física iv para a escola politécnica (engenharia elétrica

Física IV para a Escola Politécnica (Engenharia Elétrica)4320293 – TURMA 3

Professor: Dr. Marcos A. G. Alvarez

Departamento de Física Nuclear (DFN) – IFUSP

Edifício Oscar Sala – (sala 246)

Escaninho 22Escaninho 22

[email protected]

LIVRO: Princípios de Física (Óptica e Física Moderna)

Raymond A. Serway / John W. Jewett Jr.

Volume 4

PROVA P2 – Capítulos 28 e 29 – Serway/Jewett vol. 4

CAPÍTULO 28: Física Quântica

� Radiação de corpo negro e a Teoria de Planck

� O Efeito Foto-Elétrico

� O Efeito Compton� O Efeito Compton

� Fótons e Ondas Eletromagnéticas

� Propriedades Ondulatórias das Partículas

� A Partícula Quântica

� Experiência de Dupla Fenda


� O Princípio da Incerteza

� Mecânica Quântica

� Uma Partícula em uma Caixa

� A Equação de Schrödinger

� Tunelamento através de uma Barreira de Energia Potencial

Lista de exercícios sugerida – Capítulo 28:28.4, .12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 33, 35, 38, 42, 43, 52

� A partícula quânticaAntes: � modelos corpusculares (partículas com carga e massa)� modelos ondulatórios (ondas)

Depois: Efeito Foto-Elétrico & Compton

� Tanto a luz como as partículas têm propriedades corpusculares eondulatórias

vm

h

p

hhp =⇒=⇒= λλ

λ

ondulatórias

De Broglie

EXEMPLO 28.5 O comprimento de onda de um elétron

Calcule o comprimento de onda de De Broglie para um elétron deslocando-secom uma velocidade de:

Kgm

sm

e31

7

1011.9 sendo

/101v−×=

×=

vm

h=λvem

=λ

EXEMPLO 28.5 O comprimento de onda de um elétron

Calcule o comprimento de onda de De Broglie para um elétron deslocando-secom uma velocidade de:

Kgm

sm

e31

7

1011.9 sendo

/101v−×=

×=

Solução

( ) ( ) msmKg

sJ

m

h

e

11731

341028.7

/100.11011.9

1063.6

v−

−

−×=

×⋅×⋅×==λ

Este comprimento de onda corresponde ao comprimento de onda típico dos raios-X

Exemplo 3-1 Eisberg & Resnick: Comprimento de onda de uma bol a

Qual é o comprimento de onda de “De Broglie” de uma bola de beisebol comuma massa de 1Kg movendo-se a uma velocidade de 10m/s

m

smKg

sJ

m

h

p

h 3534

106.6100.1

1063.6

v−

−×=

×⋅×===λ

Exemplo 28.7: Uma carga acelerada

Uma partícula de carga “q” e massa “m” é acelerada a partir do repousopor uma diferença de potencial ∆V. Supondo que a partícula desloca-secom velocidade não relativística, encontre seu comprimento de onda dede Broglie.

v

v2

1 2

mp

Vqm

=

∆=

Calcule o comprimento de onda de “de Broglie” de um elétron aceleradopor uma diferença de potencial de 50V.

vmp =

Kgm

Cq

p

hhp

e

e

31

19

1011.9

106.1

−

−

×=

×=

=⇒= λλ

Exemplo 28.7: Uma carga acelerada

Uma partícula de carga “q” e massa “m” é acelerada a partir do repouso poruma diferença de potencial ∆V. Supondo que a partícula com velocidade nãorelativística, encontre seu comprimento de onda de de Broglie .

mvp

Vqmv

=

∆=2

1 2 ( )Vmq ∆,,λ

Vqm

h

emU

h

Vmqp

Vqm

pVqmv

A ∆⇒=

∆=

∆=⇒∆=

22

2

ou 22

1 22

λAemU

h

2=λ⇒=

p

hλ

Calcule o comprimento de onda de de Broglie de um elétron aceleradopor uma diferença de potencial de 50V.

carga

VKgC

sJ

emU

h

A 50 1011.9 106.12

1063.6

2 3119

34

×××××

⋅×==−−

−λ

massa

nm17.010178.38

1063.6

106.1457

1063.625

34

50

34≈

××=

×

×= −

−

−

−λ

ENTIDADES CORPUSCULARES

Resultados experimentais deveriam mostrar queelétrons são difratados pelos planos de um cristal de maneira similar aosraios-X, sendo portanto aplicável a condição de Bragg.

O comprimento de onda que devemos associar aos elétrons é previstopela hipótese de “De Broglie”, segundo a qual:

vm

h

p

h ==λ

( )...3,2,1 2 == nndsen λθ

( )...3,2,1 2 == nndsen λθ

Uma característica essencial de uma partícula é que ela estálocalizada no espaço.

O primeiro passo é mostrar que podemosconstruir uma entidade localizada a partir deconsiderações ondulatórias .considerações ondulatórias .

Imagine traçar uma onda ao longo do eixo “x” com uma de suas cristaslocalizadas em “x=0”.

x=0

Frequências diferentes e

Logo uma segunda onda de mesma amplitude mas com umafrequência diferente, porém também com uma de suas cristas em “x=0”.

Frequências diferentes eAmplitudes que coincidem emx=0

O resultado da superposição dessas duas ondas é um “batimento” poisas ondas estão alternadamente em fase e fora de fase.

Interferência construtiva

Interferência entre ondas está conectada à(diferença de) fase entre as ondas.

A diferença de fase entre duas ondas pode mudar

λ

Interferência destrutiva

λ=∆ Dois casos extremos de interferência

Interferência de duas ondas com� mesma amplitude e� mesma frequência

Padrão de interferência contínuo no tempoonda de cor preta é estacionária

� Interferências construtivas e destrutivas entre ondas está conectada à(diferença de) fase entre as ondas.

� Duas ondas podem ter distintas frequências (comprimentos de onda).

� A diferença de fase entre duas ondas pode mudar .

� Considerando duas ondas com distintas frequências e mesma amplitude(A), existe uma amplitude (2A) máxima para a amplitude de uma interferênciaconstrutiva.

onda de cor preta é estacionária

Interferência de duas ondas com

� mesma amplitude e� diferentes frequências

Padrão de interferência descontínuo

(a)Uma onda idealizada com uma única frequência exata é a mesma portodo o espaço e em todo instante; (b) se são combinadas duas ondasideais com frequências ligeiramente diferentes, surgem

(b)batimentos (posições alternadamente em fase e fora de fase)

Padrão de interferência descontínuono tempo

Se adicionamos ondas, de modo que suascristas coincidam com as demais ondas emx=0, a pequena região de interferênciaconstrutiva é denominada pacote de onda.

Interferência máxima em x=0

Esta é uma região localizada do espaço que édiferente de todas as outras.

Aquí, podemos assumir (aproximar) o pacotede ondas como/por uma “partícula”.

O padrão de batimentos da figura da esquerda com uma função envoltóriasobreposta (figura da direita).Cada vez que ocorre um máximo de amplitude se diz que ocorreu um batimento.

Considere duas ondas com amplitudes iguais , mas frequênciasdiferentes f1 e f2. Podemos representar estas ondas matemáticamentecomo: ( ) ( )

( ) ( )

+

−=+

−+−=+=

==

−=−=

bababa

tkAtxkAyyy

kf

tkAytkAy

coscos2coscos

trica trigonoméforma na

coscos ãoSuperposiç de Princípio

2 e 2

cos e cos .

221121

222111

ωωλππω

ωω

a b

( ) ( ) ( ) ( )

+−+

∆−∆=

=

−+−

−−−=

−=−=

=+

txkk

txk

A

txktxktxktxkAy

tkbtxka

ba

22cos

22cos2

2cos

2cos2

: temos e sendo

2cos

2cos2coscos

2121

22112211

2211

ωωω

ωωωωωω

a b

O segundo fator co-seno representa uma onda com um número de onda efrequência iguais às médias dos valores das ondas individuais .

+−+

∆−∆= txkk

txk

A22

cos22

cos2 2121 ωωω

O segundo fator co-seno representa uma onda com um número de onda efrequência iguais às médias dos valores das ondas individuais .

O fator entre colchetes representa a envoltória da onda , como mostradoObserve que este fator também tem a forma matemáticade uma onda

( ) ( )tkAytkAy 222111 cos e cos ωω −=−=

Esta onda descrita pela função envoltória pode deslocar-seno espaço com uma velocidade diferente das ondas indivi-duais.

Como um exemplo extremo dessa possibilidade, imagine combinar duasondas idênticas deslocando-se em direções opostas.

As duas ondas deslocam-se com a mesma velocidade escalar, mas aenvoltória tem uma velocidade nula , pois construímos uma ondaestacionária

( ) ( )

( ) ( )tkAtxkAyyy

kf

tkAytkAy

221121

222111

coscos

ãoSuperposiç de Princípio pelo

2 e 2

cos e cos

ωω

λππω

ωω

−+−=+=

==

−=−=

+−+

∆−∆tx

kktx

kA

22cos

22cos2 2121 ωωω

Para uma onda individual, a velocidade é dada pela equação:

Que é definida como velocidade de fase porque é a taxa de progressãode uma crista em uma única onda , que é um ponto de fase fixa.

kfaseω=v

kfaseω=v

kT

f ===λπππω 2

e 2

2

O subscrito “g” na velocidade indica que ela é usualmente denominadavelocidade de grupo ou a velocidade do pacote de ondas(o grupo de ondas) que construímos.

Onde temos uma combinação de frequências (ω) e comprimentosde onda (λ) variáveis entre diferentes ondas.

kk

kT

f

gfase ∆∆====

===

ωωλ

πω

x"" espacial variávelde ecoeficient

t"" temporal variávelde ecoeficientvv

e 2

Para uma superposição de um número muito grande ondas para formarum pacote de ondas , temos a razão:

dk

dg

ω=v

Vamos multiplicar o numerador e o denominador por ћ onde ћ=h/2π:

analisando separadamente odd == )(v

hh ωω analisando separadamente onumerador e o denominador

dp

dE

kd

d

phh

k

Efhfh

kd

d

dk

d

g

g

==

==

⋅=

=⋅=⋅=

==

)(

)(v

2

2

22

)(

)(v

h

h

h

h

h

h

h

h

ωλλ

ππ

ππ

ω

ωω

Como estamos explorando a possibilidade de que a envoltória das ondascombinadas represente a partícula,

se consideramos uma partícula livre deslocando-se com umavelocidade “v” que é pequena comparada com a velocidade da luz. Avelocidade “v” que é pequena comparada com a velocidade da luz. Aenergia da partícula é sua energia cinética:

diferenciando com relação a “p”

( )

v

v22

1

2v

2v

2

1

2

g

22

mp

m

pp

mm

p

dp

d

dp

dE

m

pmE

=

===

==

==

Assim, podemos assumir a analogia entre a velocidadedo “pacote de onda” e a velocidade de uma partícula

� Os pacotes de onda são construídos como uma superposiçãolinear de ondas planas de diferentes momentos lineares «p».

( )p

hhp =⇒= λ

λλ

� Neste caso, cada componente do pacote de ondas viaja com suavelocidade característica, conhecida como velocidade de fase .

Antes: � modelos corpusculares (partículas com carga e massa)� modelos ondulatórios (ondas)

Depois: Efeito Foto-Elétrico & Compton

� Tanto a luz como as partículas têm propriedades corpusculares eondulatórias

� Novamente a Experiência da Dupla Fenda

vm

h

p

hhp =⇒=⇒= λλ

λ

ondulatórias

De Broglie

Vamos lançar elétrons contra uma dupla fenda

Considere um feixe paralelo de elétrons mono-energéticos(mono-cromáticos) incidindo sobre uma dupla fenda .

As larguras das fendas são pequenascomparadas com ocomprimento de onda do elétron … ?

� Novamente a Experiência da Dupla Fenda

O detector de elétrons é colocado bemlonge das fendas a uma distância “L”muito maior que “d”(distância de separação entre as fendas).

?

ACEITÁVEL???

Se o detector coletar elétrons por umtempo vemos um típicopadrão de interferência de “onda” em

Efeito esperadoTeoria Clássica

padrão de interferência de “onda” emtermos do número de elétrons porminuto.

Não se espera tal comportamento seconsideramos os elétrons - partículas .

Esta é uma evidência de que os elétronsestão interferindo segundo fenômenosao menos similares aos ondulatórios .

Efeito esperadoTeoria Clássica

Efeito observadoTeoria Quântica

Se imaginarmos elétron(s) no feixeproduzindo pequenas ondas em fasequando alcança uma das fendas…

Utilizando a teoria ondulatória doCapítulo 27, então: λCapítulo 27, então:

representa um mínimo de interferência ,e

representa um máximo de interferência

2

λθ ==∆ dsenF

2

λθ ==∆ dsenFλθ ==∆ dsenF

Como o comprimento de onda do elétroné dado por:

2

λθ ==∆ dsenF

p

h

x: temospequeno para ,= θλ

Como isso se respeita fica mostrada anatureza dual do elétron . 2

λθ ==∆ dsenF

dp

hsen

x

x

2=≈ θθ

Interferência destrutiva

Como o comprimento de onda do elétroné dado por:

λθ ==∆ dsenF

h

p

h

x= θλ : temospequeno para ,

Como isso se respeita fica mostrada anatureza dual do elétron .

λθ ==∆ dsenF

dp

hsen

x=≈ θθ

Interferência construtiva

Assim, os elétrons são detectadoscomo partículas em um certo pontoem algum instante de tempo.

Mas a probabilidade de chegada aesse ponto é determinada pelaintensidade de duas ondas queinterferem .

Exercício 28.24

É usado um osciloscópio modificado para realizar uma experiência deinterferência de elétrons. Elétrons incidem sobre um par de fendas estreitasseparadas por 0.0600µm. As bandas brilhantes no padrão de interferênciaestão separadas por 0,400mm sobre uma tela a 20,0 cm das fendas.Determine a diferença de potencial através da qual os elétrons foramacelerados para formar este padrão.

ndsen = λθ

evm

h

p

h

ndsen

e==

=

λ

λθ

VemK e ∆== 2ev

2

1

É usado um osciloscópio modificado para realizar uma experiência deinterferência de elétrons. Elétrons incidem sobre um par de fendas estreitasseparadas por 0.0600µm. As bandas brilhantes no padrão de interferênciaestão separadas por 0,400mm sobre uma tela a 20,0 cm das fendas.Determine a diferença de potencial através da qual os elétrons foramacelerados para formar este padrão.

Considerando a primeira banda brilhante temos:

tg

ndsen

002.0200

400.0

1

==

⋅==

θ

λλθ

( ) ( )

( )( )( )( ) V

mKgC

sJ

em

hV

Vem

h

m

mmK

hm

m

h

msenmndsen

e

ee

ee

1051020.11011.9106.12

1063.6

2

22

vv

2

1

vv

1020.1002.0100.61

200

2103119

234

2

2

2

22e

22e

ee

108

=×××

⋅×==∆

∆====

=⇒=

×=×=⋅==

−−−

−

−−

λ

λ

λλ

λλθ

VCJ 111 ⋅=

EXERCÍCIOO que acontece quando uma fenda é coberta

Se uma fenda é coberta, se observa umacurva simétrica com seu pico ao redor dafenda aberta – máximo central do padrãode difração de fenda única .

A figura mostra gráficos das

EXERCÍCIO

A figura mostra gráficos dascontagens de elétrons por minuto(probabilidade de chegada de elétrons)com a fenda superior (2) ouinferior (1) fechada.

RESUMINDO

Se a fenda 1 está aberta e a fenda 2 fechadapor um certo tempo e depois invertemosdurante o mesmo intervalo de tempo…

obtemos os padrões em azul

É importante observar

Que é completamente diferente do padrãoem que as duas fendas estão abertasem que as duas fendas estão abertas(curva com vários picos).

Não existem mais uma probabilidademáxima de chegada em θ=0 (curva azul)

Desaparece o padrão de interferência e oresultado acumulado é a soma dosresultados individuais .

COMO PODEMOS IDENTIFICAR PORONDE O ELÉTRON PASSA QUANDO ASDUAS FENDAS ESTÃO ABERTAS????DUAS FENDAS ESTÃO ABERTAS????

Quando as duas fendas estão abertas nossaintuição tende a induzir-nos a que o elétronpassa pela fenda 1 OU pela fenda 2 .

Os resultados experimentais indicados pelopadrão de interferência com muitos picoscontradizem isso. PRINCÍPIO DE HUYGENS

Padrão de interferência similar ao de duas ondas monocromáticas coerentes

Portanto, a conclusão de que o elétron élocalizado e atravessa apenas uma fendaquando as duas fendas são abertasestá errada.

Conclusão difícil pois vai em contra danossa intuição.

Um elétron interage com as duas fendas simultaneamente.

É impossível determinar por qual fenda passa o elétron .

Se tentarmos determinar experimentalmente qual fenda o elé tronatravessou , o simples ato da medida destruirá o padrão deinterferência .

Podemos apenas afirmar que o elétron passa pelas duas fendas.

� O PRINCÍPIO DA INCERTEZA

Sempre que se mede a posição ou a velocidade de uma partícula em umcerto instante, incertezas experimentais estão incluídas nas medidas.

De acordo com a mecânica clássica não há um limite para o aumentoda precisão (diminuição da incerteza) dos procedimentos experimentais.

� O PRINCÍPIO DA INCERTEZA

A Mecânica Quântica prevê que é fundamentalmente impossível medirsimultâneamente a posição (x) e o momento (p=mv) de umapartícula com precisão infinita.

Se são feitas uma medida da posição de uma partícula com umaincerteza ( ∆x) e uma medida simultânea do seu momento com umaincerteza (∆p) o produto das duas incertezas nunca pode ser menorincerteza (∆p) o produto das duas incertezas nunca pode ser menorque ћ/2:

π2

2h

px ii

=

≥∆∆

h

h

Considere uma partícula para a qual conhecemos exatamente ocomprimento de onda λ.

De acordo com as relações de “de Broglie”:

Conheceríamos o momento com precisão infinita .

Existiria por todo o espaço uma onda com o comprimento de onda λ.

Qualquer região ao longo dessa onda significa a mesma coisa que

p

h=λ

Qualquer região ao longo dessa onda significa a mesma coisa quequalquer outra região.

…

Se nos perguntamos, onde está a partícula representada por esta onda?

Nenhuma localização especial no espaço ao longo da onda poderia seridentificada com a partícula, pois todos os pontos ao longo da onda sãoidênticos.

…

Assim temos uma incerteza infinita na posição da partícula.

Um conhecimento perfeito do momento custa toda a informação quanto àposição.

…

cte

hp

λ=

Em comparação, considere agora uma partícula com alguma incertezano momento, de tal forma que seja possível um intervalo de momentos∆p o que implica um intervalo de comprimentos de onda ∆λ.

Assim a partícula não é representada por um único comprimento de onda,

λλ h

pp

h =⇔=

Assim a partícula não é representada por um único comprimento de onda,mas por uma combinação de comprimentos de onda neste intervalo.

Esta combinação forma um pacote de ondas

Para determinar a posição da partícula , podemos dizer que ela está emalgum ponto na região definida pelo pacote de onda , pois exite uma nítidadiferença entre esta região e o restante do espaço.

Assim ao perder parte da informação quanto ao momento da partícula ,ganhamos informação sobre sua posição.

Exemplo 28.8 Localizando um elétron

É medida a velocidade de um elétron como sendo:

Dentro de quais limites pode-se determinar aposição desse elétron ao longo da direção de seu vetor velocidade?

smv

smv

e

e

)15.000,5000(

%)003.0100.5( 3

±=

±×=

( )Kgm

mp

e

ee

311011.9

v

−×=

==

( )e

pxxp

∆≥∆⇒≥∆∆

22

hh

Exemplo 28.8 Localizando um elétron

É medida a velocidade de um elétron como sendo:

Dentro de quais limites pode-se determinar aposição desse elétron ao longo da direção de seu vetor velocidade?

Solução: O momento do elétron é:

Assumindo a incerteza do momento, como sendo igual à incerteza da velocidade

smv

smv

e

e

)15.000,5000(

%)003.0100.5( 3

±=

±×=

( ) ( )

s

mKgs

mKgvmp ee

⋅×

=×⋅×==

−

−

27

331

1056.4

1051011.9

Assumindo a incerteza do momento, como sendo igual à incerteza da velocidadeTemos:

Pode-se agora calcular a incerteza mínima na posição usando-se o valor de ∆p naequação:

s

mKgpp

⋅×==∆ −311037.100003.0

mmm

s

mkgsJ

px

xp

384.010384.01037.12

1005.1

2

2

3

31

34

=×=

⋅×

⋅×=∆

≥∆

≥∆∆

−

−

−h

h

Exercício 27: Um elétron e um projétil têm, cada um, uma velocidade demagnitude 500m/s exata com aproximação de 0.0100%. Dentro de quaislimites poderíamos determinar a posição dos corpos ao longo da direçãoda velocidade? Conhecendo os valores das respectivas massas:

v

0200.0

1011.9 31

mp

Kgm

Kgm

p

e

=

=×= −

π2

2px

h=

=∆∆

h

h

Exercício 27: Um elétron e um projétil têm, cada um, uma velocidade demagnitude 500m/s exata com aproximação de 0.0100%. Dentro de quaislimites poderíamos determinar a posição dos corpos ao longo da direçãoda velocidade? Conhecendo os valores das respectivas massas:

Para o elétron:Kgm

Kgm

p

e

0200.0

1011.9 31

=×= −

( )( )( )

( )sJh

s

mKgmp

smKgmp

e

e

1063.6

1056.4v

1000.1/500109.11v

34

32

431-

⋅×

×=∆=∆

=××=∆=∆

−

−

−

Para o projétil:

( )mm

s

mKgsJ

p

hx 16.1

1056.44

1063.6

4 32

34=

⋅×

⋅×=∆

=∆−

−

ππ

( )( )( )

( )m

s

mKgsJ

p

hx

s

mKgmp

smKgmp

e

e

32

3

34

3

4

108.5100.14

1063.6

4

100.1v

1000.1/5000.0200v

−−

−

−

−

×=

⋅×

⋅×=∆

=∆

×=∆=∆

=×=∆=∆

ππ

A forma matemática do princípio da incerteza afirma que o produto dasincertezas na posição e no momento sempre será maior que um valormínimo.

Pode ser gerada uma outra forma do princípio da incertezareconsiderando a figura com o tempono eixo “x” no lugar da posição.

Podemos considerar os mesmos argumentos,utilizados para o comprimento de onda(momento) e a posição, no domínio temporal.(momento) e a posição, no domínio temporal.

As variáveis correspondentes seriam afrequência e o tempo.

A frequência está relacionada com a energiapor:

2

:é forma nesta incerteza de princípio o e

h≥

⋅=

∆E∆t

fhE

Se combinamos um grande número de ondasa probabilidade de um valor positivo na funçãode onda em qualquer ponto “x” é a mesma quea probabilidade de um valor negativo.

Se cada onda nova é adicionada de modo que

Interferência máxima em x=0

Se cada onda nova é adicionada de modo quesua crista coincida com as demais ondas emx=0, a pequena região de interferênciaconstrutiva é denominada pacote de onda.

Esta é uma região localizada do espaço que édiferente de todas as outras.

Aquí, podemos assumir o pacote de ondascomo uma partícula.


� O Princípio da Incerteza

� Interpretação da Mecânica Quântica

� Uma partícula livre e em uma caixa

� Função de Onda e Valor Esperado� Função de Onda e Valor Esperado

� A Equação de Schrödinger

� Tunelamento através de uma Barreira de Energia Potencial

Lista de exercícios sugerida – Capítulo 28:28.4, .12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 33, 35, 38, 42, 43, 52

� UMA INTERPRETAÇÃO DA MECÂNICA QUÂNTICA

Analogias permitem tratar radiação eletromagnética como corpúsculo …

Vimos que o número de elétrons (portador de carga) por unidade detempo é proporcional à intensidade de corrente elétrica .

tempo)o com carga de variaçãode taxa- (derivada dt

dQI =

Definição de carga está normalmente relacionada com elétrons, prótons, íons.Definição de corrente : fluxo de carga por unidade de tempo .Definição de corrente : fluxo de carga por unidade de tempo .

Suponhamos que a carga “q” se move através de uma seção transversal A deum arame (fio), em um tempo t, então a intensidade de corrente “I” através doarame é dada por:

elétrons de número

1024.61

1

1)(

18 −×=

∆=

eC

s

C

t

NQAI

� UMA INTERPRETAÇÃO DA MECÂNICA QUÂNTICA

Analogamente , considerando o fóton como portador de radiaçãoeletromagnética, o número de fótons (NF) por unidade de área (A-2D)volume (V-3D) é proporcional à intensidade da radiação:

V

adeprobabilid

V

NFI αα

−×=

∆=

eC

s

C

t

NQAI

181024.61

1

1)(

Dito de outra maneira,a probabilidade de encontrar um fóton por unidade de volume, emuma certa região do espaço, em um certo instante de tempo éproporcional ao número de fótons por unidade de volume

Recordando que a intensidade da radiação eletromagnética éproporcional ao quadrado do campo elétrico :

V

adeprobabilid αEI 2α

×= eC 1024.61

Ondas eletromagnéticas transportam energia e a taxa de fluxo de energiaatravessando uma unidade de área “A” é descrita pelo vetor de pointing “S”

BESrrr

×==0

1

µ

220

:formular podemos também sendo ,

:caso neste assim ,sí entre laresperpendicu são e

plana. éticaeletromagn onda uma para Calculando

µ

cBE

c

EB

EBS

EBBEBE

S

==

=×⇒rrrr

r

( )

0

2max

0

2max

0

maxmax

2

0

2

0

2

222

:é onda da eintensidad aou de médio valor o forma, Desta

.2

1 a igual é que cos de temporalmédia a involve Isso

e.intensidad a é ciclos maisou umpor de temporalmédiaA

tempo.de instante a aplicam se que para equações

µµµ

ω

µµ

cB

c

EBESI

S

tkx

S

ScB

c

ES

==⋅==

−

∀==

A probabilidade por unidade de volume de localizar uma “partícula”associada com essa radiação (o fóton) pode ser assumida comoproporcional ao quadrado de uma amplitude da onda.

V

adeprobabilid αEI 2α

( ) ( )( ) ( )tkxEtxEI

tkxEtxE

ωα

ω

−=

−=

cos,

cos,

222

rr

0

1

Assumindo a dualidade onda-partícula, a probabilidade de encontraruma partícula, por unidade de volume, pode ser assumida proporcionalao quadrado da amplitude da onda representando a partícula .

( )

txk

tkxtxE

ωλπ

λπ

ω

=⇒=

=⇒

22

,2max

1

2

h≥∆∆ xp2

( )( )tzyx

zyxx

,,,Ep,v,

,,

ψψ

≈≈

22 Aadeprobabilid

αEI αα

Na verdade, a amplitude da onda associada a uma partícula não é umagrandeza física e portanto não é mensurável como é o campo elétricopara uma onda eletromagnética.

A única conexão é a analogia dada pela equação:

AV

αEI αα

Como resutado disso, chamamos simplesmente a amplitude da ondaassociada à partícula de

“amplitude de probabilidade ” ou de “função de onda”

� A função de onda é a descrição matemática mais completapossível para um sistema regido pela mecânica quântica .

� Na mecânica clássica a descrição completa de um sistemaconsistia em determinar a posição e a velocidade de todas aspartículas e, com esta descrição, ser possível prever todos osmovimentos futuros e passados do sistema.

� Na mecânica quântica não se pode determinar todas asgrandezas desejadas com a mesma certeza (Princípio da Incerteza).

� De acordo com a mecânica quântica , a descrição do sistematermina ao nível da função de onda , com a idéia de probabilidadede encontrar a partícula em uma posição.

A função de ondaé uma ferramenta matemáticacriada a partir de Leis da Físicaque contém (gera) informação espacial da partícula .

Uma função de onda mais completa deve depender também do tempo ,representada por uma expressão do tipo:

Já vimos que, a equação de “de Broglie” relaciona o momento de uma

( )zyx ,,ψ

( )tzyx ,,,ψ

( )zyxr ,,r

Vdr

Já vimos que, a equação de “de Broglie” relaciona o momento de umapartícula com seu comprimento de onda .

Se uma partícula livre ideal tem um momento “p” conhecido com precisãosua função de onda é uma onda senoidal com comprimento de onda :

e a partícula tem uma probabilidade igual de estar em qualquer ponto doespaço

λh

p =

p

h=λ∞− ∞+

A função de onda para tal partícula livre deslocando-se ao longo do eixo“x” pode ser escrita na forma:

Embora não podemos medir “ ψ”, podemos medir uma densidade deprobabilidade que é a probabilidade relativa por unidade de volume deencontrar a partícula em qualquer ponto de volume .

Substituindo dV por dx e r por x temos:

( ) Vdrr 2rΨ

Vdr

( ) ( )kxAsenx

Asenx =

=λπψ 2


Como a partícula tem que estar em algum lugar do espaçoAo longo do eixo “x” a soma das probabilidades sobre todosos valores de “x” é

Qualquer função de onda que satisfaça esta condição é dita normalizada

( )zyxr ,,r

Vd

%10012 ≡=∫+∞

∞−dxψ

( ) dxdxxP 2ψ=

∞− ∞+

A função de onda para tal partícula livre deslocando-se ao longo do eixo“x” pode ser escrita na forma dependente do tempo como:

Embora não podemos medir “ ψ”, podemos medir a densidade deprobabilidade que é a probabilidade relativa por unidade de volume deencontrar a partícula em qualquer ponto de volume.


( ) Vdrr 2rΨ

Vdr

( ) ( )tkxAsenftx

Asentx ωπλπψ −=

−= 22

,


Como a partícula tem que estar em algum lugar do espaçoAo longo do eixo “x” a soma das probabilidades sobre todosos valores de “x” é

Qualquer função de onda que satisfaça esta condição é dita normalizada

( )zyxr ,,r

Vd

12 =∫∞+

∞−

dxψ

( ) dxdxxP 2ψ=

2ψ

∫= baab dxP

2 ψ

Embora não seja possível especificar a posição de uma partícula com

certeza absoluta, é possível, através de especificar a probabilidade deobservá-la em uma pequena região ao redor de um certo ponto.

A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo a – b (a< x<b) é:

2ψEsta probabilidade é a área sobre a curva deem função de “x” entre os pontos x=a e x=b.

Experimentalmente esta probabilidade é finita .

O valor desta probabilidade tem que estar entre0 e 1 (conjunto dos números reais positivos).

Exercício 33 - Seção 28.9: Uma interpretação da Mecânica Quâ ntica

Um elétron livre tem uma função de onda:Onde “x” está em metros.Encontre:(a) o comprimento de onda de De Broglie(b) o momento linear(c) a energia cinética em elétron-Volt

( ) ( )xAsenx 101000.5 ×=ψ

( )

hp

xAsenx

2

=

=λπψ

eVJ

m

pK

Kg

sJh

hp

18

2

31-

34

1024.61

2

109.11m

1063.6

×⇒

=

×=

⋅×=

=

−λ


Um elétron livre tem uma função de onda:Onde “x” está em metros.Encontre:(a) o comprimento de onda de De Broglie(b) O momento linear(c) A energia cinética em elétron-Volt

( ) ( ) ( )xAsenx

Asenx

2

1000.52

a

110

10

×=

×=

=

−−

−

πλπψ

( )

( )( )

eV

eVJJ

JKg

smKg

m

pK

Kgc

s

mkg

m

sJhp

m

m

5.9510602.1

1052.11052.1

1011.92

1027.5

2

109.11m

1027.51026.1

1063.6 b

1026.11000.5

2

1000.52

então,

19

1717

31

242

31-

2410

34

1010

110

=××=×=

××

⋅×==

×=

×=×

⋅×==

×=×

=

×=

−

−−

−

−

−−

−

−−

−−

λ

πλ

λπ


A função de onda para uma partícula livre é:

Determine a probabilidade de que a partícula esteja localizada em algumlugar entre x = -a e x = +a

( )

+∞<<∞>+

=

x- e 0a para

)( 22 ax

ax

πψ

Sabendo que:

∫ =+ a

xarctg

axa

dx 122

Exercício 32 - Seção 28.9: Uma Interpretação da Mecânica Quâ ntica

A função de onda para uma partícula livre é:

Determine a probabilidade de que a partícula esteja localizada em algumlugar entre x = -a e x = +a

( )

+∞<<∞>+

=

x- e 0a para

)( 22 ax

ax

πψ

( ) ( )( )[ ]

2

1

44

11tan1tan

1

tan1

x

11

122

2

=

−−=−−=

=+

==

−−

+

−−

+

−

−∫ ∫

ππππ

ππψ

P

a

x

a

adx

a

axP

a

a

a

a

a

a

� UMA PARTÍCULA EM UMA CAIXA

(a) Uma partícula de massa “m” e velocidade “v”, sendo reflet idapara a frente e para tras entre duas paredes impenetráveis.

(b) A função energia potencial para o sistema.


Uma partícula de massa “m” , velocidade “v” e momento p=mv sendorefletida para a frente e para trás entre duas paredes impene tráveis,ondea função energia de potencial é representada por um poço de potencialde zero a infinito.

� UMA PARTÍCULAEM UMA CAIXA

, a qual

tem que satisfazer as condições decontorno nas paredes

πn

( )

( )

( ) ==⇒=⇔==

==

=

LLLL

x

xAsenx

πλπππψ

ψ

λπψ

2222

00

2

( )

( )

=

=

=

=⇒==⇒==⇒=

==⇒=⇔

==

L

xnAsen

nL

xAsen

xAsenx

LnLnLn

n

L

n

Ln

LLAsenL

ππλπψ

λλλ

ππλπ

λπ

λπψ

222

3

23 ;2 ;21

22220


22

2

===

=

L

nhLhh

p

n

L

λ

λ

1,2,3...)(n 822

1

22

1

22

22

2222 ==

===

===

nmL

h

L

nh

mm

pmvE

Ln

Lp

n

λ

Quantização de energia

EXEMPLO 28.9: Um elétron ligado.

Um elétron esta confinado entre duas paredes impenetráveis separadospor 0.2nm. Determine as energias permitidas da partícula para os estadosquânticos descritos por n=1,2,3.

Kgme

311011.9 −×=−

22===

L

nh

nLhh

pλ

1,2,3...)(n 822

1

2v

2

1

2

22

2222 ==

=== nmL

h

L

nh

mm

pmE

Ln

n

λ

EXEMPLO 28.9: Um elétron ligado.

Um elétron esta confinado entre duas paredes impenetráveis separadospor 0.2nm. Determine as energias permitidas da partícula para os estadosquânticos descritos por n=1,2,3.

1,2,3...)(n 11

22

2222

2 ==

===

===

nhnhp

mvE

L

nh

nLhh

p

n

λ

( )( ) ( ) 9.42eVJ101.51

102109.118

106.631

8

: temos1,n para

1011.9

1,2,3...)(n 82222

18-

21031-

234-2

2

2

1

31

2

=×

=×⋅×⋅

⋅×==

=

×=

==

===

−=

−−

mKg

sJ

mL

hE

Kgm

nmLLmm

mvE

n

e

n

EXERCÍCIO 35, seções 28.10 e 28.11, A partícula quântica em umacaixa sob condições de contorno

Um elétron está contido em uma caixa unidimensional com largura de0.100nm.

(a) Trace um diagrama dos níveis de energia para o elétron com níveisaté n=4.

(b) Encontre os comprimentos de onda de todos os fótons que podem seremitidos pelo elétron ao realizar transições espontâneas que poderiamlevá-lo, eventualmente, do estado n=4 para o estado n=1

2 nλL

1,2,3...)(n 822

1

2

22

2dL doconsideran ,

2

22

222==

==

===

=⇒==

nmd

h

d

nh

mm

pE

d

nh

ndhh

p

nλd

n

L

n

λ

λ

nhnhp

E

d

nh

ndhh

p

hp

n

L

n 1,2,3...)(n 1

22

em osubstitind ,2

22

222==

==

===

==

λ

λλ

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) eVmeVm

E

meVd

mJdKg

sJ

dE

nmddmm

E

n

n

n

7.3711077.3100.1

1

1077.31

1002.61

1011.98

1063.61

1,2,3...)(n 8222

2219210

1

2192

238231

234

2

2

=⋅××

=

⋅×=⋅×=

×⋅×=

==

==

−−

=

−−−

−

nhnhp

E

d

nh

ndhh

p

hp

n

L

n 1,2,3...)(n 1

22

em osubstitind ,2

22

222==

==

===

==

λ

λλ

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) eVmeVm

E

meVd

mJdKg

sJ

dE

nmddmm

E

n

n

n

15121077.3100.1

1

1077.31

1002.61

1011.98

1063.61

1,2,3...)(n 8222

2219210

2

2192

238231

234

2

2

=⋅××

=

⋅×=⋅×=

×⋅×=

==

==

−−

=

−−−

−

nhnhp

E

d

nh

ndhh

p

hp

n

L

n 1,2,3...)(n 1

22

em osubstitind ,2

22

222==

==

===

==

λ

λλ

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) eVmeVm

E

meVd

mJdKg

sJ

dE

nmddmm

E

n

n

n

33931077.3100.1

1

1077.31

1002.61

1011.98

1063.61

1,2,3...)(n 8222

2219210

3

2192

238231

234

2

2

=⋅××

=

⋅×=⋅×=

×⋅×=

==

==

−−

=

−−−

−

nhnhp

E

d

nh

ndhh

p

hp

n

L

n 1,2,3...)(n 1

22

em osubstitind ,2

22

222==

==

===

==

λ

λλ

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) eVmeVm

E

meVd

mJdKg

sJ

dE

nmddmm

E

n

n

n

60341077.3100.1

1

1077.31

1002.61

1011.98

1063.61

1,2,3...)(n 8222

2219210

4

2192

238231

234

2

2

=⋅××

=

⋅×=⋅×=

×⋅×=

==

==

−−

=

−−−

−

EXERCÍCIO 35, seções 28.10 e 28.11, A partícula quântica em uma caixasob condições de contorno

Um elétron está contido em uma caixa unidimensional com largura de0.100nm.

(b) Encontre os comprimentos de onda de todos os fótons que podem seremitidos pelo elétron ao realizar transições espontâneas que poderiamlevá-lo, eventualmente, do estado n=4 para o estado n=1

Resposta:Quando o elétron salta do estado n=2 para o estado n=1 ele libera a energia

c

( )( )

nm

eVeVeVE

nmeVJeV

smsJ

E

hc

chhfeVeVeVE

20.2

5657.37603

14

0.111060.1113

)100.3)(1063.6(

1137.37151

19

834

==−=

→

=×

×⋅×==

===−=

−

−

λ

λ

λ

Chamamos simplesmente a amplitude da onda associada à partícula de“amplitude de probabilidade” ou de “função de onda” e lhe damos osímbolo:

Em geral a função de onda ψ é uma função de variável complexa.Por que?

( ) ( )tzyxzyx ,,,ou ,, ψψ

( ) ( ) ( )) (cos, tkxsenitkxAtx ωωψ −+−=

� porque não define uma grandeza física (são instrumentos de cálculo)

� uma grandeza complexa , não pode ser medida por um instrumento real

� O mundo REAL (usando o termo em seu sentido não matemático) é omundo das grandezas REAIS (usando o termo em seu sentidomatemático)

2ψ

∫= baab dxP *ψψ

ψψ

ψψψ

de conjugado complexo *

*2 ≡

Embora não seja possível especificar a posição de uma partícula com

certeza absoluta, é possível, através de especificar a probabilidade deobservá-la em uma pequena região ao redor de um certo ponto.

A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo a – b (a<x<b) parauma função complexa:

2ψEsta probabilidade é a área sobre a curva deem função de “x” entre os pontos x=a e x=b.

Experimentalmente esta probabilidade é finita .

O valor desta probabilidade tem que estar entre0 e 1 (conjunto dos números reais positivos).

ψψ

ψψψ

de conjugado complexo *

*2 =O quadrado absoluto

Sempre será real e positivo e é proporcional à probabilidade deencontrar a partícula , por unidade de volume, em um certo ponto, em alguminstante.

O número imaginário “i” é uma unidade definida de forma tal que:

O nome é apropriado porque nenhum número real tem quadrado negativo.

1ou 12 −=−= iiO nome é apropriado porque nenhum número real tem quadrado negativo.

Um número complexo “z” pode ser escrito na forma:

O complexo conjugado deste número é escrito como z* e definido como:

de tal forma que:

o produto entre um número complexo e seu conjugado é real

iyxz +=

22*

222222* ))((

yxzz

yixixyixyyixiyxiyxzz

+=⋅

−=+−−=−+=⋅

iyxz −=

Uma vez conhecida a função de onda para uma partícula , é possívelcalcular a posição média da partícula após várias medidas.

Esta posição média é chamada de valor esperado de “x” definido por:

Analogamente

Podemos calcular o valor esperado para qualquer função de “x”:

∫+∞

∞−≡ dxxfxf )()( * ψψ ∫

∞+

∞−

≡ dxxx ψψ *

Mesmo para uma função que dependa explicitamente do tempo como umaenergia potencial V(x,t) podemos escrever

( ) ( ) ( ) ( )∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

≡≡ dxtxxftxxfdxtxxtxx ,)(,)( e ,, *2*2 ψψψψ

( ) ( )∫+∞

∞−

≡ dxtxtxVtxtxV ,),(,),( * ψψ

EXEMPLO 28.11: Os valores esperados para uma partícula na ca ixa.

Uma partícula de massa m está confinada a uma caixa unidimensional entrex=0 e x=L. Encontre o valor esperado da posição “x” da partícula para umestado com número quântico “n”.

∫∞+

∞−

≡ dxxx ψψ * ( )

=L

xnsen

L

πψ 2x

EXEMPLO 28.11: Os valores esperados para uma partícula na ca ixa.

Uma partícula de massa m está confinada a uma caixa unidimensional entrex=0 e x=L. Encontre o valor esperado da posição “x” da partícula para umestado com número quântico “n”.

2

2

2

2

0

*

dxxn

senx

dxL

xnsen

Lxdxxx

L

L

=

==

∫

∫∫∞+

∞−

π

πψψ ( )

=L

xnsen

L

πψ 2x

24

2

8

2cos

4

2

4

2

2

2

0

2

2

0

2

LL

Lx

L

n

L

xn

L

nL

xnxsen

x

Lx

dxL

xnsenx

L

L

=

=

=

−

−=

∫

π

π

π

π

π

2

2

2

2

0

*

*

dxxn

senx

dxL

xnsen

Lxdxxx

dxxx

L

L

=

==

≡

∫

∫∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−

π

πψψ

ψψ

24

2

8

2cos

4

2

4

2

2

2

0

2

2

0

2

LL

Lx

L

n

L

xn

L

nL

xnxsen

x

Lx

dxL

xnsenx

L

L

=

=

=

−

−=

∫

π

π

π

π

π

física iv para a escola politécnica (engenharia elétrica

Documents