Física IV para Engenharia Elétrica

2º Semestre de 2014

Instituto de Física - Universidade de São Paulo

Professor: Valdir GuimarãesE-mail: valdirg@if.usp.br

Aula -6: Modelo atômico

1

2Interpretação quântica para o átomo

Espectro Hidrogênio

Espectro Contínuo

Espectro Emissão

Espectro AbsorçãoGás frio

Gás quente

Existência de “Espectros Discretos”, ou seja, a observaçãode que a radiação emitida por um gás era compostaprincipalmente de alguns comprimentos de ondadiscretos não podia ser explicada pela mecânica quântica.

4

A matéria é descontínua e formada por partículasindivisíveis os átomos.

(A = não tomo = partes)

ÁTOMO = NÃO + DIVISÍVEL

Demócrito e Leucipo (400 a.c.)

5Modelo Atômico de Dalton

John Dalton foi o criador daprimeira teoria atômica moderna.

Em 1803, propôs uma teoria, baseado emobservações empíricas que explicava as leisda conservação de massa e da composiçãodefinida, é a chamada Teoria Atômica deDalton.

Dalton acreditava que o átomoera uma esfera maciça,homogênea, indestrutível,indivisível e de carga elétricaneutra. Se fizermos umacomparação, os átomos seriamsemelhantes a bolinhas de gude:maciças e esféricas.

6 J. J. Thomson, estudando os raios catódicos,descobriu o elétron. Mas que relação oselétrons tinham com os átomos da matéria?

7Modelo Atômico de Thomson

Em 1898, o físico inglês Joseph John Thomson, realizouexperimentos científicos com descargas elétricas de gases ecom a radioatividade, e sugeriu um modelo atômico.

Segundo ele, como a tendência da matéria é ficar neutra, onúmero de cargas positivas teria que ser igual ao número decargas negativas.

O modelo atômico de Thomson consiste emuma esfera carregada positivamente eque elétrons de carga negativa ficamincrustados nessa.

Modelo de Thomsom:"pudim com passas".

8Experiência de Rutherford

Rutherford bombardeou uma finíssima laminade ouro (de aproximadamente 0,0001cm) compequenas partículas de carga positivas,denominada partículas alfa, emitidas por ummaterial radioativo.

9

Observações Conclusões

Grande parte das partículas alfa atravessa a lâmina sem

desviar o curso.

Boa parte do átomo é vazio. No espaço vazio (eletrosfera)

provavelmente estão localizados os elétrons.

Poucas partículas alfa (1 em 20000) não atravessam a

lâmina e voltavam.

Deve existir no átomo uma pequena região onde esta concentrada sua massa (o

núcleo).

Algumas partículas alfa sofriam desvios de trajetória

ao atravessar a lâmina.

O núcleo do átomo deve ser positivo, o que provoca uma repulsão nas partículas alfa

(positivas).

Experiência de Rutherford

10

Átomo é um grande vazio, com um centro pequeno e denso

10,000 vezes menor que o átomo,

99,9% do peso do átomo

da ordem de fento-metros (fm) = 10-15 m.

1911 - Ano da publicação de Rutherford

“The scattering of a and b particles by’ Matter and the Structure of the Atom.E. Rutherford

Philosophical Magazine, Series 6, vol. 21 (May 1911), p. 669-688

A idéia de se lançar partículas contra um alvo foi tão espetacularque continua sendo até hoje a base para experimentos deinvestigação da Física Nuclear (interior do átomo).

Influenciado pelo modelo atômicosaturniano de Nagaoka Rutherfordpropoe o modelo solar.

11

O modelo atomico de Rutherford constitui-se de um núcleo pequenoe denso onde se encontram os protons e neutrons, e de umaeletrosfera, na qual os elétrons ficam girando em órbitas. Átomo é um grande vazio, com um centro pequeno e denso:

Modelo Atômico de Rutherford

As partículas presentes no núcleo,chamadas prótons, apresentamcarga positiva. A partículaconhecida como nêutron foiisolada em 1932 por Chadwick,embora sua existência já fosseprevista por Rutherford.

10,000 vezes menor que o átomo,

99,9% do peso do átomo

da ordem de fento-metros (fm) = 10-15 m.

Espectro Hidrogênio

Espectro Contínuo

Espectro Emissão

Espectro AbsorçãoGás frio

Gás quente

Existência de “Espectros Discretos”, ou seja, a observaçãode que a radiação emitida por um gás era compostaprincipalmente de alguns comprimentos de ondadiscretos não podia ser explicada pela mecânica quântica.

13Modelo Atômico Clássico

Considere um átomo como um sistemaplanetário. A força de atração entre um elétrone o núcleo com carga positiva +e é dada por:

𝐹𝑒 =1

4πε0

𝑒2

𝑟2=𝑚𝑣2

𝑟onde v é a velocidade tangencial do elétron: 𝑣 =

𝑒

4πε0𝑚𝑟

𝑈 = −𝑒2

4πε0𝑟

𝐾 = 12𝑚𝑣2 = 1

2

𝑒2

4πε0𝑟energia cinética:

energia potencial

𝐸 = 𝐾 + 𝑈 = −𝑒2

8πε0𝑟

energia total

14Colapso modelo planetário

Da teoria clássica do eletromagnetismo, uma carga elétricaacelerada irradia energia. Sua energia total deve diminuir ecom isso o raio da orbita deve diminuir.

Plank já tinha proposto uma mudança radical para a estruturado átomo com um comportamento quântico (energia discretapara explicar corpo negro). Bohr aperfeiçoou essa idéia.

15Linhas do hidrogênio

Em 1885m Joham Balmer apresentou uma fórmula que elehavia obtido empiricamente, e que fornecia com precisão osvalores dos comprimentos de onda correspondentes as quatroraias visíveis do hidrogênio.

R=1,097x107 1/m

constante de Rydberg

16Outras Linhas do hidrogênio

Mais tarde outras linhas na região do ultra-violeta e infra-vermelhoforam observadas e também seguiam equações semelhantes.

17Espectros de emissão Hidrogênio

R = 1,097 x 107 m-1

18Modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio

Niels Bohr (1885-1962) Os elétrons se movem em órbitas circulares

bem definidas em torno do próton.

Mantendo-se em uma dada órbita o elétronnão irradia.

A radiação seria quantizada apenas quando oelétron salta de uma órbita para outra. Aenergia dessa radiação seria dada por:

As órbitas seriam dadas por certos valores domomento angular do elétron e deve sermúltiplos de ħ.

ℎ𝑓 = 𝐸𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝐸𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

𝐿 = 𝑛ħ

19Ponto importante – quantização do

momento angular

𝐿 = 𝑛ħ

20

𝐿 = 𝑚𝑣𝑟 = 𝑛ħ

Consequências do Modelo de Bohr

O momento angular é dado por:

Com esse momento angular obtemos aseguinte equação para a velocidade: 𝑣 =

𝑛ħ

𝑚𝑟

𝑣 =𝑒

4πε0𝑚𝑟Mas a velocidade também pode ser dada por:

Assim igualando as duas e isolando o raio temos:

𝑟𝑛 = 𝑛2𝑎0 𝑎0 =4πε0ħ

2

𝑚𝑒2

a0 é chamado de raio de Bohr. É o raio do átomo dehidrogênio no seu estado de mais baixa energia, ouestado fundamental.

21As energias do átomo de hidrogênio

Usando o resultado clássico para a energia

Com o valor do raio de Bohr:

𝑟𝑛 =4πε0ħ

2

𝑚𝑒2𝑛2

𝐸𝑛 = −𝑒2

8πε0𝑎0𝑛2= −

𝐸0𝑛2

𝑟𝑛 = 𝑛2𝑎0

𝐸0 = −13.6 𝑒𝑉 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1)estado fundamental

𝐸 = 𝐾 + 𝑈 = −𝑒2

8πε0𝑟

22As linhas do átomo de hidrogênio

A emissão de radiação ocorre quando o átomo está numestado excitado e decai para um estado de menor energia.

1

λ=𝑣

𝑐=ℎ𝑓

ℎ𝑐=𝐸𝑖 − 𝐸𝑓

ℎ𝑐

𝐸𝑛 = −𝑒2

8πε0𝑎0𝑛2

ℎ𝑓 = 𝐸𝑖 − 𝐸𝑓

1

λ= 𝑅∞(

1

𝑛𝑓2 −

1

𝑛𝑖2)

𝑎0 =4πε0ħ

2

𝑚𝑒2

𝑅∞ =𝑚𝑒2

(4πħ)3𝑐ε02= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑅𝑦𝑑𝑏𝑒𝑟𝑔

23𝐸𝑛 = −

𝑒2

8πε0𝑎0𝑛2= −

𝐸0𝑛2

𝐸0 = −13.6 𝑒𝑉 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1) estado fundamental

24

Evolução das teorias

25O Átomo de Hidrogênio

de acordo com a mecânica quântica

Equação de Schrödinger em coordenadas esféricas:

,,,,2

22

rErrV

Separação de variáveis:

FrRr ,,

Cada variável gera um número quântico

n, l, m

26Os números quânticos

Conventionalmente, as camadas sãodesignadas pelas letras K,L,M...

K , n =1

L , n =2

M , n =3

As sub-camadas correspondem aosvalores de L

n=4, N

n=3, M

n=2, L

n=1, K

27

Interpretação da função angular

...,,2,1,0mmLz

1...,,2,1,01 nL

número quântico magnético

número quântico orbital

L está relacionado à grandeza momento angular orbital e seu módulo é quantizado:

Lz é a componente na direção z do momento angular orbital

28A Função Angular

Exemplo: 2

6122 L

2,1,0, mmLz

Observe que:- Tanto o módulo quanto a componente z do momento angular são quantizados

29A Função Angular

Portanto, o par (l, ml) define o tipo de simetria da função de onda:

Orbital (s)

Orbital (p)

Orbital (d)

Orbital (f)

0

1

2

3

30

31Autofunções para Átomo de Hidrogênio

0

3

0

1

1 ar

s ea

r

Solução mais simples para Equação de Schrödinger é para o estado 1s

Onde a0 é o raio de Bohr. Essa equação satisfaz as condições de contorno:1) Aproxima-se de zero no infinito 2) É finita para r=0

Como depende só de r deve ter uma simetria esférica

32Probabilidade

224 rrP

Probabilidade de encontrar o elétron em um volume esférico dVé dado pela função densidade de probabilidade radial P(r), que por sua vez é a probabilidade de por unidade de distância radial de encontrar o elétron em uma casca esférica de raio r.:

drrdVdrrP 2224

0

2

3

0

2

1

4 ar

s ea

rrP

33

34 Para uma dada carga nuclear, à medida que o número

quântico principal aumenta, as regiões de alta densidadeeletrônica se estendem cada vez mais além do núcleo.

35A Função Angular – orbital s

Quando l = 0, a função de onda exibe simetria esférica.

0,0 m

4

1,00 Y

36Orbitais do tipo sO orbital com n = 1, l = 0, m = 0 representa o estado fundamental ou de mais baixa energia o qual é descrito pela função de onda:

Como este orbital depende apenas da coordenada r então, ele é um orbital esfericamente simétrico.

Probabilidade de encontrar o elétron (representada pela densidade de pontos) diminui à medida que nos afastamos do núcleo.

Representa o volume esférico no qual o elétron passa a maior parte do tempo.

37A Função Angular – orbital p

0,1 m

cos8

3,10 Y

1,1 m

ieY sen8

3,11

Quando l = 1, a função de onda exibe simetria em torno do eixo z.

38 Orbital tipo p

A forma geométrica dos orbitais p é a de duas esferasachatadas até o ponto de contato (o núcleo atômico ) eorientadas segundo os eixos de coordenadas.

39

40orbital tipo f

41

42

43Resumo: Átomo de Hidrogênio

• Elétron confinado em 3 dimensões: 3 números quânticos

• n determina a energia do átomo

• L e mL determinam o momento angular do átomo e e a simetria da função de onda

O elétron possui um número quântico intrínseco de “spin”, formando um total de 4 números quânticos

2

1 SSz mmS

44notação espectroscópica.

De acordo com a mecânica quântica umadescrição completa de um estado dos elétronsrequerem 4 números quânticos, n, L, mL e ms.

Símbolo Nome

n número quântico principal

L número quântico orbital

mL número quântico magnetico

ms número quântico de spin

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Átomos com muitos elétrons

Devido ao Princípio de Exclusão de Pauli dois elétrons nãopodem ter um mesmo conjundo de números quânticos(n,l,ml,ms).’ (Wolfgang Pauli, 1929).

Por exemplo a órbita n =1 (camada K) pode ter no máximo2 elétrons.

n l ml ms

1 0 0 +1/2

1 0 0 -1/2

Símbolo Valores permitidos

n n=1,2,3,4,…

l l=0,1,2,3,…,(n-1)

ml -l, -l+1,…..,(l-1),+l projeção de L

ms +1/2 and -1/2 projeção de s.

46

preenchimento

47

48

A tabela periódica pode ser utilizada como um guia para as configurações eletrônicas.

O número do periodo é o valor de n.

Os grupos 1A e 2A têm o orbital s preenchido.

Os grupos 3A -8A têm o orbital p preenchido

Os grupos 3B -2B têm o orbital d preenchido.

Os lantanídeos e os actinídeos têm o orbital f preenchido.

Configurações eletrônicas e a tabela periódica

49Configurações eletrônicas e a tabela periódica

50

51

Ionização e De-excitação

e-

n=4, N

n=3, M

n=2, L

n=1, K

K series

L series

M series

Ka

K series

La

L series

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Espectro de raios X

Os raios X foram descobertos acidentalmente por W. C. Roentgen em 1895 quando ele estava trabalhando com tubos de raios catódicos.

Devido a natureza desconhecida desses raios penetrantes foi denominado raio X.

raios X corresponde a radiação eletromagnética de comprimentos de onda ao redor de 0.1 a 10 A

53

História do raio X

O primeiro raio-X foitirado da mão de suaesposa mas um anodepois, em 1986, já eraamplamente aplicado emmedicina tornando-seuma das grandesdescobertas do século XX.

Em 1916 raios-X já eramusados para inspecionarcargas de navios.

54

Produção de raio X

O filamento de tungstênio é aquecido pela passagem de corrente ( I< 80 mA) e emite elétrons

Elétrons são acelerados por uma diferença de potencial (DV=20 kV ou 30 kV) entre o filamento (catodo) e um eletrôdo de Cobre (anôdo).

Válvula de produçãode raio-X

Ao atingirem o ânodo de cobre oselétrons são freados bruscamente,emitindo radiação e ionizando osátomos de cobre.

O processo é como um efeito foto-elétrico invertido.

Radiação eletromagnética emitida temvários cumprimentos de onda.

55

Espectro de raio-X do Cobre

Componente continua – bremsstrahlung. Componente discreta – ionização do átomo de Cobre

(fenômeno de fluorescência). Mínimo bem definido para uma dada energia dos

elétrons, lmin.

lmin

56

O fóton de menor comprimento de onda, lmin, seria emitido quando o elétron perdesse o máximo (toda) de sua energia cinética durante a colisão (K´=0).

Parte continua do espectro - Bremssstrahlung

KK

elétron

K´núcleo

Fóton de bremsstrahlung

Efóton = hu = K – K´

Efóton = hc/l = K – K´

energia inicial do eletron K = eV = hc/lmin

determinando lmin constante. de Planck

h = eVlmin/c

57Parte discreta do espectro de raio X

Elétrons do catodo (filamento) se chocam com os elétrons dos átomos arrancando-os.

A energia do fóton é dada pela diferença de energia das órbitas.

No processo de recombinação

Emissão de fóton

Idéia de órbitas Niels Bohr

e-

58

lmin

59

Lei de Moseley

60

Lei Moseley

l comprimento de onda do raio-X da transição Kα

Z número atomico do elemento

s constante correspondente a blindagem da carga nuclear devida ao eletron e outros (deve ser da ordem de 1).

A é o fator de escala. Sendo R a constante de Rydberg

(Z-s) carga efetiva observada pelos eletrons da camada L

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Usado para prever existência de novos elementos

38 39 40 41 42 43 44 45 46

62