funções convexas e a desigualdade de jensen
DESCRIPTION
Um trabalho de conclusão de curso de matemática, voltado para a área da análise matemática.Segue com funções convexas e a desigualdade de Jensen. Além de noções da área de análise.TRANSCRIPT
Universidade Federal de Alagoas
Campus Arapiraca
Curso Superior de Licenciatura em Matematica
FUNCOES CONVEXAS E ADESIGUALDADE DE JENSEN
Claudio Roberto Pereira Silva
ARAPIRACA - AL
2010
Claudio Roberto Pereira Silva
FUNCOES CONVEXAS E ADESIGUALDADE DE JENSEN
Monografia apresentada a banca exami-
nadora do Curso Superior de Licenciatura
Matematica da Universidade Federal de
Alagoas (UFAL), como requisito parcial a
obtencao do tıtulo de Graduado com Licen-
ciatura Plena em Matematica.
Orientador: Prof. MsC. Eben Alves da Silva
ARAPIRACA - AL
2010
Claudio Roberto Pereira Silva
Funcoes convexas e a desigualdade de Jensen
Esta monografia foi apresentada no dia 22 de Dezembro de 2010 e julgada
adequada para a obtencao de tıtulo de Graduado com Licenciatura Plena
em Matematica, por ter sido aprovada em sua forma final pela banca exa-
minadora do Curso de Licenciatura Plena em Matematica da Universidade
Federal de Alagoas, Campus Arapiraca.
Prof. Dr. Jose da Silva Barros
Coordenador do curso de Licenciatura Plena em Matematica - UFAL
Banca examinadora:
Prof. MsC. Eben Alves da Silva
Orientador - UFAL
Prof. MsC. Jose Arnaldo dos Santos
Examinador - UFAL
Prof. MsC. Moreno Pereira Bonutti
Examinador - UFAL
ARAPIRACA - AL
2010
Dedicatoria
Dedico este trabalho a todos os que acreditaram e estiveram junto comigo
em toda a construcao e alem de tudo, aqueles que estiveram ao meu lado em
todas as pedras do curso de matematica. Dedico este trabalho a cada leitor
que se interessar a le-lo e compreende-lo, so assim saberei que este trabalho
teve um fundamento realmente importante.
”O primor vem com muito esforco e dedicacao”
Claudio Pereira
Agradecimentos
Agradeco primeiramente a Deus por estar sempre ao meu lado e ter me
dado a oportunidade de viver para poder estar nesses momentos. Logo em
seguida agradeco aos meus pais Paulo de Oliveira Silva e Ivanilda Pereira
Silva por ter me dado todo o amparo necessario para que eu pudesse chegar
ate o fim dessa caminhada. Agradeco aos meus irmaos Paulo Roberto Pereira
Silva e Rodrigo Pereira Silva e tambem a minha cunhada Debora Ramos, pois
sem esses tres talvez nem tivesse ingressado na Universidade. Devo muito e
muito a minha tia Nauza, pois sem ela nada dessa luta seria possıvel, ou no
mınimo ficaria muito mais difıcil.
Dessa forma, gostaria de agradecer a todos aqueles que torceram por mim
e me ajudaram ao longo dessa caminhada, dentre essas pessoas vou destacar
meus professores MsC. Jose Arnaldo que me fez renascer das cinzas dentro
do curso e ao meu orientador e grande companheiro MsC. Eben Alves, alem
dos meus grandes amigos e companheiros nesta batalha representados por
James Miguel e Otavio Araujo.
”Para evoluir e somar conquistas e preciso adicionar persistencia em tudo”
Nuno Cobra
Resumo
Esse tema foi trabalhado a partir das ideias de meu professor e orientador
MsC. Eben Alves da Silva, que deu a sugestao do tema e eu decidi dar
progresso a essa ideia. A Desigualdade de Jensen trata sobre desigualdades
entre funcoes convexas, por conta deste fato, decidimos agrupar esses dois
temas. E muito interessante principalmente para alunos que buscam apoio
para as Olimpıadas de Matematica. Pois, essa desigualdade e rotineiramente
presente em provas nacionais e esse tipo de funcao nao e visto no nıvel de
ensino que esses alunos se encontram.
Para embasar nosso tema principal, trataremos nos capıtulos iniciais
temas como topologia na reta, funcoes contınuas, limite e derivada. Que
o leitor deve ter como pre-requisito para o estudo de funcoes convexas e a
desigualdade de Jensen. Podemos fazer uma ressalva para o leitor que ja pos-
suir conhecimento sobre tais assuntos bases, esses leitores poderao, sem perda
de compreensao, ir diretamente para o estudo do capıtulo 6 que trata sobre
funcoes convexas, assim podendo estudar os capıtulos 7 e 8, Desigualdade de
Jensen e aplicacoes, respectivamente.
Palavras-chave: Desigualdade de Jensen; funcoes convexas; Olimpıadas
de Matematica; alunos; Ensino Medio.
Abstract
This theme was worked out from the ideas of my teacher and mentor MsC.
Eben Alves da Silva, who gave the suggestion of the theme and I decided to
progress this idea. The inequality is Jensen convex functions on inequalities
between, due to this fact, we decided to group the two themes of this work
and produce a very simple way. This is a very interesting topic, especially
for high school students who seek support for the Math Olympics. Well, this
inequality is routinely present in national tests and that kind of function is
hardly seen in the level of education these students are.
To support our main theme, in the early chapters treat topics such as
topology in straight, continuous functions, limits and derivatives. The reader
must have as a prerequisite for the study of convex functions and Jensen’s
inequality. We can make an exception for the reader who already have knowl-
edge about such matters bases, these readers may, without loss of under-
standing, go directly to the study of Chapter 6 which deals with convex
functions, thus being able to study Chapters 7 and 8, Inequality Jensen and
applications, respectively.
Keywords: Convex functions; Jensen’s inequality; students, high school,
Math Olympics.
Sumario
1 Nota historica 12
2 Topologia na reta 15
2.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Continuidade 24
3.1 Funcao contınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Propriedades das funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Limite 30
4.1 Analisando os limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Propriedades basicas de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Derivadas 36
5.1 Continuidade e existencia da derivada . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Funcao convexa 46
6.1 Conjunto convexo de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2 Funcao convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3 Propriedades de funcoes convexas e cocavas . . . . . . . . . . . 53
8
7 Desigualdade de Jensen 57
7.1 Observando a desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 A Desigualdade de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8 Aplicacoes 64
Introducao
Este trabalho trata sobre a Desigualdade de Jensen, uma desigualdade
que auxilia bastante na resolucao de questoes referentes a funcao concava
e convexa. Este trabalho tem o intuito de auxiliar muitos matematicos
que gostam do tema e principalmente buscam apoio para as Olimpıadas de
Matematica. Pois, infelizmente, esse tema nao e abordado nas salas de aula
do Ensino Medio. O tema, de uma maneira geral, e tratado de uma maneira
bem simples e de facil compreensao, alem de todos os exemplos que facilitam
a compreensao de todos.
O tema ”principal”desse trabalho e a Desigualdade de Jensen, alem de
suas aplicacoes, que sao colocados nos dois ultimos capıtulos deste trabalho.
Contanto, para facilitar a compreensao e formar bases estruturadas para
tal compreensao, foram colocados nos capıtulos que precedem estes dois
capıtulos alguns temas necessarios, assim como Topologia na Reta, Con-
tinuidade, Limites, Derivadas, Funcao Convexa (concava). Porem, o leitor
que ja tiver conhecimento previo suficiente sobre tais temas, podera, sem
perda de conteudo, partir para a leitura inicial dos capıtulos 7 e 8.
No capıtulo 1, faremos uma breve introducao historica, contando um
pouco da vida de Valdemar Jensen, autor da desigualdade que trabalharemos,
a qual leva seu nome. No capıtulo 2 tratamos da topologia na reta, assim
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como conjuntos aberto, fechado e compacto. No capıtulo 3 falaremos sobre
continuidade, funcoes contınuas e propriedades. No capıtulo 4, temos li-
mites, alguns teoremas importantes e propriedades. No capıtulo 5 trataremos
sobre derivadas, alguns teoremas importantes com as demonstracoes somente
dos considerados principais, alem de algumas propriedades. No capıtulo 6
temos as funcoes convexas (concavas) e algumas propriedades. No capıtulo
7 trataremos da desigualdade de Jensen e alguns teoremas sobre as formas
da desigualdade mais simples e mais generalizada. E por fim, no capıtulo 8,
trazemos algumas aplicacoes da Desigualdade de Jensen.
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Capıtulo 1
Nota historica
Figura 1.1: Valdemar Jensen
Johan Ludwig William Valdemar Jensen nasceu na cidade de Nakskov -
Dinamarca, no dia 8 de maio de 1859. Seu pai era diretor administrativo de
uma empresa em uma pequena cidade ao norte da Dinamarca. Alem disso,
o pai de Jensen pode ser considerado um grande sonhador, adorava idealizar
coisas novas, se autonominava um grande empreendedor e ate, as vezes um
inventor. Apesar de sua boa educacao e estilo culto, seus projetos sempre
12
acabavam resultando em grandes perdas financeiras para sua famılia. O que
fez com que eles acabassem tendo que se mudar para a cidade de Copenhagen,
capital do paıs.
Isso proporcionou para Jensen, a chance de concluir seus estudos na ca-
pital de seu paıs. No ano de 1876, ele ingressou na Faculdade de Tecnolo-
gia de Copenhagen, onde acabou demonstrando bastante interesse por uma
grande diversidade de assuntos cientıficos, incluindo a matematica, fısica e
quımica. Contudo, foi com a matematica que ele mais se identificou, dizendo-
se apaixonado pela disciplina em sua totalidade. A partir de entao, comecou a
se relacionar com a matematica mais intimamente e acabou deixando de lado
as outras disciplinas que tambem havia chamado sua atencao. Foi tambem
nesse perıodo que Jensen comecou a escrever seus primeiros artigos como
estudante da Faculdade de Tecnologia de Copenhagen.
Jensen era um engenheiro de telecomunicacoes, que nas horas vagas tra-
balhava como um matematico amador. Apesar disso, ele produziu pesquisas
de alto nıvel no ramo da matematica, mesmo trabalhando paralelamente
como engenheiro. Ele foi um espetacular autodidata ao fazer pesquisas em
matematica sem nunca ter tido uma formacao academica exclusiva na area
da pesquisa. Houve uma fase em sua vida em que a matematica era a unica
materia que realmente o interessava. Foi nesse perıodo que ele alcancou
grande exito em suas pesquisas. Nessa mesma epoca, ele aceita um emprego
em uma empresa de telefonia. Porem isso nao foi capaz de afasta-lo de seus
desejos em fazer pesquisas na area da matematica. Antes disso, ele nao tinha
um emprego para conseguir se sustentar e para continuar com a matematica.
Em 1890, Jensen tornou-se chefe de departamento tecnico dessa mesma com-
panhia, a qual ele continuou a trabalhar ate 1924.
Apesar de nao ser tao conhecido, Jensen teve algumas producoes que
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contribuıram bem para o avanco da matematica. Jensen contribuiu para
a hipotese de Riemann provando um teorema que foi enviado para Mittag-
Leffler e que foi publicado em 1899. O teorema e importante, mas nao traca
a direcao completa para a hipotese de Riemann, como Jensen esperava e
expressou o principal valor do logaritmo do valor absoluto de uma funcao
Holomorfa sobre um cırculo para o significado para a distancia dos zeros do
centro e o valor no centro.
Ele tambem estudou series infinitas, a funcao gamma e as inequacoes
para as funcoes convexas. Em um artigo publicado em 1906 na Acta Ma-
thematica, Jensen provou uma desigualdade para as funcoes convexas, a qual
sera apresentada neste trabalho, que e bastante utilizada hoje para resolver e
provar questoes envolvendo inequacoes, que estao constantemente presentes
nas Olimpıadas de Matematica atuais.
Valdemar Jensen acabou falecendo na data de 05 de marco de 1925, com
65 anos incompletos, na cidade de Copenhagen, capital da Dinamarca, onde
concluiu seus estudos e produziu suas publicacoes, cidade a qual lhe possi-
bilitou o prazer de estudar e criar suas publicacoes na matematica.
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Capıtulo 2
Topologia na reta
A topologia, em si, se preocupa com grande generalidade, com nocoes
sobre as formas, os limites, com as propriedades das funcoes contınuas e dos
conjuntos onde tais funcoes sao definidas e tomam seus respectivos valores
de reta.
Ao longo deste capıtulo, serao apresentadas algumas notacoes sobre a
topologia na reta. Entao, devemos deixar claro para o leitor que, sempre
que falarmos sobre numeros, devemos ter claramente a ideia que estamos
tratando de um numero real. Logo, podemos notar que, os numeros reais
podem ser representados por pontos de uma reta atraves de suas abscissas.
E bastante costumeiro utilizarmos a palavra ”ponto”em lugar de ”numero”;
dessa forma, um determinado ponto x representa um numero real x e vice-
versa. Um outro importante fato com o qual devemos ter conhecimento e
a definicao de uma sequencia de numeros reais que se representa por uma
funcao x : N→ R tal que:
x : N→ R
x(n) = xn, ∀ n ∈ N
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Visto isso, apresentaremos agora, entao, algumas definicoes basicas que
devemos conhecer sobre conjuntos, retas e pontos.
2.1 Conjuntos abertos
Definicao 2.1 Ponto interno ou ponto interior
Dizemos que um ponto x e ponto interno ou interior a um conjunto A,
se esse conjunto contem um intervalo (a, b), tal que possui x como um de
seus elementos, isto e, x ∈ (a, b) ⊂ A. De acordo com essa definicao, todos
os pontos de um intervalo aberto (a, b) sao pontos do interior do intervalo.
O interior de um conjunto A e o conjunto de todos os seus pontos interi-
ores. Assim o intervalo (a, b) e seu proprio interior e e tambem o interior do
intervalo fechado [a, b].
Se o conjunto A possui algum ponto interior, ele deve conter pelo menos
um intervalo aberto, logo e infinito. Assim, se tomarmos A = {a1, a2, ..., an}
como sendo um conjunto finito, nenhum de seus pontos e interior, ou seja,
temos int(A) = ø. De outra maneira, temos tambem que, como todo in-
tervalo aberto e um conjunto nao-enumeravel, se int(A) 6= ø, entao A e
nao-enumeravel.
Definicao 2.2 Conjunto aberto
Um subconjunto A ⊂ R chama-se conjunto aberto quando todos os seus
pontos sao interiores a ele proprio, isto e, quando int(A) = A.
Assim A e um conjunto aberto se, e somente se, para cada x ∈ A existe
um intervalo aberto (a, b) tal que x ∈ (a, b) ⊂ A.
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Observacao 2.1 Um conjunto vazio e um conjunto aberto. Como efeito
desse fato, temos que um conjunto H so pode deixar de ser aberto se existir
em H algum ponto que nao seja interior a ele. Como nao existe ponto algum
em um conjunto vazio, somos forcados a admitir que um conjunto vazio e
sempre aberto.
Teorema 2.1 a) Se A1 ⊂ R e A2 ⊂ R sao abertos, entao A1 ∩ A2 e aberto.
b) Seja (Aλ)λ ∈ L uma famılia arbitraria de conjuntos abertos Aλ ⊂ R.
A reuniao A =⋃λ⊂L
Aλ e um conjunto aberto.
Demonstracao.
a) Seja x ∈ A1∩A2. Entao x ∈ A1 e x ∈ A2. Logo existem intervalos tais
que x ∈ (a1, b1) ⊂ A1 e x ∈ (a2, b2) ⊂ A2. Sejam a o maior dos numeros a1, a2
e b o menor dos numeros b1, b2. Entao x ∈ (a, b) = (a1, b1)∩(a2, b2) ⊂ A1∩A2.
Portanto, temos que todo ponto x ∈ A1 ∩ A2 e interior e portanto esta
interseccao e um conjunto aberto.
b) Seja x ∈ A = ∪Aλ. Entao existe λ ∈ L tal que x ∈ Aλ. Como Aλ e
um conjunto aberto, entao podemos um intervalo um intervalo (a,b) tal que
x ∈ (a, b) ⊂ Aλ. Como Aλ ⊂ A, temos x ∈ (a, b) ⊂ A. Com isso, temos que
todo ponto x ∈ A e um ponto interior e portanto A e aberto.
Definicao 2.3 Vizinhanca de numeros
Dado um numero x0 ∈ A, chama-se de vizinhanca ε de x0 a todos os
numeros x pertencentes ao intervalo (x0 − ε, x0 + ε). Daqui por diante, de-
notaremos uma vizinhanca por Vε(x0). Podemos observar que a condicao
x ∈ Vε(x0) pode ser colocada na forma:
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|x− x0| < ε⇔ −ε < x− x0 < ε⇔ x0 − ε < x < x0 + ε
De uma maneira mais geral, podemos notar que vizinhanca de um ponto
x0 e qualquer conjunto que contenha um intervalo aberto (x0− ε, x+ ε) cen-
trado em x0 para um dado ε > 0, tomado arbitrariamente proximo de 0.
Mas, a menos que o contrario seja dito, uma vizinhanca significaria sempre
um intervalo aberto. Porem, as vezes e mais interessante para nos que con-
sideremos uma vizinhanca de Vε(x0) de x0, excluindo o proprio ponto, a esse
tipo de vizinhanca chamamos de vizinhanca perfurada de x0. E denota-se
por:
V ′ε (x0) = Vε(x0)− x0 = x ; 0 < |x− x0| < ε
Definicao 2.4 Ponto de acumulacao
Diz-se que um ponto x0 e o ponto de acumulacao de um conjunto A se
toda vizinhanca de x0 contem pontos de A, ou seja, se para todo ε > 0 a
vizinhanca Vε(x0) contem infinitos pontos de A diferente de x0. Em sımbolos
temos que:
V ′ε (x0) ∩ A 6= ø
Importante:
Um ponto de acumulacao de um conjunto A pode ou nao pertencer ao
conjunto. Por exemplo, os extremos do intervalo aberto (a, b) sao pontos de
acumulacao do intervalo e nao pertencem ao intervalo. E todos os pontos do
interior do intervalo tambem sao seus pontos de acumulacao e pertencem a
ele.
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Definicao 2.5 Ponto isolado
Um ponto x de um conjunto A, diz-se isolado se nao for ponto de acu-
mulacao de A. Isso e equivalente a dizer que existe ε > 0 tal que V ′ε (x) nao
contem qualquer elemento de A. Logo, temos que:
∃ ε > 0 | V ′ε (x) ∪ A 6= ø
Dizemos que um conjunto A e discreto ou enumeravel, quando todos os seus
pontos sao isolados. Veja o exemplo abaixo.
Exemplo 2.1
A =
{1
2,2
3,3
4,4
5, ... ,
n
n+ 1, ...
}
Definicao 2.6 Ponto aderente
Diz-se que um ponto x e aderente a um conjunto A ⊂ R quando x for
limite de uma sequencia de pontos xn ∈ A.
Todo ponto x ∈ A e aderente a A. Para percebermos isso, basta que
tomemos a sequencia de pontos xn = x. Mas pode-se ter x aderente a A sem
que x pertenca a A.
Exemplo 2.2 Se A = (0,+∞), entao temos que 0 /∈ A, mas 0 e aderente a
A pois, 0 = limn→∞
1
n, onde
1
n∈ A para todo n positivo.
Observacao 2.2 Podemos definir o limite de uma sequencia da seguinte
forma: limxn = x se, e somente se dada qualquer Vε(x), ∃ n0 ∈ N tal que
n > n0, tem-se xn ∈ Vε(x).
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Teorema 2.2 Um ponto x ∈ R e aderente a um conjunto A ⊂ R se, e
somente se, para todo ε > 0 tem-se A ∩ (x− ε, x+ ε) 6= ø.
Demonstracao.
Se x e aderente a A, entao x = limxn, onde xn ∈ A para todo n ∈ N.
Tomemos arbitrariamente um ε > 0, entao xn ∈ (x − ε, x + ε) para todo n
suficientemente grande. Com isso (x − ε, x + ε) ∩ A 6= ø. Reciprocamente,
supondo que esteja satisfeita essa condicao, para cada n ∈ N podemos en-
contrar xn ∈ A tal que xn ∈(x− 1
n, x+
1
n
). E com isso, definimos uma
sequencia de pontos xn ∈ A tais que |xn − x| <1
n. Logo limxn = x e
portanto x e aderente a A. O que termina nossa demonstracao.
Outra forma de mostrarmos que um ponto e aderente, e dizendo que um
numero x0 e ponto aderente do conjunto A, se qualquer vizinhanca de x0
contem algum elemento de A. Isso quer dizer que x pode ser um elemento
do conjunto A ou nao. Mas se nao for, certamente sera ponto de acumulacao
de A.
O leitor deve ficar atento para nao confundir ponto de acumulacao e
ponto de aderencia. No caso, quando temos uma sequencia de numeros reais
(xn) ; n ≤ 1, um ponto de aderencia pode ou nao coincidir com os elementos
da sequencia, e se nao coincidir temos um ponto de acumulacao do conjunto
de valores da sequencia.
O conjunto dos pontos aderentes a A e chamado de fecho ou aderencia
de A, e e costumeiramente representado por A. Como podemos notar, A e a
uniao de A com o conjunto de seus pontos de acumulacao, denotado por A′,
logo A = A ∪ A′.
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Definicao 2.7 Conjunto denso
Diz-se que um conjunto A e denso em um conjunto B se todo ponto de B
que nao pertence a A e ponto de acumulacao de A. Dito de outro modo, todo
ponto de B, ou ja esta em A, ou e ponto de acumulacao de A, de tal modo
que se juntarmos a A e seus pontos de acumulacao, o conjunto resultante
contera B.
Em particular, A ser denso em R significa que todo numero real e ponto de
acumulacao de A. Por exemplo, o conjunto Q e denso em R; analogamente,
tambem e denso em R o conjunto dos numeros irracionais.
2.2 Conjuntos fechados
Definicao 2.8 Conjunto fechado
Chamaremos de conjunto fechado ou fecho do conjunto A ao conjunto
formado por todos os pontos aderentes a A, representamos isto escrevendo
A. Evidentemente tem-se A ⊂ A para todo A.
Um conjunto A sera dito fechado quando todo ponto aderente a A per-
tencer ao proprio conjunto A, ou seja, A = A.
Assim, para que A seja fechado, e necessario e suficiente que A cumpra a
seguinte condicao:
Se xn ∈ A para todo n ∈ N e lim xn = a, entao a ∈ A
21
Observacao 2.3 Um conjunto A ⊂ R e fechado se, e somente se, seu com-
plementar, R− A, for aberto.
Definicao 2.9 Intervalo aberto
Dizemos que o intervalo (a, b) ∈ A e aberto se todo ponto deste intervalo
e interno a A, isto e, se todos os numeros estiverem compreendidos entre a e
b. E podemos denotar das seguintes formas:
• a < x < b
ou
• (a, b)
ou ainda na forma de conjunto,
• {x | a < x < b}
E esse o caso de um intervalo (a, b) ser um intervalo aberto, como ja vinha
sendo chamado anteriormente.
Exemplo 2.3 Um intervalo aberto pode ser (0, 1), isto e, o intervalo que
vai de 0 a 1, porem nao inclui o ponto 0, nem o ponto 1. De outra forma,
0 < x < 1.
Definicao 2.10 Intervalo fechado
Dizemos que um intervalo [a, b] de um conjunto A e fechado quando inclui
os seus termos a e b, isto e, A = A = A ∪ A′ , onde A′ e o conjunto dado
e tem-se que A′ ⊂ A. Podemos denotar um intervalo fechado das seguintes
formas:
22
• [a, b]
ou
• a ≤ x ≤ b
ou ainda, em forma de conjunto,
• {x | a ≤ x ≤ b}
Exemplo 2.4 Como exemplo de um intervalo fechado, temos os pontos [2, 3]
da reta, que formam uma semi-reta que vai do ponto 2 ate o ponto 3. De
outra maneira 2 ≤ x ≤ 3.
23
Capıtulo 3
Continuidade
3.1 Funcao contınua
Diz-se que a funcao f e contınua no ponto x = a se existir o limite de f(x)
com x tendendo a a e esse limite for igual a f(a); e diz-se que f e contınua
em seu domınio, ou contınua, simplesmente, se ela for contınua em todos os
pontos de seu domınio.
Uma outra forma com a qual podemos definir funcao contınua e a que se
segue: Dizemos que uma funcao f : X → R e contınua em um ponto a ∈ X,
quando para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter γ > 0 tal que
x ∈ X e |x− a| < δ implica em |f(x)− f(a)| < ε.
E mostrando atraves de sinais, temos:
∀ ε > 0; ∃ δ > 0; x ∈ X ; |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε
24
Observacao 3.1 Ao contrario da definicao vista em limite, so se tem sen-
tido fazer a analise se f e contınua no ponto a, quando a ∈ X, ou seja, a
pertence ao domınio da funcao.
Observacao 3.2 Se a e um ponto isolado do conjunto X, entao toda funcao
f : X → R e contınua no ponto a. (Seja dado qualquer ε > 0, basta que
tomemos δ > 0 de forma que (a− δ, a+ δ) ∩X = {a}. Com isso, temos que
|x−a| < δ com x ∈ X, o que implica x = a e portanto |f(x)−f(a)| = 0 < ε ).
Em particular, se todos os pontos de X sao isolados, entao qualquer funcao
f : X → R e contınua.
Exemplo 3.1 Toda funcao f : Z → R e contınua, porque todo ponto de
Z e isolado. Por essa mesma razao, temos que toda funcao definida no
conjunto X =
{1,
1
2,1
3, ...,
1
n, ...
}e contınua. Por outro lado, notamos que,
se Y =
{0, 1,
1
2, ...,
1
n, ...
}entao uma funcao f : Y → R e contınua se, e
somente se e contınua no ponto 0 (ja que todos os demais pontos de Y sao
todos isolados). Em outras palavras f : Y → R e contınua se, e somente se,
f(0) = limn→∞
f
(1
n
).
A continuidade de uma funcao pode ser tida como um fenomeno local, ou
seja, se uma funcao f coincide, nas proximidades de um dado ponto a, com
uma outra funcao que e contınua em a, entao f tambem e contınua nesse
ponto.
25
Teorema 3.1 Se f : X → R e contınua no ponto a ∈ X, entao f e limitada
em alguma vizinhanca de a, isto e, existe algum δ > 0 de forma que, pondo
Uδ = X ∩ (a− δ, a+ δ), o conjunto f(Uδ) e limitado.
Teorema 3.2 Se f, g : X → R sao contınuas no ponto a ∈ X e f(a) < g(a),
entao existe δ > 0 tal que f(x) < g(x) para todo x ∈ X com |x− a| < δ.
Corolario 3.1 Sejam dadas f : X → R uma funcao contınua no ponto
a ∈ X e k ∈ R uma constante qualquer. Se f(a) < k, entao existe δ > 0, tal
que f(x) < k para todo x ∈ X com |x− a| < δ.
Demonstracao.
Sendo f(a) < k, tomamos entao ε = k − f(a) < 0. Pela definicao vista
em Funcao Contınua, para este ε corresponde um δ > 0 tal que x ∈ X,
|x−a| < δ ⇒ f(a)−ε < f(x) < f(a)+ε. Mas, temos que f(a)+ε = k. Logo
todo ponto x ∈ X, cuja distancia do ponto a seja menor que a do ponto δ
cumpre f(x) < k.
Evidentemente o resultado analogo tambem e valido, ou seja, se f(a) > k;
existe um δ > 0 tal que x ∈ X e |x − a| < δ ⇒ f(x) > k. O mesmpo fica
claro para f(a) 6= k, pois se f(a) 6= k, entao ou f(a) > k, ou f(a) < k, o que
ja esta demonstrado.
26
Teorema 3.3 (Teorema do Valor Medio) Seja f : [a, b] → R contınua. Se
f(a) < d < f(b) entao existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = d.
Demonstracao.
Seja dado um conjunto A = {x ∈ [a, b] | f(x) < d}. A nao e vazio pois
f(a) < d. Nesse conjunto afirmamos que nenhum elemento de A e maior
que todos os outros. Com efeito, tomemos α ∈ A. Como f(α) < d, vemos
que α 6= b, logo α < b. Tomamos entao ε = d − f(α), a continuidade de
f no ponto α nos da um δ > 0 (que neste caso tomaremos pequeno, de
modo que tenhamos [α, α + δ] ⊂ [a, b]) tal que, para todo x ∈ [α, α + δ)
tenhamos f(x) < f(α) + ε, ou seja, f(x) < d. Dessa forma, todos os pontos
do intervalo [α, α+ δ) pertencem a A. Agora peguemos c, onde c e limite de
uma sequencia de pontos xn ∈ A, daı temos f(c) = lim f(xn) ≤ d. Como A
nao possui maior elemento, nao se tem c ∈ A. Portanto nao vale f(c) < d, o
que nos leva a concluir que f(c) = d.
Corolario 3.2 Seja f : I → R contınua num intervalo I (que pode ser
fechado ou nao). Se a < b pertencem a I e f(a) < d < f(b), entao existe
c ∈ I tal que f(c) = d.
Demonstracao.
Seja f ∈ [a, b], onde [a, b] ⊂ I entao o Teorema mostrado e demonstrado
acima nos afirma que exite um c ∈ (a, b), de tal maneira que f(c) = d.
Corolario 3.3 Seja f : I → R contınua num intervalo I. Entao f(I)
tambem sera um intervalo.
27
Exemplo 3.2 Seja f : R→ R dada por f(x) = x2 + x. Entao tomemos ao
acaso um intervalo I = (−1, 2), dessa forma temos f(I) = [0, 6).
3.2 Propriedades das funcoes contınuas
1. Sejam f, g : X → R contınuas no ponto a ∈ X com f(a) < g(a). Existe
um δ > 0 tal que f(x) < g(x) para todo x ∈ X ∩ (a− δ; a+ δ).
2. Sejam f : X → R contınua no ponto a ∈ X: Se f(a) 6= 0 existe um
δ > 0 tal que, para todo x ∈ X ∩ (a− δ, a+ δ), f(x) tem o mesmo sinal
de f(a).
3. Dados f, g : X → R contınuas, sejam Y = {x ∈ X : f(x) < g(x)} e
Z = {x ∈ X : f(x) ≤ g(x)}. Existem A ⊂ R aberto e F ⊂ R fechado,
tais que Y = X ∩A e Z = X ∩ F . Em particular, se X e aberto entao
Y e aberto, e se X e fechado entao Z e fechado.
4. Se f, g : X → R sao contınuas no ponto a ∈ X; entao sao contınuas no
ponto a ∈ X as funcoes f + g; f . g : X → R bem como a funcaof
g,
se, e somente se, g(a) 6= 0.
5. Se f, g sao funcoes contınuas em X ⊂ R entao sua composta f ◦ g
tambem e contınua em X.
6. Seja f : I → R uma funcao contınua injetiva, definida num intervalo
I. Entao f e monotona, sua imagem J = f(I) e um intervalo e sua
inversa f−1 : J → R e contınua.
28
Exemplo 3.3 Sejam f, g : R → R funcoes tais que f(x) = x2 e g(x) = ex,
ambas contınuas em todo seu domınio. Portanto, pela Propriedade 5 temos
que f ◦ g = ex2
= e2x e g ◦ f = ex2
= e2x tambem sao contınuas, que neste
caso em especial sao iguais.
Exemplo 3.4 Sejam f, g : R → R funcoes de maneira que f(x) =x
x+ 1e g(x) = ex. Ambas contınuas no ponto a = 0, entao pela Proposicao 4,
temos que f(a) + g(a) e f(a) . g(a) tambem sao contınuas, alem disso, como
g(a) 6= 0, temos quef(a)
g(a)tambem e contınua.
29
Capıtulo 4
Limite
4.1 Analisando os limites
Observacao 4.1 Apartir deste capıtulo utilizaremos alguns exemplos trigono-
metricos, e deixaremos aqui claro que, sempre que aparecer a funcao sin, na
verdade estamos utilizando a funcao trigonometrica seno. E aproveitamos
para deixar convencionado para o restante do trabalho.
Definicao 4.1 Seja dada uma funcao f : X → R com valores reais definida
sobre um subconjunto X ⊂ R, com isso temos que f e uma funcao real de
uma variavel real. Seja a ∈ R um ponto de acumulacao de X, ou seja,
a ∈ X ′.
Seja L um numero real qualquer, tal que L e o limite de f(x) quando
x tende para a, e escrevemos limx→a
f(x) = L para significar que para cada
30
numero real ε > 0, dado arbitrariamente, podemos encontrar δ > 0 de modo
que se tenha |f(x)− L| < ε sempre que x ∈ X e 0 < |x− a| < δ.
Simbolicamente, temos:
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 | x ∈ X, 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε
Com isso, podemos notar que simbolicamente 0 < |x− a| < δ e o mesmo
que dizer que o numero x pertence ao intervalo aberto (a − ε, a + ε) e e
diferente de a.
Podemos ainda interpretar o limite de uma funcao de uma outra forma,
como podemos ver a seguir: limx→a
f(x) = L significa que, para todo intervalo
aberto (L − ε, L + ε), existe um intervalo tambem aberto (a − δ, a + δ) tal
que, pondo-se Vδ = (X − a) ∩ (a − δ, a + δ), vale f(Vδ) ⊂ (L − ε, L + ε).
Onde Vδ representa o conjunto {x ∈ X | 0 < |x− a| < δ}. Ou seja, podemos
tornar f(x) tao proximo de L quanto desejamos, desde que se tome x ∈ X
diferente de a, porem suficientemente proximo de a.
Observacao 4.2 So tem sentido escrever limx→a
f(x) = L quando a e ponto de
acumulacao do domınio X de f(x).
Observacao 4.3 Quando consideramos o limx→a
f(x), nao exigimos, necessariamente
que a pertenca ao domınio da funcao f , podendo assim a ser um ponto fora
do domınio da funcao.
31
Observacao 4.4 Se limx→a
f(x) = L entao o ponto L e aderente ao conjunto
f(X −{a}), pois cada intervalo aberto de centro L contem pontos deste con-
junto. E ainda mais, para cada δ > 0, pondo-se Vδ = (X−a)∩ (a− δ, a+ δ),
temos L ∈ f(Vδ).
Teorema 4.1 (Unicidade do limite). Sejam X ⊂ R, f : X → R, a ∈ X ′.
Se limx→a
f(x) = L1 e limx→a
f(x) = L2, entao L1 = L2.
Demonstracao.
Seja dado qualquer ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0, de maneira que para
x ∈ X, temos
0 < |x− a| < δ1 ⇒ |f(x)− L1| <ε
2
e tambem
0 < |x− a| < δ2 ⇒ |f(x)− L2| <ε
2.
Facamos tambem δ = min{δ1, δ2}. Como a ∈ X ′, podemos obter x ∈ X, de
tal forma que 0 < |x− a| < δ. Entao temos
|L1 − L2| ≤ |L1 − f(x)|+ |f(x)− L2| <ε
2+ε
2= ε,
o que resulta
|L1 − L2| < ε.
Como todo ε e tomado arbitrariamente, isto implica que L1 = L2.
Teorema 4.2 (Confronto). Sejam X ⊂ R, f, g, h : X → R e ainda a ∈ X ′.
Se, para todo x ∈ X, com x 6= a, forem observadas as seguintes desigualdades
32
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) e alem disso, tivermos limx→a
f(x) = limx→a
h(x) = L, entao
temos que limx→a
g(x) = L.
Demonstracao.
Tomemos arbitrariamente um ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0, tais que,
para x ∈ X, temos
0 < |x− a| < δ1 ⇒ L− ε < f(x) < L+ ε
e tambem
0 < |x− a| < δ2 ⇒ L− ε < h(x) < L+ ε.
Seja, entao δ = min{δ1, δ2}. Entao, x ∈ X, e ainda
0 < |x− a| < δ ⇒ L− ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L+ ε,
donde limx→a
g(x) = L.
Exemplo 4.1 Quanto vale limx→0
x2 sin
(1
x
)?
Solucao.
Note que nao podemos fazer limx→0
x2 sin
(1
x
)= lim
x→0x2 . lim
x→0sin
(1
x
). Pois
o limite da funcao sin(1x
)nao existe. Porem, lembre-se que
−1 ≤ sin
(1
x
)≤ 1.
Daı, multiplicando tudo por x2, temos que,
−x2 ≤ x2 sin
(1
x
)≤ x2.
33
Agora, aplicamos limx→0
novamente em todas as parcelas, que resulta em,
limx→0−x2 ≤ lim
x→0x2 sin
(1
x
)≤ lim
x→0x2,
logo, resolvendo os limites que conseguimos, temos,
0 ≤ limx→0
x2 sin
(1
x
)≤ 0.
Com isso, pelo Teorema do Confronto mostrado acima temos que
limx→0
x2 sin
(1
x
)= 0.
Que poe fim a questao.
4.2 Propriedades basicas de Limites
Agora iremos contemplar algumas propriedades basicas dos limites. Para
que possamos trabalhar essa abordagem, tomaremos alguns resultados, como
limx→a
f(x) = L e limx→a
g(x) = M , dessa forma, temos:
1. limx→a
c = c onde c e uma constante;
2. limx→a
[c f(x)] = c limx→a
f(x) = c · L
3. limx→a
[(f ± g)(x)] = limx→a
f(x)± limx→a
g(x) = L±M
4. limx→a
[(f · g)](x) = limx→a
f(x) · limx→a
g(x) = L ·M
5. limx→a
[(f)n(x)] =[limx→a
f(x)]n
= Ln
6. limx→a
[f
g
](x) =
limx→a
f(x)
limx→a
g(x)=
L
Mdesde que M 6= 0
34
7. limx→a
n√f(x) = n
√limx→a
f(x) =n√L se temos que n ∈ N∗ e a raiz n-enesima
de f(x) e um numero real definido.
Exemplo 4.2 Seja f : R→ R, com f(x) = x. E evidente que limx→a
f(x) = a
para qualquer a ∈ R. A propriedade 4 nos diz que limx→a
(f(x) . f(x)) = a2, ou
seja, limx→a
x2 = a2. A mesma conta feita aplicando n − 1 vezes, nos fornece
limx→a
xn = an, para todo n ∈ N.
Exemplo 4.3 Seja f : R − {0} → R definida por f(x) = x +x
|x|(isto
significa dizer que f(x) = x+ 1 quando x > 0 e f(x) = x− 1 quando x < 0).
Dessa forma, podemos observar que limx→∞
f
(1
x
)= 1 e lim
x→∞f
(−1
x
)= −1.
Ou seja, nao existe limite neste caso, pois uma unica funcao nao pode ter
como resultado dois limites diferentes ao mesmo tempo.
35
Capıtulo 5
Derivadas
Seja f : I → R uma funcao definida em um intervalo I qualquer. Usare-
mos a seguinte notacao {c} para designar o conjunto formado por um unico
elemento c.
Fixemos um ponto c, o qual pode ser do interior de I ou entao, ser a
extremidade esquerda de I, no caso de esta pertencer ao intervalo I. Con-
sideremos a funcao q : I\{c} → R, definida por
q(x) =f(x)− f(c)
x− c.
A funcao q : x → f(x)− f(c)
x− cesta definida no conjunto I − {c}. Geo-
metricamente, q(x) representa a inclinacao (coeficiente angular) da tangente
ao grafico da funcao f que passa pelos pontos (c, f(c)) e (x, f(x)) quando
x→ c.
Quando temos um determinado c ∈ I ∩ I ′+ (ou seja, quando c e um ponto
de acumulacao a direita de I, e a ele pertence), entao, podemos definir a
derivada a direita da funcao f no ponto c, como sendo o seguinte limite (se
existir):
36
f ′+(c) = limx→c+
f(x)− f(c)
x− c= lim
x→0+
f(c+ h)− f(c)
h.
Analogamente podemos definir a derivada a esquerda da funcao f , ou
seja, f ′−(c) quando c e um ponto de acumulacao a esquerda e pertence ao
domınio de f .
Se a funcao f for derivavel a direita e a esquerda em c, e as derivadas
laterais em c forem iguais, dizemos que f e derivavel em c. O valor comum
das derivadas laterais em c e chamado a derivada de f em c, e pode ser
denotada por f ′(c). E claro que a funcao f e derivavel em c, se a funcao q
tiver limite no ponto c, e temos, entao
f ′(c) = limx→c
f(x)− f(c)
x− c.
Se fizermos h = x − c, ou seja, x = c + h a derivada de f no ponto
c ∈ I ∩ I ′, entao teremos:
f ′(c) = limh→0
f(c+ h)− f(c)
h
Podemos denotar uma funcao derivada de outras formas, alem de f ′(c),
podemos denotar como: Df(c) ou aindadf
dx(c), porem, isso e somente questao
de notacao, nao altera os valores.
Exemplo 5.1 Seja f : R → R constante, ou seja, existe c ∈ R tal que
f(x) = c para todo x ∈ R. Entao, f ′(y) = 0, para todo y ∈ R. (A derivada
de qualquer constante e sempre nula, ou seja, zero).
37
Exemplo 5.2 Seja f : R → R dada por f(x) = kx + d. Entao, para todo
c ∈ R, f(x)− f(c) = k(x− c), de modo que o quocientef(x)− f(c)
x− c= k, o
que e constante e, portanto, f ′(c) = k para todo c ∈ R.
Exemplo 5.3 Utilizando a formula do Binomio de Newton, podemos obser-
var que p(x) =n∑i=0
aixi e um polinomio, entao, p′(x) =
n∑i=1
i . aixi−1 para
qualquer x ∈ R.
Exemplo 5.4 A funcao f(x) = |x| tem as derivadas laterais no ponto x = 0,
as quais sao f ′−(0) = −1 e f ′+(0) = 1. Como essas derivadas laterais sao
diferentes, f nao e derivavel em x = 0.
5.1 Continuidade e existencia da derivada
Como vimos no exemplo anterior, a continuidade da funcao em um ponto
c nao implica na existencia da derivada nesse ponto. Mas a implicacao
contraria e verdadeira, isto e, a existencia da derivada num ponto c implica
na continuidade da funcao nesse ponto.
Teorema 5.1 Seja f : I → R uma funcao definida no intervalo I.
1. Se f e derivavel a direita em um ponto c ∈ I, entao f e contınua a
direita em c.
38
2. Se f e derivavel a esquerda em um ponto c ∈ I, entao f e contınua a
esquerda em c.
3. Se f e derivavel a direita e a esquerda em um ponto c ∈ I, entao f e
contınua em c. Em particular, se f for derivavel em c, ela e contınua.
Demonstracao.
Faremos aqui a demonstracao de (1). Suponhamos que f nao seja contınua
a direita de em c. Logo, ou f(c+) nao existe ou, se existe, f(c) 6= f(c+). Em
qualquer um dos casos, segue-se que existe uma sucessao (xn) decrescente
convergindo para c e tal que f(xn) nao converge para f(c). Entao, facamos
d > 0 e uma subsucessao (xnj) de (xn) tal que
∣∣f(xnj)− f(c)
∣∣ > d. Daı
decorre que
∣∣q(xnj)∣∣ =
∣∣∣∣f(xnj)− f(c)
xnj− c
∣∣∣∣ > d∣∣xnj− c∣∣ .
Portanto, temos xnj→ c e
∣∣q(xnj)∣∣→ +∞, o que acaba contradizendo a
nossa hipotese inicial de que q(xn) converge para f ′+(c). As demonstracoes
dos outros dois pontos sao analogas.
Observacao 5.1 Seja f : I → R uma funcao real derivavel em todos os
pontos do interior de I. Usaremos a notacao int(I) para designar o interior
de I. A funcao definida por x → f ′(x) e chamada a funcao derivada ou,
simplesmente, derivada. Usa-se tambem a notacao dfdx
(ou df/dx) para a
derivada de f . Porem, cabe uma observacao com a qual, df/dx nao e um
quociente, mas simplesmente, um sımbolo para representar uma funcao.
39
Teorema 5.2 Sejam f, g : I → R derivaveis no ponto a ∈ I∩I ′. Entao f±g,
f . g ef
g(caso g(a) 6= 0) sao derivaveis nesse mesmo ponto. Portanto, temos
1. (f ± g)′(a) = f ′(a)± g′(a)
2. (f . g)′(a) = f ′(a) . g(a) + f(a) . g′(a)
3.
(f
g
)′(a) =
f ′(a) . g(a)− f(a) . g′(a)
(g(a))2
Demonstracao. Faremos a demonstracao (1), analogamente a definicao
de derivadas, temos,
(f ± g)′(x) = limh→0
(f ± g)(x+ h)− (f ± g)(x)
h
= limh→0
f(x+ h)± g(x+ h)∓ f(x)∓ g(x)
h
= limh→0
f(x+ h)∓ f(x)± g(x+ h)∓ g(x)
h
= limh→0
f(x+ h)∓ f(x)
h± g(x+ h)∓ g(x)
h
= limh→0
f(x+ h)∓ f(x)
h± lim
h→0
g(x+ h)∓ g(x)
h
= f ′(x)± g′(x)
o que mostra (1). As outras definicoes sao analogas, por esse motivo nao
faremos aqui.
Corolario 5.1 Se c ∈ R, entao (c . f)′ = c . f ′. Temos tambem que, se
f(a) 6= 0, entao
(1
f
)′(a) =
−f ′(a)
(f(a))2.
40
Teorema 5.3 (Regra da cadeia) Sejam f : X → R e g : Y → R, f(X) ⊂ Y ,
a ∈ X∩X ′, b = f(a) ∈ Y ∩Y ′. Se existirem f ′(a) e g′(b), entao g◦f : X → R
e derivavel no ponto a, valendo (g ◦ f)′(a) = g′(b) . f ′(a).
Demonstracao.
Temos,f(a+ h) = f(a) + [f ′(a) + ρ].h, onde lim
h→0ρ(h) = 0
g(b+ k) = g(b) + [g′(b) + σ].k, onde limk→0
σ(k) = 0.
Estamos escrevendo, por questao de simplicidade, ρ e σ em vez de ρ(h) e
σ(k) respectivamente. Fazendo,
k = f(a+ h)− f(a) = [f ′(a) + ρ] . h, temos f(a+ h) = b+ k
e
(g ◦ f)(a+ h) = g[f(a+ h)] = g(b+ k) = g(b) + [g′(b) + σ] . k
= g(b) + [g′(b) + σ].[f ′(a) + ρ] . h
= g(b) + [g′(b).f ′(a) + θ] . h ,
Com θ(h) = σ(f(a+h)− f(a)).[f ′(a) +ρ] + g′(b) . ρ . Como f e contınua
no ponto a e σ e contınua no ponto 0, entao, temos limh→0
ρ(f(a+h)−f(a)) = 0
com isso limh→0
θ(h) = 0, o que prova o teorema.
Corolario 5.2 (Derivada de uma funcao inversa) Seja f : X → Y ⊂ R
uma funcao que possui inversa g = f−1 : Y → X ⊂ R. Se f e derivavel no
ponto a ∈ X ∩X ′ e g e contınua no ponto b = f(a), entao g e derivavel no
ponto b se, e somente se, f ′(a) 6= 0. No caso afirmativo, g′(b) =1
f ′(a).
41
Demonstracao.
Como g e contınua no ponto b, temos limy→b
g(y) = g(b) = a. Alem disso,
y ∈ Y − {b} ⇒ g(y) 6= a. Com isso
limy→b
g(y)− g(b)
y − b= lim
y→b
g(y)− af(g(y))− f(a)
= limy→b
[f(g(y))− f(a)
g(y)− a
]−1=
1
f ′(a).
E temos g′(b) existe e e igual a1
f ′(a)quando f ′(a) 6= 0. Reciprocamente, se
existe g′(b), entao como g ◦ f = idX .
Observacao 5.2 A continuidade de g no ponto b sera consequencia da con-
tinuidade de f no ponto a quando f for contınua em todos os pontos de X
e, alem disso, X pode ser um intervalo ou X pode ser compacto.
Exemplo 5.5 A funcao f : R → R, definida por f(x) = x3, e uma bijecao
contınua, com inversa contınua g : R → R, g(y) = 3√y. Claramente, temos
f ′(a) = 3a2. Portanto f ′(a) 6= 0 para todo a 6= 0, porem, podemos observar
que f ′(0) = 0. Com isso, observamos que g nao possui derivada no ponto
0 = f(0). E ainda, para a 6= 0 e b = a3 o corolario acima nos da que
g′(b) =1
3a2=
1
33√b2
formula que, claramente, nao faz sentido para b = 0.
Seja f : [a, b] → R uma funcao derivavel em todos os pontos x ∈ [a, b].
Se f ′(a) < d < f ′(b) entao existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = d. Essa afirmacao
nos mostra a existencia do valor intermediario para a derivada. E daı decorre
que, se f : I → R e derivavel num intervalo I, entao f ′ nao pode ter descon-
tinuidade de primeira especie em I.
42
Teorema 5.4 (Rolle) Seja f : [a, b] → R contınua, tal que f(a) = f(b). Se
f e derivavel em (a, b) entao existe um ponto c ∈ (a, b) onde f ′(c) = 0.
Demonstracao. Se f e constante em [a, b] entao f ′(c) = 0 para todo
c ∈ (a, b). Caso contrario, f atingira seu mınimo m ou seu maximo M num
ponto interior c ∈ (a, b), pois, se ambos fossem atingidos nas extremidades,
terıamos m = M , e dessa forma f seria constante. Como f e contınua no
compacto [a, b], entao o maximo e o mınimo de f em [a, b] sao atingidos, com
isso temos que f ′(c) = 0.
Exemplo 5.6 Seja f : [0, 1] → R uma funcao definida por f(x) = x se
x ∈ [0, 1) e f(1) = 0. Entao f(0) = f(1) e f e derivavel em (0, 1) mas
f ′(x) = 1 para 0 < x < 1 qualquer. Isto se da porque f nao e contınua no
intervalo fechado [0, 1].
Exemplo 5.7 Seja agora h : [−1, 1] → R, tal que h(x0 = |x|. Temos h
contınua em [−1, 1] e temos h(−1) = 1, porem nao existe c ∈ (−1, 1) de
forma que h′(c) = 0. O motivo e porque h nao tem derivada no ponto 0.
Teorema 5.5 (Teorema do Valor Medio, de Lagrange) Seja a funcao f :
[a, b] → R contınua. Se f e derivavel em (a, b), entao existe c ∈ (a, b), tal
que
f ′(c) =f(b)− f(a)
b− a
Demonstracao. Seja g(x) o polinomio de grau menor ou igual a 1,
tal que g(a) = f(a) e g(b) = f(b). Entao g′(x) e constante e, de fato,
43
g′(x) =f(b)− f(a)
b− apara todo x ∈ [a, b]. A funcao h : [a, b] → R, definida
por h(x) = f(x)− g(x), que satisfaz as hipoteses do Teorema de Rolle, logo
existe c ∈ (a, b), de tal forma que h′(c) = 0, o que conclui o que esperavamos.
Observacao 5.3 Analisando geometricamente, f ′(c) =f(b)− f(a)
b− asignifica
dizer que a tangente ao grafico de f no ponto c e paralela a secante que con-
stitui o grafico de g.
Corolario 5.3 Se f, g : [a, b] → R sao contınuas, derivaveis em (a, b), e
f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ (a, b) entao existe algum c ∈ R de maneira que
g(x) = f(x) + c, para todo x ∈ [a, b].
Observacao 5.4 A funcao f : R−{0} → R, definida por f(x) =x
|x|, nao e
constante, embora cumpra f ′(x) = 0 para todo x ∈ R− {0}. Isso ocorre por
conta de que o domınio de f nao e um intervalo.
Corolario 5.4 Seja f : I → R derivavel no intervalo aberto I. Se existe
k ∈ R de forma que |f ′(x)| ≤ k para todo x ∈ I entao, quaisquer que sejam
x, y ∈ I, teremos
|f(x)− f(y)| ≤ k|x− y|
Com efeito desse Teorema, sejam dados x, y ∈ I, f e contınua no inter-
valo fechado cujas extremidades sao x e y, e e derivavel no intervalo aberto
correspondente. Com isso, f(x) − f(y) = f ′(c)(x − y), onde c e um ponto
entre x e y. Como |f ′(c)| ≤ k, vem |f(x)−f(y)| = |f ′(c)||x−y| ≤ k . |x−y|.
44
Dessa forma, uma funcao que possui derivada limitada num intervalo
aberto e do tipo lipschitziana, e portanto uniformemente contınua nesse in-
tervalo.
Observacao 5.5 Se f e contınua em [a, b] e derivavel em (a, b), segue-se
por passagem ao limite que a desigualdade |f(x)− f(y)| ≤ k . |x− y| ainda
e valida para x, y ∈ [a, b], desde que |f ′(x)| ≤ k para todo x ∈ (a, b).
Exemplo 5.8 Seja a funcao f : (0,+∞) → R, definida por f(x) = sen1
x,
nao possuindo limite a direita no ponto 0, tem derivada ilimitada em qualquer
intervalo do tipo (0, δ). Sabemos que, para x 6= 0, f ′(x) =−1
x2cos
1
x.
45
Capıtulo 6
Funcao convexa
6.1 Conjunto convexo de Rn
Definimos um Conjunto Convexo de Rn como sendo todo conjunto que,
se contiver dois pontos distintos, entao contem tambem todos os pontos per-
tencentes ao segmento de reta que os une, e podemos observar a afirmacao a
seguir:
A e convexo ⇔ ∀ x, y ∈ A, ∀ λ ∈ [0, 1]; λ . x+ (1− λ) . y ∈ A.
Observacao 6.1 Se fizermos a interseccao entre dois ou mais conjuntos
convexos, entao teremos que esse novo conjunto tambem sera convexo, e
podemos observar a afirmacao a seguir:
∀ i ∈ {1, ... , k} , Ai e convexo⇒ A =k⋂i=1
(Ai) = A1∩ ... ∩Ak e convexo.
46
6.2 Funcao convexa
Definicao 6.1 Podemos definir como sendo uma funcao Convexa, a funcao
f : [a, b]→ R cuja regiao sobre o seu grafico, ou seja, o conjunto{(x, y) ∈ R2 | y ≥ f(x)
}for um conjunto convexo. Isto se equivale a afirmar que, para quaisquer x e
y pertencentes a [a, b] e para todo λ ∈ [0, 1], tem-se
f(λ . x+ (1− λ)y) ≤ λ . f(x) + (1− λ)f(y).
De maneira analoga, uma funcao sera estritamente convexa se, para quais-
quer x e y pertencentes ao intervalo fechado [a, b] e para todo λ ∈ [0, 1],
tivermos:
f(λ . x+ (1− λ)y) < λ . f(x) + (1− λ)f(y).
Figura 6.1: Interpretacao geometrica da definicao analıtica
O significado geometrico mostrado de convexidade e bem claro. Considere
a Figura 6.1 mostrada acima, considere o segmento que une o ponto (x, f(x))
47
ao ponto (y, f(y)). Dizer que f e convexa significa dizer que, para todo x, y
em I, e dado um z em (x, y), o ponto (z, f(z)) do grafico de f esta abaixo
do segmento que une (x, f(x)) a (y, f(y)).
Definicao 6.2 Podemos reconhecer uma funcao convexa ainda de outras
maneiras, como por exemplo, observando o epigrafo de f , que e um conjunto
convexo e e definido por
epif := {(x, r)|x ∈ Domf, r ≥ f(x)}.
Epigrafo de f pode ser resumido em uma simples frase:
”Epigrafo de f e tudo que esta acima do grafico”.
Figura 6.2: Epigrafo
48
Proposicao 6.1 Sejam Px0 = (x0, y0), Pu = (u, v) e Px1 = (x1, y1) tres
pontos distintos sobre f : R→ R, onde f e convexa, com u ∈ (x0, x1). Entao
as tres propriedades seguintes sao equivalentes
(a) Pu esta abaixo de Px0Px1;
(b) inclinacao (Px0Pu) ≤ inclinacao (Px0Px1);
(c) inclinacao (Px0Px1) ≤ inclinacao PuPx1.
Figura 6.3: A propriedade fundametal de um epigrafo convexo
Demonstracao.
(a) ⇒ (b): A propriedade (a) que dizer que a imagem de u por f esta
abaixo da reta que une Px0 e Px1 (e passa por Pz). A equacao dessa reta e
dada por
y − z =y1 − y01 − x0
(x− u). (i)
49
Como qualquer ponto da reta que une Px0 e Px1 satisfaz a equacao (i), em
particular o ponto Px0 , facamos x = x0 e y = y0, logo
y0 − z =y1 − y01 − x0
(x0 − u).
Com isso a imagem de u pela reta e dada por
z = y0 +y1 − y0x1 − x0
(u− x0).
Sabemos que a imagem de u por f e menor que a imagem de u pela reta
dada por (i), ou seja, v ≤ z, ou
v ≤ y0 +y1 − y0x1 − x0
(u− x0).
Visto que u− x0 > 0, temos
v − y0u− x0
≤ y1 − y0x1 − x0
,
que e justamente a propriedade (b).
(b)⇒ (c):v − y0u− x0
≤ y1 − y0x1 − x0
.
Como u − x0 > 0 e x1 − x0 > 0, podemos entao reescrever a desigualdade
assim
(v − y0)(x1 − x0) ≤ (y1 − y0)(u− x0, )
vx1 − vx0 − y0x1 + y0x0 ≤ uy1 − y1x0 − uy0 + yox0,
vx1 − vx0 − y0x1 ≤ uy1 − y1x0 − uy0.
Somando agora x1y1 em ambos os membros da desigualdade, obtemos
x1y1 − y0x1 + uy0 − uy1 ≤ x1y1 − y1x0 − vx1 + vx0,
50
x1(y1 − y0)− u(y1 − y0) ≤ y1(x1 − x0)− v(x1 − x0),
(x1 − u)(y1 − y0) ≤ (y1 − v)(x1 − x0),
como (x1 − u) > 0 e (x1 − x0) > 0, entao
y1 − y0x1 − x0
≤ y1 − vx1 − u
.
(c)⇒ (a): Mais uma vez, temos
y1 − y0x1 − x0
≤ y1 − vx1 − u
.
Como (x1 − u) > 0 e (x1 − x0) > 0, entao
(x1 − u)(y1 − y0) ≤ (y1 − v)(x1 − x0),
x1y1 − y0x1 + uy0 − uy1 ≤ x1y1 − y1x0 − vx1 + vx0,
vx1 − vx0 − y0x1 ≤ uy1 − y1x0 − uy0,
Agora somamos x0y0 a ambos os membros da desigualdade, e obtemos
x0y0 + vx1 − vx0 − y0x1 ≤ x0y0 + uy1 − y1x0 − uy0,
agora organizando tudo,
v(x1 − x0)− y0(x1 − x0) ≤ u(y1 − y0)− x0(y1 − y0),
(v − y0)(x1 − x0) ≤ (u− x0)(y1 − y0),
como (x1 − x0) > 0, entao
v ≤ y0 +y1 − y0x1 − x0
(u− x0).
Que conclui a nossa demonstracao.
51
De acordo com o que vimos, a desigualdade vista na (Definicao 6.1) que
define uma funcao convexa pode ser generalizada para mais de dois pontos,
ou seja, para uma colecao {x1, x2, ..., xn} de pontos em um intervalo I e
qualquer colecao de numeros {a1, a2, ..., an} que satisfaz ai ≥ 0 para qualquer
i = 1, 2, ..., n e que tenha-sen∑i=1
ai = 1, formando-se assim a desigualdade de
Jensen (que sera melhor explicada no Capıtulo 7).
f
(n∑i=1
ai xi
)≤
n∑i=1
aif(xi).
E ainda, dizemos que um subconjunto X de um espaco vetorial real ou
complexo e convexo quando todo segmento de reta ligando dois pontos de X
esta contido em X, ou seja, ∀ x, y ∈ X ; ∀ λ ∈ [0, 1], tem-se:
(1− λ)x+ λ . y ∈ X
Se o subconjunto X nao for convexo, dizemos que ele e concavo. O menor
conjunto convexo que contem um subconjunto X designa-se por involucro
convexo de X.
A razao incremental de funcoes reais convexas definidas num intervalo de
R e crescente. A condicao de convexidade implica a continuidade das funcoes
reais no interior do seu domınio. A caracterizacao das funcoes convexas
derivaveis atraves da sua comparacao com a reta de apoio ao seu grafico e a
relacao com a monotonia crescente da sua derivada, ou com a positividade
da segunda derivada.
52
6.3 Propriedades de funcoes convexas e cocavas
Um importante conceito visto em convexidade e que quando presente
numa funcao, garante que seu mınimo local e tambem mınimo global, pois
este e unico.
Observacao 6.2 Aqui e interessante que observemos que a funcao concava
admite as mesmas propriedades da funcao convexa, porem, admite o sinal
contrario, ou seja, se a funcao convexa tem ′′ ≤′′, entao a funcao concava
admite sinal ′′ ≥′′. Resultado que sera importante para o estudo da de-
sigualdade de Jensen.
Observacao 6.3 Durante a exploracao das propriedades expostas a seguir,
admitiremos que f e g sao funcoes convexas e h e crescente e convexa.
1. Combinacao linear positiva: ∀ α, β ∈ R∗+, α . f + β . g convexa.
2. Transformcao crescente e convexa: h ◦ f convexa.
3. Extremos: max(f, g) (min(f, g)) convexa.
4. Uma funcao convexa em [a, b] e sempre contınua em (a, b).
5. Uma funcao contınua num intervalo I e convexa se e somente se:
f
(x+ y
2
)≤ f(x) + f(y)
2
para quaisquer x e y ∈ I.
6. Uma funcao diferenciavel e convexa num intervalo se, e somente se a
sua derivada e monotona nao decrescente nesse intervalo.
53
7. Uma funcao continuamente diferenciavel de uma variavel e convexa
num intervalo, se, e somente se:
f(y) ≥ f(x) + f ′(x)(y − x)
para todos x e y no intervalo.
8. Uma funcao duas vezes diferenciavel de uma variavel e convexa num
intervalo se, e somente se, a sua segunda derivada e maior ou igual a
zero em todo o intervalo.
9. Se a sua segunda derivada e estritamente positiva entao a funcao e
estritamente convexa.
10. Se uma funcao convexa possui um mınimo local, ele tambem sera um
mınimo global.
11. Uma funcao estritamente convexa possui no maximo um mınimo.
12. O maximo de funcoes convexas tambem e uma funcao convexa.
Exemplo 6.1 A funcao f : R→ R, definida por f(x) = x2 e convexa.
Seguindo a definicao de funcao convexa dada na secao (1.3) deste capıtulo,
facamos x, y ∈ R, e ainda λ ∈ [0, 1]. O que nos permite o auxilio da seguinte
desigualdade:
f (λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y)
54
Como a funcao que estamos tratando e f(x) = x2, temos os resultados a
seguir:
(λx+ (1− λ)y)2 ≤ λ(x)2 + (1− λ)(y)2
Agora, iremos resolver os quadrados,
λ2x2 + 2λx(1− λ)y + (1− λ)2y2 ≤ λx2 + (1− λ)y2
λ2x2 + 2λx(1− λ)y + (1− 2λ+ λ2)y2 ≤ λx2 + (1− λ)y2
Ainda resolvendo os parenteses, temos
λ2x2 + 2xyλ− 2xyλ2 + y2 − 2λy2 + λ2y2 ≤ λx2 + y2 − λy2
λ2x2 + 2xyλ− 2xyλ2 + y2 − 2λy2 + λ2y2 − y2 + λy2 ≤ λx2
λ2x2 + 2xyλ− 2xyλ2 − λy2 + λ2y2 ≤ λx2
λ2x2 − 2xyλ2 + λ2y2 ≤ λx2 − 2xyλ+ λy2
λ2(x2 − 2xy + y2) ≤ λ(x2 − 2xy + y2)
λ(x− y)2 ≤ (x− y)2
ou seja,
λ ≤ 1.
Portanto, como fizemos logo no inıcio λ ∈ [0, 1], a desigualdade e verdadeira,
valendo a igualdade somente quando λ = 1, e para quaisquer outros valores
de λ, temos que λ < 1.
55
Exemplo 6.2 O valor absoluto e uma funcao convexa, ou seja, f(x) = |x|
e uma funcao convexa.
De maneira analoga ao exemplo anterior, podemos facilmente observar a
veracidade dessa nova afirmacao colocada como exemplo, obtendo no final a
seguinte desigualdade,
xy ≤ |xy|,
que e uma das propriedades da funcao modular.
56
Capıtulo 7
Desigualdade de Jensen
No decorrer deste capıtulo, estaremos tratando da Desigualdade de Jensen,
o ponto que foi tomado como sendo a parte principal deste trabalho. Este
capıtulo detalha essa desigualdade que e bastante eficaz na resolucao de
muitas questoes que frequentemente estao presentes em provas como a das
Olimpıadas de Matematica. O nosso intuito e explicar como se da essa de-
sigualdade na teoria, para que possamos aplica-las em alguns problemas que
veremos no proximo capıtulo.
7.1 Observando a desigualdade
Nesta primeira parte deste capıtulo trataremos sobre a forma mais simples
e compacta da Desigualdade de Jensen, que tambem e colocada como a mais
utilizada, portanto, mais vista em trabalhos publicados, a ver essa forma a
seguir.
57
Observacao 7.1 E importante que se deixe claro que, sempre que falamos
que a desigualdade vale para funcoes convexas, podemos estender isso a
funcoes concavas, com a unica diferenca ja colocada no capıtulo anterior
que e a mudanca do sentido do sinal, de ′′ ≤′′ para ′′ ≥′′, ou vice-versa,
assim mudando o sinal da desigualdade.
Teorema 7.1 (Desigualdade de Jensen) Seja dada uma funcao, de forma
que f : (a, b) → R, duas vezes diferenciavel. Se f ′′(x) ≥ 0, ou seja, con-
vexa em todo o intervalo (a, b), ∀ x1, x2, x3, ..., xn ∈ (a, b), vale a seguinte
desigualdade,
f
n∑i=1
xi
n
≤n∑i=1
f(xi)
n
que e equivalente a
f
(x1 + x2 + x3 + ...+ xn
n
)≤ f(x1) + f(x2) + f(x3) + ...+ f(xn)
n.
E ainda, por outro lado, se f ′′(x) ≤ 0, ou seja, concava em todo o intervalo
(a, b), valera a desigualdade
f
n∑i=1
xi
n
≥n∑i=1
f(xi)
n
que equivale a
f
(x1 + x2 + x3 + ...+ xn
n
)≥ f(x1) + f(x2) + f(x3) + ...+ f(xn)
n.
58
Demonstracao.
Faremos a demostracao do caso onde f ′′(x) ≥ 0.
Utilizaremos inducao finita sobre n. Entao, testaremos a desigualdade
para n = 1, o que nos da,
f(x1
1
)≤ f(x1)
1,
ou seja
f(x1) = f(x1),
o que mostra a veracidade para n = 1, porem, somente n = 1 nao nos fornece
resistencia suficiente. Agora, suponhamos que seja verdadeiro para n = k,
entao,
f
(x1 + x2 + x3 + ...+ xk
k
)≤ f(x1) + f(x2) + f(x3) + ...+ f(xk)
k.
Com isso, vamos mostrar que vale para n = k + 1. E obtemos,
f
(x1 + x2 + ...+ xk + xk+1
k + 1
)≤ f(x1) + f(x2) + ...f(xk) + f(xk+1)
k + 1.
Agora, para diminuir o numero de caracteres na nossa visualizacao e
diminuir algumas passagens, alem de facilitar a nossa compreensao, facamos
x1 + x2 + x3 + ...+ xk = c e f(x1) + f(x2) + f(x3) + ...+ f(xk) = p. Apos
isso, queremos mostrar que,
f
(c+ xk+1
k + 1
)≤ p+ f(xk+1)
k + 1, ∀ x ∈ (a, b)
Facamos agora g(xk+1) =p+ f(xk+1)
k + 1− f
(c+ xk+1
k + 1
). E derivando
g(xk+1), temos,
g′(xk+1) =f ′(xk+1)
k + 1− 1
k + 1f ′(c+ xk+1
k + 1
).
59
Se fizermos xk+1 =c+ xk+1
k + 1⇒ xk+1 =
c
k, observe que
g′(xk+1) =f ′( c
k)
k + 1− 1
k + 1f ′
(ck+ck
k + 1
),
entaof ′( c
k)
k + 1− 1
k + 1f ′(c(k + 1)
k(k + 1)
)f ′( c
k)
k + 1−f ′( c
k)
k + 1= 0.
Utilizando agora o fato de que de que f ′(x) e crescente em (a, b), pois estamos
supondo que f ′′(x) > 0, podemos inferir que, se xk+1 <c
k, entao temos que
g′(x) < 0 e, da mesma forma, se xk+1 >c
k, temos que g′(x) > 0. Portanto,
podemos inferir que o ponto xk+1 =c
ke um ponto de mınimo global de g(x)
no intervalo (a, b). Desse fato, segue que:
g(x) ≥ c
k=
p
k + 1−k f
(ck
)k + 1
≥ 0,
pois,p
k≥ f
( ck
),
por hipotese de inducao. As condicoes de igualdade dependem das condicoes
da funcao f . O que prova a nossa hipotese. A demonstracao de f(x) ≤ 0 e
analoga a esta, e nao sera apresentada aqui.
7.2 A Desigualdade de Jensen
Agora trataremos a forma mais generalizada da Desigualdade, que e
tambem a foma mais completa dessa desigualdade.
60
Teorema 7.2 (Desigualdade de Jensen - generalizada). Seja dada a funcao
f : (a, b) → R duas vezes diferenciavel. Sejam x1, x2, ..., xn ∈ (a, b) e
a1, a2, ..., an ∈ R, tais que a soma de todos os ai seja igual a 1. Se f ′′(x) ≥ 0
em (a, b), ou seja, convexa, temos,
f
(n∑i=1
ai xi
)≤
n∑i=1
ai f(xi)
que equivale a
a1f(x1) + a2f(x2) + ...+ anf(xn) ≤ f(a1x1 + a2x2 + ...+ anxn).
Se, analogamente tivermos f ′′(x) ≤ 0 em (a, b), concava, a desigualdade
permanece, so mudando o sinal,
f
(n∑i=1
ai xi
)≥
n∑i=1
ai f(xi)
que equivale a
a1f(x1) + a2f(x2) + ...+ anf(xn) ≥ f(a1x1 + a2x2 + ...+ anxn).
Demonstracao.
Faremos a demonstracao de f ′′(x) ≥ 0. Sera utilizado o sistema de
inducao finita sobre n. Observe que e verdadeiro para n = 1, pois,
a1f(x1) ≤ f(a1x1)
como a soma de todos os ai ∈ R tem que ser igual a 1, entao temos que neste
caso a1 = 1, logo,
f(x1) = f(x1).
Agora, suponha que seja verdadeiro para n = k, assim temos que,
a1f(x1) + a2f(x2) + ...+ akf(xk) ≤ f(a1x1 + a2x2 + ...+ akxk).
61
Agora vamos mostrar que tambem e verdadeiro para n = k+ 1, com isso
temos,
a1f(x1) + a2f(x2) + ...+ ak+1f(xk+1) ≤ f(a1x1 + a2x2 + ...+ ak+1xk+1).
Para simplificar as contas, faremos a1f(x1) +a2f(x2) + ...+akf(xk) = c
e a1x1 + a2x2 + ...+ akxk = p, logo,
c+ ak+1f(xk+1) ≤ f(p+ ak+1xk+1).
Facamos agora g(xk+1) = c+ ak+1f(xk+1)− f(p+ ak+1xk+1), e derivando
g(xk+1), temos,
g′(xk+1) = ak+1f′(xk+1)− ak+1f
′(p+ ak+1xk+1).
Note que se fizermos xk+1 = p + ak+1xk+1 ⇒ xk+1 =p
1− ak+1
, entao
teremos
g′(xk+1) = ak+1f′(
p
1− ak+1
)− ak+1f
′(p+
p(ak+1)
1− ak+1
),
entao
ak+1
(f ′(
p
1− ak+1
)− f ′
(p(1− ak+1) + p(ak+1)
1− ak+1
))ak+1
(f ′(
p
1− ak+1
)− f ′
(p− p(ak+1) + p(ak+1)
1− ak+1
))ak+1
(f ′(
p
1− ak+1
)− f ′
(p
1− ak+1
))= 0.
Utilizando novamente o fato de que de que f ′(x) e crescente em (a, b), pois
estamos supondo que f ′′(x) > 0, podemos inferir que, se xk+1 <p
1− ak+1
,
entao g′(xk+1) < 0 e, analogamente temos que, se xk+1 >p
1− ak+1
, entao
g′(xk+1) > 0. Portanto, com uma pequena analise na funcao, podemos inferir
62
que o ponto xk+1 =p
1− ak+1
e um ponto de mınimo global de g(xk+1) no
intervalo (a, b). E desse fato, segue que:
g(xk+1) ≥p
1− ak+1
≥ 0.
Neste caso, as condicoes de igualdade dependem diretamente das condicoes
da funcao f . O que prova nossa hipotese. A demonstracao de f(x) ≤ 0 e
analoga a esta, e por este motivo nao sera apresentada aqui.
Somente a nıvel de curiosidade, temos que, f ′′(x) > 0, ou seja, f sera es-
tritamente convexa, visto em ambos Teoremas e em suas respectivas demons-
tracoes acima, se, e somente se ocorrer, a igualdade x1 = x2 = ... = xn.
Observacao 7.2 Podemos aplicar a Desigualdade de Jensen tambem em
intervalos infinitos, desde que estes sejam abertos e que a funcao f seja
convexa ou concava em todo o intervalo.
63
Capıtulo 8
Aplicacoes
Neste capıtulo, que encerra nosso trabalho, estaremos colocando algumas
aplicacoes da Desigualdade de Jensen na forma de exemplos. Apos todo um
trabalho de estruturacao dessa desigualdade, mostrando toda a teoria, agora
vamos ver algumas questoes que foram de grandes eventos de matematica, as
quais iremos resolver utilizando a Desigualdade de Jensen. Se o leitor tiver
curiosidade suficiente, podera tambem encontrar facilmente questoes deste
tipo na internet, e resolve-las utilizando os conteudos expostos durante este
trabalho.
Exemplo 8.1 (Selecao para IMO - 99) Para reais positivos satisfazendo a
igualdade a+ b+ c = abc, mostre que:
1√1 + a2
+1√
1 + b2+
1√1 + c2
≤ 3
2.
64
Solucao.
Inicialmente, para que resolvamos esse problema, vamos fazer uso do fato
que a funcao tangente percorre todo o conjunto dos numeros reais, de outra
forma, temos que se existe a ∈ R, entao existe tambem um α ∈ (−π/2, π/2)
de forma que tg α = a e nesse intervalo a funcao e bijetiva. Ainda mais, se
tomarmos a > 0, entao temos que α ∈ (0, π/2).
Agora, olhando para nossa questao, podemos fazer a = tg θ, b = tg α e
c = tg β, onde θ, α, β ∈ (−π/2, π/2) e substituir em
1√1 + a2
+1√
1 + b2+
1√1 + c2
≤ 3
2.
Entao conseguimos que
1√1 + tg2θ
+1√
1 + tg2α+
1√1 + tg2β
≤ 3
2.
Porem, da trigonometria, temos que
1
sec θ+
1
sec α+
1
sec β≤ 3
2
cos θ + cosα + cos β ≤ 3
2.
Se fizermos f(x) = cos x teremos que f ′′(x) = − cosx, e ainda podemos
observar que no intervalo (0, π/2), a funcao f ′′(x) = − cosx ≤ 0, logo e
concava, e ainda satisfaz a condicao
tg θ + tg α + tg β = tg θ . tg α . tg β.
Agora, consideremos que θ, α, β sejam angulos internos de um triangulo,
logo obtemos que θ + α+ β = π. Visto que a funcao f(x) = cos x e concava
no intervalo (0, π/2), entao iremos utilizar nossa arma, a Desigualdade de
Jensen. Dessa forma, temos
f(θ) + f(α) + f(β)
3≤ f
(θ + α + β
3
)65
cos θ + cos α + cos β
3≤ cos
(π3
)cos θ + cos α + cos β
3≤ 1
2
cos θ + cos α + cos β ≤ 3
2
Se tivermos a igualdade θ = α = β =π
3, teremos
a = b = c = tg(π
3
)=√
3
Exemplo 8.2 Utilizando a funcao logaritmo natural e a desigualdade de
Jensen, vamos dar outra prova da desigualdade entre as medias aritmetica e
geometrica.
Solucao.
Sejam a1, a2, ..., an reais positivos. Entao, temos que existem reais x1, ..., xn
de tal maneira que aj = lnxj para todo j.
Podemos notar que f(x) = lnx e uma funcao concava, pois, f ′(x) =1
xe
f ′′(x) = − 1
x2, logo, f ′′(x) ≤ 0. Com isso, podemos aplicar a desigualdade de
Jensen, portanto, temos
f(x1) + f(x2) + ...+ f(xn)
n≤ f
(x1 + x2 + ...+ xn
n
),
ou seja,lnx1 + lnx2 + ...+ lnxn
n≤ ln
(x1 + x2 + ...+ xn
n
)
ln(x1 x2 ... xn)
n≤ ln
(x1 + x2 + ...+ xn
n
)
66
ln (x1 x2 ... xn)1n ≤ ln
(x1 + x2 + ...+ xn
n
),
o que resulta em
ln n√x1 x2 ... xn ≤ ln
(x1 + x2 + ...+ xn
n
).
Como a funcao f(x) = lnx e crescente, concluımos nossa solucao.
Exemplo 8.3 (India - 95) Sejam x1, x2, ..., xn reais positivos cuja soma e
igual a 1. Prove que:
x1√1− x1
+x2√
1− x2+ ...+
xn√1− xn
≤√
n
n− 1
Solucao.
Consideremos a funcao
f : (0, 1)→ R∗+ ; f(x) =x
1− x.
Derivando essa funcao, temos:
f ′(x) = (1− x)−1/2 +x(1− x)−3/2
2
e derivando novamente, obtemos,
f ′′(x) = (1− x)−3/2 +3x(1− x)−5/2
4.
67
Como a funcao e tal que f : [0, 1]→ R∗+, entao temos que f ′′(x) ≥ 0, ou seja,
convexa. Dessa maneira, utilizando a Desigualdade de Jensen, temos
f
n∑i=1
x1
n
≤n∑i=1
f(xi)
n,
que implica em,
f
(x1 + x2 + ...+ xn
n
)≤ f(x1) + f(x2) + ...+ f(xn)
n,
x1+x2+...+xnn√
1− x1+x2+...+xnn
≤x1√1−x1
+ x2√1−x2
+ ...+ xn√1−xn
n,
como a soma x1 + x2 + ...+ xn = 1, entao temos que,
1n√
1− 1n
≤x1√1−x1
+ x2√1−x2
+ ...+ xn√1−xn
n,
segue que, √n− 1
n≤ x1√
1− x1+
x2√1− x2
+ ...+xn√
1− xn.
Que conclui o que querıamos mostrar.
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Conclusao
Este trabalho e muito interessante para alunos de matematica que gostam
de desafios e, sobretudo procuram algum incentivo para a realizacao das
provas das Olimpıadas de Matematica. Esperamos com esse trabalho estar
ajudando esses estudantes de alguma forma e estar dando uma nova saıda
para novos estudos nessa area. Porem, para o aluno se aprimorar no estudo da
Desigualdade de Jensen, ele deve ter uma boa compreensao sobre a topologia
na reta, limite e derivada, para que como isso ele possa entender o que
acontece com uma funcao convexa (concava) e ainda conseguir identifica-la
facilmente.
Porem, como qualquer outro conteudo matematico, existem questoes que
nao sao tao difıceis de serem resolvidas e existem outras que nao sao muito
faceis, como pode ser visto durante todo o trabalho. O desenvolvimento e a
facilidade acontecem com a pratica sucessiva e com a dedicacao, portanto, o
trabalho constante traz o primor e o sucesso.
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Referencias Bibliograficas
[1] FIGUEIREDO, Djairo Guedes de, Analise I, 2a Edicao, LTC-Livros
Tecnicos e Cientıficos, 1996.
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Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada, Projeto Euclides,
Rio de Janeiro, 2009.
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ciatura, volume 1, 2a edicao revista e ampliada, editora Edgard Blucher,
Sao Paulo, 2005.
[4] STEWART, James, Calculo, volume 1, 5a edicao, editora Thomson
Learning, Sao Paulo, 2008.
[5] NETO, A.C.M., Desigualdades Elementares, Eureka!, no5. OBM, 1999.
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70
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polinomios, Dissertacao de Mestrado, Universidade Estadual Paulista,
Sao Jose do Rio Preto - SP, 2005. (Encontrado no site www.google.com
no dia 25 de Marco de 2010).
[9] Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa; Apon-
tamentos Calculo II. Encontrado no dia 02 de Marco de 2010
no site http://docentes.fe.unl.pt/ pchaves/1302/Ficheiros/Lista 7.1 -
Formas Quadraticas; Conjunto Convexo; Funcao Convexa.pdf .
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