gauss9_ns1
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Considere dois planos paralelos, um carregado com carga +q e outro com carga −qde densidades constantes. Determine o módulo do campo elétrico para pontos entre os doisplanos e para pontos fora dos planos.
Dados do problema
carga do plano 1: +q ; carga do plano 2: −q .
Esquema do problema
As cargas positivasgeram um campo elétrico deafastamento da placa ( E+ ) nadireção vertical e com sentidopara cima na face superior daplaca e com sentido para baixona face inferior, as cargasnegativas geram um campoelétrico de aproximação daplaca ( E - ) na direção vertical ecom sentido para baixo na facesuperior da placa e com sentidopara cima na face inferior (figura1-A).
Vamos adotar umsistema de referência com ovetor unitário k para “fora” daplaca, no mesmo sentido docampo elétrico para a placacarregada positivamente e comsentido contrário ao campo paraa placa carregadanegativamente (figura 1-B).
Solução
Para a placa carregada positivamente vamos adotar uma superfície Gaussianaformada por um cilindro que atravessa o centro da placa, com as linhas do campo elétricoatravessando a superfície para fora (figura 2-A).
Seja um vetor unitário n perpendicular às faces superior, inferior e lateral do cilindro( AS , A I e AL ), conforme figuras 2-B e 2-C.
A Lei de Gauss no diz que
1
figura 1
figura 2
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∮A
E .d A =q0
onde a integral é a soma das integrais sobre cada uma das áreas da superfície do cilindro
∫A S
E + .dA S+∫A I
E + .dA I+∫A L
E +. dA L =qϵ0
As áreas superior e inferior são iguais a área de um círculo ( AS = A I = AC ), entãopodemos escrever
∫AC
E + .dA C+∫AC
E+ .d AC+∫A L
E+ .d A L =qϵ0
2∫A C
E + .dA C+∫AL
E+ .d A L =qϵ0
(I)
O vetor campo elétrico só possui componente na direção k, pode ser escrito como
E+ = E + k (II)
O vetor elemento de área pode ser escrito como
dA = d A n (III)
substituindo as expressões (II) e (III) em (I), obtemos
2∫A C
E + k .d A C n+∫AL
E+ k .d ALn=qϵ0
2∫A C
E + d A C k .n⏟1
+∫AL
E+ d A L k .n⏟0
=qϵ0
Observação: como k e n são vetores unitário seus módulos são iguais a 1 e como ambosestão na mesma direção e sentido nas faces superior e inferior o ângulo entre eles é nulo( θ= 0 ), assim k .n=∣k ∣∣n ∣ cos0 = 1.1 .1 = 1 . Para a face lateral do cilindro k é
perpendicular a n θ=π2 o produto escalar será k .n=∣k ∣∣n ∣ cos
π2
= 1.1.0 = 0 .
2∫A C
E + d A C =qϵ0 (IV)
A densidade superficial de cargas é dada por
=qA
q = A (V)
onde A representa a área onde as cargas estão distribuídas internamente à superfícieGaussiana (não toda a área da placa), e colocando o campo elétrico para fora da integral,substituindo a expressão (V) em (IV), temos
2 E +∫AC
d A C
⏟A
=σ Aϵ0
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a integral da área do círculo é igual a área A da placa, interna à superficial Gaussiana, ondeestão distribuídas as cargas, assim
2 E + A =σ Aϵ0
E+ = σ2 ϵ0
(VI)
Analogamente para a placa carregada negativamente temos a mesma superfícieGaussiana com a diferença de que as linhas do campo elétrico atravessam a superfície paradentro (figura 3-A).
O vetor unitário n tem a mesma orientação do caso anterior figuras 3-B e 3-C.Usando a Lei de Gauss novamente temos a mesma situação com a carga negativa da
placa
∫A S
E - .d AS+∫A I
E - .d A I+∫AL
E - . dA L =−qϵ0
As áreas superior e inferior são igual a área de um círculo ( AS = A I = AC ), entãopodemos escrever
∫AC
E - .d AC+∫AC
E - .dA C+∫AL
E - .d A L =−qϵ0
2∫AC
E - .d A C+∫AL
E - .d A L= −qϵ0
(VII)
O vetor campo elétrico só possui componente na direção −k com sentido contrário àorientação, é escrito como
E - =−E - k (VIII)
substituindo as expressões (III) e (VIII) em (VII), obtemos
2∫A C
−E - k .d A C n+∫A L
−E - k .d ALn= −qϵ0
−2∫AC
E - d AC k .n⏟1
−∫AL
E - d AL k .n⏟0
= −qϵ0
−2∫AC
E - d AC =−qϵ0
ϵ0
3
figura 3
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2∫A C
E - d A C =qϵ0 (IX)
substituindo a expressão (V) em (IX), temos
2 E -∫AC
d AC
⏟A
=σ Aϵ0
esta é a mesma integral calculada acima, o que nos leva ao mesmo resultado encontrado naexpressão (VI)
E - =σ
2 ϵ0(X)
Entre as placas os campos elétricos devido as placascarregadas positivamente e negativamente têm a mesma direção e omesmo sentido, assim o módulo do campo elétrico resultante (E) serádada pela soma das expressões (VI) e (X)
E = E++E -
E = σ2 ϵ0
+ σ2 ϵ0
E = 2 σ2 ϵ0
E - =σϵ0
Na região fora das placas os campos elétricos têm sentidosopostos, assim o módulo do campo elétrico resultante será dada pela diferença das expressões(VI) e (X)
E = E+−E -
E = σ2 ϵ0
− σ2 ϵ0
E - = 0
Observação: esta solução vale para pontos longe das bordas dasplacas e pequena distância de separação entre elas, onde ocampo elétrico é uniforme, região em destaque na figura 5.Próximo às bordas das placas o campo elétrico não é constantedevido ao encurvamento das linhas do campo elétrico, este é ochamado Efeito de Borda.
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figura 4
figura 5