruentes;Os ângulos opostos são congruentes.



Tipos de Paralelogramas:Paralelogramo Obliquângulo: Os lados opostos são iguais entre si;

Retângulo: Possui quatro ângulos de 90°, e os lados opostos são iguais entre si;

Losango: Todos os lados são iguais entre si;

Quadrado: Possui quatro ângulos de 90°, e todos os lados são iguais entre si. As diagonais cruzam-se no ponto médio.



Trapézios:


Pentágonos

Pentágono irregular

Pentágono é um polígono de cinco lados. A soma dos ângulos de um pentágono é de 540 graus.


Hexágonos

Hexágono é um polígono de seis lados. A soma dos ângulos de um hexágono é de 720 graus.

hexágono regularhexágono irregular


Heptágonos

Heptágono é um polígono de sete lados. A soma dos ângulos de um heptágono é 900 graus.

heptágono regular

Circunferência

Circunferência é uma linha curva fechada,

cujos pontos se encontram todos à mesma

distância do centro.

Uma circunferência é o conjunto de pontos que estão todos à mesma distância de um ponto nele fixado chamado centroO centro não pertence à circunferência.

Circunferência e Círculo

Círculo

Círculo é o espaço limitado pela

circunferência.

Um círculo é uma figura plana formada por uma circunferência e por todos os pontos que pertencem à sua parte interna. O centro pertence ao círculo.


semicircunferência

semicircunferência metade de uma circunferência.

Semicírculo metade de um círculo.

Semi é o mesmo que metade!


diâmetro

Diâmetro é um segmento de reta que

liga dois pontos da circunferência

passando pelo centro.


raio

Raio é qualquer segmento de reta que liga

qualquer ponto da circunferência ao seu

centro.

O raio mede metade do diâmetro.


corda

Corda é qualquer segmento de reta

que liga dois ponto da circunferência

sem passar pelo seu centro.


circunferência

diâmetro

corda

raiocírculo


Cavaleiro/2014

geometria 4º ano

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