1a LISTA DE EXERCICIOS DE CALCULO IIIFunc~oes de Varias Variaveis: domnio, imagem, gracos.

Profa. Edilaine

1. Encontre uma func~ao de varias variaveis que nos de^:a) O volume de agua necessario para encher uma piscina redonda de x metros deraio e y metros de altura.b) A quantidade de rodape, em metros, necessaria para se colocar numa salaretangular de largura a e comprimento b.c) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessaria para revestiras paredes laterais de um quarto retangular de x metros de largura, y metros decomprimento, se a altura do quarto e z metros.

2. Uma loja vende um certo produto P de duas marcas distintas, A e B. Ademanda do produto com marca A depende do seu preco e do preco da marcacompetitiva B. A demanda do produto com marca A e DA = 1300 50x + 20yunidades/me^s, e do produto com marca B e DB = 1700+12x20y unidades/me^s,onde x e o preco do produto A e y e o preco do produto B. Escrever uma func~aoque expresse a receita total mensal da loja, obtida com a venda do produto P.

3. Seja f uma func~ao de duas variaveis dada por: f(x; y) = (x+y)(xy) . Encontre:

a) f(3; 4)b) f(a2; b2)c) [f(a; b)]2

d) f(a; b) f(a;b)e) f(x+x; y)f) O domnio de f e represente gracamente.g) A imagem de f .

4. Determine o domnio e a imagem das seguintes func~oes. Representegracamente o domnio.a) z =

p9 (x2 + y2)

b) f(x; y) = xjyjc) z = 3 x yd) w = e(x

2+y2+z2)

e) w = 1x2+y2

f) z = ln(x+ y 3)g) f(x; y) =

p1 x2 +p1 y2

h) f(x; y) =

(2; se x 6= y0; se x = y

1

i) f(x; y) = xp25x2y2

j) z = ln(4px2 + y2)k) z = 1p

x2y2

l) y =q

(1+x)(1+z)

5. A partir da equac~ao dada, denir duas func~oes de duas variaveis, determinandoseu domnio.a) x2 + (y 3)2 + z2 = 9b) l2 = m2 + n2

6. Desenhe as curvas de nvel Ck para os valores de k dados.a) f(x; y) =

p9 x2 y2; k = 0; 2; 3

b) z = x2 y2; k = 2;1; 0; 1; 2c) f(x; y) = 2 (x2 + y2); k = 3;2;1; 0; 1; 2d) f(x; y) = 2x2 + 4y2; k = 2; 3; 4; 8e) f(x; y) =

px+ y; k = 5; 4; 3; 2

f) g(x; y) = sen(x y); k = 0

7. O conjunto S = f(x; y)=x2 + y2 16g representa uma chapa plana eT (x; y) = x2 + y2 e a temperatura nos pontos da chapa. Determine as isotermas,representando-as gracamente.

8. Esbocar os gracos das func~oes dadas.a) z = 2x2 + 2y2

b) z = 2x2 2y2c) f(x; y) = 3d) z = 4 x2e) f(x; y) = 1 x2 y2f) f(x; y) = px2 + y2g) f(x; y) =

px2 + y2

h) f(x; y) =

(2; se x 6= 00; se x = 0

9. Sabendo que a func~ao T (x; y; z) = 30(x2+ 14y2+ 1

9z2) representa a temperatura

nos pontos da regi~ao do espaco delimitada pelo elipsoide x2 + y2

4+ z

2

9= 1,

pergunta-se:a) Em que ponto a temperatura e mais alta possvel?b) Se uma partcula se afasta da origem, deslocando-se sobre o eixo positivo dosx, sofrera aumento ou diminuic~ao da temperatura?

2

c) Em que pontos a temperatura e mais baixa possvel?

3