fundamentos de matemática i -...

2ª Edição

Florianópolis, 2009

Fundamentos de Matemática INeri Terezinha Both CarvalhoCarmem Suzane Comitre Gimenez

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Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.

Ficha Catalográfica C331f Carvalho, Neri Terezinha Both Fundamentos de matemática I / Neri Terezinha Both Carvalho, Carmen Suzane Comitre Gimenez. – 2. ed. – Florianópolis : UFSC/ EAD/CED/CFM, 2009. 207 p. ISBN 978-85-99379-73-8 1. Matemática. I. Gimenez, Carmem S. Comitre. II. Título. CDU 51

Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/786

Sumário

Apresentação ............................................................................. 9

1. Elementos da História dos Números e Sistemas de Numeração em Diferentes Bases ..................................... 11

1.1 Elementos da história................................................................. 131.1.1 Contagem: a idéia da correspondência,

os sistemas de numeração e estruturas ............................141.1.2 A evolução do estudo dos números ................................. 18

1.2 Sistemas posicionais: bases de sistemas de numeração ........ 201.2.1 Bases de sistemas de numeração...................................... 201.2.2 Sistema de numeração posicional em

bases diferentes da base decimal ..................................... 231.2.3 Operações nos sistemas de numeração de diferentes bases ..................................................................... 29

Resumo .............................................................................................. 37

2. Conjuntos Numéricos – Naturais e Inteiros .................. 392.1 Conjunto dos números naturais ............................................... 42

2.1.1 Que operações estão definidas no conjunto dos números naturais? .............................................................. 44

2.1.2 Definição da Relação de ordem ........................................ 482.2 Conjunto dos números inteiros – uma ampliação

dos números naturais ................................................................ 512.2.1 Operações em ................................................................. 522.2.2 Proposições em ............................................................... 582.2.3 Relação de ordem em ...................................................612.2.4 Valor absoluto em ........................................................... 662.2.5 Princípio da Boa ordem em .......................................... 692.2.6 Princípio do Menor Inteiro em (PMI) .......................... 71

Resumo .............................................................................................. 72Bibliografia comentada .................................................................... 73

3. Divisibilidade e Algoritmo da Divisão .......................... 753.1 Divisibilidade em e em ...................................................... 783.2 Algoritmo da Divisão em e em ......................................... 853.3 Consequências do Algoritmo da Divisão ............................... 933.4 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum ........ 97

3.4.1 Máximo divisor comum (mdc) .......................................... 973.4.2 Propriedades do mdc em ............................................... 993.4.3 O Algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc ......... 1003.4.4 Máximo divisor comum de vários números ................ 1033.4.5 Máximo divisor comum - resultados importantes ...... 1043.4.6 Máximo Divisor Comum em ...................................... 1083.4.7 Definições e resultados sobre mdc em ...................... 1093.4.8 Consequência da Identidade de Bézout:

Resolução de Equações Diofantinas ...............................1123.5 Mínimo Múltiplo Comum em (mmc) .................................1183.6 Mínimo Múltiplo Comum em ............................................ 1233.7 A relação de Congruência módulo m .................................... 125Resumo .............................................................................................132Bibliografia complementar .............................................................132

4. Teorema Fundamental da Aritmética ........................... 1334.1 Números primos em e em :

diferenças, semelhanças e propriedades .............................. 1354.2 O Teorema Fundamental da Aritmética ............................... 1394.3 Aplicações da Fatoração ...........................................................146Resumo .............................................................................................151Bibliografia comentada ...................................................................151

5. Princípio de Indução ........................................................ 1535.1 Princípio de Indução ................................................................ 156Resumo ............................................................................................ 165Bibliografia comentada .................................................................. 165

6. Números racionais ........................................................... 1676.1 Introdução ..................................................................................1696.2 A idéia da construção do conjunto dos

números racionais .....................................................................1706.3 Operações em ........................................................................174

6.3.1 Adição em ..................................................................... 1756.3.2 Subtração em ................................................................1786.3.3 Multiplicação em .......................................................... 1796.3.4 Divisão em .....................................................................182

6.4 Frações irredutíveis ...................................................................1826.5 Sobre a simplificação de frações ............................................. 1836.6 Sobre a nomenclatura das frações ......................................... 184

6.7 Relação de ordem em ............................................................1876.7.1 Propriedades da relação de ordem ..................................189

6.8 Valor absoluto (ou módulo) ......................................................1916.9 Densidade .................................................................................. 1926.10 A representação decimal ....................................................... 195

6.10.1 Existência da representação decimal finita ................. 2026.11 Potências em ........................................................................ 204

6.11.1 Propriedades das potências em ................................ 2056.12 Existência de números que não são racionais .................... 205

ApresentaçãoA matemática, como a língua materna, é considerada básica para o exercício pleno da cidadania e para a compreensão das outras áreas do conhecimento e leitura do mundo.

A matemática, no contexto dos conjuntos numéricos, constitui um conjunto organizado, sistematizado e possui uma representação simbólica definida e universal.

Tratamos, neste livro, dos conjuntos numéricos: naturais, inteiros e racionais enquanto objetos do conhecimento matemático, os quais são estruturados de maneira lógica e expressos por uma simbologia própria.

Por que estudar os conjuntos numéricos?

Podemos pensar que os conjuntos numéricos compõem o passo inicial da representação, da expressão de informações, além de sua importância no fazer matemática; eles são considerados es-senciais para a vida do cidadão na sociedade atual. É praticamen-te impossível a prática da vida no dia-a-dia sem o conhecimento dos números.

Você já se imaginou passar um dia, sem usar em algum momento uma informação que envolva números? Quantidade, valor, hora etc.

Este livro tem por objetivo apresentar as operações e proprieda-des dos conjuntos numéricos , e ; elementos da história dos números; bases e sistemas de numeração; o conceito de divisibili-dade e critérios de divisibilidade; princípios de indução; congru-ência; Teorema fundamental da Aritmética; Algoritmo da divi-são. Enfim, vamos trabalhar a estrutura dos conjuntos numéricos do ponto de vista da teoria dos números.

O livro está organizado em seis capítulos. No primeiro capítulo, estudaremos Elementos de História dos Números e Sistemas de Numeração em Diferentes Bases. Neste capítulo abordamos al-gumas informações históricas, situamos a problemática propul-

sora da formulação dos sistemas de numeração e sua evolução até a concepção e estabelecimento do sistema de numeração decimal como universal.

No segundo capítulo, apresentaremos os conjuntos numéricos Naturais e Inteiros. Introduzimos os conjuntos numéricos e , apresentando seus elementos, as operações definidas em cada conjunto com suas respectivas propriedades. Fazemos uma apre-sentação da estrutura de cada um dos conjuntos numéricos, natu-rais e inteiros, de maneira sistemática.

Desenvolvemos o Algoritmo da divisão em e o conceito de di-visibilidade no terceiro capítulo. Também neste capítulo explora-mos as conseqüências do conceito de divisibilidade com estudo do máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum, equações diofantinas e congruências. Esta parte do conteúdo fornece um instrumental importante para a resolução de exercícios. Neste ca-pítulo o conjunto de exercícios propostos é variado e abundante.

O quarto capítulo é dedicado ao Teorema Fundamental da Arit-mética, que envolve o estudo de números primos e aplicações da fatoração.

O quinto capítulo apresenta o Princípio da Indução finita, um procedimento para demonstrações de certos tipos de resultados.

Finalizamos com o estudo do conjunto dos números racionais no sexto capítulo.

Neri Terezinha Both Carvalho

Carmem Suzane Comitre Gimenez

Capítulo 1Elementos da História dos Números e Sistemas de Numeração em Diferentes Bases

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Capítulo 1Elementos da História dos Números

e Sistemas de Numeração em Diferentes Bases

Neste capítulo estudaremos o sistema de numeração na base dez e a lei de formação dos números de um sistema de numeração em uma base qualquer.

Este capítulo tem, ainda, o objetivo de apresentar al-guns elementos da história relativos aos sistemas de numeração e desenvolver um estudo que oferece ao lei-tor a compreensão do funcionamento de um sistema de numeração posicional independentemente da base con-siderada.

1.1 Elementos da históriaA numeração escrita é muito antiga. A evolução da numeração encontra sua expressão final no sistema de numeração decimal.

Cálculos que atualmente uma criança realiza, exigiam, na anti-guidade, os serviços de um especialista. As dificuldades experi-mentadas, na época, eram inerentes ao sistema de numeração em uso, os quais não eram suscetíveis a regras simples e diretas. Ne-nhum sistema da antiguidade era capaz de criar uma aritmética que pudesse ser utilizada por um homem de inteligência média. Por isso, até o advento do sistema de numeração posicional, foram feitos poucos progressos na arte de calcular.

Conhecer um pouco da história da evolução dos conhecimentos facilita, muitas vezes, a compreensão sobre o que se usa, o que se explora, ao que damos maior ênfase, no presente. Conhecer a evo-lução permite compreender as modificações que sofreram os sa-

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beres ao longo da história. O que estudamos, no presente, são os re-sultados de um estágio da evolução. Existe um movimento científico paralelo ao movimento cultural e de desenvolvimento dos povos.

1.1.1 Contagem: a idéia da correspondência, os sistemas de numeração e estruturas

Os mais antigos documentos escritos de que dispomos mostram a presença do conceito de “número”; todos contêm a questão: “Quan-tos?” Estes documentos provém da China, Índia, Egito e Mesopotâ-mia e têm aproximadamente 6000 anos. Provavelmente, muito an-tes desta época, o conceito de número como forma de contagem já existia: uma tíbia de lobo com 55 cortes transversais divididos em blocos de 5 foi encontrada na Tchecoslováquia e data de aproxima-damente 30 000 a.C.

As primeiras culturas a usar símbolos especiais para os números desenvolveram-se junto a grandes rios: China, norte da Índia, Egito e Mesopotâmia. Aparentemente, tudo começou com a idéia de “cor-respondência”: é comum a história do pastor que, para saber se não faltava nenhuma ovelha na hora de recolher o rebanho, fazia uma correspondência das ovelhas com um conjunto de pedrinhas; cada ovelha que entrava, uma pedrinha era separada. Se sobrassem pe-drinhas, faltavam ovelhas. É claro que este pastor fez uma “corres-pondência inicial”, ou seja, seu conjunto de pedrinhas correspondia ao seu conjunto de ovelhas. Esta idéia de “conjunto” foi uma das primeiras abstrações feitas pelo homem e a correspondência entre conjuntos foi o primeiro passo para a contagem.

Os primeiros tipos de correspondência usavam o corpo humano: dedos das mãos, dos pés, pulso, cotovelo, ombro etc., numa certa ordem. Algumas civilizações chegavam até o 31, usando todos os dedos das mãos e dos pés e mais onze partes do corpo; algumas chegavam a 100. De início, não havia palavras específicas para nú-meros, nem o conceito de número de forma abstrata; o surgimento de palavras-número não implica, por si só, o aparecimento do con-ceito de número, mas, sem dúvida levou a ele. Resumindo, isto pa-rece ter ocorrido da seguinte forma:

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aparecimento da idéia de “conjunto” e correspondência entre a) conjuntos;

a ordem dos objetos que se desejava contar era irrelevante (era b) indiferente começar a contagem pelas ovelhas pretas ou bran-cas);

conjuntos de objetos distintos poderiam ser postos em corres-c) pondência com o “mesmo” conjunto (de pedrinhas ou partes do corpo humano). Este passo foi decisivo; em termos de símbo-los, o mesmo símbolo poderia ser usado para indicar 10 ove-lhas ou 10 ânforas de vinho;

o nome do último número enunciado não só atribuía um nome d) ao último objeto do conjunto a ser contado como, também, di-zia “quantos” objetos havia neste conjunto, no total. Este pare-ce ter sido o passo mais difícil. Se ao último dedo da segunda mão correspondia a última ovelha, havia “duas mãos” (ou “um homem”) de ovelhas no total.

À medida que as civilizações evoluíam, o sistema se tornava mais exigente, com quantidades maiores a serem “contadas”. E ficava uma pergunta: o que fazer quando a seqüência ordenada dos marcado-res (dedos, partes do corpo, pedrinhas etc.) se esgota e ainda res-tam objetos a serem contados? Uma resposta seria: acrescentar mais marcadores (outras partes do corpo, mais pedrinhas); outra seria: estender a contagem por repetição; se “um homem” correspondia a 10 ovelhas (dedos das mãos), “dois homens” corresponderiam a 20 ovelhas, repetindo a contagem. Em símbolos, existiria um símbolo para cada coisa contada (por exemplo, um dedo) e um símbolo para cada grupo de coisas contadas (grupos de dez, ou doze, ou sessenta). O sistema de símbolos para cada grupo de coisas contadas aparece entre os babilônios, egípcios, gregos antigos e romanos. A repetição dos símbolos permitia a representação de (quase) qualquer número: surgem, assim, os sistemas de numeração.

Essa necessidade de contagem deu origem à enumeração dos obje-tos; o conceito de número veio mais tarde. A linguagem serviu como um procedimento simplificador na evolução da enumeração para a numeração, dando origem aos sistemas de numeração.

Descrevemos, a seguir, alguns antigos sistemas de numeração:

Enumeração[Do lat. enumeratione] S.f. 1.Indicação de coisas uma por uma. 2. Exposição ou relação metódica. 3. Conta, cômputo.Fonte: Dicionário Aurélio

Numeração[Do lat. numeratione] S.m. 1. Ato de numerar. 2. Série de números arábicos ou roma-nos que distinguem as pági-nas de livro, folheto, manus-crito etc. 3.Arit. Processo de enumerar um conjunto.Fonte: Dicionário Aurélio

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Egípcios1) (há cerca de 5000 anos) - sistema aditivo, base dez. Ti-nham símbolos especiais para 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 e não havia símbolo para o zero; para expressar números muito grandes usavam também um sistema multiplicativo.

Babilônios2) (mesma época que os egípcios) - viviam na Me-sopotâmia, entre os rios Tigre e Eufrates (atual Iraque); eram comerciantes e tinham necessidade de documentar suas ativi-dades comerciais. Os números menores que 60 eram represen-tados em base 10, por agrupamentos; os demais eram repre-sentados em base 60, pelo princípio posicional. A notação dava margem à mais de uma interpretação. Não havia um símbolo para o zero, mas eles deixavam um espaço para indicá-lo. Her-damos dos babilônios a representação das horas e das medidas de ângulos (base 60).

Gregos3) (cerca de 600 anos a.C.) - sistema aditivo, base 10. Usa-vam 27 símbolos: 24 eram as letras do alfabeto e 3 eram letras que, na época, já estavam em desuso. Além dos símbolos, usa-vam também acento nas letras; com isso, conseguiam repre-sentar números até 10 000 com apenas 4 letras e acentos.

Romanos4) (cerca de um século a.C.) - sistema aditivo, base 10. Também usavam letras do alfabeto para representar os núme-ros, por exemplo: I representava a quantidade 1, V representa-va a quantidade 5, L representava o 50 etc. Na época de Cristo, o sistema era somente aditivo (por exemplo, a representação do quatro: IIII); na idade média, incorporaram uma subtração para economizar símbolos (passaram a representar o 4 por IV, isto é: 5-1). Este sistema é usado até hoje.

Chineses e japoneses5) (cerca do século III a.C.) - sistema misto de aditivo e multiplicativo, base 10. Os números eram repre-sentados na escrita de cima para baixo, ou da esquerda para a direita. No início, os símbolos eram como os ideogramas; os cálculos eram feitos com barras estendidas sobre uma mesa, o que levou à utilização das barras como símbolos para repre-sentar os números, simplificando a notação. O novo sistema de barras era composto de 18 símbolos, usados numa espécie de sistema posicional. Um documento de 1247 mostra o lugar do zero ocupado por um círculo.

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Maias6) (cerca do século IV d.C.) - sistema posicional, base 20; usavam traços e pontos para representar os números. Desen-volveram um calendário, conheciam astronomia, arquitetura e tinham grande atividade comercial.

Atividade1) Faça uma busca bibliográfica e consulte alguns livros que

abordam os diferentes sistemas de numeração segundo os povos. Evidencie características de cada sistema como, por exemplo: os símbolos usados, a base, se o sistema é aditivo, multiplicativo ou posicional. Faça um resumo de, no máximo, duas páginas.

O sistema indo-arábico O nosso sistema de numeração é relativamente recente; antes da era cristã, cada civilização tinha seu próprio sistema, o que dificultava as atividades de comércio. Não podemos precisar exatamente a ori-gem do nosso sistema; símbolos semelhantes aos nossos foram en-contrados na Índia, em colunas de pedra de um templo construído por volta de 250 a.C. Nesta época, eram usados símbolos especiais para as potências de 10, mas, não há registro de um símbolo para o zero e a notação posicional não aparece. A maior parte dos histo-riadores situaram o final do desenvolvimento do sistema, com uso pleno e sistemático do zero e a notação posicional, entre os séculos IV e VII d.C.

Por volta do ano 800, o sistema foi levado a Bagdá e foi adotado pelos árabes. Por volta de 825, o persa al-Kowarizmi descreveu o sistema, atribuindo-o exclusivamente aos indianos. Ao se deslocarem atra-vés das costas do norte da África e depois até a Espanha, os árabes levaram estes trabalhos e também outras importantes obras gregas traduzidas para o árabe, difundindo a cultura grega na Europa. A obra de al-Kowarizmi perdeu-se, mas, existe uma tradução latina do século XII, – o Liber Algorismi, que contribuiu para a introdução do sistema e suas formas de calcular no mundo ocidental. Também as obras de Fibonacci – Liber Abaci e de Sacrobosco – Algorismus Vulga-ris, do século XIII, descrevem o sistema e suas vantagens em relação ao sistema romano. Cópias manuscritas destes trabalhos podem ser

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encontradas em muitas bibliotecas da Europa. A padronização dos símbolos que representam os números foi resultado da invenção da imprensa, em meados do século XV.

Atividade2) Faça um esquema, explicando o sistema posicional indo-ará-

bico. Considere que este esquema você utilizará para explicar a estrutura do sistema posicional indo-arábico a uma pessoa leiga (Esquema deve ser simples e claro).

1.1.2 A evolução do estudo dos númerosÀ medida que as antigas civilizações se desenvolveram, a necessi-dade de contar e registrar, despertou interesse pelos números e suas operações. Documentos antigos relatam listas de problemas e suas resoluções (o papiro de Rhind, por exemplo) em termos de cálculos: cada problema com sua resolução, sem generalizações.

Com a civilização grega surgiu o interesse pelas propriedades dos números, como registrado nos “Elementos de Euclides”, de aproxima-damente 300 a.C. Nesta obra, (uma compilação da matemática da época distribuída em treze Livros), com objetivo didático, já apare-cem os conceitos de múltiplos, divisores e números primos, entre outros. Os Livros VII, VIII e IX tratam da aritmética teórica, porém, como era costume entre os gregos, o enfoque e a linguagem eram geométricos. Para eles, um número era um segmento, como pode-mos observar na definição 5 do Livro VII: “Um número é parte de outro, o menor do maior, quando ele mede o maior”. Era assim que Euclides expressava que um número era divisor de outro. Conse-qüentemente, definiam número primo como “Um número primo é aquele que é mensurável somente pela unidade” (definição 11 do Livro VII). Mensurável tinha o significado de divisível.

A organização dos “Elementos” é como a de qualquer livro atual que trata do assunto em nível superior: definições, teoremas, de-monstrações. Muito do que é tratado nestes Livros se deve à escola Pitagórica; Pitágoras nasceu na ilha de Samos, por volta do ano 500 a.C., e, quando jovem, visitou demoradamente o Egito, a Índia e a Mesopotâmia. Em suas viagens absorveu muito de matemática e do

Este papiro foi encontrado pelo egiptólogo inglês Rhind no final do século 19 e, hoje, está exposto no Museu Britânico, em Londres. FONTE: http://pt.wikipedia.org/wiki/Papiro_Rhind

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misticismo destes países em relação aos números; de volta à colônia grega de Crotona (sul da Itália), quando tinha cerca de 40 anos, fun-dou um misto de escola e comunidade religiosa onde cultivavam a Filosofia, a Ciência e a Matemática. A escola, apesar de dispersa por problemas políticos, continuou a existir através dos seguidores de Pitágoras (Filolaus e Arquitas de Tarento, entre outros) por, pelo menos, mais dois séculos após sua morte, em 497 a.C. Historiadores atribuem aos pitagóricos a criação de uma matemática “pura”, no sentido de conter muito de filosofia e abstração, desvinculada dos problemas práticos: “aritmética” significava o estudo teórico dos nú-meros e, aos cálculos, os pitagóricos davam o nome de “logística”. Atribui-se também aos pitagóricos certos conceitos como números figurados, números perfeitos e números amigos.

A partir de meados do século XIX, o interesse pelos números voltou-se para o estudo das “estruturas”, como generalizações dos sistemas numéricos. Uma estrutura algébrica consiste num conjunto (cujos elementos não são necessariamente números) equipado com ope-rações (operação no sentido de relacionar dois elementos com um terceiro) que satisfazem determinadas condições. O conjunto dos números inteiros munido das operações de adição e multiplicação é exemplo de uma estrutura que leva o nome de “anel”; tem a mesma estrutura de anel, o conjunto dos polinômios em uma variável com coeficientes inteiros, equipado com as operações de adição e multi-plicação de polinômios.

Mais recentemente, a partir da segunda metade do século XX, o in-teresse pela teoria que trata de números deveu-se à sua aplicação em criptografia e códigos de segurança, mais especificamente, após o advento dos computadores. Antigos teoremas chineses foram resga-tados e utilizados a fim de otimizar a linguagem das máquinas.

Atividade3) Pesquise e elabore um texto de no máximo 15 linhas sobre o

que representou a Escola Pitagórica no contexto da evolução dos números.

4) Você sabe a definição de números amigos, figurados e perfei-tos? Pesquise e faça o que se pede:

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Defina números figurados e dê exemplos.a)

Defina números perfeitos e dê exemplos.b)

Dê a definição de números amigos e exemplifique.c)

Pesquise, você mesmo, uma bibliografia para consulta.

1.2 Sistemas posicionais: bases de sistemas de numeração

No presente estudo, buscamos oferecer para o aluno a compreen-são da estrutura do sistema de numeração decimal, dos processos segundo os quais operamos e a compreensão da representação e tratamento em outros sistemas de numeração.

No ensino, os sistemas posicionais de bases diferentes da base 10 são estudados, pois este estudo permite compreender melhor as es-truturas, os processos, segundo os quais operamos. A compreensão e uma conseqüente habilidade de tratamento dos processos são fun-damentais para o professor de matemática.

Como vimos, a numeração escrita é muito antiga. A evolução da numeração encontra sua expressão final no sistema de numeração decimal.

O surgimento do sistema de numeração posicional, de base 10, foi provavelmente conseqüência do uso, praticamente universal, dos dez dedos das mãos.

Foram os Indianos que nos deram o inteligente método de expressar todos os números através de dez símbolos, cada símbolo recebendo tanto um valor posicional como um valor absoluto; uma idéia pro-funda e importante, ignorada durante muito tempo e que, agora, nos parece simples.

1.2.1 Bases de sistemas de numeraçãoVocê está familiarizado a representar os números, não importa qual a quantidade, usando a posição dos algarismos: por exemplo 14, 357, 2389 etc. Desde o Ensino Fundamental você aprendeu a escrevê-

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los, lê-los, a identificar as classes de cada um deles etc. Mas você já sabe que esta representação apóia-se em uma idéia matemática mais complexa? Qual é essa idéia?

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1. O número 524 pode ser decomposto em

524 = 500 + 20 + 4.

Podemos representar esta decomposição por:

524 = 5.100 + 2.10 + 4.

Note que a maior potência de 10 menor do que 524 é a potência 2, ou seja, 102 (centena): esta potência aparece 5 vezes no número 524. Te-mos que 524 consiste em 5 centenas, restando 24, o qual se constitui de 2 dezenas e 4 unidades. Assim temos: 524 = 5.102 + 2.10 + 4.

Exemplo 2. O número 7031 pode ser decomposto em:

7.1000 + 0.100 + 3.10 + 1.

Neste caso, a maior potência de 10 menor do que 7031 é 3, ou seja, 103 (milhar). Veja que a quantidade de centenas é zero, ou seja, 7031 consiste de 7 milhares, nenhuma centena, 3 dezenas e uma unidade. Assim temos: 7031 = 7.103 + 0.102 + 3.10 + 1.

Observe também a relação entre a maior potência de 10 possível em cada número e a quantidade de algarismos do número. O que você descobriu?

O que fizemos usando potências de 10 (no sistema de numeração decimal), podemos fazer usando potências de qualquer outro nú-mero?

No sistema de numeração decimal, trabalhamos com potências de10 , por isso, dizemos que nesse sistema a base é 10. Utilizamos 10 símbolos para representar os números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9e , chamados “algarismos” e mais recentemente “dígitos” (palavra de-rivada do latim que significa dedo). Se usarmos outro número como base, quantos símbolos usaríamos como algarismos? Você tem al-guma idéia?

Para explorar a relação entre a maior potência

de 10 de um número, propomos que você faça

a decomposição conforme os exemplos anteriores, de

diferentes números.

Você sabe o que é um sistema de numeração

decimal?

Observe: na base 10, temos 10 algarismos, de 0 a 9. Veja

9 = 10 -1 (número total de algarismos menos 1)

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Agora vejamos como podemos representar genericamente um nú-mero qualquer no sistema decimal. Por exemplo: consideremos o número de 4 algarismos: abcd. Temos os algarismos a, b, c e d. Se este número está na base 10, teremos:

.

O 10 indica a base. Veja que 3 2.10 .10 .10abcd a b c d= + + + . Esta ma-neira de expressar o número abcd chama-se representação polinomial de abcd na base 10.

Vejamos como fica a representação polinomial na base 10 de alguns números.

Exercício resolvido1) Dar a representação polinomial na base 10 dos seguintes números:

5832a) Notemos que 5832 5000 800 30 2= + + + e também temos que:

35000 5.10= ; 2800 8.10= e 30 3.10= . Assim,

3 25832 5.10 8.10 3.10 2= + + + .

b) 142 Veja que 2142 100 40 2 1.100 4.10 2 1.10 4.10 2= + + = + + = + + . Logo: 2142 1.10 4.10 2= + + .

206c) Temos que 2206 200 0 6 2.100 0.10 6 2.10 0.10 6= + + = + + = + + . Portanto: 2206 2.10 0.10 6= + + .

Exercício proposto: Agora é sua vez!Dê a representação polinomial dos números:1)

320a)

20351b)

7809354c)

E se estivermos trabalhando em outra base, como fica a repre-sentação polinomial?

Compare com as representações do número 7031 feitas anteriormente.

Veja que num sistema posicional decimal, dependendo da posição, o algarismo representa unidades, dezenas, centenas, milhares etc.

23

1.2.2 Sistema de numeração posicional em bases diferentes da base decimal

Começaremos estudando o sistema de numeração posicional de Base 5. Para trabalhar em base 5 , quantos algarismos devemos ter?

Em analogia com a representação dos números num sistema em base 10, devemos ter 5 algarismos. A quantidade de símbolos utili-zada é igual ao número que representa a base.

Vamos, por escolha, usar os mesmos símbolos usados para a repre-sentação no sistema decimal.

Assim escreveremos todos os números na base 5 com os algarismos de 0 a 4, ou seja: 0, 1, 2, 3 e 4. O maior algarismo é 4, pois 5 – 1 = 4.

Uma situação problema se coloca:

Como escrever na base 5 um número cuja representação está dada na base 10? E se quiséssemos representar esse número na base 3, na base 2 etc?

Na base 5 podemos usar os algarismos: 0, 1, 2, 3 e 4.

Vejamos por meio de exemplos:

Consideremos o número 87 na base 10. Queremos representá-lo na base 5. Isto é, qual a forma polinomial deste número na base 5?

De forma análoga ao que fizemos para determinar a representação polinomial dos números na base 10, determinamos a representação polinomial de um número dado em qualquer outra base. Para de-terminar a representação polinomial do 87 na base 5, seguimos os passos dados a seguir:

1) Determinar a maior potência de 5 em 87. Temos que em 87 “cabem” 3.52 e ainda sobram 12.

2) Determinar a maior potência de 5 em 12.

Em 12 “cabem” 2.5 e sobra 2. Como 2 é um dígito, o processo termina.

Porque escolhemos a base 5? Foi a primeira

idéia que ocorreu.

24

Assim, 87 3.25 2.5 2= + + ou 2 087 3.5 2.5 2.5= + + , que é a represen-tação polinomial do 87 na base 5. Agora, identifiquemos nesta repre-sentação do 87, os coeficientes. Estes são os algarismos do número 87 na base 5. Temos então: 3, 2, 2. Assim o número 87 na base 5 será denotado por (322)5 .

Isto é, podemos escrever: 587 (322)= . Lê-se: oitenta e sete é igual a três, dois, dois, na base 5.

Veja que os coeficientes das potências de 5 são os algarismos do nú-mero na base 5; o número após o parêntese indica a base. Quando a base não está explicitada significa que o número está na base 10.

Vejamos, agora, como achar a representação polinomial de um nú-mero na Base 3:

Na base 3, temos 3 símbolos: 0, 1, 2.

Como representar, por exemplo, 71 na base 3?

Temos que:

3 2 071 2.27 1.9 2.3 2 2.3 1.3 2.3 2.3= + + + = + + + , isto é, 371 (2122)= .

Como representar, por exemplo, 87 na base 3?

4 3 2 087 1.81 0.27 0.9 2.3 0 1.3 0.3 0.3 2.3 0.3= + + + + = + + + + Assim, 387 (10020)= .

Agora já sabemos que podemos representar o número 87 na base 5 e na base 3, ou seja,

10 5 387 (87) (322) (10020)= = = .

Até aqui, trabalhamos com exemplos particulares. Genericamen-te, fixada uma base qualquer, podemos determinar a representação polinomial nesta base de qualquer número natural dado na base 10. Ou seja, escolhido um número natural b > 1 (como base), todo nú-mero natural a pode ser representado, de forma única, do seguinte modo:

25

1 21 2 1 0...r r

r ra a b a b a b a b a−−= + + + + +

sendo 1 2 1 0, ,..., , ,r ra a a a a− os algarismos de a na base b . Estes assu-mem valores de 0 1a b − (onde b indica o número de símbolos); b é a base do sistema de numeração e 1r + é o número de algarismos do número a .

A expressão 1 21 2 1 0

r rr ra a b a b a b a b a−

−= + + + + + com as condições descritas acima é a lei de formação do número 1 2 1 0( )r r ba a a a a a−= .

Na verdade, o resultado anterior é uma proposição que pode ser demonstrada. Não o faremos aqui por que ainda não temos elemen-tos para tal. Aceitaremos o resultado motivado pelos exemplos que foram feitos e, também, pela boa quantidade de exemplos que serão resolvidos e propostos como exercício.

Exercícios resolvidos Como obter a representação na base b de um número a dado na sua representação decimal? Vamos estudar o procedimento a partir de exemplos.

2) Escrever 59 na base 2.

Prestar atenção que sendo a base • 2 , as potências deverão ser de base 2 .

Determinar a maior potência de • 2 , menor ou igual a 59 , ou seja, 52 32= . Efetuar a subtração 59 32 27− = .

Determinar a maior potência de • 2 , menor ou igual a 27 ou seja, 42 16= . Efetuar a subtração 27 16 11− = .

Determinar a maior potência de • 2 , menor ou igual a 311: 2 8= . Efetuar a subtração 11 8 3− = .

Determinar a maior potência de • 2 menor ou igual a 13 : 2 . Efe-tuar a subtração: 3 2 1− = . Como 1 é um algarismo encerra-se o processo.

Contamos o número de vezes que aparece cada potência e escre-•vemos a lei de formação.

Logo temos: 5 4 3 2 059 .2 .2 .2 .2 .2 .21 1 1 0 1 1= + + + + + .

26

Ou seja: 259 ( )111011= , onde cada algarismo é o coeficiente da potência de 2 correspondente.

Confira: os algarismos de um número escrito na base 2 , são 0 1e .

3) Escrever o número 59 na base 3 .

Determinar a maior potência de • 3 , menor ou igual a 59 , ou seja: 33 27= . Efetuar a subtração 59 27 32− = .

Determinar a maior potência de • 3 , menor ou igual a 32 ou seja: 33 27= . Efetuar a subtração 32 27 5− = .

Determinar a maior potência de • 3 , menor ou igual a 5 ou seja: 13 3= . Efetuar a subtração 5 3 2− = . Como 2 é um algarismo, o

processo termina aqui.

Vejamos: temos duas vezes a 3ª potência de 3 , zero vezes a 2ª potên-cia de 3 , uma vez a 1ª potência de 3 e duas vezes a potência zero de 3 .

Assim: 3 2 059 2.3 0.3 1.3 2.3= + + + , ou seja, 359 (2012)= .

E para bases maiores do que 10 como fazer? Como representar na base 12, um número dado na base 10?

De acordo com o que vimos até agora sabemos que precisaremos de 12 símbolos. Consideremos então os símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a = 10, b = 11 os algarismos para representar um número na base 12.

Determinar a representação de 160 na base 12.•

Sabemos que 2144 12 , 160 144 16; 16 12 4e= − = − = logo temos:

2 012160 1.12 1.12 4.12 (114)= + + = .

Determinar a representação de • 276 na base 12 .

Sabemos que 212 144 276 144 132e= − = .

Mas em 132 cabem 11 pacotes de 12 , ou seja, 132 11.12= .

Assim 2 012276 1.12 11.12 0.12 (1 0)b= + + = .

A escolha das letras a e b para representar os algarismos 10 e 11 é arbitrária.

27

DesafioQual é o número 15(935) na base 10 ?

Exercícios propostos2) Escreva o número 25 na base 2 .

3) Escreva o número 25 na base 3 .





8) Escreva os números 132 e 87 na base 12 .

9) Escreva o número 5(322) na base 10 .

Atividade5) Você é capaz, agora, de fazer alguma conjectura, ou de compre-

ender possíveis dificuldades dos alunos de 5a série, por exem-plo, quanto à compreensão do sistema de numeração decimal? Discuta com seus colegas.

Outro método para determinar a representação polinomialUm outro procedimento para determinar a representação polino-mial de um número numa base qualquer é utilizar divisões suces-sivas.

Vejamos: Queremos representar o número 59 (base 10) na base 3. O que fazemos?

Iniciamos dividindo o 59 por 3. Em seguida vamos dividindo os quocientes por 3. Ou seja:

1) 59 3 2) 19 3 3) 6 3 4) 2 329 19 6 2 01 0 2

2

28

De onde temos:

59 19.3 2= +• ; temos 19 pacotes de 3 e sobrou 2 .

19 6.3 1= +• ; os 19 pacotes de 3 reagrupamos em 6 pacotes de 3 e sobra 1;

6 2.3 0= +• ; os 6 pacotes de 3 reagrupamos em 2 novos paco-tes 3 ;

2 0.3 2= +• ; os 2 novos pacotes, para reagrupar em 3 , dá zero e continuo com os 2 novos pacotes de 3 ;

Isto é,

3 2

59 19.3 2 (6.3 1).3 2 (2.3 0).3 1 .3 2(2.3 0).3 1 .3 (0.3 2) 2.3 0.3 1.3 2

[ ][ ]

= + = + + = + + + =

= + + + + = + + + .

Assim: 359 (2012)= .

Os algarismos do número 59 na base 3 são os restos das divisões acima a contar da direita para a esquerda.

De modo geral, para representar na base b um número escrito na base 10 fazemos divisões sucessivas deste número por b até o quo-ciente ser zero. Os algarismos da representação do número na nova base b, serão os restos das divisões a contar da direita para a esquer-da (do último resto para o primeiro; por quê?).

Observação: como no sistema de numeração decimal você faz agru-pamentos de 10 em 10, nos sistemas de numeração de outras bases a estrutura é a mesma, você sempre faz agrupamentos da quantidade correspondente ao valor da base. Assim como você opera com nú-meros na base 10, você poderá operar com números em quaisquer outras bases, pois, os procedimentos são completamente semelhan-tes àqueles utilizados na base 10.

Exercícios propostosResolva os exercícios usando o procedimento das divisões sucessi-vas.



29

1.2.3 Operações nos sistemas de numeração de diferentes bases

Vamos estudar as operações de adição, subtração e multiplicação, usando representações de números em diferentes bases.

Operações em base 10

a) Adição: Determinar 352 764+ .

Segundo o algoritmo que estamos habituados a usar, fazemos:

352 764

1116+

Somamos 4 + 2 = 6 unidades; 6 + 5 = 11, 11 dezenas, ou seja, 11 = 10 + 1 (10 dezenas mais 1 dezena), mas 10 dezenas é uma centena, por isso, somamos 1 às centenas. Assim temos: 3 + 7 + 1 = 11 centenas.

Vejamos como fica a adição usando a representação polinomial na base 10 dos números: 352 e 764.

Resolução. Sabemos que,

2 0352 (3.10 5.10 2.10 )= + + e,

2 0764 (7.10 6.10 4.10 )= + + . Assim,

2 0 2 0352 764 (3.10 5.10 2.10 ) (7.10 6.10 4.10 )+ = + + + + + .

Somando os coeficientes das potências iguais, temos:2 010.10 11.10 6.10+ + . Mas 11 10 1= + então, substituindo, temos:

2 3

3

3 2

10.10 11.10 6 10 (10 1).10 610 10.10 10 61.10 1.10 1.10 6.

+ + = + + + =

= + + + =

= + + +

Logo temos: 352 + 764=1116 .

Você percebeu, nesta operação, a história do “vai um”? Em que mo-mento da operação você tratou desta questão?

Vejamos agora a multiplicação. Como exemplo, façamos a tarefa:

30

b) Multiplicação: Determinar o produto: 346 13×

Pelo algoritmo que estamos habituados a usar, obtemos o seguinte resultado:

346 13

1038346

4498

×

Explique passo a passo cada sub-resultado obtido ao efetuar esta operação. Justifique, por exemplo, os resultados obtidos ao multipli-car 3 por 6, 3 por 4 e 3 por 3; depois 1 por 6, por 4 e por 3 e como se chegou ao produto. Discuta com os colegas.

E como fica a multiplicação usando a representação polinomial dos números?

Sabemos que:

2346 (3.10 4.10 6)= + + e 13 (1.10 3)= + .

Então:

2346 13 (3.10 4.10 6) (1.10 3)× = + + × + .

Pelas propriedades (associativa e comutativa da adição, e distributi-va) de números naturais temos:

2

2 2

3 2 2

3 2 2

346 13 (3.10 4.10 6) (1.10 3)

3.10 . 1.10 3.10 .3 4.10 . 1.10 4.10.3 6 . 1.10 6.3

3.10 9.10 4.10 12.10 6.10 10 8

3.10 9.10 4.10 (10 2).10 6.10 1.10 8

× = + + × +

= + + + + + =

= + + + + + + =

= + + + + + + + =3 2 2 2

3 2

3 2

3 3 2

3 2

3.10 9.10 4.10 1.10 2.10 6.10 1.10 8

3.10 14.10 9.10 8

3.10 (10 4).10 9.10 8

3.10 10 4.10 9.10 8

4.10 4.10 9.10 8

= + + + + + + + =

= + + + =

= + + + + =

= + + + + =

= + + + .

31

Assim:2

3 2

346 13 (3.10 4.10 6) (1.10 3)4.10 4.10 9.10 8 4498

× = + + × + =

= + + + = .

E no caso da subtração? Vejamos um exemplo:

c) Subtração: Determinar a diferença: 148 76−

Sabemos que:

Explique como você justifica a um aluno a operação 4 – 7. Para poder explicar a operação, precisamos compreender a estrutura do siste-ma de numeração posicional. O 4 na posição em que se encontra representa dezenas. Mas o 7 também. Como tirar 7 dezenas de 4 dezenas? Precisamos recorrer às centenas. Tomamos a centena que está representada ao lado do 4 e como sabemos que ela representa 10 dezenas, vamos lê-la como 10 dezenas. Agora sim, podemos juntá-las com as 4 dezenas que já temos, ficando assim com 14 dezenas, das quais podemos tirar 7 dezenas.

Usando a representação na forma polinomial, como fica a subtração do exemplo anterior?

Vejamos:

2148 (1.10 4.10 8) e 76 (7.10 6)= + + = + .

Logo:2

2

2

148 76 (1.10 4.10 8) (7.10 6)(10 4.10 7.10) (8 6)1.10 (4 7).10 2

− = + + − + =

= + − + − =

= + − +

mas 210 10.10= , então temos:

21.10 (4 7).10 2 10.10 (4 7).10 2(10 4 7).10 2 7.10 2

+ − + = + − += + − + = +

Ou seja: 148 76 72− = .

32

Operações em outras basesVejamos as operações, adição, subtração e multiplicação em outras ba-ses, usando a representação polinomial dos números e o algoritmo.

a) Adição: Resolver a seguinte adição: 5 5(134) (11)+

Usando a representação polinomial dos números, temos que:

25(134) (1.5 3.5 4)= + + e 5(11) (1.5 1)= + .

Logo temos: 25 5(134) (11) (1.5 3.5 4) (1.5 1)+ = + + + + e aplicando pro-

priedades de números naturais podemos escrever:

2 2

2 2

2 2 2

(1.5 3.5 4) (1.5 1) 1.5 (3 1).5 (1 4) 1.5 4.5 1.5 1.5 (4 1).5 1.5 5.5 1.5 5 2

+ + + + = + + + +

= + + = + + =

= + = + =

= 2 1 0.5 0.5 0.5 .+ +

Portanto, 5 5 5(134) (11) (200)+ = .

Exercícios propostos12) Efetue: 5 5(243) (431)+ .

13) Efetue: 6 6(235) (452)+ .

E a Multiplicação? Agora você já é capaz de deduzir sozinho o pro-cedimento. Para ilustrar, faremos com você um exemplo:

b) Multiplicação de números representados em uma base qualquer: Efetuar 7 7(531) x (13)

Usando a representação polinomial dos números na base 7, temos:

27 7(531) (5.7 3.7 1) (13) (1.7 3)e= + + = +

Assim:

2 3 2 27 7

3 2 2

3 3 2 2 2

3

(531) (13) (5.7 3.7 1) (1.7 3) 5.7 15.7 3.7 9.7 1.7 3

5.7 (2.7 1).7 3.7 (7 2)7 1.7 3 5.7 2.7 1.7 3.7 7 2.7 1.7 3 7.7 5

× = + + × + = + + + + + =

= + + + + + + + =

= + + + + + + + =

= + 2 4 2

4 3 27

.7 3.7 3 7 5.7 3.7 3 1.7 0.7 5.7 3.7 3 (10533)

+ + = + + + =

= + + + + = .

33

Portanto: 7 7 7(531) x (13) (10533)=

Vejamos o algoritmo:

a) 3x1 3= .

b) 3x3 9 7 2, fica 2 vai 1= = + .

c) 73x5+1 15 1 2.7 2 (22)= + = + = .

d) 1x1 1=

e) 1x3 3=

f) 1x5 5=

Assim, temos:

7

7

7

7

7

(531) (13)

( 223) ( 31 )

( 533)

25

10

×

+

Note: 077 1.7 0.7 ( )5 2 10+ = = + = .

E a Subtração? Ilustraremos com um exemplo.

c) Subtração: Determine a diferença: 8 8(235) (173)−

Vejamos o procedimento de cálculo usando a representação polino-mial dos números:

2 28 8(235) (173) (2.8 3.8 5) (1.8 7.8 3)− = + + − + + .

Efetuando operações nas respectivas potências temos:

1) 5 3 2− = o coeficiente de 08 .

2) Não podemos efetuar 3.8 7.8 (3 7).8− = − em, pois 3 é menor do que 7 . Devemos então tomar um “pacote” de 2 28 ( 2.8 )deconsiderá-lo como 8 pacotes de 8 e somá-los com os 3 “pa-cotes” de 8 . Assim, 3 8 11+ = e agora 11 7 4− = . Sobrou então4.8 ; logo o coeficiente de 18 4é .

34

3) Vamos, finalmente, determinar o coeficiente de 2 28 : 2.8 sub-traindo 21.8 mais 21.8 (pacote de 28 que foi utilizado na etapa anterior) restam 20.8 , ou seja, o coeficiente de 28 0é .

Então: 2 2

8 82 2

2 2

2 2 2

(235) (173) (2.8 3.8 5) (1.8 7.8 3)

(2.8 3.8) (1.8 7.8) (5 3) (2.8 ) (1.8 ) (3 7).8 2 (1.8 1.8 ) (1.8 ) (3 7).8 2

− = + + − + + =

= + − + + − =

= − + − + =

= + − + − + =2 2

28 8

(1.8 ) (1.8 ) (8 3 7).8 2 0.8 4.8 2 (042) (42)

= − + + − + =

= + + = =

Logo: 8 8 8(235) (173) (42)− = .

Vejamos a resolução da maneira usual:

8

8

8

(235) (173)

(042)

− .

Você pode explicar passo a passo a operação? Explique para um co-lega.

Você procedeu da mesma maneira que segue, abaixo?

a) 5 3 2− =

b) 3 (pacotes de 8) menos (7 pacotes de 8). Se tenho 3 pacotes, o número não é suficiente para poder tirar 7 pacotes. O que fa-zer?

c) ao lado tenho 2 pacotes de 8 . 8. Tomo um destes, que tem 8 pacotes de 8, e somo com os 3 que já tenho. Isto me dá um total de 11 pacotes de 8.

d) 11 7 4− = e ficamos com 4 pacotes de 8.

e) Agora ainda temos 2 2 21.8 1.8 0.8− = .

Portanto: 8 8 8(235) (173) (042)− = .

.

35

Exercícios propostos14) Resolva

6 6(235) (143)+a)

6 6(342) x(14)b)

5 5(431) (213)+c)

5 5(421) x(13)d)

2 2(1010) (101)−e)

7 7(6305) x(35)f)

15) Ao efetuar as operações acima, você viu que saber tabuada é importante! Construa então a tabuada da adição e da mul-tiplicação em base 5 e base 7 e efetue operações utilizando estas tabuadas.

Tabela da tabuada da adição - base 5.

+ 0 1 2 3 4

1

2

3

4

Tabela da tabuada da multiplicação – base 7

x 0 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

16) Qual é o número 8(70531) na base 10 ?

17) Escreva o número 183 nas bases 2 , 7 e 9 .

36

18) Considere um sistema posicional na base 12 com algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11a b= = . Escreva o número 39 nesta base. Qual o número na base 10 representa o nú-mero: 12(10 )ab .

19) Quais os números decimais que escritos na base 2 são repre-sentados por:

2(10101)a) ;

2(10001000)b) ;

2(1110011)c) ;

2(1001101)d) .

20) Os sistemas de numeração podem ser caracterizados (até cer-to ponto) por possuir ou não as seguintes propriedades:

Aditivos; a)

Usam um símbolo para o zero; b)

É um sistema multiplicativo;c)

Usa subtração na representação dos números;d)

Sistema posicional (valor relativo).e)

Também os sistemas podem ser caracterizados por:

Número de símbolos;a)

Base;b)

Tipo de símbolos.c)

Dar as características dos sistemas: dos Maias, Japoneses, Chi-neses, Romanos, Babilônicos, Egípcios e Gregos.

37

ResumoNeste capítulo, estudamos um pouco da História dos Números e dos Sistemas de Numeração de diferentes povos. Estudamos os núme-ros decimais em diferentes bases, e mostramos como determinar a representação polinomial de um número numa base dada. Também exploramos os algoritmos das operações de adição, multiplicação e subtração em bases diferentes da decimal.

Situamos neste estudo a problemática propulsora que levou à for-mulação dos sistemas de numeração bem como sua evolução desde a concepção até o estabelecimento do sistema de numeração deci-mal como universal.

Capítulo 2Conjuntos Numéricos – Naturais e Inteiros

41

Capítulo 2Conjuntos Numéricos – Naturais e

Inteiros

Apresentar os conjuntos dos números naturais e in-teiros. Dar uma visão de suas estruturas. Abordar as operações definidas e as propriedades aritméticas, sendo estas, na medida do possível, rigorosamente jus-tificadas.

Neste capítulo, além de compreender definições e propriedades, você vai aprender a demonstrar grande parte das propriedades, justificando cada passagem.

Você verá que, neste capítulo, são poucos os exercícios propostos. Por que será?

Como já vimos no capítulo anterior, a humanidade passou por um percurso longo até chegar à formulação do sistema de nu-meração decimal. No continuar da caminhada até a formulação do conjunto dos números naturais, como conhecemos hoje, ou-tro longo período de explorações, estudos, ensaios, tem lugar. A formulação axiomática do conjunto dos números naturais, isto é, uma formulação estrutural, formal, via os conceitos primitivos, axiomas, operações, propriedades, foi dada por Giuseppe Peano em 1889.

A estrutura elaborada por Peano teve como princípio o fato de que os números naturais podem ser ordenados de forma que cada elemento tem um sucessor.

No texto, a seguir, vamos levar algumas horas para conhecer um pouco sobre números naturais e sobre o conjunto dos inteiros, conteúdos que nossos antepassados levaram séculos para forma-lizar.

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2.1 Conjunto dos números naturaisComo já sabemos, em 1889, Guiseppe Peano formaliza o conjunto dos números naturais. Eles surgiram com a necessidade de conta-gem. Tem por conceitos primitivos: o conceito do zero, de número natural e o conceito da relação “é sucessor de”.

São cinco os axiomas que formam a base da estrutura dos números naturais:

Axioma 1. Zero é um número natural.

Este axioma garante que o conjunto dos naturais é diferente do va-zio, ou seja, o zero pertence ao conjunto dos naturais.

Axioma 2. Se a é um número natural, então a tem um único su-cessor que também é um número natural (Representamos o suces-sor de a por a+).

Axioma 3. Zero não é sucessor de nenhum número natural.

Axioma 4. Se dois números naturais têm sucessores iguais, então eles próprios são iguais. Em uma representação simbólica escreve-mos: a b a b+ += ⇒ = .

Como conseqüência, temos: se a é diferente de b então o sucessor de a é diferente do sucessor de b . Em uma linguagem simbólica:a b a b+ +≠ ⇒ ≠ .

Axioma 5. Se uma coleção S de números naturais contém o zero e também o sucessor de todo elemento de S, então S é o conjunto de todos os naturais.

Este último axioma é chamado axioma da indução completa. Ele nos diz que se temos um conjunto S de números que contém o zero e, para cada um dos elementos deste conjunto, seu sucessor também está no conjunto S, então este conjunto é o próprio conjunto dos nú-meros naturais. Assim, como zero está em S, seu sucessor 1 também está em S; repetindo o argumento segue que 2 (o sucessor de 1) está em S; repetindo o argumento sucessivamente concluímos que:

Um número natural b é sucessor de a, se b = a + 1. Por exemplo: o número 6 é o sucessor de 5, pois 6 = 5 + 1.

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0, 1, 2, 3, 4, , ou seja, todos os naturais estão em S. Deste modo, segue que S é o conjunto de todos os naturais.

Para representar o conjunto dos números naturais utiliza-se o sím-bolo e para representar o zero, o símbolo 0. Como já vimos, para representar o sucessor de um número a , usamos o símbolo a+ .

Pelo raciocínio desenvolvido acima, o axioma 5 nos permite obter um conjunto de números: { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... o qual é chamado conjunto dos números naturais e denotado por . Assim, temos que:

{ }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,= .

Em síntese, a partir dos axiomas, temos as seguintes afirmações:

O zero pertence a 1) . Usando linguagem simbólica: 0∈ .

Se 2) a pertence a então o sucessor de ,a a+ , pertence a . Em linguagem simbólica: a a+∈ ⇒ ∈ .

Para todo número natural 3) a, o sucessor de a é diferente de zero. Em linguagem simbólica: ( ) 0a a+∀ ∈ ≠ .

Sejam 4) a e b dois números naturais; se o sucessor de a é igual o sucessor de b então a é igual a b . Na notação simbólica: a b a b+ += ⇒ = .

Se 5) a é um número natural e 0a ≠ , então existe um número natural b tal que a b+= . Isto significa que todo número natu-ral não nulo é sucessor de algum número natural.

Se para um subconjunto S dos números naturais (denotaremos 6) por: S ⊂ ) estão satisfeitas as condições:

O zero pertence a S; i)

Para todo ii) a pertencente a S, o sucessor de a pertence a S; então S é igual a .

Em linguagem simbólica:

(0 ) ( )S a S a S S+∈ ∧ ∀ ∈ ⇒ ∈ ⇒ = .

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Com estes cinco axiomas, podemos estabelecer todos os fatos im-portantes de : operações, propriedades, enfim, toda “estrutura” do conjunto dos naturais, inclusive a relação de ordem “menor ou igual”. Uma propriedade que decorre imediatamente dos axiomas é a seguinte: se um número natural a é diferente de 0, então este número é sucessor de algum número natural. Por exemplo: como 56 é diferente de zero, ele é o sucessor de algum número natural, que sabemos ser o 55. Este fato será utilizado na definição das operações adição e multiplicação.

Agora já conhecemos o conjunto dos números naturais:

{ }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,= . Quando considerarmos o conjun-to dos números naturais sem o elemento zero, isto é, se estivermos tratando de { }0− , indicaremos este conjunto por *

. Assim:{ }* 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,= .

2.1.1 Que operações estão definidas no conjunto dos números naturais?

No conjunto dos números naturais duas operações são definidas: a adição e a multiplicação.

Estas operações são regras, leis, que a cada par de elementos ( , )x y , associa um elemento do conjunto .

Como é definida a adição em ?

A definição formal da adição em é baseada no conceito de suces-sor.

A adição é uma função que leva cada par de números naturais ( , )x y à soma x y+ , ou seja, é a função representada por +, que associa ao elemento ( , )x y de x o elemento x y de+ .

Simbolicamente: :

( , )x y x y+ × →

+

onde , 0

( ) , , 0

x se yx y

x b x b se y e y b+ + +

=+ =

+ = + ≠ = .

x e y são chamados parcelas

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Exemplo: Consideremos o par (3, 2) pertencente a x ; segundo a definição dada, temos:

3 2 (3 1 ) (3 1) (3 0 ) [(3 0) ] (3 ) 4 5+ + + + + + + + ++ = + = + = + = + = = = .

Portanto ao par de números naturais (3, 2) associamos o número 5 . De forma simplificada, representamos por: 3 2 5+ = .

Note que na definição, se y é diferente de zero, estamos usando o fato que ele é o sucessor de um número b (propriedade que decorre dos axiomas).

Como é definida a multiplicação em

?

A multiplicação é definida como uma função que associa cada par ( , )x y de números naturais ao número natural .x y . Ela é uma con-seqüência da adição de parcelas iguais e é definida por:

:( , ) .x y x y⋅ × →

0, 0.

, , 0

se x ex y

b y by y se x e x b+ +

==

= + ≠ =

Exemplo: 2.3 1 .3 1.3 3 0 .3 3 0.3 3 3 0 3 3 6+ += = + = + = + + = + + = .

Propriedades da adição e da multiplicação em

As propriedades aqui apresentadas não serão demonstradas, uma vez que para demonstrá-las precisaríamos da construção formal do conjunto . Vamos considerá-las como axiomas.

Propriedades da adição em

Seja então a adição uma operação que a cada par ( , )x y associa o número x y+ , conforme a definição de “+” dada anteriormente e,

, e x y z números naturais. As seguintes propriedades são válidas:

A1) Propriedade associativa da adição: ( ) ( )x y z x y z+ + = + + .

Você já tentou adicionar mais de dois números ao mesmo tempo?

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Nós adicionamos os números aos pares. A propriedade asso-ciativa além de organizar a operação aos pares, garante que não importa a seqüência que tomamos as parcelas para adi-cionar.

A2) Propriedade comutativa da adição: x y y x+ = + .

Isto é, podemos trocar as posições dos números que quere-mos adicionar e o resultado, no caso a soma, não se altera.

A3) Propriedade do elemento neutro da adição: Existe um ele-mento de que satisfaz 0 0x x x+ = + = .

Isto é: adicionando o zero a um número natural x qualquer, obtemos como soma o próprio valor de x . Por isso diz-se que o zero é elemento neutro da adição em .

Por exemplo: 7 0 7+ = (por definição) e 0 7 7 0+ = + (pela pro-priedade comutativa). Logo: 0 7 7 0 7+ = + = .

A4) Lei do cancelamento da adição: se ,x y e a são naturais, en-tão x a y a+ = + se, e somente se, x y= .

A5) Lei do anulamento: 0x y+ = se e somente se 0x y= = .

Exercício resolvido1) Efetue mentalmente as operações dadas abaixo. Em seguida,

escreva a expressão numérica usada na resolução mental que você realizou.

a) 765 372+

[(700 300) (60 70) (5 2)] 1000 130 7 1130 7 1137+ + + + + = + + = + =

Realizamos uma decomposição dos números:

765 372 700 60 5 300 70 2+ = + + + + +

765 372 700 60 5 300 70 2+ = + + + + + = (propriedade comutativa da adição)

700 300 60 70 5 2= + + + + + = (propriedade associativa da adição)

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[(700 300) (60 70) (5 2)]= + + + + +

[1000 130] 7 1130 7 1137= + + = + = .

b) 89 54+

Podemos usar duas estratégias:

i) 89 50 4 (89 1) 50 3[(89 1) 10] 43 100 43 143

+ + = + + + == + + + = + =

ii) (80 50) (9 4) 130 13 143+ + + = + =

Propriedades aplicadas: comutativa e associativa da adição.

Escolhemos organizações da expressão numérica que consideramos mais convenientes para o processo cognitivo de efetuar as opera-ções.

Exercício proposto1) Efetue mentalmente, depois escreva a expressão numérica uti-

lizada na operação e indique as propriedades manipuladas no processo.

a) 5709 697+

b) 350 528+

c) 9 88+

Quando efetuamos uma operação mental, usamos com muita natu-ralidade as propriedades comutativa e associativa da adição, entre outras. As propriedades são ferramentas que usamos no nosso dia-a-dia e não, somente, componentes da estrutura teórica dos conjun-tos numéricos.

Propriedades da multiplicação em

Sejam , e x y z números naturais, e a multiplicação em , conforme definida anteriormente.

M1) Propriedade comutativa da multiplicação: . .x y y x= .

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M2) Propriedade do elemento neutro da multiplicação: Existe 1∈ tal que .1 1.x x x= = .

Por exemplo: 8.1 1.8 8= = . Qualquer número natural x multi-plicado por 1 tem como produto o próprio número x .

M3) Propriedade associativa da multiplicação: ( . ). .( . )x y z x y z= .

Uma vez que temos definidas as operações adição e multipli-cação, podemos apresentar a propriedade distributiva. Esta envolve duas operações.

M4) Propriedade distributiva (também conhecida por “colocar em evidência”): sejam , e x y z números naturais. Então:

( ).x y z xz yz+ = +a) (chamada distributiva à direita).

.( )x y z xy xz+ = +b) (chamada distributiva à esquerda).

Esta distinção entre distributiva à direita e distributiva à esquerda não é feita em geral. Normalmente tratamos de “propriedade distri-butiva.”

E a subtração e a divisão em ?

A subtração e a divisão não estão definidas como operação em

para quaisquer dois números do conjunto .

Vamos ver mais detalhadamente a seguir.

Para entendermos a subtração precisamos, antes, do conceito da Re-lação de ordem “≤ ” definida em .

2.1.2 Definição da Relação de ordemSejam e a b pertencentes a ; diz-se que a b≤ quando existe um número natural x tal que b a x= + .

Observação: você pode pensar neste x como a quantidade que falta ao número a para atingir b .

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Definição de diferença: Sejam e a b números naturais e a b≤ ; di-zemos que a diferença b a− é o número x tal que b a x= + .

O elemento b é chamado de subtraendo e o elemento a é chamado de minuendo.

Notemos que a diferença b a− somente está definida em se a b≤ .

Isto quer dizer que a relação que associa ao par ( , )a b o elemento( )b a− não é uma função. Portanto a subtração não é uma operação em . Por exemplo: não há como calcular 2 3− no universo dos números naturais.

Também em , definimos a relação “menor”: se e a b são números naturais, a é menor do que b , se, e somente se, existe x diferente de zero, tal que b a x= + .

Simbolicamente: 0a b x< ⇔ ∃ ≠ tal que b a x= + .

E a divisão em ?

Em geral, tratamos a divisão em com tal naturalidade que nem nos damos conta que ela não é definida em .

Nota: Os casos de divisibilidade e o algoritmo da divisão serão vis-tos no capítulo 3.

Vejamos agora as propriedades da relação “≤”.

Propriedades da relação “≤”:

A relação “menor ou igual” satisfaz as seguintes propriedades:

1. Reflexiva: para todo a natural, a a≤ .

Demonstração.

Sabemos que: se a b≤ , existe x pertencente a , tal que b a x= + . Tomemos 0x = , e teremos 0a a= + , isto é a a≤ .

■

50

2. Anti-simétrica: se ,a b são naturais tais que e a b b a≤ ≤ , entãoa b= .

Demonstração.

Hipótese: e a b b a≤ ≤ .

Tese: a b= .

Por hipótese, e a b b a≤ ≤ . Logo existem e x y naturais tais que e a x b b y a+ = + = .

Mas,

0 ( ) ( ) 0 ( )a a b y a x y a x y a a x y= + = + = + + = + + ⇒ + = + + .

Assim, pela lei do cancelamento da adição segue que 0x y+ = , por-tanto, 0x y= = (pela lei do anulamento); então segue que a b= .

■

3. Transitiva: sejam , e a b c números naturais: se e a b b c≤ ≤ então a c≤ .

Demonstração.

Hipótese: e a b b c≤ ≤ .

Tese: a c≤ .

A partir da hipótese, temos que existem x e y naturais tais que: e cb a x b y= + = + .

Logo, ( ) ( )c b y a x y a x y= + = + + = + + . Como e x y são naturais x y z+ = é natural e c a z= + . Portanto (pela definição de ≤), a c≤ .

■

Definição. Uma relação definida num conjunto S satisfazendo as propriedades: Reflexiva, Anti-simétrica e Transitiva, é chamada uma “Relação de ordem em S”.

Acabamos de mostrar que as propriedades Reflexiva, Anti-simétrica e Transitiva são verdadeiras para a relação “menor ou igual”, defi-nida em . Logo a relação “menor ou igual” em é uma relação de ordem em . Além disso, é uma relação de ordem total, o que significa que dados a e b naturais, ou a b b a≤ ≤ .

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2.2 Conjunto dos números inteiros – uma ampliação dos números naturais

Consideramos a adição , ,a x b a x e b+ = naturais. Em particular, consideremos: 6 e 1a b= = . Assim 6 1x+ = ou então 1 6x = − . Como 1 6< , a diferença 1 6− não está definida no conjunto dos naturais.

Esta dificuldade encontrada, isto é, a necessidade de se efetuar a subtração para quaisquer dois números naturais, foi um dos fatos que impulsionou o estudo que levou à formalização dos números inteiros.

O que se fez?

Ao conjunto dos números naturais acrescentaram-se todas as “dife-renças” b a− com b menor do que a , formando um novo conjunto. Os elementos deste novo conjunto serão diferenças b a− , com e a b naturais. Observemos as diferenças b a− onde ,a b∈ :

0-0 0-1 0-2 ... 0-a

1-0 1-1 1-2 ... 1-a

2-0 2-1 2-2 ... 2-a

3-0 3-1 3-2 ... 3-a

.....

.....

.....

... .....

b-0 b-1 b-2 ... b-a

.....

.....

.....

... .....

Observe que algumas diferenças se repetem: 1-0; 2-1;... por exemplo. A primeira coluna representa o próprio conjunto e a primeira li-nha gera os opostos dos elementos de , os números negativos. As outras diferenças todas são repetições.

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O conjunto das diferenças: 0 1; 1 2; 2 3; 3 4;− − − − é representado

pelo inteiro 1− (notação inspirada na diferença 0 1− ).

Analogamente, o conjunto das diferenças: 0 2; 1 3; 2 4;− − − é re-presentado por 2− . Assim sucessivamente, para cada seqüência de diferenças, associamos um elemento do conjunto dos inteiros.

Denotamos o novo conjunto por e o representamos por:

{ }, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,= − − − − − .

Geometricamente, representamos o conjunto dos números inteiros por pontos em uma reta; por exemplo:

Como é uma extensão de , o conjunto está contido em .

A representação de como pontos de uma reta facilita a compreen-são das operações adição e subtração em , que veremos a seguir.

Vejamos alguns subconjuntos de , com sua respectiva representa-ção, os quais são destacados em diferentes situações de aprendiza-gem:

Inteiros não negativos: • { }0, 1, 2, 3, 4, 5,+ = .

Inteiros positivos: • { } { }* 0 1, 2, 3, 4, 5,+ += − = .

Inteiros não positivos: • { }0, 1, 2, 3, 4, 5,− = − − − − − .

Inteiros negativos: • { } { }* 0 1, 2, 3, 4, 5,− −= − = − − − − − .

2.2.1 Operações em Em estão definidas as operações de adição, a multiplicação e a subtração.

Adição:: x

( , )a b a b+ →

+

a b+ é a soma ou total e e a b são as parcelas.

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Apresentaremos, a seguir, as propriedades da adição em ; como fizemos para os naturais, elas serão abordadas como axiomas (isto é, serão aceitas sem demonstração).

A1) Propriedade associativa da adição:

Para todos , e a b c inteiros, temos ( ) ( )a b c a b c+ + = + + . Você alguma vez já refletiu sobre isto? Você somente pode efetuar uma operação de adição com mais de duas parcelas porque existe a propriedade associativa. Ou seja, cada vez que você efetua uma operação de adição com mais de duas parcelas você está usando a propriedade associativa da adição.

Assim, esta propriedade é importante pois permite somar mais de dois números.

Com esta propriedade, também descobrimos que basta sa-bermos somar a um número a inteiro qualquer o número 1 ou 1− , para sermos capazes de resolver qualquer adição. Ve-jamos por exemplo:

a) 3 2 3 (1 1) (3 1) 1 4 1 5+ = + + = + + = + = .

b) 3 ( 2) 3 [( 1) ( 1)] [3 ( 1)] ( 1) 2 ( 1) 1+ − = + − + − = + − + − = + − = .

A2) Propriedade comutativa da adição:

Para todos ,a b pertencentes a temos a b b a+ = + .

Lembre que “juntar” nem sempre é uma operação comutati-va! Você poderia dar um exemplo onde a comutatividade não funciona? Pense, por exemplo, na Química.

A3) Propriedade da Existência do elemento neutro:

Existe um único elemento em , denominado zero e denota-do por 0, tal que 0a a+ = para todo a pertencente a .

A4) Propriedade da Existência do elemento oposto:

Para cada inteiro a, existe um único inteiro b tal que 0a b+ = .

Este número b é chamado “oposto de a ” e denotado por a− .

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Observe que o oposto de a é o único inteiro que satisfaz a equação0a x+ = .

Não confunda a notação a− com o “sinal de menos”. Poderíamos denotar o oposto por qualquer outro símbolo, por exemplo, *a . A notação a− é usada por ser mais conveniente.

Geometricamente, o oposto de um número inteiro a é aquele que, na reta, ocupa posição simétrica em relação ao zero.

a e seu oposto estão à mesma distância do zero, em sentidos opos-tos.

Exemplo: O oposto de 3 é 3− e vice versa.

Multiplicação em

A multiplicação em deriva da adição em (soma de parcelas iguais).

Vejamos por exemplo: 4 4 4 3x4+ + =

2 2 2 2 2 5x2+ + + + = .

Definimos a multiplicação em pela função:

: x( , ) .a b a b⋅ →

onde .a b é o produto e a e b são os fatores.

Propriedades da multiplicação

M1) Propriedade associativa da multiplicação:

Para todos , e a b c inteiros temos ( . ). .( . )a b c a b c= .

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Com esta propriedade, podemos multiplicar mais de dois números. Ela é útil também para a notação de potências, que é um caso de multiplicação de fatores iguais.

Por exemplo: 53.3.3.3.3 3= .

M2) Propriedade comutativa da multiplicação:

Para todos ,a b inteiros, . .a b b a= .

M3) Propriedade do elemento neutro da multiplicação:

Existe um único elemento em , denotado por 1, tal que 1.a a= para todo a inteiro.

D) Propriedade distributiva:

Para todos , e a b c inteiros, temos:

1) .( ) . .a b c a b a c+ = + ; (distributiva a direita).

2) ( ). . .b c a b a c a+ = + ; (distributiva a esquerda).

Como já foi visto em , esta propriedade é também conheci-da como “colocar em evidência”. Por exemplo:

22.10 5.10 10.(2.10 5)+ = + .

CM) Propriedade do cancelamento da multiplicação:

Para todos , e a b c inteiros, com 0c ≠ , temos que,

se . . então a c b c a b= = .

Vamos estudar, agora, outras propriedades importantes em . Te-nha sempre em mente que todas estas propriedades das operações nos conjuntos dos números naturais e inteiros serão úteis nos próxi-mos capítulos: elas constituem a “caixa de ferramentas” necessária para a construção do conceito de divisibilidade do capítulo 3 e todas as suas conseqüências.

Todas as outras propriedades das operações em derivam destas, isto é, todas as outras propriedades podem ser provadas a partir das propriedades A1, A2, A3, A4, M1, M2, M3, D e CM, como será demonstrado mais adiante.

56

P1) Lei do cancelamento da adição: Para todos inteiros , e a b c , se então a c b c a b+ = + = .

Demonstração.

Hipótese: , e a b c são números inteiros e a c b c+ = + .

Tese: a b= .

Sejam , e a b c inteiros e a a c b c+ = + . Como c pertence a , exis-te o oposto de c , ou seja, existe o número inteiro c− . Somando o oposto de c aos dois membros da igualdade a c b c+ = + , obtemos:

( ) ( ) ( ) ( )a c c b c c+ + − = + + − ,

Usando a propriedade associativa A1, obtemos

[ ( )] [ ( )]a c c b c c+ + − = + + − ;

como ( ) 0c c+ − = (pela condição do oposto), temos 0 0a b+ = + e pela propriedade do elemento neutro (A3), segue que a b= .

■

P2) Para todo inteiro a, tem-se .0 0. 0a a= = .

Demonstração.

Hipótese: a é um número inteiro qualquer.

Tese: .0 0. 0a a= = .

De fato: seja a um número inteiro. Pela propriedade do elemento neutro da adição temos que:

0 .0 .0 .(0 0)a a a+ = = + ,

Mas pela propriedade distributiva, .(0 0) .0 .0a a a+ = + . Logo,

0 .0 .0 .(0 0) .0 .0a a a a a+ = = + = + .

Agora, aplicando a propriedade do cancelamento da adição temos:0 .0a= . De modo análogo prova-se que 0. 0a = .

■

P3) Para todo inteiro a , tem-se ( 1).a a− = − .

Demonstração.

Hipótese: a é um número inteiro qualquer.

57

Tese: ( 1).a a− = − .

Seja a um número inteiro. Sabemos que o oposto de a é o único in-teiro que satisfaz a equação 0a x+ = . Como 0. 0a = (por P2), segue que

0 0. [1 ( 1)]. 1. ( 1). ( 1).a a a a a a= = + − = + − = + − ,

Conseqüentemente, o oposto de é ( 1).a a− , ou seja ( 1).a a− = − .

■

P4) Para todos ,a b inteiros, se . 0a b = então 0a = ou 0b = .

Demonstração.

Para provar um “ou” numa proposição do tipo ( )Se p então q ou r , supomos que q não ocorra (negamos q) e concluímos que r ocorre.

Hipótese: ,a b inteiros e . 0a b = .

Tese: 0 ou 0a b= = .

Sejam a eb inteiros e . 0a b = (hipótese). Então, por P2, temos. .0 e . .0a b a a b b= = .

Se 0, . .0a e a b a≠ = , pela lei do cancelamento da multiplicação, te-mos 0b = .

Se 0, . 0b e a b≠ = , então . 0.a b b= e pela lei do cancelamento da multiplicação, 0a = .

Logo, sempre que um fator for não nulo, o outro será, necessaria-mente, nulo.

■

Subtração em

Dados a e b pertencentes a , definimos a diferença a b− por

( )a b a b− = + − .

Assim, a subtração em é uma função que associa cada par ( , )a b ao número ( )a b+ − , ou seja:

: x

( , ) ( )a b a b− →

+ −

A subtração não é associativa, nem comutativa, nem tem elemento neutro.

Note que “subtrair” é “somar o oposto”.

58

2.2.2 Proposições em Os resultados a seguir, que chamaremos “proposições”, decorrem das operações e das propriedades já demonstradas.

Proposição 1. Para todos ,a b inteiros tem-se que ( )a b b a− + = .

Demonstração.

Hipótese: ,a b são números inteiros

Tese: ( )a b b a− + = .

Sejam a e b inteiros. Pela definição de subtração temos que

( ) [ ( )]a b b a b b− + = + − + .

Mas [ ( )] [( ) ]a b b a b b+ − + = + − + pela propriedade associativa da adição; assim, [( ) ] 0a b b a a+ − + = + = (propriedade do oposto e propriedade do elemento neutro da adição). Logo ( )a b b a− + = .

■

Proposição 2. O oposto da soma de dois inteiros é igual à soma dos opostos dos dois inteiros. Ou seja, se a e b são números inteiros,

( ) ( ) ( )a b a b− + = − + − .

Demonstração.

Hipótese: a e b são números inteiros.

Tese: ( ) ( ) ( )a b a b− + = − + − .

De fato, usando propriedades já conhecidas temos que:

( ) ( 1).( ) ( 1). ( 1). ( ) ( )a b a b a b a b− + = − + = − + − = − + − .

(na primeira igualdade usamos P3, na segunda igualdade usamos a propriedade distributiva e, na terceira, usamos novamente P3).

■

Proposição 3. O oposto do produto de dois números inteiros é igual a um dos números multiplicado pelo oposto do outro. Ou seja:

( . ) ( ). .( )a b a b a b− = − = − .

Para provar uma igualdade, uma estratégia é sair de um membro da igualdade e chegar ao outro membro, por meio de deduções lógicas e fazendo uso de resultados teóricos. Aplicaremos esta estratégia nesta demonstração.

59

Demonstração.

Mostremos que ( ). ( . )a b a b− = − . De fato,

( ). [( 1). ]. ( 1).( . ) ( )a b a b a b ab− = − = − = − .

Na primeira e terceira igualdades usamos P3 e, na segunda igualdade, usamos a propriedade associativa da multiplicação.

De forma análoga, prova-se que : .( ) ( . )a b a b− = − .

Assim, temos que: ( ). .( ) ( . )a b a b a b− = − = − . ■

Proposição 4. O oposto do oposto de um número inteiro é o próprio núme-ro ou seja, ( )a a− − = .

Demonstração.

Hipótese: a é um número inteiro.

Tese: ( )a a− − = .

De fato. Seja a um número inteiro. Sabemos que o oposto de a− é o único inteiro x que satisfaz a equação 0a x− + = . Como 0a a− + = , segue que o oposto de a é a− , ou seja, ( )a a− − = .

■

Exemplos: Seja a um número inteiro qualquer.

se • a é maior do que zero, o oposto de ,a a− , é menor do que zero; ou seja: a− é um inteiro negativo.

se • a é menor do que zero, o oposto de ,a a− , é maior do que zero; ou seja: a− é um inteiro positivo.

Vejamos sobre a reta numérica:

se 1) a > 0,

se 2) a < 0,

Faremos a demonstração em duas partes:

primeiramente mostraremos que (-a) b = -(ab) e depois

que a(-b) = -(ab); com isto teremos provado a

igualdade -(ab) = (-a)b = a(-b).

60

Por exemplo: Se 2a = − , temos que 2 2 0− + = . Logo o oposto de 2 2é− , ou seja, ( 2) 2− − = .

Proposição 5. O produto do oposto de a pelo oposto de b é o produto.a b .

Demonstração.

Hipótese: a e b são inteiros, a− é o oposto de a e ( )b− é o oposto de b .

Tese: ( ).( ) .a b a b− − = .

Usando a proposição 3 duas vezes consecutivas temos que:

( ).( ) [ .( )] ( )a b a b ab− − = − − = − − .

Mas, pela proposição 4, ( ) .ab a b− − = . Logo, ( ).( ) .a b a b− − = .

■

Estabelecido P4 como axioma, pode-se provar a “lei do cancelamen-to para a multiplicação em ”. Agora já temos elementos para efeti-var essa demonstração.

Proposição 6. Sejam , e a b c inteiros e 0c ≠ . Se . .a c b c= então a = b.

Demonstração.

Hipótese: , ,a b c inteiros, ac bc= e 0c ≠ , ac bc= .

Tese: a b= .

Sejam , e a b c inteiros tais que 0ac bc e c= ≠ ; queremos provar que a b= . De fato, somando aos dois membros da igualdade ac bc= o termo ( )bc− , temos:

( ) ( )ac bc bc bc+ − = + − .

Como ( ) 0bc bc+ − = , podemos escrever

( ) ( ) 0ac bc bc bc+ − = + − = .

Pela proposição 3, temos que ( ) ( ).bc b c− = − ; substituindo esse resul-tado na igualdade acima e usando a propriedade distributiva obtemos[ ( )] 0a b c+ − = ; como 0c ≠ , segue por P4 que ( ) 0a b+ − = . Então

( )a b b= − − = . Pela proposição 4, a b= .■

61

Proposição 7. O oposto de a b é b a− − , ou seja, ( )a b b a− − = − .

Demonstração.

Hipótese: a e b são números inteiros.

Tese: ( )a b b a− − = − .

De fato, ( ) ( ) [ ( )] [ ( )]a b b a a b b a− + − = + − + + − =

[( ) ] ( ) 0 ( ) ( ) 0a b b a a a a a= + − + + − = + + − = + − = .

Logo, pela propriedade do oposto, segue que o oposto de ( ) ( )a b é b a− − , ou seja,

( )a b b a− − = − .■

Proposição 8. Para todos ,a b e c pertencentes a , .( )a b c ab ac− = − .

Demonstração.

De fato:

.( ) [ ( )] . .( ) ( )a b c a b c a b a c ab ac ab ac− = + − = + − = + − = − .

■

Na primeira igualdade, usamos a definição de subtração, na segun-da igualdade, usamos a propriedade distributiva, na terceira igual-dade, usamos a Proposição 3 e, na quarta igualdade, usamos a de-finição de subtração.

Exercício proposto2) Resolva a equação seguinte, explicando cada passo

45 3 7x x+ = − .

2.2.3 Relação de ordem em Vamos retomar os subconjuntos de :

{ }0,1,2,3,4,5,+ = • , inteiros não negativos ().

{ }* 0+ += − • , inteiros positivos.

62

{ }0, 1, 2, 3, 4, 5,− = − − − − − • , inteiros não positivos.

{ }* 0− −= − • , inteiros negativos.

Relação de ordem “menor ou igual” em

Definição. Dados a e b inteiros, dizemos que “ a é menor ou igual a b ”, se e somente se ( )b a− pertence a + .

Em linguagem simbólica escrevemos:

( )a b b a +≤ ⇔ − ∈ .

Observação 1. Pode-se ler também: “b é maior ou igual a a ” e deno-ta-se por b a≥ .

Habitualmente usamos a expressão “menor ou igual a” mas a ex-pressão gramaticamente correta seria “menor do que ou igual a”.

Observação 2. “ a é menor ou igual a b ”, se e somente se existe x +∈ tal que b a x= + .

De fato, tomemos ( )x b a += − ∈ . Então,

( ) [ ( )] [ ( )] 0 0a x a b a a b a b a a b+ = + − = + + − = + + − = + = b .

Reciprocamente, se existe x +∈ tal que b a x= + , teremos que( )x b a += − ∈ . Por definição, teremos a b≤ .

Propriedades da relação “≤” em

Sejam ,a b e c∈ .

O1) Propriedade Reflexiva: Para todo a∈ tem-se a a≤ .

Demonstração.

Hipótese: a∈ .

Tese: a a≤ .

De fato, 0a a a a+− = ∈ ⇔ ≤ .■

63

O2) Propriedade anti-simétrica: Para todos , ,a b se a b e b a então a b∈ ≤ ≤ = .

Demonstração.

Hipótese: , ,a b a b e b a∈ ≤ ≤ .

Tese: a b= .

Por hipótese, temos que:

i) a b b a +≤ ⇔ − ∈

ii) b a a b +≤ ⇔ − ∈

Sabemos que ( ) ( ) 0a b a b− − + − = (Proposição 7) e que a b− e seu oposto estão em + (hipótese). Pela lei do anulamento isto só acon-tece se 0a b− = , donde (pela definição de subtração) ( ) 0a b+ − = . Somando b em ambos os membros da igualdade temos que

( ) 0a b b b+ − + = + e, aplicando as propriedades do elemento neutro da adição e do elemento oposto, obtemos 0a b+ = . Portanto: a b= .

■

O3) Propriedade transitiva: Para todos , ,a b e c se a b e b c então a c∈ ≤ ≤ ≤ .

Demonstração.

Hipótese: , ;a b e c a b e b c∈ ≤ ≤ .

Tese: a c≤ .

De fato: Por hipótese:

a b b a +≤ ⇔ − ∈

b c c b +≤ ⇔ − ∈ .

Logo: ( ) ( )b a c b +− + − ∈ , portanto:

( ) [ ( )] [ ( )] [( ) ( )]c a c a b b b a c b b a c b +− = − + − = + − + + − = − + − ∈

donde, por definição de “menor ou igual”, temos a c≤ .

■

As propriedades reflexiva, anti-simétrica e transitiva caracterizam a relação “≤” como uma relação de ordem em .

64

Definição. Sejam a e b inteiros. Dizemos que “ a é menor do que b ” ou que “ b é maior do que a ” se e somente se * *a b b a e b a b a+ +< ⇔ − ∈ > ⇔ − ∈ . Em lingua-gem simbólica:

* *a b b a e b a b a+ +< ⇔ − ∈ > ⇔ − ∈ .

Observações importantes: Considerando a um número inteiro, te-mos:

* *

* * *

0 0 0 ( )

0 [ ( )] 0 ( ) ( ) 0

a a a aa a a a

+ +

+ + +

> ⇔ < ⇔ − ∈ ⇔ − − ∈ ⇔

⇔ + − − ∈ ⇔ − − ∈ ⇔ − − ∈ ⇔ − <

1)

Ou seja, *a −− ∈

1

0 ( ) 0 0.Por

a a a a< ⇔ = − − < ⇔− >2)

Proposição 9. Sejam ,a b e c números inteiros. Então

i) ,a b a c b c para todo c≤ ⇔ + ≤ + ∈

ii) 0a b e c então ac bc≤ > ≤

iii) 0a b e c então bc ac≤ ≤ ≤ .

Demonstração de (i).

Por hipótese, a b b a +≤ ⇔ − ∈ . Agora notemos que:

( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )]( ) 0 ( )

b c a c b c a c b c a c b a c cb a b a +

+ − + = + + − + = + + − + − = + − + + − == − + = − ∈

Assim, b c a c+ ≥ + .

Reciprocamente se ( ) ( )b c a c ++ − + ∈ e como( ) ( )b c a c b a+ − + = − , temos que ( )b a +− ∈ . Logo a b≤ .

■

Demonstração de (ii).

Por hipótese .0;a b e c então b a e c+ +≤ ≥ − ∈ ∈

Logo, ( ).bc ac b a c +− = − ∈ (pois o produto de dois números natu-rais resulta um número natural) e portanto ac bc≤ .

■

65

Demonstração de (iii).

Por hipótese, se a b então b a +≤ − ∈ . Como 0c ≤ tem-se quec −∈ , c +− ∈

Logo ( ).( ) ( ) ( )b a c b c a c +− − = − − − ∈ . Assim, usando as propriedade convenientes temos: bc ac +− + ∈ , ou seja,

ac bc +− ∈ .

Portanto, bc ac≤ .■

Proposição 10. Sejam a e b números inteiros. ( ) ( )Se a b então b a≤ − ≤ − .

Demonstração.

Sejam a e b inteiros tais que a b≤ ; somando b− em ambos os membros da desigualdade temos:

( ) ( )a b b b+ − ≤ + − .

Assim, ( ) 0a b+ − ≤ . Somando a− em ambos os membros des-ta última desigualdade temos ( ) 0 ( )a a b a− + + − ≤ + − . Como

0, 0 ( )a a e a a− + = + − = − , podemos concluir:

( ) ( )b a− ≤ − .■

Proposição 11. (Regra de sinais) Sejam a e b números inteiros. Então,

0 0 0Se a e b então ab≤ ≤ ≤i)

0 0 0Se a e b então ab≤ ≤ ≥ii)

Demonstração de (i).

0 0Se a e b então a e b− +≤ ≤ ∈ ∈ ; também ( )a +− ∈ .

Logo ( ) ( )a b e ab+ +− ∈ − ∈ . Pela propriedade do elemento neu-tro da adição temos:

0 [ ( )] 0ab ab ++ − = − ∈ . Portanto 0ab ≤ .

■

66

Demonstração de (ii).

0 0 0 0Se a e b então a e b+ +≤ ≤ − ∈ − ∈ ; assim,a e b+ +− ∈ − ∈ . Portanto ( ).( ) .a b e a b+ +− − ∈ ∈ . Logo,

0 .a b≤ .

■

Observação: Se 0 0a e b≥ ≥ , ou seja, se a e b +∈ então a e b per-tencem a ; mas é fechado em relação à multiplicação, isto é, o produto de quaisquer dois números naturais é um número natural. Então 0ab ≥ .

Proposição 12. (Lei da tricotomia) Dado a∈ , uma e somente uma das opções ocorre:

0a >i) ou

0a =ii) ou

0a <iii) (ou exclusivo).

Proposição 13. Sejam ,a b e c números inteiros. Se a b e c d≤ ≤ então a c b d+ ≤ + .

Demonstração. Faça como exercício.

Exercício proposto3) Resolva a inequação seguinte, explicando cada passo:

2 22 3 7x x− ≤ + .

2.2.4 Valor absoluto em Definição. Seja a∈ . Definimos o valor absoluto de a , ou módulo de a , como:

se 0 e- se 0a a

aa a

≤= <

Por exemplo: 17 ( 17), 17 0; 157 157, 157 0pois pois− = − − − < = > .

Observação 1. o valor absoluto de um número inteiro é a distância dele até a origem.

67

Para a e b como acima temos b b e a a= = − .

Observação 2. a b− é a distância de a até b . Exemplos:

3 5 2 2; 8 ( 3) 5 5; 2 ( 1) 3− = − = − − − = − = − − =

Propriedades do valor absoluto

Propriedade 1. 0 a≤ , para todo a∈ ; também 0 0a a= ⇔ = .

Demonstração.

Se 0 a≤ temos que , então 0 a a≤ = . Também, temos que,

0 0 0 0a a ou a a= ⇔ = − = ⇔ = .

Se 0, | | .a a a< = − Pela proposição 9, item (iii), se 0a < então 0a− > . Portanto , | | 0a a= − > .

■

Propriedade 2. Para todo a inteiro, tem-se a a= − .

Demonstração.

Se 0 a≤ temos por definição que a a= ; além disso, 0a− ≤ . Assim, ( )a a a− = − − = . Portanto, a a a= = − .

Se 0a < , temos que 0a a e a= − ≤ − ; portanto, a a− = − . Assim, a a a= − = − .

■

Propriedade 3. Para todo a inteiro tem-se a a a− ≤ ≤ .

Demonstração.

Se 0 a≤ então, 0a a= ≥ . Multiplicando por ( 1)− , 0a a= ≥ , ob-temos que

68

0a a− = − ≤ . Portanto, 0a a a a− = − ≤ ≤ = , ou seja, 0a a− ≤ ≤ .

Se 0a < , então , 0 ,a a a e a a= − < − − = . Portanto

0a a a a− = < < − = .■

Propriedade 4. . .a b a b= , para todos a e b inteiros.

Demonstração.

Se 0, 0a b≥ ≥ então 0ab ≥ . Logo .ab ab a b= =

Se 0, 0, , 0a b a a b b e ab≥ ≤ = = − ≤ .

Assim, . .( ) ( )a b a b ab= − = − . Mas,

. ( )a b ab= − . Portanto: . .a b a b= .

Se 0, 0a b≤ ≤ temos . 0a a b b e ab= − = − ≤ .

Também . ( ).( )a b a b ab= − − = .

Mas, ab ab= . Logo .ab a b= .■

Propriedade 5 (Desigualdade triangular). a b a b+ ≤ + , para to-dos a e b inteiros.

Demonstração.

Observemos que e ; logo, pela Proposição 13, a b a b+ ≤ + . De forma análoga, temos que ( ) ( )a b a b− + − ≤ − + − . Agora, consideremos dois casos:

i) Se ( ) 0a b+ < então

( ) ( )a b a b a b a b a b+ = − + = − + − ≤ − + − = + .

A última igualdade segue da Propriedade 2 de valor absoluto.

ii) Se ( ) 0a b+ > então a b a b a b+ = + ≤ + .

Portanto por i) e ii) temos que: a b a b+ ≤ + .■

Agora que já conhecemos as operações e principais propriedades dos conjuntos dos números naturais e inteiros, vamos conhecer mais uma característica de cada um destes conjuntos.

69

2.2.5 Princípio da Boa ordem em O que é este princípio?

O princípio da boa ordem afirma que: “Todo subconjunto não vazio de números naturais possui um menor elemento”.

Ou ainda, se S é um subconjunto não vazio de , então S tem um menor elemento.

Exemplo: Considere os subconjuntos de , ,A B e C⊂ ⊂ ⊂ :

{ }2, 3, 4,A =

{ }8, 12, 16, 20B =

{ }215, 315, 415, 515,C =

O menor elemento de • 2A é .

O menor elemento de • 8B é .

O menor elemento de • 215C é .

Definição. Dizemos que a é o menor elemento de um subconjunto não vazio S de quando para todo b pertencente a S, tem-se que a é menor ou igual a b .

As duas proposições abaixo são conseqüências do Princípio da Boa Ordem (PBO):

Proposição 14. Se 0 1a e a∈ ≤ ≤ , então 0 1a ou a= = .

Demonstração.

Vamos fazer a demonstração por contradição. Suponhamos que exis-ta um número inteiro a diferente de zero e diferente de um nestas condições, isto é, 0 1a≤ ≤ . Então o conjunto { }: 0 1S x x= ∈ < < é não vazio e é um subconjunto de . Pelo PBO existe m S∈ tal que m é o menor elemento de S , ou seja, m x≤ para todo x S∈ . Como m S∈ , temos que 0 1m e m> < .

Multiplicando ambos os membros da última desigualdade por m , te-mos . 1.m m m< , isto é, 20 m m< < . Como 1m < , podemos escrever:

70

20 1m m< < < , e daí 20 1m< < . Mas, se ocorre esta desigualdade, podemos concluir que 2m S∈ .

Assim, 2 2m S e m m∈ < , sendo m o menor elemento de S ! Isto é uma contradição pois m é estritamente menor do que todo elemento de S . Logo, como nossa suposição levou-nos a uma contradição, o fato que havíamos suposto não pode ocorrer. Isto significa que não é possível existir um número inteiro a tal que 0 1a< < . Assim, se ocorrer 0 1a≤ ≤ deve necessariamente ocorrer a igualdade, ou seja,

0 1a ou a= = . ■

Proposição 15. Se *,a b∈ , existe *n∈ tal que na b> .

Exemplo: Note que se a b> , qualquer n serve; o mesmo acontece se a b= . Vejamos um exemplo para a b< .

Se 2 7a e b= = , existe um n = 4 tal que 2.4 8 7= > .

Demonstração da Proposição 15.

Hipótese: *,a b∈ .

Tese: existe *n∈ tal que na b> .

Sejam *a e b∈ ; devemos exibir um número natural n tal quena b> .

De fato: seja { : }S m ma b∗= ∈ > . Note que S ≠ ∅ , pois ( 1)b S+ ∈ desde que

( 1) ( )b a ba a b+ = + > .

Logo, pelo Princípio da Boa Ordem, existe um n S∈ tal que n x≤ para todo x S∈ .

Ou seja, existe *n∈ tal que na b e n m> ≤ para todo *m∈ tal que ma b> .

Conseguimos assim exibir um número n que satisfaz na b> .

■

Note que n não é único.

71

2.2.6 Princípio do Menor Inteiro em (PMI)Para enunciar o PMI em vamos precisar de algumas definições:

Definição. (conjunto limitado inferiormente) Seja A um subcon-junto de números inteiros. Dizemos que A é limitado inferiormente quando existe um inteiro k , tal que k a≤ para todo a pertencente a A .

Definição. (elemento mínimo) Seja 0a um elemento pertencente ao conjunto A . Dizemos que 0a é mínimo de A quando 0a a≤ , para todo a A∈ .

Denotamos o mínimo de A por 0min A a= .

Princípio do Menor Inteiro em : Se ,A A⊂ ≠∅ e A é limitado inferiormente, então A possui mínimo.

Conseqüências:

1a −1) é o maior inteiro menor do que a , para todo a∈ .

Para todos 2) ,a b∈ , se 1a b a≤ ≤ + , então 1b a ou b a= = + .

O primeiro resultado mostra que, no conjunto dos números inteiros, é possível identificar qual o maior número menor que um número dado. Por exemplo, para 78, 1 77a a= − = é o número “mais próxi-mo” de 78 e menor do que ele. Outra conseqüência deste resultado é que, se a e b são inteiros e a b< , então 1a b≤ − . O segundo re-sultado mostra que entre dois inteiros consecutivos não há número inteiro algum; por exemplo, não há inteiros entre 54 e seu sucessor,54 1 55+ = .

Exercícios propostos4) Explique qual propriedade ou definição foi usada em cada

passagem da demonstração abaixo: “Para todos ,a b e c intei-ros tem-se: ( )a b c ab ac− = − ”.

Demonstração.

.( ) .[ ( )] . .( ) . [ ( . )]a b c a b c a b a c a b a c ab ac− = + − = + − = + − = − .

Pode-se provar que o elemento mínimo é único.

72

5) Determine um número natural que, quando multiplicado por 21 , resulta um número formado apenas com algarismos 4 .

6) Seja A um subconjunto limitado inferiormente, e não vazio de . Mostre que o menor elemento de A é único.

7) Mostre que: Para todos ,a b pertencentes a , se 1a b a≤ ≤ + , então b a= ou 1b a= + . (Sugestão: Use a Proposição 14 )

8) Prove a Proposição 13: Se x y e z t então x z y t< < + < + .

9) Prove que se 0 0 0a b e x y então ax by< ≤ < < < < .

ResumoNeste capítulo, apresentamos os conjuntos dos números naturais e dos números inteiros (chamados conjuntos numéricos), bem como as operações de adição e multiplicação em com as respectivas propriedades: associativa, comutativa, elemento neutro, cancela-mento e anulamento.

Também discutimos a subtração e a divisão em . Vimos que a diferença, a b− está definida em quando a b≥ . A divisão em , a b÷ está definida se b é um divisor de a .

Também definimos a Relação “menor ou igual” em . Mostramos que a relação “menor ou igual”, em , define uma relação de ordem, isto é, satisfaz as propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

Estudamos o “Princípio da boa ordem” em : “Todo subconjunto não vazio de números naturais possui um menor elemento”.

Similarmente, em , estudamos as operações de adição, multipli-cação e subtração e suas propriedades; para a adição: associativa, comutativa, elemento neutro e elemento oposto. As propriedades da multiplicação estudadas foram: associativa, comutativa e elemento neutro. Estudamos, também, a propriedade distributiva, relaciona-da às duas operações.

73

Ainda estudamos a relação “menor ou igual”, em . Mostramos que a relação “menor ou igual” em define uma relação de ordem, isto é, satisfaz as propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

Também estudamos a definição de valor absoluto e suas proprieda-des; e outras proposições importantes em , e em . Finalizando estudamos o “Princípio do Menor Inteiro” em : “Se ,A A⊂ ≠∅ e A limitado inferiormente, então A possui elemento mínimo”.

Bibliografia comentadaDOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmética. São Paulo: Atual, 1991.

Este livro é ótima referência como bibliografia básica. Trata do conteúdo estudado neste capítulo com muita clareza e propriedade, além de propor exercícios variados.

Capítulo 3Divisibilidade e Algoritmo da Divisão

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Capítulo 3Divisibilidade e Algoritmo da Divisão

Neste capítulo, desenvolveremos o conceito de divisibi-lidade em e em , apresentando os elementos neces-sários à compreensão e utilização do principal teorema relacionado a este conceito: o Algoritmo da Divisão. Em seguida faremos um estudo das conseqüências deste re-sultado: máximo divisor comum, equações diofantinas, mínimo múltiplo comum e congruências.

Os nossos objetos de estudo, neste capítulo, não são assuntos no-vos; certamente você já conhece divisores e múltiplos em e a fatoração de um número natural em produto de primos (conteú-dos de 5ª e 6ª séries do ensino fundamental). Historicamente, os livros VII, VIII e IX dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.) tratam exatamente de aritmética teórica, apresentando os conceitos de di-visor, múltiplo, número primo, algoritmo para cálculo do máximo divisor comum e outros conceitos e resultados utilizados até hoje. Para os gregos deste período, um número era um segmento, ou seja, um “comprimento”. A definição 5 do livro VII dos Elementos ilustra bem esta idéia quando apresenta o conceito de divisor da seguinte forma:

“Um número é parte de outro, o menor do maior, quando ele mede o maior”.

A palavra “parte” pode ser substituída por “divisor” e “medir o maior” significa que este maior número é igual a um número in-teiro de vezes o menor número. Em outras palavras, é a definição de divisor em .

Neste capítulo, vamos um pouco além de Euclides, estendendo o conceito de divisibilidade ao conjunto dos números inteiros, com todas as conseqüências. O Algoritmo da Divisão será apresentado em e em e demonstrado em . O estudo do máximo divisor

78

comum e do mínimo múltiplo comum será feito inicialmente em e depois será estendido para . As congruências módulo n, uma conseqüência da divisibilidade, serão estudadas em . Sugerimos que você comece o estudo com lápis e papel na mão, e tenha sempre em mente que o que você estudou no capítulo 2 será amplamente utilizado neste capítulo e o que estudará neste capítulo, será ampla-mente utilizado no próximo!

3.1 Divisibilidade em e em Nosso estudo de divisibilidade será no conjunto dos números intei-ros; faremos a comparação com as definições e resultados no con-junto sempre que algum fato diferente ocorrer na transição de para . Começamos com as definições abaixo, apresentadas nos dois conjuntos. Como você pode notar, a definição de divisor em se estende de modo natural aos números inteiros. Caso não seja especificado o conjunto, você deve considerar como universo de trabalho.

Definição 1. Divisibilidade em

Sejam a e b números naturais. Dizemos que a é divisor de b se, e somente se, existe um número natural n tal que .b a n= .

Definição 2. Divisibilidade em

Sejam a e b números inteiros. Dizemos que a é divisor de b se, e somente se, existe um número inteiro n tal que .b a n= .

Exemplos

1) 48 é um divisor de 144 pois existe um número inteiro 3n = tal que 144 48.3= .

2) 7− é um divisor de 35 pois existe um número inteiro 5n = − tal que 35 ( 7).( 5)= − − .

3) 31 é um divisor de 62− pois existe um número inteiro 2n = − tal que 62 31.( 2)− = − .

4) 15− é um divisor de 60− pois existe um número inteiro 4n = tal que 60 ( 15).4− = − .

79

Notação. Para a e b inteiros, “ a é divisor de b” será anotado por a b ; note que o traço é vertical e não indica uma fração. A propósito, ainda não conhecemos frações! Nosso universo de trabalho é o conjunto dos números inteiros. Nos exemplos acima, anotamos:48 144; ( 7) 35; 31 ( 62); ( 15) ( 60)− − − − . Quando a não é divisor de b anotamos a b† ; por exemplo, 4 50† .

Simbolicamente, escrevemos: ( , ) ( | : . )a b a b n b a n∀ ∈ ⇔ ∃ ∈ = .

Sobre o uso de símbolos, note que:

Os símbolos que indicam os quantificadores 1) ∀ (qualquer que seja, para todo, para cada etc.) e ∃ (existe pelo menos um) serão utilizados a partir de agora, assim como a notação das sen-tenças condicionais e bicondicionais. Você pode consultar seu material de primeiro semestre para revisar este assunto. Utili-zaremos também o símbolo ∈ , que representa a pertinência de um elemento a um conjunto; por exemplo, escrevemos x∈ para indicar que x é um número inteiro. Para indicar que um elemento não pertence a um conjunto A escreve-se x∉ ; por exemplo, 5− ∉ .

O uso de símbolos para escrever matemática é bastante conve-2) niente, mas exige um certo cuidado. Primeiro, lembrar sempre que o símbolo representa uma idéia; não é uma espécie de ta-quigrafia para escrever mais rápido! Segundo, lembrar sempre que não podemos “misturar” símbolos e linguagem corrente na mesma sentença; isto vale inclusive para os símbolos dos conjuntos numéricos e . Vamos dar alguns exemplos:

a) ( )( )( 0)a b a b∀ ∈ ∃ ∈ + =

Representa a sentença “Para todo número inteiro a existe um número inteiro b tal que a adição de a com b é igual a zero” (Axioma da existência do oposto em , capítulo 2).

b) ( )( )( )x b b x b∃ ∈ ∀ ∈ + =

Representa a sentença “Existe um número inteiro x tal que para qualquer número inteiro b , a adição de b com x é igual a b .” (Axioma da existência do elemento neutro da adição em , no capítulo 2).

Taquigrafiasf (taqui+grafo1+ia1) Arte de escrever tão depressa como se fala por meio de sinais e abreviaturas; estenografia.Fonte: www2.uol.com.br/

michaelis/

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Observação 1. Quando um inteiro a é divisor de um inteiro b , isto é, existe n∈ tal que .b a n= , o inteiro n também será um divisor de b ; por exemplo, 3 é divisor de 45 pois 45 3.15= e 15 é também um divisor de 45 . Assim, quando identificamos um divisor de um número inteiro, estamos, na verdade, identificando dois deles (que eventualmente podem ser iguais, como no caso36 6.6= ).

Observação 2. Quando a é divisor de b podemos expressar este fato de várias formas:

a é divisor de b pode ser expresso por Exemplo: 15 é divisor de 60

(i) a é divisor de b 15 é divisor de 60

(ii) b é divisível por a 60 é divisível por 15

(iii) a divide b 15 divide 60

(iv) b é múltiplo de a 60 é múltiplo de 15

Em (i) temos a definição 3.1.2. Em (ii) temos a expressão “ser divisí-vel”, utilizada no ensino fundamental: 100 é divisível por 10 (pois100 10.10= ), 46 é divisível por 23 (pois 46 23.2= ).

A expressão em (iii) dispensa o uso do verbo “ser” e usa o verbo “dividir”; é bastante utilizada em livros.

A última linha do quadro (expressão (iv)) usa o conceito de múltiplo de um número inteiro:

“Sejam x e y inteiros; dizemos de x é múltiplo de y se e somente se existe um número inteiro n tal que .x y n= ”. Desta forma, as ex-pressões “ a é divisor de b ” e “b é múltiplo de a ” são sinônimos.

Observação 3. Observe a definição de divisor:

( , ) ( | / . )a b a b n b a n∀ ∈ ⇔ ∃ ∈ = .

O que podemos dizer se a ou b for igual a zero?

se i) 0 0b e a= ≠ , existe 0n = ∈ tal que 0 .0a= e teremos que a é divisor de 0b = . Logo, 0a , para todo 0a ≠ . Por exemplo, 5 é divisor de 0 pois existe 0n = tal que 0 5.0= .

81

se ii) 0 0b e a≠ = , não é possível encontrar n∈ tal que 0.b n= , ou seja, 0.b n≠ , para todo n inteiro. Logo, 0 b† , para todo 0b ≠ . (Lembre que o produto de um número inteiro por zero resulta sempre zero. Resultado do capítulo 2: “Para todo inteiro a tem-se .0 0a = ”).

se iii) 0 0a e b= = , para qualquer número inteiro n teremos 0 .0n= ; assim 0 0 .

Podemos concluir, então, que o único caso em que o zero pode assu-mir o papel de divisor é o caso (iii), quando 0a b= = . Por este moti-vo, a partir de agora, estaremos considerando sempre divisores não nulos, ou seja, quando escrevermos “ a é divisor de b ”, você pode considerar 0a ≠ .

Observação 4. É importante lembrar que quando dizemos a b , não estamos nos referindo à operação divisão, que não está definida em . A divisibilidade é uma relação entre inteiros: dados dois inteirosx e y , ou x é divisor de y ou não é. Você terá oportunidade de estudar com detalhes a teoria e as aplicações das relações na disci-plina de Introdução ao Cálculo.

Propriedades da divisibilidade

As propriedades que apresentamos a seguir são instrumentos essen-ciais para o desenvolvimento dos próximos capítulos. Observe que as demonstrações utilizam os axiomas e propriedades estudados no capítulo 2; procure identificá-los. De modo geral, após o enunciado de cada propriedade, identificaremos “hipótese” e “tese” antes de iniciarmos a demonstração. Não usaremos, ainda, a linguagem sim-bólica, para que você se familiarize com as idéias.

Nas propriedades que seguem, consideraremos a, b e c números in-teiros.

D1) Para todo a inteiro tem-se que a é divisor de a .

Demonstração.

Como .1a a= (Axioma da existência do elemento neutro da multipli-cação em ) para todo a inteiro, temos que a é divisor de a .

■

82

D2) Se a é divisor de b e b é divisor de c então a é divisor de c .

Demonstração.

Hipótese: a é divisor de b e b é divisor de c .

Tese. a é divisor de c .

Para provarmos que a é divisor de c , devemos mostrar que .c a x= , para algum x inteiro; em outras palavras, devemos exibir um inteiro x que satisfaça a igualdade

.c a x= .

Por hipótese, temos que a é divisor de b e b é divisor de c ; isto significa que existem inteiros n e m tais que .b a n= (1) e .c b m= (2). Substituindo (1) em (2) temos

( . ). .( . )c a n m a n m= = .

Desta forma, encontramos um inteiro .x n m= que nos permite es-crever .c a x= ; por definição, temos que a é divisor de c .

■

D3) Se a é divisor de b e b é divisor de a então a b ou a b= = − .

Demonstração.

Hipótese: a é divisor de b e b é divisor de a .

Tese: a b ou a b= = − .

Por hipótese, temos que existem inteiros s ou t tais que .b a s= (1) e .a b t= (2). Substituindo (1) em (2) temos .1 ( . ). .( . )a a s t a s t= = ; como

0a ≠ (Obs.3) podemos cancelá-lo e teremos 1 .s t= .

Mas, quais são os inteiros cujo produto é 1? As únicas possibilidades para s e t são:

1 1s t ou s t= = = = − .

Assim, substituindo s e t nas igualdades (1) e (2) teremosa b ou a b= = − , como queríamos provar.

■

83

D4) Se a é divisor de b então a é divisor de kb , para todo k inteiro.

Demonstração.

Hipótese: a é divisor de b .

Tese: a é divisor de bk , para todo k inteiro.

Por hipótese, temos que existe n inteiro tal que .b a n= ; multipli-cando ambos os membros da igualdade por um inteiro k qualquer obtemos . ( . ). .( . )b k a n k a n k= = , ou seja, a é divisor de bk .

■

Observação 5. A propriedade 4 nos diz que, se um número é divisor de outro, será também divisor de qualquer múltiplo deste outro. Por exemplo, como 3 é divisor de 6 , 3 será divisor de todos os múlti-plos de 6 : 12, 18, 24, 12, 36− − etc. O conjunto dos múltiplos de um número inteiro b pode ser expresso por:

{ } { }/ 0, , 2 , 3 , 4 , , , ( 2) , ( 3) ,bM bk k b b b b b b b= ∈ = − − − .

D5) Se a é divisor de b e a é divisor de c então a é divisor de ( )b c+ e a é divisor de ( )b c− .

Demonstração.

Hipótese: a b e a c .

Tese: ( ) ( )a b c e a b c+ − .

Provaremos que a é divisor de ( )b c+ ; faça a prova de ( )a b c− como exercício.

Por hipótese, temos que existem inteiros m e n tais que . .b a n e c a m= = ; somando membro a membro as igualdades, obte-

mos: . . .( )b c a n a m a n m+ = + = + . Logo, a é divisor de ( )b c+ .

■

D6) Se a é divisor de ( )b c+ e a é divisor de b então a é divisor de c .

Demonstração.

Hipótese: a é divisor de ( )b c+ e a é divisor de b .

Tese: a é divisor de c .

84

Por hipótese, temos que existem x e y inteiros tais que . .b c a x e b a y+ = = . Substituindo o valor de b na primeira igual-

dade obtemos: ( . ) .

. .( )

a y c a xc a x a yc a x y

+ == −= −

Logo, temos que a é divisor de c .

■

D7) Se a é divisor de b e 0b ≠ então a b≤ .

Demonstração.

Hipótese: a é divisor de b e 0b ≠ .

Tese: a b≤ .

Por hipótese, existe um inteiro n tal que .b a n= , e 0b ≠ . Então . .b a n a n= = .

Como . 0a n ≠ e n é um inteiro positivo, teremos que .b a n a= ≥ , como queríamos provar.

■

Exercícios resolvidosUm número divisível por 1) 2 é chamado um número par. Mos-tre que a soma e o produto de dois números pares é também um número par.

Resolução. Sejam x e y números pares, ou seja, ambos são divisíveis por 2 . Pela definição de divisibilidade, existem inteiros n e m tais que 2. 2.x n e y m= = . Observemos a soma e o produto de x e y :

2. 2. 2.( )x y n m n m+ = + = + é divisível por 2 e

. (2. ).(2. ) 2.(2. . )x y n m n m= = é também divisível por 2 .

Logo, a soma e o produto de dois números pares é também um nú-mero par.

(Identifique, na resolução anterior, os resultados do capítulo 2 que foram utilizados na resolução!)

85

Mostre que, se um número 2) n é divisível por 15 , então ele tam-bém é divisível por 5 .

Resolução. Se n é divisível por 15 , então existe um inteiro k tal que 15.n k= .

Como 15 3.5= , podemos escrever (3.5). (5.3). 5.(3. )n k k k= = = que é divisível por 5 .

Exercícios propostosSe um número inteiro é divisor de um produto, podemos afir-1) mar que ele é também divisor dos fatores? Justifique.

Se um número inteiro é divisor de uma soma, podemos afir-2) mar que ele é também divisor das parcelas? Justifique.

3.2 Algoritmo da Divisão em e em O Algoritmo da Divisão (também conhecido como algoritmo de Eu-clides) aparece nos Elementos de Euclides (c.300 a.C.) como um teore-ma. Ele é um velho conhecido até das crianças: corresponde à nossa conhecida “conta de dividir”, que aprendemos nas séries iniciais do ensino fundamental, ainda no universo dos números naturais. Por exemplo, a divisão de 182 por 12 :

1821262 152

Vamos recordar a terminologia: 182 é o dividendo ; 12 é o divisor; 15 é o quociente e 2 é o resto. Sabemos também que:

é possível verificar se a conta está correta verificando se ocorre 1) a igualdade:

dividendo = (divisor).(quociente) + resto

Em nosso exemplo, 182 12.15 2= + .

o resto deve ser sempre 2) menor do que o divisor; se o resto for maior, ou estamos errando na subtração, ou o quociente é maior. Diferente dos algoritmos da multiplicação e adição, o

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algoritmo da divisão exige que se faça uma estimativa do quo-ciente: quantos “12” cabem em 182?

Teorema 1. Algoritmo da Divisão em

Sejam a e b números naturais com b ≠ 0; então existe um úni-co par de números naturais q e r de modo que a = b . q + r, com 0 ≤ r < b.

Observação 6. O teorema 1 nos garante que dados a e b (com b dife-rente de 0) é sempre possível encontrar números q e r satisfazendo a condição .a b q r= + , com 0 r b≤ < .

Vejamos alguns exemplos:

Se 1) 7 4a e b= = , existem 1 3q e r= = tais que 7 4.1 3 3 4e= + < .

Se 2) 5 13a e b= = , procuramos q e r tais que 5 13.q r= + ; como q e r são naturais, devemos ter 0 5 13q e r= = < , ou seja, 5 13.0 5= + .

Se 3) 0 17a e b= = , para que se tenha 0 17.q r= + , devemos ter necessariamente 0q r= = .

Observação 7. A idéia central do Algoritmo da Divisão é que, dados dois números a e b (com 0b ≠ ), temos somente duas possibilida-des: a é múltiplo de b ou a está entre dois múltiplos de b. Ou seja:

. . .( 1)a b q ou b q a b q= < < + . Veja na reta:

Sabendo disso, para encontrar o quociente devemos nos fazer a se-guinte pergunta: qual o múltiplo de b mais próximo de a e menor do que a ? Vejamos alguns exemplos:

para 1) 43 5a e b= =

Qual o múltiplo de 5 mais próximo de 43 e menor do que 43?

87

Este múltiplo é 40 5.8= e “faltam” 3 unidades para “chegar” ao 43 . Temos então 8 3q e r= = , ou seja, 43 5.8 3= + .

para 2) 114, 7a b= = .

Qual o múltiplo de 7 mais próximo de 114 e menor do que 114? Neste ponto você sugere: faça a conta!!

114 744 162

A conta, como a conhecemos, é o Algoritmo da divisão repetido vá-rias vezes. Observe que ao fazermos “11 dividido por 7 ” no primei-ro passo da conta, já estamos utilizando o Algoritmo da divisão e, na verdade, separar o 11 é uma maneira mais rápida de estimar o quociente, a partir da centena 110 . Veja a conta na horizontal, com o Algoritmo da divisão utilizado várias vezes:

11 7.1 4= + .

Como estamos estimando para centena, multiplicamos ambos os membros por 10:

11.10 (7.1 4).10110 7.10 40

= += +

Como queremos 114 , somamos 4 a ambos os membros:

110 4 7.10 40 4114 7.10 44

+ = + += +

Aplicando o AD para 44 e 7 , obtemos 44 7.6 2= + ; substituindo, temos:

114 7.10 7.6 2114 7.(10 6) 2114 7.16 2

= + += + += +

Vemos, assim, que o múltiplo de 7 mais próximo de 114 é 7.16 e está 2 unidades à esquerda de 114 : 16 2q e r= = . Concluímos, en-tão, que o “procedimento” da conta de dividir em é o Algoritmo da divisão aplicado repetidas vezes, aliado às propriedades das ope-rações de adição e multiplicação em .

.

.

.

88

Se pensarmos no Algoritmo da divisão como uma forma de relacio-nar números, ou seja, dado um par de números a e b , encontrar um par q e r satisfazendo determinadas condições, podemos nos per-guntar: é possível estendermos esta idéia ao conjunto dos números inteiros? A resposta é sim, com uma modificação.

Teorema 2. Algoritmo da Divisão em

Sejam a e b números inteiros com b ≠ 0; então existe um único par de números inteiros q e r de modo que a = b . q + r, com 0 ≤ r < |b|.

A diferença entre o Algoritmo da divisão em e em aparece na condição 0 r b≤ ≤ , indicando que o resto deverá ser sempre um número positivo. A idéia permanece a mesma: encontrar o múltiplo de b mais próximo de a e menor do que ele.

Exemplos

Se 1) 55 4a e b= − = , o múltiplo de 4 mais próximo de 55− e menor do que ele é 4.( 14) 56− = − e a distância entre 55 56e− − é de uma unidade. Assim, o quociente é 14− e o resto é 1: 55 4.( 14) 1− = − + . Veja na reta:

Se 2) 67 5a e b= = − , o múltiplo de 5− mais próximo de 67 e menor do que ele é ( 5).( 13) 65− − = e a distância entre 67 65e é de 2 unidades. Assim teremos o quociente 13q = − e o resto

2; 67 ( 13).( 5) 2r = = − − + .

Note que, mesmo quando o divisor é negativo, permanece a mesma idéia: procurar o múltiplo de 5− mais próximo de 67 e menor do que 67 .

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Se 3) 79 6a e b= − = − , o múltiplo de 6− mais próximo de 79− e menor do que ele é ( 6).14 84− = − e a distância entre 79 84e− − é de 5 unidades. Isto nos dá o quociente 14q = e o resto

5 : 79 ( 6).14 5r = − = − +

Observação 8. Note que o Algoritmo da Divisão em não corres-ponde à “conta de dividir”, exceto quando o resto é zero!

Demonstração do Algoritmo da Divisão em

Faremos a demonstração inicialmente para * ( 0)a e b b+ +∈ ∈ ≠ , ou seja, 0 0a e b≥ > ; em seguida para 0 0a e b< > e por fim para

0b < e a qualquer.

• 1º caso: 0 0a e b≥ >

Devemos mostrar a existência e a unicidade dos números q e r . Faremos separadamente: primeiro demonstraremos a existência e depois a unicidade.

i) Existência

Considere o conjunto { }. 0 /S a b x x= − ≥ ∈ .

Note que S é o conjunto das diferenças .a b x− , construído com va-lores de x que satisfazem . 0 ( , . )a b x ou b x a− ≥ ≤ . Observe também que:

1) S ⊂ , pois os elementos de S são maiores ou iguais a zero.

2) S ≠ ∅ , pois para 0x = a diferença .0a b a− = é um elemento do conjunto S , uma vez que .0 0b a= ≤ pois a +∈ .

Pelo Princípio da Boa Ordenação em podemos concluir que S possui um menor elemento r , satisfazendo:

i) r S∈

ii) r s≤ , para todo s S∈

Este menor elemento é o número r (o resto) que estamos procu-

“Todo subconjunto não vazio de números naturais

possui um menor elemento”

90

rando. De fato, como r S∈ , este elemento r é uma “diferença”, ou seja, existe um q∈ tal que . 0r a b q= − ≥ . Isto significa que

. 0a b q r e r= + ≥ . Ainda resta provar que r b< . (Note que elimina-mos o módulo pois *b +∈ ).

Para provar este fato, vamos supor (por contradição) que r b≥ . A que isto nos leva? Observe o que acontece quando fazemos uma diferença com o sucessor de , 1q q + :

.( 1) . ( . ) 0a b q a b q b a b q b r b− + = − − = − − = − ≥ ,

pois estamos supondo r b≥ . Então

.( 1) .( 1)a b q S e a b q r b r− + ∈ − + = − < .

Isto é uma contradição pois r é o menor elemento do conjunto S ; a suposição r b≥ nos levou a um elemento do conjunto S .

Este elemento de S é a diferença .( 1)a b q− + , que é menor do que r , quando r é o menor dos elementos de S !

Logo, não pode ocorrer r b≥ , o que significa que 0 r b≤ < . Assim, provamos a existência de q e r inteiros tais que . , 0a b q r e r b= + ≤ < .

ii) Unicidade

Provamos que dados *,a b +∈ , existem ,q r +∈ tais que .a b q r= + , com 0 r b≤ < .

Para provar que q e r são únicos, suponhamos que existam s e t inteiros, *,s t +∈ , tais que .a b s t= + , com 0 t b≤ < . A unicidade será provada se mostrarmos que q s e r t= = .

Temos então duas igualdades:

.a b q r= + , com 0 .r b e a b s t≤ < = + , com 0 t b≤ <

e podemos escrever

. .

. .

( )

b q r b s t

b q b s t r

b q s t r

+ = +

− = −

− = −

De modo geral, para provarmos que um número que satisfaz uma condição é único, supomos que existe outro número satisfazendo a condição e provamos que eles devem ser iguais.

.

91

Esta última igualdade nos mostra que ( )b t r− ; se 0t r− ≥ , pela propriedade D7, temos b t r< − . Como 0 0r b e t b≤ < ≤ < , con-cluímos que a distância entre t e r é menor do que b , ou seja, 0 t r b≤ − < . Assim, se 0t r− ≠ , temos duas conclusões contraditó-rias: b t r e t r b< − − < . Isto significa que não pode ocorrer 0t r− ≠ , ou seja, devemos ter 0,t r ou t r− = = . Substituindo esta informação na igualdade .( )b q s t r− = − , obtemos .( ) 0b q s− = . Como 0b ≠ por hipótese, devemos ter 0q s− = , ou seja, q s= .

Provamos assim que, dados *a e b+ +∈ ∈ , só existe um par de nú-meros q e r satisfazendo as condições: . 0a b q r e r b= + ≤ < .

• 2º caso: 0 0a e b< >

Sabemos que 0a < ; logo, pelo 1º caso, temos que existem *' 'q e r +∈ tais que . ' 'a b q r= + , com 0 'r b≤ < . Vamos analisar os casos

' 0 ' 0r e r= > :

a) Se ' 0r = , teremos . 'a b q= ; como a a= − , podemos escre-ver . 'a b q− = e conseqüentemente .( ')a b q= − . Logo, existem

' 0q q e r= − = tal que .a b q r= + .

b) Se ' 0r > , teremos

( . ' ') .( ') 'a a b q r b q r= − = − + = − − =

.( ') ' .( ' 1) ( ').b q b b r b q b r= − + − − = − − + −

Observando a igualdade acima, vemos que se .( ' 1) ( ')a b q b r= − − + − (Note que como 'r b< tem-se ' 0b r− > ) encontramos

' 1 'q q e r b r= − − = − , tais que .a b q r= + e 0 r b≤ < .

• 3º caso: 0b < e a qualquer

Para quaisquer a e b , existem ', 'q r ∈ tais que . ' 'a b q r= + , com 0 'r b≤ < .

(Lembre que o 1º caso garante a existência de q e r para 0 0a e b≥ > e o 2º caso garante a existência de q e r para 0 0a e b< > .)

Como b b= − , temos: ( ). ' ' .( ') 'a b q r b q r= − + = − + . Logo, existem ' 'q q e r r= − = inteiros tais que .a b q r= + , com 0 r b≤ < .

92

Deixamos como exercício a prova da unicidade nos casos 2 e 3.

Observação 9. Sobre a demonstração do Algoritmo da Divisão.

A demonstração do Algoritmo da Divisão nos dá a receita de como encontrar q e r satisfazendo as condições .a b q r= + , com 0 r b≤ < . Vamos seguir os passos da demonstração com um exemplo numé-rico. Sejam 57 12a e b= = (Note que esta é a situação do 1º caso da demonstração). Construímos o conjunto S para 57 12a e b= = ; os elementos do conjunto S são as diferenças 57 12x− que são maiores ou iguais a zero, quando x percorre o conjunto dos números in-teiros. Assim, S pode ser escrito como { }57 12 0 /S x x= − ≥ ∈ . Os valores de x que tornam a diferença 57 12x− maior ou igual a zero são 1, 2, 3 4x ou= ; assim, o conjunto S será dado por

{ } { }(57 12.1), (57 12.2), (57 12.3), (57 12.4) 45, 33, 21, 12 .S = − − − − = 9}.

O resto r será o menor elemento do conjunto S , ou seja, 9r = . A diferença que resulta 9 9 57 12.4r é= = − , ou ainda 57 12.4 9= + . En-contramos assim 4 9q e r= = , satisfazendo as condições. Veja que, ao tomar r como o mínimo do conjunto S , estamos procurando “o múltiplo de 12 mais próximo de 57 e menor do que ele”, situação já ilustrada nos exemplos iniciais.

Para valores negativos de a ou b (ou ambos), o procedimento tam-bém está descrito na demonstração. Vejamos alguns exemplos:

• 2º caso: Para 50 6a e b= − = usamos o procedimento do 1º caso para 50 50 6e− = : existem ' 8 ' 2q e r= = tais que 50 6.8 2.= + Fazendo ( ') 1 ( 8) 1 9q q= − − = − − = − e ' 6 2 4r b r= − = − = , ob-temos 50 6.( 9) 4− = − + , com 0 6r≤ < .

• 3º caso: Para 76 13a e b= = − usamos o procedimento do 1º caso para 76 13 13e − = e encontramos ' 5 ' 11q e r= = tais que 76 13.5 11= + . Fazendo ' 5 ' 11q q e r r= − = − = = , obtemos 76 ( 13).( 5) 11= − − + . O quociente é 5− e o resto é 11.

No caso de a e b negativos, por exemplo, 83 11a e b= − = − , fazemos o procedimento para ( 83) 11 11a e b= − = − = e en-contramos ' 8 ' 5q e r= − = tais que 83 11.( 8) 5− = − + . Fazendo

' 8 ' 5q q e r r= − = = = obtemos 83 ( 11).8 5− = − + . O quociente é 8 e o resto é 5 .

93

Observação 10. Já comentamos que o Algoritmo da Divisão em não corresponde à “conta de dividir”, como ocorria em ; queremos dizer com isso que o Algoritmo da Divisão não se configura como uma operação em , mas como uma relação entre inteiros. Por este motivo, o Algoritmo da Divisão é conhecido como “divisão euclidia-na”: encontrar quociente e resto da divisão euclidiana de dois intei-ros a e b corresponde a encontrar q e r inteiros tais que .a b q r= + , com 0 r b≤ < .

3.3 Consequências do Algoritmo da Divisão

Quando para dois inteiros 1) a e b temos quociente q e resto zero, ou seja, . 0a b q= + , concluímos que b a . Assim, podemos dizer que b a quando o resto da divisão euclidiana de a por b é zero.

A limitação do resto pelo módulo do divisor na divisão eucli-2) diana nos fornece uma espécie de “classificação” dos inteiros, em relação a um divisor. Vejamos alguns exemplos:

a) para o divisor 2b = , os possíveis restos da divisão euclidia-na são 0 1ou , uma vez que para qualquer inteiro a tem-se

2. 0 2a q r e r= + ≤ < . Isto significa que para qualquer intei-ro a , temos duas possibilidades, e somente uma das duas ocorre: 2. 0 2. 1a q ou a q= + = + . Este fato estabelece duas classes já conhecidas de números inteiros:

os inteiros • pares, da forma 2.a q= .

os inteiros • ímpares, da forma 2. 1a q= + .

b) para o divisor 3b = , os possíveis restos da divisão euclidiana são 0, 1 ou 2, pois para qualquer inteiro a tem-se 3.a q r= + , com 0 3r≤ < . Podemos então estabelecer três classes de in-teiros:

aqueles que na divisão euclidiana por 3 têm resto zero: •a = 3. q + 0, ou seja, são divisíveis por 3.

aqueles que na divisão euclidiana por 3 têm resto 1: •3. 1a q= + .

94

aqueles que na divisão euclidiana por • 3 têm resto 2 : 3. 2a q= + .

Podemos, assim, construir três conjuntos de inteiros, cada um correspondendo a um resto na divisão por 3 :

resto • 0 , conjunto { }, 6, 3, 0, 3, 6, 9,A = − −

resto • 1, conjunto { }, 5, 2, 1, 4, 7, 10,B = − −

resto • 2 , conjunto { }, 4, 1, 2, 5, 8, 11,C = − − .

Note que não há elementos comuns nestes conjuntos: eles são disjuntos, dado qualquer inteiro x , ele pertence a ape-nas um dos três conjuntos ,A B ou C .

c) Generalizando as idéias anteriores, podemos dizer que dado um inteiro 0b ≠ , todo inteiro n pode ser expresso de uma, e somente uma das formas:

.. 1. 2

. ( 1)

n b q oun b q oun b q ou

n b q b

== += +

= + −

Cada expressão depende do resto da divisão euclidiana de n por b ; o conjunto dos possíveis restos será { }0, 1, 2, , 1M b= − , caracteri-zando a segunda parcela de cada expressão.

Exercícios resolvidosDetermine o menor número natural de 3) 4 algarismos diferen-tes que seja divisível por 21 .

Resolução. O menor número natural de 4 algarismos diferentes é 1023 ; aplicando o Algoritmo da Divisão para 1023 21e obtemos 1023 21.48 15= + . Isto significa que o maior múltiplo de 21 que é menor do que 1023 é 21.48 1008= . Veja na reta:

Dois conjuntos são disjuntos quando não possuem elementos comuns.

.

95

Como 1023 é o menor número de quatro algarismos diferentes, deve-mos procurar o menor múltiplo de 21 maior do que 1023 (na reta, o que está mais próximo de 1023 , à sua direita). Como 1008 21.48= , tomamos o próximo múltiplo de 21 , ou seja, 21.49 1029= . Como 1029 tem algarismos diferentes, encontramos nossa resposta. Caso encontrássemos um número com algarismos repetidos, tomaríamos entre os múltiplos maiores do que 1008 , o primeiro múltiplo de 21 que satisfizesse as condições.

Note que conhecido o resto 15 da divisão euclidiana de 1023 por 21 , outra maneira de resolver seria somar 6 (pois 15 6 21+ = ) a 1023 , ou seja, somar o que falta a 1023 para termos o próximo múltiplo de 21 . Veja na reta:

Resposta. O menor número de quatro algarismos diferentes que é múltiplo de 21 é 1029 .

Determine todos os possíveis números naturais que na divisão 4) euclidiana por 7 têm o quociente igual ao dobro do resto.

Resolução. Seja n a representação dos números procurados; o pro-blema nos informa que, ao aplicarmos o Algoritmo da Divisão para

7n e , obtemos q e r tais que 7.n q r= + , com 2. 0 7q r e r= ≤ < . Logo, 7.(2 ) 14. 15.n r r r r r= + = + = , com 0 7r≤ < . Esta última de-sigualdade nos informa que os possíveis valores de r são 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6; para cada um deles vamos encontrar um valor de n , como mostra a tabela:

r 0 1 2 3 4 5 6

n = 15.r 0 15 30 45 60 75 90

Resposta. Os números procurados são 0, 15, 30, 45, 60, 75 90e .

Observação. Você pode verificar se resolveu corretamente o pro-blema fazendo a divisão euclidiana dos valores encontrados por 7 e observando se o quociente é o dobro do resto. Por exemplo, 60 7.8 4, 4 8 2.4r e q= + = = = .

Faça a verificação da resposta do problema

sempre que possível; isto fará com que você possa corrigir eventuais erros,

dando-lhe autonomia para “validar” a resposta.

Torne-se independente do “gabarito”!

96

Quais são os números de dois algarismos que divididos pela 5) soma de seus algarismos resulta quociente 4 e resto zero?

Resolução. Os números de dois algarismos são da forma 10n a b= + , com b variando de 0 9a e a variando de 1 9a . O problema nos informa que 4.( ) 0n a b= + + , ou seja,

10 4 410 ( 4 ) 4 ( )6 33.2. 3.1.2

a b a ba a b b

a ba b

a b

+ = ++ − = + −==

=

Esta igualdade nos fornece uma relação entre os algarismos a e b. Vejamos agora as possibilidades para a e b que vão gerar os números procurados:

a 1 2 3 4 5

2.b a= 2 4 6 810 não é um algarismo!10n a b= + 10.1 2 12+ = 10.2 4 24+ = 10.3 6 36+ = 10.4 8 48+ =

Teste 12 4.(1 2)= + 24 4.(2 4)= + 36 4.(3 6)= + 48 4.(4 8)= +

Resposta. Os números são 12, 24, 36 48e .

Exercícios propostos 3) Determine o maior número natural de 5 algarismos diferentes

que seja divisível por 17 .

4) a) Mostre que a soma e produto de números pares é um núme-ro par.

b) Mostre que a soma de um número par com um número ím-par é um número ímpar.

5) Mostre que um número inteiro formado por três algarismos iguais é sempre múltiplo de 37 .

6) Determine todos os números naturais n tais que na divisão euclidiana de n por 12 o resto excede o quociente em 7 uni-dades.

.

97

3.4 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum

Os conceitos de máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum ocu-pam um papel importante na estrutura do conjunto dos números inteiros e são muito úteis na resolução de problemas. Estas idéias serão generalizadas mais tarde (na disciplina de Álgebra) em outros conjuntos, servindo de base para a construção de novas estruturas algébricas. No Ensino Fundamental, estes conceitos já são estuda-dos; no entanto, são utilizados durante toda vida escolar, uma vez que os conjuntos numéricos e suas propriedades constituem uma ferramenta de trabalho poderosa no estudo de todos os conteúdos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Faremos nosso estudo inicialmente no conjunto dos números naturais, estendendo-o em seguida para o conjunto dos números inteiros.

3.4.1 Máximo divisor comum (mdc)Considere o seguinte problema:

“Um terreno retangular de 52 m por 24 m será cercado. Em toda volta desse cercado serão plantados arbustos igualmente espaçados. Qual o maior espaço possível entre os arbustos?”

Trata-se, aqui, de encontrar um número que divida igualmente as dimensões do terreno, 52 24e , e seja o maior deles. Em outras pa-lavras, encontrar o maior número que seja divisor de 52 24e simul-taneamente. Os divisores de 24 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 24e . Os divi-sores de 52 são 1, 2, 4, 13, 26 52e . Os divisores comuns são 1, 2 e 4. O maior deles é 4 . Logo, podemos dividir as dimensões do terreno por 4 e teremos espaços iguais em toda a volta. Veja o desenho.

98

A resposta do problema é: o maior espaço possível entre os arbustos é 4 m.

O que fizemos foi calcular o máximo divisor comum dos números 24 e 52. Vamos ver a definição formal de máximo divisor comum:

Definição. Sejam a e b números naturais, não nulos simultaneamen-te. Um número natural d é o máximo divisor de a e b se, e somente se, são satisfeitas as condições:

i) d é divisor de a e d é divisor de b;

ii) se k é um divisor de a e k é um divisor de b, então k é divisor de d.

Notação. Quando d é o máximo divisor comum dos números a e b, anotamos ( , )d mdc a b= .

Observação 11. A primeira condição da definição nos informa que para ser o máximo divisor comum dos números a e b, d deve ser um divisor comum; a segunda nos informa que d deve ser o maior deles, ou seja, se existir outro divisor comum de a e b, ele deverá ser também um divisor de d. Como d é um divisor, ele será um número estritamente maior do que zero ( 0d > ).

Exemplos

(36,24) 12mdc =1) pois:divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, , 18 36e12 divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 24e1212 é o máximo divisor comum de 36 24e .

(21,15) 3mdc =2) pois:divisores de 21: 1, , 7 21e3divisores de 15: 1, , 5 15e33 é o máximo divisor comum de 21 15e .

(16,35) 1mdc =3) pois:divisores de 16: , 2, 4, 8 16e1divisores de 35: , 5, 7 35e11 é o máximo divisor comum de 16 35e .

99

Observação 12. Note que a ordem em que os números aparecem não é relevante; assim, ( , ) ( , )mdc a b mdc b a= .

3.4.2 Propriedades do mdc em P1) Se a é um número natural não nulo, então ( ,0)mdc a a= .

Demonstração.

Hipótese: 0a e a∈ ≠ .

Tese: ( ,0)mdc a a= .

Mostremos que o número a satisfaz as duas condições da definição:

i) 0a a e a pois .1 0 .0a a e a= = .

ii) se k é um número natural tal que 0k a e k , então, podemos concluir que k a .

Logo, ( ,0) 0mdc a = a.

■

P2) Sejam a e b números naturais não nulos simultaneamente. Se a b então ( , )mdc a b a= .

Demonstração.

Hipótese: *,a b e a b∈ .

Tese: ( , )mdc a b a= .

Mostremos que a satisfaz as duas condições:

i) a a pois .1a a e a b= por hipótese.

ii) se k é um número natural tal que k a e k b , então podemos concluir que k a .

Logo, ( , )mdc a b a= .

■

100

3.4.3 O Algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc

Como você deve ter percebido pelos exemplos, para encontrar o mdc de dois números, devemos conhecer todos os divisores destes dois números. Isto se torna bastante trabalhoso quando estes números têm 5 ou 6 algarismos... O resultado que apresentaremos a seguir nos ensina como encontrar o mdc sem que seja necessário conhe-cer todos os divisores dos números; este resultado dará origem ao Algoritmo de Euclides (ou método das divisões sucessivas), o mais antigo algoritmo que é usado com eficiência desde o século III a. C. Vamos fazer alguns exemplos antes de apresentarmos o algoritmo de maneira formal:

Exemplo 1. dados os números 72 e 48, temos que (72,48) 24mdc = pois:

divisores de 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, , 36 72e24 .

divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48e24 .

Pelo Algoritmo da Divisão sabemos que 72 1.48 24= + , 1 é o quocien-te e 24 é o resto da divisão. Note que (72,48) 24 (48,24)mdc mdc= = pois 48 é múltiplo de 24 .

Exemplo 2. (32,12) 4mdc = pois:

divisores de 32: 1, 2, , 8, 16 32e4 .

divisores de 12: 1, 2, 3, , 6 12e4 .

Pelo Algoritmo da Divisão, 32 2.12 8= + e teremos (32,12) 4 (12,8)mdc mdc= = , pois:

divisores de 12: 1, 2, 3, , 6 12e4 .

divisores de 8: 1, 2, 8e4 .

Assim, os exemplos nos levam à seguinte pergunta: ( , )mdc a b será sempre igual ao ( , )mdc b r , quando r é o resto da divisão euclidiana de a por b ? A resposta está no resultado a seguir:

Proposição 1. (Algoritmo de Euclides) Sejam a, b, q e r números na-turais com 0b ≠ e . , 0a b q r r b= + ≤ < . Então ( , ) ( , )mdc a b mdc b r= .

101

Demonstração.

Hipótese: , , , , 0 . , 0a b q r b e a b q r r b∈ ≠ = + ≤ < .

Tese: ( , ) ( , )mdc a b mdc b r= .

Seja ( , )d mdc a b= . Mostremos que d satisfaz as duas condições para ser o ( , )mdc b r .

i) Como ( , )d mdc a b= , temos que d b . Por hipótese .a b q r= + e como d a e d b , temos que .d b q (propriedade D4 de divi-sibilidade) e consequentemente, d r (propriedade D6 de divisi-bilidade). Logo, d b e d r .

ii) Seja k um divisor de b e de r. Então .k b q e como k r , conclu-ímos que .k b q r+ (propriedade D5 de divisibilidade), ou seja, k a . Assim, k é um divisor de a e de b. Como ( , )d mdc a b= , k é também um divisor de d.

Logo, ( , ) ( , )mdc a b d mdc b r= = , quando r é o resto da divisão eu-clidiana de a por b .

■

Observação 13. Note que a proposição 1 nos fornece uma “receita” para o cálculo do mdc, uma vez que ela pode ser aplicada repetidas vezes. Note também que, como

( , ) ( , )mdc a b mdc b a= ,

é conveniente tomarmos o maior número como dividendo e o me-nor como divisor. Veja o exemplo:

Exemplos

Calcular 1) (128,82)mdc

•128 1.82 46= + ; logo, (128,82) (82,46)mdc mdc= .

•82 1.46 36= + ; logo, (128,82) (82,46) (46,36)mdc mdc mdc= = .

• 46 1.36 10= + ; logo,(128,82) (82,46) (46,36) (36,10)mdc mdc mdc mdc= = = .

•36 3.10 6= + ; logo, (128,82) (82,46) (46,36)(36,10) (10,6).

mdc mdc mdcmdc mdc

= = == =

102

•10 1.6 4= + ; logo, (128,82) (82,46) (46,36)(36,10) (10,6) (6,4)

mdc mdc mdcmdc mdc mdc

= = == = =

•6 1.4 2= + ; logo, (128,82) (82,46) (46,36)

(36,10) (10,6) (6,4) (4,2)mdc mdc mdc

mdc mdc mdc mdc= = =

= = = =

• 2.2 0a = + ; logo, (128,82) (82,46) (46,36) (36,10)

(10,6) (6,4) (4,2) (2,0) 2mdc mdc mdc mdc

mdc mdc mdc mdc= = = =

= = = = =

(Note que a última igualdade vale pela propriedade 1).

Assim, (128,82) 2mdc = .

Observe que fazemos várias divisões, sempre utilizando o res-to como próximo divisor; encontramos o mdc quando a última divisão for exata, isto é, quando o resto for zero. Podemos reu-nir estas divisões numa tabela:

quociente 1 1 1 3 1 1 2

128 82 46 36 10 6 4 2

resto 46 36 10 6 4 2 0

Assim, (128,82) 2mdc = .

Calcular 2) (53,48)mdc

quociente 1 9 1 1 2

53 48 5 3 2 1

resto 5 3 2 1 0

(53,48) 1mdc = .

Observação 14. Note que este processo das divisões sucessivas não corre o risco de se estender indefinidamente, ou seja, é sempre pos-sível encontrar o mdc de dois números. Isto se deve ao fato do pro-cesso estar vinculado ao algoritmo da divisão, que limita os restos pelo divisor. Como os divisores são os restos, estes diminuem a cada divisão.

.

.

.

103

3.4.4 Máximo divisor comum de vários númerosO mdc de dois números consiste no maior divisor (ou fator) destes dois números; isto nos permite calcular o mdc de vários números. Por exemplo: qual o maior divisor comum dos números 12, 16, 8? Observando os divisores vemos que (12,16,8) 4mdc = . O processo das divisões sucessivas pode ser aplicado também aqui, fazendo

(12,16,8) ( (16,8),12) (8,12) 4mdc mdc mdc mdc= = = .

Em resumo, calculamos o mdc de dois números e, em seguida, cal-culamos o mdc do resultado encontrado e do outro número. Veja mais um exemplo:

Exemplo. Calcular (42,96,58)mdc . Escolhemos dois destes números para começar, 96 42e , por exemplo.

quociente 2 3 2

96 42 12 6

resto 12 6 0

Assim, (96,42) 6mdc = . Agora calculamos o mdc (6, 58)

quociente 9 1 2

58 6 4 2

resto 4 2 0

O (58,6) 2mdc = .

Concluímos então que (42,96,58) (6,58) 2mdc mdc= = .

Formalmente, escrevemos: “Dados a, b e c números naturais, ( , , ) ( ( , ), )mdc a b c mdc mdc a b c= ”.

Exercícios propostos7) Calcule:

a) (2356,234)mdc

b) (123,876,345)mdc

c) (491,34)mdc

104

8) Determine o maior número natural pelo qual se deve dividir os números 160, 198 e 370 para que os restos sejam respectiva-mente 7, 11 e 13.

9) Encontre todas as possibilidades para ( , 5 6)mdc m n + , para n um número natural.

3.4.5 Máximo divisor comum - resultados importantes

Os resultados e a definição que faremos a seguir serão úteis na reso-lução de problemas envolvendo mdc . Algumas demonstrações mais significativas serão feitas para que você se habitue ao uso das defi-nições e das propriedades de divisibilidade. Outras serão apenas comentadas.

Números relativamente primos (ou primos entre si)

Você já observou pelos exemplos que pode ocorrer do mdc de dois (ou mais) números ser igual a 1. Quando isto acontece, dizemos que os números são “relativamente primos”.

Definição. Sejam a e b números naturais; a e b são relativamente primos se e somente se ( , ) 1mdc a b = .

Exemplos

21 e 8 são relativamente primos, pois 1) (21,8) 1mdc = (faça o cál-culo!).

Dois números consecutivos são sempre relativamente primos, 2) como 45 e 46, 123 e 124, etc. Vamos provar este fato generica-mente:

Dois números consecutivos podem ser expressos por 1n e n + . Seja ( , 1)d mdc n n= + .

Então 1d n e d n + . Pela propriedade D6 da divisibilidade, te-mos que 1d . Como o único divisor natural de 1 é o próprio 1, concluímos que 1d = .

Proposição 2. Sejam ,a b e k números naturais. Se ( , )d mdc a b= , então d.k = . ( . , . )d k mdc a k b k− .

105

Comentário. Este resultado (que será muito útil para as próximas proposições) nos garante que multiplicando os números a e b por um número k, seu mdc também fica multiplicado pelo mesmo k; veja alguns exemplos:

a) (21,8) 1mdc = ; (21.15,8.15) 1.15mdc = , ou seja, (315,120) 15mdc = .

b) (12,16) 4mdc = ; (12.10,16.10) 4.10mdc = , ou seja, (120,160) 40mdc = .

Proposição 3. Sejam ,a b e d números naturais com ( , )d mdc a b= . Então os quocientes das divisões de a por d e de b por d são nú-meros relativamente primos.

Demonstração.

Hipótese: , , , ( , )a b d d mdc a b∈ = .

Tese: os quocientes das divisões de a por d e de b por d são números relativamente primos.

Como ( , )d mdc a b= , sabemos que d a e d b . Por definição, existem números naturais x e y tais que . .a d x e b d y= = ; x e y são os quo-cientes das divisões de a por d e de b por d, respectivamente. Deve-mos mostrar que ( , ) 1mdc x y = .

De fato: ( , ) ( . , . )d mdc a b mdc d x d y= = . Pela proposição 2, temos que ( . , . ) . ( , )d mdc d x d y d mdc x y= = . Logo, .1 . ( , )d d mdc x y= . Como d é

diferente de zero (lembre que 0d > ), podemos cancelá-lo (lembre da lei do cancelamento em ) e teremos ( , ) 1mdc x y = , como quería-mos demonstrar.

■

Exercício resolvido6) Encontre todos os possíveis números naturais cujo produto é

4800 e cujo mdc é 20 .

Resolução: Denotemos os números procurados por a e b . O proble-ma nos diz que

i) ( , ) 20mdc a b = e

ii) . 4800a b = .

De (i), sabemos que 20 20a e b , ou seja, existem x e y naturais tais que 20. 20.a x e b y= = . Além disso, sabemos que ( , ) 1mdc x y = .

106

Substituindo a e b em (ii), temos:

. 4800(20. ).(20. ) 4800400. . 4800400. . 400.12

a bx yx yx y

==

==

Pela lei do cancelamento, teremos . 12x y = . Se determinarmos x e y podemos determinar a e b, uma vez que 20. 20.a x e b y= = e 20. 20.a x e b y= = . Assim, estamos procurando números x e y que satisfaçam . 12 ( , ) 1x y e mdc x y= = e . 12 ( , ) 1x y e mdc x y= = . Os números naturais que têm produto 12 são: 1.12, 2.6, 3.4 . Destes, temos dois pares de fatores que são relativa-mente primos: 1 12e e 3 4e . Vamos fazer uma tabela:

x y a = 20. x b = 20. y mdc (a,b)

1 12 20 240 20

3 4 60 80 20

Observe que a última coluna é o “controle”: verifique se o mdc é mes-mo 20. Caso não seja, você sabe que os números não estão corretos.

Assim, os pares de números satisfazendo as condições do problema são: 20 240e ou 60 80e .

Proposição 4. Sejam ,a b e c números naturais. Se .a b c e ( , ) 1mdc a b = , então a c .

Demonstração.

Hipótese: , ,a b c∈ , .a b c e ( , ) 1mdc a b = .

Tese: a c .

Por hipótese, temos que ( , ) 1mdc a b = ; pela proposição 2 concluímos que ( . , . ) 1.mdc a c b c c c= = . Como .a b c por hipótese e .a a c (pro-priedade de divisibilidade), a segunda parte da definição de mdc nos garante que

( . , . )a mdc a c b c . Logo, a c .

■

107

Exercício resolvido7) Seja k um número natural. Mostre que se 2 3k e k , então 6 k .

Resolução. O exercício nos dá um “critério de divisibilidade” por 6: se um número é divisível por 2 e por 3 , ele será divisível por 6 . Vamos provar este fato:

Por hipótese, temos que existem x e y naturais tais que 2. 3.k x e k y= = e 2. 3.k x e k y= = .

Então 2. 3.x y= . Esta igualdade nos informa que 3 2.x e como (2,3) 1mdc = , a proposição 4 nos garante que 3 x , ou seja, existe

um z natural tal que 3.x z= . Substituindo 3.x z= na igualdade 2.k x= teremos 2.3. 6.k z z= = , ou seja, 6 k .

Observação 15. O exercício que acabamos de resolver pode ser ge-neralizado da seguinte maneira:

“Sejam ,a b e k números naturais tais que , ( , ) 1a k b k e mdc a b = . Então .a b k ”. Isto nos dá critérios de divisibilidade para números que são produtos de números relativamente primos, como por exemplo, 15 3.5, 28 4.7, 42 6.7= = = , etc.

Exercícios propostos8) O mdc de dois números naturais é 48 e o maior deles é 384 .

Ache o outro número.

9) Dividindo-se dois números naturais pelo seu mdc , a soma dos quocientes obtidos é 8 . Determinar os dois números, sabendo que sua soma é 384 .

10) Quais são as possibilidades para o mdc de dois números na-turais dados por a e 2 4a + ?

11) Classifique cada afirmação abaixo em Verdadeira ou Falsa, justificando:

O a) mdc de dois números naturais expressos por 2 1n e n + é sempre 1, para qualquer natural n .

Considere b) a e b números naturais. Então ( , 1) 2mdc a ab + = .

108

12) O mdc de dois números é 50. Para se chegar a este resultado pelo Algoritmo de Euclides (processo das divisões sucessivas), os quo-cientes obtidos foram, pela ordem, 1, 2 e 6. Ache os números.

13) Determine todos os possíveis números naturais 20n < tais que ( , 210) 1mdc n = .

14) Quantos números positivos relativamente primos com 30 e menores do que 30 existem?

3.4.6 Máximo Divisor Comum em Como calcular o máximo divisor comum de 52 44e− ? Vamos fazer pelos divisores inteiros:

os divisores inteiros de • 52− são 1, 2, , 13, 26, 52, 1, 2, 4, 13, 26, 52− − − − − −4 e

os divisores inteiros de • 44 são 1, 2, , 11, 22, 44, 1, 2, 4, 11, 22, 44− − − − − −4 .

Logo, o mdc de 52 44e− é 4 , assim como o mdc dos números natu-rais 52 44e . O algoritmo de Euclides (das divisões sucessivas) tam-bém funciona, desde que utilizemos a divisão euclidiana, ou seja, o algoritmo da divisão no universo dos números inteiros. Lembre que no universo dos números inteiros não fazemos a divisão euclidiana na chave. Vamos verificar:

52 ( 2).44 3644 1.36 836 4.8 48 2.4 0

− = − += += += +

O mdc é o divisor da última divisão feita (aquela que tem resto zero), ou seja, 4 . Experimente calcular ( 96, 72)mdc − − pelas divisões su-cessivas. Você verá que o resultado coincide com o (96,72)mdc . Isto nos leva a definir o mdc no universo dos números inteiros da seguinte maneira:

Definição. Sejam a e b números inteiros; um número inteiro d é o máximo divisor comum de a e b se e somente se d é o máximo divisor comum do valor absoluto (módulo) de a e de b .

.

109

Observação 16. Lembre que denotamos o valor absoluto ou módulo de a e de b como a e b .

Simbolicamente, para a e b inteiros, podemos escrever: ( , ) ( , )mdc a b mdc a b d= = . Note que isto nos mostra que d é um

inteiro positivo.

3.4.7 Definições e resultados sobre mdc em Pergunta: A definição e os resultados que estudamos no universo dos naturais continuam valendo no universo dos inteiros?

A resposta é sim, de modo geral. Alguns acertos devem ser feitos nos enunciados, para adequar os resultados ao universo dos intei-ros. Destacaremos as alterações em negrito.

P1) Se a é um número inteiro não nulo, então ( ,0)mdc a a= .

P2) Sejam a e b números inteiros não nulos simultaneamente. Se a b então ( , )mdc a b a= .

Definição. Sejam a e b números inteiros; a e b são relativamente primos se e somente se ( , ) 1mdc a b = .

Proposição 5. Sejam a, b e k números inteiros. Se ( , )d mdc a b= , en-tão . ( . , . )d mdc a k b kk = .

Proposição 6. Sejam a, b e d números inteiros com ( , )d mdc a b= . Então os quocientes das divisões euclidianas de a por d e de b por d são números relativamente primos.

Proposição 7. Sejam a, b e c números inteiros. Se .a b c e ( , ) 1mdc a b = , então a c .

Ao ampliarmos nosso universo para , ganhamos um novo resulta-do muito importante, conhecido como “identidade de Bézout”. Este resultado será nosso ponto de partida para a resolução de equações com duas variáveis, conhecidas como equações diofantinas. Vamos fazer alguns exemplos antes de enunciarmos o teorema.

110

Exemplos

Se 1) ( 25,15) 5mdc − = , podemos encontrar dois números inteiros s e t tais que 5 ( 25). 15.s t= − + ; os números 2 3s e t= − = − satis-fazem a igualdade pois ( 25).( 2) 15.( 3) 50 45 5− − + − = − = . Note que os números s e t não são únicos! 1 2s e t= = também satis-fazem a igualdade pois ( 25).1 15.2 25 30 5− + = − + = .

2) (13,4) 1mdc = ; 1 13. 4.s t= + . Os números 1 3s e t= = − satisfa-zem a igualdade pois 13.1 4.( 3) 13 12 1+ − = − = . Descubra ou-tros números s e t que satisfazem a igualdade.

Teorema. (Identidade de Bézout) Sejam a, b e d números inteiros e ( , )d mdc a b= . Então existem s e t inteiros tais que . .d s a t b= + .

Nos exemplos que acabamos de fazer, foi fácil encontrar os números s e t. Como fazer para encontrar s e t para (53,48) 1mdc = ? A respos-ta está no algoritmo de Euclides. Utilizando cada uma das divisões sucessivas é possível encontrar s e t por meio de uma série de etapas. Acompanhe o exemplo com atenção:

Para (53,48) 1mdc = , determinar s e t de modo que 1 53. 48.s t= + .

Passo 1. Escrever cada uma das divisões sucessivas do algoritmo de Euclides, até que o mdc apareça como resto.

53 48.1 548 5.9 35 3.1 23 2.1 1

= += += +

= +

Passo 2. Em cada igualdade anterior, isolar o resto como termo da esquerda, sem efetuar os produtos (deixe-os indicados), mantendo o sinal da soma (por exemplo, escreva ( 1).48− ao invés de ( 48)− .

5 53 ( 1).483 48 ( 9).52 5 ( 1).31 3 ( 1).2

= + −= + −= + −= + −

Passo 3. Observe a igualdade 1 53. 48.s t= + e compare com a última igualdade do Passo 2: já temos o membro da esquerda. Precisamos

111

“fazer aparecer” os números 53 e 48. Começando com a igualdade 1 3 ( 1).2= + − substitua os números 2 e 3 pelas igualdades anteriores do Passo 2. (Observe que 2 e 3 são restos. Muito cuidado com os si-nais e não efetue os produtos!)

Vejamos:

Temos 1 3 ( 1).2= + − ; substituindo 2 e 3 pelo membro direito das igualdades anteriores, ficamos com:

1 [48 ( 9).5] ( 1).[5 ( 1).3]= + − + − + − .

Observe, agora, que o 48 (um dos números que nos interessa) já apareceu, mas ainda não temos o 53 . Substitua novamente os restos 3 5e mas não efetue os produtos! Assim,

1 48 ( 9).[53 ( 1).48] ( 1).{[53 ( 1).48] ( 1).[48 ( 9).5]}= + − + − + − + − + − + − .

Vamos organizar melhor nossa igualdade, usando a propriedade distributiva, mas deixando que o 48 e o 53 fiquem “visíveis”:

1 48 ( 9).53 ( 9).( 1).48 ( 1).[53 ( 1).48 ( 1).48 ( 1).( 9).5]= + − + − − + − + − + − + − − .

Usando mais uma vez a distributiva (para eliminar os colchetes), temos:

1 48 ( 9).53 ( 9).( 1).48 ( 1).53 ( 1).( 1).48( 1).( 1).48 ( 1)( 1).( 9).5= + − + − − + − + − − ++ − − + − − −

Efetuando os produtos, mas deixando 48 e 53 “visíveis”, faça:

1 48 ( 9).53 9.48 ( 1).53 1.48 1.48 ( 9).5= + − + + − + + + − .

Colocando 48 e 53 em evidência,

1 48.(1 9 1 1) 53[( 9) ( 1)] ( 9).51 48.12 ( 10).53 ( 9).5

= + + + + − + − + −= + − + −

Observe, agora, que ainda falta mais uma substituição, pois ainda aparece o resto 5 ; no lugar do 5 coloque 5 53 ( 1).48= + − , ou seja:

1 48.12 ( 10).53 ( 9).[53 ( 1).48]= + − + − + − .

Eliminando os colchetes,

1 48.12 ( 10).53 ( 9).53 ( 9).( 1).48= + − + − + − − .

.

.

112

Efetuando o produto ( 9).( 1)− − na última parcela, temos:

1 48.12 ( 10).53 ( 9).53 9.48= + − + − + .

Note que, agora, todas as parcelas apresentam o 48 e o 53 . Colocan-do-os em evidência, temos:

1 48.(12 9) 53.[( 10) ( 9)]= + + − + − .

Efetuando as adições, temos:

1 48.21 53.( 19)= + − .

Portanto,

1 53.( ) 48.19 21= +− .

Compare a última igualdade com o que estamos procurando: s e t tais que 1 53. 48.s t= + . Concluímos, então, que 19 21s e t= − = satis-fazem nossa igualdade inicial.

Observe que este processo deve ser efetuado de forma cuidadosa!

Agora faça você um outro exemplo, usando o procedimento que acabamos de estudar.

Exercícios propostos15) Calcule (54,15)mdc e determine pelo algoritmo de Euclides

dois números inteiros s e t tais que (54,15) 54. 15.mdc s t= + .

16) Considere a e b números inteiros. Mostre que, se existem s e t inteiros tais que 1 . .s a t b= + , então ( , ) 1mdc a b = .

3.4.8 Consequência da Identidade de Bézout: Resolução de Equações Diofantinas

O procedimento de encontrar dois números s e t que satisfaçam a identidade de Bézout nos dá a “receita” para resolver certos tipos de equações chamadas Equações Diofantinas.

O nome equação diofantina é devido a Diofanto, matemático e astrônomo que viveu provavelmente no século III d.C. em Alexandria, no Egito. Em sua obra “Aritmética”, Diofanto trata de um conjunto de problemas e seus métodos algébricos de resolução.

113

De modo geral, uma equação diofantina é uma equação da forma ax by c+ = , com a, b e c números inteiros, x e y as incógnitas; uma solução desta equação é um par de números inteiros x e y, denotado por ( , )x y , que verifica a igualdade. O estudo de equações deste tipo é útil para a resolução de problemas; vamos fazer nosso estudo re-solvendo o seguinte problema:

“Quantas mesas para 6 pessoas e quantas mesas para 4 pessoas são necessárias para acomodar os 90 convidados de um jantar, de maneira a usar pelo menos uma mesa de cada tipo?”

Vamos estabelecer os dados do problema; considere:

• x : número de mesas para 6 pessoas

• y : número de mesas para 4 pessoas

• 6x : quantidade de pessoas que podem ser acomodadas nas mesas para 6 pessoas

• 4y : quantidade de pessoas que podem ser acomodadas nas mesas para 4 pessoas.

Assim, o problema pode ser expresso pela equação 6 4 90x y+ = . Os termos da equação diofantina são: 6, 4 90a b e c= = = é chamado o termo independente (pois independe das incógnitas). Resolver a equa-ção 6 4 90x y+ = é o primeiro passo para resolvermos o problema. Note que, para resolver o problema, os números x e y devem ser positivos pois representam quantidades.

Observe a semelhança da equação 6 4 90x y+ = com a identidade de Bézout, ( , ) . .mdc a b d a b= = +s t , na qual a = 6 e b = 4 são os números dados, s e t os números procurados (as incógnitas). Sabemos que

(6, 4) 2mdc = e sabemos encontrar s e t tais que (6, 4) 2 6 4mdc s t= = + . Pergunta: encontrando s e t, saberíamos determinar x e y tais que 6 4 90x y+ = ? A resposta é sim. Vamos descrever o procedimento:

Etapa 1. Determinação de s e t :

quociente 1 2

6 4 2

resto 2 0

114

6 1.4 22 6.1 4.( 1); 1 1s e t= += + − = = −

Mas a igualdade encontrada não é a nossa equação original 6 4 90x y+ = . Vamos para a

Etapa 2. Como 90 2.45= , multiplicamos ambos os membros da equação 2 6.1 4.( 1)= + − por 45 :

45.2 45.[6.1 4.( 1)]= + − .

Não efetue todos os produtos! O 6 e o 4 devem ficar visíveis!

90 6.45 4.( 45)= + − .

Consideremos, nesta equação, os números 0 045 45x e y= = − , com

0 0( , )x y a solução de nossa equação 6 4 90x y+ = (mas não é a so-lução do nosso problema!). Note que só foi possível encontrar esta solução pois 90 2.45= , ou seja, o termo independente é múltiplo do mdc de 6 4e . Isto significa que o processo que acabamos de estudar para encontrar uma solução da equação 6 4 90x y+ = só funcionou por este motivo: o mdc de 6 4e é divisor de 90 . Este é o primeiro resultado importante na resolução das equações diofantinas:

Proposição 8. Sejam a, b e c inteiros. A equação diofantina ax by c+ = tem solução se e somente se o máximo divisor comum de a e b é um divisor de c.

Demonstração.

1) Hipótese: a equação ax by c+ = tem solução.

Tese: ( , )mdc a b é um divisor de c .

Seja ( , )d mdc a b= ; por hipótese, existe 0 0( , )x y tal que

0 0ax by c+ = . Como d a e d b , temos que 0d ax e 0d by . Logo,

0 0d ax by+ , ou seja, d c .

2) Hipótese: ( , )mdc a b é um divisor de c .

Tese: a equação ax by c+ = tem solução.

Devemos encontrar um par de inteiros 0 0( , )x y que satisfaça a igualdade 0 0ax by c+ = .

115

A “receita” para encontrar este par de números é o processo que estudamos, baseado na identidade de Bézout: se ( , )d mdc a b= , exis-tem s e t inteiros tais que d sa tb= + . Por hipótese, existe k intei-ro tal que c dk= . Multiplicando ambos os membros da igualdade d sa tb= + por k, obtemos ( )dk k sa tb= + , ou seja, ( ) ( )c ks a kt b= + . Assim, encontramos 0x ks= e 0y kt= tais que 0 0ax by c+ = . Logo, a equação diofantina tem solução.

■

Mas o fato de encontrarmos uma solução para a equação 6 4 90x y+ = não resolve o problema proposto, uma vez que a solução encontrada não representa a quantidade que necessitamos para dar uma respos-ta ao problema; como sabemos que outras soluções são possíveis, é razoável perguntarmos: conhecendo uma solução da equação, como posso encontrar uma outra solução que responda a pergunta do problema (no caso, uma solução positiva)? A resposta é sim; para isto vamos enunciar mais um resultado e em seguida utilizá-lo para dar finalmente a resposta ao problema.

Proposição 9. Sejam a, b e c números inteiros não nulos e 0 0,x y uma solução da equação ax by c+ = . Então a equação possui uma infini-dade de soluções da forma

0 1

0 1

x x b ty y a t= += −

com 1 1( , ), . , .d mdc a b a d a b d b e t= = = qualquer número inteiro.

Além disso, toda solução da equação pode ser expressa desta forma, para cada solução particular ( x 0, y0).

Comentário. Este resultado nos garante que toda solução da equa-ção tem esta forma; note que 0 0( , )x y é uma solução particular, 1 1a e b são os quocientes da divisão de a e b pelo mdc , respectivamente, e t é qualquer número inteiro. Assim, para cada valor de t teremos uma solução ( , )x y , dada por

0 1

0 1

x x b ty y a t= +

= − para t percorrendo o conjunto .

Esta solução ( , )x y é chamada a solução geral da equação ax by c+ = .

116

Conhecendo, agora, a proposição 9, temos condição de procurar uma solução positiva da equação 6 4 90x y+ = , para resolver o problema. Vamos escrever a solução geral, utilizando a solução particular já encontrada; sabemos que:

0 45x = ; 0 45y = − ; (6, 4) 2d mdc= = .

Logo, 16 . 2.3a d a= = = , ou seja, 1 3a = e 14 . 2.2b d b= = = , ou seja,

1 2b = .

Substituindo 1 1 0 0, ,a b x e y na solução geral temos:

45 2.45 3. ,

x ty t t= += − − ∈

Esta é a solução geral da equação 6 4 90x y+ = ; isto significa que para qualquer número inteiro t , o par ( , )x y dado por

45 245 3

x ty t= += − −

é solução da equação 6 4 90x y+ = .

Como toda solução é desta forma, para cada valor de t , vamos pro-curar os valores de t de maneira que x e y sejam positivos; em ou-tras palavras, vamos analisar para quais valores de t temos:

45 2. 0x t= + > e também 45 3. 0y t= − − > .

i) para que ocorra 45 2. 0x t= + > , devemos ter 45 2t> − ; isto signi-fica que t pode assumir todos os valores positivos mas os valo-res negativos variam de 1 22a− − , uma vez que ( 2).( 22) 44− − = e 45 44> . Assim, 45 2. 0x t= + > ocorre para 22t ≥ − .

ii) para que ocorra 45 3. 0y t= − − > , devemos ter 45 3t− > ; isto significa que t não pode assumir valores positivos. E a par-tir de qual valor negativo de t ocorre 45 3t− > ? Para todos os valores negativos estritamente menores do que 15− , uma vez que 3.( 15) 45− = − e 3.( 16) 48− = − e 45 48− > − . Assim,

45 3. 0y t= − − > ocorre para 16t ≤ − .

.

117

Para que ocorra, simultaneamente, 45 2. 0x t= + > e 45 3. 0y t= − − > , t deve satisfazer as condições (i) e (ii), ou seja, 22t ≥ − e 16t ≤ − . Veja na reta:

t ≥ -22

t ≤ -16

-22 ≤ t ≤ -16

Todos os valores de t entre 22 16e− − , inclusive estes, geram so-luções positivas da equação 6 4 90x y+ = . Vamos fazer uma tabela para especificar todos eles:

valores de t -22 -21 -20 -19 -18 -17 -16

x (mesas p/ 6 pessoas) 1 3 5 7 9 11 13

y (mesas p/ 4 pessoas) 21 18 15 12 9 6 3

Note a regularidade nos valores de x e y : x aumenta de dois em dois e y diminui de três em três. Isto acontece devido às expressões

45 .2x t= + e 45 3.y t= − − .

Temos, então, sete soluções possíveis para o problema; antes de dar a resposta, verifique se realmente estes valores satisfazem a equação 6 4 90x y+ = : é a sua chance de corrigir qualquer erro de conta que possa ter ocorrido. Note que você mesmo pode verificar se acertou ou não o problema!

Resposta. Para acomodar os 90 convidados do jantar são necessárias

1 mesa para 6 pessoas e 21 mesas para 4 pessoas ou•

3 mesas para 6 pessoas e 18 mesas para 4 pessoas ou•





13 mesas para 6 pessoas e 3 mesas para 4 pessoas.•

118

Exercícios propostos 17) Dar a solução geral das seguintes equações diofantinas:

a) 3 4 20x y+ =

b) 5 2 2x y− =

c) 24 138 18x y+ =

d) 18 20 8x y− = −

e) 26 39 65x y− + =

18) Dividir 100 em duas parcelas positivas de modo que uma seja múltiplo de 7 e outra seja múltiplo de 11.

19) Dois tipos de caixa são usados numa fábrica para embalar bolas de futebol: a caixa A para 12 bolas e a caixa B para 24 bolas. Quantas caixas de cada tipo são necessárias para emba-lar 156 bolas de futebol? Determine todas as possíveis solu-ções. Se a despesa de envio da caixa A é R$7,00 e a da caixa B é R$10,00, qual a solução mais econômica, usando os dois tipos de caixa?

20) Uma editora usa dois tipos de caixas para transporte de li-vros: a caixa A para 20 livros e a caixa B para 100 livros. Qual a menor quantidade de caixas necessária para embalar 1500 livros, usando os dois tipos? Quantas caixas de cada tipo?

3.5 Mínimo Múltiplo Comum em (mmc)

Considere o seguinte problema:

Determinar o menor número natural não nulo divisível, simultane-amente, por 12 e 15 .

Resolução. estamos procurando um número k que seja divisível por 12 e 15 , isto é, que seja múltiplo de 12 e também múltiplo de 15 . Este número k pode então ser expresso por 12.k x= e também por

15.k y= . Vamos investigar alguns múltiplos de 12 e de 15 :

119

múltiplos de 12 12 24 36 48 60 72 84

múltiplos de 15 15 30 45 60 75 90 105

Observamos que 60 é o menor múltiplo natural (e não nulo) de 12 e de 15 :

60 12.5= e 60 15.4= .

O que acabamos de calcular foi o mínimo múltiplo comum (abrevia-mos por mmc ) de 12 e 15 , no conjunto dos números naturais.

Definição. Sejam a e b números naturais. Um número natural m é o mínimo múltiplo comum de a e b se, e somente se, são satisfeitas as condições:

i) m é múltiplo de a e m é múltiplo de b .

ii) se c é múltiplo de a e c é múltiplo de b , então c é múltiplo de m .

Notação. Quando m é o mínimo múltiplo comum de a e b denota-mos ( , )m mmc a b= .

Observação 17. A primeira condição da definição nos informa que para ser o mínimo múltiplo comum de a, b, m deve ser múltiplo co-mum; a segunda nos informa que m deve ser o menor deles, ou seja, qualquer outro múltiplo de a e b deve ser também múltiplo de m. Note também que, assim como no mdc , a ordem em que os números a e b aparecem é irrelevante:

( , ) ( , )mmc a b mmc b a= .

Observação 18. Simbolicamente, a definição pode ser escrita como:

“Sejam a e b números naturais. ( , )m mmc a b= se e somente se:

i) a m e b m

ii) ,Se a c e b c então m c .”

Observação 19. O mmc de dois números naturais é único. Este fato é garantido pelo Princípio da Boa Ordenação, estudado no capítulo 2 (lembrando: o Princípio da Boa ordenação garante que existe o menor elemento de todo subconjunto não vazio de números naturais).

120

Observação 20. Note que ( ,0) 0mmc a = pois:

i) 0 0 0a e

ii) seja c um número natural tal que 0a c e c . Logo, 0 c .

(lembre, no entanto, que se 0 c devemos ter 0!c = )

Mas como calcular o mmc de dois números de maneira mais efi-ciente? Será sempre necessário fazer uma listagem dos múltiplos? A resposta para esta pergunta está na

Proposição 10. Sejam a e b números naturais não nulos. Então,

( , ). ( , ) .mdc a b mmc a b a b= .

Comentário. O resultado nos diz que, conhecendo o mdc de dois números, podemos calcular o seu mmc . Como já sabemos um al-goritmo para o cálculo do mdc (o Algoritmo de Euclides), basta cal-cular o mdc e utilizar a igualdade ( , ). ( , ) .mdc a b mmc a b a b= para en-contrar o mmc .

Consequências da proposição 10

Corolário 1. Sejam a e b números naturais com 0a ≠ . Se a b então ( , )mmc a b b= .

Demonstração.

Hipótese: a b , 0a ≠ .

Tese. ( , )mmc a b b= .

Se a b temos ( , )mdc a b a= . Pela proposição 5, . ( , ) .a mmc a b a b= .

Como 0a ≠ , podemos cancelar a em ambos os membros e teremos ( , )mmc a b b= .

■

Corolário 2. Sejam , ,a b d e m números naturais não nulos, com ( , )d mdc a b= e ( , )m mmc a b= . Se .a d x= e .b d y= com x e y relati-

vamente primos então,

. .m a y e m b x= = .

CorolárioProposição resultante de uma verdade já demonstrada; conseqüência direta de uma proposição demonstrada.Fonte: http://www.priberam.pt/

dlpo/dlpo.aspx

121

Demonstração.

Hipótese: ( , )d mdc a b= e ( , )m mmc a b= , .a d x= e .b d y= , com ( , ) 1mdc x y = .

Tese: .m a y= e .m b x= .

Por hipótese, a m e b m ; então existem c e k naturais tais que .m a c= e .m b k= .

Mostremos agora que c y e k x= = .

Pela proposição 7, temos:. .d m a b=

substituindo m por .a c e b por .d y , temos

. . . .d a c a d y=

como . 0a d ≠ , podemos usar a lei do cancelamento e teremos c y= . Use um raciocínio análogo para provar que k x= .

■

Exemplos

Calcular 1) (65,26)mmc .

Use o algoritmo de Euclides para calcular (65,26) 13mdc = . Então:

13. ( , ) 65.26mmc a b =

13. ( , ) 5.13.26mmc a b =

Pela lei do cancelamento em temos (cancelamos 13 em am-bos os membros):

( , ) 5.26 130mmc a b = = .

Calcular 2) (84,72)mmc

Já sabemos que (84,72) 12mdc = . Então

12. ( , ) 84.7212. ( , ) 84.6.12

( , ) 84.6 504

mmc a bmmc a b

mmc a b

==

= =

122

Exercício resolvido8) Determine todos os possíveis pares de números naturais cujo

mdc é 12 e cujo mmc é 240 .

Resolução. Sejam a e b os números procurados; então ( , ) 12mdc a b = e ( , ) 240mmc a b = e teremos:

a) existem x e y naturais tais que 12.a x= e 12.b y= , com ( , ) 1mdc x y = .

b) 240a e 240b .

c) 12.240 .a b= (proposição 10)

Substituindo a e b na igualdade em (c), teremos:

12.12., 240 12. .12.12.12.20 12.12. .

x yx y

==

12., 240 12. .12.12.12.20 12.12. .

x yx y

==

Pela lei do cancelamento em , 20 .x y= .

Se encontrarmos x e y, conheceremos a e b; como ( , ) 1mdc x y = , estamos procurando dois números relativamente primos cujo pro-duto é 20 . Vamos investigar:

x y a b

1 20 12 240

4 5 48 60

Resposta. Os pares de números cujo mdc é 12 e cujo mmc é 240 são 12 e 240 ou 48 e 60 .

(Verifique se estes valores estão corretos!)

Exercícios propostos21) Calcule:

a) (648,140)mmc

b) (132,64)mmc

22) Mostre que se a e b são números naturais relativamente pri-mos, então ( , ) .mmc a b a b= .

123

23) Determine todos os números de três algarismos divisíveis por 8, 11 e 12, simultaneamente.

24) Quais são as possibilidades para dois números naturais que têm mdc e mmc iguais ?

3.6 Mínimo Múltiplo Comum em Assim como fizemos para o mdc, a definição de mmc no conjunto dos números inteiros será dada por:

Definição. Sejam a e b números inteiros. Um número inteiro m é o mmc de a e b se e somente se m é o mmc de a e b .

Observação 21. Simbolicamente, podemos escrever: ( , ) | |,| |( )mmc a b mmc a b= . Algumas consequências deste fato são:

i) O mmc de dois inteiros será sempre um número maior ou igual do que zero. Se ambos forem não nulos, o mmc será positivo.

ii) Como m é múltiplo de a e b , m é também múltiplo de a e b.

A proposição 10 e seu corolário 1 continuam valendo em , com uma pequena alteração:

Proposição 11. Sejam a e b números inteiros não nulos. Então

( , ). ( , ) .mdc a b mmc a b a b=

Corolário. Sejam a e b inteiros com 0a ≠ . Se a b então( , )mmc a b b= .

Pergunta: e quanto ao corolário 2? Vamos observar o que ocorre em um exemplo numérico:

Exemplo: para 26a = − e 8b = , temos:

( 26,8) (26,8) 2mdc mdc− = =

( 26,8) (26,8) 104mmc mmc− = =

Em relação ao ( 26,8) 2mdc − = , temos que 26 2.( )− = −13 e 8 2.= 4 ; logo, 13 4x e y= − = .

124

Em relação ao ( 26,8) 104mmc − = , temos que 104 ( 26).( )= − −4 e 104 8.= 13 . Observe que, neste caso, os valores de x e y relativos ao mdc aparecem “com sinal trocado” no mmc . Isto nos leva a crer que o corolário 2 continuará válido em , se considerarmos os valores absolutos dos números envolvidos:

Se .a d x= e .b d y= , então .m a y= e .m b x= .

Exercícios propostos 25) Calcule:

a) ( 120,68)mmc − c) ( 54,125)mdc −

b) ( 20, 74)mmc − −

26) Determine o maior número natural pelo qual se devem divi-dir os números 160, 198 370e para que os restos sejam respec-tivamente 7, 11 13e .

27) Determine dois números naturais sabendo que sua soma é 589 e o quociente entre o mmc e o mdc é 84 .

28) Encontre todos os possíveis pares de números naturais cujo produto é 3600 e cujo mmc é 1200 .

29) Determine o menor número natural que satisfaça simultanea-mente as condições: quando dividido por 2 tem resto 1, quando dividido por 3 tem resto 2, quando dividido por 4 tem resto 3, quando dividido por 5 tem resto 4, quando dividido por 6 tem resto 5, quando dividido por 7 tem resto 6, quando dividido por 8 tem resto 7 e quando dividido por 9 tem resto 8.

30) Determine todos os possíveis números naturais n tais que ( ,54) 54mmc n = .

31) O mmc de dois números a e b é igual a 1260 e quando dividi-mos este mmc pelos números a e b o produto dos quocientes obtidos é igual a 90 . Determine todos os números naturais a e b satisfazendo esta condição.

32) Determine dois números cuja soma é 120 e cujo mmc é 144 .

125

3.7 A relação de Congruência módulo mIntuitivamente, uma relação é uma comparação entre dois objetos. Os dois objetos estão ou não estão relacionados, de acordo com uma determinada lei. A relação de ordem em é exemplo de como po-demos relacionar dois inteiros: podemos dizer que 2 está relacio-nado com 5 pois 2 5e satisfazem a relação 2 5≤ . De modo geral utilizamos relações para estudar objetos; estes objetos podem ser números, conjuntos, funções etc.. Neste tópico vamos estudar um tipo especial de relação: a relação de congruência módulo m , que tem estreita ligação com o Algoritmo da Divisão e, de modo mais geral, com a divisibilidade em . Através da congruência podemos resol-ver problemas interessantes envolvendo números inteiros. Alguns exemplos: em que dia da semana cairá o primeiro dia do século 22? Qual o resto da divisão de 232 por 7 ?

O conceito de relação é um conceito importante no universo mate-mático e sua teoria geral será estudada com mais detalhes na disci-plina de Introdução ao Cálculo.

Definição. Sejam a, b e m números inteiros com 1m > . Dizemos que a é côngruo a b módulo m se e somente se m é um divisor de a b− .

Notação. “a é côngruo a b módulo m” é denotado por (mod )a b m≡ .

Observação 22. a definição acima estabelece uma relação para cada valor de m ; conhecendo o valor de m , determinamos a relação. A palavra “módulo” da definição tem o significado de “em relação a”: dois inteiros são côngruos módulo m é o mesmo que “dois inteiros são côngruos em relação a m ”. O termo “módulo” é muito versátil e tem várias conotações em matemática.

Observação 23. optamos por estabelecer 1m > , uma vez que:

i) para 1m = , quaisquer que sejam a e b inteiros teremos que 1 é divisor de a b− (lembre: 1 é divisor de todo número inteiro), ou seja, todos os inteiros estão relacionados entre si. Isto torna a relação menos interessante!

ii) para 0m = , teremos que cada elemento está relacionado so-mente com ele próprio, uma vez que o zero não pode fazer

126

o papel de divisor de números não nulos. Assim, este seria o outro extremo: só teríamos (mod 0)a a≡ . Esta seria a relação de igualdade em .

iii) para 0m < , lembramos que um número é divisor de outro se e somente se seu oposto é divisor desse número. Assim, se por exemplo 2m = − , teremos: (mód 2)a b≡ − se e somente se

2− é divisor de a b− , se e somente se o oposto de 2− é divisor de a b− , o que significa que 2 é divisor de a b− . Desta forma basta considerarmos m positivo e estaremos considerando to-das as possíveis relações de congruência módulo m .

Observação 24. como a relação de congruência está fortemente rela-cionada com a divisibilidade de inteiros, vamos lembrar a definição de divisor em , já estudada anteriormente: “Sejam x e y inteiros; dizemos que x é divisor de y se e somente se existe um inteiro k tal que .y x k= .” (lembre que a notação para “ x é divisor de y ” é x y e lê-se: x divide y ; note que o traço é vertical, não é um traço de fração! Veja os detalhes no início do capítulo 3). Em nossa definição, teremos: a é côngruo a b módulo m se e somente se ( )m a b− , ou seja, existe um inteiro k tal que .a b m k− = .

Exemplo. Para 4m = , teremos a relação de “congruência módulo 4”: (mod 4)a b≡ se e somente se 4 é um divisor de a b− . Exemplos de alguns inteiros relacionados:

• 45 9(mod 4)≡ pois 4 é divisor de 45 9 36− = .

• 73 7(mod 4)≡ − pois 4 é divisor de 73 ( 7) 73 7 80− − = + = .

• 5 3(mod 4)− ≡ pois 4 é divisor de 5 3 8− − = − .

• 25 1(mod 4)− ≡ − pois 4 é divisor de 25 ( 1) 25 1 24− − − = − + = − .

Vamos provar algumas propriedades da relação de congruência módulo 4 ; estas propriedades são satisfeitas também por todas as relações de congruência módulo m , para qualquer valor de 1m > .

i) (mod 4)a a≡ para todo a inteiro.

Prova. Como 4 é divisor de 0a a− = , para todo a inteiro, temos que (mod 4)a a≡ , para todo inteiro a . Esta propriedade é chamada propriedade reflexiva.

127

ii) se (mod 4)a b≡ então (mod 4)b a≡ , para todos a e b inteiros.

Prova. Hipótese: (mod 4)a b≡

Tese. (mod 4)b a≡

Por hipótese, temos que 4 é divisor de a b− ; então existe um k inteiro tal que

4.a b k− = . Logo, ( ) 4.( )b a a b k− = − − = − e 4 é divisor de b a− .

Assim, (mod 4)b a≡ . Esta propriedade é chamada propriedade simé-trica.

iii) se (mod 4)a b≡ e (mod 4)b c≡ então (mod 4)a c≡ , para quais-quer ,a b e c inteiros.

Prova. Hipótese: (mod 4)a b≡ e (mod 4)b c≡

Tese: (mod 4)a c≡

Por hipótese, 4 é divisor de a b− e de b c− , ou seja, existem inteiros s e t tais que 4a b s− = e 4b c t− = . Adicionando membro a mem-bro essas igualdades obtemos:

( ) ( ) 4 44( )

4( )

a b b c s ta b b c s t

a c s t

− + − = +− + − = +

− = −

o que significa que 4 é divisor de a c− . Logo, (mod 4)a c≡ .

Esta propriedade é chamada propriedade transitiva. Generalizamos estas idéias na proposição que segue.

Proposição 12. Seja 1m > . A relação de congruência módulo m em é reflexiva, simétrica e transitiva, ou seja: para quaisquer inteiros

,a b e c , temos:

i) (mod )a a m≡

ii) se (mod )a b m≡ então (mod )b a m≡

iii) se (mod )a b m≡ e (mod )b c m≡ então (mod )a c m≡ .

Demonstração. Faça como exercício, utilizando a idéia da prova an-terior.

128

Outras propriedades da relação de congruência módulo m

Para que a idéia de congruência possa servir de ferramenta para resolver problemas numéricos, precisamos estabelecer algumas propriedades que serão essenciais; faremos alguns exemplos para ilustrar as propriedades e faremos a generalização em seguida. Uma série de exercícios de aplicação destas propriedades será apresenta-da após a generalização.

Exemplos

Sabemos que 1) 25 4(mod 7)≡ e 48 41(mod 7)≡ , isto é, 7 é divisor das diferenças 25 4 21− = e 48 41 7− = . O que acontece com as somas 25 48+ e 4 41+ ? Em outras palavras: se “somarmos membro a membro”, a congruência se mantém? Vamos inves-tigar:

25 48 734 41 45

+ =+ =

73 45 28− = é múltiplo de 7 .

Assim, temos que 25 48 4 41(mod 7)+ ≡ +

E o que acontece se fizermos o produto, membro a membro?

25.48 12004.41 1641200 164 1036

==− =

1036 7.48= é múltiplo de 7 .

Logo, (25.48) (4.41)(mod 7)≡ .

Sabemos que 2) 6 2(mod 4)≡ pois 6 2 4− = ; vamos investigar se as potências de 6 e 2 se mantêm côngruas módulo 4 :

2 26 36; 2 4= =

36 4 32 4.8− = = é múltiplo de 4 .

Logo, 2 26 2 (mod 4)≡ .

3 36 216; 2 8= =

216 8 208 4.52− = = é múltiplo de 4 .

Logo, 3 36 2 (mod 4)≡ .

129

Experimente para as potências 4, 5 6e . Você verá que a congruên-cia se mantém.

Vamos agora generalizar e demonstrar estas propriedades:

PC1) Sejam , , ,a b c d e m inteiros com 1m > . Se (mod )a b m= e (mod )c d m≡ , temos:

1) ( ) ( )(mod )a c b d m+ ≡ +

2) ( ) ( )(mod )a c b d m− ≡ −

3) . . (mod )a c b d m≡

4) (mod )n na b m≡ , para todo 1n ≥ .

Demonstração.

(1) Por hipótese, (mod )a b m≡ e (mod )c d m≡ , ou seja, ( )m a b− e ( )m c d− . Assim, existem inteiros x e y tais que a b mx− = e c d my− = . Adicionando membro a membro as igualdades temos:

( ) ( )( ) ( ) ( )a b c d mx mya c b d m x y− + − = ++ − + = +

Logo, ( ) ( )(mod )a c b d m+ ≡ + .

(2) Exercício!

(3) Por hipótese, existem inteiros x e y tais que a b mx− = e c d my− = ; multiplicando a primeira igualdade por c e a segunda por b, obtemos ac bc cmx− = e bc bd bmy− = . Adicionando membro a membro, temos

( ) ( )ac bc bc bd cmx bmy− + − = −

( )ac bd m cx by− = −

Logo, . (mod )ac b d m≡ .

(4) a demonstração será feita no capítulo 5, quando estudarmos o princípio de indução.

PC2) Sejam ,a b e m inteiros, com 1m > . Então (mod )a b m≡ se e somente se a e b têm o mesmo resto na divisão euclidiana por m .

130

Demonstração.

(⇒ ) Hipótese: (mod )a b m≡

Tese: a e b têm o mesmo resto na divisão euclidiana por m , ou seja: existem ,x y e r inteiros tais que a mx r= + e b my r= + , com 0 r m≤ < .

O Algoritmo da Divisão nos garante que existem x, y, r1 e r2 tais que:

1a mx r= + , 10 r m≤ < e 2b my r= + , 20 r m≤ < . (Devemos mostrar agora que 1 2r r= )

Por hipótese, sabemos que ( )m a b− , ou seja, existe um k inteiro tal que a b km− = . Substituindo a e b nessa igualdade, temos:

1 2

2 1

2 1

( ) ( )

( )

mx r my r kmmx my km r rm x y k r r

+ − + =− − = −− − = −

A última igualdade mostra que 2 1m r r− e também podemos garantir que m é um divisor de 2 1r r− ; como 10 r m≤ < e 20 r m≤ < teremos que a distância entre r1 e r2 é menor do que m, ou seja, 2 1r r m− < . Ora, se r1 e r2 são diferentes, isto está em contradição com o fato de m ser um divisor 2 1r r− (lembre que se estamos considerando números inteiros positivos, podemos garantir que o divisor é menor que o dividendo, exceto quando o dividendo é zero). Para que esta contradição não ocorra, devemos ter 2 1 0r r− = , ou seja, 2 1r r= .

Assim, a e b têm o mesmo resto na divisão por m.

(⇐ ) Hipótese: a e b têm o mesmo resto na divisão euclidiana por m , ou seja: existem ,x y e r inteiros tais que a mx r= + e b my r= + , com 0 r m≤ < .

Tese: (mod )a b m≡

Para mostrar que (mod )a b m≡ devemos observar o que acontece com a diferença a b− ; usando as igualdades da hipótese, temos:

( ) ( ) ( )a b mx r my r mx my r r mx my m x y− = + − + = − + − = − = −

Logo, ( )a b m x y− = − e m a b− ; por definição, (mod )a b m≡ .

Consequência da PC2: Se r é o resto da divisão de x por m, então x ≡ r (mód m). Além disso, r é o menor inteiro positivo côngruo a x módulo m.

.

131

Exemplo: 34 = 4.8 + 2, logo, 34 ≡2 (mód 8)

Exemplo de aplicação das Propriedades 1 e 2:

Encontre o resto da divisão de 232 por 7 , usando as propriedades de congruências.

Resolução. seja r o resto procurado; as possibilidades para r são 0, 1, 2, 3, 4, 5 6ou . Estamos procurando um r inteiro positivo tal que 232 (mod 7)r≡ e r é o menor inteiro positivo nestas condições. Vamos observar os restos na divisão por 7 das potências de 2 :

2 2(mod 7)≡ e 22 4(mod 7)≡ . Usando o teorema 2 (ítem 3), te-mos que 32 8(mod 7)≡ ; mas 8 1(mod 7)≡ e usando o teorema 1 (iii - transitiva) temos que 32 1(mod 7)≡ . Usando novamente o teore-ma 2 (item 4, elevando os dois termos à sétima potência), obtemos

3 7 7(2 ) 1 (mod 7)≡ que é o mesmo que 212 1(mod 7)≡ .

Por que elevamos à sétima potência? Para nos aproximarmos da po-tência original: 21 é o múltiplo de 3 mais “próximo” de 23 que é menor do que 23 . Mas queremos a potência 23 . Para isso, usamos novamente o teorema 2:

se 212 1(mod 7)≡ e 22 4(mod 7)≡ então 21 22 .2 1.4(mod 7)≡ .

Com isso, já temos a resposta: 232 4(mod 7)≡ e 4 é o resto da divi-são de 232 por 7 . Por que podemos afirmar que 4 é o resto? Ora, se

232 4(mod 7)≡ , temos que 237 (2 4)− , ou seja, existe um k inteiro tal que 232 4 7k− = . Assim, 232 7 4k= + e como 0 4 7≤ < , 4 deverá ser o resto da divisão de 232 por 7 .

Exercícios propostos 33) Encontre o resto da divisão de 542 por 8, sem efetuar a conta.

34) Qual o menor inteiro positivo congruente ao produto 11.18.23.22.13.19 módulo 7 ?

35) Se 402 654(mod )m≡ , encontre os possíveis valores de m .

36) Determine os inteiros x, , 100 200x x≤ ≤ , tais que 1(mod 7)x ≡ − .

132

37) Determine o resto da divisão da soma5 5 5 51 2 3 100 4por+ + + + .

38) Mostre que o resto da divisão de um número inteiro positivo por 10 é seu algarismo das unidades.

39) Sejam a, b, c, d e m inteiros com ( , ) ( , )mdc a b d e mmc a b m= = . Prove que:

a) (mod )a b d≡ b) . (mod )a b m d≡

40) Mostre que 202 1− é divisível por 41 .

41) Use congruências para verificar que:

a) 4489 (2 1)−

b) 4897 (2 1)−

ResumoO principal teorema apresentado neste capítulo foi o “Algoritmo da Divisão”.

Com este resultado estudamos Divisibilidade, Máximo Divisor Co-mum, Mínimo Múltiplo Comum e Congruências. Também estuda-mos as Equações diofantinas cuja resolução é uma aplicação direta do algoritmo de Euclides (cálculo do mdc).

Bibliografia complementarDOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmética. São Paulo: Atual, 1991.

Capítulo 4Teorema Fundamental da Aritmética

135

Capítulo 4Teorema Fundamental da Aritmética

Nosso objetivo neste capítulo é estudar números primos, o Teorema Fundamental da Aritmética e suas aplica-ções: cálculo do mdc, mmc e do número de divisores. Os resultados aqui desenvolvidos são estudados no univer-so dos números naturais no Ensino Fundamental e são conhecidos como conseqüências da fatoração.

4.1 Números primos em e em : diferenças, semelhanças e propriedades

Números primos são conhecidos desde a antiguidade: data de aproximadamente 230 a.C. um dispositivo para identificar núme-ros primos, conhecido como o “crivo de Eratóstenes”. Nos Elemen-tos de Euclides já aparece a definição de número primo, proprieda-des, e a demonstração da infinitude dos primos. Pierre de Fermat (1601-1665) Leonard Euler (1707-1783) e muitos matemáticos im-portantes envolveram-se com este tema, que até hoje atrai mentes brilhantes em todo o mundo. Nos séculos XIX e XX, matemáticos como George H. Hardy (1877-1947), Srinivasa Ramanujan (1887-1920), Paul Erdös (1913-1996), entre outros, também contribuíram para o desenvolvimento da chamada Teoria dos Números, que, é claro, envolve números primos.

Definição. (número primo em ) Seja p um número natural; p é primo se e somente se

1) 0 1p e p≠ ≠ e

2) os únicos divisores de p são 1 e p .

Definição. (número primo em ) Seja p um número inteiro; p é primo se e somente se p é primo em .

136

Exemplos:

Em os números 13, 23, 37, são primos; provaremos mais adian-te que existe uma infinidade de números primos em . Em , serão primos também os opostos dos primos positivos, como –13, –23, –37 etc.

Considerações sobre as definições

i) A definição de número primo em exclui 0 1e do universo dos primos; os pitagóricos (c.séc. VI a.C.) já excluíam o 1 da condição de primo por acreditar que 1 era o “gerador de todos os números”. Não há necessidade de “explicar” porque 0 1e não podem ser primos: eles não o são por definição.

ii) Na definição em , note que se p é inteiro e | p | é primo em , tem-se:

1) 0 1p e p≠ ≠ .

2) Os únicos divisores em de p são 1 e p .

Em (1) temos que 0, 1 1p p e p≠ ≠ ≠ − . E que podemos dizer a res-peito dos divisores inteiros de p ? Consideremos b um inteiro divi-sor de p ; por (2) teremos 1b = ou b p= , uma vez que b é um número natural.

Usando as propriedades de módulo, concluímos que:

1 1b ou b ou b p ou b p= = − = = − .

Assim, a definição em pode ser enunciada da seguinte forma:

“Seja p∈ ; p é primo se e somente se:

1) 0, 1 1p p e p≠ ≠ ≠ − e

2) os únicos divisores de p são 1, 1, p e p− − ” .

iii) Quando um número natural não é primo? Como a definição estabelece duas condições, para que um número não seja pri-mo basta que ele não satisfaça uma das condições. Assim, um número natural n não é primo quando 1n = , ou 0n = , ou n admite pelo menos um divisor diferente de 1 e diferente de n .

137

Quando n ∈ , n > 1 e n admite pelo menos um divisor diferente de 1 e diferente de n , dizemos que n é um número composto. Desta forma, um número composto em é aquele que pode ser expresso como um produto de números naturais, com fatores diferentes de 1 e do próprio número. O mesmo ocorre em : um número inteiro k é composto quando 1k > e k pode ser expresso como um produto de inteiros, com fato-res diferentes de 1, 1, k e k− − (veja a definição de divisor no início do capítulo).

Por exemplo, 99− é um número composto pois

99 99 1 99 ( 3).33e− = > − = − .

Números primos: resultados importantes

As proposições a seguir são ferramentas essenciais em nosso estudo dos números primos. Elas serão úteis na resolução de exercícios e como argumentos na demonstração de outros resultados.

Proposição 1. Dois é um número primo em .

Demonstração.

Seja *b∈ um divisor de 2 ; então existe c∈ tal que 2 .b c= . Pela propriedade D7 (Capítulo 3) temos que 2 2b b= ≤ = . Se *b∈ e

2b ≤ devemos ter 1 2b ou b= = . Assim, os únicos divisores de 2 em são 1 e o próprio 2 . Logo, 2 é primo em .

■

Observação 1. Dois é também primo em , bem como 2− . Dois e seu oposto são os únicos primos pares em .

Proposição 2. Se n é um número inteiro e 1n > , então n admite um divisor primo.

Demonstração.

Sem perda de generalidade, faremos a demonstração em . Seja n um número natural, 1n > , e consideremos o conjunto S dos divisores de n que são maiores do que 1, { / 1 }S x x e x n= ∈ > . Note que S ≠ ∅ , uma vez que n S∈ . Como S e S⊂ ≠∅ , o Princípio da Boa Ordenação em nos garante que S admite um menor elemen-to, ou seja, existe p S∈ tal que p x≤ para todo x S∈ . Mostremos

138

agora que p é um número primo. Para tanto, suponhamos que p não o seja, isto é, suponhamos que existam números naturais b e c tais que .p b c= , com 1, 1b c> > , b p e c p< < . Como b n e p n (pois p S∈ ), temos que b n e portanto b S∈ . Mas isto significa que encontramos um elemento b S∈ que é menor do que o menor elemento de S , fato que não pode ocorrer! Logo, nossa suposição de que p não é um número primo revelou-se falsa, ou seja, podemos afirmar que p é primo, como queríamos provar.

■

Proposição 3. Sejam b e p números inteiros com p primo. Então:

i) se p não é divisor de b , tem-se ( , ) 1mdc b p = ,

ii) se p é divisor de b , tem-se ( , )mdc b p p= .

Demonstração.

Seja ( , )d mdc b p= . Por definição temos que d b e d p . Como p é primo, devemos ter 1d ou d p= = . Se p não é divisor de b então não podemos ter d p= e portanto 1d = . Se p é divisor de b , como

1p > , teremos d p= .

■

Proposição 4. Sejam a, b e p números inteiros; se p é primo e p é di-visor do produto a.b, então p é divisor de a ou p é divisor de b.

Demonstração.

Hipótese: ,a b e p são números inteiros, p é primo e p é divisor do produto .a b .

Tese: p é divisor de a ou p é divisor de b .

Por hipótese p é divisor do produto .a b , ou seja, existe x inteiro tal que . .a b p x= . Suponhamos que p não é divisor de a e provemos que p é divisor de b . De fato: como p não é divisor de a e p é primo, a proposição 3 nos garante que ( , ) 1mdc a p = . Mas se p é divisor de .a b e ( , ) 1mdc a p = , p deve ser divisor de b (Proposição 4 do Capítulo 3), como queríamos provar.

■

139

4.2 O Teorema Fundamental da Aritmética

De modo geral, aprendemos a fatorar números na 5ª série; a palavra “fatorar” significa “transformar em produto”. Por exemplo, pode-mos expressar o número 45 como um produto de 9 5por . O pro-duto 9.5 é uma fatoração do número 45 , ou seja, 45 9.5= . Ainda na 5ª série, aprendemos que esta transformação em produto pode ser efetuada de modo que todos os fatores sejam números primos. As-sim, a fatoração em primos de 45 seria 45 3.3.5= .

Teorema 1. Teorema Fundamental da Aritmética em

Para todo número natural n > 1 existem números primos 1p ,

2p , 3p , ... , rp ( 1r ≥ ), de modo que 1 2 3. . . ... . rn p p p p= . Além disso, esta decomposição é única a menos da ordem dos fa-tores.

Observação 2. O teorema 1 nos garante que é sempre possível fa-torar um número natural estritamente maior do que 1, de modo que todos os fatores sejam números primos. Além disso, o teorema garante que estes primos são únicos, ou seja, não é possível fatorar um mesmo número utilizando dois conjuntos distintos de fatores primos. A demonstração deste teorema decorre da Proposição 2 e do primeiro princípio de indução, que estudaremos no Capítulo 5.

Exemplos

Vamos fatorar 1) 342 em fatores primos. Provavelmente você já conhece o procedimento: procurar os primos que são divi-sores de 342 ; é aconselhável experimentar os primos em sua seqüência: 2, 3, 5, 7, 11, 13, para termos a certeza de não es-quecer nenhum (os critérios de divisibilidade são úteis neste momento). Sabemos que 342 é par; logo, 2 é um divisor pri-mo: 342 2.171= . Mas 171 é divisível por 3 , 171 3.57= . Assim, 342 2.171 2.3.57= = . Vemos que também 57 é divisível por 3 , isto é, 57 3.19= . Logo,342 2.171 2.3.57 2.3.3.19= = = .

140

Observe que todos os fatores deste produto são primos: esta é a decomposição em fatores primos de 342 . De modo geral aprendemos a fazer estas divisões na forma “vertical”:

À direita do traço vertical ficam os divisores primos; à esquer-da, os quocientes das contas de dividir por estes primos. Lemos assim: “342 dividido por 2 dá 171, que dividido por 3 resulta 57 , que, por sua vez, quando dividido por 3 dá 19 , e o único divisor primo de 19 é o próprio 19 , pois ele é primo”. Ao encon-trarmos o quociente 1 a decomposição está completa. Observe que este procedimento “vertical” é apenas uma forma mais simples de escrever as contas que você deverá fazer para en-contrar a decomposição, permitindo que você visualize melhor os divisores primos envolvidos. Após fazer a decomposição, podemos agrupar os fatores primos repetidos usando potên-cias; assim, a decomposição de 342 é: 2342 2.3.3.19 2.3 .19= = . Os primos 2, 3 19e são os únicos primos envolvidos na fato-ração.

Fatorar 2) 540 .

Utilizando o procedimento do exemplo 1, fazemos:

5

Assim, 2 3540 2.2.3.3.3.5 2 .3 .5= = .

Observação 3. No processo de fatorar, a ordem em que os divisores primos aparecem não precisa ser necessariamente crescente, uma vez que a multiplicação é comutativa; no exemplo anterior, pode-se começar a fatoração pelo primo 5 , por exemplo:

141

A escolha da ordem crescente dos primos é apenas uma sistemática; veremos mais adiante as vantagens desta escolha.

Exercícios propostosDecomponha em fatores primos os números: 1) 36938, 9999, 583, 1890, 7183, 10857, 9812, 51262, 20305 .

Qual o menor número natural que possui cinco fatores primos 2) diferentes?

Fatore o número 3) 270 e encontre todos os seus divisores.

Observação 4. Note que, no processo de fatorar um número natural, descobrimos todos os seus divisores.

Por exemplo: 2342 2.3 .19= .

Pela definição de divisibilidade, são divisores de 342 2, 3, 19= , 23 9= , 2.3 6= , 22.3 18= , 2.19 38= , 3.19 57= , 23 .19 171= , 2.3.19 114= ,

e os divisores 1 342e .

Pergunta. Como fatorar números inteiros negativos?

Tomemos como exemplo o número 34− . Utilizando as propriedades dos números inteiros do Capítulo 2, podemos escrever:

34 ( 1).34 ( 1).2.17 ( 2).17 2.( 17)− = − = − = − = − .

Note que os primos envolvidos nas decomposições acima são (lem-bre que 1− não é primo!):

i) em 34 ( 1).2.17− = − , os primos 2 17e

ii) em 34 ( 2).17− = − , os primos 2 17e−

Todo número natural n admite o 1 e o próprio

número n como divisores. Estes são chamados

divisores impróprios de n. Os outros possíveis divisores de n são chamados divisores

próprios.

142

iii) em 34 2.( 17)− = − , os primos 2 17e − .

Comparando estas decomposições com a decomposição do número 34 (oposto de 34− ), que sabemos decompor, vemos que 34 2.17= . Assim, em valor absoluto, os primos na decomposição de 34 34e − são os mesmos. Isto responde à nossa pergunta de como fatorar inteiros negativos: em valor absoluto, os primos são os mesmos da decom-posição de seu oposto positivo. Podemos então enunciar o Teorema Fundamental da Aritmética no universo dos inteiros:

Teorema 2. Teorema Fundamental da Aritmética em

Seja b um número inteiro diferente de 0, 1 e –1. Então, exis-tem números primos positivos 1 2 3 ... rp p p p< < < < e exis-tem números naturais 1 2 3, , ,..., r , tais que

1 21 2. . ... r

rb E p p p=

com E = 1 se b for positivo ou E = –1 se b for negativo. Além disso, esta decomposição é única.

Exemplo: Fatorar 240− .

Para fatorar 240− , fazemos 240 ( 1).240− = − e fatoramos 240 como já vimos. Você pode optar pela fatoração “horizontal”:

4240 24.10 3.8.2.5 3.2.2.2.2.5 2 .3.5= = = = .

Então 4240 ( 1).2 .3.5− = − .

Note que os primos que participam da fatoração de 240− são os mesmos que participam da fatoração de 240 2, 3 5e= .

Observação 5. A fatoração em também nos permite des-cobrir todos os divisores de um número inteiro. Por exemplo,

245 ( 1).5.9 ( 1).3 .5− = − = − ; seus divisores são os divisores de 45 e os opostos destes divisores. Vamos listá-los: 21, 3, 3 9, 5, 3.5 15,= =

23 .5 45= e seus opostos 1, 3, 9, 5, 15, 45− − − − − − (um total de 12 divi-sores, seis positivos e seis negativos).

143

Exercício resolvidoDetermine o menor inteiro positivo 1) x , de modo que o produto de x por 6615 seja um quadrado.

Resolução.

Lembre que um quadrado é o resultado do produto de um número por ele mesmo; por exemplo, 25 5.5= , 36 6.6= , 529 23.23= são quadrados. Também dizemos “ 25 é o quadrado de 5 ”. No exercício, devemos encontrar um inteiro positivo x de modo que .6615x seja o produto de um número por ele mesmo. Sabemos que tanto x como 6615 podem ser fatorados, e a fatoração do produto .6615x será o produto das fatorações; isto permitirá descobrir “o que falta” para termos um produto de um número por ele mesmo. Observe:

6615 = 33.5.72 = 32.3.5.72 = 32.72.3.5 = (3.7).(3.7).3.52 23 7e já representam produtos de um número por ele mesmo:

(3.7).(3.7) . Está “sobrando” um 3.5 , ou melhor, está “faltando” outro 3.5 para que possamos ter o produto (3.7).(3.5).(3.7).(3.5) , que é o quadrado do número (3.7).(3.5) 3.3.5.7= . Note tam-bém que 3.5 15= é o menor número pelo qual devemos multipli-car 6615 (3.7).(3.7).3.5= para obter um quadrado. Assim, para

3.5 15x = = , o produto de x por 6615 é igual ao quadrado de 3.3.5.7 315= . Podemos escrever também

3 2 4 2 2.6615 15.6615 3.5.3 .5.7 3 .5 .7x = = = =

2 2 2 2(3 .5.7).(3 .5.7) (3 .5.7)= = .

Observação 6. O exercício que acabamos de resolver mostra que é possível saber se um número é um quadrado somente observando sua fatoração. Por exemplo: 4 2 62 .3 .5 é um quadrado, pois podemos escrever 4 2 6 2 3 22 .3 .5 (2 .3.5 )= . Assim, podemos dizer que um número é um quadrado quando as potências dos primos de sua decompo-sição são todas pares. (Note que estamos usando também uma das propriedades de potência que você estudou no capítulo 2).

Exercícios propostos4) Encontre o menor número inteiro positivo pelo qual devemos

multiplicar 6776 de modo que este produto seja a terceira po-tência de um número.

144

5) Use a fatoração para determinar todos os divisores inteiros dos números:

a) 180

b) 351

c) 3546

Teorema 3. (Euclides) O conjunto dos números primos é infinito.

Antes de demonstrarmos este teorema, precisamos estabelecer a de-finição de “conjunto infinito”. Para tanto, vamos definir quando um conjunto é finito.

Definição. Um conjunto A é finito quando podemos encontrar uma correspondência bijetora entre A e o conjunto { }1, 2, 3, 4, ,S n= . Neste caso podemos expressar o conjunto A como { }1 2 3, , , , nA a a a a= .

Observação 7. A correspondência bijetora que aparece na definição consiste em podermos associar cada elemento de A a um único ele-mento de S , e cada elemento de S a um único elemento de A . É a mesma idéia da contagem, quando associamos cada objeto do conjunto que pretendemos contar à lista 1, 2, 3, , n . O número n é a quantidade de objetos contados. Assim, um conjunto é finito quando podemos “contá-lo” e ele possui n elementos (sendo n um número natural).

Definição. Um conjunto é infinito quando não é finito.

Observação 8. Note que, pelas duas definições anteriores, um con-junto possui apenas duas opções: é finito ou infinito. Assim, para provarmos que um conjunto A é infinito, basta provarmos que não é finito, ou seja, que não é possível encontrar uma correspondên-cia bijetora entre A e um conjunto { }1, 2, 3, 4, ,S n= . Geralmente, para provarmos que um conjunto é infinito, supomos que a corres-pondência bijetora existe e que sua existência nos leva a uma contra-dição. Esta é a idéia da demonstração do Teorema 3, apresentada nos Elementos de Euclides. Existem outras demonstrações deste teorema, mas a de Euclides continua sendo a mais elegante. Sem perda de generalidade, faremos a demonstração em .

145

Demonstração do Teorema 3.

Suponhamos que o conjunto P dos números primos em é fini-to. Então podemos expressar P como { }1 2 3. . . . nP p p p p= e estes são todos os números primos naturais. Considere agora o número

1 2 3( . . . . ) 1nk p p p p= + . Este número é um número natural e, pela Pro-posição 2, deve ter um divisor primo. Este divisor primo é um dos elemen-tos de P : vamos chamá-lo rp . Teremos então que rp é um divisor de

1 2 3( . . . . ) 1nk p p p p= + e é também um divisor de 1 2 3, , , , np p p p , uma vez que é um de seus fatores. Pela propriedade D6 de divisibi-lidade (se um número é divisor de uma soma e também de uma das parcelas, então é divisor da outra parcela), temos que rp é um divisor de 1. Como o único divisor natural de 1 é o próprio 1, concluímos que rp é igual a 1, o que é uma contradição, pois rp é primo. Esta contradição se originou do fato de supormos P um conjunto finito. Logo, P não é finito, ou seja, é infinito.

■

Exercícios propostos6) Prove que o produto de três números consecutivos é divisível

por 6.

7) Mostre que o número 4 4a + é composto para todo a maior que 1.

8) Se o resto da divisão de um número primo por 3 é 1, mostre que, na divisão deste número por 6 , o resto também é 1.

9) Mostre que todo número primo maior que 2 é da forma 4 1 4 3k ou k+ + .

10) (Deserto de primos) Considere a seguinte seqüência de núme-ros naturais, para n um número natural, 1n > :

1

2

3

( 1)! 2( 1)! 3( 1)! 4

( 1)! ( 1)n

a na na n

a n n

= + += + += + +

= + + +

Mostre que 1 2 3, , , , na a a a são números consecutivos e com-postos.

.

146

4.3 Aplicações da FatoraçãoO Teorema Fundamental da Aritmética nos garante que podemos decompor um número inteiro em fatores primos (quando este nú-mero for diferente de zero, 1 1e− ) e esta decomposição é única a menos da ordem dos fatores. Expressar números inteiros em produ-to de primos nos permite obter informações importantes a respeito destes números, como quantos e quais são seus divisores, se o nú-mero é um quadrado, um cubo ou outra potência, um cálculo mais eficiente de mdc e mmc . Neste tópico estudaremos como obter estas informações por meio da fatoração.

O estudo da divisibilidade já feito no Capítulo 3 será importante; lembramos que quando fatoramos um número, por exemplo, 140 , escrevemos 2140 2 .5.7= e só com isto obtemos as seguintes infor-mações:

1) 140 é divisível por2 2 21, 2, 5, 7, 2 4, 2.5 10, 2.7 14, 2 .5 20, 2 .7 28, 5.7 35= = = = = = ,

22.5.7 70, 2 .5.7 140= = .

2) os únicos divisores primos de 140 são 2, 5 7e , uma vez que outros primos não aparecem na fatoração.

3) os fatores do produto 22 .5.7 são relativamente primos dois a dois, ou seja:

2 2(2 ,5) (2 ,7) (5,7) 1mdc mdc mdc= = = .

Faremos nosso estudo das aplicações com exemplos no universo dos números naturais.

Cálculo do mdc

Calcular (1500,525)mdc

Decompomos os números 1500 525e em fatores primos:

2 31500 2 .3.5= = 2.2.3.5.5.52525 3.5 .7= = 3.5.5.7 .

Analisamos os fatores primos comuns aos dois números; são eles 23.5.5 3.5= . Assim, 23.5 é divisor de 1500 525e e é o maior, pois os

147

outros fatores resultam números relativamente primos: os fatores 2.2.5 20= de 1500 e o fator 7 de 525 . Confirme que (20,7) 1mdc = . Observe que 3 5e são os fatores primos comuns de 1500 525e , mas o 5 aparece duas vezes na decomposição dos dois números; por isto

23.5 é o maior fator comum (ou divisor comum).

Logo, 2(1500,525) 3.5.5 3.5 75mdc = = = .

Generalizando este fato, podemos escrever:

“Sejam a e b números naturais. O mdc de a e b é o produto dos fato-res comuns de a e de b, tomados com os menores expoentes.”

Cálculo do mmc

Calcular (825,315)mmc

Decompomos os números 825 315e em fatores primos:

2825 3.5 .11 3.5.5.11= =

2315 3 .5.7 3.3.5.7= = .

Como queremos um múltiplo comum, os fatores primos que devem aparecer no mmc são todos os fatores primos envolvidos na decom-posição dos dois números: 3, 5, 7 11e . Mas, para que o mmc seja múltiplo de 825 , o fator 5 deve aparecer duas vezes; como o mmc também deve ser múltiplo de 315 , o fator 3 deve aparecer duas ve-zes. Assim, o mmc será 2 23 .5 .7.11 17325= .

Logo, (825,315) 17325mmc = .

Generalizando:

“Sejam a e b números naturais. O mmc de a e b é o produto de to-dos os fatores primos que aparecem na decomposição de a e de b, tomados com os maiores expoentes.”

Número de divisores

Quantos divisores naturais tem o número 234 ?

Decompomos 234 em fatores primos:

2234 2.3 .13=

148

Os expoentes que aparecem em cada primo da fatoração são 1, 2 e 1. O número de divisores naturais de 234 será dado por: ( 1).( 1).( 1) 2.3.2 121 2 1+ + + = = . Vamos conferir os divisores:

2 21, 2, 3, 13, 3 9, 2.3 6, 2.3 18, 2.13 26,= = = =

2 23.13 39, 3 .13 117, 2.3.13 78, 2.3 .13 234= = = = .

Note que a quantidade de divisores de um número depende da quan-tidade de primos da fatoração e de quantas vezes cada um deles apa-rece, ou seja, dos expoentes de cada primo.

Generalizando:

“Seja b um número natural cuja decomposição em fatores primos é dada por

1 21 2. . ... . n

nb p p p=

com 1 2 np p p< < <

primos e naturais.

Então o número de divisores de b é:

1 2( ) ( 1).( 1). ... .( 1)nd b = + + + .”

Observação importante: Na decomposição 1 21 2. . . n

nb p p p=

os primos 1 2, , , np p p são todos diferentes! O resultado não vale se deixarmos primos iguais como fatores da decomposição.

Exercícios resolvidos2) Sejam 6 3 22 .3 .5m = , 2 .3 .5r s tn = e 5 42 .5x = . Escreva as condições

que devem satisfazer ,r s e t para que n seja divisor comum de m e x .

Resolução. 2 .3 .5r s tn = deve ser um divisor de 6 3 22 .3 .5m = e de 5 42 .5x = . Para tanto, os primos comuns que aparecem na decom-

posição de m e de x devem também aparecer na decomposição de n ; são eles: 2 5e . Como 3 não aparece na decomposição de x , já podemos concluir que 0s = .

Vamos analisar os expoentes r e t:

i) expoente r3 2 4.2.3 .5 .52.2.2.2.2 2.2.2.2.2m e x= =

149

52 é a máxima potência de 2 que divide m e x ; no entanto, 0 2 3 42 1, 2, 2 , 2 2e= também dividem m e x . Assim, devemos

ter 0 5r≤ ≤ , ou seja, r é igual a 0, 1, 2, 3, 4 5ou .

ii) expoente t6 3 52 .3 .5.5 e 2 .5.5.5.5m x= = .

Analogamente, devemos ter t igual a 0, 1 2ou .

Resposta. As condições para os expoentes são: r igual a 0, 1, 2, 3, 4 ou 5; 0s = ; t igual a 0, 1 2ou .

3) Dados 2 23 .19.71a = , 52.3 .19.61b = e 4 22 .19 .71c = , determine:

a) ( . )mdc a b

b) ( , )mmc b c

Resolução.

a) .71.713.3.19a = ; 2.3.3.3. .613.3.19b = ( , ) 3.3.19 171mdc a b = =

b) 2. 19.3.3.3.3.3. 61b = ; 2.2.2.2.19.19.71c = 4 5 2( , ) 2 .3 .19 .61.71mmc b c =

4) Qual o menor número natural de dois algarismos que admite 8 divisores?

Resolução. Seja b o número procurado, com ( ) 8d b = . Como ( )d b é um produto, vamos analisar as possibilidades de produtos que re-sultam 8 :

i) ( ) 8 2.4 (1 1).(3 1)d b = = = + +

Neste caso, teríamos dois primos na decomposição e os expo-entes dos primos seriam 1 3e ; como queremos o menor núme-ro natural de dois algarismos, escolhemos os menores primos, 2 3e , e destinamos o maior expoente para o menor primo. Assim, 32 .3 24b = = .

ii) ( ) 8 2.2.2 (1 1).(1 1).(1 1)d b = = = + + +

Já neste caso, teríamos três primos na decomposição, todos com expoente 1. Os três menores primos são 2, 3 5e . Assim,

2.3.5 30b = =

150

Como queremos o menor número, concluímos que o número procu-rado corresponde à possibilidade (i).

Resposta. O menor número de dois algarismos que admite 8 diviso-res é 24 .

Exercícios propostos 11) Achar um número n sabendo que satisfaz as condições :

a) n é um cubo

b) n admite 16 divisores

na divisão de c) n por 43 , o quociente é um número primo e o resto é 1.

12) Considere a e b números naturais não relativamente primos, cujo produto é 420 . Determine ( , )mdc a b .

13) Qual o menor número natural que admite 20 divisores ?

14) Prove que se um número natural não nulo tem um número ímpar de divisores então ele é um quadrado.

15) Mostre que, se um número natural a é primo, então o número de divisores de 2a é .

16) Determine r e s para que 32 .5 .7r sa = tenha 84 divisores.

17) Seja a um número natural que não é divisível por nenhum quadrado diferente de 1 (um número assim é chamado “livre de quadrados”). Se r é o número de fatores primos de a , mos-tre que ( ) 2rd a = .

18) Um número n decomposto em fatores primos é da forma 2 .3 .5x y zn = . Ache o número n sabendo-se que se elimina 24

divisores quando dividimos n por 2 , 18 divisores quando di-vidimos n por 3 12e divisores quando dividimos n por 5 .

19) Achar dois números, um com 10 divisores e outro com 21 divisores, tal que seu mdc seja 18 .

151

20) Achar dois números a e b tais que 2 2 10530a b+ = e ( , ) 297mmc a b = .

ResumoComo dito na introdução, estudamos neste capítulo números pri-mos, o Teorema Fundamental da Aritmética e diferentes estratégias de cálculo do mdc e mmc usando fatoração. Vimos, também, que a fatoração de um número permite-nos obter informações diversas sobre o número como: quantidade de divisores, se o número é um quadrado, um cubo ou outra potência.

Bibliografia comentadaDOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmética. São Paulo: Atual, 1991.

Este livro, já citado no capítulo anterior, é uma obra que, além de desenvolver o conteúdo, propõe exercícios interessantes. Sugerimos a consulta deste livro ao estudante que busca mais informações sobre o tema.

Capítulo 5Princípio de Indução

155

Capítulo 5Princípio de Indução

Neste capítulo, estudaremos o Princípio de Indução, um método de demonstração de teoremas aritméticos, ou, mais rigorosamente, de resultados referentes às proprie-dades gerais dos números naturais. Muitas vezes, este é o único instrumento adequado para a demonstração de um resultado.

O método que vamos estudar é conhecido como “Primeiro prin-cípio de indução”, uma vez que existe um “Segundo princípio de indução” que não abordaremos aqui. Como você já deve ter per-cebido, demonstrar afirmações é uma prática em matemática; este particular método de demonstração acompanhará você até o final do curso, aparecendo em, praticamente, todas as disciplinas de conteúdo matemático. Uma característica deste método é que ele se aplica somente a afirmações referentes à sequência de números naturais 0, 1, 2, 3, Veja alguns exemplos de afirmações que po-dem ser demonstradas usando o Princípio de Indução:

1) 10 1n − é múltiplo de 3 , para todo número natural , 0n n ≥ .

2) 22n n> , para todo número natural 5n ≥ .

3) 1

0 1 2 31

(2 )cos 2 .cos 2 .cos 2 .cos 2 . .cos 22 .

nn

n

sensen

+

+= , para todo número natural 0n ≥ .

Você percebeu algo em comum nestes exemplos?

Todos eles são de afirmações que são verdadeiras para todo núme-ro natural, a partir de um número natural dado: no exemplo 1, a partir de 0 , no exemplo 2 a partir de 5 e no exemplo 3 a partir de 0 . Como o conjunto dos números naturais é infinito, não é possível fazer a verificação da veracidade de cada afirmação ex-perimentando todos os números naturais! É para afirmações como essas que necessitamos do Princípio de Indução. Em linhas ge-rais, o Princípio de Indução é um teorema que nos garante que

156

afirmações deste tipo podem ser provadas para todo número natu-ral a partir de um número dado, sem verifica-los um a um, o que seria impossível. Ao contrário do que parece, é um método dedutivo de demonstração. Você conhece o “efeito dominó”? Basta um leve toque no primeiro e todos os outros caem. É com esta idéia que você vai começar a trabalhar agora.

5.1 Princípio de InduçãoVocês já viram na disciplina de Problemas - Sistematização e Repre-sentação que existem proposições (resultados) gerais e particulares.

Relembremos alguns exemplos de resultados:

Resultado geral: Todo número natural terminado em 1) 0 é divi-sível por 5 . Resultado particular: 130 é divisível por 5 .

Resultado geral: Todo ser humano é mortal.2) Resultado particular: você é mortal.

No primeiro exemplo, do fato de “Todo número natural terminado em 0 é divisível por 5 ” ser verdadeira, deduzimos que “130 é divi-sível por 5 ”, também é verdadeiro, pois 130 termina em 0 (zero).

“Todo número natural terminado em 0 é divisível por 5 ”

130 é um número natural terminado em 0 .

Logo: 130 é divisível por 5 .

O raciocínio de passar do geral ao particular é chamado “dedução”. Se a afirmação é verdadeira no caso geral, tam-bém será em casos particulares.

Observemos os seguintes exemplos:

É possível estabelecer um resultado geral para a soma dos ‘1) n ’ primeiros números ímpares?

1 3 5 (2 1) ?n+ + + + − =

157

Vamos analisar casos particulares:

2

2

2

2

2

1, 1 1 12, 1 3 4 23, 1 3 5 9 34, 1 3 5 7 16 45, 1 3 5 7 9 25 5

nnnnn

= = =

= + = =

= + + = =

= + + + = =

= + + + + = =

É razoável pensar que, ao somar n ímpares o valor da soma será 2n , com ‘ n ’ sendo o número de parcelas somadas.

No entanto, esta é apenas uma conjectura. Existe um abismo en-tre “provavelmente verdadeiro” e “absolutamente verdadeiro”.

É necessário um argumento lógico que nos garanta a validade da afirmação:

21 3 5 (2 1)n n+ + + + − = , para todo valor de , 1n n ≥ .

Observemos agora a afirmação:2)

2 41x n n= + + é um número primo 0n∀ ≥ .

Casos particulares:

0, 411, 432, 473, 534, 615, 716, 837, 978, 1139, 131

n xn xn xn xn xn xn xn xn xn x

= ⇒ == ⇒ == ⇒ == ⇒ == ⇒ == ⇒ == ⇒ == ⇒ == ⇒ == ⇒ =

Mas, para 40n = , teremos

240 40 41 40(40 1) 41 40.41 41+ + = + + = + =

41(40 1) 41.41= + = é um número composto!

.

158

Apesar de “parecer” verdadeira (e é para os primeiros 39 valo-res de n ), a afirmação não se verifica para todo 0n ≥ .

Analisemos as afirmações:3)

3n n− é divisível por 3 ,

5n n− é divisível por 57n n− é divisível por 7

Parece razoável que kn n− é divisível por ,k k∀ ímpar , 1n∀ ≥ , mas 92 2 510− = não é divisível por 9 !

Conclusão: Uma proposição pode ser válida em uma série de casos particulares e não ser válida em geral.

Questão: Como garantir que uma proposição geral é verdadei-ra para todo número natural ‘n’, se não podemos experimentar todos os valores possíveis de ‘n’?

Resposta: Às vezes (mas nem sempre) podemos garantir a va-lidade aplicando um argumento especial, chamado “Princípio de Indução”. Vamos aplicar este argumento em nosso primeiro exemplo. Leia com atenção.

Exemplos:

1) Prove que 21 3 5 (2 1)n n+ + + + − = , para todo 1n ≥ .

1°) Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural envolvido, no caso 1n = ;

21 1= é verdadeiro.

Note que 1n = significa que estamos considerando a “soma” de uma parcela.

2°) Sendo k um valor para o qual a afirmação é verdadeira, k fixo, 1k ≥ , verificamos se ela continua válida para 1k + , número natural que segue imediatamente.

159

Suponhamos que:

21 3 5 (2 1) (2 1) ( 1)k k k+ + + + − + + = + ,

(ou seja, a igualdade é verdadeira para a soma de k parcelas de números ímpares).

Acrescentamos mais um ímpar à soma, ficando com 1k + parcelas ímpares. Nosso objetivo agora é provar a igualdade

21 3 5 (2 1) (2 1)k k k+ + + + − + + = , isto é, que a nossa afirma-ção original é verdadeira para 1k + parcelas. Note que o nú-mero ímpar que segue 2 1k − é 2 1k + .

2 2

²

1 3 ... (2 1) (2 1) 2 1 ( 1)esta parcela e igual a k

k k k k k+ + + − + + = + + = +

.

Note que a última igualdade se deve ao fato de 2 2( 1) 2 1k k k+ = + + (Trinômio Quadrado Perfeito).

Assim, podemos garantir que a afirmação vale para 1, 2, 3,n n n= = = etc, isto é, a afirmação é verdadeira para

todo 1n ≥ .

Observação. Neste exemplo, fizemos nosso raciocínio de indução sobre a quantidade de parcelas (de números ímpares) que estavam sendo somados.

Em resumo, para provar que a soma dos primeiros ‘ n ’ números ímpares é igual a 2n , para todo 1n ≥ , fizemos o seguinte:

1°) Verificamos que a igualdade era verdadeira para uma parcela ( 1n = ).

2°) Supomos a igualdade verdadeira para k parcelas, chamamos esta suposição de Hipótese de Indução. Este fato nos levou a concluir que a igualdade também era verdadeira para 1k + parcelas, ou seja, que a soma dos 1k + primeiros números ím-pares era igual a 2( 1)k + .

Se provarmos a igualdade para o primeiro valor de ‘ n ’ ( 1n = ) provamos que, valendo para um valor k fixo também vale para

1k + , podemos concluir que a igualdade é verdadeira para 1 1 2, 2 1 3, 3 1 4+ = + = + = etc; isto nos garante que a igualdade n é verdadeira para todo valor de 1n ≥ .

160

2) 10 1n − é múltiplo de 3 para todo 1n ≥ .

Faremos a indução sobre ‘ n ’, a potência de 10 .

1°) para 11, 10 1 9 3.3n = − = =

Logo, 110 1− é múltiplo de 3 .

2°) Hipótese de Indução: Consideremos válido para k fixo, 1k ≥ : 10 1k − é múltiplo de 3 , ou seja, 10 1 3k y− = , para

algum y natural.

Nosso objetivo é mostrar que 110 1k+ − também é múlti-plo de 3 , ou seja, devemos mostrar a existência de um número natural x tal que 110 1 3k x+ − = . Para provar esta igualdade, vamos desenvolver o membro da esquerda e usar nossa Hipótese.

110 1 10 .10 110 .(9 1) 1 9.10 10 1

9.10 3 3(3.10 ) 3

k k

k k k

HIk k

x

y y x

+ − = − =

= + − = + − =

= + = + =

Logo, 10 1n − é múltiplo de 3 .

De 1°) e 2°) concluímos que 10 1n − é múltiplo de 3 para todo 1n ≥ .

3) 3 1n − é múltiplo de 2 , para todo 1n ≥ .

Para n = 1 temos que: 13 1 2− = ; 2 é múltiplo de 2 . Logo, vale para 1n = .

Hipótese de indução: k fixo, 1k ≥ ; 3 1k − é múltiplo de 2 , ou seja: 3 1 2k y− = , para algum y∈ .

Nosso objetivo é mostrar que 13 1 3k x+ − = para algum x natu-ral. Análogo ao exemplo anterior, fazemos:

Logo: 3 1n − é múltiplo de 2 , 1n∀ ≥ .

.

.

161

Vamos enunciar o Princípio de Indução:

Princípio de Indução:Princípio de Indução

Seja a um número inteiro.

Uma proposição é verdadeira para todo inteiro n ≥ a se são verificadas as condições:

A proposição é verdadeira para a (o primeiro inteiro en-1) volvido).

Admitindo a proposição válida para um número 2) k ≥ a, provamos sua validade para k + 1 (o número consecutivo).

Mais exemplos

4) ( 1)1 2 3 ...

2n nn +

+ + + + = , 1n∀ ≥ ( n é a quantidade de naturais

consecutivos somados).

1°) 1n = , 1(1 1) 2 1

2 2+

= = . OK.

2°) Hipótese de indução: para k fixo, 1k ≥ ,

( 1)1 2 3 ...2

k kk ++ + + + = .

Nosso objetivo, agora, é provar que a igualdade é verdadeira se acrescentarmos mais uma parcela. Note que estamos fazendo a indução sobre a quantidade de parcelas somadas. Assim, o que queremos provar é a igualdade,

( 1)( 2)1 2 ... ( 1)2

k kk k + ++ + + + + = .

Vamos desenvolver o membro da esquerda e usar a hipótese de indução.

( 1)1 2 3 ... ( 1) ( 1)2

( 1) ( 1) ( 1)( 1)2 2

2 ( 1)( 2)( 1)( )2 2

HI

k kk k k

k kk k k

k k kk

++ + + + + + = + + =

= + + + = + + =

+ + += + =

.

162

Assim, a igualdade é verdadeira para 1k + .

Logo, ( 1)1 2 ...

2n nn +

+ + + = é verdadeira para todo 1n ≥ .

5) 7 é divisor de 32 1, 0n n− ∀ ≥

1°) Para 3 00, 2 1 1 1 7.0 0n ⋅= − = − = = . Logo vale para 0n = .

2°) Hipótese de indução: para k fixo, 0k ≥ , 7 é divisor de 32 1k − , ou seja, 32 1 7k y− = , para algum y∈ .

Nosso objetivo é mostrar que 3( 1)2 1 7k x+ − = para algum x∈ .

Logo , 7 é divisor de 32 1, 0n n− ∀ ≥ .

6) 11.2 2.3 3.4 ... ( 1) ( 1)( 2)3

n n n n n+ + + + + = + + , 1n∀ ≥

A indução aqui será feita sobre o número de parcelas soma-das.

1°) Para 1n = , 1 1 6(1 1)(1 2).1 (2)(3).1 .1 2.13 3 3

+ + = = = . Logo vale

para 1n = (uma parcela).

2°) Hipótese de indução: para k fixo, 1k ≥ ,

11.2 2.3 3.4 ... ( 1) ( 1)( 2)3

k k k k k+ + + + + = + + .

Nosso objetivo é provar a igualdade

( 1)( 2)( 3)1.2 ... ( 1) ( 1)( 2)3

k k kk k k k + + ++ + + + + + = .

Vamos desenvolver o membro da esquerda e usar a Hipótese; note que a parcela acrescentada é o produto ( 1)( 2)k k+ + .

.

163

1.2 2.3 ... ( 1) ( 1)( 2)1 ( 1)( 2) ( 1)( 2)3

1 3( 1)( 2) 1 ( 1)( 2)3 3

( 1)( 2)( 3)3

k k k k

k k k k k

kk k k k k

k k k

+ + + + + + + =

= + + + + + =

+ = + + + = + + = + + +

=

Logo, 11.2 2.3 3.4 ... ( 1) ( 1)( 2)3

n n n n n+ + + + + = + + , 1n∀ ≥ .

7) Demonstração de Propriedades das Potências

Propriedade. Seja *x∈ , ,n m∈ . Então:

a) .n m n mx x x +=

b) .( )n m n mx x=

Antes de provar estas propriedades, vejamos primeiramente a seguinte definição de potência de um número inteiro:

Definição. Para ‘ x ’ um número inteiro e ‘ n ’ um número natural, definimos:

0

1

1

1 0

1

. 1n n

x para nx x para nx x x para n+

= =

= = = >

Exemplo. 4 3 25 5 .5 (5 .5).5 [(5.5).5].5 25.5.5 625= = = = =

Note que esta é uma definição “por recorrência” como a definição de adição vista no capítulo 2.

Vejamos, agora, as demonstrações:

a) Consideramos ‘ n ’ fixo e fazemos a indução sobre ‘ m ’.

1°) Para 0m = , 0 0. .1n n n nx x x x x += = = . Logo, a afirmação é ver-dadeira para 0m = .

2°) Hipótese de indução: para k fixo, 0 : .n k n kk x x x +≥ =

.

164

Nosso objetivo é mostrar que a afirmação é verdadeira para 1k + , ou seja, 1 ( 1).n k n kx x x+ + += . Para provar esta igualdade, vamos de-senvolver o membro da esquerda e usar a Hipótese de indução.

1

.( ) 1 ( 1)

. . . ( . ).

.

HIn k n k n k

Defn k n k n k

x x x x x x x x

x x x x

+

+ + + + +

= = =

= = =

Logo, a afirmação é verdadeira para todo 0n ≥ .

b) Consideramos ‘ n ’ fixo e fazemos a indução sobre ‘ m ’:

1°) Para 0m = , 0( ) 1nx = e .0 0 1nx x= = . Logo, 0 .0( ) 1n nx x= = .

2°) Hipótese de Indução: para k fixo, 0k ≥ , .( )n k n kx x= .

Nosso objetivo é mostrar que a afirmação é verdadeira para 1k + , ou seja, 1 ( 1)( )n k n kx x+ += . Para provar esta igualdade, vamos desen-volver o membro da esquerda e usar a hipótese de indução.

)1 1 .

.( 1)

( ) ( ) .( ) .aHI

n k n k n n k n

nk n n k

x x x x xx x

+

+ +

= = =

= =

Logo, a afirmação é verdadeira para todo 0m ≥ .

8) Demonstração da propriedade da congruência

Sejam a, b e m inteiros, 1m > .

Se (mod )a b m≡ então, (mod )n na b m≡ , para todo 1n ≥ .

Demonstração:

1°) Para 1n = , a afirmação é verdadeira por hipótese.

2°) Hipótese de indução: Suponhamos a afirmação verdadeira para k fixo, 1k ≥ : (mod )k ka b m≡ .

Nosso objetivo é mostrar que 1 1(mod )k ka b m+ +≡ .

Como (mod )a b m≡ por hipótese e (mod )k ka b m≡ pela Hipóte-se de Indução, usando o item anterior temos:

1 1

. . (mod ), ,

(mod )

k k

k k

a a b b m ou sejaa b m+ +

≡

≡

Logo, a afirmação é verdadeira para todo 1n ≥ .

.

.

165

Exercícios propostosProve que: 1) 3n n− é divisível por 6 , 1n∀ ≥ .

Prove que: 2) 11 é divisor de 2 1 22 .3 1, 1n n n− + + ∀ ≥ .

Prove que: 3) 2 3 11 2 2 2 ... 2 2 1n n−+ + + + + = − , 1n∀ ≥ .

Prove que: 4) 2 2 2 2 (2 1)( 1)1 2 3 ...6

n n nn + ++ + + + = , 1n∀ ≥ .

Prove que: 5) 22n n> , 5n∀ ≥ .

ResumoEstudamos, neste capítulo, um método de demonstração, chamado: “Primeiro princípio de indução” que consiste do seguinte:

“Seja a um número inteiro.

Uma proposição é verdadeira para todo inteiro n a≥ se são verifica-das as condições:

A proposição é verdadeira para 1) a (o primeiro inteiro envolvi-do).

Admitindo a proposição válida para um número 2) k a≥ , prova-mos sua validade para 1k + (o número consecutivo).”

Você deve ter percebido a tipologia das afirmações, para as quais, o princípio da indução se mostra como uma forma adequada e efi-ciente para fazer demonstrações.

Bibliografia comentadaSOMINSKI, I. S. Método de indução matemática. São Paulo: Atual, 1996.

Neste livro você encontra vários exemplos de resultados demonstrados pelo método de indução estudado aqui.

Capítulo 6Números racionais

169

Capítulo 6Números racionais

Neste texto, faremos um estudo do conjunto dos núme-ros racionais a partir da idéia de fração. As operações e a relação de ordem serão trabalhadas nas duas repre-sentações: decimal e fracionária. Também apresentare-mos as propriedades relativas às operações.

6.1 IntroduçãoOs números racionais aparecem pela primeira vez nas séries ini-ciais do Ensino Fundamental, com a idéia de “fração”; na quinta e na sexta séries do Ensino Fundamental o assunto é retomado sob o ponto de vista de um conjunto numérico com operações pró-prias e novos algoritmos. O que era o “pedaço de um todo” passa a ser tratado como número. É um assunto que requer uma abor-dagem cuidadosa para que o estudante possa fazer essa transição de modo natural. Muito importante também neste contexto são as diferentes representações de um número racional.

Historicamente, os números racionais já aparecem nos mais an-tigos registros. Em 2000 a.C. os babilônios já usavam frações, es-sencialmente como as usamos hoje; aos egípcios se credita o pri-meiro tratamento sistemático das frações (papiro de Rhind, cerca de 1700 a.C.) referente a frações unitárias (frações com numerador igual a 1). Os gregos possuíam notações especiais para as frações (escreviam somente o denominador das frações unitárias) e os ro-manos usavam em geral frações de denominador 12 . Cálculos com frações constituíam a parte principal da instrução matemá-tica nas escolas romanas. O modo atual de representar as frações provavelmente originou-se na civilização indiana.

No século VI, o denominador era escrito acima do numerador, sem o traço; por volta do ano 1000 de nossa era, os árabes in-troduziram o traço separando numerador de denominador. Em

170

1585, Simon Stevin apresentou ao ocidente a notação decimal como a conhecemos hoje, que se originou da representação de uma fração como soma de frações cujos denominadores são potências de 10 e cujos numeradores são os algarismos. Esta notação universalizou-se somente no século XVIII, apesar das vantagens que tem sobre a notação em forma de fração. Até hoje existem pequenas diferen-ças relativas à notação decimal; por exemplo, os americanos usam o ponto e nós usamos a vírgula para separar a parte inteira da parte fracionária: eles escrevem 2.1 e nós escrevemos 2,1 para represen-tar dois inteiros e um décimo.

6.2 A idéia da construção do conjunto dos números racionais

A idéia da construção do conjunto dos números racionais é seme-lhante àquela apresentada na construção do conjunto dos núme-ros inteiros: utilizar o que “falta” em para gerar novos números, formando um conjunto mais amplo, no qual o “defeito” de não aparece. Mas qual é o “defeito”? O que “falta” em ? Assim como em nem sempre podemos subtrair, em nem sempre podemos dividir. Ou seja: as equações da forma a x b+ = com a e b naturais nem sempre têm solução em (só têm solução em quando b a≥ ) e as equações da forma bx a= com a e b inteiros nem sempre têm solução em (têm solução em quando |b a ). Analogamente ao processo do capítulo 2, “acrescentamos” ao conjunto todas as so-luções das equações da forma bx a= com a e b inteiros. Vamos observar as equações desta forma:

1 0x = 2 0x = 3 0x = ( 1) 0x− = ( 2) 0x− =

1 1x = 2 1x = 3 1x = ( 1) 1x− = ( 2) 1x− =

1 2x = 2 2x = 3 2x = ( 1) 2x− = ( 2) 2x− =

1 3x = 2 3x = 3 3x = ( 1) 3x− = ( 2) 3x− =

1 1x = − 2 1x = − 3 1x = − ( 1) 1x− = − ( 2) 1x− = −

1 2x = − 2 2x = − 3 2x = − ( 1) 2x− = − ( 2) 2x− = −

1 3x = − 2 3x = − 3 3x = − ( 1) 3x− = − ( 2) 3x− = −

Assim como nos outros textos dessa disciplina, aconselhamos o leitor a estudá-lo com lápis e papel na mão; uma calculadora simples também pode ser útil.

171

As soluções das equações da primeira coluna são números inteiros, ou melhor, geram todos os números inteiros; as outras equações que têm solução inteira estão sublinhadas e correspondem às mesmas soluções da primeira coluna. Observe que não listamos equações do tipo 0x a= quando a é diferente de zero, uma vez que qualquer nú-mero inteiro multiplicado por zero resulta zero: equações deste tipo não têm solução no universo dos conjuntos numéricos. As equações que restam não admitem como solução um número inteiro; são es-tas soluções que iremos “acrescentar” ao conjunto . Mas observe que em nossa listagem de possíveis equações temos equações com a mesma solução; por exemplo, 2 3x = e ( 2) 3x− = − . Ambas têm a mesma solução, pois a primeira se obtém da segunda pela multipli-cação de um mesmo número em ambos os membros, o que não alte-ra a equação. Assim, não será preciso acrescentar todas as soluções correspondentes às equações da tabela. Vamos listar estas equações equivalentes em colunas:

2 1x = 2 3x = ( 2) 1x− = ( 2) 3x− =

4 2x = 4 6x = ( 4) 2x− = ( 4) 6x− =

6 3x = 6 9x = ( 6) 3x− = ( 6) 9x− =

( 2) 1x− = − ( 2) 3x− = − 2 1x = − 2 3x = −

( 4) 2x− = − ( 4) 6x− = − 4 2x = − 4 6x = −

( 6) 3x− = − ( 6) 9x− = − 6 3x = − 6 9x = −

12

32

12

−32

−

É claro que não podemos listar todas as possíveis equações, mas a tabela acima mostra-nos um padrão; todas as equações da primeira coluna têm a mesma solução, isto é, um número que multiplicado

por 2 resulta 1. Este novo número será denotado 12

. Assim também

acontece nas outras colunas. Cada uma delas vai gerar um novo nú-mero que não é inteiro. De modo geral, observando as duas tabelas, se a equação é bx a= com a e b números inteiros e b diferente de

zero, sua solução será denotada por ab

. O conjunto resultante da

ampliação que acabamos de fazer é o conjunto dos números x que

172

são soluções de uma equação da forma bx a= , com a e b inteiros e b diferente de zero. Este novo conjunto, chamado “conjunto dos números racionais” é denotado .

Simbolicamente, representamos o conjunto por:

/ , , 0a a b bb

= ∈ ≠

.

Observação 1. Note que:

1) /1a a = ∈ ⊂

, conclusão que resulta da ampliação que

fizemos.

2) a natureza dos elementos de e do novo conjunto são di-ferentes. Por este motivo não poderíamos afirmar que ⊂ . No entanto, como podemos identificar como um subconjun-to de , usamos ⊂ . Veremos logo a seguir que a estru-tura de (operações, propriedades e ordem) se mantém nesta nova representação.

Observação 2. Na representação ab

de um número racional, a é o numerador e b é o denominador.

Observação 3. Note que um número racional ab

é igual a zero quan-do seu numerador é igual a zero.

TarefaPesquise qual a origem das palavras numerador e denominador.

Comentários:

1) Sobre frações como parte de um todo. De modo geral, o pri-meiro contato dos alunos com os números racionais se dá atra-vés da idéia de fração, como uma quantidade que representa uma parte do todo. O universo de trabalho neste nível é o con-junto dos números naturais, e “divisão” significa divisão exata (o algoritmo da divisão com resto zero).

173

Alguns exemplos

a) 12

maçã representa a quantidade correspondente a um

dos pedaços que resulta da divisão da maçã em duas partes iguais.

b) 13

de 30 balas representa a quantidade correspondente a

um dos “pedaços” que resulta da divisão de 30 por três, ou seja, 10 balas.

c) 25

de 100 reais representa a quantidade correspondente a

dois dos pedaços que resulta da divisão de 100 reais por 5 , ou seja, 2.(100 5) 2.20 40÷ = = reais.

2) Sobre frações equivalentes. Os números racionais 34

e 68

provêm das equações 4 3x = e 8 6x = respectivamente. Como 8 6x = resulta da multiplicação por 2 em ambos os membros

de 4 3x = , 34

e 68

são duas representações do mesmo número racio-

nal. Note que 68

se obtém de 34

pela multiplicação por 2 do

numerador e do denominador; 68

e 34

são frações equivalentes.

Pensando em uma fração como parte de um todo, dividir o todo em 4 partes iguais e tomar 3 resulta na mesma quantida-de obtida se dividirmos o todo em 8 partes iguais e tomarmos 6 . Veja o clássico desenho que aparece nos livros didáticos:

Outras representações do número racional 34

são: 34−−

, 1216

, 9

12, etc.

Você deve ter percebido que um número racional tem então uma in-finidade de representações; podemos escolher trabalhar com aquela que for mais adequada, dependendo da situação. Por exemplo, se

174

temos o número 59

e necessitamos trabalhar com denominador 45 ,

podemos substituir 59

por 5.5 255.9 45

= pois 5 259 45= .

Exercícios propostosSubtraindo-se um mesmo número do numerador e do deno-1)

minador da fração 8

12, obtém-se uma fração equivalente a

812

?

Desenhe um segmento de 2) 12 cm de comprimento e marque os números de zero a 12 . Associe cada uma das frações seguintes

a um ponto do segmento: 34

de 12 , 56

de 12 , 7

14 de 12 ,

224

de

12 e 14

de 12 .

Que fração da hora é o minuto? Quantos minutos há em 3) 35

de hora?

Quantos meios litros há em 4) 5 litros e meio?

Existe uma fração equivalente a um terço com denominador 5) 10?

Soma-se 6) 7 ao denominador da fração 2

14. Quanto se deve so-

mar ao numerador para obter uma fração equivalente?

6.3 Operações em Para definir as operações em , usaremos as operações em e suas propriedades (capítulo 2), propriedades estas que não gostaría-mos de “perder” no processo de ampliação. Considerar um número racional como solução de uma equação nos permite encontrar uma maneira de operar os novos números de modo que a estrutura de se mantém também em . É como se fizéssemos o processo de operar “de trás para frente”: considerando que as propriedades de se mantêm em , como posso operar com os novos números?

175

6.3.1 Adição em Consideramos dois números racionais x e y . Como os elementos do conjunto são soluções de equações, temos que existem , ,a b c e d inteiros, b e d não nulos, tais que

1) x é solução de bx a=

e

2) y é solução de dy c= .

Pergunta: qual a equação que tem x y+ como solução? Ou seja, para quais inteiros p q+ , com 0q ≠ , temos ( )q x y p+ = ? Multiplicando ambos os membros da equação 1) por d e ambos os membros da equação 2) por b , e considerando que estão mantidas as proprie-dades associativa, comutativa e distributiva em (pois x e y são racionais), obtemos:

3) bdx ad= e

4) bdy bc=

Adicionando membro a membro temos:

( )bdx bdy ad bcbd x y ad bc

+ = ++ = +

Assim, x y+ é solução da equação ( )bd x y ad bc+ = + . Os inteiros que estávamos procurando são 0q bd= ≠ (pois b e d são não nulos), e p ad bc= + , ou seja, x y+ é solução da equação ( )( )bd x y ad bc+ = +

e é representado em como ad bc

bd+

. Isto nos indica como definir a adição em :

Definição. Dados dois números racionais a ceb d

, com , ,a b c e d

inteiros, 0 0b e d≠ ≠ , definimos sua soma como:

a c ad bcb d bd

++ = .

Observação 4. Nesta soma de frações não estranhe o fato de não precisarmos do mmc dos denominadores. Acompanhe os exemplos a seguir.

176

Exemplos

4) 3 13 3.6 8.13 18 104 1228 6 8.6 48 48

+ ++ = = = .

Se a soma for feita com o mmc dos denominadores 8 e 6 , tere-mos: mmc (8,6) 24= e as frações equivalentes com denomina-

dor 24 são 3.3 98.3 24

= e 13.4 526.4 24

= .

Então 3 13 9 52 618 6 24 24 24+ = + = .

Como 61 12224 48

= , pois 61.2 122= e 24.2 48= , obtemos o mesmo

resultado.

5) 3 7 3.17 7.17 17.(3 7) 10

17 17 17.17 17.17 17+ +

+ = = = .

Observe que na última igualdade estamos usando o fato de

que as frações 17.1017.17

e 1017

são equivalentes. Observe também

que, como os denominadores das frações que queremos somar são iguais, basta somar os numeradores e considerar o mesmo denominador.

6) 6 3 6 3.7 1.6 2737 1 7 1.7 7

++ = + = = .

(Observe que para efetuar o algoritmo da adição em preci-

samos representar o número inteiro 3 como 31

).

Um número como 637

+ pode ser anotado por 637

e é chamado

um número misto. De modo geral se ,q a e b são inteiros, o

número aqb

representa a soma aqb

+ .


Assim como em , a adição de números racionais é associativa e comutativa (propriedades A1 e A2). também possui as proprie-

177

dades da existência do elemento neutro e da existência do oposto, que vamos detalhar a seguir. Assim, em relação à adição, admite as mesmas propriedades que .

A3) Para todo número racional ab

(com a e b inteiros e 0b ≠ ),

existe o número racional 01

tal que 01

a ab b+ = .

Demonstração. O “candidato” a ser o elemento neutro da adição em

é o número inteiro 0 , que em é representado por 01

(pode-

ríamos ter escolhido qualquer outro denominador, mas 1 é o mais conveniente neste caso; lembre das frações equivalentes!). Vamos ve-

rificar que ele satisfaz a condição: 0 .1 .0 01 .1

a a b a ab b b b

+ ++ = = = .

(Note que usamos as propriedades das operações em no numera-dor).

Anotaremos o elemento neutro 01

por 0 , como em .■

A4) Para todo número racional ab

(com a e b inteiros e 0b ≠ ),

existe um número racional rs

tal que 0a rb s+ = .

Demonstração. Estamos procurando um número racional rs

que so-

mado com ab

resulte zero; observemos que:

. . 0. 1

a r a s b rb s b s

++ = =

.

Mas a última igualdade ocorre quando . . 0a s b r+ = , ou seja, quando

.a s e .b r são opostos. Como ab

é o número dado, quais valores de-

verão tomar s e r para que . ( . )a s b r= − ? Fazendo s b= e r a= − obtemos: . [ .( )]a b b a= − − , uma afirmação verdadeira pelas proprie-

dades das operações em (verifique!). Assim, o oposto de ab

em

é a a

b b−

= − . Note que ab−

também pode ser o oposto de ab

, uma vez

que a a

b b−

=−

(por quê?).■

178

6.3.2 Subtração em A subtração em é definida como em : subtrair é somar o opos-to.

Definição. Dados dois números racionais ab

e cd

, com , ,a b c e d

inteiros, com 0b ≠ e 0d ≠ , definimos sua diferença como:

( )a c a c ad bcb d b d bd

−− = + − = .

Exemplos

7) 4 5 4 5 4 5 4.6 9.5 24 45 21 21( ) ( )9 6 9 6 9 6 9.6 54 54 54

− − − −− = + − = + = = = = − .

8) 3 7 3 7.8 3.1 56 3 5378 1 8 1.8 8 8

− −− = − = = = .

9) 7 5 7 5 24 4 4 4

−− = = .

Exercícios propostos7) Uma piscina é enchida por duas torneiras. A primeira, sozi-

nha, encheria a piscina em 2 horas, e a segunda, em 5 horas. Que fração do tanque é enchida pelas duas torneiras em uma hora?

8) Numa receita de biscoitos, os ingredientes são:

um décimo de quilo de açúcar;•

um quinto de quilo de margarina;•

um quarto de quilo de farinha de trigo.•

Qual o peso total dos ingredientes para uma receita? Quanto será necessário de cada ingrediente para duas receitas? Qual a massa total dos ingredientes para duas receitas?

9) A quadra de vôlei tem 1202

metros de comprimento por 3124

metros de largura. Quantos metros a mais tem o comprimento em relação à largura?

179

10) Quanto se deve subtrair de cada uma das frações 5 18 7 8, , ,3 13 4 5

para se obter um inteiro?

11) Lígia saiu de casa às 8 horas e 15 minutos. Levou meia hora para chegar à escola, teve 3 aulas de quatro quintos de hora e telefonou para sua mãe buscá-la na escola. A que horas Lígia telefonou, sabendo que ela ligou imediatamente após a terceira aula?

6.3.3 Multiplicação em Consideramos dois números racionais x e y. Da mesma forma como fizemos para a adição, temos que existem a, b, c e d inteiros, b e d não nulos, tais que:

1) x é solução de bx a= e

2) y é solução de dy c= .

Pergunta: qual a equação que tem .x y como solução? Ou seja, para quais inteiros p e q, com 0q ≠ , temos ( . )q x y p= ? Multiplicando membro a membro as equações 1) e 2) e considerando que as pro-priedades associativa e comutativa se mantêm em (pois x e y são racionais), obtemos:

( ).( ) .( )

bx dy a cbd xy ac

==

Esta é a equação cuja solução é .x y ; o produto .x y será representado

em por acbd

. Podemos então definir:

Definição. Dados dois números racionais ab

e cd

, com , ,a b c e d

inteiros, b e d não nulos, definimos seu produto como:

a c acb d bd⋅ = .

Exemplos

10) 7 4 7.4 2811 9 11.9 99

⋅ = = .

11) 1 3 1 334 1 4 4⋅ = ⋅ = .

.

180

12) 5 7 5.7 35 351 1 1 1⋅ = = = .

O exemplo 12 nos mostra que, ao multiplicarmos em dois núme-ros inteiros, o resultado é ainda um número inteiro.

Propriedades da multiplicação em

Assim como em , a multiplicação de números racionais é asso-ciativa e comutativa (propriedades M1 e M2). também possui a propriedade da existência de elemento neutro para a multiplicação. Além disso, com a ampliação, ganhamos uma nova propriedade: a existência do elemento inverso. Vamos detalhar a seguir estas duas propriedades:

M3) Existência do elemento neutro. Existe um número racional rs

tal que r a as b b⋅ = , para todo número racional

ab

.

Demonstração. É razoável pensar que o elemento neutro de para a multiplicação será o mesmo de , como aconteceu na adição. Es-

colhemos para 1 a representação 11

. Lembre-se que existe uma infi-

nidade de representações para o inteiro 1: 1 2 5, , ,1 2 5

−−

. Toda fração

da forma kk

para k inteiro não nulo é uma representação do inteiro 1. Vamos verificar o que ocorre:

1 1.1 1.

a a ab b b⋅ = = .

■

Observe que o inteiro 1 fez o seu papel de elemento neutro (em ) no numerador e no denominador. Assim, o elemento neutro de

para a multiplicação é 11

que anotaremos como 1.

A propriedade que vamos estabelecer a seguir não ocorre em . Quando ampliamos , “ganhamos” mais uma propriedade para a multiplicação, que irá fornecer a uma nova estrutura (diferente de ) e que nos permitirá definir uma nova operação (a divisão). A propriedade nos diz que, para todo número racional não nulo x , existe um racional y tal que . 1x y = ; y é chamado o inverso de x .

181

Observe que este fato só ocorre em quando 1x y= = ou 1x y= = − .

M4) Existência do elemento inverso. Para todo número racional

não nulo ab

, existe um número racional cd

tal que 1a cb d⋅ = .

Demonstração. Antes de iniciar a demonstração vamos fazer algu-mas “experiências”:

Para o racional 1) 58

: qual o número racional cd

que multiplicado

por 58

resulta 1?

Para que ocorra 5 18

cd⋅ = , devemos ter

5. 18.

cd= , ou seja, as fra-

ções 5. 18. 1

c ed

são equivalentes. Mas as frações equivalentes a

11

são aquelas cujo numerador é igual ao denominador; então teremos 5. 8.c d= , com c e d números inteiros. Esta igualda-

de ocorre para 8c = e 5d = . Assim, o inverso de 58

em é o

número 85

.

Para o racional 2) 991

= , seu inverso será 19

, uma vez que 1 99 19 9⋅ = = .

Você já deve ter percebido o que está acontecendo. Vamos forma-lizar a idéia fazendo a demonstração, isto é, exibindo um número

racional que multiplicado por ab

resulte 1.

De fato: considere o racional não nulo ab

. Sabemos que a e b são

inteiros e que 0b ≠ ; como o racional é não nulo, também teremos

0a ≠ . Isto nos permite afirmar que ba

é um número racional, tam-

bém não nulo. Assim, ba

é nosso candidato a ser o inverso de ab

. Vamos verificar:

. . 1

. .a b a b a bb a b a a b⋅ = = = .

182

Desta forma, o inverso de ab

é ba

.■

Notação. Denotamos o inverso de ab

por 1a

b

−

, isto é, 1a b

b a

− =

.

Observação 5. Note que o inverso de um número racional existe se, e somente se, o racional é não nulo!

Vamos agora definir uma nova operação em : a divisão. Note que o Algoritmo da Divisão que estudamos no capítulo 3 não era uma operação em , mas uma relação entre dois números inteiros.

6.3.4 Divisão em Dados os números racionais,

ab

e pq

com 0pq≠ , definimos:

1a p a p a q aqb q b q b p bp

−

÷ = ⋅ = ⋅ =

.

Exemplos

13) 5 7 5 4 20

13 4 13 7 91÷ = ⋅ = .

14) 1 1 1 13 .4 4 3 12÷ = = .

15) 1 3 1 3 2 63 62 1 2 1 1 1

÷ = ÷ = ⋅ = = .

Observação 6. A operação divisão não é associativa, não é comuta-tiva e não possui elemento neutro. Note que, assim como subtrair é “somar o oposto”, dividir é “multiplicar pelo inverso”.

6.4 Frações irredutíveisVocê já sabe que cada número racional possui uma infinidade de representações na forma de frações. Mas uma delas é especial, e bastante conveniente em muitos casos: são as chamadas frações ir-redutíveis.

183

Definição. Sejam a e b números inteiros com b diferente de zero.

Uma fração ab

é irredutível quando mdc ( , ) 1a b = .

O resultado a seguir nos diz que todo número racional possui uma representação na forma de fração irredutível.

Teorema. Todo número racional x pode ser expresso na forma ab

com mdc ( , ) 1a b = .

Demonstração.

Seja x um número racional na forma rs

, com r e s inteiros e 0s ≠ .

Como r e s são inteiros, existe o mdc ( , )r s , que chamaremos d , e existem a e b inteiros, 0b ≠ , tais que .r d a= , .s d b= e mdc ( , ) 1a b = . Então

. 1

.r d a d a a as d b d b b b= = ⋅ = ⋅ = .

Logo a representação irredutível de rs

é ab

.

■

Observação 7. A demonstração do teorema nos ensina como encon-trar a representação irredutível de um número racional. Veja um exemplo: qual a representação na forma de fração irredutível do ra-

cional 3220

? Fazemos inicialmente mdc (32,20) 4= (se você esqueceu

como calcular o mdc volte ao capítulo 3 ). Então 32 4.8= e 20 4.5= ,

com mdc (8,5) 1= . Assim a fração irredutível equivalente a 3220

é 85

,

ou seja, 32 820 5

= .

6.5 Sobre a simplificação de frações“Simplificar uma fração” é encontrar sua forma irredutível; de modo geral não calculamos o mdc; vamos eliminando os fatores comuns

até que não seja mais possível. Por exemplo, para 3220

, fazemos: 32 2.16 16 2.8 820 2.10 10 2.5 5

= = = = . Este procedimento está correto, pois o que

184

fizemos foi “eliminar” o maior fator comum dos dois números (o mdc), resultando na fração irredutível. No entanto, simplificar uma fração não é um procedimento “obrigatório”: não podemos dizer

que um estudante errou a questão se sua resposta for 3614

, um ra-

cional que não é irredutível. Se o professor deseja que o estudante “simplifique” a fração, ele deve dizer explicitamente: “dê a solução

em sua forma irredutível”. Não podemos esquecer que 3614

e 187

são representações do mesmo número racional.

6.6 Sobre a nomenclatura das fraçõesÉ comum nos livros didáticos aparecerem nomes especiais para cer-tos tipos de frações; vamos explicitar alguns deles:

Fração própria: 1) ab

quando a b< . Exemplos: 1 8 45, ,5 14 123

.

Fração imprópria: 2) ab

quando b a< . Exemplos: 4 7 456, ,3 2 120

.

Fração decimal: quando o denominador é potência de 3) 10 .

Exemplos: 3 9 56, ,

10 100 1000.

Fração aparente: quando o numerador é múltiplo do denomi-4)

nador. Exemplos: 30 450 98, ,5 50 7

.

Fração unitária: quando o numerador é 5) 1. Exemplos: 1 1 1, ,

10 110 56.

Exercícios propostos12) Quanto é a terça parte de um meio?

13) Numa sala há 20 alunos. Hoje estão presentes três quartos dos alunos da classe e, dos presentes, dois quintos irão ao zo-ológico. Quantos alunos estão presentes hoje? Quantos irão ao zoológico?

185

14) Uma jarra tem a capacidade de dois terços de litro. Quando a jarra estiver cheia até sua metade com suco, quantos litros conterá?

15) Num mapa da cidade, 1 cm representa 10 quilômetros. Uma

distância de 315

cm no mapa corresponde a quantos quilôme-tros?

16) Uma garrafa contém dois terços de litro. Quantos litros con-têm 9 garrafas iguais a esta?

17) Qual o número que multiplicando por dois quintos resulta como produto sete oitavos?

18) Quantos centésimos tem um décimo?

19) Quantos cinco décimos há em 8 inteiros?

20) Um tanque contendo 750 litros de água está apenas com seis décimos de sua capacidade. Quantos litros de água haveria no tanque se estivesse cheio? Quanto falta para enchê-lo?

21) O que é mais barato: 6 laranjas por 0,34 reais ou 8 laranjas por 0,41 reais?

22) Se um piloto corre a 200 Km/h, quantos metros percorre num segundo, supondo que sua velocidade seja constante?

23) Dos 34

restantes de um bolo, comi 23

. Que fração do bolo comi?

24) Que fração devo somar a 23

para obter 89

?

25) Qual o número que multiplicado por 13

resulta, como produ-

to, 35

?

26) Quanto se deve subtrair de 23

para se obter a terça parte de 35

?

186

27) Uma peça de fazenda, depois de molhada, encolheu 2

15 de

seu comprimento, ficando com 39 metros. Quantos metros ti-

nha esta peça antes de encolher?

28) Imagine um recipiente de um litro ocupado até seus 23

com

guaraná. Supondo que se queira distribuir esse guaraná em

copos, cuja capacidade é 15

de litro, quantos copos ficarão

cheios e que fração de copo sobrará?

29) Quantos oito décimos há em 16 inteiros?

30) A fortuna de João foi dividida da seguinte forma: um quinto para seu irmão mais velho, um sexto do restante para seu ir-mão mais novo e partes iguais para cada um de seus 12 filhos. Que fração da fortuna cada filho recebeu? Dê a resposta na forma irredutível.

31) Em um mapa, um centímetro representa dezesseis quilôme-tros. Qual a distância real representada por cinco centímetros e meio?

32) Mostre com exemplos que a divisão não é associativa e não é comutativa. Mostre também que não vale a propriedade distri-butiva da divisão em relação à adição.

33) Expresse em frações irredutíveis cada uma das expressões:

a) 1 2 1 110 15 6.7 (4.8)− − − −+ + +

b) 3 1 2 14 5.10 7.14 (8 5)− − − −+ + + + .

187

6.7 Relação de ordem em Como comparar números racionais? Por exemplo: quem é maior,

45

ou 56

? Vamos marcar sobre a reta alguns números racionais:

-2 -1 0- 32

- 12

1 212

13

23

43

53

As frações unitárias (com numerador igual a 1) são partes de um inteiro e estão entre zero e 1. Para outros racionais não inteiros, uti-

liza-se a mesma idéia dos múltiplos em : 23

é 12.3

ou ainda, dois

“pedaços” de 13

. Generalizando, um número ab

corresponde a “ a

pedaços de 1b

”.

Nosso objetivo é ampliar a relação de ordem que já tínhamos em , “acrescentando” os racionais não inteiros na reta, mantendo a ordem dos inteiros.

A relação de ordem em será definida levando em conta o fato de que já conhecemos os números inteiros positivos: * {1, 2, 3, }+ = .

Definição. Um número racional ab

é positivo quando .a b é um nú-mero inteiro positivo.

Observação 8. Lembre-se dos resultados já estudados no capítulo 2:

O produto i) .a b é positivo quando 0a > e 0b > ou quando 0a < e 0b < .

O produto ii) .a b é negativo quando 0a > e 0b < ou 0a < e 0b > .

O produto iii) .a b é zero quando 0a = ou 0b = .

Fazendo uma analogia com os inteiros, temos:

Um número racional •ab

é não positivo quando . 0a b < ou . 0a b = .

188


é negativo quando . 0a b < .


é não negativo quando . 0a b > ou . 0a b = .

Podemos então definir em o conjunto dos “racionais positivos”,

* / . 0a a bb+

= >

. Os axiomas de ordem são os seguintes:

AO1) As operações de adição e multiplicação são fechadas em *+ ,

ou seja: se x e y são racionais positivos, então x y+ e .x y são racionais positivos.

AO2) Se x é um número racional, então *x +∈ ou *x +− ∈ ou 0x = (este “ou” é exclusivo).

Observação 9. Note que a igualdade dos racionais a

b−

e ab−

nos

permite escrever qualquer número racional ab

com denominador

positivo. Assim, o conjunto dos números racionais pode ser expres-

so por / , 0a a b e bb

= ∈ >

. Considerando esta representação

do conjunto

, podemos dizer que um número racional ab

é posi-

tivo quando 0a > .

Definição. Dados dois números racionais x e y definimos:

i) x y≤ quando y x +− ∈ ( y x− é não negativo).

ii) x y< quando *y x +− ∈ ( y x− é positivo).

Observação 10. Como expressar relação x y≤ fazendo axb

= e cyd

= , com 0b > e 0d > ?

Acompanhe com atenção:

x y≤ quando y x +− ∈

a cb d≤ quando

c a bc add b bd +

−− = ∈

189

bc adbd +

−∈ quando 0bc ad− ≥ em , ou seja, ad bc≤ .

Logo, podemos dizer que a cb d≤ quando ad bc≤ .

Exemplo: 3 54 6≤ pois 3.6 18 4.5 20= ≤ = .

Observação 11. Outra maneira de comparar as frações é reduzi-las ao mesmo denominador, usando as frações equivalentes. Por exem-

plo, podemos escrever 34

e 56

como 9

12 e

1012

; então 9 10

12 12≤ , pois

9 10≤ , ou seja, 3 54 6≤ .

Observação 12. Assim como em , podemos definir a relação < da seguinte maneira:

Para x e y racionais, x y< se e somente se x y e x y≤ ≠ .

Isto é equivalente a: x y< quando *y x +− ∈ .

6.7.1 Propriedades da relação de ordemValem em as mesmas propriedades da relação de ordem em :

Proposição 1. A relação ≤ em as possui as seguintes proprieda-des:

Reflexiva: i) x x≤ , para todo número racional x .

Anti-simétrica: se ii) x y≤ e y x≤ então x y= , para quaisquer números racionais x e y .

Transitiva: se iii) x y≤ e y z≤ , então x z≤ , para quaisquer núme-ros racionais ,x y e z .

Demonstração. O procedimento é o mesmo da demonstração em . Faça como exercício.

Proposição 2. Para quaisquer números racionais , ,x y z e w , tem-se:

a) x y≤ se, e somente se, x z y z+ ≤ + .

190

Se b) x y≤ e 0 z≤ então xz yz≤ .

Se c) x y≤ e 0z < então yz xz≤ .

Se d) x y≤ e z w≤ então x z y w+ ≤ + .

e) x y≤ se, e somente se, y x− ≤ − .

Demonstração. Como o procedimento também aqui é o mesmo feito em , faça a demonstração como exercício.

Observação 13. Quais das afirmações da Proposição 2 continuam verdadeiras se substituirmos ≤ por < ? a), b) e c) afirmam que ≤ é compatível com as operações de adição e multiplicação em e o mesmo ocorre para a relação <. As afirmações d) e c) também conti-nuam verdadeiras para <.

Proposição 3. Para quaisquer e x y racionais não nulos, tem-se:

1) i) Se 0x > então 1 0x− > .

ii) Se 0x < então 1 0x− < .

Demonstração.

i) Se 0x > e 1. 1 0x x− = > , 1x− deve ser positivo, uma vez que o pro-duto de dois racionais é positivo quando ambos são positivos ou ambos são negativos.

ii) Analogamente, se 0x < e 1. 1 0x x− = > , 1x− deve ser negativo.

■

2) i) Se 0 1x< < então 1 1x− > .

ii) Se 1x > então 1 1x− < .

Demonstração.

i) Se 0 1x< < , teremos 0x > e por (1) 1 0x− > . Multiplicando ambos os membros da desigualdade 1x < por 1x− , obtemos 1 1. 1.x x x− −< , ou seja, 1 1x− > .

ii) Se 1x > , temos 0x > e por (1) 1 0x− > . Multiplicando ambos os membros da desigualdade 1x > por 1x− , obtemos 1 1. 1.x x x− −> , ou seja, 1 1x− < . Como 1 0x− > , podemos concluir que 10 1x−< < .

■

191

3) i) Se 0 x y< < então 1 10 y x− −< < .

ii) Se 0x y< < então 1 1 0y x− −< < .

Demonstração.

i) Se x e y são positivos, então por (1), 1x− e 1y− também são posi-

tivos. Multiplicando ambos os membros da desigualdade x y< pelo número positivo ( 1 1.x y− − ) obtemos:

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

. . . .( . ). .( . )

1. .1

0

x y x x y yx x y x y y

y xy x

y x

− − − −

− − − −

− −

− −

− −

<

<

<

<

< <

ii) Se x e y são negativos, também 1x− e 1y− são negativos (por 1). Logo, o produto 1 1.x y− − é positivo. Multiplicando ambos os membros da desigualdade x y< por ( 1 1.x y− − ), obtemos:

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

. . . .( . ). .( . )

1. .1

0

x y x x y yx x y x y y

y xy x

y x

− − − −

− − − −

− −

− −

− −

<

<

<

<

< <

■

6.8 Valor absoluto (ou módulo)A definição é a mesma dos inteiros: para x um número racional,

0| |

0x se x

xx se x

≥= − < .

As propriedades que valiam em também valem em . Além

disso, se x é um número racional na forma ab

, temos que | || || |

a ab b= .

Prove!

.

.

192

6.9 DensidadeDados dois números racionais diferentes, é sempre possível encon-trar outro número racional entre eles; na verdade, é possível encon-trar uma infinidade de números racionais entre eles! Vamos obser-var algumas situações:

1 22 3< .

O ponto médio entre 12

e 23

é o número racional

11 1 2 1 5 52 2 3 2 6 12

z = ⋅ + = ⋅ =

.

Assim, 1 5 22 12 3< < .

Considerando agora os racionais 5

12 e

23

, achamos o ponto médio entre eles:

21 5 2 1 13 132 12 3 2 12 24

z = ⋅ + = ⋅ =

.

Assim, 5 13 2

12 24 3< < .

Considerando agora os racionais 1324

e 23

, achamos o ponto médio

entre eles, que será 2948

(faça as contas!). Continuando com este pro-

cedimento, encontramos uma infinidade de números racionais entre 12

e 23

. Note que esta situação não acontecia nos inteiros: entre um

número inteiro a e seu consecutivo 1a + , não é possível encontrar nenhum número inteiro. Por causa desta particularidade, dizemos que o conjunto dos números racionais é “denso” na reta, ou seja, en-tre dois números racionais existe uma infinidade de outros números racionais. Vamos generalizar:

Proposição 4. Sejam x e y números racionais com x y< . Então existe um número racional z tal que x z y< < .

Demonstração.

Sejam 1 ( )2

z x y= + ; z y< , pois:

Note que a idéia de “consecutivo” não se aplica a números racionais.

193

x y< (somando y a ambos os membros da desigualdade)

x y y y+ < +

2x y y+ < (multiplicando ambos os membros por 12

)

1 ( )2

x y y+ <

z y< .

Analogamente provamos que x z< .

■

Exercícios propostos34) J. J. Sylvester (1814 – 1897) propôs o seguinte método para es-

crever um número racional x , 0 1x< < , como soma das fra-ções unitárias:

Achar a maior fração unitária que seja menor que a fração i) dada.

Subtrair essa fração unitária da fração dada.ii)

Achar a maior fração unitária menor que a diferença obtida iii) em ii.

Subtrair desta diferença a fração unitária obtida em (iii).iv)

Continuar o processo até que uma das diferenças seja uma v) fração unitária.

Aplicar este processo às frações treze vinte avos, quatro quinze avos, nove vinte e quatro avos e sete cinqüenta e dois avos.

35) Em um mapa, um centímetro representa dezesseis quilôme-tros. Qual a distância real representada por cinco centímetros e meio?

36) Ache duas frações ordinárias positivas, respectivamente iguais a um meio e quatro quintos, de maneira que a soma de seus termos (numerador e denominador) coincida e seja a menor possível.

194

37) Ache um número racional igual a 1001715

cuja soma do numera-dor com o denominador seja 48 .

38) Ache um número racional igual a 399

1463 cuja diferença entre

seu denominador e seu numerador seja 184 .

39) Ache dois números racionais de denominadores 5 e 7 , cuja

soma é igual a 2635

.

40) Ache dois números racionais de denominadores 3 e 11, cuja

diferença é igual a 633

.

41) Existem dois números racionais de denominadores 7 e 11,

com numeradores positivos, cuja soma é 3077

?

42) Determine r∈ de modo que as seguintes frações represen-tem um inteiro:

a) 10

2 1r

r − b)

333 1

rr −

.

43) Sendo n um número inteiro, mostre que são irredutíveis as frações:

a) 1 , 22

n nn−

≠−

b) 1

2 1nn−−

c) 2 1 , 0, 1

2 ( 1)n n n

n n+

≠ ≠ −+

.

44) a) Seja x um número racional tal que 0 1x< < . Mostre que

existe *r∈ para o qual tem-se 1 1

1x

r r≤ <

+.

b) Ache r conforme a parte (a) nos seguintes casos: 722

a = ; 4760

a = .

195

6.10 A representação decimalJá sabemos que os números racionais em sua forma fracionária pos-suem algoritmos próprios para as operações. A vantagem da repre-

sentação decimal (isto é, o uso de 0,5 ao invés de 12

, por exemplo)

é aproveitar os algoritmos das operações já conhecidas para núme-ros inteiros, com alguns cuidados especiais. Por exemplo, ao somar 1 32 5+ representamos

12

por 0,5 e 35

por 0,6 e “armamos a conta”

como se fossem números inteiros, colocando vírgula em baixo de vírgula.

.

Um procedimento similar é feito para a multiplicação e a divisão. Para podermos usufruir plenamente dessas facilidades, precisamos saber como “transitar” entre as representações fracionária e decimal confortavelmente. Inicialmente vamos responder duas perguntas:

Como encontrar uma representação decimal de um número 1) racional que está na forma fracionária?

Como encontrar uma forma fracionária de um número em re-2) presentação decimal?

Respostas das perguntas:

Vamos exemplificar a situação com a fração 725

; aprendemos que

para responder a primeira pergunta basta dividir 7 por 25 e “con-tinuar a conta”, “abaixando” zeros quando for preciso.

70 25200 0,2800

Mas em que se baseia este processo? A resposta está no Algoritmo da Divisão em ; a “continuação da conta” é a repetição do Algorit-mo multiplicando o resto por 10 . Observe:

7 0 25+7= × .

Em sua obra “De Thiend” (O décimo) de 1585,

Simon Stevin tinha por objetivo mostrar através

da representação decimal “como efetuar, com

facilidade nunca vista, todos os cálculos necessários

entre os homens, por meio de inteiros sem frações”.

196

Multiplicamos o resto 7 por 10 (pois nosso sistema é decimal) e novamente usamos o Algoritmo para 7 10× e 25 :

7 10 2 25 20× = × + . (1)

Mais uma vez multiplicamos o resto 20 por 10 e usamos o Algorit-mo para 20 10× e 25 :

20 10 8 25× = × . (2)

Paramos o processo, pois o resto é zero. As igualdades (1) e (2) nos darão a representação decimal. Observe o procedimento:

Por (2) temos que 8 2520

10×

= .

Substituindo em (1) temos que 8 257 10 2 25

10×

× = × + ;

Multiplicando ambos os membros por 1

10 obtemos:

1 1 8 257 2 2510 10 10

×= × × + × ;

Usando as propriedades das operações em , temos

2 87 25 2510 100

= × + ×

2 87 2510 100 = × +

;

Multiplicando ambos os membros por 125

, temos

7 2 825 10 100

= + , ou

2

7 2 825 10 10

= + .

(3)

A igualdade (3) expressa o número 725

como uma soma de frações

cujos denominadores são potências de 10 (são chamadas frações de-cimais), a base de nosso sistema de numeração: sete vinte e cinco avos é igual a dois décimos mais oito centésimos. Note também que as frações do membro da direita possuem algarismos em seus nu-

197

meradores, e estes algarismos constituem os algarismos que “apare-cem depois da vírgula” na conta inicial. Como a parte inteira é zero, temos que

2

7 2 8025 10 10

= + + .

A representação para a expressão do membro da direita é 0,28 . Concluímos então que para expressar um número racional em sua forma decimal usamos uma versão do Algoritmo da Divisão em para o numerador como dividendo e o denominador como divisor; isto sempre será possível, pois o denominador é sempre não nulo (lembre-se da hipótese do Algoritmo da Divisão: o número que faz o papel de divisor deve ser não nulo). Se b é um número negativo, usamos o processo para | |b ; por exemplo, a representação decimal

de 725

− é 0,28− .

Este processo nos mostra também como encontrar a representação fracionária de um número em representação decimal. Por exemplo, a representação fracionária de 4,375 é :

3 2

2 3 3 3

3 7 5 4 10 3 10 7 10+5 43754,375 410 10 10 10 10

× + × + ×= + + + = = .

Note que o numerador da fração após a segunda igualdade é a re-presentação decimal do inteiro 4375 .

Experimente agora encontrar a representação decimal de 23

.

20 3

20 0,666...20

2

Observe que os restos se repetem, dando origem a uma seqüência de algarismos "6" após a vírgula. A conta “continua” indefinidamen-te, e este fato é representado pelas reticências. Neste caso, dizemos que a representação decimal é uma “dízima periódica”; o algarismo (ou algarismos) que se repete é chamado o “período”, que em nosso caso é o 6 . Na prática não usamos esta representação: na maioria das vezes truncamos o número e “paramos” em duas ou três ca-sas decimais. Lembre-se sempre que, quando se faz isso, estamos

198

trabalhando com outro número; substituir 0,666666... por 0,666 é

substituir o número 23

pelo número 3

666 33310 500

= .

Na maioria das situações reais, esta substituição pode ser irrelevante, mas um pequeno erro sempre existe. Observe também que, quando não há resto zero, os valores dos restos devem começar a se repetir, uma vez que são limitados pelo divisor (lembre-se do Algoritmo da Divisão em : 0 | |r b≤ < ). Não corremos o risco dos restos serem todos diferentes!

Agora, vamos responder a segunda pergunta: como encontrar a re-presentação fracionária de um número expresso por uma dízima periódica? Vamos exemplificar com o número 0,55555...

Usando o que já sabemos, podemos escrever:

2 3 4

5 5 5 50,55555... ...10 10 10 10

= + + + +

A soma no membro à direita é infinita, ou seja, tem uma infinidade de parcelas. É possível encontrar um número como resultado desta soma? Sim, neste caso é sempre possível. A justificativa para este fato baseia-se na idéia de “limite”, um conceito fundamental em ma-temática que você irá estudar na disciplina de Cálculo. Observe que as parcelas da soma vão diminuindo:

2 3 4

5 5 5 5 ...10 10 10 10

> > > >

Observe também que cada parcela é a anterior multiplicada por 1

10.

Podemos então pensar na seqüência das parcelas 2 3 4

5 5 5 5, , , , ...10 10 10 10

como uma progressão geométrica (abrevia-se PG) infinita, decres-

cente, de razão 1 1

10< e primeiro termo igual a

510

⋅ Progressões des-

ta natureza admitem uma soma de todos os seus termos; chamando o primeiro termo de 1a e a razão de q , a soma é dada pela fórmula

1

1aS

q=

−.

199

Não esqueça: esta soma só é possível para progressões geométricas infinitas e decrescentes, isto é, com razão menor do que 1.

No exemplo anterior temos:

2 3 4

5 55 5 5 5 5 10 510 100,5555... ... 1 910 10 10 10 10 9 91

10 10

= + + + + = = = × =−

.

Vamos fazer mais alguns exemplos, estudando casos em que o perí-odo não aparece imediatamente após a vírgula, ou quando o perío-do tem mais de um algarismo.

Exemplos

16) 2 3 4 2 3 4

2 7 7 7 2 7 7 71,27777... 1 ... 1 ( ...)10 10 10 10 10 10 10 10

= + + + + + = + + + + +

2 3 4 2 3 4

2 7 7 7 2 7 7 71,27777... 1 ... 1 ( ...)10 10 10 10 10 10 10 10

= + + + + + = + + + + + .

A soma entre parênteses é a soma dos termos de uma PG in-

finita, decrescente, de razão 1

10 e primeiro termo igual a 2

710

.

Usando a fórmula 1

1aS

q=

−, obtemos:

2 3 4 2 3 4

2

2

2 7 7 7 2 7 7 71,27777... 1 ... 1 ( ...)10 10 10 10 10 10 10 10

72 2 7 10 2 7 90 2 9+7 115 23101 1 . 1110 10 10 9 10 90 90 90 181

10

= + + + + + = + + + + + =

+ ×= + + = + + = + + = = =

−

17) 2 3 4

1 2 1 20,121212... ...10 10 10 10

= + + + +

O período neste caso é 12; note que se agruparmos dois em dois os termos do membro à direita, ficamos com:

2 3 4 2 3 4

1 2 1 2 1 2 1 20,121212... ... ...10 10 10 10 10 10 10 10

= + + + + = + + + +

Efetuando as adições dos parênteses, temos:

200

2 3 4 2 4 6

1 2 1 2 12 12 120,121212... ... ...10 10 10 10 10 10 10

= + + + + = + +

Esta nova soma que aparece à direita é a soma dos termos

de uma PG infinita, decrescente, com primeiro termo igual

a 2

1210

. E a razão? Para sabermos a razão, devemos verificar

qual o número que, multiplicado por um termo, resulta no ter-

mo seguinte. Neste caso, temos que 2 2 4

12 1 1210 1010

× = , o que sig-

nifica que a razão é 2

110

. Usando a fórmula da soma da PG,

2 4 6

12 12 12, , ,...10 10 10

obtemos:

22

2 4 6 2

2

1212 12 12 12 10 12 410... .110 10 10 10 99 99 331

10

+ + = = × = =−

18) 2 3 4 5

4 2 3 2 31,4232323 1 ...10 10 10 10 10

= + + + + + +

Separando as duas primeiras parcelas da soma, agrupamos as outras parcelas duas a duas e ficamos com:

2 3 4 5

4 2 3 2 31,4232323 1 ...10 10 10 10 10

= + + + + + +

Procedendo como no exemplo anterior, podemos identificar uma PG efetuando a soma dos termos entre parênteses:

3 5 7

4 23 23 231,4232323 1 ...10 10 10 10

= + + + + +

A PG tem primeiro termo igual a 3

2310

e razão igual a 2

110

; usando a fórmula, temos:

3

3 5 7

2

2

3

234 23 23 23 4 101,4232323 1 ... 1 110 10 10 10 10 1

104 23 10 4 23 990 4 99+23 14091 1

10 10 99 10 990 990 990

= + + + + + = + + =−

+ ×= + + × = + + = =

.

201

19) 2 3 4 5

9 9 9 9 90,999... ...10 10 10 10 10

= + + + + +

Este caso é como no exemplo inicial: a soma é de uma PG in-

finita, decrescente, cujo primeiro termo é 9

10 e a razão é

110

.

Temos então:

2 3 4 5

99 9 9 9 9 9 10100,999... ... 1.110 10 10 10 10 10 91

10

= + + + + + = = × =−

Note que acabamos de descobrir uma nova representação para o número 1: uma representação decimal em dízima periódica. Isto nos sugere que também os outros números inteiros podem ter uma representação desta forma. De fato, todos os números racionais po-dem ser representados por dízimas periódicas. Veja mais exemplos e faça as contas se não estiver convencido!

20) 1,9999... 2=

21) 2,9999... 3=

22) 3,49999... 3,5=

23) 7,379999... 7,38=

Exercícios propostos45) Escreva a representação fracionária irredutível dos seguintes

números racionais:

a) 0,0305

b) 34,796−

c) 5,4444

d) 0,0001

e) 1,20202020...

f) 3,41898989...

g) 5,097777...−

h) 34,59999...

202

46)Dê a representação decimal infinita:

a) 0,54 b) 42,123

c) 1,59 d) 2,01

47) Na divisão de 4,5 por 2,345 , temos que “igualar as casas depois da vírgula” antes de começar a dividir, preenchendo as casas que faltam por zeros; depois “cortamos as vírgulas e dividimos como inteiros. Dê uma justificativa para este proce-dimento.

48) Na multiplicação de 8,97 por 0,567 , o resultado terá cinco casas decimais. Explique por quê.

49) Mostre que:

a) 56 0,56

100= b)

456 45,610

=

c) 5

34 0,0003410

=

O que você conclui?

6.10.1 Existência da representação decimal finitaJá vimos que todo número racional admite uma representação de-cimal infinita periódica, as chamadas dízimas periódicas, mas nem todo número racional admite uma representação decimal finita. Como saber, sem fazer a conta, que um número racional admite uma representação decimal finita? Observemos alguns exemplos:

24) Como você já deve ter notado (exercício 49), frações cujo de-nominador é uma potência de 10 admitem uma representação decimal finita; por exemplo,

4 5

9 234 12 2310,9; 2,34; 0,0012; 0,00231; .10 100 10 10

etc= = = =

25) Observe atentamente as frações com representação decimal finita:

203

21 345 1 43511,3125; 86,25; 0,03125; 67,98437516 4 32 64

= = = =

O que têm elas em comum? Os denominadores são potências de 2 . Neste caso, haverá uma representação decimal finita, ou seja, se a fração apresentar uma potência de 2 no denominador, existirá uma representação finita.

26) Agora observe as frações seguintes e suas representações decimais finitas:

59 298 1 732,36; 2,384; 0,2; 0,1168.25 125 5 625

= = = =

Podemos notar aqui que os denominadores são potências de 5 . Se a fração apresentar uma potência de 5 em seu denominador, ela terá uma representação decimal finita.

Vamos reunir as nossas investigações em um teorema:

Teorema. Um número racional ab

em sua forma irredutível admi-

te uma representação decimal finita quando o denominador b não apresentar outros fatores além de 2 e 5 . A representação será so-mente infinita periódica quando o denominador b apresentar pelo menos um fator primo diferente de 2 e diferente de 5 .

Observação 14. Note que o teorema só pode ser usado para frações

irredutíveis! Por exemplo, 9126

apresenta o fator 13 no denominador

( 26 2 13= × ) e, mesmo assim, possui uma representação decimal fi-

nita, pois a fração não é irredutível: 91 726 2

= e o denominador 2 é

uma potência de 2 . Logo, a fração admite uma representação deci-mal finita.

Observação 15. Falamos que a vantagem da representação decimal é usar os mesmos algoritmos das operações dos inteiros; no entanto, é preciso que fique claro que isso é possível para representações decimais finitas. Não sabemos como somar 0,8888... com 0,7777... , por exem-plo. Para efetuar esta soma, devemos usar a representação fracio-

204

nária dos números 80,8888...9

= e 70,7777...9

= . Somando-os nesta

nova representação obtemos 8 7 15 59 9 9 3+ = = , cuja representação de-

cimal é 1,666...

6.11 Potências em A idéia de potência de um número que aprendemos em perma-nece a mesma no conjunto dos racionais, independente da repre-sentação utilizada. Mas a existência de inversos em nos permite definir potências de expoentes negativos. Veja alguns exemplos:

27) 2 2

2

4 4 4 4 4 43 3 3 3 3 3

× = × = = × .

28) ( )30,56 0,56 0,56 0,56 0,175616= × × = .

29) ( )3 2 2 2 11 11 11 13311,2222... 1 1 19 9 9 9 9 9 729

= + × + × + = × × =

.

(lembre-se da obs. 14: só sabemos operar em representação fracionária ou em representação decimal finita!).

30) 22 1 2 2

2

5 5 8 8 648 8 5 5 25

− − = = = =

.

Observação 16. Note que no exemplo 30 (de potência negativa) usa-mos o inverso; um número elevado à potência 2− é igual ao inverso do número elevado à potência 2 .

Definição. Seja n um número inteiro, 0n ≥ e ab

um número racio-nal não nulo. Então:

i) 0

1ab

=

.

ii) n n

n

a ab b

=

.

iii) 1 nn n n

n

a a b bb b a a

− − = = =

.

Se n é um número inteiro positivo, então

n− é um número negativo.

205

6.11.1 Propriedades das potências em As propriedades das potências em permanecem as mesmas que em ; entretanto, agora podemos usar potências inteiras:

Proposição 5. Dados os números racionais x e y e os números in-teiros n e m , tem-se:

a) .n m n mx x x +=

b) .( )n m n mx x=

c) ( . ) .n n nx y x y=

d) n

n mm

x xx

−=

Demonstração. a), b) e c) demonstram-se por indução, como em (capítulo 5). Demonstra-se d) usando b) e a definição de divisão.

6.12 Existência de números que não são racionais

O conjunto dos números racionais possui quase todas as proprie-dades que precisamos para resolver os problemas básicos de ma-temática. Mas existem situações em que o conjunto dos números racionais não é suficiente. Basta lembrar que, para calcular a medida da diagonal de um quadrado de lado 1 pelo Teorema de Pitágoras, temos:

2 2 2

2

1 12

dd

= +

=

Note que não é possível encontrar um número racional cujo quadra-do é 2 . De fato, suponhamos que seja possível encontrar um núme-

ro racional ab

, em sua forma irredutível, cujo quadrado é 2 .2

2ab

=

.

Pela propriedade das potências, temos:2

2 2ab

= .

.

206

Multiplicando ambos os lados por 2b obtemos

1) 2 22a b= .

Como a e b são números inteiros, a igualdade nos informa que 22 | a .

Mas 2 é primo; neste caso, temos que 2 também é divisor de a , ou seja, a é um número par, da forma 2a k= . Substituindo em 1), obtemos

2 2

2 2

(2 ) 24 2

k bk b

=

=

Pela lei do cancelamento da multiplicação temos que:

2 22k b= .

Neste caso, também teremos que 22 | b e como 2 é primo, 2 é divisor de b .

Mas isto é uma contradição, pois o número ab

está em sua forma ir-

redutível (ou seja, não admite fatores comuns) e 2 não pode ser um

fator de a e também de b . Esta contradição teve origem em nossa suposição da existência de um número racional cujo quadrado é 2 . Logo, este fato não pode ocorrer, ou seja, não existe um número ra-cional cujo quadrado é 2 . Em outras palavras, o número cujo qua-drado é 2 não é um número racional.

Exercícios propostos50) Verifique se os números racionais a seguir admitem uma re-

presentação decimal finita, sem efetuar a divisão:

a) 576

b) 7826

c) 45

256

Isto nos mostra que existe um campo numérico mais amplo que o conjunto dos números racionais e você já o conhece: o conjunto dos números reais, que acrescenta ao conjunto dos números racionais os números irracionais, ou seja, aqueles números que não podem ser expressos como razão de inteiros. Este conjunto você irá estudar com detalhes na disciplina de Introdução ao Cálculo.

.

207

51) Ao dividirmos dois números racionais em representação de-cimal finita, o quociente também apresentará representação decimal finita?

52) Mostre que não existe um número racional cujo quadrado é 5 (sugestão: item 6.12 do texto). Em seguida, mostre que não existe um número racional cujo quadrado é um número pri-mo p .

fundamentos de matemática i -...

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