GABARITO

1Matemática E

Matemática E – Semiextensivo – V. 2

Exercícios

01) P = 3 . 2 . 4 = 24 possibilidades

02) P = 6 . 5 . 4 = 120 possibilidades

03) P = 5 . 8 = 40 possibilidades

04) Ida: Pida = 10 . 4 = 40 possibilidades

Volta: Para a volta devemos desconsiderar uma estrada entre A e B e outra estrada en-tre B e C. Nessas condições, para o retorno teremos 3 estradas de C a B e 9 estradas de B até A:

Pvolta: 3 . 7 = 27

Total de possibilidades = 40 . 27 = 1080

05) 360

Como o número deve ser par, na última "casa" só podemos considerar os algarismos 4, 6, 8, ou seja, 3 possibilidades.

6 5 4 3

4 6 8

p p p p↓

, , Logo, 6 . 5 . 4 . 3 = 360

06) 36

Como o número deve ser par, vamos dividir o problema em dois casos:

5p 4p 0 → com final zero

Logo, são 5 . 4 = 20 possibilidades

4p 4p 2 → com final 2. Observe que na pri-meira casa não podemos contar com o zero.

Logo, são 4 . 4 = 16 possibilidades

No total, temos 20 + 16 = 36 possibilidades.

07) C

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

P

GPP

GPGPP

GPGPG

GPGGP

GPGGG

GGPPP

GGPPG

GGPGP

GGPGG

GGG

Resultado do jogo

(P = Perde; G = Ganha)Maneiras

Pelo Diagrama:

início

P G

P

P

G

GG P

P G P G

P G P G P G P G

GABARITO

2 Matemática E

10) C

I. Falso. De A até C há ao todo 6 trajetos, no entanto para cada trajeto deve-se pagar dois pedágios, sendo no total 6 . 2 = 12 pedágios. Por exemplo, para o trajeto ADBGC pagam-se dois pedágios, um na rodovia D e outro na rodovia G.

II. Verdadeiro. Observe na tabela a seguir os percursos possíveis. Nos percursos 4 e 5 são iguais as distâncias per-corridas e os valores pagos com pedágios.

Percurso Rodovia Distância Pedágio Rodovia Distância PedágioDistânciaPercorrida

Custo comPedágios

Trajetos A até CTotal

Trajetos A até B Trajetos B até C

1

2

3

4

5

6

D

D

E

F

E

F

85

85

89

90

89

90

R$ 1,20

R$ 1,20

R$ 1,25

R$ 1,30

R$ 1,25

R$ 1,30

G

H

G

H

H

G

60

61

60

61

61

60

R$ 1,10

R$ 1,15

R$ 1,10

R$ 1,15

R$ 1,15

R$ 1,10

145

146

149

151

150

150

R$ 2,30

R$ 2,35

R$ 2,35

R$ 2,45

R$ 2,40

R$ 2,40

III. Verdadeiro. De acordo com a tabela anterior, o maior valor pago com pedágio é de R$ 2,45: passando pelas rodovias F e H.

IV. Falso. Menor distância: 145 km; menor valor pago com pedágio: R$ 2,30. Portanto, a menor distância corresponde ao menor valor do pedágio.

11) SP

p

PR

p

SC

p

RS

p

verdeou

vermelho

1 2 2 3↓

3 . 2 . 2 . 1 = 12 possibilidades

08) B

Elaborando uma tabela, temos:

Totalizando assim 7 possibilidades.

09) E

De A até B = 10De B até X = 12

Para o trajeto de A até C passando por B há ao todo P = 10 . 12 = 120 caminhos distintos.

De A até C = 5De B até X = 8

Para o trajeto de A até C passando por C há ao todo P = 5 . 8 = 40 caminhos distintos.

Portanto, o número de percursos diferentes partindo de A e chegando até X é:

120 + 40 = 160

GABARITO

3Matemática E

12) A

Primeiro tanque: 5 possibilidades Cada um dos demais tanques não poderá repetir o anterior. Ou seja, cada um dos outros 7 tanques sempre terá 4

possibilidades para conter um único ácido.

P = 4

P = 4 P = 4 P = 4P = 5

P = 4 P = 4 P = 4

Total = 5 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 81920

13) 1439

5 4 10 9 8

20 720

p p p p pvogais

possibilidades

a arismos

pos↓ ↓

� ��� ���lg

ssibilidades

� ����� �����

Logo 20 . 720 = 14400 possibilidades. Logo, Lucas testou 14400 – 1 = 14399 possibilidades.

14) 100

Podemos calcular a quantidade de números maiores do que 460 em duas etapas.

1ª – Algarismo da centena iniciando com 4: 4 __ __ Centena = 1 possibilidade Dezena = 2 possibilidades (6 ou 7) Unidade = 5 possibilidades P = 1 . 2 . 5 = 10

2ª – Algarismo da centena iniciando com 5, 6 ou 7:

Centena = 3 possibilidades Dezena = 6 possibilidades Unidade = 5 possibilidades P = 3 . 6 . 5 = 90

Total = 90 + 10 = 100

15) a) 5 2! !− = 5 . 4 . 3 . 2. – 2 = 120 – 2 = 118b) 6! – 4! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 – 4 . 3 . 2 = 720 – 24 = 696c) 3! . 4! = (3 . 2) . (4 . 3 . 2) = 6 . 24 = 144

d) 108

10 9 88

!!

. . !!

= = 90

e) 15 1313

15 14 13 1313

! !!

. . ! !!

−=

− =

= 210 13 1313

13 210 113

. ! !!

!( )!

−=

− = 210 = 209

f) nn

n n

n!

!

!

!−( )=

−( )−( )1

1

1 = n

g) ( )!!

( )!( )!

nn

nn n n

++( )

=+

+( ) +=+

23

23 2

13

16) D

nn

!!−( )2 = 20

n n nn

( )( )!!

− −−( )1 2

2 = 20

n(n – 1) = 20n2 – n = 20

n2 – n – 20 = 0n

n

’

’’

=−=

4

5

Obs.: n = –4 não pode ser, pois n pertence ao conjunto dos números naturais. Logo,

S = {5}.

17) E

(n + 4)! + (n + 3!) = 15.(n +2)!(n + 4)(n + 3)(n + 2)! + (n + 3)(n + 2)! = 15.(n +2)!(n + 2!)[(n + 4)(n + 3) + (n + 3)] = 15.(n +2)!(n + 4)(n + 3) + (n + 3) = 15n2 + 3n + 4n + 12 + n + 3 = 15n2 + 8n + 15 = 15

n2 + 8n = 0n

n

’

’’

==−

0

8

Obs.: n = – 8 não serve. Logo, n = 0.

18) E

( )! !( )! !

( ) ! !( ) ! !

! ( )

! ( )n nn n

n n nn n n

n n

n n+ −+ +

=+ −+ +

=+ −[ ]+

11

11

1 1

1 ++[ ]=

+ −+ +

=1

1 11 1

( )( )nn

= nn

nn

+ −+ +

=+

1 11 1 2

GABARITO

4 Matemática E

19) A

nn

!!+( )1 = (n + 1)!

nn n

!!+( )1 = (n + 1)!

11n+( )

= (n + 1)! ou (n + 1)! = 11n+( )

Por definição, o fatorial de um número é sempre maior ou igual a 1. Assim, o lado direito da igualdade deverá ser maior ou igual a 1. Isto é,

11n+( )

≥ 1

1 ≥ n + 1n ≤ 0

Como n não pode ser menor do que zero, temos que

n= 0

20) B

(n – 6)! = 120120 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 5!(n – 6)! = 5! ⇒ n – 6 = 5

n=11

21) D

( )! . ( )!( )! !

n nn n+ −+

=2 1

165

( )( )!.( )!( )! ( )!

n n nn n n+ + −+ −

=2 1 1

1 165

( )nn+

=2 6

5 ⇒ 6n = 5n + 10

n=10

A solução n = 10 é um número divisível por 5.

22) B

k

k

k k

k

k k

k

!

!

( )!

!

( )!

!

( )−( )

=

−[ ]−( )

=

−[ ]−( )

3

2

3

2

3 3

1

1

1

1

1 2

= K3 (K – 1)!

23)Verdadeira

(a, a + a, a + a + a, ...) (a, 2a, 3a, ..., ka) Logo, p = a . 2a . 3a . ... . ka p = 1 . 2 . 3 . ... . k . a a a a

k vezes

. . ... .� ������ ������

p = k! . ak

24) D

AA

NN

NN

NNN

N

N

N

− =

−− −

−

=

−−

−

13

3

11 3

3

14

3

( )!( )!

!( )!

( )!( )!

!( )!

= ( )! . ( )!( )! . !

N NN N− −−1 3

4=

( ) ! . ( ) . ( ) !

( ) ! . . ( ) !

N N N

N N N

− − −

− −

1 3 4

4 1 =

NN−3

= 34

3 . N = 4 . (N – 3) 3N = 4N – 12 N = 12

25) Qualquer um dos 20 pode assumir um primeiro lugar. Restam 19 que podem assumir o outro primeiro lugar. Por fim, restam ainda 18 que podem assumir o outro primeiro lugar. Ou seja, as possibilidades são:P = 20 . 19 . 18 = 6840

26) 720

10 lápis = 10 cores Rio Grande do Sul, Santa Catarina e Paraná = 3 esta-

dos. É o mesmo que formar números de três algarismos

distintos dentre 10 algarismos. P = 10 . 9 . 8 = 720

27) Para que o número seja ímpar é necessário que termine em 1, 3, 5 ou 7. Ou seja, há quatro opções. Como os algarismos devem ser distintos, restam ainda para a primeira posição 6 possibilidades e para a segunda posição 5 possibilidades:P = 6 . 5 . 4 = 120

28) E

Com cinco tambores, quantos conjuntos de 3 tambores é possível formar?P = 5 . 4 . 3 = 60

29) A

Observe que a ordem de escolha do grupo A não impor-tou, ou seja, é uma combinação. Na segunda escolha, a ordem importou, pois tem o fator "mando de campo". Logo, é um arranjo.

30) D

A senha inicia com o algarismo 1. O algarismo 4 pode estar na posição das centenas, dezenas ou unidades: 14__ __, 1__4__ ou 1__ __4

4 na posição da centena 14__ __: Restam 8 possibilidades para a dezena e 7 possibilida-

des para a unidade:P = 1 . 1 . 8 . 7 = 56

GABARITO

5Matemática E

4 na posição da dezena 1__4__: Restam 8 possibilidades para a centena e 7 possibili-

dades para a unidade:P = 1 . 8 . 1 . 7 = 56

4 na posição da unidade 1__ __4: Restam 8 possibilidades para a centena e 7 possibili-

dades para a dezena:P = 1 . 8 . 7 . 4 = 56Total = 56 + 56 + 56 = 168

Obs.: Poderíamos usar outro modo de resolução: • Onúmerocomeçacomoalgarismo1–1possibili-

dade;• Oalgarismo4podeestarnasoutrastrêsposições:

3 possibilidades;• O restante (8algarismos)ocuparáasoutrasduas

posições: 8 . 7. P = 1 . 3 . 8 . 7 = 168

31) Cn,p = np n p

!! !−( )

C10,3 = 10

3 10 3103 7

10 9 8 73 2 7

3 4

!! !

!!. !

. . . !. . !−( )

= =

C10,3 = 10 . 3 . 4 = 120

C10 3 120, =

32) 4368

Cn,p = np n p

!! !−( )

C16,5 = 165 16 5

105 11

16 15 14 13 12 115 4 3 2 11

!! !

!! . !

. . . . . !. . . . !−( )

= = =

4368

C16 5 4368, =

33) Cn,p = np n p

!! !−( )

C12,2 = 12

2 12 212

2 10!

! !!

! . !−( )= =

C12,2 = 12 11 102 10. . !. !

= 6.11 = 66

C12 2 66, =

34) Cn,p = n

p n p!

! !−( )

Brasileiros:

C10,5 = 165 16 5

105 11

16 15 14 13 12 115 4 3 2 11

!! !

!! . !

. . . . . !. . . . !−( )

= = = 252

Franceses:

C10,5 = 84 8 4

84 4

8 7 6 5 44 3 2 4

!! !

!! . !

. . . . !. . . !−( )

= = = 70

Brasileiros e franceses:C10,5 . C10,5 = 252 . 70 = 17640

35) B

Física quântica:

C5,2 = 52 5 2

52 3

5 4 32 3

!! !

!!. !

. . !. !−( )

= = = 10

Física médica:

C6,3 = 63 6 3

63 3

6 5 4 33 2 3

!! !

!!. !

. . . !. . !−( )

= = = 20

Física nuclear:

C4,1 = 4

1 4 141 3

4 33

!! !

!. !

. !!−( )

= = = 4

Física quântica, física médica e física nuclear:C5,2 . C6,3 . C4,1 = 10 . 20 . 4 = 800

36) E

De 15 peixes, 40% = 6

Dos 15 peixes, 6 são carpas. Ao pescar 10 peixes de modo que 4 sejam carpas,

deveremos ter uma combinação de 4 entre 6 carpas e 6 entre 9 dos demais.Carpas:

C6,4 = 64 6 4

64 2

6 5 44 2

!! !

!!. !

. . !!.−( )

= = = 15

Demais:

C9,6 = 96 9 6

96 3

9 8 7 66 3 2

!! !

!!. !

. . . !!. .−( )

= = = 84

Total = C6,4 . C9,6 = 15 . 84 = 1260

37) 45

Três pontos não colineares implicam que um dos pontos será colinear com 8.

C10,2 = 102 10 2

102 8

10 9 82 8

!! !

!!. !

. . !. !−( )

= = = 45

38) Base do triângulo formada por 2 pontos dentre os 5 colineares:

C5,2 = 52 5 2

52 3

5 4 32 3

!! !

!!. !

. . !. !−( )

= = = 10

Base do triângulo formada por 2 pontos dentre os 7 não colineares:

C7,2 = 7

2 7 27

2 57 6 52 5

!! !

!!. !

. . !. !−( )

= = = 21

Total: C5,2 . C7,2 = 10 . 21 = 210

GABARITO

6 Matemática E

39) B

C7,2 = 72 7 2

72 5

7 6 52 5

!! !

!!. !

. . !. !−( )

= = = 21

Triângulos com base em s: 11.21 = 231

C1,2 = 11

2 11 2112 9

1110 92 9

!! !

!!. !

. . !. !−( )

= = = 55

Triângulos com base em r: 55.7 = 385Total de triângulos = 231 + 385 = 616

40) E

Comissão formada só por matemáticos:

C5,3 = 53 5 3

53 2

5 4 33 2

!! !

!!. !

. . !!.−( )

= = = 10

Comissão formada por 2 matemáticos e 1 geógrafo dentre os três:

3.C5,3 = 5

2 5 25

2 35 4 32 3

!! !

!!. !

. . !. !−( )

= = = 3.10 = 30

Total: 10 + 30 = 40

41) C

4 entre as 5 moças:

C5,4 = 5

4 5 454 1

5 44

!! !

!!. !

. !!−( )

= = = 5

Para cada grupo de 4 garotas se juntará apenas 1 rapaz entre os 10. Isto é:5 . 10 = 50

O problema informa que cada grupo deverá ter no má-ximo 1 rapaz, e isso significa que poderá haver grupos formados somente por garotas. Dessa forma, o total de grupos possíveis é:com 4 garotas e 1 rapaz: 50com 5 garotas: 1Total 50 + 1 = 51

42) E

Cn,p = np n p

!! !−( )

Cn,2 = nn!

! !2 2−( )= 435

nn

!!−( )2 = 870

n n nn

( )( )!!

− −−( )1 2

2 = 870

n(n – 1) = 870

n2 – n – 870 = 0 n

n

’

’’

==−

30

29

n = –29 não serve.Portanto, n = 30.

43) D

Observe que ela possui 7 frutas, tendo que escolher 3 frutas por dia. Vamos dividir em dois casos.

Caso I: As três diferentes.

C73 7

3 47 6 5 4

3 435= = =

!! !

. . . !

! !

Caso II: Duas diferentes.

C72 7

2 57 6 5

2 521= = =

!! !

. . !

! !

Como ela pode repetir, no caso dois são 42 possibili-dades, ou seja, 21 + 21 = 42

No total, temos 35 + 42 = 77 possibilidades.

44) D

Como o jogo é feito de 6 números e João assinalou 7, temos:

C76 7

6 17 6

6 17= = =

!! !

. !

! !

Logo, João tem a possibilidade de 7 jogos. Sendo R$2,00 cada, logo pagará R$14,00.

45) B

João fez 7 jogos, como vimos na questão anterior. Observe que dos 7 números jogados ele acertou 4, ou seja,

A A A A E E E

númerosacertados

númeroserrados

↓ ↓

C

dos 7 números

ele errou 3.32 3=

Logo João acertou 3 quadras. Temos 3 . 64,32 = 192,9

46) Com a palavra VIDRO:

a) Anagramas: P5 = 5! P5 = 5 . 4 . 3 . 2 = 120

GABARITO

7Matemática E

b) Começa com I → Resta uma combinação de 4 letras: P4 = 4! P4 = 4 . 3 . 2 = 24

Começa com O → Resta uma combinação de 4 letras: P4 = 4! P4 = 4 . 3 . 2 = 24

Total: 24 + 24 = 48

Obs.: Ainda poderíamos encontrar a solução da seguinte maneira:

Com a palavra VIDRO há 5 posições para as letras:

1 2 3 4 5

Vogais 1 2 3 4

2 Permutação com as demais letras

P = 2 . 4! P = 2 . 24 ⇒ P = 48

c) Com a palavra VIDRO há 5 posições para as letras:

1 2 3 4

Consoantes 1 2 3

3 Permutação com as demais letras

5

Consoantes

2

P = 3 . 3! . 2 P = 3 . 6 . 2 ⇒ P = 36

47) MÁGICOS = 7 LETRAS

a) P7 = 7! P7 = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 = 5040

b) Com a palavra MÁGICOS há 7 posições para as letras:

1 3 4 5 6

Vogais 2 3 4 5

3 Permutação dessas 5 letras

2

1

7

Vogais

2

P = 3 . 5! . 2 P = 3 . 120 . 2 P = 720

c) Para que tenha as letras G e I juntas nessa ordem, basta considerar GI como apenas uma letra para fins de cálculo.

P6 = 6! P6 = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 P6 = 720

GABARITO

8 Matemática E

d) Para M e G juntas nessa ordem, é o mesmo cálculo do item anterior, ou seja, 720 possibilidades. Agora, como não importa a ordem, devemos considerar também G e M nessa ordem, sendo ainda 720 possibilidades. Nessas condições, os anagramas com MG ou GM nessas ordens são:

720 + 720 = 1440. Porém, o total de anagramas é 5040. Logo, a quantidade de

anagramas que não possuem as letras M e G juntas é de 5040 – 1440 = 3600.

48) B

Suponha que os livros A e B devam estar juntos: AB nessa ordem, resta uma permutação entre as demais 5

posições:P5 = 5!P5 = 5 . 4 . 3 . 2P5 = 120

Para BA nessa ordem, é o mesmo cálculo:P5 = 5!P5 = 120

Total de livros disponibilizados na estante de modo que dois livros sempre estejam juntos:120 + 120 = 240

49) a) 88°

2 24 possibilidades

3 24 possibilidades

5 24 possibilidades

7 2 6 possibilidades

7 3 6 possibilidades

7 5 2 2 possibilidades

7 5 3 2 8 1 possibilidades

7 5 3 8 2

Logo 24 . 3 + 6 . 2 + 2 + 1 = 72 + 12 + 3 = 87. Temos então 75382 que ocupa a 88o posição.

b) 53287

2 24 possibilidades

3 24 possibilidades

5 6 possibilidades

5

2

1 possibilidades

5 3 1 possibilidades

3 2 7 8

2 8 7

56 possibilidades

Logo o 56° número é 53287.

50) C

Da palavra CASTELO, para que as vogais estejam em ordem alfabética, basta considerar AEO como apenas uma letra entre 5.P5 = 5!P5 = 120

51) C

Total de possibilidades entre as oito pessoas:P8 = 8!P8 = 40320

Possibilidade de Lúcia e Joaquim ficarem jun-tos, não importando a ordem:P = 2 . 7!P = 2 . 5040P = 10080

Das 40320 possibilidades de as pessoas sentarem-se, deve-se tirar 10080, que são as possibilidades de os dois ficarem juntos.Total = 40320 – 10080 = 30240

52) B

Primeiramente observe que são cinco ativida-des e que na permutação teríamos:P5 = 5!P5 = 120

O item A e o item D não podem ser invertidos, pois obviamente o aposentado deverá primeiro levar o seu neto à escola e depois ir buscá-lo. Isto é, devemos dividir o resultado por 2:Total = 120

2 = 60

53) D

Pn = n!5040 = n!n = 7

Fazer a combinação de 3 em 3 com 7 elemen-tos:

Cn,p = np n p

!! !−( )

C7,3 = 7

3 7 37

3 47 6 5 43 2 4

!! !

!!. !

. . . !. . !−( )

= = = 35

GABARITO

9Matemática E

54) C

Com 8 letras

Posição das letras

Iniciando com G 1 2 3

1 7 6 8

P = 1 . 7 . 6 . 5 = 210

55) A

X = começam com vogal:Posição das letras

1 2 3 4 5

Possibilidades 1 2 3 4

2 Permutação

P = 2 . 4! = 2 . 24 = 48X = 48

Y = Começando e terminando em consoante

1 52 3 4

Possibilidades Possibilidades1 2 3

3 2Permutação

P = 3 . 3! . 2P = 3 . 3 . 2 . 2 = 36Y = 36

56) 12

Pn

P

nα β γ

α β γ, , ,... !

! ! !...

!!

. . !!

=

= = =42 4

24 3 22

12

57) 5040

ARARAQUARA = 10 letrasA = 5 repetiçõesR = 3 repetições

P105 3, =

105 3

!! !

= 10 9 8 7 6 5

5 3 2. . . . . !

!. . = 5040

58) a) 120 CASADA = 6 letras A = 3 repetições

P63 =

63!!

P63 =

6 5 4 33

. . . !!

= 120

b) 24

2 3 4

1 2 3

1

Possibilidades

3

6

Possibilidades

1

5

4

1 2 3 4

P = 1 . 4! . 1 P = 1 . 24 = 24

GABARITO

10 Matemática E

c) 24 Basta considerar as quatro vogais como apenas uma: CASADA = 3 consoantes + 1 (3 vogais) P = 4! P = 24

59) 151200

PIRACICABA = 10 letrasA = 3 repetiçõesI = 2 repetiçõesC = 2 repetições

P

P

103 2 2

103 2 2

103 2 210 9 8 7 6 5 4 3

4 2 215120

, ,

, ,

!! ! !. . . . . . . !

!. !. !

=

= = 00

60) C

P = 1 . P62 2, . 1

P = 1 . 62 2

16 5 4 3 2

2 2!! !

.. . . . !

.= = 180

61) E

GUARAPUAVA = 10 letrasA = 4 repetiçõesU = 2 repetições

P102 4 10

2 4, !

!. !=

62) 6720

P83 =

83!!

P83 =

8 7 6 5 4 33

. . . . . !!

= 8 . 7 . 6 . 5 . 4

P83 6720=

63) 720

Logo, temos 42

52

!!.

!!

= 720.

GABARITO

11Matemática E

64) 210

Da casa de João até a de Ana, ele sempre anda 3 ruas na horizontal (H) e 2 na vertical (V).

Logo H H H V V → P53 2 5

3 2, !

! != = 10

Da casa de Ana até a escola eles sempre andam 5 ruas na horizontal e 2 na vertical.

Logo H H H H V V → P75 2 7

5 2, !

! != = 21

No total temos 21 . 10 = 210.

65) C

São 7 elementos com repetição de 5.

Logo P75 7

57 6 5

5= =

!!

. . !

! = 42

66) E

M M M1 2 3 C C C1 2 3 C4

3! 4!

2!

Logo, temos 3! . 2! . 4! = 6 . 2 . 24 = 288.

67) E

O número de permutação da palavra ECONOMIA é P82 .

O número de permutações começando com 0 é P7. Também terminando com 0P7.

O número de permutações que começam e terminam com 0 é P6.

Logo P82 – 2 . P7 + P6 = 10800

68) D

Logo 4 . 3 42! = 144

69) Pk k

kk

3 23 2

29 9 22+ =+ +,

K1 K2 K3 ⇒ K1 + K2 + K3 = 3K ouro prata bronze Se analisarmos a equação acima como a ideia de

"soluções inteiras de uma equação linear", teremos o seguinte:

|(...) |

QNT K1

= 3K(...)

QNT K2

(...)

QNT K3

Logo, temos a permutação de 3K bolinhas e 2 sinais de mais (+), ou seja, permutação de 3k + 2 elementos, com repetição de 3k bolinhas e dois sinais.

Pkk

k k k

k

k kkk

3 23 2

23 23 2

3 2 3 1 3

3 2

9 9 22+ =

+=

+ +=

+ +, ( )!! !

( ) . ( ) . !

! !

70) E

Logo, temos a permutação de 8 elementos com repe-tição de 5 e 3.

P85 3 8

5 38 7 6 5

5 3, !

! !. . . !

! != = = 56

71) A

PC6 = (6 – 1)! = 5! = 120

72) D

PC5 = (5 – 1)! = 4! = 24

73) E

PCN = (N – 1)! = 40320 (N – 1)! = 8! N – 1 = 8 N = 9

GABARITO

12 Matemática E

74) 86400

1

7

2

8

3

9

410

5

11

6

12

H1

H4

M1

M4

H2

H5

M2M5

H3

H6

M3

M6

Podemos permutar os garotos de 120 maneiras, pois PC6 = (6 – 1)! = 5! = 120.

Da mesma maneira, podemos permutar as garotas de 120 maneiras.

Observe que as permutações dos garotos aconteceram nas posições ímpares e as das garotas nas posições pares.

Cada garoto pode ocupar 6 posições pares e as garotas 6 ímpares. Logo 120 . 120 . 6 = 86400.

75) B

76) D