Instituto de Fısica

UFRJ

3a Avaliacao Presencial de Fısica 4BPrimeiro semestre de 2012

1o Q

2o Q

3o Q

Nota

InstrucoesPara os alunos fazendo a AP3 de duas disciplinas: resolver as questoes 1 e 2Respostas sem justificativas nao serao consideradasDados: h = 6,6× 10−34 J · s; c = 3,0× 108 m/s; 1 eV = 1,6× 10−19 J

1. (2,5 pontos)

A funcao trabalho do metal ouro vale W = 5, 1 eV. Esse metal e iluminado com luz decomprimento de onda λ variando de 0, 1µm a 1µm.

(a) Qual e o maior comprimento de onda dos fotons que sao capazes de arrancar umfoteletron desse metal?

Solucao

A energia do foton deve ser maior ou igual a funcao trabalho para que ele possa gerarum fotoeletron: hν ≥ W. Como o comprimento de onda esta relacionado a frequenciapela equacao λ = c/ν, obtemos a condicao

λ ≤ h c

W=

6, 6× 10−34 × 3× 108

5, 1× 1, 6× 10−19m = 0, 24µm

Portanto o maior comprimento de onda e λmax = 0, 24µm.

(b) Qual e a velocidade dos fotoeletrons emitidos com maxima energia? Ao calcular avelocidade a partir da energia cinetica, despreze os efeitos relativısticos. Justifique aaproximacao nao-relativıstica analisando o resultado encontrado para a velocidade.

Solucao

Os fotoeletrons com maxima energia sao gerados a partir de fotons com maxima energia,o que significa menor comprimento de onda. Assim, o foton de maxima energia temcomprimento de onda 0, 1µm e energia Efoton = hc

0,1µm= 1, 98× 10−18 J.

A energia do fotoeletron e

Eeletron = Efoton −W = 1, 98× 10−18 J− 5, 1× 1, 6× 10−19 J = 1, 16× 10−18 J

Supondo que a velocidade do eletron e muito menor que a velocidade da luz (limitenao-relativıstico), podemos tomar

Eeletron =mv2

2=⇒ v =

√2Eeletron/m =

√2, 3× 10−18J/m[kg],

onde m e a massa do eletron.

Adendo nao obrigatorio neste item: se tomarmos o valor numerico da massa do eletron,m = 9, 1×10−31 kg, obtemos v = 1, 6×106 m/s portanto muito menor que a velocidadeda luz no vacuo c = 3, 0× 108m/s, justificando a aproximacao nao -relativıstica.

1

2. (2,5 pontos) Um feixe de luz laser de comprimento de onda λ = 0,66µm e potencia 12 mWe completamente absorvido por um corpo de face plana perpendicular a sua direcao depropagacao, como mostra a figura abaixo.

(a) Determine o momento linear e a energia de cada foton do feixe.

Solucao

A energia do foton vale E = hν = hc/λ, ao passo que o momento linear vale p =E/c = h/λ. Os valores numericos neste exemplo sao p = 6, 6 × 10−34/(0, 66 × 10−6) =10−27 kg m/s e E = pc = 10−27 kg m/s× 3× 108 m/s = 3× 10−19 J.

(b) Determine o fluxo de fotons ∆N/∆t do feixe (numero de fotons que atravessam umaarea perpendicular ao feixe por unidade de tempo).

Solucao

A potencia do feixe e o produto do fluxo de fotons pela energia de cada foton:

∆N

∆t× E = P =⇒ ∆N

∆t= P/E = 4× 1016 fotons/seg

(c) Calcule, por meio dos resultados dos itens anteriores, a forca exercida pelo feixe sobreo corpo.

Solucao

Cda foton absorvido transfere o seu momento linear p calculado no item (a) ao corpoabsorvedor. A forca total exercida e igual a taxa de transferencia de momento linearao corpo absorvedor:

F =∆N

∆t× p = 4× 10−11 N.

O vetor forca tem a mesma direcao e sentido de propagacao do feixe.

3. (5,0 pontos) Um compo eletrico constante e uniforme E0 atua sobre uma partıcula de massade repouso m0 e carga eletrica q a partir do instante t = 0, quando a partıcula estava emrepouso. Responda as questoes abaixo, em termos de E0, q, m0 e da velocidade da luz novacuo c.

2

(a) Calcule o momento relativıstico da partıcula num tempo t > 0.

Solucao

Como a forca sobre a partıcula vale qE0, a taxa de variacao do momento da partıculavale

dp

dt= qE0.

Integrando ambos os lados da equacao acima, obtemos tem como solucao

p(t) = qE0 t+ p0

onde p0 e o momento da partıcula no tempo t = 0. Como a partıcula estava em repousoem t = 0, temos p0 = 0 :

p(t) = qE0 t

(b) Calcule a velocidade v(t) da partıcula no tempo t. Mostre que v < c mesmo para temposarbitrariamente grandes. Determine o valor da velocidade para t = 10m0c/(qE0).

Solucao

O momento relativıstico esta relacionado a velocidade pela expressao:

p(t) =mv(t)√

1− v(t)2/c2= qE0 t

Tomando o quadrado de ambos os lados, obtemos

mv2

1− v2/c2= (qE0 t)

2

Podemos resolver esta equacao para a velocidade v :

v =

√√√√ (qE0 t)2

(m0c)2 + (qE0 t)2c (1)

De acordo com a equacao (??) , a razao v/c vale

v

c=

√√√√ (qE0 t)2

(m0c)2 + (qE0 t)2(2)

Uma vez que (m0c)2 > 0, o denominador na fracao mostrada acima e sempre maior que

o numerador, demonstrando que v/c < 1 para todo tempo t.

O valor para t = 10m0c/qE0 e

v =

√√√√ (10)2

1 + (10)2c = 0, 995 c

(c) Calcule agora v(t) pela Mecanica Newtoniana e compare com o resultado relativısticoobtido no item anterior. Para que valores de t o resultado Newtoniano e uma boaaproximacao do resultado exato relativıstico? Obtenha a expressao Newtoniana a partirdo seu resultado exato tomando o limite apropriado.

3

Solucao :

Pela Mecancia Newtoniana, temos (2a lei de Newton)

dv

dt=qE0

m0

=⇒ v(t) =qE0t

m0

.

Esta expressao coincide com o resultado relativıstico para tempos curtos: de fato, set� m0c/qE0 temos da eq. (??),

v ≈

√√√√(qE0t)2

(m0c)2× c =

qE0t

m0cc =

qE0t

m0

. (3)

Observe ainda que a condicao de tempos curtos e justamente a condicao para que avelocidade seja pequena:

t� m0c/(qE0) =⇒ qE0t

m0

� c.

(d) Faca o grafico de v(t) versus t. Indique na escala vertical o valor de c, e na escalahorizontal (valores de t) multiplos inteiros de m0c/(qE0). Alem do resultado relativısticoexato, tambem represente no grafico o resultado Newtoniano para v(t).

Solucao :

Na figura abaixo, apresentamos o grafico de v/c em funcao de

τ ≡ t/(m0c/(qE0)). (4)

O resultado relativıstico exato foi calculado a partir da equacao (??), ao passo que oresultado Newtoniano e obtido da eq. (??).

Observe que as duas curvas coincidem para tempos curtos (τ � 1), que correspondeao limite nao relativıstico (baixas velocidades).

Newtoniano

Relativístico

0 2 4 6 80.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Τ

v c

4