1. 1. Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.A 1) Ao arremessar uma moeda honesta, qual a probabilidade de encontrarmos: a) cara Probabilidade ou 50% b) coroa Probabilidade ou 50% 2) Um dado no-viciado arremessado. Qual a probabilidade de sair: a) o nmero 5? Casos favorveis: o 5 (1 caso) Casos possveis: 6 Probabilidade: 1/6 b) um nmero par? Casos favorveis: 2, 4 e 6 (3 casos) Casos possveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) c) um nmero mpar? Casos favorveis: 1, 3 e 5 (3 casos) Casos possveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) d) um nmero maior que 4? Casos favorveis: 5 e 6 (2 casos) Casos possveis: 6 Probabilidade: 2/6=1/3 (ou 33,33%) e) um nmero menor que 4? Casos favorveis: 1, 2, 3 (3 casos) Casos possveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) f) um nmero primo? Casos favorveis: 2, 3 e 5 (3 casos) Casos possveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) NMERO PRIMO aquele que divide apenas por um e por ele mesmo, isto , 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, etc... Quando a probabilidade 0%=0 o evento chamado de EVENTO IMPOSSVEL Quando a probabilidade 100%=1 o evento chamado de EVENTO CERTO 3) Qual o espao amostral? a) do arremesso de uma moeda {K, C} b) do arremesso de um dado. {1, 2, 3, 4, 5, 6} c) do arremesso de duas moedas. {(K, K), (K,C), (C, K), (C,C)} d) do arremesso de dois dados. { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 3) Arremessando dois dados no-viciados e somando-se suas faces, qual a probabilidade de encontrarmos: DIAGRAMA 1 impossvel 2 (1,1) 1/36 3 (1,2), (2,3) 2/36 = 1/18 4 (1,3), (2,2), (3,1) 3/36=1/12 5 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) 4/36=1/9 6 (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 5/36 7 -(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)6/36 8 - (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 5/36 9 (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) 4/36=1/9 10 (4,6), (5,5), (6,4) 3/36=1/12 11 (5,6), (6,5) 2/36=1/18 12 (6,6) 1/36 a) 1 0 b) 2 1/36 c) 3 1/18 d) 4 1/12 e) 5 1/9 f) 6 5/36 g) 7 1/6 h) 8 5/36 i) 9 1/9 j) 10 1/12 k) 11 1/18 l) 12 1/36 5) Arremessando duas moedas, qual a probabilidade de: Espao amostral: KK, KC, CK, CC a) sair cara no primeiro lanamento. Raciocnio comum: 2/4 = 1/2 Raciocnio alternativo: ora, no primeiro lanamento pode sair cara ou coroa, ento 1/2 b) sair duas faces iguais KK ou CC, portanto 2/4=1/2 6) a) Em uma urna h 4 bolas, numeradas de 1 a 4. Qual a probabilidade de sair um nmero par? Casos favorveis: 2 e 4 (2 casos) Casos possveis: 4 Probabilidade: 2/4=1/2=50% b) Em uma urna h 100 bolas, numeradas de 1 a 100. Qual a probabilidade de sair um nmero quadrado perfeito? Casos favorveis: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 (10 casos) Casos possveis: 100 Probabilidade: 10/100=1/10 ou 10% c) Em uma urna h 25 bolas, numeradas de 1 a 25. Qual a probabilidade de sair um nmero primo? Casos favorveis: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23 (8 casos) Casos possveis: 25 Probabilidade: 8/25 ou 32% Para achar a probabilidade pensamos assim 8------25 x-------100 Como 100=4 x 25, basta multiplicar 8 por 4, ou seja, temos 32. d) Em uma urna h 50 bolas, numeradas de 1 a 50. Qual a probabilidade de sair um nmero maior que 18? Casos favorveis: 19 a 50 (ou seja 50- 18=32) Casos possveis: 50 Probabilidade 32/50 = 16/25 ou 64% e) Em uma urna h 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Qual a probabilidade de sair um nmero mltiplo de 7? Casos favorveis: 7, 14, 21 e 28 (4 casos) Casos possveis: 30 Probabilidade: 4/30=2/15 f) Em uma urna h 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Qual a probabilidade de sair um nmero mltiplo de 7 e 5 ao mesmo tempo? Casos favorveis: nenhum. No h nmero mltiplo de 7 e 5 ao mesmo tempo entre 1 e 30. Casos possveis: 30 Probabilidade: 0/30 = 0% evento impossvel Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.B 7) Em um baralho comum sem o coringa, diga qual a probabilidade de escolhermos uma carta: So 13 cartas de cada um dos 4 naipes, ou seja, 52 cartas a) de naipe de copas. 13/52 ou 1/4 ou 25% b) de naipe de ouro. 13/52 ou 1/4 ou 25% c) de naipe de espadas. 13/52 ou 1/4 ou 25% d) de naipe de paus. 13/52 ou 1/4 ou 25% e) de nmero 7. 4/52 ou 1/13 f) de nmero 9. 4/52 ou 1/13 g) cuja face K. 4/52 ou 1/13 h) cuja face Q. 4/52 ou 1/13 i) cujo naipe preto. 26/52 ou ou 50% j) cujo naipe vermelho. 26/52 ou ou 50% k) um s de copas 1/52 l) um 7 de ouros 1/52 m) um valete vermelho. 2/52=1/26 n) um 10 preto. 2/52=1/26 o) uma carta de 4 ou de J 8/52=4/26=2/13 p) uma carta que no seja J, K ou Q. Sobram 10 cartas por naipe 40/52=10/13 8) a) Qual a probabilidade de um nmero de dois algarismos seja mltiplo de 15? Casos favorveis: 15, 30, 45, 60, 75 e 90 (ou seja, 6 casos). Casos possveis: 10 ao 99, sendo 90 casos Probabilidade: 6/90=1/15 b) Qual a possibilidade de um nmero de trs algarismos formado apenas com 3, 5 e 4 sem repetio seja par? Casos favorveis: 354 e 534 (2 casos) Caso possveis: 354, 345, 534, 543, 435, 453 (6 casos) Probabilidade: 2/6=1/3 9) Escreva a rvore das probabilidades (NO CADERNO): a) do arremesso de trs moedas.
2. 2. d) dos nmeros de trs algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 5 e 4 com ou sem repetio. e) dos nmeros de trs algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 5 e 4 sem repetio. f) Dos cdigos de 3 caracteres formados com as letras A, B e C. g) Dos cdigos de 3 caracteres formados com as letras A, B, C, D, E iniciados por vogal. h) Dos nmeros de 4 algarismos pares iniciados por 4, 6 ou 2 e sem repetio. Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.C 1) Qual a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se lanar um dado honesto? 2/6 = 1/3 2) Ao lanar um dado duas vezes, qual a probabilidade de se obter soma 5? As possibilidades so (1,4), (2,3), (3,2) ou (4,1). Ou seja, so 4 possibilidades num universo de 36. 4/36 = 1/9 3) Em uma urna h 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas de mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da urna, sem rep-las. Qual a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas vermelhas? Usando o PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Casos Possveis: 1 retirada: 9 possibilidades 2 retirada: 8 possibilidades Pelo PFC: 9 x 8 =72 Casos Favorveis: 1 retirada: 5 possibilidades, pois so 5 bolas vermelhas 2 retirada: 4 possibilidades, pois no h reposio Pelo PFC: 5 x 4 = 20 20 / 72 = 10 / 36 = 5/18 4) Pedro e Joo combinaram de lanar uma moeda 4 vezes. Pedro apostou que, nesses 4 lanamentos, no apareceriam 2 caras seguidas; Joo aceitou a aposta. Quem tem maior chance de ganhar a aposta? Fazendo todas as 16 possibilidades (pode usar um diagrama de rvore), verificamos que em 8 dessas possibilidades aparecem 2 caras seguidas (faa o diagrama). Ou seja, h 8/16 = de probabilidade de sair duas caras seguidas e 8/16 = de probabilidade de NO sair duas caras seguidas. Os dois tem as mesmas chances! 5) Uma moeda lanada 3 vezes. Qual a probabilidade de que saiam 2 caras? Observe o diagrama 9A, e verifique que h 4 possibilidades de 8 para sair 2 caras, ou seja 4/8 = ou 50%. Resposta: 50% 6) Um casal decidiu que vai ter 4 lhos. O que mais provvel: que tenham dois casais ou trs lhos de um sexo e um de outro? O mais provvel ter 2 filhos de cada sexo, pois, a probabilidade de nascer homem ou mulher de 50%. 7) Duas peas de um domin comum so sorteadas. Qual a probabilidade de que tenham um nmero em comum? Um domin numerado de 0 a 9, ou seja, h 100 peas. As peas comuns so (0,0), (1,1), ... (9,9), ou seja, 10 peas com nmeros duplos. 10/100 = 1/10 ou 10% 8) Laura e Telma retiram um bilhete cada de uma urna em que h 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Qual a probabilidade de que o nmero retirado por Laura seja maior do que o de Telma? E se elas, depois de consultarem o nmero, devolvem o bilhete urna? Esse exerccio da programao de estudos para Olimpadas de Matemtica. Veja a resposta oficial: Em ambos os casos, Laura e Telma tm a mesma probabilidade de tirar um nmero maior que a outra. Se no h devoluo, no pode haver empate, e a probabilidade de que Laura tenha o maior nmero 50%. Se h devoluo, h possibilidade de empate e a probabilidade de que isto ocorra e igual a 100 casos de empate dividido por 100 100 casos possveis que e igual a 0, 01, Logo, neste caso a probabilidade de que Laura tenha um numero maior do que o de Telma (1 0,01)/2 =0, 99/2 = 0, 495. Esse exerccio muito difcil e no ser solicitado na prova! Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.D 9) Ana, Joana e Carolina apostam em um jogo de cara-e-coroa. Ana vence na primeira vez que sarem duas caras seguidas; Joana vence na primeira vez que sarem duas coroas seguidas; Carolina vence quando sair uma cara seguida de uma coroa. Qual a probabilidade que cada uma tem de vencer? Veja a rvore das probabilidades: A probabilidade de Ana ou Carolina vencer 1/4+1/8=3/8. A de Joana 1/4. (Considere o 3 galho como e o 4 galho como 1/8, voc consegue entender o motivo!) Esse exerccio muito difcil e no ser solicitado na prova! 10) O trecho a seguir foi obtido em um site de internet que se prope a aumentar as chances de vitria no jogo da Sena (que consiste em sortear 6 dentre 60 dezenas). Quando armamos, por exemplo, que as dezenas atrasadas so importantes, porque j observamos, em nossos estudos, que todas as dezenas so sorteadas a cada quarenta testes, portanto, seria til voc acompanhar e apostar em dezenas atrasadas; voc estaria assim aumentando muito suas chances. Voc concorda que apostar em uma dezena atrasada aumenta as chances de vitria na Sena? Resposta da OBM: Embora haja pessoas que ganhem a vida com este tipo de afirmao, ela completamente sem sentido. As extraes so independentes, o que faz com que uma dezena estar atrasada seja completamente irrelevante para o que vai acontecer no futuro. Na verdade, se estamos em dvidas sobre a equiprobabilidade das diversas dezenas, poderamos concluir exatamente o contrrio: se uma dezena sai menos que outras, talvez seja porque seja menos provvel (por exemplo, a bolinha correspondente pode ser maior ou mais leve que as outras). Esse exerccio muito difcil e no ser solicitado na prova! 11) Suponhamos que voc tenha duas escolhas para apostar na Sena. Na primeira escolha aposta nas dezenas 1 - 3 - 5 7 - 9 - 11, e na segunda escolha nas dezenas 8 - 17 - 31 - 45 - 49 - 55. Qual voc acha que tem maiores chances de ser vitoriosa? Resposta da OBM: Obviamente, os dois jogos tm a mesma probabilidade de serem vitoriosos (mas voc acha que as pessoas, em geral, concordariam com isto? por qu?). Esse exerccio muito difcil e no ser solicitado na prova! 12) (O Problema do Bode) Este problema foi proposto em um programa de rdio nos Estados Unidos e causou um enorme debate na internet. Em um programa de prmios, o candidato tem diante de si trs portas. Atrs de uma dessas portas, h um grande prmio; atrs das demais h um bode. O candidato escolhe inicialmente uma das portas. O apresentador (que sabe qual a porta que contm o prmio) abre uma das portas no indicadas pelo candidato, mostrando necessariamente um bode. A seguir, ele pergunta se o candidato mantm sua escolha ou deseja trocar de porta. O candidato deve trocar ou no? (Uma forma de voc guiar sua intuio consiste em simular o problema.) Resposta da OBM: O candidato deve trocar a porta. Se ele no o faz, sua chance de vitria est em ter escolhido a porta certa da primeira vez, o que ocorre com probabilidade 1/3. Trocando a porta, ele vai ganhar o prmio exatamente nos casos em que a porta escolhida a errada, o que tem probabilidade 2/3. Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.E Problemas de Contagem 1) (Olimpada Cearense de Matemtica da Escola Pblica Numeratizar 1 srie do Ensino Mdio 1 fase/2003) A formiguinha vai caminhar de A at C passando por B. Ela s anda pelas estradas que j construiu: O nmero de caminhos diferentes que ela pode escolher : a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 Entre A e B: 3 caminhos Entre B e C: 3 caminhos Total de caminhos: 3 x 3 = 9 2) (EMEF Ricardo Caramuru de Castro Monteiro CAIC Vale do Sol Araraquara-SP 8 srie 2003) No Brasil, as placas de carro so compostas por 3 letras do alfabeto latino (total:26 letras) e 4 algarismos hindo-arbicos (total:10 algarismos). Qual o nmero mximo de placas de carro que podem ser feitas no Brasil? a) 17576000 b) 175760000 c) 6760000 d) 115316136 Basta utilizar o princpio fundamental da contagem, que bem mais simples: 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 3) (EMEB Arthur Natalino Deriggi So Carlos-SP 5 srie 2003) Margareth tem 12 blusas e 11 saias. Quantas combinaes de saia e blusa Margareth pode usar? a) 23 b) 12 c) 144 d) 132 e) 121 Basta fazer 12 x 11 = 132
3. 3. 4) (EM Isaura Vilela Brasileiro Botelhos MG 2000) Com seis tipos de cartes magnticos e oito senhas diferentes, as opes de escolha de um carto e uma senha so: a) 36 b) 42 c) 48 d) 52 e) 64 S fazer 6x8=48 5) (EM Isaura Vilela Brasileiro Botelhos MG 2000)Num microcomputador, para abrir certo arquivo, o usurio deve digitar 4 sinais ( que so / # | ^) numa certa ordem, sem repeti-los. Se ele no conhece a ordem e procura acertar a senha por tentativas, qual o nmero mximo de tentativas que far? a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 120 Como o usurio no pode repetir, ele tem 3 x 4 x 2 x 1 = 24 possibilidades Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.F 6) (XXIII Olimpada Brasileira de Matemtica Nvel 1, 2 e 3 1a fase 2001) Na figura abaixo, temos 4 circunferncias e alguns pontos destacados no interior dessas circunferncias. Escolhendo exatamente um desses pontos dentro de cada uma das circunferncias, e unindo-os por segmentos de reta que no se cruzam, formamos um quadriltero. Quantos quadrilteros diferentes seremos capazes de desenhar nessas condies? A) 4 B) 14 C) 60 D) 120 E) 24 O nmero de quantidade de quadrilterios o produto dos vrtices: 2 x 3 x 4 x 5 = 120. 7) Uma bandeira tem quatro listas. De quantas maneiras eu posso pint-las utilizando-se de 3 cores diferentes, de tal forma que no pintemos duas faixas consecutivas da mesma cor. 1 listra: qualquer cor = 3 2 listra: menos a cor usada na 1 listra = 2 3 listra: menos a cor usada na 2 listra = 2 4 listra: menos a cor usada na 3 listra = 2 3x2x2x2 = 24 8) Numa festa 5 pessoas se cumprimentam. Quantos so os cumprimentos possveis? Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes ESTUDO DAS MDIAS EM.7.01.A 1) As idades dos jogadores titulares de uma equipe de basquete so 25 anos, 27 anos, 22 anos, 30 anos e 31 anos. Qual a idade mdia dos jogadores titulares dessa equipe? = 25 + 27 + 22 + 30 + 31 5 = 135 5 = 27 Resposta: A mdia das idades de 27 anos. 2) Qual a mdia aritmtica dos nmeros 25, - 22, -13, 15 e 30? = 25 22 13 + 15 + 30 5 = 60 + 45 5 = 15 5 = 3 3) Qual a mdia aritmtica dos nmeros 12, - 10, -8, -12 e 7? = 12 10 8 12 + 7 5 = 11 5 2,2 4) A diretoria de um clube formada por 10 membros. As idades deles esto indicadas em anos a seguir: 27, 30, 30, 32, 30, 32, 30, 27, 30 e 32. Qual a idade mdia dos membros da diretoria. = 27 + 30 + 30 + 32 + 30 + 32 + 30 + 27 + 30 + 32 10 = 300 10 = 30 Resposta: A idade mdia de 30 anos. 5) Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros de literatura durante uma certa semana: 2 feira 3 feira 4 feira 5 feira 6 feira sbado 13 23 22 27 22 25 Qual a mdia de livros vendidos durante a semana (2 at sbado). = 13 + 23 + 22 + 27 + 22 + 25 6 = 132 6 = 22 Resposta: A mdia de 22 livros 6) QUESTO ANULADA POR INCORREO Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes ESTUDO DAS MDIAS EM.7.01.B 7) Ache o lucro mdio mensal de uma empresa que apresentou durante o semestre os seguintes resultados (valores em reais): = 5136 + 250 + 4232 372 250 + 142 6 = 9138 6 = 1523 8) As alturas dos jogadores de uma equipe de basquete so: 1,98 m; 2,02 m; 2,08 m; 1,92 m e 1,95 m. Qual a mdia de altura dessa equipe? = 1,98 + 2,02 + 2,08 + 1,92 + 1,95 5 = 9,95 5 = 1,99 R: a mdia de altura 1,99 m 9) Qual a mdia aritmtica dos nmeros 2 3 , 1 6 e 3 4 ? = 2 3 + 1 6 + 3 4 3 = 8 12 + 2 12 + 9 12 3 = 19 12 3 = 19 36 10) Qual a mdia aritmtica dos nmeros 4 5 , 1 4 , 3 2 ? = 4 5 + 1 4 + 3 2 3 = 16 + 5 + 30 20 3 = 51 20 3 = 51 20 . 1 3 = 17 20 Resposta: 17/20 11) Qual a mdia aritmtica dos nmeros 1, 2 3 , 1 4 , 1 6 ? = 1 + 2 3 + 1 4 + 1 6 4 = 24 + 16 + 6 + 4 24 4 = 50 24 4 = 50 24 . 1 4 = 50 96 = 25 48 Resposta 25/48 12) Qual a mdia aritmtica dos nmeros 1/3, 0,5 e ? = 1 3 + 0,5 + 1 4 3 = 1 3 + 1 2 + 1 4 3 = 4 + 6 + 3 12 3 = 13 12 3 = 13 12 . 1 3 = 13 39 Lembre-se que 0,5=1/2 (meio), voc pode calcular isso simplificando 5/10, mas, vale a pena decorar que 0,5=1/2 Resposta 13/39 13) Qual a mdia aritmtica dos nmeros 1/2, 2/5 e ? = 1 2 + 2 5 + 3 4 3 = 10 + 8 + 15 20 3 = 33 20 . 1 3 = 11 20 Resposta 11/20 Resoluo alternativa: = 0,5 + 0,4 + 0,75 3 = 1,65 3 = 0,55 = 55 100 = 11 20 14) Qual a mdia aritmtica de 10 cm, 0,4 m e 0,25 m. Transforme tudo em centmetros: 10 cm, 40 cm e 25 cm, e ache a mdia! = 10 + 40 + 25 3 = 55 3 = 18,3333 . 15) Qual a mdia de 2 km, 2.500 m e 3,8 km? 2km = 2.000 m 3,8 km = 3.800 m = 2000 + 2500 + 3800 3 = 8300 3 = 27,666 Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes ESTUDO DAS MDIAS EM.7.01.C Mdia Aritmtica Ponderada 16) Uma professora atribuir pesos para as atividades, sendo: 1 prova peso 3 Trabalho peso 2 2 prova peso 5 Resultados das notas de alguns alunos: 1 prova Trabalho 2 prova NOTA Maria 6 5 5 5,3 Vitria 7 6 5 5,8 Letcia 5 7 6 5,9 ngela 10 9 8 8,8 Godofredo 3 9 6 5,7 Paulo 5 8 7 6,6 Venncia 7 10 5 6,6 Amir 7 9 6 6,9 Leto 6 6 6 6,0 Nota de Maria 6.3+5.2+5.5 3+2+5 = 18+10+25 10 = 53 10 = 5,3 Nota de Vitria 7.3+6.2+5.5 3+2+5 = 21+12+25 10 = 58 10 = 5,8
4. 4. O clculo da nota da Vitria estava errado. Retifique. Faa os clculos de todos. 17) Determine a mdia aritmtica ponderada dos nmeros 8, 15 e 20, com pesos 2, 2 e 1, respectivamente. MA= 8.2+15.2+20.1 2+2+1 = 16+30+20 5 = 66 5 = 13,2 18) Determine a mdia aritmtica ponderada dos nmeros 7, 12 e 25, com pesos 3, 2 e 5, respectivamente. = 7.3 + 12.2 + 25.5 3 + 2 + 5 = 21 + 24 + 75 10 = 12 19) Karina comprou 3 canetas por 20 reais cada uma e 2 canetas por 15 reais cada uma. Quanto ela pagou, em mdia, por caneta? Resposta: 18 = 3.20 + 2.15 3 + 2 = 90 5 = 18 20) Uma indstria produz um certo produto. Vendeu 3500 unidades desse produto por 30 reais cada e 8500 unidades por 24 reais cada. Qual foi o preo mdio, por unidade? Resposta: R$ 22,75 = 3500.30 + 8500.24 3500 + 8500 = 22,75 Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes ESTUDO DAS MDIAS EM.7.01.D 21) Numa empresa com 20 funcionrios, a distribuio dos salrios est representada no quadro abaixo. Qual o salrio mdio dos empregados dessa empresa? Nmero de empregados Salrio (em reais) 12 800 5 1.200 3 2.000 Resposta: R$ 1.080,00 = 12.800 + 5.1200 + 3.2000 12 + 5 + 3 = 9600 + 6000 + 6000 20 = 21600 2 = 1080 22) Foram pesquisadas as idades das pessoas dos alunos de um grupo e obtiveram-se os resultados organizados na tabela a seguir: Idades (anos) Nmero de alunos 13 4 14 11 15 7 16 3 Encontre a mdia das idades dos alunos da classe. Resposta: 14,36 anos = 13.4 + 14,11 + 15.7 + 16.3 4 + 11 + 7 + 3 = 14,36 23) Num torneio de basquete, uma equipe marcou 104 pontos, 96 pontos, 117 pontos e 103 pontos nas 4 partidas que disputou na 1 fase. Qual a mdia de pontos que essa equipe marcou nessa fase do torneio? Resposta: 105 pontos = 104 + 96 + 117 + 103 4 = 105 24) Um colgio tem 8 professores e suas idades so 26 anos, 28 anos, 34 anos, 40 anos, 28 anos, 30 anos, 38 anos e 32 anos. Qual a idade mdia dos professores desse colgio? Resposta: 32 anos Basta somar todos os valores e dividir por 8. 25) Preparamos um refresco com 8 copos de gua mineral e 2 copos de groselha. Se o copo de gua mineral custa 8 centavos de real e o copo de groselha custa 13 centavos de real, qual o custo de cada copo de refresco? Resposta: 9 centavos 8.8 + 2.13 8 + 2 = 64 + 26 10 = 9 26) Numa classe de 35 alunos h 22 homens e 13 mulheres. Numa prova de Matemtica, a nota mdia dos homens foi 4,8 e a nota mdia das mulheres foi 4,0. Qual foi aproximadamente, a nota mdia da classe? R: 4,5 22.4,8 + 13.4 22 + 13 = 4,502857 . O valor deve ser arredondado a 4,5 Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes ESTUDO DAS MDIAS EM.7.01.E 27) Determine a mdia aritmtica ponderada dos nmeros 9, 15, 26 e 30, com pesos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. = 9.1 + 15.2 + 26.3 + 30.4 1 + 2 + 3 + 4 = 23,7 28) Uma clnica odontolgica possui 5 dentistas. As idades deles so 27, 29, 30, 38 e 46. Qual a idade mdia dessa equipe? Basta somar os 5 valores e dividir por 5, encontaremos a idade mdia de 34. 30) Ache a media da idade da seguinte classe: = 10.2 + 11.4 + 12.6 + 13.4 + 14.4 2 + 4 + 6 + 4 + 4 = 20 + 44 + 72 + 52 + 56 20 = 244 20 = 12,2 31) (ENEM adaptado) Um sistema de radar programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veculos trafegando por uma avendida, onde passam em mdia 300 veculos por hora, sendo 55 km/h a velocidade mxima permitida. Um levantamento estatstico dos registros do radar permitiu a elaborao da distribuio percentual de veculos de acordo com sua velocidade aproximada. Calcule a velocidade mdia aproximada. Resposta: 44 km/h Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes ESTUDO DAS MDIAS EM.7.01.F 32) Ache a mdia dos seguintes nmeros 11 14 14 12 12 11 14 14 11 14 14 13 11 12 12 11 14 14 11 13 12 13 12 11 13 11 11 11 13 11 12 12 12 14 11 13 13 13 13 15 11 so 12, 12 so 9, 13 so 9, 14 so 9, 15 1 = 11.12 + 12.9 + 13.9 + 14.9 + 15.1 12 + 9 + 9 + 9 + 1 = 132 + 108 + 117 + 126 + 15 40 = 498 40 = 12,45 Resposta: Idade mdia de 12,45 anos 33) Ache a mdia dos nmeros 15 15 13 13 12 15 13 13 12 13 14 13 15 13 13 12 15 14 15 14 14 14 15 15 15 15 15 14 15 13 13 13 14 15 14 14 15 14 12 15 Resposta: 13,9 So 40 valores, sendo 11 so 4, 12 so 11, 13 so 10, 15 so 15. = 11.4 + 12.11 + 13.10 + 15.15 40 = 13,9 34) Ache a mdia dos seguintes nmeros 3 3 2 1 0 2 2 2 4 2 2 3 3 1 0 2 3 3 3 3 2 1 3 1 3 3 3 0 0 2 2 2 3 1 3 1 1 1 2 3 0 2 3 3 3 2 3 3 2 3 0 1 2 3 0 2 3 0 2 2 Resposta: 2 So 60 valores, sendo 8 nmero 0, 9 nmero 1, 19 nmero 2, 23 nmero 3 e 1 nmero 4. = 9.1 + 19,2 + 23.3 + 1.4 60 = 2 Note que no faz sentido incluir 8.0=0. 35) Construa um grfico de barras correspondente aos nmeros e depois calcule a mdia destes. 4 3 2 1 0 2 4 2 4 2 4 4 4 1 0 4 4 4 4 1 2 1 4 1 3 3 3 4 1 1 3 2 3 1 4 4 3 4 3 3 1 2 3 3 3 1 3 3 4 3 0 1 4 4 0 2 3 0 4 2 = 1.11 + 2.9 + 3.16 + 4.19 60 = 2,55
5. 5. Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes POTENCIAO PT.7.01.A 1)Calcule e observe a seqncia 34 =81 33 =27 32 =9 31 =3 30 =1 3-1 =1/3 3-2 =1/9 3-3 =1/27 3-4 =1/81 2) Calcule e observe a sequncia 24 =16 23 =8 22 =4 21 =2 20 =1 2-1 =1/2 2-2 =1/4 2-3 =1/8 2-4 =1/16 3)Calcule: a) 2-1 =1/2 b) 2-5 =1/32 c) (-2)-2 =1/4 OBS: Note que o fato de -2 ser par faz com que o sinal seja positivo. d) 10-3 =1/100 e) 3-3 =1/27 f) (-3)-3 =-1/27 J no caso de -3, como mpar, se mantm o sinal. g) (-2)-1 =1/2 h) (-2)-5 =1/32 i) -2-4 =-1/16 No caso de -2-4 o sinal no est elevado -4, apenas o 2 est. Portanto, mantm-se o sinal j) (-4)-3 =-(-1/64)=1/64 k) (-10)-1 =-(-1/10)=1/10 l) (-7)-2 =-(1/7)=-1/7 4) Calcule a) ( 1 2 ) 1 =2 b) ( 1 2 ) 2 =4 c) ( 1 3 ) 2 =9 d) ( 1 4 ) 1 =-4 e) ( 2 3 ) 1 =3/2 f) ( 2 5 ) 2 =25/4 g) ( 5 3 ) 3 =-27/125 h) ( 1 6 ) 1 =-(-6)=6 i) ( 1 3 ) 2 =-9 j) ( 3 2 ) 3 =-(-8/27)=8/27 k) (1 2 3 ) 2 =(5/3)-2 =9/25 5) Calcule: a) 0,2-1 =(1/5)-1 =5 b) 0,5-2 =(1/2)-2 =4 c) 1,2-1 =(6/5)-1 =5/6 0,2=2/10=1/5 0,5=5/10=1/2 1,2=12/10=6/5 d) 2,5-2 =(25/10)-2 =(5/2)-2 =4/25 e) 3,5-2 =(35/10)-2 =(7/2)-2 =4/49 f) 0,25-2 =(25/100)-2 =(1/4)-2 =16 g) (-0,2)-2 =(-1/5)-2 =25 h) (-2,5)-3 =(-25/10)-3 =(-5/2)-3 =-8/125 (Sinal negativo!) i) (-0,25)-2 =(-1/4)-2 =16 6) Resolva as expresses (no caderno): a) 3-1 +2-1 Resposta: 5/6 1 3 + 1 2 = 3 + 2 6 = 5 6 b) 3-1 +2-2 +(-4)-1 Resposta: 5/6 1 3 + 1 4 + ( 1 4 ) = 1 3 GABARITO ERRADO c) (9-1 +6-2 )-1 Resposta: 36/5 ( 1 9 + 1 36 ) 1 = ( 4 + 1 36 ) 1 = ( 5 36 ) 1 = 36 5 d) (40 +4-1 ):(40 -4-1 ) Resposta: 5/3 (1 + 1 4 ) : (1 1 4 ) = ( 4 + 1 4 ) : ( 4 1 4 ) = ( 5 4 ) : ( 3 4 ) = 5 4 . 4 3 = 5 3 e) (-3)-1 +(-1)-3 Resposta: -4/3 ( 1 3 ) + (1) = 1 3 1 = 4 3 f) 2-4 -22 Resposta: -63/16 1 16 1 4 = 1 64 16 = 63 16 g) (4-1 +2-3 )-1 Resposta: 8/3 ( 1 4 + 1 8 ) 1 = ( 2 + 1 8 ) 1 = ( 3 8 ) 1 = 8 3 h) (6-2 .32 )-1 Resposta: 4 ( 1 36 . 9) 1 = ( 1 4 ) 1 = 4 i) 20 +(-2)4 .4-2 -(-2)3 Resposta: 10 1 + 16 . 1 16 (8) = 1 + 1 + 8 = 10 j) 22+( 1 3 ) 2 24+(3)2+40 Resposta: -5/6 22 + ( 1 3 ) 2 24 + (3)2 + 40 = 4 + 9 16 + 9 + 1 = 5 6 = 5 6 Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes POTENCIAO PT.7.01.B 1)Transforme em uma s potncia (considere x e a no nulos): a) 79 .7-6 =79+(-6) =715 b) 10-9 .10.105 =10-9+1+5 =10-3 c) 83 .8-6 =83+(-6) =8-3 d) x3 x-5 x4 =x3+(-5)+4 =x2 e) a8 .a-8 .a-1 =a8+(-8)+(-1) =a8-8-1 =a-1 2) Transforme em uma s potncia (considere x e a no nulos): a) 64 :65 =64-5 =6-1 b) 27 :2-2 =27-(-2) =29 c) 74 :7-1 =74-(-1) =75 d) 103 105 = 103(5) = 102 e) 6 2 = 6(2) = 8 f) 9 11 = 911 = 2 3)Transforme numa s potncia (considere x no nulos): a) (6-1 )4 =6-4 b) (5-1 )-3 =63 c) (106 )-2 =10-12 4) Transforme em um produto de potncias: a)(5.11)-2 =5-2 .11-2 b) (3.102 )-1 =3-1 .10-2 c) (2-4 .54 )2 =2-8 .58 5) Transforme em um quociente de potncias: a) (8:3)-2 =8-2 :3-2 b) (6-2 :5)-4 =68 :5-4 c) (7-2 :2-1 )-3 =76 :23 6) Simplifique (com todos valores diferentes de zero) no caderno: a) ).(:)..( 6565 aaaaa = 12 : 11 = Quando eu no indico expoente, ele 1, importante considerar isso. b) 2425 ).().( aaa = (a6 )2 .a8 =a12 .a8 =a20 c) 32254 ).(. xxx =(x9 )2 .x6 =x18 .x6 =x24 d) xx xxx . .. 6 24 = 7 7 = 0 e) 232 3254 . )..)(.( xx xxxxx = 5.10 (5)2 = 15 10 = 5 f) 53 24524 )( aa aaa = 8 5 8 (4)5 = 21 20 = 1 = 12) Escreva como uma nica potncia (caderno): a) 256.47 86 = (28).(22)7 (23)6 = 28.214 218 = 222 218 = 24 Substitua 256=28 , 4=22 e 8=23 . b) 36,276 2433 = 36.(33)6 (35)3 = 36,318 315 = 312 315 = 33 Substitua 27=33 e 243=35 13) Escreva como uma nica potncia (caderno): a) 0,00001:(100-2 )3 =10-5 :((102 )-2 )3 =10-5 :10-12 =107 b) 0,000012.100003 (0,13.102)4 = (105) 2 .(104)3 ((101)3102)4 = 1010.1012 (103102)4 = 1022 (101)4 = 1022 104 = 1026 14) Escreva como uma nica potncia: 54 29 81.27 9.3 39 . (32)2 (33)4(34)5 = 39 . 34 312. 320 = 35 38 = 313 15) Simplifique 334 523 ba ba . 15 10 12 9 = 3 16) Escreva como nica potncia: 32311 625255 (511 . (52)3 . (54)2)3 = (511 . 56 . 58)3 = (53)3 = 59 17) Simplifique 423 252 . . ba ba . 4 10 12 8 = 412 10(8) = 16 2 Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes POTENCIAO PT.7.01.C 1) Resolva as expresses no caderno a) 21 + 31 1 2 + 1 3 = 3 6 + 2 6 = 5 6 b) (3)2 . (2 + 21)1 9. (2 + 1 2 ) 1 = 9. ( 4 2 + 1 2 ) 1 = 9. ( 3 2 ) 1 = 9. 2 3 = 6 c) (3 5)2(2 1)3 + ( 1 2 ) 2 (2)2(3)3 + 4 = 4. (27) + 4 = 108 + 4 = 104 d) 21+22 23 = 1 2 + 1 4 1 8 = 2 4 + 1 4 1 8 = 3 4 1 8 = 3 4 . 8 = 6 2)Lembre que 0,25=1/4 e calcule (0,25)-3 rapidamente. (1/4)-3 =64 3) Se 0,142857142857...=1/7, calcule (0,142857....)-2 . (1/7)-2 =49 4)Se = ( 1 3 ) 2 , B= 21 51 , C=2-1 .5-2 , ache A+B+C
6. 6. = 9 = 1 2 1 5 = 5 2 C= 1 2 . 1 25 = 1 50 + + = 9 + 5 2 + 1 50 = 450 50 + 125 50 + 1 50 = 576 50 = 288 25 a) 220 =1048576 b) 210 =1024 c) 28 =256 d) 29 =512 e) 221 =2097152 A letra B est incorreta: deveria ser 6561 x 27 a) 36 x32 =38 =6561 b) 38 x33 =313 =177147 c) 34 x35 =39 =19683 d) 310 :38 =32 =9 e) 311 :37 =34 =81 f) (33 )3 =39 =19683 g) (34 )2 =38 =6561 h) (35 )2 =59049 Vamos fazer a tabela: 52 =25 53 =125 54 =625 55 =3125 56 =15625 (J bastam) a) 55 .54 =59 b) 58 :53 =55 =3125 c) (52 )5 =510 = 1 1 4 = 4 4 1 4 = 3 4 = (1 1 2 ) 1 = ( 1 2 ) 1 = 2 = 1 3 = 2 a) ( 3 4 ) 2 = 9 16 b) (2 3 4 ) 2 = ( 8 4 3 4 ) 2 = ( 5 4 ) 2 = 16 25 c) ( 3 4 .2 2 ) 2 = ( 3 2 2 ) 2 = ( 3 4 ) 2 = 16 9 Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes RADICIAO RD.7.01.A Vamos relembrar algumas potncias: 23 =8 33 =27 43 =64 53 =125 63 =216 73 =343 83 =512 93 =729 103 =1000113 =1331 24 =16 34 =81 44 =256 54 =625 25 =32 35 =243 45 =1024 55 =3125 1)Calcule: 27 3 =3 81 4 =3 64 3 = 4 125 3 =5 16 4 =2 32 5 =2 512 9 =2 2) Calcule: a) 33 278 =2+3=5 b) 53 32.125 =5.2=10 c) 43 16216 =6-2=4 d) 9814 =3:3=1 e) 3 27125 =125+3=128 3) Sei que 210 =1024, calcule 10 1024=2. 4) Calcule: a) 81 =3 b) 4 81=3 c) 16 =2 d) 4 16 =2 e) 256 =4 f) 4 256 =4 g) 256 =2 h) 8 256 =2 Aqui podemos concluir que a raiz quarta equivale a raiz quadrada da raiz quadrada ou seja: 4 = A raiz oitava a raiz quadrada da raiz quadrada da raiz quadrada 8 = 5) Calcule 4 625Pode ser calculado tirando- se a raiz quadrada da raiz quadrada, que resulta em 5. 6) Calcule: a) 3 27 =-3 b) 3 27 =3 c) 4 16 =2 d) 4 16 =no tem raiz e) 36 =no h f) =6 g) =2 h) 5 32 =-2 7) Ache o valor de x: a) x2 =16 b) x2 =49 x=4 ou x=-4 No existe x c) x2 =-1 d) x3 =-27 No existe x x=-3 e) x3 =8 f) x3 =-1 x=2 x=-1 g) x4 =16 h) x4 =-16 x=2 ou x=-2 No existe x 8) Calcule 2-1 + 3 8 . 1 2 + 2 = 1 2 + 4 2 = 5 2 9) Calcule efetuando todas operaes (no usar propriedades): a) 3 3 8 =23 = 8 b) 3 3 8 =512 3 = 8 c) 4 4 1 =14 = 1 d) 4 4 1 1 4 = 1 e) 2 9 =32 =9 f) 2 9 = 81 = 9 O objetivo aqui concluir que potncias e razes se cancelam. Prof. Otvio Luciano Camargo Sales de Magalhes RADICIAO RD.7.01.B 10) Calcule: a) 6 0 =0 b) 3 27 8 =-2/3 11) Resolva no caderno: a) 121495 Resposta: 24 5.7 11 = 35 11 = 24 b) 9 1 3 25 4 Resposta:7/2 2 5 + 3 1 3 = 2 5 + 1 = 7 5 GABARITO ERRADO c) 3 322 27.35 Resposta: -4 25 9. 7 8 3 16. 1 3 = 4. (1) = 4 d) 33 001,0 27 8 Resposta: 23/30 2 3 (0,1) = 2 3 + 1 10 = 20 30 + 3 30 = 23 30 12) Calcule: a) 3 8000 =20 b) 4 160000=20 c) 3 8000 =-20 d) 4 160000 =N/E e) 5 100000=10 f) 3 27000 =-30 g) 3 1000000000=100 h) 0,0000646 =0,2 13) Se a= 3 8000e b=1-22 , ache o valor de 2 10 b a a=20 b=1-4=-3 20 10 (3)2 = 2 1 9 = 18 9 1 9 = 17 9 Resposta: 17/9 14) Ache a metade da 3 64000000 400 = 20 A metade 10 15) QUESTO REPETIDA PT.7.1.A, o item J da questo 6 Resposta: 6 16) (LONDRINA Adapt.) Dados os nmeros . a) Quanto ? b) Quanto xy-z ? = 2/3 1/3 = 2 = 2/3 3/2 = 4/9 = 2/3 3 1/2 = 2/9 1/2 = 4/9 ) 4 9 = 2 3 b) 20 = 1 36 5 32 x 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 2 1 3 1 3 3 1 2 , ,y = z =