UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

CÁLCULO 1 e 2 – PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA

PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 01/12/2013

CANDIDATO: _____________________________________________________

CURSO PRETENDIDO: _______________________________________________

OBSERVAÇÕES: 01 – Prova SEM consulta.

02 – A prova PODE ser feita a lápis.

03 – PROIBIDO o uso de calculadoras e similares.

04 – Duração: 2 HORAS.

1a Questão (10 pontos): Sabe-se que o ponto 7,2P é o ponto de maior ordenada do gráfico da

função definida por 182 bxaxxf . Nestas condições, o valor de 3f é:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

SOLUÇÃO

Como a função é quadrática e possui um valor máximo, então 0a .

O ponto 7,2P é o vértice da parábola 182 bxaxxf .

Assim: 2

22

82

ab

a

bxV (1)

716

174

6447

4

47

47

222

a

b

a

ba

a

bac

ayV (2)

Substituindo (1) em (2): 274174

.16

12

aaa

a

Como 2

ab , então 1b .

Portanto, a função quadrática é: 182 2 xxxf

Para 3x , teremos: 5313.83.23 2 ff

2a Questão (10 pontos): Sabendo que a função baxxxxf 23 2 apresenta um máximo

relativo no ponto 6,1P , concluímos que o valor de ab 23 é igual a:

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

SOLUÇÃO

Como a função possui máximo relativo no ponto 6,1P , então neste ponto devemos ter a

derivada igual a zero, ou seja, 01 f .

Como axxxf 43 2 , então 104301.41.32

aaa .

Como o ponto 6,1P pertence à curva, então devemos ter 61 f .

Assim: 61216 bb .

Portanto: 1623 ab

3a Questão (10 pontos): Se yxfz , ; xyexx

z xy 21

e yeyyf y 2ln,1 , quanto vale

1,1f ?

a) e b) 1e c) 2e d) 3e e) 4e

SOLUÇÃO

Temos:

dxxye

xyxfdx

x

zyxf xy 2

1,,

Calculando: yCxexyxf xy 2ln,

Para yCeyfx y 211ln,11

12ln102ln yyyCyCeyey yy

Portanto: 12lnln, 2 yyxexyxf xy

Logo: 21,1121ln11ln1,1 efef

4a Questão (10 pontos): O valor da integral

8

1 33 1. tt

dtI é:

a) 2 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

SOLUÇÃO

Fazendo: dxxxdtxtxtxt .2.1.31112232233 .

Para 21 xt

Para 38 xt

Assim:

3

2

3

2

2

2

22

.1.61.

.2.1.3dxxI

xx

dxxxI

Calculando: 223

.6

3

2

3

Ix

xI

5a Questão (10 pontos): Calculando o valor da integral 2

0

4

0

2 dxdyyx , obtemos:

a) 3

151 b)

3

152 c)

3

154 d)

3

155 e)

3

157

SOLUÇÃO

2

0

2

0

4

0

3

43

64

3dyyIdyxy

xI

3

1528

3

1282

3

642

0

2

IIyyI

6a Questão (10 pontos): Resolver a integral dxxxI 32.59

, usando o Método de

Integração Por Partes vduvuudv . .

SOLUÇÃO

Fazendo:

10

55

232

109 x

vdxxdv

dxduxu

.

Assim:

dxxx

xI 2.10

5

10

5.32

1010

.

C

xxxI

11

5.

10

2

10

5321110

C

xxxIC

xx

xI

11

1023322.

10

5

11

5232.

10

51010

.

Finalmente:

Cxx

I

110

4320.510

7a Questão (10 pontos): Calcular a área limitada pela parábola xy 42 e pela reta 42 xy .

SOLUÇÃO

A parábola xy 42 tem o vértice na origem e a concavidade voltada para a direita e a reta

42 xy é oblíqua aos eixos coordenados.

4

x

y

0

2

y

42 xy

*x

xy 42

4

2

Como a área a ser calculada situa-se toda à direita do eixo y , é conveniente escolher um

retângulo elementar da forma yx .* , onde parábolareta xxx * .

Por outro lado, para identificarmos os limites de integração, é necessário encontrar os pontos

de interseção da reta e da parábola.

Assim, obtivemos os pontos 2y e 4y .

Portanto: 4

2

*.dyxS , onde 4

22

2* yy

x

Logo: ..93

2

3

164814

122

4.

42

2

4

2

4

2

322

AuSy

yy

dyyy

S

8a Questão (10 pontos): Resolver a integral

dx

e

eeI

x

xx

4

2.2

, usando uma substituição de

variáveis conveniente.

SOLUÇÃO

Fazendo: dtdxete xx . .

Assim:

dt

tdt

t

tIdt

t

tI

4

2

44

2222

C

tarctgtIdt

tdt

t

tI

24ln

2

1

2

12

4

2

2

1 2

222

Como te x , então Ce

arctgeIx

x

24ln

2

1 2

9a Questão (10 pontos): Usando Frações Parciais, resolver a integral dx

xxI

4

83

.

SOLUÇÃO

dx

xxdx

xxI

4.

8

4

823

Por Frações Parciais: 44.

822

x

CBx

x

A

xx.

ACxxBAxCBxxA 48.48 22

Comparando:

284

0

20

AA

C

BBA

Assim:

CxxIdx

x

xdx

xI 4lnln2

4

22 2

2

10a Questão (10 pontos): Determinar os pontos de Máximo Relativo, Mínimo Relativo ou de Sela

da função 20123, 33 yxyxyxf

DADO: Hessiano: 2BACCB

BA , onde

Px

zA

2

2

;

Pxy

zB

2

; P

y

zC

2

2

.

SOLUÇÃO

dx

xxdx

xxI

4.

8

4

823

Por Frações Parciais: 44.

822

x

CBx

x

A

xx.

ACxxBAxCBxxA 48.48 22

Comparando:

284

0

20

AA

C

BBA

Assim:

CxxIdx

x

xdx

xI 4lnln2

4

22 2

2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

GABARITO DE FÍSICA – PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E

PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR 01/12/2013

CANDIDATO: _____________________________________________________

CURSO PRETENDIDO: _______________________________________________

OBSERVAÇÕES: 01 – Prova SEM consulta. 02 – A prova PODE ser feita a lápis. 03 – PROIBIDO o uso de calculadoras e similares. 04 – Duração: 2 HORAS.

1a Questão: Duas esferas de aço descrevem um movimento retilíneo uniforme sobre uma mesa horizontal. A velocidade da esfera A é o dobro da velocidade da esfera B e ambas chegam à borda da mesa no instante t = 0. Considere que tA seja o instante em que a esfera A toca o solo e que tB seja o instante em que a esfera B toca o solo. Supondo que a massa das esferas seja igual e que a resistência do ar possa ser desprezada, é correto afirmar que:

a. tA = (1/4) tB. b. tA = (1/2) tB. c. tA = tB. d. tA = 2 tB. e. tA = 4 tB.

Solução: Alternativa (c). O movimento horizontal e o vertical são independentes. As duas esferas têm a mesma velocidade vertical (vy = 0) e começam a cair da mesma altura. Portanto ambas levarão o mesmo tempo para chegar ao solo.

2a Questão: Um automóvel percorre com velocidade escalar constante uma curva horizontal que tem a forma de um arco de circunferência. A força resultante sobre esse automóvel é devida:

a. à atração gravitacional que a Terra exerce sobre o automóvel. b. à reação normal que a pista exerce sobre o automóvel. c. ao atrito entre a pista e o automóvel. d. ao motor do automóvel. e. ao ar.

Solução: Alternativa (c). Como a velocidade escalar é constante, o movimento é circular e uniforme. Logo a aceleração do automóvel é a aceleração centrípeta. Como a curva é horizontal, a única força que tem um componente que aponta para o centro da trajetória é a força de atrito.

3a Questão: Um objeto puntiforme realiza um movimento retilíneo cujo gráfico posição versus tempo é mostrado na figura ao lado. Assinale a afirmativa correta:

a. O objeto se move com velocidade constante. b. O objeto está acelerando o tempo todo. c. O objeto está freando o tempo todo. d. O objeto está acelerando em uma parte do

movimento e freando em outra parte. e. O objeto se move com aceleração nula.

Solução: Alternativa (b). Em um gráfico posição versus tempo a velocidade em um ponto é numericamente igual ao valor da tangente à curva naquele ponto. No gráfico em questão pode ser visto que a magnitude da velocidade é zero no instante inicial e aumenta à medida que o tempo passa. Portanto o objeto está acelerando o tempo todo. 4a Questão: ANULADA (A pontuação referente a esta questão será atribuída a todos os candidatos que compareceram à prova). 5a Questão: No pêndulo cônico da questão anterior, o momento angular da esfera em relação ao ponto O é:

a. tangente à circunferência descrita pela esfera. b. paralelo ao eixo z. c. perpendicular ao eixo z. d. paralelo ao fio. e. perpendicular ao fio.

Solução: Alternativa (b). O momento angular L é dado pelo produto vetorial L = r x p (r é o vetor posição da esfera em um determinado instante e p é seu momento linear). Como r tem a direção radial e p = m v é tangente à circunferência, L será paralelo ao eixo z.

6a Questão: Um projétil de 100 g com uma velocidade de 500 m/s colide com um paralelepípedo maciço de 900 g, inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Supondo que a velocidade do projétil imediatamente antes da colisão seja horizontal e que ele fique encravado no paralelepípedo, calcule a energia cinética do conjunto formado pelos dois corpos logo após a colisão. Solução:

7a Questão: A figura ao lado mostra dois blocos, A e B, ligados por um fio inextensível de massa desprezível que passa por uma roldana de massa 2,0 kg e raio 0,10 m. O sistema está inicialmente em repouso e o bloco B está apoiado no solo. Considerando mA = 3,0 kg e mB = 1,0 kg, quando o sistema é solto, o bloco A desce e o bloco B sobe. A partir dessas informações, calcule a aceleração angular da roldana enquanto o bloco A estiver descendo. Dados: g = 10 m/s2; Iroldana = (1/2) m r2.

Solução: 8a Questão: Uma partícula descreve um movimento unidimensional sob a ação de uma única força que é expressa no Sistema Internacional de unidades (SI) por F (x) = k x2. Nesta expressão, k = 6,00 N.m-2 é uma constante. Calcule o trabalho devido a essa força quando a partícula se desloca entre as posições x1 = 3,00 m e x2 = 5,00 m. Solução:

9a Questão: Uma plataforma gira sem atrito com velocidade angular de 6,0 rad/s. No centro dessa plataforma encontra-se uma pessoa de pé com os braços abertos segurando um par de halteres em cada mão. Nesta situação o momento de inércia do conjunto é de 12 kg m2, mas quando a pessoa encolhe os braços, o momento de inércia cai para 8,0 kg m2. Calcule a velocidade angular do conjunto após a pessoa ter encolhido os braços. Solução:

10a Questão: Uma partícula de 3,0 kg, inicialmente em repouso, está sujeita a uma única força F. Essa força varia em função do tempo como mostra a figura. A partir dessas informações, calcule a magnitude do impulso devido a essa força. Solução: