PARTE 1: Conjuntos

Exerccio 1: Quais dos conjuntos abaixo so vazios?

a) A = { x | 0 . x = 0 }.

b) B = { x | x > 9

4 e x <

6

5 }.

c) C = { x | x divisor de zero}.

d) D = { x | x divisvel por zero}.

Exerccio 2: Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}:

a) Escreva com smbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenas:

1- 3 elemento de A,

2- 1 no est em B,

3- B igual a A.

4- 4 pertence a B.

5- B parte de A.

b) Classifique as sentenas anteriores em falsas ou verdadeiras;

Exerccio 3: Sendo A = {1,2}, B = {2,3}, C = {1,3,4} e D = {1, 2, 3, 4}, classifique em V ou F cada

sentena abaixo e justifique.

a) A D

b) A B

c) B C

d) D B

e) C = D

f) A C

Exerccio 4: Quais das igualdades abaixo so verdadeiras?

a) {a, a, a, b, b} = {a,b}

b) { x | x = 4} = { x | x0 e x -4x = 0}

c) { x |2x + 7 = 11} = {2}

d) { x | x

j) {, } {, , , }

Exerccio 6: Classifique em V ou F:

a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( ) ( )

e) ( )

f) ( ) ( )

Exerccio 7: Determine a reunio dos crculos de raio r, contidos num plano A e que tm um

ponto comum P .

Exerccio 8: Determine a reunio das retas de um plano A que so paralelas e uma dada reta r

de A.

Exerccio 9: Determine o conjunto X tal que: {, , , } = {, , , , }, {, } =

{, , , }, {, , } = {}.

Exerccio 10: Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f, g} e C = {b, d, e, g}. Determine

a) A B

b) B A

c) C B

d) (A )

e) ( )

f) ( ) ( )

Exerccio 11: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 6, 8} e C = {2, 4, 5, 7}, obtenha

um conjunto X tal que XA e A X = .

Exerccio 12: Seja E = {a, {a}}. Diga quais das proposies abaixo so verdadeiras.

a) a

b) {a}

c) a E

d) {a} E

e)

f)

g) {{a}} E

Exerccio 13: Desenhe um diagrama de Venn representando quatro conjuntos, A, B, C e D,

no-vazios, de modo que se tenha: A B, B A, C (A ) e D (A ).

Exerccio 14: Utilizando a representao grfica dos intervalos sobre a reta real, determine

AB e AB, sendo A = [0,3] e B= [1, 4].

Exerccio 15: Represente graficamente os conjuntos abaixo. Quando possvel, escreva o

conjunto na forma de um nico intervalo.

a) [0,2] [1,3]

b) [0,2] ]1,3[

c) ]1,2

5[ ]0,

4

3[

d) ] , 2] [0, +[

e) [-1, +[ [-9, 2[

f) [1,2] [0,3] [-1,4]

g) [-1,3] [0,4]

h) ]-2,1] ]0,5[

i) [-1,3] [3,5]

j) [-1/2,0[ ]-3/2, -1/4]

Exerccio 16: Sendo A = {x | 1 < 3} e B = {x | 2 < 5}, calcule AB, AB,

A-B, B-A.

Exerccio 17: Sejam A = (-,2] e B = [0, +) intervalos de nmeros reais. Determine AB,

AB, A-B, B-A.

PARTE 2: Funes (definies bsicas, funes de

primeiro e segundo grau, equaes)

Exerccio 18: Quais as relaes de em , cujos grficos aparecem abaixo, so funes?

Justifique.

E

Exerccio 19: Seja de em assim definida por f(x)={1 + 1

}. Calcule:

a)f(3) c)f(2) e)f(3 1)

b)f(3

7) d)f((4) f) f(0,75)

Exerccio 20: Seja a funo em definida por () = 23

5 . Qual o elemento do

domnio que tem 3

4 como imagem?

Exerccio 21: Seja a funo {1} em definida por () = 3+2

1. Qual o elemento

do domnio que tem imagem 2?

Exerccio 22: Considerando que os grficos abaixo so grficos de funes, estabelea o

domnio e imagem.

Exerccio 23: D o domnio das seguintes funes reais:

a) () = 3 + 2

b) () = 1

+2

c) () = 1

2 4

d) () = 1

e) () = 1

+1

f) () = +2

2

g) () = 2 13

h) t(x) = 1

2+33

i) u(x) = +23

3

Exerccio 24: Sendo x 4, determine o conjunto imagem da funo = + 4.

Exerccio 25: Sejam as funes , de em , definidas por () = , () = ,

() = . Quais delas so iguais entre si?

Exerccio 26: As funes de em , definida por f(x)= , em , definida por

g(x)=x, so iguais? Justifique.

Exerccio 27: As funes f: , dada por f(x)= x + 1, e g: {1} , dada por g(x)

= 1

1, so iguais? Justifique.

Exerccio 28: (UFMG) Neste plano cartesiano, esto representados os grficos das funes

y=f(x) e y=g(x), ambas definidas no intervalo aberto ]0, 6[:

Seja S o conjunto definido por S = {x | f(x) . g(x) < 0}. Encontre S.

Exerccio 29: (PUC-MG) A funo f tal que f(x)=(). Se o grfico da funo g a

parbola abaixo, ento qual o domnio de f ?

Exerccio 30: (UNESP-SP) Numa fazenda, havia 20% de rea de floresta. Para aumentar

essa rea, o dono da fazenda decidiu iniciar um processo de reflorestamento. No

planejamento do reflorestamento, foi elaborado um grfico fornecendo a previso da

porcentagem de rea de floresta na fazenda a cada ano, num perodo de 10 anos. Esse

grfico foi modelado pela funo f(x) = +200

+, que fornece a porcentagem de rea de

floresta na fazenda a cada ano x, onde a, b e c so constantes reais. Com base no grfico,

determine as constantes a, b e c e reescreva a funo f(x) com as constantes determinadas.

Exerccio 31: Construa o grfico cartesiano das seguintes funes de em :

a) y = 3x+2; b) y = 23

2; c) y = 2x+3; d) y =

43

2;

Exerccio 32: Resolva analtica e graficamente os sistemas de equaes abaixo:

a) { = 32 + 3 = 4

b) {3 2 = 14

2 + 3 = 8 c) {

2 5 = 97 + 4 = 10

Exerccio 33: Obtenha a equao da reta que passa pelos pontos:

a) (2, 3) e (3, 5);

b) (1, -1) e (-1, 2);

c) (3, -2) e (2, -3);

d) (1, 2) e (2, 2).

Exerccio 34: De uma caixa contendo bolas brancas e pretas, retiraram-se 15 brancas,

ficando a relao de 1 branca para 2 pretas. Em seguida, retiraram-se 10 pretas, restando,

na caixa, bolas na razo de 4 brancas para 3 pretas. Determine quantas bolas havia,

inicialmente, na caixa.

Exerccio 35: Dados os grficos das funes de em , obtenha a lei de correspondncia

dessas funes.

Exerccio 36: Paulo e Joana recebem o mesmo salrio por hora de trabalho. Aps Paulo ter

trabalhado 4 horas e Joana 3 horas e 20 minutos, Paulo tinha a receber R$ 45,00 a mais

que Joana. Calcule em reais um dcimo do que Paulo recebeu.

Exerccio 37: Construa os grficos das seguintes funes definidas em :

a) y = x; b) y = 2x; c) y = x2

Exerccio 38: Determine os zeros reais das funes abaixo:

a) f(x) = 2 +3

2+ 1; b) f(x) = 2 + (1 3) 3; c) f(x) = 32 + 6;

Exerccio 39: Determine os valores de m para que a funo quadrtica () = ( 1)2 +

(2 + 3) + tenha dois zeros reais e distintos.

Exerccio 40: Dadas as equaes 2 5 + = 0 e 2 7 + 2 = 0, sabe-se que uma

das razes da segunda equao o dobro de uma das razes da primeira equao. Sendo

k 0, determine k.

Exerccio 41: Determine os vrtices das parbolas (a) = 2 4 e (b) = 2 + 3.

Exerccio 42: dada uma folha de cartolina como na figura abaixo. Cortando a folha na

linha pontilhada resultar um retngulo. Determine esse retngulo, sabendo que a rea

mxima.

Exerccio 43: Uma parede de tijolos ser usada como um dos lados de um curral

retangular. Para os outros lados iremos usar 400 metros de tela de arame, de modo a

produzir rea mxima. Qual o quociente de um lado pelo outro?

Exerccio 44: Determine a imagem das seguintes funes definidas em :

a) = 2 3; b) = 2

2+ + 1;

Exerccio 45: Construa o grfico cartesiano das seguintes funes definidas em e estude

seus sinais:

a) = 2 2 3; b) = 2 + 1;

PARTE 3: Inequaes

Exerccio 46: Estude o sinal das funes cujos grficos esto representados abaixo:

Exerccio 47: Estude os sinais das seguintes funes definidas em :

a) y = 2x+3; b) y =

3+

3

2; c) y = 2x

4

3;

Exerccio 48: Para que valores do domnio da funo de em definida por () =31

2 a

Imagem menor que 4.

Exerccio 49: Sejam as funes () = 2 + 3, () = 2 3 () =41

2 definidas em

. Para que valores de x , tem-se:

a) () (); b) () < (); c) () ().

Exerccio 50: Resolva, em , as inequaes abaixo:

a) +2

3

1

2 ; b)

1

2

3

4 1; c)

23

2

53

3< 3

1

6;

d) (3x2) (3x1)>(x+2) (x1); e) 23

1 2; f)

43

3+2< 1;

g) 4 < 4 2 3; h) + 1 7 3 0; k) (4 2) (5 + 2) < 0; l) (12)(3+4)

(4)> 0;

m) (3+1)

(2+5)(5+3)< 0; n)

(5+4)(4+1)

(54) 0; o)

(12)

(5)(3) 0.

Exerccio 51: Ache os valores reais de x para os quais vale a desigualdade 4

+

3

2

1

Exerccio 52: Resolva as inequaes abaixo em :

a) 2 3 + 2 > 0; b) 2 +3

2+ 10 0;

c) 42 + 12 9 0; d)

3

2+

2

1

4> 0.

Exerccio 53: Resolva a inequao (2 2)(2 + 4 3) > 0.

Exerccio 54: Dentre os nmeros inteiros que so solues da inequao

(2 21 + 20)(3 ) > 0, qual o maior?

Exerccio 55: Determine, em , o conjunto soluo das inequaes:

a)3

2 x 1; b)

+1

1 0; c) t +

1

2;

Exerccio 56: Ache o domnio da funo = +5

2+6 em .

Exerccio 57: Resolva os sistemas de inequaes abaixo:

a) {2 + 2 > 03 2 < 0

b) {22 + 1 042 8 + 3 0

GABARITO

1. Apenas b).

2. a) 3 A (V). ) 1 (V). ) B A (V). ) B = A (F). ) 4 B (V).

3. a, d, f verdadeiras. 4. Todas. 5. a, f, g, h, i verdadeiras.

6. a, d, e, f verdadeiras. 7. Crculo de raio 2r, contido no plano A, com centro em P.

8. O plano A. 9. X={a,c,e}.

10. a) {a,b}, b) {e,f,g}, c) {b}, d) {a,b}, e) {a,b,c}, f) {a,c,e,f,g}.

11. X={1,3,5}. 12. a, b, d, f, g so verdadeiras.

13. Vrias respostas possveis. 14. AB = [1,3] e AB = [0,4].

15. a) [1,2], b) ]1,2], c) ]0,2/5[ , d) [0,2], e) [-1,2[ , f) [1,2], g) [-1,4], h) ]-2,5[ , i) [-1,5], j) ]-

3/2 , 0 [

16. AB=]-1,5], AB=]2,3], A-B=]-1,2], B-A=]3,5].

17. AB= , AB=[0,2], A-B=]-,0[, B-A=]2,+[.

18. a, d, e so funes. 19. a)1, b) 1, c) 1 + 2, d) 1, e) 3, f) 1.

20. x=-3/8. 21. x = -4.

22. Domnios: a) {-3,-2,-1,0,1,2,3}, b) [-2,3], c) [-2,4], d) [-3,5[, e) [-4,4], f) [-4,4[.

Imagens: a) {1,2,3,4,5}, b) [-3,2], c) [1,5], d) [1,3[, e) [-3,5], f) [-3,3].

23. a) , b) {2}, c) {2,2}, d) [1, +[ , e) ]-1, +[ , f) { |x 2 e x 2},

g) , h) {3

2}, i) {3}.

24. { y | y 2}

25. Todas so iguais, pois so todas funes de em e associam cada nmero real ao

seu cubo.

26. No so iguais, pois para x < 0 temos 2 x.

27. No so iguais, pois no tm o mesmo domnio.

28. { x | 2 < < 3} {x | 5 < < 6};

29. { x | 2 x 2} ;

30. a=100, b=1, e c=10; f(x)= 100 + 200

+ 10

31.

32. a) Par ordenado (-1,2). b) S = {(-2,4)}. c) S = {(2-1)}.

Resoluo grfica do item a):

33. a) y = 2x 1; b) y = 13

2; c) y = x 5; d) y = 2.

34. 23 brancas; 16 pretas.

35. a) y =

2+ 4; b)

2

3 -

1

3

36. R$ 27,00

37.

38. a) x = 1

2 ou x = 2. b) x = -1 ou x = 3. c) x = 2 ou x = - 2.

39. m > 9

16 e m 1. 40. k = 6. 41. a) V(0,-4). b) V(

3

2 ,

9

4 ).

42. O retngulo de lados 4 cm e 3 cm. 43. 2.

44. a) Im = { y | y - 9

4 }. b) Im = { y | y

1

2 }.

45. a) 2 2 3 > 0 < 1 > 3; 2 2 3 = 0 = 1 = 3.

2 2 3 < 0 1 < < 3. b) 2 + 1 < 0, .

Grficos:

46. a) f(x) = 0 x = -5 ou x = 2 ou x = 6.

f(x) > 0 x < -5 ou -3 < x < 2 ou x > 6.

f(x) < 0 -5 < x < -3 ou 2 < x < 6.

b) g(x) = 0 x = -3 ou x = -1 ou x = 3.

g(x) > 0 -3 < x < -1

g(x) < 0 x < -3 ou x > -1 e x 3.

c) h(x) = 0 x = -2.

h(x) > 0 x -2.

47.

48. x

1

2; c) x

50.

a) S = { x | x 1}.

b) S = { x | x 3}.

c) S = { x | x > -3}.

d) S = { x | x < 0}.

e) S = { x | x > 1}.

f) S = { x | x > 2

3}.

g) S = { x | 1

2 x < 4}.

h) S = { x | }.

i) S = { x | x > 1}.

j) S = { x | x < -1 ou x > 3

5}.

k) S = { x | x < 5

2 ou x > 2}.

l) S = { x | 3

4 < x <

1

2 ou x > 4}.

m) S = { x | x < 5

2 ou

3

5 < x <

1

3}.

n) S = { x | x 4

5 ou

1

4 x <

5

4}.

o) S = { x | 1

2 x < 3 ou x > 5}.

51. S = { x | x < 0 ou x 2}.y

52. a) S = { x | x < 1 ou x > 2 }. b) S = { x | 5

2 4 }.

c) S = {3

2}. d) S = .

53. S = { x | -1 < x < 1 ou 2 < x < 3 }. 54. 19.

55. a) { x | > 2 }. b){ x | < 1 0 < 1 }. c){ t | < 0 }

56. = { x | < 3 2 < 5 }

57. a) S = { x | < 2 > 3} b) S = {1

2}

Lgica:

Exerccios:

Exerccio 1: Quais das sentenas abaixo so proposies? No caso das proposies, quais so

verdadeiras?

a) 5 . 4 =20

b) 5 4 = 3

c) 2 + 7 . 3 = 5 . 4+ 3

d) 5(3 + 1) = 5 . 3 + 5 . 1

e) 1 + 3 1 + 6

f) (-2) (-2)

g) 3 + 4 > 0

h) 11 4 . 2

Exerccio 2: Qual a negao de cada uma das seguintes proposies? Que negaes so

verdadeiras?

a) 3 . 7 = 21

b) 3 . (11 7) 5

c) 3 . 2 + 1 > 4

d) 5 . 7 2 5 . 6

e) (1/2)7 < (1/2)3

f) 2 < 1

g) 3 | 7

Exerccio 3: Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposies compostas:

a) 3>1 e 4>2

b) 3>1 ou 3=1

c) 2|4 ou 2|(4+1)

d) 3(5+2) = 3 . 5 + 3 . 2 e 3|7

e) < ou 5|11

f) (1)6 = -1 e 25 < (2)7

g) 16 = 6 ou mdc(4,7) = 2

3: Transforme as seguintes sentenas abertas em proposies verdadeiras usando

quantificadores.

a) X - 5x + 4 = 0

b) (a +1)(a-1) = a -1

c) y/3 + y/4 y/7

d) + 9 m + 3

e) (-x) = x

f) 5a + 4 11

g) = x

h)

= a 1

Exerccio 4: Diga qual a negao de cada proposio abaixo.

a) Mdc(2,3) = 1 ou mmc(2,3) 6

b) 3/5 = 6/10 ou 3 . 10 6 . 5

c) 3/7 1 e -3 -7

d) 2 = 4 9 -3

e) (-3) = 9 9 -3

f) 2 5 3 5

g) (x)(x > 2 3 > 3)

h) ()( < 0)

i) Todo nmero inteiro primo par.

j) Todo tringulo issceles equiltero.

k) Existe um losango que no quadrado.

l) Existe um nmero cuja raiz quadrada zero.

m) Todo tringulo que tem trs ngulos congruentes tem trs lados congruentes.