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Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra

FUNDAMENTOS E ENSINO DA ÁLGEBRA

Trabalho realizado por:

Carina Isabel Lourenço dos Santo

Marta Luísa Campos Quaresma

Ricardo Jorge Chambel Martins

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Índice

Introdução ..................................................................................................................... 3

Capítulo I - Métodos de votação .......................................................................... 4

1. Conceitos Básicos................................................................................................................. 4

2. Métodos de Contagem de Votos........................................................................................... 6 2.1 Método da Pluralidade ..................................................................................................................7 2.2 Método da Contagem de Borda ..................................................................................................11 2.3 Método da Pluralidade com eliminação......................................................................................14 2.4 Método da Comparação aos pares...............................................................................................20

3. Conclusão sobre os métodos de contagem de votos .......................................................... 26

4. Rankings............................................................................................................................. 27

Capítulo II - Eleições em Portugal ..................................................................... 32

Capítulo III - Sistema de voto com peso ........................................................ 35

1. Introdução .......................................................................................................................... 35

2. Conceitos Básicos............................................................................................................... 36

3. Índice de Poder de Banzhaf............................................................................................... 37

4. Índice de Poder de Shappley- Shubik................................................................................ 42

5. Conclusões.......................................................................................................................... 45

Capítulo IV - Teoria das eleições na escola.................................................... 46

Conclusão ...................................................................................................................... 47

Bibliografia .................................................................................................................. 48

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Introdução

Votar é expressar a nossa opinião. Como vivemos numa democracia, todos nós

temos o direito de mostrar o nosso agrado ou desagrado perante uma situação. Por outro

lado, cada pessoa tem a sua preferência e a sua ideia, logo dificilmente existe consenso

entre todos. Quando assim acontece, é necessário proceder a uma eleição.

Mas a eleição, não é, como a maioria das pessoas pensa, apenas a contagem dos

votos.

Para tal, é necessário uma teoria das eleições. É nesse contexto que vamos

desenvolver o nosso trabalho.

Vamos analisar os diversos métodos de contagem de votos, como funcionam,

quais os critérios que seguem e quais as suas falhas. O processo eleitoral em Portugal,

os sistemas de voto com peso e, ainda, a teoria das eleições na escola serão também

temas abordados durante o nosso trabalho.

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Capítulo I - Métodos de votação

1. Conceitos Básicos

Começamos por apresentar alguns conceitos fundamentais para uma melhor

compreensão de todo o nosso trabalho.

Antes de se falar em votação, importa conhecer os vários tipos de boletins de

voto que podem ser utilizados:

Boletim de voto simples

Neste caso, o boletim apresenta várias opções das quais, a pessoa que vai exercer

o direito de voto, só pode escolher uma delas. Se, eventualmente assim não acontecer, o

voto será anulado. Este tipo de boletim de voto é o mais utilizado no nosso dia-a-dia,

quando queremos fazer uma votação para decidir alguma coisa que não tenha consenso.

Um exemplo deste tipo de boletim é o apresentado na figura 1.

Figura 1

Boletim de voto com ordem de preferência

Este tipo de boletim permite ao utilizador expressar a sua opinião, segundo todos

as opções, ordenando-as pela sua preferência.

Lista A X Lista B

Lista C

Lista D

Lista E

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Para exemplificar esta forma de votação vejamos as figuras 2 e 3.

Figura 2 Figura 3

A utilização de boletins de voto com ordem de preferência requer o estudo de

dois factores importantes:

☼ Transitividade de preferência individual: Se um eleitor tem preferência pela

opção A em detrimento de B e por sua vez prefere B quando comparado com C, de

forma automática existe preferência de A em relação à hipótese C.

☼ Eliminação de candidatos: Se numa determinada votação uma ou mais das

possíveis escolhas deixa de ser opção a preferência relativa de um eleitor não é afectada.

Para exemplificar consideremos o seguinte boletim de voto:

Voto

1º A

2º B

3º C

4º D

5º E

Após o preenchimento do boletim suponhamos que a opção C desiste. Então este

boletim deve ser considerado da seguinte forma:

Voto

1º A

2º B

3º D

4º E

Candidato A 5ª Opção

Candidato B 1ª Opção

Candidato C 2ª Opção

Candidato D 3ª Opção

Candidato E 4ª Opção

1ª Opção Candidato B

2ª Opção Candidato C

3ª Opção Candidato D

4ª Opção Candidato E

5ª Opção Candidato A




4ª Opção Candidato E

5ª Opção Candidato A




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2. Métodos de Contagem de Votos

Quando se realiza uma eleição e depois de consumado o acto de votar, ainda

muito à que fazer. A utilização de um ou outro método de contagem de votos pode

determinar o vencedor.

Para ilustrar os vários métodos de contagem de votos vamos

utilizar o seguinte exemplo:

Ao chegar ao fim mais um mandato é

necessário eleger um novo presidente para o

Departamento de Matemática da

Universidade de Coimbra.

Perfilam-se cinco candidatos com o

intuito de chegar à presidência: Dra. Maria

Celeste Gouveia, Dr. Jaime Carvalho Silva,

Dr. Alexander Kovacec, Dra. Maria da

Piedade Vaz, Dr. Simões Pereira, que serão representados, respectivamente, pelas letras

C, J, K, P, S.

O eleitorado é constituído por 55 professores que, através de um boletim,

indicam as cinco opções, que por ordem de preferência gostariam de ver como

Presidente do Departamento.

Realizado o acto eleitoral os resultados são os seguintes:

Nº de votos 18 12 10 9 4 2

1ª Opção K J C P S S

2ª Opção P S J C J C

3ª Opção S P S S P P

4ª Opção C C P J C J

5ª Opção J K K K K K

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2.1 Método da Pluralidade

O método da pluralidade é o método mais usado para encontrarmos um vencedor

numa eleição.

Neste método o vencedor de uma eleição é aquele com maior número de votos

em primeiro lugar.

Aplicando o método ao nosso exemplo vejamos quem é o nosso vencedor.

Consideremos então a primeira opção:

Nº de votos 18 12 10 9 4 2






O candidato C obteve 18 votos;

O candidato J obteve 12 votos;

O candidato K obteve 10 votos;

O candidato P obteve 9 votos;

O candidato S obteve 6 votos.

Constatamos deste modo que o vencedor, de acordo com este método é o

candidato K, ou seja, Dr.Alexander Kovacec.

Através deste método a contagem dos votos numa eleição torna-se simples.

Quando existe apenas dois candidatos o método baseia-se na regra da maioria: numa

eleição entre dois candidatos o que tiver a maioria dos votos, isto é, mais que metade

dos votos, vence a eleição. Por outro lado, se existirem mais do que dois candidatos esta

regra poderá não ser verificada como acontece no nosso exemplo: o candidato K obteve

18 votos que é menor que metade do total dos votos e, no entanto, é considerado

vencedor.

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Temos então que:

Pluralidade ≠> Maioria

Maioria => Pluralidade

Sendo assim se um candidato tem mais de metade dos votos deve

automaticamente ser o vencedor.

Chegamos assim ao seguinte critério:

Critério da Maioria

Se numa eleição existe uma opção que tem a maioria dos votos em primeiro lugar,

então deve ser considerada a vencedora.

Deste modo podemos concluir que o método da pluralidade satisfaz o critério da

maioria.

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Falhas do Método da Pluralidade:

Este método, embora muito utilizado, apresenta alguma falhas quando numa

eleição constam mais do que dois candidatos. O facto de não considerar todas as

preferências dos eleitores conduz a resultados menos justos.

Consideremos o exemplo inicial:

Nº de votos 18 12 10 9 4 2






O candidato S, Dr. Simões Pereira, quando comparado com qualquer um dos

outros, é sempre o preferido.

Vejamos: comparando-o com o candidato K reparamos que S é preferido em 37

votos enquanto que K é favorito em apenas 18. Se compararmos agora o candidato S

com o candidato P temos que S é preferível a P para 28 votos contra 27. Utilizando o

mesmo raciocínio, comparando o candidato S com os candidatos C e J verificamos que

o mesmo acontece, S é o preferido em qualquer um dos casos.

Então, embora o Dr. Simões Pereira seja o preferido quando comparado com

qualquer um dos outros pelo método da pluralidade não é considerado o vencedor.

Concluímos então que este método não verifica o critério seguinte:

Critério de Condorcet

Se houver uma opção, quando comparada par a par é sempre a preferida, então

esta deve ser considerada vencedora.

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Este problema nem sempre se coloca uma vez que em muitos casos não existe

um candidato que comparado individualmente com os outros seja sempre o preferido.

Nestes casos o critério não é aplicado.

Nos casos em que o candidato vencedor é preferido a todos os outros, este

designa-se por candidato condorcet.

◙ Outra falha do método da pluralidade é a existência de votos que não revelam

a verdadeira preferência do eleitor podendo assim influenciar o resultado

da eleição.

Consideremos novamente o nosso exemplo inicial:

Os nove eleitores que optaram para primeira opção, a Dra. Maria da Piedade

Vaz, reconhecendo que seria difícil a sua vitória bastava-lhes trocar a segunda opção

pela primeira fazendo assim com que o candidato K não vencesse.

Nº de votos 18 12 10 9 4 2






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2.2 Método da Contagem de Borda

Este método, ao contrário do anterior, considera todas as posições do boletim de

preferência. Assim numa eleição todos os n candidatos são pontuados da seguinte

forma:

· n pontos para a primeira opção;

· n -1 pontos para a segunda opção;

· · ·

· 2 Pontos para a penúltima opção;

· 1 Ponto para a ultima opção.

Os pontos de cada candidato são contados separadamente e aquele que tiver o

maior número de pontuação será o vencedor.

Vamos novamente analisar o nosso exemplo

inicial aplicando este método. Temos a seguinte tabela

onde se apresentam as pontuações que cada opção

recebe em cada um dos casos.

Nº de votos 18 12 10 9 4 2

1ª Opção: 5 ptos K: 90 ptos J: 60 ptos C: 50 ptos P: 45 ptos S: 20 ptos S: 10 ptos

2ª Opção: 4 ptos P: 72 ptos S: 48 ptos J: 40 ptos C: 36 ptos J: 16 ptos C: 8 ptos

3ª Opção: 3 ptos S: 54 ptos P: 36 ptos S: 30 ptos S: 27 ptos P: 12 ptos P: 6 ptos

4ª Opção: 2 ptos C: 36 ptos C: 24 ptos P: 20 ptos J: 18 ptos C: 8 ptos J: 4 ptos

5ª Opção: 1 pto J: 18 ptos K: 12 ptos K: 10 ptos K: 9 ptos K: 4 ptos K: 2 ptos

Somando as pontuações temos que:

Candidato C obtém: 18x2 + 12x2 + 10x5 + 9x4 + 4x2 + 2x4 = = 36 + 24 + 50 + 36 + 08 + 08 = 162 Candidato J obtém: 18x1 + 12x5 + 10x4 + 9x2 + 4x4 + 2x4 = = 18 + 60 + 40 + 18 + 16 + 04 = 156 Candidato K obtém: 18x5 +12x1 + 10x1 + 9x1 + 4x1 + 2x1 = = 90 + 12 + 10 + 09 + 04 + 02 = 127

12

Candidato P obtém: 18x4 + 12x3 + 10x2 + 9x5 + 4x3 + 2x3 = = 72 + 36 + 20 + 45 + 12 + 06 =191 Candidato S obtém: 18x3 + 12x4 + 10x3 + 9x3 + 4x5 + 2x5 = = 54 + 48 + 30 + 27 + 20 + 10 = 189 Verificamos, então, que pelo Método da Contagem de Borda o vencedor é o candidato P, Dra. Maria da Piedade Vaz.

Falhas do Método da Contagem de Borda:

O problema deste método é que não satisfaz o critério da maioria, ou seja, um

candidato pode obter uma maioria não sendo porém o vencedor, o que implica que

também não satisfaça o critério da condorcet.

Para ilustrar esta falha vejamos o seguinte exemplo:

Onze amigos resolvem ir passar a passagem do ano a um local

diferente do habitual. Para isso terão de escolher uma destas cidades:

Barcelona, Londres, Paris ou Rio de Janeiro.

Não havendo consenso entre eles, de

modo a realizar a viagem de acordo com o desejo de todos,

resolvem realizar uma votação. Após todos terem escolhido, por

ordem de preferência os vários locais possíveis ficamos então com a

tabela de preferências seguinte:

Nº de Votos 6 3 2

1ª Opção: 4 ptos Paris Londres Barcelona

2ª Opção: 3 ptos Barcelona Rio de Janeiro Londres

3ª Opção: 2 ptos Londres Barcelona Rio de Janeiro

4ª Opção: 1 ptos Rio de Janeiro Paris Paris

De imediato se apercebem que mais de metade dos alunos tem como primeira

opção a Capital de França, como destino preferido para passar a passagem de ano.

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Mas, somando as pontuações temos que:

Paris: 6x4 + 3x1 + 2x1 = 29

Barcelona: 6x3 + 3x2 + 2x4 = 32

Londres: 6x2 + 3x4 + 2x3 = 30

Rio de Janeiro: 6x1 + 3x3 + 2x2 = 19

Segundo o método de Borda, a passagem de ano será em

Barcelona, embora Paris tenha mais de metade dos votos e, sendo

assim, comparada com qualquer um dos outros destinos seja sempre

a vencedora.

Concluímos assim que este método não segue nem o critério da maioria nem de

Condorcet.

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2.3 Método da Pluralidade com eliminação

Neste método o vencedor é encontrado através da eliminação dos candidatos até

que um obtenha a maioria dos votos.

Vejamos o algoritmo que este método segue:

1º Passo: Considera-se a primeira opção dos eleitores;

• Se um candidato tem a maioria dos votos então este é o vencedor da eleição;

• Caso contrário, elimina-se o candidato que obtenha o menor número de votos.

2º Passo: Retira-se da lista de preferência os candidatos eliminados e

reconta-se os votos;

• Se um candidato tem a maioria dos votos então este é o vencedor da eleição;

• Caso contrário, elimina-se novamente o candidato que obtenha o menor número

de votos.

3º Passo: Repete-se o processo até se encontrar um candidato com a maioria

dos votos em primeiro lugar.

Apliquemos este método ao nosso exemplo inicial:

Nº de votos 18 12 10 9 4 2






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1º Passo:

Consideramos a primeira opção.

Nenhum dos candidatos tem a maioria, elimina-se portanto o candidato com

menos votos. O candidato S é retirado da tabela.

2º Passo: Uma vez que o candidato S foi eliminado, surge uma nova tabela:

Nº de votos 18 12 10 9 4 2

1ª Opção K J C P J C

2ª Opção P P J C P P



Mais uma vez, nenhum dos candidatos tem a maioria, elimina-se portanto o

candidato com menos votos em primeiro lugar. Neste caso o candidato P.

3º Passo:

Nº de votos 18 12 10 9 4 2

1ª Opção K J C C J C

2ª Opção C C J J C J


Continua a não existir um candidato com a maioria dos votos, logo procede-se à

eliminação do candidato com menos votos, o candidato J.

Nº de votos 18 12 10 9 4 2


16

4º Passo:

Nº de votos 18 12 10 9 4 2

1ª Opção K C C C C C

2ª Opção C K K K K K

O candidato C tem a maioria dos votos em primeiro lugar, logo o vencedor da

eleição segundo o método da pluralidade é a Dra. Celeste Gouveia.

Falhas do Método da Pluralidade com Eliminação:

Este método viola os dois critérios já mencionados:

● Critério de Condorcet

Se houver uma opção, quando comparada par a par é sempre a preferida, então

deve ser considerada vencedora.

● Critério da Monotonia

Se a opção X vence uma eleição e numa reeleição as únicas alterações nas

preferências dos eleitores, são a favor de X, então X deve permanecer o vencedor da

eleição.

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Vejamos estas falhas através de um novo exemplo:

Ao chegar a Coimbra um grupo de 29 turistas,

pretende visitar a cidade, mas só tem uma tarde para o fazer e

assim tem que decidir qual o monumento que irão ver. Para isso, realizam uma votação

de acordo com as suas preferências. O guia do grupo refere que as

possibilidades são: Sé Velha, Igreja de Santa

Cruz e Museu Machado de Castro. Depois de

feita a votação ficamos com a seguinte tabela:

Nº de votos 10 8 7 4

1ª opção Sé Velha Igreja de Santa

Cruz

Museu Machado

de Castro

Museu Machado

de Castro

2ª opção Igreja de Santa

Cruz Sé Velha

Igreja de Santa

Cruz Sé Velha

3ª opção Museu Machado

de Castro

Museu Machado de

Castro Sé Velha

Igreja de Santa

Cruz

Aplicando este método, a Igreja de Santa Clara é o primeiro local a ser

eliminado, por ser aquele que obteve menos votos em primeira opção. Ficamos então

com outra tabela:


1ª opção Sé Velha Sé Velha Museu Machado

de Castro

Museu Machado

de Castro


de Castro

Museu Machado

de Castro Sé Velha Sé Velha

Assim, através deste método o monumento que se iria visitar era a Sé Velha com

15 votos contra 14 do Museu Machado de Castro.

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Agora, suponhamos que os quatro turistas da última coluna, decidiam que a sua

preferência seria a Sé Velha e só depois o Museu Machado de Castro. Uma alteração

que seria, à partida, a favor da Sé Velha.

Vejamos, com esta reeleição, qual o monumento a ser visitado:

O primeiro monumento a ser eliminado é o Museu Machado de Castro por ter

apenas 7 votos em primeiro lugar.

Ficamos então com uma nova tabela:

Finalmente, o vencedor desta votação é a Igreja de Santa Cruz, e não a Sé Velha.

Mostrámos assim que este método não satisfaz o critério da monotonia.



Cruz

Museu Machado

de Castro

Sé Velha


Cruz Sé Velha

Igreja de Santa

Cruz

Museu Machado

de Castro


de Castro

Museu Machado

de Castro Sé Velha

Igreja de Santa

Cruz



Cruz

Igreja de Santa

Cruz Sé Velha


Cruz Sé Velha Sé Velha

Igreja de Santa

Cruz

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Vejamos que esta eleição tem um candidato condorcet, isto é, existe uma opção

que quando comparada com as outras tem mais votos de preferência.



Cruz

Museu Machado

de Castro

Museu Machado

de Castro


Cruz Sé Velha

Igreja de Santa

Cruz Sé Velha


de Castro

Museu Machado de

Castro Sé Velha

Igreja de Santa

Cruz

Se compararmos a Igreja de Santa Cruz com a Sé Velha notamos que 15 turistas

preferem visitar a Igreja de Santa Cruz contra os restantes 14 que preferem o contrário.

Comparando agora a Igreja de Santa Cruz com o Museu Machado de Castro,

novamente existem mais turistas a preferir visitar a Igreja de Santa Cruz.

Neste exemplo, a Igreja de Santa Cruz é o candidato Condorcet e como vimos, o

vencedor da votação é a Sé Velha.

Mostrámos assim que este método não satisfaz o critério de Condorcet

Existem duas variantes deste método:

Método da Corrida Final: Se não houver um candidato com maioria então

eliminam-se todos os candidatos excepto os dois que têm maior número de votos em

primeira opção.

Método de Combs: Se não houver um candidato com maioria então elimina-se o

candidato com maior número de votos em última opção.

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2.4 Método da Comparação aos pares

Como vimos, os três métodos anteriores violam o Critério de Condorcet mas

este novo método que iremos analisar segue este critério.

Todos os candidatos são comparados dois a dois.

Em cada comparação, a opção que esteja em melhor posição num maior número

de boletins de preferência, ganha um ponto.

Em caso de empate, é atribuído meio ponto a cada uma das opções.

O vencedor da eleição é o candidato que, após todas as comparações efectuadas,

tenha o maior número de pontos.

Mais uma vez analisemos o exemplo das

eleições para presidente do Departamento de

Matemática:

Nº de votos 18 12 10 9 4 2






Comparando o candidato C com o candidato J notemos que 39 eleitores

preferem a eleição do candidato C ao candidato J e 16 eleitores preferem J a C. Assim,

atribui-se um ponto ao candidato C.

Fazendo a comparação entre o candidato C e o candidato K concluímos que 37

eleitores preferem o candidato C ao candidato K. Novamente é atribuído um ponto ao

candidato C.

Efectuando a comparação entre C e P, 43 preferem o candidato P enquanto que

apenas 12 são a favor de C. Logo, ao candidato P é atribuído um ponto.

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Vejamos agora a comparação entre C e S. O vencedor nesta comparação é o

candidato S, com 36 votos contra 19. É atribuído um ponto ao candidato S

Através da comparação entre J e K concluímos que 37 eleitores preferem o

candidato J ao candidato K. É, por isso, atribuído um ponto ao candidato J.

Ao compararmos o candidato J com o P, vemos que 29 professores preferem o

candidato P e 26 são de opinião contrária. Ao candidato P é atribuído um ponto.

Em relação à comparação entre J e S, constatamos que 22 eleitores preferem a

eleição do candidato J e 33 são de opinião contrária. É dado um ponto ao candidato S.

Comparemos agora K com P e S. Em ambos os casos, 18 eleitores dão

preferência ao candidato K e os restantes preferem P e S respectivamente. Logo um

ponto é atribuído a P e outro a S.

Finalmente a comparação entre P e S atribui um ponto a S, uma vez que 28

professores preferem S e 27 são de opinião contrária.

Após todas as comparações e soma dos pontos atribuídos, os resultados estão

expressos na seguinte tabela:

Dr. Alexander Kovacec 0 pontos

Dr. Jaime Carvalho e Silva 1 ponto

Dra. Celeste Gouveia 2 pontos

Dra. Maria da Piedade Vaz 3 pontos

Dr. Simões Pereira 4 pontos

Concluímos pela análise da tabela anterior que o candidato com maior número

de pontuação é o candidato C, logo vencedor pelo método da comparação aos pares é o

Dr. Simões Pereira.

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Verificamos que este método satisfaz todos os critérios de justiça até agora

mencionados:

• Critério da Maioria

• Critério de Condorcet

• Critério da Monotonia

É este, então, o método perfeito?!

NÃO !

Falhas do Método da Comparação aos Pares:

Ilustremos a falha mais importante deste método através de

um novo exemplo:

Pretende-se escolher o novo capitão da Académica. Para tal

os 22 jogadores do clube reúnem-se para o eleger. Os candidatos são:

Nuno Luís (L), Tonel (T), Dário (D), Pedro Roma (P) e Rocha (R).

Vejamos a respectiva tabela de resultados:

Nº de Votos 6 4 4 4 2 1 1

1ª opção T T P R L D D

2ª opção L L L D P T P

3ª opção D P R P D L L

4ª opção P R D T T P T

5ª opção R D T L R R R

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O quadro seguinte mostra, todas as comparações possíveis, seus resultados e

pontuações atribuídas em cada caso:

Comparações Resultados Pontuações

L↔ T 6 ↔ 15 L: 0 pts; T: 1 pt

L↔D 16 ↔ 6 L: 1 pt; D: 0 pts

L ↔P 13 ↔ 9 L: 1 pt; P: 0 pts

L ↔R 18 ↔ 6 L: 1pt; R: 0 pts

T↔D 10 ↔ 12 T: 0 pts; D: 1 pt

T ↔P 11 ↔ 11 T: ½ pts; P: ½ pts

T↔ R 14 ↔ 8 T: 1 pt; R: 0 pts

D ↔P 12 ↔ 10 D: 1 pt; P: 0 pts

D↔ R 10 ↔ 12 D: 0 pts; R: 1 pt

P↔ R 18 ↔ 4 P: 1 pt; R: 0 pts

Somando todos os pontos atribuídos a cada candidato, os resultados estão

expressos na seguinte tabela:

Nuno Luís 3 pontos

Tonel 2 + ½ pontos

Dário 2 pontos

Pedro Roma 1 + ½ pontos

Rocha 1 ponto

O vencedor da votação é o jogador Nuno Luís.

Com a badalada transferência de Dário para um clube dos Emirados Árabes

Unidos, o Al Jazira, o jogador fez questão de deixar bem claro aos restantes

companheiros de que não pretendia ser hipótese para este cargo, sendo o seu nome

retirado da lista.

Irá este facto contribuir para a alteração da escolha do capitão da Académica,

uma vez que a eleição já estava realizada?

24

Com a saída do jogador, a tabela de preferências é alterada, passando a ser a

seguinte:

Nº de Votos 6 4 4 4 2 1 1

1ª opção T T P R L T P

2ª opção L L L P P L L

3ª opção P P R T T P T

4ª opção R R T L R R R

Ficamos então com um novo quadro de comparações:

Comparações Resultados Pontuações

L↔ T 6 ↔ 15 L: 0 pts; T: 1 pt

L ↔P 13 ↔ 9 L: 1 pt; P: 0 pts

L ↔R 18 ↔ 6 L: 1pt; R: 0 pts

T ↔P 11 ↔ 11 T: ½ pts; P: ½ pts

T↔ R 14 ↔ 8 T: 1 pt; R: 0 pts

P↔ R 18 ↔ 4 P: 1 pt; R: 0 pts

Sendo assim, os resultados finais são:

Tonel 2 + ½ pontos

Nuno Luís 2 pontos

Pedro Roma 1 + ½ pontos

Rocha 0 pontos

O novo capitão de equipa da Académica é o Tonel.

O resultado da votação foi assim alterado, através do conhecimento de que Dário

não queria ser eleito capitão de equipa. Se os jogadores não conhecessem este facto

quem iria ser o capitão era o Nuno Luís.

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Deste modo constatamos que este método, apesar de satisfazer todos os critérios

até aqui referidos, não verifica o seguinte critério:

Critério da Independência de

Alternativas Irrelevantes (IAI)

Se um candidato X é o vencedor de uma eleição e um (ou mais) dos outros

candidatos é eliminado, recontando-se assim os votos, então X deverá continuar a

vencer a eleição.

◙ Outra falha deste método é o facto de conduzir muitas vezes a situações de

empate, que devem ser ponderadas antes da eleição.

26

3. Conclusão sobre os métodos de contagem de votos

Vimos que para diferentes métodos existem diferentes vencedores, para o

cargo de Presidente do Departamento de Matemática da Universidade de

Coimbra.

Em suma, concluímos que:

O método escolhido para uma eleição influencia o seu resultado.

Dos métodos apresentados até agora todos apresentam falhas não havendo

nenhum que satisfaça todos os critérios até agora referidos.

Surge assim a seguinte questão:

Haverá algum método perfeito?

A resposta a esta pergunta é dada através do seguinte teorema:

Teorema da impossibilidade de Arrow

Para eleições envolvendo três ou mais candidatos é matematicamente impossível

encontrar um método, democrático e justo, para determinar o vencedor.

Dr. Alexander Kovacec

Dra. Celeste Gouveia

Dr. Simões Pereira

Método da Pluralidade

Método da Pluralidade com Eliminação

Método da contagem de Borda

Método da Comparação aos Pares

Dra. Maria da Piedade Vaz

27

4. Rankings

Em muitas eleições não chega conhecer apenas o vencedor, mas encontrar a

ordem de classificação dos candidatos.

Existem dois tipos de métodos para fazer esta ordenação:

◊ Método de Ranking Alargado

É uma extensão natural dos métodos até agora estudados encontrando-se não só

o vencedor mas também a classificação dos outros candidatos.

Vejamos como se pode obter um ranking alargado, no caso

da eleição para presidente do Departamento de Matemática,

aplicando o método da pluralidade:

Recordemos a tabela de preferências:

Nº de votos 18 12 10 9 4 2






28

Considerando então apenas a primeira opção de cada eleitor, chegamos aos

seguintes resultados:

Posição Candidato Votos em 1º lugar

1º Lugar K 18

2º Lugar J 12

3º Lugar C 10

4º Lugar P 9

5º Lugar S 6

◊ Método de Ranking Recursivo

Para este método usamos uma estratégia de ordenação dos candidatos designada

por aproximação recursiva.

• Utilizamos um determinado método X para eleger o vencedor;

• Removemos o nome do vencedor da lista de preferências e aplica-se novamente

o método. O novo vencedor é o segundo classificado da eleição;

• Aplicando sucessivamente o ponto anterior, encontram-se os restantes lugares da

eleição.

29

Vejamos agora como obter um ranking recursivo, no caso

da eleição para presidente do Departamento de Matemática,

aplicando novamente método da pluralidade:

1º Passo

Considera-se a primeira opção dos eleitores e verifica-se qual tem maior número

de votos.

Nº de votos 18 12 10 9 4 2






Uma vez que é o candidato K que obtém o maior número de votos na primeira

opção, é-lhe atribuído o primeiro lugar.

2º Passo

Remove-se o candidato K e surge uma nova tabela de preferências:

Nº de votos 18 12 10 9 4 2

1ª Opção P J C P S S

2ª Opção S S J C J C

3ª Opção C P S S P P

4ª Opção J C P J C J

O segundo lugar da eleição é ocupado pelo candidato P, visto que é aquele que

obtém maior número de votos em primeira opção, nesta nova tabela.

30

3º Passo

Procede-se de modo análogo ao passo anterior, eliminando-se desta vez o

candidato P.

Nº de votos 18 12 10 9 4 2

1ª Opção S J C C S S

2ª Opção C S J S J C

3ª Opção J C S J C J

O terceiro lugar da eleição é ocupado pelo candidato S.

4º Passo

Neste caso elimina-se o candidato S, surgindo uma última tabela:

Nº de votos 18 12 10 9 4 2

1ª opção C J C C J C

2ª opção J C J J C J

O quarto lugar da eleição é ocupado pelo candidato C.

A classificação geral segundo o Método da Pluralidade Recursivo é então:

1º lugar Dr. Alexander Kovacec

2º lugar Dra. Maria Piedade Vaz

3º lugar Dr. Simões Pereira

4º lugar Dra. Maria Celeste Gouveia

5º lugar Dr. Jaime Carvalho e Silva

31

Note-se que os resultados deste método são diferentes dos obtidos para o

método da pluralidade alargado.

Método Recursivo Método Alargado

1º lugar Dr. Alexander Kovacec Dr. Alexander Kovacec

2º lugar Dra. Maria Piedade Vaz Dr. Jaime Carvalho e Silva

3º lugar Dr. Simões Pereira Dra. Maria Celeste Gouveia

4º lugar Dra. Maria Celeste Gouveia Dra. Maria Piedade Vaz

5º lugar Dr. Jaime Carvalho e Silva Dr. Simões Pereira

32

Capítulo II - Eleições em Portugal

O método mais utilizado nas eleições, em Portugal, é o método de Hondt.

Este método consiste no

seguinte algoritmo:

1º Passo: Determina-se o

número de votos que cada lista

obteve no respectivo círculo

eleitoral;

2º Passo: Divide-se o

número de votos de cada lista por

1,2,3, etc (até ao número N de

mandatos a atribuir), construindo

assim uma tabela em que se

colocam estes valores por ordem decrescente;

3º Passo: Selecciona-se os N maiores valores da tabela;

4º Passo: Distribui-se os mandatos pelas listas, conforme o número de valores

seleccionados anteriormente.

Note-se que, se para a última selecção houver dois ou mais valores iguais,

escolhe-se aquele pertencente à lista com menor número de votos na eleição.

33

Vejamos um exemplo para ilustrar este algoritmo:

Nas eleições legislativas de 2002, no distrito de Coimbra, existiam 10 mandatos

para atribuir. Seguiremos o algoritmo descrito anteriormente para este exemplo:

1º Passo

Distribui-se os votos pelas listas:

Lista Votos

PS 96795

PPD/PSD 89245

CDS-PP 22405

PCP-PEV 19359

2º Passo

Efectua-se a divisão e representa-se numa tabela:

Dividir por: PS PPD/PSD CDS-PP PCP-PEV

1 96795 89245 22405 19359

2 48397,5 44622,3 11202,5 9679,5

3 32265 29784,3 7648,3 6453

4 24198,8 22311,3 5601,3 4839,8

5 19359 17849 4481 3871,8

6 16132,5

34

3º Passo

Selecciona-se os dez maiores valores.

Dividir por: PS PPD/PSD CDS-PP PCP-PEV

1 96795 89245 22405 19359

2 48397,5 44622,3 11202,5 9679,5

3 32265 29784,3 7648,3 6453

4 24198,8 22311,3 5601,3 4839,8

5 19359 17849 4481 3871,8

6 16132,5

4º Passo

Distribui-se os mandatos pelas listas. Como existe uma situação de empate

quando se pretende atribuir o último mandato, então este é atribuído ao PCP-PEV, uma

vez que, entre os dois, é o partido com menor número de votos absolutos.

Lista Mandatos

PS 4

PPD/PSD 4

CDS-PP 1

PCP- PEV 1

35

Capítulo III - Sistema de voto com

peso

1. Introdução

Numa sociedade diversificada, os eleitores, sejam eles

indivíduos ou instituições, não são todos iguais e é, por vezes,

recomendável reconhecer as suas diferenças, atribuindo diferentes

pesos a cada um dos seus votos nas eleições. Este método, no qual os

eleitores não têm o mesmo poder de voto, designa-se por sistema de

votação com peso. Temos como exemplo de um sistema de voto com peso a eleição do presidente

dos Estados Unidos da América, nos quadros governamentais locais e regionais, nos

quadros da escola, no consulado de segurança das nações unidas, nas sociedades de

accionistas em que os votos estão de acordo com o número de acções que cada um

possui, entre outros. Neste sistema de votação, apenas temos duas hipóteses de escolha, aceitar ou

recusar o que está a ser discutido na votação. Senda assim, não é necessário escolher um

método de votação a utilizar, pois todos eles seguem o critério da maioria. Vamos estudar dois processos para determinar o poder de cada um dos

participantes: • Índice de poder de Banzhaf

• Índice de poder de Shapley- Shubik

36

2. Conceitos Básicos

O sistema de votação com peso é caracterizado por três elementos: os jogadores,

o peso dos jogadores e a quota.

Os jogadores são os próprios eleitores, usando a notação P1, P2,…, PN para

denominar N jogadores.

Cada jogador detém um certo número de votos ao qual chamamos peso e

representamos cada um deles por w1, w2,…, wN.

A moção é a apresentação de um assunto para ser discutido em assembleia.

A quota é o número mínimo de votos que são necessários para uma moção ser

apresentada e representamos por q.

A forma de descrever um sistema de votos com peso é:

[q: w1, w2,…, wN].

A quota surge em primeiro lugar seguida do peso dos jogadores. É normal pôr os

diferentes pesos por ordem decrescente de grandeza.

Ditador é todo o jogador que tiver peso de voto igual ou superior à quota.

Quando existir um ditador, chamamos jogadores neutros aos outros participantes

porque não têm influência no resultado.

Analisemos os dois exemplos seguintes:

c No sistema de votação com peso [11:12,5,4], o jogador que tem quota 12 é

ditador, enquanto que os outros designam-se por jogadores neutros.

c Consideremos o sistema de voto com peso, [12:9,5,4,2]. O jogador que tem

quota 9 tem poder de impedir que qualquer moção seja aprovada. Mesmo que todos os

outros jogadores estivessem de acordo, a soma dos seus votos não seria suficiente para

fazer passar a moção contra a vontade desse jogador.

Neste caso, diz-se que esse jogador tem poder de veto.

37

3. Índice de Poder de Banzhaf

Iremos introduzir alguns conceitos, que serão necessários no decorrer deste

método.

Ao conjunto de jogadores que unam forças para votar em conjunto designa-se

por coligação.

As coligações dividem-se em coligações vencedoras se reúnem o número

suficiente de votos para aprovar uma moção, caso contrário designam-se por coligações

perdedoras.

Uma coligação formada por todos os jogadores chama-se grande coligação.

Jogador crítico é aquele jogador que ao abandonar uma coligação vencedora a

torna perdedora.

A notação usada para designar a coligação formada pelos jogadores P1, P2 é a

seguinte:

{P1,P2}

Ideia chave do índice de poder de Banzhaf

O poder do jogador é proporcional ao número de coligações para as quais ele é

crítico, quantas mais vezes ele é um jogador crítico mais poder ele tem.

38

Determinemos o índice de poder de Banzhaf para o sistema de votação com peso

[101;99,98,3].

Algoritmo:

1º Passo

Fazer a lista de todas as coligações:

Coligações

{P1}

{P2}

{P3}

{P1, P2}

{P1, P3}

{P2, P3}

{P1, P2, P3}

2º Passo

Determinar as coligações vencedoras:

Coligações Peso da Coligação Ganha / Perde

{P1} 99 Perde

{P2} 98 Perde

{P3} 3 Perde

{P1, P2} 197 Ganha

{P1, P3} 102 Ganha

{P2, P3} 101 Ganha

{P1, P2, P3} 200 Ganha

39

3º Passo

Determinar os jogadores críticos em cada coligação:

Coligações vencedoras Jogadores críticos

{P1, P2} P1 e P2

{P1, P3} P1 e P3

{P2, P3} P2 e P3

4º Passo

Determinar o número de vezes que cada jogador é crítico:

P1 é crítico duas vezes (B1=2);

P2 é crítico duas vezes (B2=2);

P3 é crítico duas vezes (B3=2).

5º Passo

Contar o número de vezes que todos os jogadores são críticos (T):

B1+B2+B3= 6=T

O índice de poder de Banzhaf é dado por: T

BN

O poder de P1 é 2/6;

O poder de P2 é 2/6;

O poder de P3 é 2/6.

É comum escrever os índices de poder em termos de percentagem:

O poder de P1 é 33,(3)%;

O poder de P2 é 33,(3)%;

O poder de P3 é 33,(3)%.

40

Exemplo:

O Sr. João, o Sr. Carlos e a D. Rosa são proprietários de um café. Quando é

necessário decidir sobre algum assunto, nem todos têm o mesmo

poder de decisão. O Sr. João tem direito a três votos, a D. Rosa a

dois votos e o Sr. Carlos tem direito a um voto.

Num determinado dia surgiu a hipótese de mudarem de

instalações, mas nem todos estavam de acordo, por isso,

procedeu-se a uma votação.

Estamos perante um sistema de voto com peso da forma [4:3,2,1].

Determinemos o índice de poder de Banzhaf deste sistema de votação, seguindo

o algoritmo descrito anteriormente.

1º Passo

Existem 7 coligações possíveis:

{João}, {Rosa}, {Carlos}, {João, Rosa}, {João, Carlos}, {Rosa, Carlos},

{João, Rosa, Carlos}

2º Passo

As coligações vencedoras são:

{João, Rosa}, {João, Carlos}, {João, Rosa, Carlos}

3º Passo

Os jogadores críticos são:

Coligações vencedoras Jogadores críticos

{João, Rosa} João e Rosa

{João, Carlos} João e Carlos

{João, Rosa, Carlos} João

41

4º Passo

O Sr. João é jogador crítico três vezes;

A D. Rosa é jogador crítico uma vez;

O Sr. Carlos é jogador crítico uma vez.

O índice de poder de Banzhaf de cada um dos participantes é:

O poder do Sr. João é 3/5;

O poder da D. Rosa é 1/5;

O poder do Sr. Carlos é 1/5.

Ou seja, em percentagem o poder é:

Sr. João - 60%;

D. Rosa - 20%;

Sr. Carlos - 20%.

42

4. Índice de Poder de Shappley- Shubik

A principal diferença entre a interpretação do poder de Shapley- Shubik e do

poder de Banzhaf centra-se no conceito de coligação sequencial.

No índice de poder de Shapley- Shubik as coligações assumem-se de forma

sequencial: a coligação é constituída por vários jogadores que vão entrando

sucessivamente. E temos de ter em atenção que, a ordem pela qual os jogadores entram

na coligação é muito importante. Pois, neste índice de poder, três jogadores podem

formar seis coligações sequenciais diferentes.

<P1,P2,P3>

<P1, P3, P2>

<P2, P1, P3>

<P2, P3, P1>

<P3, P1, P2>

<P3, P2, P1>

A notação <., ., .> indica que estamos perante uma coligação sequencial, ou seja,

interessa a ordem pela qual os jogadores entram na coligação.

<P1,P2,P3> significa que P1 iniciou a coligação à qual se juntou a seguir P2 e

por último P3.

Num sistema de voto com peso, com N jogadores existem N! coligações

sequenciais diferentes contendo todos os jogadores, visto que para ocupar o primeiro

lugar temos N hipóteses de escolha, para ocupar o segundo lugar temos (N-1) hipóteses e,

assim sucessivamente até que para preencher o último lugar temos apenas uma opção.

Em todas as coligações há um jogador que inicia a coligação e os outros

jogadores vão entrando sucessivamente. Aquele que no momento em que se associa a

uma coligação perdedora a torna vencedora designa-se por pivot.

Ideia chave do índice de poder de Shappley- Shubik

O poder de cada jogador é proporcional ao número de coligações para o qual ele

é pivot, quantas mais vezes o for, mais poder ele tem.

43

A descrição formal do procedimento para encontrar o índice de poder de

Shapley- Shubik, para um jogador num sistema de voto com peso, é dado pelo seguinte

algoritmo:

1º Passo: Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais que contêm N

jogadores. Existem N! Coligações;

2º Passo: Em cada coligação sequencial, determinar o pivot. Existe um em cada

coligação;

3º Passo: Contar o número de vezes que o jogador é pivot e denominar esse

número por S.

O índice de poder de Shapley- Shubik é dado por: !N

S

Retomemos o exemplo do café do Sr. João, da D. Rosa e do Sr. Carlos. Estamos

perante um sistema de votação da forma [4:3,2,1].

Vamos seguir o algoritmo descrito anteriormente para

determinar o índice de poder de cada um dos jogadores.

1º Passo

Fazer a listar de todas as coligações sequenciais:

Coligações sequenciais

<João, Carlos, Rosa>

<João, Rosa, Carlos>

<Carlos, João, Rosa>

<Carlos, Rosa, João>

<Rosa, João, Carlos>

<Rosa, Carlos, João>

44

2º Passo

Determinar o pivot em cada coligação:

Coligações sequenciais Pivot

<João, Carlos, Rosa> Carlos

<João, Rosa, Carlos> Rosa

<Carlos, João, Rosa> João

<Carlos, Rosa, João> João

<Rosa, João, Carlos> João

<Rosa, Carlos, João> João

3º Passo

Contar o número de vezes que cada jogador é pivot:

O Sr. João é pivot quatro vezes;

A D. Rosa é pivot uma vez;

O Sr. Carlos é pivot uma vez.

A distribuição de poder de Shapley- Shubik é a seguinte:

O poder do Sr. João é 4/6;

O poder da D. Rosa é 1/6;

O poder do Sr. Carlos é 1/6.

Em percentagem, vem que:

Sr. João tem 66,(6)% de poder;

D. Rosa tem 16,(6)% de poder;

Sr. Carlos tem 16,(6)% de poder.

45

5. Conclusões

Neste capítulo estudámos a noção de poder quando aplicado a situações de

votação designadas por sistemas de votação com peso.

Analisámos dois tipos de índice de poder e, como vimos os índices têm

diferentes medidas de poder, por vezes ambos estão de acordo mas noutras situações

xistem discrepâncias.

Qual será, então, o que está mais próximo da realidade?

Não existe uma resposta simples, pois a ideia subjacente a cada um dos índices é

diferente.

No índice de poder de Banzhaf, um jogador entra e sai quando quer enquanto

que no índice de poder de Shapley- Shubik um jogador entra na coligação para assumir

um compromisso de permanência.

Na prática, deve-se escolher aquele que se adequa melhor às características da

situação.

A matemática não nos dá uma resposta, apenas uma ferramenta para ajudar a

tomar a decisão certa.

46

Capítulo IV - Teoria das eleições

na escola

A teoria das eleições fará parte de uma nova disciplina designada por

Matemática aplicada às ciências sociais, do 10º ano de escolaridade,destinada aos

cursos:

• Geral de ciências sociais e humanas,

como opcional

• Tecnológico do ordenamento do

território, como obrigatório

Esta disciplina pretende ser direccionada para situações reais, para que os alunos

possam desenvolver a capacidade de formular e resolver matematicamente problemas e

desenvolver a capacidade de comunicação de ideias matemáticas.

Não se pretende desenvolver uma teoria matemática das eleições, mas apenas

alertar os alunos para uma área de importância fundamental na sociedade actual e como

a matemática é uma ferramenta incontornável.

47

Conclusão

Com este trabalho ficamos a conhecer melhor a diversidade de métodos de

votação e a sua aplicação. É importante, compreendermos como se processam as

eleições de uma maneira geral e termos em atenção que os resultados de uma eleição

diferem consoante o método que for aplicado.

48

Bibliografia • Arnold, Robert; Tannenbaum , Peter - “Excursions in Modern Mathematics”

Prentice Hall, Inc; 2001

• Solomom, Gargunkel and Lymn Steen, “for all pratical purposes”

Pesquisa na Internet http://www.mich.com/~donald/dispute.html http://www.ben.boulder.co.us/government/approvalvote/center.html http://www.ctl.ua.edu/math103/voting/4popular.html

fundamentos e ensino da Álgebramcag/fea2004/teoria das eleicoes.pdf · departamento de matemática...

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