TRABAJOS DE ESTADISTICA Vol. 1, Nt~m. 1, 1986, pp. 42 a 59

G E N E R A L I Z A C I O N D E L T E O R E M A D E H A N S O N Y R U S S O

P A R A B - V A R I A B L E S A L E A T O R I A S

Revisado, octubre 1985.

Victor Herndndez Dioisi6n de Matem,~ticas Unirersidad Aut6noma de Madrid

Juan J. Romo Departamemo de Estadlstica e 1.0. Uni~ersidad Complutense

RESUMEN

En este trabajo se presenta una generalizaci6n de un teorema de D. L. Hanson y R. P. Russo (!981) para variables aleatorias i.i.d, que toman valores en un espacio de Banach separable (B-variables), en el esquema m~s general de la ley de Marcinkiewicz y Zygmund.

Imponiendo condiciones sobre los momentos y el tipo Rademacher del espacio se obtienen resuitados de la forma:

m~ix j-X/PllS, - S . - ~ l l ~ 0, casi seguro, c u a n d o n ~ n p/=~j ~_ n

Palabras clare: Convergencia casi segura. Espacio de Banach. Ley fuerte de los grandes nfimeros. Tipo Rademacher a.

SUMMARY

In this paper we give a generalization of the theorem of D. L. Hanson and R. P. Russo to the i.i.d., Banach valued r.v.'s, let S, = XI + X2 + .-. + X,. We give conditions under which

m~ix j-z/~ - S._AI ~ 0, almost sure, when n + ov ~pl,<=j<__.

Key words: Almost sure convergence. Banach space. Strong law of large num- bers. Type Redemacher -.

A M S classification: 601305.

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1. Introducci6n

En los filtimos tiempos hemos establecido algunos resultados que permiten estimar la velocidad de convergencia en las leyes de los grandes nfimeros, para variables aleatorias que toman valores en un espacio de Banach separable, a l a s que de ahora en adelante l lamaremos B- variables.

Estas tasas de convergencia exigen condiciones sobre los momentos de las variables y el tipo del espacio B y generalizan los resultados de Baum y Katz (1965) para el caso real. Un resumen de las tasas obtenidas puede encontrarse en Hern;indez y Romo (1984). Resultados relaciona- dos pueden hallarse tambi6n en Woyzynski (1982).

Uno de nuestros resultados ofrece como interesante consecuencia la posibilidad de generalizar un reciente resultado de Hanson y Russo (1981) que matiza c6mo aprovechar la existencia de momentos de orden superior a uno, para afiadir consecuencias a la clfisica ley fuerte de los grandes nfmeros . El objeto de este trabajo es presentar tal generaliza- ci6n.

Como es habitual en la literatura sobre tasas de convergencia, emplearemos siempre la misma letra c para denotar las constantes que mayoran.

Queremos agradecer a los referees por sus correcciones y sugerencias.

2. Resuitados previos

Teorema 1. Sean a > 1,/~ > 1, 1/2 </3/~ __g 1. Sea B un espacio de Banach separable, de tipo ~//3 y {X,} una sucesi6n de B-variables aleatorias i.i.d, tales que EX~ = 0 y EIIX~II" < ~ . Entonces se verifica:

~nB-2p{IIS,,I[ > en ply'} < ~ , para cada e > 0 n = l

Demostraci6n. Para la prueba necesitamos dos resultados previos que presentamos como lemas.

Lema 1. Sea B u n espacio de Banach separable y X una B-variable aleatoria tal que EX = 0 y EHXH" < oo, r ~ 1. Entonces para cada e > 0

43

y cada s, 1 ~ s ~ r, existe una B-variable aleatoria X',: que toma a !o mS.s un n6mero finito de valores distintos tal que:

i) EX;: = 0 ii) EIIX',JI" < ~ iii) EIIX - X',][ ~ <

Demos trae i6n dei l ema 1

Comenzaremos p robando que para cada e > 0, existe una B-variable

X,: que toma a 1o m~is un n6mero numerable de valores distintos y tal que

EX,: = 0 y IIX(co) - X,:(w)ll < e para todo tnef~

Sea Ix,; n e N} un conjunto denso en B. Sea B, la bola de centro x, y radio 6 > 0.

n - 1

-- .tB, es una sucesi6n de borelianos disjuntos, S e a B , * = B , ~ Bj.~ *} j = l

tales que su uni6n es B. Sea A,, = X - I ( B * ) , {A,} es una sucesi6n de medibles disjuntos tales

que su uni6n es f~.

Si A. ~ qS, elegimos z, ~ B*. Definimos

z6 : f ) ~ ~ , zo-(co) = z . si co~A,,

Se cumple IIX(og) - z6(co)ll < 26, para todo co ~ f~; por consiguiente, se tendr~i:

IIEZ611 ~ IIEXII + I IEZ~ - EXII ~ E I I Z ~ - Xll < 2c5

Ahora, si X~ = Z ~ l 4 - EZe./4, es inmediato comprobar que X~verifica laz condiciiones sefialadas.

Sea X', = X , . . 1,4,~,42u...~A., donde v > 0 se determinar~ a continua- ci6n.

Es claro que X'. ---, X,,, casi seguro. Adem~is, IIS'nll - IIX~ll; por tanto, se cumplen:

EIIX'.II r ~ EllXdl' ~ 2 ' - 1 ( r + EIIXID < ~ , para cada n

44

Y

l lX'. - x,41" - 2"- ' ( l lX ' . l l " + I IXJ l ' )

2 ' l lXJ l"

-~ 2' ( l lXl l + I I X , , - X l lY

2 2``- , ( l lXll = + v =)

teorema de convergencia dominada EIIX'o- XJl'--, 0, luego, por el c u a r l d o tl ---, zt2.

P o t o t ra parte, se tiene

I IEX'.I I ~ I I E ( X . - X.,)il + l lEX,,I I

~- E I IX ' . - x , I I

~_ E ' / ' I I X ' . - X,,l l =

Resul ta asi EX~, --. O, cuando n ~ ~ .

Po t tan to , podemos hacer:

EII(X'. - EX'.) - X[ I ' ~ 2 ' - ' ( E l l X ' . - X l l ' + IIEX'.II9

K 2 2 S - 2 E I I X ' - X v l l s + 2 2 ' - 2 E l I X v - X I I "

+ 2 ' - ' IIEX'.II '

t = sin mils que elegir n y v convenientemente . Basta t o m a r X , X', - EX' , ,

para tener la variable requer ida por el lema.

L e m a 2. Sea B un espacio de Banach separable y {X,} una sucesi6n de B-var iables a leator ias i.i.d., tales que EllXxl]" < 0% E X I = 0 con r ~_ 1. Entonces , pa ra cada s, 1 ~_ s ~ r y 6 > 0 es posible cons t ru i r dos sucesiones ~'X'/t , j y {X~,'} de B-variables i.i.d, tales que pa ra cada n:

t p i) x . = x ' . + x . p t ii) E X , = EX' , = E X , = 0

iii) EI[X~,]I ~ < oc, E[IX~,']I" < oo

iv) EIIX;,'II ~ <

y ademS.s sY'~. es f ini to-dimensional . ( ' L n J

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La demostraci6n del lema 2 es muy sencilla a la vista del lema 1.

Demos trac i6n del teorema I. Basta probarlo para e = 2.

De acuerdo al lema 2, si {X.} cumple las condiciones del teorema 1, para cada 3 > 0, es posible hallar dos sucesiones {X'.}, {X~'}, de B- variables tales que:

t t t t l X . = X . + X . , EX ' . = E X . = 0

EIIX'.ll ~ < oo , E I IX; , ' l l �9 < o c , EIIX'.'ll~/# < oo

y {X'.} es finito-dimensional. Liamemos

s ' . = y x ; y i = 1

c t r S. = S. - S.

E1 teorema de Baum y Katz (1965), caso unidimensional, se extiende sin dificultad al caso finito-dimensional, por 1o cual

y dado que

oc

y" , ,#-2p{l lS'. l I > n~l:'} < oo n = l

- ' ' n a i l ] �9 P { I I S ' . ' I I > P{IIS.II > 2n fll=} ~ PdlS.II > + na/'}

es suficiente probar que ~[nl3-2P{llS', 'll > n ~1~} converge. A partir de este momento razonaremos exclusivamente con la suce-

si6n {X'.'}, por lo que, para simplificar, cambiaremos la notaci6n, escribiendo X..

N

_tnfl/,.~ A~I)= U { l l X j l l > 2 ; j = l

N

A~2~ . . . . = u {IIX.AI > n, , IlXkll > n'} j , k = l

j * k

siendo 7 < filet una constante que determinaremos de forma adecuacla mils adelante, y sea

A~ 3~= {llS.II > �89

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donde

k = l

siendo

Xk, n = Xkl{llXdl<~n'e }

Evidentemente se tiene:

{llS,II > n ~/~} ~ a~X'u A~ 2) u A~ 3)

luego basta probar que las tres series ~'n#-2P{A~~ i= 1, 2, 3, son convergentes.

En primer lugar tenemos

~ n#-2o,all)~ ~ ~ na-IP{llX~ll > ~n ~/~} J ~ n j ' - - n = l n = l

= ~ ~ na-~P{llX~ll > �89 131~} k = O nEC~

siendo

C~ = .{hi k,/~ ~_ n < (k + 1) ~//?}

resulta entonces

n#-2P{A~ ~)} ~_ ~ (k + 1) ~#-1)/# # CkP{llX,ll > k/2} n = l k=O

C ~ (k + 1)~3-1)/#k~-#~l#P{llX,ll > k]2} k=O

C ~ k~-lP{llx,II > k/2} k = l

ya que la filtima serie est~i mayorada por cEIIXIll ~'.

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En segundo lugar se tiene:

psat2)~ < (~)P{IIXlll t ,~n j _

~_ nZPZ{llX1] ] > n;'}

~_ n2-2";'E2llXlll "

~_~ C/12 - 2a7

> n;', IlXzll > n;'}

Por consiguiente, la serie ~ nt~-2Ps ,Jt2~,t,,,, ~ est~i mayorada por c ~ I1 p-2:~7 y

converger~ si elegimos 7 de suerte que f l - 2ct7 < - 1 , es decir, la primera condici6n que debe cumplir 7 es 7 > (fl + 1)/2:t.

Por filtimo resulta:

pero

P{IIS.I1 > �89 = P( I IS. I I - EI IS.I I > �89 - EI IS. I I }

EIIS,,II < EIIS.II + ~ E[ilXkllI,,tlx,ll >,,;;} k = l

Ahora bien, por la hip6tesis de tipo se verifica

EIIS.II -~ (EIIS.IP'P) ~'~ ~- A np''6t~'"

y por otra parte,

f E{llX~lll.[llx,tl >,,~].} = k = l

= II I {]Xl]ldP~ nl-;'(~-l) I X ~ ix,,>,, ix,,>.,.ll ~11 dP

si elegimos 7 tal que 1 - -,,(~ - 1) ~ fl/zt, es decir, 7 ~ (~ - fl)/~t(~t - 1) resultar~:

~, E{IIX~Itl, ~.,~ ~ 6,7;'/" ,l lX~ll>n ,S -

k = l

si n es suficientemente grande.

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El ig iendo 6 tal que A ~ p/" + 6 < 1/4, resul ta EIIS.II -~ nP/"/4, si n es suf ic ien temente grande , por 1o cual se c u m p l e

P{IIS.[I > �89 ~ P{IIS.II - EIIS.II > �88 ~/=}

S u p o n g a m o s a < 2. P o r la des igua ldad de Yur inski i (1975):

P{IIS~II - EIIS.II > �88 #/~'} ~- cn~-2a~/~EIIS1.~[I z

= cnla- 2Bi/a flgxll < n ~ IlX 1112 dP

cn,'~z -~'~ + ~ - ua~/~ E I I X x ll �9

luego si fl - 2 + 1 - 2 fl- + ).(2 - ct) < - 1 , es decir, 7' < 3/ct, se tiene 0t

na-ze[llS~ll > -~. j < oc n = l

S u p o n g a m o s ct ~ 2. P o r la des igua ldad de Acos ta (1981):

P{IIS~II - EIIS, II > �88 ~'~} ~ n-'a'~EIllS~ll - EIISnlII"

~ c n - , a , '~ EIIX~..II 2 k I

+ ~ EIIgk..Ir} k = l

d o n d e r, r > ~t se de te rminar f i po r condic iones poster iores . P o r la equi- d i s t r ibuc i6n de las variables, resul ta

P[IIS.II - EllS.It > �88 p~'} ~ c n - ~ [ n ~ / 2 ( E I I X ~ , ~ l l 2 ) ~;2 +

+ nE]{,~l, .][ ~} < cn-~t~i~{n~/2(E[[Xl + _ 112) "/2 n 1 + ~ ' - ~ I E I I X I I I ~}

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puesto que

EI[.~,..II' = ; IlX~ll'dPg_n"-""/; IIX,IPdP~_ IXdl<n" IXdl<n;

~_ n~'-~'~EIIX alP

D a d o que fl[~ > 1/2, basta elegir r suf icientemente g rande para tener

r fl-2-r~-+ =fl-2-r -

luego s i r es suf icientemente g rande se tendr~"

< - 1

• .P-z-'a,~+',~(EIIX~II~) "/~ < n = l

Por otra parte, si 7 < filet, se verifica fl - 2 - rflle + 1 - 7(r - :~) < - 1 , luego se tiene

n = l

que ~ n t o a la relaciOn anter ior p roporc iona"

n P - z P { I I S . I I - E I I S . I I > , , , , s < oc 1,1=1

En resumen, si existe - / > 0 tal que se verifican simult~ineamente las desigualdades:

i) 7 -~ ( ~ - , B ) / ~ ( ' . - 1)

ii) 7 > (fl + 1)12~

iii) 7 < fl/:~

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s iendo �89 < fllc~ __6 1, se verifica-

na--'p{ll~,,ll > �89 < oo n = l

cualquiera que sea ct > 1, c o m o q u e r i a m o s p robar . D a d o que si /3 > 1, resul tan (fl + 1)[2~t < filet y (~t - fl)/ct(ct - 1)

< fllct se t iene (mfix {(~t - fl)/ot(ct - 1), (fl + 1)[2ct}, filet) 4: $ Y, por tanto , tal e lecci6n de 7 es posible.

C o m o consecuenc ia del T e o r e m a 1, se t ienen los s iguientes resul tados , que son la he r r amien t a clave en nues t ra genera l izac i6n del t e o r e m a de H a n s o n y Russo.

T e o r e m a 2 . Sean 0r l, f l > 1, 1 / 2 < f l / ~ _ ~ 1. Sea {X,} u n a s u c e - si6n de var iables a leator ias i.i.d, con valores en un espacio de Banach separable de t ipo c#fl. Si EIIXxll ~ < oc y U S 1 = O, se cumple"

n f l -2pfm~ix I}Sjl[ > ~n~l'at < o c , pa ra t o d o e > 0

D e m o s t r a c i 6 n . Sea { X~}, X~, = X . - X ' . la sucesi6n s imetr izada de f ) ~X. s. C o m o EIIX~I[ ~ < ~, del T e o r e m a 1 se deduce"

LIIS.II > < oc para t o d o E > 0 n = l

Por la des igua ldad de L6vy t e n e m o s

f 1 P J m / l x [ISjll > e " ' ' ~ __6 2P[IIS~II > a d '~}

t . j_~n J

luego se tendr~i

nO-2p(mf~x[[S~[[> ~,n~/~}< o c , pa ra t o d o e > 0 n = 1 ~- j__Nn

Por o t ra par te , si

t s~ = E s'o = E

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se t iene

j_~, ~. j_~,

~ f m~x ,lS,[, > ena/'} t. j~_n

Ahora, puesto que [[S'~l[/n a;~ ---, 0, casi seguro, fijado e > 0, existe no(e,) tal que

pf IIS~ll } ~sup ;-Eft-,', -~ e ~ 3/4 kj~_nod

entonces s i n > no se tendr~i

Por otra parte, existe No tal que

~_ e,n p/'} ~ 3/4

f ) n o > N O se verifica: P~m~ix IlS)ll _6 ena/~_3/4 s i

L j 6 n ~ )

resulta asi que para todo n suficientemente grande y para cada ~ > 0 se tiene

t. i n n t. j N n

luego, por la observaci6n inicial,

na-2pImfaxllS~l[ > ena/~ t < ~c , para todo e > 0 n = 1 ~" j - 6 n

Corolario I. En las condiciones del teorema 2 se verifica:

Pfm~ix IISjll > ~n ~} < ~ , para t o d o r > 0 n = l kjK_n

donde 7 = l[(fl - 1), 6 = fl/~t(fl - 1).

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Demostraci6n. Supongamos que fl _~ 2 y, por tanto, ~ __6 1.

Sea Ck = {nsNlk - 1 < n ~' N k}. Tenemos:

P(m~ixllS~l[ > en6} = ~ ~ p(m~ixllSi,l > en'} n = l kjN_n r k = l nECk k j N n 7

~_ c ~ # CkPfm'.ix,lSj,l > e'k'~/' } k = l k j6k

~_ C Z kll-~')/~'Pfmfix ][SjI] > dk 6/~'} k = l k j 6 k

K_ c ~, ka-2pfmg~xl[Sj,l > e'k a/,} k = l k j~_k

< OC

por el teorema 2. Supongamos ahora 1 < fl < 2; se tiene, por tanto, 7 > 1. Sea

D. = {keN/n ~ < K_(n + I) r}

Si k ~ D . resulta

',.j~_n" k j 6 k

luego

Pf m~ix IlSjll kj~_n'/

} 1 ZopfmlaxllSjll>e.ke/= } > en ~ 6 #D.k . ~'j6k

~-- cnl-' Z IIS~ll > e'ke@ keD.

~_ c Z k(t-n/'~P(mglx llSJ I' > dkt3/'} keD. k j~_k

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Por tanto,

PImf~x lJSj,[ > ~II'~} n = X ~.j~_n'

pot el teorema 2.

~_c ~ ~,, k(1-y)l~pfmax]]S)l[>e'k6/~ ) n-- I k ~ D . ~. j~_k

~_c ~ kt~-2pfm~x l,Sj[[> e'kP/. } k = l k j ~ _ k

< o 0

3. El teorema de Hanson y Russo en B-espacios

Los razonamientos que siguen permiten generalizar el teorema de Hanson y Russo en dos direcciones. La situaci6n es algo complicada por la posibilidad de escoger distintos conjuntos de hip6tesis para garantizar las alternativas que pueden presentarse. Hemos preferido pot ello dar, en primer lugar, el argumento general de la prueba y a continuaci6n sus consecuencias.

Supongamos que se verifican las hip6tesis del teorema 2. Tomemos ii k = akO/~o-z), siendo a > 0 tal que a partir de cierto k 0 en adelante, se verifique n k - nk-I _~ k l/(p-l) (tal cosa es posible, ya que n k - n k _ 1 = aflr -- 1), donde k - 1 < ~ < k).

Sea Mk = m~ix [IS.~- Sill. Como consecuencia del corolario an- < ] <:/It

terior y de la elecci6n de Ilk, para cada e > 0 se tiene:

oc

~. P{Mk ~- e(nk - nk_z) a/=} < 09 k = l

Asi pues, fijado e > 0, para casi todo co existe k*(e, co) tal que si k _~ k* se verifica Mk(O~) < e(nk -- nk_x) ~/=. Fijemos un tal co, s e a j tal que m, _~j ~_ n, siendo m. un nfimero que determinaremos posteriormente. Pueden ocurrir dos cosas"

a) Supongamos que n - j > n*. Sean nk~ y nk, " tales que nk, < n ~-- nk,+1 Y nk2-z < n -- j ~ nkz. Entonces

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IIS.(co) - s . _ / c o ) l l ___ IIS.,,§ - s.(co)ll + IIS.,,+,(o9) - s . , / o ) ) l l + . . . +

+ IIS.,:+,(o)) - S.,!~o)ll + IIS. , lo~) - s . -~(~o)l l ~_

2 M k , + l (m) + Mk, (o ) ) + "'" + Mkz(o 9)

k l - I 2 a ( n k , + , - - nk,) #/~ + e Z (n,+, - n,y/" + e ( n k , - nk,- , ) #/~

r = k 2

Elijamos m. = n ply, siendo 1 ~_ p ~ 2, p ~ cc Entonces dado que si k~ es suficientemente grande se verifica

H k l + I - - Hk~ ' ~-~ (kl + 1 ) x / ( # - l )

resultar~i:

(nk,+ l - n k j ~_ C1 i711n I P

y con mayor raz6n se tendril:

(nk_, -- nk~- 1 ~ '~'

1711/P C2

Por otra parte, existe C3 tal que:

k l - - I

~. ('2,+1 - n,)#/, _~ C3(k l +# /~#- ' ) _ k21+#/~(#-a,) i = k 2

Ademas, por las condiciones supuestas se tiene

j ~_ rig, -- nk: ~_ Ca(k~/c#-1~ - k#2/~#-1~)

Sea p tal que verifique la condici6n f l / I X f l - 1)2_ 1 + f l [ c t ( f l - 1). Resultarfi entonces:

k~ + # / ' ~# - i ) _ k~ + # ; ~ ( # - x)

(kf , C# - 1) _ k2#,,# - 1)),,'p _~ C,~

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como puede comprobarse f~icilmente. Tenemos asi

j-~"PlIS.(oJ) - S . - ~ ) l l 6 (2C1 + C2 + C3C,,)e

b) Supongamos que n - j ~_ nk,. Como para casi todo ~ se verifica

m~ix m2 ~/PlISj(co)II ~ 0 j~_k*

podemos suponer que n es 1o suficientemente grande para asegurar

m~ix m.--'fllSj(a~)tl < j~_k*

Ahora. razonando como en el supuesto anterior resulta:

I IS . (o~) - s ._~ (~o) l l ~_ I IS . . . . , ( co ) - s . (co) l l + I I S . . , + , ( ~ ) - s . . I ~o ) l l +

+

+

kl-1

2 r f k *

kt-1 Z

IIS...,(co) - S. . (~)l l + max I I S . . ( ~ ) - Sr(o~)ll ~ 2Mk,+ t j~k*

M , + l + m~ix ]]Sj(~)L] j~_k*

luego

J-l/PllS.(c~ - S.-J(~)II ~ 2m;l /P(nk.+ l -- n k f '= +

hi--1 + m.--t/Pm~ix ilS.~.(og) - S,(~)[[ + j - l i p ~ (n,+ 1 _ n.)~/= 6 eC 5

j~_k* r=k*

Por tanto, en las condiciones anteriores se cumple"

j - ' P rn~ix IIS. - S._jll ~ 0 , casi seguro m.6j 6 n

Este desarrollo es rico en consecuencias.

S i p = 1, supuesto que EIIX~II = < oc, ~ > 1, podemos elegir a = fl obteniendo asi el resultado.

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T e o r e m a 3. Si {X,} es una sucesi rn de variables aleatorias i.i.d, con

valores en un espacio de Banach B, separable, y EIIX~II �9 < ~ , EX~ = 0

con ct > 1, se verifica:

max j - ~ I I S . - S.-jII --* 0 , casi seguro, c u a n d o n --. nl,'P~_j~_t!

Este resu l tado generaliza a los espacios de Banach y al de H a n s o n y Russo.

En el r a z o n a m i e n t o anter ior hemos supuesto que

p fll (fl- 1)+8

Puesto que la funci6n f ( f l ) = otfl/~t(fl - 1) + r , ct/2 < fl _~ ct, es decre- ciente c o n f ( a ) = 1 y l imf( f l ) = ct/(ct - 1), c u a n d o fl ,~ ~t/2, resulta que si ct ~ 2 la conc lus i rn se sigue pa ra cada 1 < p < ct/(ct - 1), suponiendo

que el espacio es de tipo 2 = ~/f l tal que p ~ ct/(1 + ct - 2). Luego la

hiprtesis menos restrictiva sobre el tipo del espacio que podemos hacer

es ~<B es de t ipo 1 + ct - (~t/p)>>, ob ten iendo asi el siguiente teorema.

T e o r e m a 4. Sea {X.} una sucesi rn de variables aleatorias i.i.d, con

valores en un espacio de Banach separable, tales que E X I = 0 y EIIX~II" < ~ con ct ~ 2. Pa ra cada p, 1 ~_ p ~ ~/(~t - 1), si el espacio es de tipo

1 + or(1 - 1/p), se verifica:

max j -X /P l lS . - S.-j l l ~ 0 , casi seguro cuando n ---, oc n p'" _~j ~ n

En part icular , se tiene"

C o r o l a r i o 2. S i t tX . s es una sucesi6n de variables aleatorias i.i.d., con

valores en un espacio de Banach separable de tipo 2 tales que E X I = 0 y

EIIXIII ~ < oc, ~ ~ 2. Pa ra cada p, 1 _~ p ~ ~t/ct - 1 se verifica:

max j-IIplIS . - S.-jl l --, 0, casi seguro, c u a n d o n ~ oo np/. ~ j _ n

Si t o m a m o s B = R, este corolar io generaliza el t eo rema de H a n s o n y

Russo. Si 1 < ct < 2 t enemos ct/(~ - 1) > ct; por tanto, la m a y o r eleccirn

57

posible para pes ~, supues to que el espacio es de tipo 1 + 41 - l/p). Por consiguiente, t enemos:

Teorema 5. Sea {X,} una sucesi6n de variables aleatorias i.i.d, con

valores en un espacio de Banach separable, tales que E X ~ = 0, E[IXIlI" < oo con 1 < ct < 2. Pa ra cada p, 1 _~ p ~ ct si el espacio es de tipo 1 + ct(1 - l ip) se verifica:

m~ix j - I / P l I S . - S.-~ll ~ 0 , casi seguro cuando n ---, nPl'~j~n

U n a consecuencia interesante del t eorema anter ior es la siguiente.

Corolario 3. Sea {X.} una sucesi6n de variables aleatorias i.i.d, con valores en un espacio de Banach separable de t ipo p, con 1 < p < 2, tales

que E X 1 = 0 y ElIXir[ p < oo, entonees se tiene

n-X/PlIS.II ~ 0, casi seguro, cuando n --,

que es el t eorema de Azlarov y Volodin (1981), para 1 < p < 2.

Por tiltimo, s u p o n g a m o s que fi jamos el t ipo ). = ot[fl del espacio. Deber~i verificarse p ~ ~(~ - 2 + I). Ahora bien, la funci6n

- - ' - ; . + 1 )

es decreciente si ct ~ 1, luego el m a y o r valor de p que podemos conside- rar ser;i el m a y o r de los r tales que r ~_ r[(r - 2 + 1), es decir, p ~ 1. Ob tenemos asi

Teorerna 6. Sea {X,} una sucesi6n de variables aleatorias i.i.d, con

valores en un espacio de Banach de tipo ,:., 1 ~ ). < 2 tales que EX~ = 0

y E[[XI[I �9 < oo, con ct > 1. Entonces"

a) Si ct ~_ 2 para cada p, 1 < p ~ ). se verifica:

b)

m~ix j-1/Pl[S, - S._jl] ~ 0 , casi seguro, cuando n ~ np'" ___j_-5 n

Si 1 > ct < )., para cada p, 1 < p <~ ~t se verifica"

m~ix j-I/p[[S. - S._j[] --. 0 , casi seguro, cuando n ~

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REFERENCIAS

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