Fundamentos de Matemática

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 4

9 de janeiro de 2012

Aula 4 Fundamentos de Matemática 1

Negação

Aula 4 Fundamentos de Matemática 2

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?

x < 1.

Resposta: x ≥ 1.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?

x < 1.

Resposta: x ≥ 1.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?

x < 1.

Resposta: x ≥ 1.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?

x < 1.

Resposta: x ≥ 1.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p},

então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸

conjuntouniverso

− A.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p},

então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸

conjuntouniverso

− A.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p},

então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸

conjuntouniverso

− A.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p},

então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸

conjuntouniverso

− A.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p},

então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸

conjuntouniverso

− A.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).

Exemplo: a negação de p < −a ou p > a é p ≥ −a e p ≤ a quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −a ≤ p ≤ a.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).

Exemplo: a negação de p < −a ou p > a é p ≥ −a e p ≤ a quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −a ≤ p ≤ a.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).

Exemplo: a negação de p < −a ou p > a é p ≥ −a e p ≤ a quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −a ≤ p ≤ a.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).

Exemplo: a negação de p < −a ou p > a é p ≥ −a e p ≤ a quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −a ≤ p ≤ a.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).

Exemplo: a negação de p < −a ou p > a é p ≥ −a e p ≤ a quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −a ≤ p ≤ a.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).

Exemplo: a negação de −a < p < a (isto é, −a < p e p < a) ép ≤ −a ou p ≥ a.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 17

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).

Exemplo: a negação de −a < p < a (isto é, −a < p e p < a) ép ≤ −a ou p ≥ a.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).

Exemplo: a negação de −a < p < a (isto é, −a < p e p < a) ép ≤ −a ou p ≥ a.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 19

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).

Exemplo: a negação de −a < p < a (isto é, −a < p e p < a) ép ≤ −a ou p ≥ a.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).

Exemplo: a negação de −a < p < a (isto é, −a < p e p < a) ép ≤ −a ou p ≥ a.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (∼ p) = p.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (∼ p) = p.

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Contrapositiva

Aula 4 Fundamentos de Matemática 24

Contrapositiva

Dada uma sentença A⇒ B, sua contrapositiva é a sentença

∼ B ⇒∼ A.

Regras do Jogo

Exemplo: a contrapositiva da sentença (m representa um númeronatural)

se m2 é um número par, então m é um número par

é a sentença

se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .

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Contrapositiva

Dada uma sentença A⇒ B, sua contrapositiva é a sentença

∼ B ⇒∼ A.

Regras do Jogo

Exemplo: a contrapositiva da sentença (m representa um númeronatural)

se m2 é um número par, então m é um número par

é a sentença

se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .

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Contrapositiva

Dada uma sentença A⇒ B, sua contrapositiva é a sentença

∼ B ⇒∼ A.

Regras do Jogo

Exemplo: a contrapositiva da sentença (m representa um númeronatural)

se m2 é um número par, então m é um número par

é a sentença

se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .

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Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 28

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 29

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

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Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

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Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 32

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

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Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

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Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

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Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

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Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 37

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 38

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 39

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 40

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz ∼ B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇒) Basta usar (⇒), observando que a contrapositiva da contrapositiva de um sentençaé a própria sentença.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

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Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 42

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 43

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 44

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 45

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 46

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 47

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 48

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

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Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 50

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 51

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 52

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 53

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 4 Fundamentos de Matemática 54

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

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Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

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Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, istoé, basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

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