MATEMÁTICA

Editora Exato 20

FUNÇÕES 1. PAR ORDENADO

É uma seqüência de dois elementos em uma dada ordem. 1.1 Igualdade

( ) ( ) cad,cb,a =⇔= e db =

Exemplos: E.1) ( ) ( ) 21ab,1a3,2 =+⇒+= e 3b = , logo

1a = e 3b = .

E.2) ( ) ( )

=−

=+⇒=−+

6ba

3b2a6,3ba,b2a , logo

5a = e 1b −= .

2. PRODUTO CARTESIANO

2.1 Representação O produto cartesiano será simbolizado por

AxB. 2.2 Definição

Dados os conjuntos A e B, não vazios, define-se como produto cartesiano ( )AxB o conjunto de todos os pares ordenados ( )y,x , tais que Ax ∈ e By ∈ . Em símbolos, temos:

( ){ }By e Ax/y,xAxB ∈∈=

Se A ou B forem vazios, afirmamos que φ=AxB .

Exemplos: E.1) Dados { }2,1A = e { }4,3B = , determine AxB

e BxA. Resolução:

( ) ( ) ( ) ( ){ }AxB 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4= ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,4,2,3,1,4,1,3BxA =

E.2) Determine AxAA2 = , em que { }3,2,1A = . Resolução:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,3,2,3,1,3,3,2,2,2,1,2,3,1,2,1,1,1AxAA2 ==

2.3 Propriedade ( ) ( ) ( )BnAnAxBn ⋅= , em que ( )AxBn , ( )An e ( )Bn re-

presentam, respectivamente, o número de elementos em AxB , A e B.

3. RELAÇÃO BINÁRIA

3.1 Definição Define-se como relação binária de A em B a

qualquer subconjunto de AxB. 3.2 Representação

A relação binária de A em B pode ser repre-sentada como:

I) Listagem dos pares ordenados envolvidos na relação.

II) Diagrama de flechas entre os conjuntos A e B.

III) Representação gráfica no plano cartesiano. Exemplo:

Considere a relação ( ){ }1xy/AxBy,xR +=∈= em que { }6,5,3,2A = e { }11,10,7,4,3B = . Represente a rela-ção R.

Resolução: I) Representação dos pares ordenados.

( ) ( ) ( ){ }7,6,4,3,3,2R = .

II) Representação com diagrama de flechas.

5

3

2

6

Ay=x+1

3

4

7

10

11

B

III) Representação no gráfico cartesiano.

32 6

3

4

7

3.3 Domínio, Imagem e Contra-domínio Dada uma relação R de A em B ( )BA:R → .

Define-se como: � Contra-domínio da relação R o conjunto de

chegada da relação R, ou seja, o conjunto B.

� Domínio da relação R o conjunto formado pelos elementos relacionados pela relação R no conjunto de partida (conjunto A).

� Imagem da relação R ao conjunto formado pelos elementos relacionados pela relação

Editora Exato 21

R no conjunto de chegada (conjunto B), ou seja, os segundos elementos de todos os pa-res ordenados de R.

Exemplo:

5

A B

1

3

7

8

9

10

2

3

5

7

I) Domínio da relação R: ( ) { }8,5,3,1RD = . II) Contra-domínio da relação R (conjunto de

chegada): ( ) BRCD = . III) Imagem da relação ( ) { }10,5,3,2RIm:R = .

4. FUNÇÃO

4.1 Definição Define-se como função de A em B a toda rela-

ção binária de A em B que satisfaz as propriedades abaixo.

I) Todo elemento do domínio possui um cor-respondente no contra-domínio, ou seja, no conjunto de partida não existe elemento sem correspondente. Exemplo:

E.1)

A B

não satisfazà propriedade I

E.2)

A B

satisfaz à propriedade I

E.3)

A B

satisfaz à propriedade I

II) Cada elemento do domínio possui um único correspondente no contra-domínio. Exemplo:

E.1)

não satisfaz àpropriedade II

E.2)

satisfaz àpropriedade II

E.3)

satisfaz àpropriedade II

4.2 Função Inversa Dada uma função f de A em B, bijetora, defi-

ne-se como função inversa de f a toda função g em B em A, tal que:

( ) ( )f fog x go x x= = .

Símbolo: A função inversa de f é indicada por f 1− .

Editora Exato 22

Exemplo: Dada ( )f x 3x 5= + , determine sua função inver-

sa. Resolução:

Na prática, para determinarmos a função inver-sa de f, devemos trocar o x por y, o y por x e depois isolar o y.

( ){ { ( ) 3

5x

xf

y5y3x5x3xf

1yx

−=⇒+=⇒+=

−, logo

( )3

5xxf 1 −

=− .

5. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

5.1 Definição Define-se como função polinomial do 1º grau

ou função afim a toda função f de R em R que asso-cia a cada número ( )x D f∈ um número ( ) ( )f x CD f∈ ,

tal que ( )f x =ax+b (com a ∈ R* e b ∈ R).

5.2 Gráficos Dada a função f: R → R, tal que ( ) baxxf +=

(com 0a ≠ ). Gráficos

a > 0

função crescente

y

xO

a < 0

função decrescente

y

xO

� Propriedades O coeficiente a é denominado de coeficiente

angular e representa a tangente do ângulo de inclina-ção.

O coeficiente b é denominado de coeficiente linear e representa o ponto de encontro da função com o eixo y, ou seja, o ponto ( )b,0 pertence ao grá-fico da função f.

6. FUNÇÃO QUADRÁTICA

Define-se como função polinomial do 2º grau a função quadrática a toda função f de R em R que as-socia a cada número ( )fx D∈ um número

( ) ( )f fx CD∈ , tal que ( ) cbxaxxf 2 ++= (com a∈R* e b,

c ∈R).

7. CONCAVIDADE E RAÍZES

A função polinomial do 2º grau possui como representação gráfica a curva denominada de parábo-la.

� concavidade

⇒<

⇒>

baixo para voltada 0a

cima para voltada0a

� raízes

⇒<∆

⇒∆

⇒>∆

reais raízes existem não0

iguais e reais raízes 2 0=

distintas e reais raízes 2 0

8. GRÁFICOS

Devemos observar que o número de possibili-dades para a construção do gráfico da função quadrá-tica é 6, levando em consideração as possibilidades da concavidade e raízes. 8.1 a>0 e ∆>0

� Concavidade voltada para cima e duas raí-zes reais distintas.

x1 x2

8.2 a>0 e ∆=0 � Concavidade voltada para cima e duas raí-

zes reais iguais.

x1 x2=

8.3 a>0 e ∆<0 � Concavidade voltada para cima e não pos-

sui raízes reais.

8.4 a<0 e ∆>0 � Concavidade voltada para baixo e duas raí-

zes reais distintas.

x1 x2

Editora Exato 23

8.5 a<0 e ∆=0 � Concavidade voltada para baixo e duas raí-

zes reais iguais.

x1= x2

8.6 a<0 e ∆<0 � Concavidade voltada para baixo e não pos-

sui raízes reais.

9. VÉRTICE DA PARÁBOLA

Dada a função ( ) 2f x =ax +bx+c (com 0a ≠ ) a

coordenada do vértice da parábola ( )vv y,xv pode ser determinada pelas relações abaixo.

a2

bxv

−= e

a4yv

∆−=

Exemplo: Dada a função 2f(x) 2x 5x 10= − − , determine a

coordenada do vértice da parábola e faça a represen-tação gráfica da função f no plano cartesiano. Resolução:

( )4

5

2.2

5xv =

−−= e ( ) ( )( )

24

10245y

2

v⋅

−⋅−−=

8

105−=

Devemos observar que 0∆ > e 0a > ; logo, a parábola possui concavidade voltada para cima e du-as raízes reais distintas.

y

x

5

4

105

8

−

8

105,

4

5vV

9.1 Valor máximo e mínimo Para uma função polinomial do 2º grau pode-

mos determinar o valor máximo ou mínimo da ima-gem determinando o valor da imagem da função no

vértice da parábola

∆−=

a4yv .

� Se a > 0, então o valor encontrado no yv se-rá mínimo.

� Se a < 0, então o valor encontrado no yv se-rá máximo.

10. FUNÇÃO MODULAR

10.1. Definição Define-se como função modular a toda função

f de R em R que associa a cada ( )x D f∈ um número

( ) ( )f x CD f∈ , tal que, ( )f x x= . Em símbolos, temos:

x, se x 0f : f(x)

-x, se x<0

≥→ =

R R .

10.2. Elementos Dada a função módulo f(x) x= .

� Domínio de f :D(f) = R . � Contra domínio de f: CD(f) = R . � Imagem de f: Im(f) += R .

10.3. Equações Modulares

x k

x k ou

x k

=

= ⇔ = −

Exemplo: E.1) Determine o valor de x na equação

x 3 5− = .

Resolução x 3 5 x 8

x 3 5 ou

x 3 5 x 2

− = → =

− = ⇒ − = − ⇒ = −

� Propriedades

nn

n n

x 0.

x y x y .

xx, para y 0.

y y

n x .

x x , para n par.

≥

⋅ = ⋅

= ≠

=

=

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 Qual dos gráficos abaixo representa uma função? a)

Editora Exato 24

y

y

y

1

1

2

xx

b)

y

y

y

1

1

2

xx

c)

y

y1

1 xx

d)

y

y1

1 xx

Resolução: c) e d) Observe que a definição de função compreen-

de dar um valor x e encontrar um, e somente um, va-lor para y.

Dica: fazer uma reta vertical em qualquer pon-to do gráfico e não corresponder dois ou mais valores em y.

2 Seja a função ( ) 3 22 1f x x x x= − + + , calcular:

a) f(0) b) ( )1f −

Resolução:

a) substituir na função o valor atribuído a x

( ) ( )230 0 2 0 0 1 1f = − + + =

b)

( ) ( ) ( )3 2

1 2 1 1 1

1 2 1 1 3

− − − + − + =

/ /− − − + = −

EXERCÍCIOS

1 (FMU-SP) Seja a função f definida por

( ) 3f x 2x 1= − . Então ( ) ( )1

f 0 f 1 f2

+ − +

é:

a) 3

4− d) 19

4−

b) 15

4− e) 13

4−

c) 17

4−

2 (MACK-SP) Se ( ) 2f x 1 x− = , então o valor de

( )f 2 é:

a) 9 b) 6 c) 4 d) 1 e) 0

3 (FGV-SP) A população de uma cidade daqui a t

anos é estimada em ( )4

P t 30t

= − milhares de pes-

soas. Durante o 5º ano, o crescimento da popula-ção será de: a) 300 pessoas. b) 200 pessoas. c) 133 pessoas. d) 30 pessoas. e) 2 pessoas.

4 (UFMG) Suponha que o número f(x) de funcio-nários necessários para distribuir, em um dia, contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função

( )300x

f x150 x

=−

. Se o número de funcionários ne-

cessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que as receberam é: a) 30. b) 40. c) 45. d) 50. e) 55.

Editora Exato 25

5 (UEL-PR) Para que os pontos ( )1;3 e ( )3; 1− per-

tençam ao gráfico da função dada f(x) ax b= + , o valor de b a− deve ser:

a) 7. b) 5. c) 3. d) –3. e) –7.

6 (CESCEM) Se 3f(x) 2x= , então, os valores de:

f(0); ( )f 1− ; ( )f 2 ; ( )f 2− ; e 1f

2

− −

são:

a) 2, 2, 4, -4, -1/4. b) 0, -2, 16, -16, 1/4. c) 0, -6, 16, -16, 1/3. d) 2, -2, 2, -2,-1/3. e) 0, 2, 16, 16, 1/4.

7 (PUC) Qual dos gráficos não representa uma função? a)

x

y

b)

x

y

c)

x

y

d)

x

y

e)

x

y

8 (ESC. AERON) Determinar o campo de existên-cia da função 2y 4 x= − : a) ( )4,4−

b) [ ]2,4−

c) ( )2, 2−

d) [ ]2,2−

e) Nenhuma.

9 (PUC-RS) O domínio da função real dada por

( )2

1f x

2x 5x 3=

+ − é o conjunto:

a) 1R 3,

2

− −

b) 1R ,3

2

− −

c) 1R

2

−

d) 13,

2

−

e) 1,2

2

−

10 (FMU-SP) O domínio real da função

( )2x 4

f xx 2

−=

− é o conjunto:

a) { }x R / x 2 ou x 2∈ ≤ − ≥

b) { }x R / 2 x<2∈ − ≤

c) { }x R / 2 x 2∈ − ≤ ≤

d) { }x R / x 2 ou x>2∈ ≤ −

e) { }x R / x 2∈ >

Editora Exato 26

11 (PELOTAS) Se f e g são funções definidas em R por ( )f x x 2= + e ( )g x 3x 5= + , então ( )g f x é:

a) 3x+11 b) 3x2 + 10 c) 3x2 + 11x + 10 d) 4x+7 e) ( )f g x

12 (USP) Se ( )f x 5x= e ( ) 2g x 3x= , então ( )f g x

será igual a: a) 15x + 3x2

b) 15x2

c) 8x3

d) 15x e) 15x3

13 (PUC-SP) Sendo ( ) 3f x x 1= + e ( )g x x 2= − , então

( )gof 0 é igual a:

a) 1 b) 3 c) 0 d) 2 e) –1

14 (UFPR) Para cada valor real de x, sejam ( ) 2f x x= e ( ) ( )g x f f x = . Calcular o valor de

( )

( )

f g 3

g 3

.

a) 20. b) 21. c) 31. d) 81. e) 80.

15 Uma função do 2º grau, nos dá sempre a) uma reta. b) uma hipérbole. c) uma parábola. d) uma elipse. e) nenhuma.

16 O vértice da parábola 2y x 4x 5= − + + é: a) ( )V 2,9 .

b) ( )V 5, 1− .

c) ( )V 1, 5− − .

d) ( )V 0,0 .

e) Nenhuma.

17 A função 2y 2x x 1= − + é uma parábola que: a) corta o eixo x em dois pontos. b) passa pela origem. c) não corta o eixo x. d) tem concavidade voltada para baixo. e) nenhuma.

18 Dada a função ( )f x mx n= + , conhecendo-se

( )f 0 2= e ( )f 1 3= , então o valor de m e n é:

a) 1 e 2. b) 2 e 1. c) 3 e 1. d) 2 e 3. e) 0 e 1.

19 (PUC) Sendo m R∈ , então as raízes da equação ( )2x m 1 x m 0− − − = serão reais e iguais se, e so-

mente se, a) m 1≠ . b) m=1. c) m 1≠ − . d) m=-1. e) m=0.

20 (PUC) Para que as raízes ou zeros da função 2y x mx 4= − + sejam reais, é necessário que:

a) [ ]m R e m -4 ou m>4∈ ≤ .

b) m R e m>4∈ . c) [ ]m R e m -4 ou m 4∈ ≤ ≤ .

d) [ ]m R e -4 m 4∈ ≤ ≤ .

e) [ ]m R e -4 < m <4∈ .

21 (UFPR) O vértice da parábola 2y 2x 8x 8= − + − tem coordenadas: a) ( )0, 8− .

b) ( )1, 2− .

c) ( )2,0 .

d) ( )3,0 .

e) ( )3. 2− .

GABARITO

1 D

2 A

3 B

4 A

5 B

Editora Exato 27

6 B

7 B

8 D

9 A

10 D

11 A

12 B

13 E

14 D

15 C

16 A

17 C

18 A

19 D

20 C

21 C