FÍSICA III

NOTA DE AULA IV

Goiânia - 2019

1

MAGNETISMO

As primeiras observações de fenômenos magnéticos são muito antigas.

Os imãs (naturais ou artificiais) apresentam determinados fenômenos magnéticos, entre os

quais destacamos:

Polos de um imã – os pedaços de ferro são atraídos com maior intensidade por

certas partes do imã, as quais são denominadas polos do imã.

Princípio da atração e repulsão – Polos de mesmo nome se repelem e polos de

nomes contrários se atraem.

Inseparabilidade dos polos – Quando uma barra de um imã é cortada, ao invés de

obter um polo norte isolado e um polo sul isolado, obtemos dois imãs, cada um dos

quais tem polos norte e sul. Portanto, é impossível obter um polo magnético isolado.

Durante muitos anos, o estudo dos fenômenos magnéticos esteve restrito aos imãs, não

havia conexão entre os fenômenos elétricos e magnéticos. Em 1819 o cientista dinamarquês

Hans Cristian Oersted (1777 – 1851) observou que a agulha de uma bússola era defletida

quando colocada próxima de um fio por onde passava uma corrente elétrica. Doze anos mais

tarde, o físico inglês Michael Faraday (1971 – 1867) verificou que aparecia uma corrente

momentânea em um circuito, quando, em um circuito vizinho, se iniciava ou se interrompia

uma corrente.

Campo Magnético

Já estudamos que um corpo carregado produz um campo vetorial (o campo elétrico E ) em

todos os pontos do espaço ao seu redor. De forma análoga, um imã produz um campo vetorial

(o campo magnético B ) em todos os pontos no espaço ao seu redor.

Linhas de Indução de um Campo Magnético

As linhas de campo saem do polo norte e chega ao polo sul.

2

Força magnética sobre cargas elétricas em movimento

A força magnética que atua em uma partícula com carga q, pode ser definida como o

produto da carga q pelo produto vetorial da sua velocidade v pelo campo magnético B .

F = q v B F = q v B sen

onde:

F → é o módulo da força magnética que atua na carga q

v → é o módulo da velocidade de q

B → é o módulo do campo magnético

Direção e sentido da força magnética

Regra da mão direita.

Bdedão F

dedos v B

→

3

Unidade de campo magnético

A unidade do campo magnético no SI é o Newton. Segundo por Coulomb.Metro. Por

conveniência, esta unidade e chamada de tesla ( ) .

.1

.

N s

C m = 1 tesla = 1

Como iremos trabalhar no plano, usamos a seguinte definição para as linhas de campo:

entrando pelo plano

saindo pelo plano

→

→

Movimento de uma carga elétrica em um campo magnético uniforme

1o Caso:

A carga elétrica é lançada paralelamente às linhas de indução. Neste caso = 0o ou =

180o sen = 0 e a força magnética é nula. Então, a carga elétrica realiza um movimento

retilíneo e uniforme.

2o Caso:

A carga elétrica é lançada perpendicularmente às linhas de indução. Neste caso, o ângulo

entre a velocidade e o campo magnético é de noventa graus. Isso significa que o sen é igual a

um, e a força magnética é constante e igual a: BF qvB= , essa força é apontada para o centro da

curva, e, portanto, o movimento é circular e uniforme.

4

Cálculo do raio da trajetória

Fmagnética = Fcentrípeta

2vF m qvB

r

mvr

qB

= =

=

Cálculo do período ( T )

Sabemos que o período T é o intervalo tempo que corresponde a uma volta completa.

2 2

2

r mvT

v vqB

mT

qB

= =

=

Observe que o período T não depende da velocidade.

3o Caso:

A carga elétrica é lançada obliquamente às linhas de indução. Neste caso a componente

v (paralela ao campo magnético) ocasiona um MRU e a componente v⊥ (perpendicular ao

campo magnético) ocasiona um MCU. A composição destes dois movimentos é um movimento

helicoidal uniforme e a trajetória é chamada de hélice cilíndrica.

O passo da hélice (p) pode ser encontrado da seguinte maneira:

5

2cos

2cos 2 cos

mp v T v

qB

mvp r

qB

= =

= =

E X E R C Í C I O S

1. Uma partícula eletrizada positivamente é lançada horizontalmente para a direita,

com uma velocidade v . Deseja-se aplicar à partícula um campo magnético B ,

perpendicular a v , de tal modo que a força magnética equilibre o peso da partícula.

Determine a direção, o módulo e o sentido do vetor B para que isto aconteça?

Supondo que a massa da partícula seja m = 4,0 miligramas, que sua carga seja q =

2,0 .10- 7 C e que sua velocidade seja v = 100 m / s.

no equilíbrio a força magnética deve ser igual ao peso da partícula com sentido oposto.

portanto, usando a regra da mao direita, verificamos que o campo magnético deve ser

perpendicular ao plano da folha entrando. O módulo deste campo será:

6

7

F

4 10 9,8

2 10 100

1,96

P qvBsen mg

mgB

qv

B T

−

−

= =

= =

=

2. Em um laboratório de Física Moderna, um dispositivo emite íons positivos que se

deslocam com uma velocidade v muito elevada. Desejando medir o valor desta

velocidade, um cientista aplicou na região onde os íons se deslocam os campos

uniformes, E e B , mostrados na figura deste problema . Fazendo variar os valores

de E e B ele verificou que , quando E = 1,0x103 N /C e B = 2,0x10- 2 T , os íons

atravessavam os dois campos em linha reta , como está indicado na figura . Com

estes dados, o cientista conseguiu determinar o valor de v . Qual foi o valor

encontrado por ele? Despreze a massa do íons.

6

Para que a trajetória seja reta as duas forças devem se anular.

O módulo dessa velocidade será:

3

2

4

1,0 10

2,0 10

5 10 /

Mag eleF F qvBsen qE

Ev

B

v m s

−

= =

= =

=

3. Uma partícula com carga q = 2,0 C, de massa m= 1,0x10- 7 kg penetra , com uma

velocidade v = 20 m/s , num campo magnético uniforme de indução B = 4,0 T

através de um orifício existente no ponto O de um anteparo. Determine a que

distância do ponto O a partícula incide no anteparo pela primeira vez.

7

6

1,0 10 200,25

2,0 10 4,0

2

0,5

mvr m

qB

d r

d m

−

−

= = =

=

=

4. Um elétron que tem velocidade v = (2,0x10 6 m/s ) i + ( 3,0x10 6 m/s ) j penetra

num campo magnético B = ( 0,03 T ) i - ( 0,15 T ) j . Determine o módulo, a direção

e o sentido da força magnética sobre o elétron.

7

( )

( )

7 6 6 6 6

7 5

14

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

1,6 10 2,0 10 3,0 10 0 2,0 10 3,0 10

0,03 0,15 0 0,03 0,15

ˆ1,6 10 3,9 10

ˆ6,24 10

F qv B

i j k i j

F

F k

F k N

−

−

−

=

= −

− −

= − −

=

5. Um elétron num campo magnético uniforme tem uma velocidade v = (40 km/s) i +

(35 km/s) j. Ele experimenta uma força F = - (4,2 fN) i + (4,8 fN) j. Sabendo-se que

Bx = 0, calcular as componentes By e Bz do campo magnético. (1fN = 10 – 15 N). R:

By=0 e Bz=0,75T

( )

7 3 3 3 3

7 3 3 3

15 15

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

1,6 10 40 10 35 10 0 40 10 35 10

0 0

ˆˆ ˆ1,6 10 35 10 40 10 40 10

mas o vetor força é dado por:

ˆ ˆ4,2 10 4,8 10

igualando os dois vetores temos:

4

y z y

z z y

F qv B

i j k i j

F

B B B

F B i B j B k

F i j

−

−

− −

=

= −

= − − +

= − +

− ( )15 15 7 3 3 3

19 3

15 19 3

ˆˆ ˆ ˆ ˆ, 2 10 4,8 10 1,6 10 35 10 40 10 40 10

0 1,6 10 40 10 0

4,2 10 1,6 10 35 10 0,75

z z y

y y

Z z

i j B i B j B k

B B

B B T

− − −

−

− −

+ = − − +

= − =

− = − =

6. Um próton que se move num ângulo de 230 em relação a um campo magnético de

intensidade 2,6 mT experimenta uma força magnética de 6,50x10-17 N. Calcular (a)

a velocidade escalar e (b) a energia cinética em elétron - volts do próton. A massa

do próton é 1,67x10-27 kg, 1eV = 1,6x10-19 J.

17 19 3

5

)

6,5 10 1,6 10 2,6 10 23

4 10 /

o

a

F q vBsen v sen

v m s

− − −= =

=

8

( )2

27 5216

16 19

)

1,67 10 4 101,34 10

2 2

1,34 10 1,6 10

835

b

mvK J

K

K eV

−

−

− −

= = =

=

=

7. Campos magnéticos são frequentemente usados para curvar um feixe de elétrons em

experiências físicas. Que campo magnético uniforme, aplicado perpendicularmente

a um feixe de elétrons que se move a 1,3x106 m/s, é necessário para fazer com que

os elétrons percorram uma trajetória circular de raio 0,35 m?

31 6

19

5

9,11 10 1,3 100,35

1,6 10

2,11 10

mvr

qB

B

B T

−

−

−

=

=

=

8. (a) Num campo magnético com B = 0,5 T, qual é o raio da trajetória circular

percorrida por um elétron a 10% da velocidade escalar da luz? (c = 300 000 Km/s).

(b) Qual é a sua energia cinética em elétron - volts?

31 7

19

4

)

9,11 10 3,0 10

1,6 10 0,5

3,42 10

a

mvr

qB

r m

−

−

−

= =

=

( )2

31 7216

16 19

)

9,11 10 3,0 104,1 10

2 2

4,1 10 1,6 10

2562,2

b

mvK J

K

K eV

−

−

− −

= = =

=

=

9. Um elétron com energia cinética de 1,20 keV está circulando num plano

perpendicular a um campo magnético uniforme. O raio da órbita é 25,0 cm. Calcular

(a) a velocidade escalar do elétron, (b) o campo magnético.

9

( )2312

16

7

a)

9,11 101,92 10

2 2

2,1 10 /

vmvK

v m s

−

−

= =

=

31 7

19

4

b)

9,11 10 2,1 100,25

1,6 10

4,78 10

mvr

qB B

B T

−

−

−

= =

=

10. Um feixe de elétrons de energia cinética K emerge de uma “janela” de folha de

alumínio na extgremidade de um acelerador. A uma distância d dessa janela existe

uma placa de metal perpendicular à direção do feixe (figura abaixo). Mostre que é

possível evitar que o feixe atinge a placa aplicando um campo uniforme B tal que:

2 2

2mKB

e d

Onde me e a massa e a carga do elétron.

( ) ( )

2

2

2 22

2 2

a)

r d

2 2

2

2 2

2

mvd mv qBd

qB

mv K KK v m qBd

m m

K Km qBd m qBd

m m

mKB

e d

= =

10

11. O espectrômetro de massa de Bainbridgem, mostrado de forma esquemática na

figura abaixo, separa íons de mesma velocidade e mede a razão q/m desses íons.

Depois de entrar no aparelho através das fendas colimadoras S1 e S2, os íons passam

por um seletor de velocidade composto por um campo elétrico produzido pelas

placas carregadas P e P´ sem serem desviados (ou seja, os que possuem uma

velocidade E/B), entram em uma região onde existe um segundo campo magnético

'B que os faz descrever um semicírculo. Uma placa fotográfica (ou um detector moderno)

registra a posição final dos íons. Mostre que a razão entre a carga e a massa dos íons é

dada por '/ /q m E rBB= , onde r é o raio do semicírculo.

como: E

vB

=

rmv E

rqB mv rqB mqB B

q E

m rBB

= = =

=

12. Um elétron é acelerado a partir do repouso por uma ddp de 350 V. Ele penetra, a

seguir, num campo magnético uniforme de módulo 200 mT com sua velocidade

perpendicular ao campo. Calcular (a) a velocidade escalar do elétron e (b) o raio de

sua trajetória no campo magnético.

22 2

197

31

)

usando o teorema trabalho-energia:

2

2 2 2

2 1,6 10 3501,11 10 /

9,11 10

o

a

mvmv mv qVW qV v

m

v v m s−

−

= − = =

= =

31 7

19 3

4

b)

9,11 10 1,11 10r

1,6 10 200 10

3,16 10

mv

qB

r m

−

− −

−

= =

=

11

Força magnética sobre um condutor retilíneo percorrido por uma corrente elétrica

Se um segmento de fio retilíneo, de comprimento L, percorrido por uma corrente i, for

colocado numa região onde existe um campo magnético uniforme B (como está representado

na figura abaixo), sobre este segmento de fio atuará uma força magnética dada por

F iL B F B i L sen= =

onde:

F → é a força magnética que atua no fio

L→ é o comprimento do segmento do fio, sendo que: L → é um vetor de intensidade L

e está dirigido na mesma direção do segmento do fio no sentido (convencional) da

corrente elétrica.

ϕ → é o ângulo entre o campo magnético B e a corrente i ou o vetor L .

Direção da força magnética

A direção (e sentido) da força magnética é a do produto vetorial L x B . Então, a força

magnética é sempre perpendicular ao plano definido pelos vetores L x B , e o sentido de F

pode ser dado pela regra da mão direita ou da mão esquerda.

Torque em uma espira percorrida por corrente elétrica.

O princípio de funcionamento dos motores elétricos é baseado no torque produzido por

forças magnéticas. Na figura abaixo temos a representação de uma espira percorrida por uma

corrente elétrica, imersa em um campo magnético. As forças magnéticas produzem um torque

na espira que tende a fazê-la girar em torno de um eixo central.

12

Uma bobina na presença de um campo magnético uniforme experimente um torque dado

por:

B = ,

onde é o momento magnético dado por: NiA = , onde N é o número de espiras e A é a

área da espira (Ver a demonstração desta expressão no livro texto). Usando a definição de

produto vetorial, temos:

Bsen

NiABsen

=

=

E X E R C Í C I O S

13. Um condutor reto e horizontal de comprimento L = 0,5m , e massa m = 2,0 .10- 2

kg , percorrido por uma corrente elétrica de intensidade i = 8,0 A , encontra-se em

equilíbrio sob ação exclusiva do campo da gravidade e de um campo magnético

uniforme B , conforme mostra a figura abaixo. Determine a intensidade do vetor B

. B

222,0 10 9,8

4,9 108 0,5

MagF P iLBsen mg

B B T

−−

= =

= =

14. Um fio de 50 cm de comprimento, situado ao longo do eixo x, é percorrido por uma

corrente de 0,50 A, no sentido positivo dos x. O fio está imerso num campo

13

magnético dado por B = (0,003 T) j + (0,01 T) k. Determine a força magnética sobre

o fio.

( )

( )

3 3

3 3

ˆ0,5

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0,5 0,5 0 0 0,5 0

0 0,003 0,01 0 0,003

ˆ ˆ0,5 1,5 10 5 10

ˆˆ2,5 10 7,5 10

L im F iL B

i j k i j

F

F k j

F j k N

− −

− −

= =

=

= −

= − +

15. Um fio reto de 1,8 m de comprimento transporta uma corrente de 13 A e faz um

ângulo de 35 o com um campo magnético uniforme B = 1,5 T . Calcular o valor da

força magnética sobre o fio .

13 1,8 1,5 35

20,13

oF iLBsen sen

F N

= =

=

16. Um fio com 13,0 g de massa e L = 62,0 cm de comprimento está suspenso por um

par de contatos flexíveis na presença de um campo magnético uniforme de módulo

0,440 T entrando pelo plano da folha (veja figura abaixo). Determine o valor

absoluto.

313 10 9,80, 47

0,62 0, 44

MagF P iLBsen mg

mgi i A

LB

−

= =

= = =

17. Considere a possibilidade de um novo projeto para um trem elétrico. O motor é

acionado pela força devido ao componente vertical do campo magnético da Terra

14

sobre um eixo de condução. Uma corrente passa debaixo de um dos trilhos, através

de uma roda condutora, do eixo, da outra roda condutora e, então, volta à fonte pelo

outro trilho. (a) Que corrente é necessário para fornecer uma força modesta de 10

kN? Suponha que o componente vertical do campo magnético da Terra seja igual a

10 μT e que o comprimento do eixo seja 3 m. (b) Quanta potência será dissipada

para cada ohm de resistência nos trilhos?

6

8

)

10103 3,0 15 10 90

3,33 10

o

a

F iLBsen i sen

i A

−= =

=

( )2

2 8

17

)

1,0 3,33 10

1,11 10

b

P Ri

P W

−= =

=

Campo magnético gerado por corrente elétrica

Na figura abaixo temos a representação desta regra da mão direita e das linhas de campo

magnético gerado por um fio reto percorrido por uma corrente elétrica i.

Lei de Biot – Savart

O campo magnético criado por um condutor transportando uma corrente elétrica pode

ser encontrado pela lei de Biot – Savart. Para determinarmos o campo magnético gerado por

um fio de forma arbitrária podemos dividir mentalmente o fio em elementos infinitesimais ds e

definir para cada elemento um vetor comprimento ds de módulo ds e sentido da corrente em

ds. Se definirmos um elemento de corrente i ds , a lei de Biot – Savart assegura que a

contribuição dB do campo magnético, devido ao elemento de corrente i ds , num ponto P , a

uma distância r do elemento de corrente, é dado por:

15

0

34

i dd

r

=

s rB

Podemos calcular o campo resultante B no ponto P somando, por meio de integração,

as contribuições dB de todos os elementos de corrente.

Na expressão acima, o é uma constante chamada de permeabilidade do vácuo, cujo valor

é: o =4 x10-7T.m/A.

Campo Magnético no centro de uma espira circular

Podemos usar a lei de Biot - Savart para demonstrar a expressão usada para o cálculo do

campo magnético no centro de uma espira circular de raio r, percorrida por uma corrente i.

Partindo da Lei de Biot-Savart, temos:

3 3 2

2

2

2 2

0

90

4 4 4

int :

4

24 4

2

o

o o o

o

r

o o

o

ids r idsrsen idsdB dB

r r r

egrando

idsdB

r

i iB ds r

r r

iB

r

= = =

=

= =

=

16

LEI DE AMPÈRE

Podemos determinar o campo magnético resultante devido a qualquer distribuição de

correntes com a lei de Biot-Savart, mas se a distribuição for complicada, podemos ter que usar

um computador para o cálculo.

A lei de Ampére pode ser enunciada da seguinte maneira: A integral de linha do campo

magnético B em torno de qualquer trajetória fechada é igual a 0 vezes a corrente líquida

que atravessa a área limitada pela trajetória. Ou seja, para uma curva amperiana (curva

fechada), temos que:

0.d i= B s

A integral de linha nesta equação é calculada ao redor da curva amperiana, e i é a

corrente líquida englobada pela curva amperiana.

Campo magnético devido a uma corrente em um fio reto e longo

Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar a expressão usada para o cálculo do

campo magnético gerado por uma corrente i, a uma distância r de um fio reto e longo.

Usando a lei de Ampère

.

cos0

2

o

o

o

o o

B ds i

Bds i

B ds i B r i

=

=

= =

17

Com isso temos que o módulo do campo magnético em um fio retilíneo longo é dado por:

2

oiBr

=

Campo magnético devido a uma corrente em um fio reto e longo

Vamos usar a lei de Ampère para estudar o campo magnético no interior de um fio longo

retilíneo percorrido por corrente elétrica distribuída uniformemente na seção reta do fio.

int

.

2

2

erior

o o

o o

o o

B ds i

B r i

iB

r

=

=

=

.

Como a corrente está uniformemente distribuída na seção reta do fio, a densidade de corrente

tem o mesmo valor para a área no interior da curva amperiana e em toda a área do fio:

2 2

2

2

o oo

o

o

i ii iJ J

A A R r

iri

R

= =

=

Substituindo, temos:

2

2

2

.2 2

2

o o

o

i irB

r r R

irB

R

= =

=

Observe que no interior do fio o campo magnético é proporcional a r; o campo é nulo centro

do fio e máximo na superfície, onde r = R.

18

E X E R C Í C I O S

18. Topógrafo está usando uma bússola a 6m abaixo de uma linha de transmissão na

qual existe uma corrente constante de 100 A. Qual é o valor do campo magnético

no local da bússola em virtude da linha de transmissão

7

6

4 10 100

2 2 6

3,33 10

oiBd

B T

−

−

= =

=

19. Um fio retilíneo longo transporta uma corrente de 50 A horizontalmente para a

direita. Um elétron está se movendo a uma velocidade de 1,0 × 10 7 m/s ao passar a

5 cm deste fio. Que força atuará sobre o elétron se a sua velocidade estiver orientada

verticalmente para cima?

7

2

4

4 10 50

2 2 5 10

2,0 10

oiBd

B T

−

−

−

= =

=

19 7 4

16

1,6 10 1,0 10 2,0 10 90

3,2 10

o

F qv B

F q vBsen sen

F N

− −

−

=

= =

=

Esta força deve ser na horizontal e para a direita.

20. Na figura abaixo estão representados dois fios retos e longos, percorridos pelas

correntes elétricas i1 e i2. Considerando o meio, o vácuo, determine o módulo, a

direção e o sentido do campo magnético resultante no ponto P.

i1 = 3A i2 = 4A

P

2 cm 4 cm

19

751

1 2

1

752

2 2

2

5 5

1 2

5

4 10 3,03,0 10

2 2 2,0 10

4 10 4,02,0 10

2 2 4,0 10

3,0 10 2,0 10

1,0 10

o

o

R

R

iB T

d

iB T

d

B B B

B T

−−

−

−−

−

− −

−

= = =

= = =

= − = −

=

Este campo perpendicular ao plano da folha e entrando

22. Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, de raios R1 = 6,0 cm e R2 = 24,0 cm

são percorridas por correntes elétricas i1 e i2 respectivamente. Determine a relação entre i1 e

i2, sabendo-se que o campo magnético resultante no centro das espiras é nulo.

1 2 1 21 2

1 2 1 2

1 22 1

2 2

46,0 24,0

o oi i i iB B

R R R R

i ii i

= = =

= =

23. A figura abaixo mostra uma seção reta de um condutor cilíndrico oco de raios a e b que

induz uma corrente i uniformemente distribuída. (a) mostre que, no intervalo b < r < a, o

módulo B(r) do campo elétrico a uma distância r do eixo central do condutor é dado por

( )

2 2

2 22

oi r bB

ra b

−=

−. (b) mostre que, para r = a, a equação do item (a) fornece o módulo

B do campo magnético na superfície do condutor; para r = b, o campo magnético é zero;

para b= 0, a equação fornece o módulo do campo magnético no interior de um condutor

cilíndrico maciço de rio a. (c) faça um gráfico de B(r), no intervalo 0< r <6 cm, para a = 2,0

cm , b = 2,0 cm e i = 100 A.

20

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

)

2

2

2

o env o env

o env

envenv

env

o

a

B ds i B r i

iB

r

i i r bi i

r b a b a b

r bi i

a b

i r bB

r a b

= =

=

−= =

− − −

−=

−

−=

−

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

)

2 2

2

2 2

0

00

2 2 0

2 2

o o

o

o o

o o

o o

b

i ir b a br a B B

r a b r a b

iB

r

i ir b b br b B B

r a b r a b

B

i ir b rb B B

r a b r a

ir irB B

ra a

− −= = =

− −

=

− −= = =

− −

=

− −= = =

− −

= =2

Campo magnético de um solenóide

Denomina-se por solenoide um fio condutor enrolado em uma helicoidal com voltas de

espaçamento muito próximo. Se uma corrente percorre o solenoide ela induz campos

magnéticos em seu entorno.

21

O vetor campo magnético (ou indução magnética) B em qualquer ponto no interior de um

solenoide ideal é o mesmo, ou seja, ele é uniforme. Este campo magnético tem as seguintes

características:

- O vetor B , no interior do solenoide é paralelo ao seu eixo central.

- O sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita.

- O campo magnético no solenoide é equivalente ao campo criado por imãs, com polos Norte e

Sul.

- O campo magnético no interior do solenoide é uniforme e diretamente proporcional à

intensidade da corrente nas espiras e ao número de espiras por unidade de comprimento do

solenoide.

0B in=

onde:

n → é o número de espiras por unidade de comprimento.

Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar e expressão do campo magnético no

interior de um solenoide.

22

0 0 0 0

.

. . . .

o env

b c d a

o env

a b c d

B ds B B ds

B ds i

B ds B ds B ds B ds i

= → ⊥ = → = = → ⊥

=

+ + + =

.

b

o env

a

o env

o

o

B ds i

Bh i

Bh inh

B in

=

=

=

=

EXERCÍCIOS

24. Duas bobinas (solenoides 1 e 2), cada uma com 100 espiras e cujos comprimentos

são L1 = 20cm e L2 = 40cm, são ligadas em série aos polos de uma bateria. Sabendo-

se que B1 = 6,0 . 10- 3 T, qual é o valor de B2?

73

1

1

7

2

2

3

2

4 10 1006,0 10 9,55

0,2

4 10 9,55 100

0,4

3,0 10

o

o

iN iB i A

L

iNB

L

B T

−−

−

−

= = =

= =

=

Campo Magnético de um Toróide

O toróide pode ser considerado como um solenóide que foi encurvado em forma de

um círculo, assumindo a forma da câmara de ar de um pneu.

23

O módulo do campo magnético B criado em seus pontos interiores (dentro do tubo

em forma de pneu) é dado por 0

2

iNB

r

= .

Onde:

i → é a corrente nos enrolamentos do toróide

N → é o número total de voltas

r → é a distância do ponto até o centro do toróide

Força magnética entre dois fios retos e paralelos percorridos por correntes elétricas

Dois fios longos e paralelos, percorridos por correntes elétricas, exercem forças um sobre

o outro. Considere dois fios percorridos pelas correntes ia e ib, separados por uma distância d.

A força que o fio percorrido por ia exerce sobre o comprimento L do outro é dado por

b b aF i LB=

O campo magnético criado por este fio, a uma distância d (posição do outro fio), é igual a:

2

o aa

iB

d

=

Substituindo esta equação na equação da força temos que,

24

2

2

o ab b a b

o a b

iF i LB i L

d

Li iF

d

= =

=

Representando as forças que atuam em cada fio, quando as correntes forem de sentidos opostos

ou de mesmo sentido, podemos verificar que: Quando as correntes forem no mesmo sentindo

os fios irão se atrair. Caso as correntes tenham sentidos opostos os fios irão se repelir.

Exercícios

25. Módulo do campo magnético a 88,0 cm do eixo de um fio retilíneo longo é 7,3 T .

Calcule o valor da corrente que passa no fio.

76 4 10

7,3 102 2 0,88

32,12

oi iB

d

i A

−−

= =

=

26. Um fio retilíneo longo transportando uma corrente de 100 A é colocado num campo

magnético externo uniforme de 5,0 mT como está representado na figura abaixo. Localize

os pontos onde o campo magnético resultante é zero.

73

3

4 10 1005,0 10

2 2

4,0 10

oext

iB B B

d d

d m

−−

−

= = =

=

27. Dois fios longos e paralelos estão separados uma distância de 8,0 cm. Que correntes de

mesma intensidade devem passar pelos fios para que o campo magnético a meia distância

entre eles tenha módulo igual a 300 μT?

Bi

25

6 1 21 2

1 2

7 76

7 7

300 102 2

4 10 4 10300 10

2 4 10 2 4 10

30

o oR

i iB B B

d d

i i

i A

−

− −−

− −

= + = +

= +

=

28. Dois fios, retilíneos e longos, separados por 0,75 cm estão perpendiculares ao plano da

página, como mostra a figura 2. O fio 1 transporta uma corrente de 6,5 A para dentro da

página. Qual deve ser a corrente (intensidade e sentido) no fio 2 para que o campo magnético

resultante no ponto P seja zero.

1 2 1 21 2

1 2 1 2

22

2 2

6,54,33

0,75 1,5 1,5

o oi i i iB B

d d d d

ii A

= = =

= =+

29. Dois fios longos e paralelos, separados por uma distância d, transportam correntes i e 3i

no mesmo sentido. Localize o ponto ou os pontos em que seus campos magnéticos se

cancelam.

1 21 2

1 2

3

2 2

34

o oi i i iB B

d d x d x

dx d x x

= = =

−

= − =

26

30. Na figura abaixo, um fio é formado por uma semicircunferência de raio R = 9,26 cm e

dois segmentos retilíneos (radiais) de comprimento L = 13,12 cm cada um. A corrente no fio

é i = 34,8 mA. Determine 9ª) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel)

do campo magnético no centro de curvatura C da semicircunferência.

( )

( )

( )

3

1 1 1

3 3 3

2 2 2 22 23 3

2 2

2 2 2 22 3 3

2 2

2 22 23 2 2

20 0

2

2

4

0 0 0

0 180 0

4 4

90

4 4

4 4 4

4

o

o

o

o o

o

o o

R R

o o o

o

R

ds rdB i

r

ds r dB

ds r dB

ds r ds r sendB i dB i

r r

ds r sen ds rdB i i

r r

ds rB i i ds i R

r R R

iB

R

B B

=

= = =

= = =

= =

= =

= = =

=

=

7 3

2

2

4 10 34,8 10

4 9,26 10

1,18 10 para dentro da folhaRB T

− −

−

−

=

=

31. Na figura abaixo dois arcos de circunferência têm raios R2 = 7,80 cm e R1 = 3,15 cm,

submetem um ângulo θ = 180o, conduzem uma corrente i = 0,281 A e têm o mesmo centro

de curvatura C. determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel)

do campo magnético no ponto C

27

1

1

1 2

1 22

2

7

2 2

1 1 2

6

4

4 4

4

1 1 4 10 0, 281 1 1

4 4 3,15 10 7,8 10

1,67 10 para dentro da folha

o

o oR

o

oR

R

iB

R i iB B B

i R RB

R

iB

R R R

B T

−

− −

−

=

= − = −

=

= − = −

=

32. Na figura abaixo um fio retilíneo longo conduz uma corrente i1 = 30,0 A e uma espira

retangular conduz uma corrente i2 = 20,0 A. suponha que a = 1,00 cm e b = 8,00 cm e L =

30,0 cm. Em ermos dos vetores unitários, qual é a força a que está submetida a espira?

741

1 2

1

4 3

1 2 1

751

2 2

2

5 4

2 2 2

3 4

1 2

4 10 306 10

2 2 1,0 10

90 20 0,3 6,0 10 3,6 10

4 10 306,67 10

2 2 9,0 10

90 20 0,3 6,67 10 4,0 10

ˆ ˆ3,6 10 4,0 10

o

o

o

o

R

iB T

d

F i LB sen N

iB T

d

F i LB sen N

F F F j j

−−

−

− −

−−

−

− −

− −

= = =

= = =

= = =

= = =

= − = −

( )3 ˆ3,2 10RF j N−=

28

FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA

Fluxo do campo magnético

Para entender o Fenômeno da Indução eletromagnética é necessário introduzir o

conceito de fluxo de campo magnético. Semelhante ao conceito de fluxo do campo elétrico

(estudado na lei de Gauss), o fluxo do campo magnético está relacionado ao número de linhas

de campo magnético que atravessam determinada superfície.

Na Figura abaixo está representada uma espira retangular envolvendo uma área A,

colocada em uma região onde existe um campo magnético B . O fluxo magnético através desta

espira é

.B d = B A

Como no estudo do fluxo do campo elétrico, o vetor dA é perpendicular a uma área

diferencial dA .

A unidade de fluxo magnético, no SI é o tesla-metro quadrado, que é chamado e weber

(abreviado por Wb)

1 weber = 1wb = 1T.m2

Para o caso particular onde o campo B tem o mesmo módulo por toda uma superfície

de área A e que o ângulo seja constante, temos que:

cosB B A =

onde:

B - é o fluxo magnético através da superfície de área A

- é o ângulo entre dA (normal à superfície) e B (campo magnético uniforme)

dAB

29

Lei de Faraday da Indução Eletromagnética

Quando ocorrer uma variação do fluxo magnético através de uma espira condutora,

aparece nesta espira uma força eletromotriz induzida. A intensidade desta fem é igual à taxa de

variação do fluxo magnético através dessa espira.

Bd

dt

− =

Para uma taxa de variação constante no fluxo ( constante), temos que: B

t

= −

Se variarmos o fluxo magnético através de uma bobina de N voltas, enroladas de forma

compacta de modo que o mesmo fluxo magnético B atravesse todas as voltas, a fem total

induzida na bobina é:

BNd

dt

= −

Apresentamos a seguir algumas maneiras, por meio das quais podemos variar o fluxo

magnético que atravessa uma bobina.

1. Variando a intensidade B do campo magnético no interior da bobina.

2. Variando a área da bobina, ou a porção dessa área que esteja dentro de uma região onde

existe campo magnético (por exemplo, deslocando a bobina para dentro ou para fora do

campo).

3. Variando o ângulo entre B e dA (por exemplo, girando a bobina de modo que o campo

B esteja primeiramente perpendicular ao plano da bobina e depois esteja paralelo a esse

plano).

EXERCÍCIOS

33. Uma antena circular de televisão para UHF (frequência ultra-elevada) tem um

diâmetro de 11 cm. O campo magnético de um sinal de TV é normal ao plano da

antena e, num dado instante, seu módulo está variando na taxa de 0,16 T/s. O campo

é uniforme. Qual é a fem na antena?

30

( )

2

22

3

0,16 /

5,5 10 0,16

1,5 10

B

dBT s

dt

d dBA dB dBA R

dt dt dt dt

V

−

−

=

= = = =

=

=

34. O fluxo magnético através da espira mostrada na figura abaixo cresce com o tempo

de acordo com a relação

26,0 7,0 ,B t t = +

onde B é dado em miliwebers e t em segundos. Qual é o módulo da fem induzida

na espira quando t = 2,0s?

( )

( )

( ) ( )( )

26 712 7

12 7

2 12 2 7

31

Bd t td

tdt dt

t mV

t s mV

mV

+= = = +

= +

= = +

=

35. A figura abaixo mostra uma barra condutora de comprimento L sendo puxada ao

longo de trilhos condutores horizontais, sem atrito, com uma velocidade constante v

. Um campo magnético vertical e uniforme B , preenche a região onde a barra se

31

Fig.08

move. Suponha que L = 10 cm, v = 5,0 m/s e B = 1,2 T (a) Qual é a fem induzida na

barra? (b) Qual é a corrente na espira condutora? Considere que a resistência da barra

seja 0,40 e que a resistência dos trilhos seja desprezível. (c) Com que taxa a energia

térmica está sendo gerada na barra? (d) Que força um agente externo deve exercer

sobre a barra para manter seu movimento? (e) Com que taxa este agente externo

realiza trabalho sobre a barra? Compare esta resposta com a do item (c). R: a) 0,6V;

b) 1,5ª; c) 0,9W; d) 0,18N; e) 0,9W

)

0,1 1,2 5 0,6

a

LBv V = = =

)

0,61,5

0,4

b

Ri i i A = = =

( )

22

)

0,4 1,5 0,9

c

P Ri P W= = =

)

como a velocidade da barra é constante,

a forçca resultante sobre a barra deve ser nula:

90 1,2 1,5 0,1 0,18mag

d

F F iLBsen F N= = = =

)

0,18 5 0,9

e

P Fv P W= = =

36. Uma barra metálica está se movendo com velocidade constante ao longo de dois

trilhos metálicos paralelos, ligados por tira metálica numa das extremidades, como

mostra a figura do exercício 55. Um campo magnético B= 0,350T aponta para fora

da página. (a) Sabendo-se que os trilhos estão separados em 25,0 cm e a velocidade

escalar da barra é 55,0 cm/s, que fem é gerada? (b) sabendo-se que a resistência

32

elétrica da barra vale 18,0 e que a resistência dos trilhos é desprezível, qual é a

corrente na barra?

2

)

0,25 0,35 0,55 4,8 10

a

LBv V = = =

23

)

4,8 102,67 10

18

b

Ri i i A −= = =

LEI DE LENZ

O sinal negativo na lei de Faraday indica que a força eletromotriz se opõe à variação do

fluxo magnético. Este sinal é frequentemente omitido, pois geralmente esta lei é usada para se

obter o módulo da força eletromotriz induzida. Para determinar o sentido da corrente induzida

podemos usar uma regra proposta por Heinrich Friedrich Lenz, a qual é conhecida como lei de

Lenz. A lei de Lenz pode ser enunciada da seguinte maneira:

A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo magnético

produzido por esta corrente se opõe à variação do fluxo magnético através da espira.

INDUTORES

Assim como os capacitores podem ser usados para produzir um campo elétrico numa

determinada região os indutores podem ser usados para produzir um campo magnético. O tipo

mais simples de indutor é um solenoide longo.

Um indutor pode ser representado pelo símbolo da figura abaixo.

Indutância

Quando uma corrente i percorre as N espiras de um indutor (por exemplo, um

solenóide), um fluxo magnético é produzido, pela corrente elétrica, no interior do indutor. A

indutância L do indutor é dada por:

NL

i

=

33

Unidade de indutância no SI .

1 T m2 / A = 1 henry (H)

Indutância de solenóide

A indutância L por unidade de comprimento l, na região central, de um solenóide longo,

de seção transversal de área A e com n espiras por unidade de comprimento, é dada por (ver

demonstração no livro texto):

2

01

Ln A=

Observações:

Para um solenóide de comprimento muito maior do que o seu raio, a equação acima

fornece a sua indutância com uma boa aproximação.

Assim como a capacitância de um capacitor a indutância de um indutor depende apenas

das características (forma geométrica) deste dispositivo.

Auto indução

Quando houver uma variação do fluxo magnético em um circuito, mesmo uma variação

do fluxo magnético produzido pela corrente fluindo no próprio circuito, será induzido uma força

eletromotriz no circuito. As forças eletromotrizes geradas por correntes do próprio circuito são

chamadas de força eletromotriz auto-induzidas. Então uma fem auto-induzida L aparece numa

bobina quando a corrente nesta bobina estiver variando.

Aplicando a lei da indução de Faraday podemos encontrar a relação entre está fem auto-

induzida e a taxa de variação da corrente elétrica.

NL N iL

i

= =

( )L

d N

dt

−=

( )L

diL

dt = −

34

onde: ( )di

dt é a taxa de variação da corrente elétrica com o tempo .

Observação: O sentido da fem auto-induzida pode ser encontrado usando a lei de Lenz. Esta

fem atua num sentido tal que ela se opõe à variação do fluxo magnético que a produz.

EXERCÍCIOS

37. A indutância de uma bobina compacta de 400 espiras vale 8,0 mH. Calcule o fluxo

magnético através da bobina quando a corrente é de 5,0 mA.

38. Num dado instante, a corrente e a fem induzida num indutor têm os sentidos

indicados na Fig.01. (a) A corrente está crescendo ou decrescendo? (b) A fem vale

17 V e a taxa de variação da corrente é 25 kA/s; qual é o valor da indutância?

39. Um solenóide cilíndrico longo com 100 espiras/cm tem um raio de 1,6 cm.

Suponha que o campo magnético que ele produz seja paralelo ao eixo do solenóide e

uniforme em seu interior. (a) Qual é a sua indutância por metro de comprimento? (b)

Se a corrente variar a um taxa de 13 A/s, qual será a fem induzida por metro?

i

E

35

Correntes alternadas

A maioria das casas são providas de fiação elétrica que conduz corrente alternada (ca) , isto é,

corrente cujo valor varia senoidalmente com o tempo. Uma bobina de fio, rodando com

velocidade angular constante, em um campo magnético, pode dar origem a uma fem alternada

senoidalmente. Este dispositivo simples é o protótipo do gerador de corrente alternada

comercial, ou alternador.

Consideraremos agora alguns circuitos ligados a uma fonte de corrente alternada que

mantém entre seus terminais uma ddp alternada senoidal, dada por:

v Vsen t=

onde: v → é a ddp instantânea

V → é a ddp máxima ou amplitude de voltagem

→ é a freqüência angular.

Observação:

As letras minúsculas, como a letra v, representam valores instantâneos de grandezas

variáveis no tempo e as letras maiúsculas, como V, representam as amplitudes correspondentes.

O símbolo de uma fonte de corrente alternada é:

Potência em circuitos de corrente alternada

Em um circuito RLC em série, a potência média (Pmed) do gerador é igual à taxa de

produção de energia térmica no resistor, e é dada por:

2 cosmed rms rms rmsP I R I = =E

36

Na equação acima as grandezas com o índice rms, se refere ao valor médio quadrático

ou valor eficaz destas grandezas. Os valores eficazes e os valores máximos de cada grandeza

estão relacionados por:

1,

2 2 2

mrms rms rms

VI V e= = =

EE

O termo cos é chamado de fator de potência do circuito, para maximizar a taxa com

que se fornece a uma carga resistiva em um circuito RLC, devemos manter a constante de fase

o mais próximo possível de zero. Para uma resistência pura, 0 = , cos 1 = e med rms rmsP I=E

. Para um capacitor ou indutor, 90º = , cos 0 = e 0medP = .

Observação:

Os instrumentos de medição de corrente alternada, como por exemplo, o amperímetro e

voltímetro, normalmente são calibrados para mostrarem os valores eficazes Irms , Vrms , rmsE e

não os seus valores máximos.

EXERCÍCIOS

40. Que corrente contínua produzirá a mesma quantidade de energia térmica, em um

resistor particular, que é produzida por uma corrente alternada que possui um valor

máximo de 2,60 A?

41. Qual o valor máximo de uma tensão de CA cujo valor eficaz é igual a 100V?

42. Um aparelho de ar condicionado ligado a uma linha de CA de 120V, valor eficaz,

equivale a uma resistência de 12,0Ω e a uma reatância indutiva de 1,30Ω em série.

37

(a) Calcule a impedância do ar condicionado.(b) Determine a taxa média com que se

fornece energia ao aparelho.

TRANSFORMADORES

Por razões de eficiência, é desejável transmitir potência elétrica a altas voltagens e

baixas correntes, para diminuir as perdas por aquecimento na linha de transmissão. Uma das

características mais úteis dos circuitos de correntes alternadas é a facilidade e a eficiência com

a qual voltagens (e correntes) podem ser mudadas de um valor para outro, por meio de

transformadores.

Para um transformador suposto ideal (são desprezadas as perdas de energia) a relação

entre a voltagem no primário VP e no secundário VS é dada por:

P P

S S

V N

V N=

38

Onde, NP e NS, são, respectivamente, o número de voltas na bobina primária e

secundária.

Se NS > NP, dizemos que o transformador é um transformador elevador porque ele eleva

a tensão do primário VP para uma tensão mais alta VS. Analogamente, se NS < NP, o dispositivo

é um transformador abaixador.

Para obtermos a relação entre as correntes na bobina primária e secundária de um

transformador ideal, podemos aplicar o princípio da conservação de energia. A taxa com que o

gerador transfere energia para o primário é igual à taxa com que o primário transfere então

energia para o secundário, ou seja: ISVS=IPVP.

EXERCÍCIOS

43. Um gerador fornece 100V à bobina primária de um transformador de 50 voltas. Se a

bobina secundária tiver 500 voltas, qual será a tensão no secundário?

44. Um transformador possui 500 voltas no primário e 10 voltas no secundário. (a)

Se VP for igual a 120V(eficaz), qual será Vs, com um circuito aberto? (b) Se o

secundário tiver agora uma carga resistiva de 15Ω, quais serão as correntes no

primário e no secundário?

39

BIBLIOGRAFIA

1. D. Halliday , R. Resnick e J. Walker . Fundamentos de Física . Vol. 3 , LTC – Livros

Técnicos e Científicos Editora S. A . Rio De janeiro , 2003 .

2. F. Sears , M. W. Zemansky e H. D. Young . Física .Vol. 3 , LTC – Livros Técnicos e

Científicos Editora S. A . Rio De janeiro , 1984.