Funções Racionais

A expressão analítica que define a função é um caso particular de uma função racional que definimos do seguinte modo:

em que B(x) é um polinómio do 2º grau em x, sendo B(x) diferente do polinómio nulo.

Se B(x) for de grau zero, a função racional representa um polinómio.

)(=)(

xB

kxf

Funções Racionais

Analisando atentamente o gráfico obtido, podemos afirmar:

•O domínio é IR\{0}, pois é o conjunto de números reais que não anulam o denominador da fração.Em linguagem simbólica, Df = {x ϵ IR : x ≠0} .

Funções Racionais

2

1=)(

xxf

• O contradomínio é IR+. • Não tem zeros.• É contínua em IR\{0}.• É positiva para x ϵ IR\{0}.• É crescente para x ϵ ]– ∞,0[ e decrescente para x ϵ ]0, + ∞[.

Funções Racionais

2

1=)(

xxf

• A reta de equação y = 0 é uma assíntota horizontal do gráfico da função.

• A reta de equação x = 0 é uma assíntota vertical do gráfico da função.

Funções Racionais

2

1=)(

xxf

Considere ,

•Se b > 0, os pontos da curva situam-se nos 1.º e 2.º quadrantes. •Os ramos da curva vão-se afastando do eixo Oy, à medida que b aumenta.

Funções Racionais

2

1=)(

xxf

2x

by

Considere ,

•Se b < 0, os pontos da curva situam-se nos 3.º e 4.º quadrantes.•Os ramos da curva vão afastando-se do eixo Oy, à medida que b diminui.•A função fica simétrica em relação a Ox.

2x

by

Funções Racionais

2

1=)(

xxf

Considere que:

pelo que as características destas funções são as mesmas que as das anteriores.

Funções Racionais

22 =⇔=xcb

ycx

by

Obtemos o gráfico da função i se aplicarmos ao gráfico de f uma translação segundo o vetor (3,0). No caso geral, a função sofre uma translação segundo o vetor (d, 0). Se d > 0, essa translação é feita para a direita e se d < 0 para a esquerda.

Funções Racionais

2

1=)(

xxf

Neste exemplo, obtemos o gráfico da função j se aplicarmos ao gráfico de f uma translação segundo o vetor (-1,0).

Funções Racionais

2

1=)(

xxf

2)()(

hxc

bxf

Se deslocarmos o gráfico de f, segundo o vetor (h,0),

obtemos o gráfico de uma função do tipo .

Funções Racionais

2

1=)(

xxf

Se deslocarmos o gráfico de f, segundo o vetor (4,1) obtemos o gráfico da função g.

Funções Racionais

2

1=)(

xxf

2)()(

hxc

baxf

Temos que:

• O domínio é IR\{h}.

•A reta x = h é uma assíntota vertical do gráfico da função.

•O gráfico é uma curva, simétrica em relação à assíntota vertical x = h.

• A reta y = a é uma assíntota horizontal.

Funções Racionais