física básica - lapolli.pro.br. linearização de curvas (anamorfose) ... sentido, no próximo...
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Física Básica
Experimental
André Luis Lapolli João Batista Garcia Canelle
José Roberto Marinho
Física Básica
Experimental
André Luis Lapolli João Batista Garcia Canelle
José Roberto Marinho
i
APRESENTAÇÃO
ii
SUMÁRIO Lista de Figuras ............................................................................................................................ iii Lista de Tabelas............................................................................................................................ iv Parte I ..................................................................................................................................... 1 Bases Teóricas ............................................................................................................................... 1 1. Análise Dimensional.............................................................................................................. 2 1.1. Introdução ............................................................................................................................. 2 1.1.1. Medida de uma grandeza física ............................................................................... 2 1.1.2. Símbolo dimensional de uma grandeza................................................................... 2 1.1.2.1. Grandezas fundamentais .......................................................................................... 3 1.1.2.2. Algumas grandezas derivadas ................................................................................. 4 1.2. Análise de homogeneidade de equações físicas................................................................... 5 1.3. Previsão de Equações Físicas ............................................................................................... 6 1.4. Sistemas de Unidades............................................................................................................ 8 1. Avaliação Experimental de um Fenômeno Físico ............................................................ 11 1.1. Estimativa de uma grandeza .............................................................................................. 11 1.2. Análise .................................................................................................................................. 11 1.2.1. Algarismos significativos ........................................................................................ 11 1.2.2. Operações com algarismos significativos .............................................................. 12 1.2.3. Critérios de Arredondamento................................................................................ 13 1.2.4. Determinação do Valor Mais Provável (VMP) de uma Grandeza ..................... 13 1.2.4.1. Única medida ........................................................................................................... 13 1.2.4.2. Conjunto de medidas .............................................................................................. 14 1.2.4.3. Propagação dos erros (incertezas) ......................................................................... 15 1.2.5. Erros cometidos na realização de medidas ........................................................... 19 1.2.5.1. Erros Grosseiros...................................................................................................... 20 1.2.5.2. Erros Sistemáticos................................................................................................... 20 1.2.5.3. Erros Estatísticos..................................................................................................... 22 2. Tabelas e Gráficos ............................................................................................................... 23 2.1. Confecção de Tabelas ......................................................................................................... 23 2.2. Confecção de Gráficos ........................................................................................................ 23 2.3. Obtenção da equação a partir do gráfico.......................................................................... 26 3. Linearização de Curvas (Anamorfose) ............................................................................. 28 4. Regressão Linear................................................................................................................. 38 5. Uso do EXCEL. ................................................................................................................... 42 6. Referências Bibliográficas .................................................................................................. 49
iii
Lista de Figuras Figura 1: Variação da massa em função do volume de um líquido medido em uma proveta e balança analítica. ____ 26 Figura 2: Representação gráfica de uma reta e seus respectivos coeficientes linear (b) e angular (a)_____________ 27 Figura 3: Comportamento de uma curva que satisfaz a relação y=K x2.____________________________________ 28 Figura 4: Comportamento de uma curva que satisfaz a relação y=K x3.____________________________________ 28 Figura 5: Comportamento de uma curva que satisfaz a relação y=K x1/2 ou xKy = . ______________________ 29 Figura 6: Gráfico da função quadrática. ____________________________________________________________ 29 Figura 7: Gráfico linear da função quadrática considerando-se x´=x2. ____________________________________ 30 Figura 8: Gráfico da função log(y) = log (2)+2 log(x) em papel milimetrado._______________________________ 31 Figura 9: Gráfico da função y=.2 x2. _______________________________________________________________ 32 Figura 10: Gráfico da função exponencial do tipo y=A ekx ______________________________________________ 33 Figura 11: Gráfico da função exponencial y=3e-1/2x ___________________________________________________ 33 Figura 12: Gráfico da função exponencial y’=3e-1/2x___________________________________________________ 34 Figura 13: Gráfico da função exponencial y’=3e-1/2x___________________________________________________ 35 Figura 14: Definição dos coeficientes linear a angular da reta obtida da equação exponencial _________________ 36 Figura 15: Definição dos coeficientes linear a angular da reta obtida da equação exponencial na escala logarítmica.37 Figura 16: Simulação de uma reta satisfazendo a função y= 2x+3 onde os pontos foram gerados por função gaussiana com média zero e desvio padrão 1._________________________________________________________________ 38 Figura 17: Determinação da reta definida pelo método dos mínimos quadrados.. ____________________________ 41 Figura 18: Valores de x e y digitados no EXCEL para obtenção do gráfico e cálculo da regressão linear._________ 42 Figura 19: Marcação da área de trabalho no EXCEL. _________________________________________________ 43 Figura 20: Acesso ao menu de definição de bordas. ___________________________________________________ 43 Figura 21: Detalhamento para definição de bordas brancas. ____________________________________________ 44 Figura 22: Passos para determinação da inclinação da reta. ____________________________________________ 44 Figura 23: Definição da região para o calculo do coeficiente angular. ____________________________________ 45 Figura 24: Demonstração da função de cálculo e o valor do coeficiente angular da reta. ______________________ 45 Figura 25: Resultados já calculados do coeficiente linear e de r2. ________________________________________ 45 Figura 26: Determinação do gráfico a partir dos dados tabelados. _______________________________________ 46 Figura 27: Representação dos pontos plotados no gráfico na planilha eletrônica.____________________________ 46 Figura 28: Procedimento para determinação da reta média e dos coeficientes a partir da linha de tendência no EXCEL.______________________________________________________________________________________ 47 Figura 29: Sub-menu para detalhamento de parâmetros de interesse. _____________________________________ 47 Figura 30: Tabela, gráfico e parâmetros calculados tanto pelas funções da tabela como pelos comandos a partir da definição da linha de tendência.___________________________________________________________________ 48
iv
Lista de Tabelas
Tabela 1: Unidades de Mecânica no Sistema Internacional de Unidades (SI) _______________________________ 10 Tabela 2: Múltiplos e submúltiplos das unidades de grandezas___________________________________________ 10 Tabela 3: Variação da massa em função do volume de um líquido medido em uma proveta e balança analítica. ____ 24 Tabela 4: Variação da posição como função do tempo de um corpo em queda livre. __________________________ 24 Tabela 5: Atividade de uma amostra radioativa em função do tempo. _____________________________________ 24 Tabela 6: Valores que representam as variáveis independentes e dependentes nas figuras 6 e 7. ________________ 31 Tabela 7: Valores que representam as variáveis independentes e dependentes nas figuras 11, 12 e 13. ___________ 34 Tabela 8: Dados experimentais (simulado) para exemplo de cálculos dos coeficientes da reta __________________ 40
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Parte I
Bases Teóricas
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1. Análise Dimensional
1.1. Introdução Análise dimensional é o procedimento realizado para verificação de homogeneidade
e/ou previsão de relação entre grandezas impondo esta homogeneidade em equações físicas. Entende-se como homogeneidade, a identidade (igualdade) entre as unidades relacionadas entre o primeiro e segundo membro de uma equação. Neste sentido análise dimensional é de grande valia, pois permite, através de sua aplicação, resolver problemas cujas soluções não são encontradas pelos processos usuais de cálculo.
Entre os casos citados acima e outros problemas a serem resolvidos, pode-se citar outros:
• Mudanças de sistemas de unidade;
• Análise de comportamento de protótipos, examinando-se o comportamento de modelos geometricamente semelhantes ao original
A análise dimensional é desenvolvida através de estabelecimento de conceitos de dimensão de uma grandeza. Para que este conceito possa ser emitido em condições de ser entendido, vários outros devem ser anteriormente assimilados.
A seguir será estabelecida condições necessárias para se conceituar dimensão de uma grandeza. A partir daí, serão analisados a homogeneidade dimensional das equações físicas.
1.1.1. Medida de uma grandeza física Uma grandeza física é resultado de uma medida e depende basicamente de uma
intensidade V(G) (representada por um valor) e a unidade (U(G)) correspondente à mesma. Pode-se descreve-la da seguinte forma:
G = V(G). U(G)
De outra forma, duas grandezas podem-se relacionar dando origem a uma nova grandeza. Supondo-se que uma grandeza G3=G1/G2, o resultado desta relação será.
G1=V(G1). U(G1) e G2=V(G2).U(G2)
)()(
)()(
2
1
2
1
2
1
GUGU
GVGV
GG
•=
Neste sentido, a unidade da grandeza derivada das duas primeiras grandezas nada mais é do que a relação entre as unidades das grandezas de origem (Unidades Fundamentais).
1.1.2. Símbolo dimensional de uma grandeza Uma grandeza física G pode ser expressa em função de várias unidades. Neste sentido,
se G é a representação de uma grandeza, sua medida poderá ser m(G) ou m´(G) conforme as unidades escolhidas U(G) e U´(G) respectivamente.
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Desta forma pode-se escrever:
G = m (G) . U (G)
G = m`(G) . U´(G)
Fazendo-se a razão entre ambas, teremos:
)()´(
)´()(
GUGU
GmGm
=
Portanto, a relação entre os números que exprimem a medida de uma mesma grandeza física é igual ao inverso da relação existente entre as medidas representativas das unidades.
Aos coeficientes )()´(
)´()(
GUGU
GmGm
= dá-se o nome de símbolo dimensional representado por
(G).
1.1.2.1.Grandezas fundamentais
Todas as grandezas físicas estão relacionadas com base em três grandezas fundamentais que são representadas genericamente como se segue:
• Comprimento - L
• Massa - M
• Tempo – T
Desta forma se G for a grandeza massa representada pela letra m, então em uma dada equação se representa a letra m. Se quisermos substituir esta letra m pela dimensão genérica apresentamos:
[m] – indica dimensão de m. Desta forma podemos substituir [m] por M, mara se estabelecer a dimensão genérica de uma equação.
Vejamos um caso bem conhecido em física: velocidade é igual a espaço dividido pelo tempo. A equação que representa a grandeza velocidade é:
tsv =
Conhecemos as unidades de espaço e de tempo:
[s] = L
[t] = T
Conforme verificamos no caso da massa, sem se estabelecer um sistema de unidades específico.
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Conforme já foi afirmado, a velocidade é uma grandeza derivada das três grandezas fundamentais. Neste sentido podemos definir genericamente a unidade de velocidade em termos das unidades fundamentais:
[ ] [ ][ ]
101 −− ==== LTMLTTL
tsv
Observe: a partir das unidades fundamentais, definimos a unidade de velocidade genericamente. Na equação original não há dependência da velocidade com a massa, neste sentido, lança-se mão dos conhecimentos de exponenciação para se estabelecer rigorosamente a grandeza velocidade em função da unidades fundamentais.
Portando, todas as unidades devem estar no numerador, sendo representadas com os seus devidos expoentes.
1.1.2.2.Algumas grandezas derivadas
Para se verificar homogeneidade ou mesmo realizar-se previsão de equações é necessário o conhecimento de algumas grandezas baseadas nas grandezas fundamentais. Neste sentido, no próximo exercícios serão transmitidos os conceitos para que o aluno possa estabelecer as unidades das grandezas propostas:
Exercícios: Em relação às grandezas fundamentais, defina as dimensões das seguintes grandezas:
a) Aceleração - a
b) Força - f
c) Trabalho – w
d) Área – A
e) Pressão – p
f) Volume – vol
g) Densidade- d
h) Energia potencial – U
i) Potência - P
Conceitos:
a) Aceleração = razão entre velocidade e tempo (velocidade dividida pelo tempo)
b) Força = massa vezes aceleração
c) Trabalho = força vezes distância
d) Área = lado ao quadrado
e) Pressão = Força sobre área
f) Volume = Lado ao cubo
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g) Densidade = massa sobre volume
h) Energia potencial = massa vezes aceleração gravitacional vezes altura
i) Potência – trabalho dividido pelo tempo
1.2. Análise de homogeneidade de equações físicas Considerando-se uma equação física qualquer. A homogeneidade existe quando as
dimensões do primeiro membro da equação são iguais as do segundo membro. Portanto, uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente homogênea (Princípio da Homogeneidade. É evidente que esta condição é necessária mas não suficiente, pois uma equação pode ser dimensionalmente homogênea e não verdadeira.
Para exemplificar vamos analisar a expressão referente ao trabalho das forças não conservativas:
“O trabalho das forças não conservativas é igual à variação da energia cinética”.
Matematicamente:
w’=ΔEc
onde:
w = F.d
ΔEc=1/2m(v2-v02)
Analisando-se as dimensões da equação:
Primeiro membro:
[w’] = [F][d] = (MLT-2)(L) = ML2T-2
Segundo membro:
[ΔEc] = [m]([v]2-[v0]2) Obs: a dimensão entre a diferença das velocidades ao quadrado é igual a dimensão de velocidade ao quadrado.
[ΔEc] = M(LT-1)2 = ML2T-2
Portanto, conforme pode ser observado, a dimensão entre ambos os membros da equação são homogêneas.
Exercícios:
1. Verifique se a equação abaixo é homogênea.
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F = K.π.η.r.v
Onde: F – força; r – raio; v – velocidade; η – viscosidade = pressão x tempo; K e π - são constantes adimensionais.
2. Verificar se a seguinte fórmula é dimensional homogênea:
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4CD
BAπ
=
Onde A é a força; B é a potência; C é a velocidade angular e D á a massa específica superficial ([D] = ML-2)
1.3. Previsão de Equações Físicas
Usualmente se deseja determinar a dependência entre as grandezas que interferem num fenômeno físico. A análise dimensional permite estabelecer essa relação através do Teorema de Buckinghan: “Se em um fenômeno físico tomam parte n grandezas que podem ser expressas em função de r grandezas fundamentais, então existem n-r números puros que são expressos como produto de potenciadas das r grandezas”. A diferença n-r define a quantidade de números puros na equação que rege o fenômeno.
A análise dimensional na esclarece quais as grandezas que interferem no fenômeno e sim o modo pelo qual essas grandezas se relacionam na equação que rege o fenômeno. Ela é, também, incapaz de determinar o valor numérico das constantes em jogo, determinação esta reservada à experiência.
Ilustrando a aplicação do teorema:
Exemplo:
Determinar a expressão que dá a distância percorrida s por um corpo caindo livremente, a partir do repouso, sob a ação da gravidade g e do tempo de queda t.
Solução:
n = 3 (s, g e t são a grandezas que tomam parte do fenômeno físico)
r = 2 (g e t são as grandezas fundamentais)
n – r = 1 (S é a grandeza dependente que pode ser expressa como produto de potências das r grandezas fundamentais)
logo: s=K gatb
As dimensões de s, g e t são:
[s] = L
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[g] = LT-2
[t] = T
Substituindo as dimensões na equação acima temos:
L = (LT-2)aTb
L= LaT-2aTb
Aplicando a propriedade de potência temos:
L=LaT(-2a+b)
L1= LaT(-2a+b)
Considerando-se a homogeneidade da equação, para o primeiro membro ser igual ao segundo membro, os expoentes referentes as mesmas bases devem ser iguais, e, portanto:
L1T0= LaT(-2a+b)
Desta forma:
1=a
0=-2a+b
Como a=1. deduz-se da segunda equação:
b=2
Portanto, a expressão de queda livre fica:
s= K g t2
Onde K é a constante adimensional, determinada experimentalmente. Veremos mais tarde que K=1/2.
Exercícios:
1. A velocidade escalar mínima necessária para que um corpo lançado de um dos pólos da terra não volte para esta, parece depender da constante de gravitação universal G, da massa m e
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do raio do planeta ao qual é relativa. Determine uma relação entre essas grandezas, verificando quais realmente influem na velocidade.
[G]= M-1L3T-2
2. O período T de um pêndulo simples parece depender do comprimento pendular, da massa suspensa e da aceleração gravitacional g local. Determine uma relação entre essas grandezas verificando quais realmente influem no período.
3. A potência P de uma hélice de avião depende da densidade d do ar, da velocidade angular w e do raio r da hélice. Determinar a equação que define a potência em função das grandezas as quais dependem. Resp: P=K r5w3d
4. A força resistiva F a um disco que se move no ar dependente da área A, velocidade V do disco e da densidade d do ar. Determine a equação que define essa dependência. Resp: F=KAdV2
5. Determinar a equação que permite calcular a vazão Q de um líquido ideal que escoa por um orifício, sabendo-se que a mesma é função da densidade d do líquido, do diâmetro D do orifício e da diferença de pressão P. Dado [Q]=L3T-1. Resp: Q=K D2(P/d)1/2
6. Determine a equação que permite calcular a potência P de uma bomba de água se a mesma é função do peso específico Pe do fluido (peso/volume) da vazão Q e da altura manométrica H. Resp: P=K Pe Q H
1.4. Sistemas de Unidades Sendo a física uma ciência essencialmente experimental, sua função fundamental é a
realização de medidas. Para se realizar medidas necessita-se utilizar-se equipamentos adequados que permitem a determinação das grandezas físicas em questão. Além disso, é preciso que a unidade destas grandezas seja normalizadas para possibilitar facilitar um intercambio entre os experimentos realizados por diferentes laboratórios.
Entre os diversos sistemas de unidades que podem ser utilizados: MKS, CGS, a maioria dos países adotaram o Sistema Internacional de Unidades (SI). Daí a necessidade de definir-se um padrão para as grandezas fundamentais. Tal padrão deve ser reprodutível e imutável ao longo dos anos. Desta forma, as definições das unidades básicas do Sistema Internacional vêm evoluindo no decorrer dos anos. Quando o sistema foi estabelecido em 1791 pela Academia de Ciências da França, o metro (unidade de comprimento) era definido como um décimo de milionésimo da distância entre o Pólo Norte e o Equador. O segundo (unidade de tempo) era definido como o intervalo de tempo necessário para que um pêndulo de um metro de comprimento oscilasse de um lado para o outro. Essas definições eram embaraçosas e difíceis de se reproduzir com exatidão e, mediante um consenso internacional, elas foram substituidas por definições adequadas.
TEMPO De 1899 até 1967, a unidade de tempo era definida como certa fração do dia solar
médio, a média de intervalos de tempo entre sucessivas observações do Sol em seu ponto mais elevado o céu. O padrão atual, adotado em 1967, muito mais preciso, é baseado em um relógio atômico:
“O segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.”
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COMPRIMENTO Em 1960, um padrão atômico para o metro também foi estabelecido, usando-se o
comprimento de onda da luza vermelho-laranja emitida pelo átomo de criptônio (86Kr) em um tubo de descarga luminescente. Em novembro de 1983 o padrão de comprimento foi novamente alterado de modo mais radical.
“O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo.”
MASSA O protótipo internacional do quilograma foi sancionado pela 1ª.CGPM de massa (1889)
ao declarar que “este protótipo será considerado doravante como (QUILOGRAMA) unidade de massa”
“O quilograma é a unidade de massa (e não de peso, nem força); ele é igual à massa do
protótipo internacional do quilograma.”
Este protótipo internacional em platina iridiada é conservado no Bureau Internacional, nas condições que foram fixadas pela 1ª.CGPM em 1889.
As tabelas 1 e 2 abaixo representam as principais unidades de das grandezas em
mecânica e os múltiplos e submúltiplos da unidades.
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Tabela 1: Unidades de Mecânica no Sistema Internacional de Unidades (SI)
Grandeza Unidade Abreviação
Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Força newton N
Energia joule J Potência watt W Pressão pascal Pa
Freqüência hertz Hz
Tabela 2: Múltiplos e submúltiplos das unidades de grandezas
Prefixo Fator de multiplicação Símbolo SI
tera 1012 T
giga 109 G
mega 106 M
quilo 103 k
hecto 102 h
deca 101 da
deci 10-1 d
centi 10-2 c
mili 10-3 m
micro 10-6 μ
nano 10-9 n
pico 10-12 p
femto 10-15 f
aatto 10-18 a
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1. Avaliação Experimental de um Fenômeno Físico
1.1. Estimativa de uma grandeza Estimar é prever o valor médio de uma grandeza baseado em algumas premissas. Desta
forma, quando não se possui a definição de uma teoria para se descrever o fenômeno, pode-se fazer estimativas dos resultados propondo, pelo menos, a ordem de grandeza de determinada medida. A ordem de grandeza constitui-se determinação em potências de 10. Um exemplo pode ser as dimensões: Célula (ordem de Micrometros=(10-6)m), molécula (ordem de Angstrons=10-10m), núcleo atômico (ordem de 10-14m), a altura das pessoas (da ordem de m).
Um exemplo de estimativa é a relação entre a idade de um feto e o tamanho da caixa craniana (distância entre as temporas) obtida através do exame de ultra-som. Outra coisa, mais de senso comum é estimar o tempo de viagem entre duas cidades sabendo-se à distância e a velocidade média do veículo. Em resumo, não é necessário realizar-se cálculos complexos para se estimar qualquer grandeza.
1.2. Análise A análise de dados de um determinado fenômeno constitui-se na avaliação de seu valor
com base em métodos matemáticos conhecidos (estatística). Quando se realiza medida nunca se obtém um valor real, pois seja qual for o agente que
a realiza, sempre haverá uma forma mais precisa de realiza-la. Neste sentido, qualquer medida carregará consigo sempre uma incerteza e portanto o que se obtém experimentalmente de uma dada grandeza é o Valor Mais Provável (VMP).
O VMP de uma grandeza X é representado da seguinte forma:
VMPX=X±dX Onde: X - valor provável (em uma distribuição estatística é a média) dX - incerteza (que pode estar associada ao instrumento de medida ou à
distribuição estatística: desvio médio ou desvio padrão). Antes de aprofundar este assunto, vamos fundamentar a realização de uma medida. Qualquer medida está fundamentada da seguinte forma:
• Escolha da unidade (múltiplos e submúltiplos) • Escolha do instrumento (precisão)
As medidas podem ser feitas de forma direta ou indireta e a representação numérica depende do instrumento de medida utilizado.
Neste sentido, a medida do comprimento de um objeto (medido em centímetros com uma régua cuja menor divisão é o milímetro) é dada por exemplo: 6,68 cm.
Se a régua fosse dividida em centímetros o comprimento seria: 6,7 cm. Observe que há diferença entre o número de algarismo entre as duas medidas realizadas.
1.2.1. Algarismos significativos Vamos primeiro analisar ambas as réguas:
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Na régua com divisão em centímetros, temos certeza que a media está entre 6 e 7 cm. O
‘último algarismo, o 7(de 6,7) foi avaliado. Já na régua dividida em milímetros, temos certeza que a medida está entre 6,6 e 6,7. O último algarismo, o 8 (de 6,68) foi avaliado. Estes algarismos são chamados de algarismo duvidoso.
Régua centimetrada Régua melimetrada 6,7
6,68
Algarismo duvidoso
Dizemos que o valor obtido da régua dividida em centímetros possui dois algarismos
significativos: Um lido com certeza e um duvidoso. No caso da régua medida em milímetros, mais precisa, o valor medido possui três
algarismos significativos: Dois lidos com certeza e um duvidoso. Desta forma, em instrumentos de medida semelhantes à régua (instrumentos analógicos)
sempre o último algarismo observado será duvidoso, pois o mesmo é obtido a partir da análise entre duas subdivisões do próprio aparelho de medida.
Em instrumentos digitais, e o paquímetro (instrumento para medida de comprimentos internos, externos e profundidade), não se avalia o último algarismo. Nestes casos o fabricante indica a tolerância, absoluta ou percentual que deverá ser considerada na medida realizada.
1.2.2. Operações com algarismos significativos Nem sempre são utilizados instrumentos de mesma precisão para realização de medida
das diversas grandezas e portanto, os valores destas grandezas possuíram o número de algarismos significativos diferentes. Tecnicamente, não tem sentido realizar operações nestas condições. Para que isto possa ser feito, é necessário seguir algumas regras dispostas a seguir, evitando que se cometa erros na apresentação dos resultados:
a) soma ou subtração: Mantém-se o número de casas decimais iguais ao número de casas decimais dos fatores mais pobres:
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Exemplo: 32,67+ 32,67 21,3 21,3 107,94 - Neste caso, o último algarismo, o 4 não tem significado, pois os fatores com uma casa decimal não possuem a mesma precisão dos que possuem duas casas decimais. Neste caso, deve-se respeitar o numero de casas decimais dos fatores mais pobres.
b) Multiplicação ou divisão: seja p o número de algarismos significativos do fator mais pobre.o
resultado deverá possuir p ou p+1 algarismos significativos.
Exemplo: 32,67 x 21,3 = 695,871 - os dois últimos algarismos não possuem nenhum significado de acordo com a regra. Se o número de algarismos significativos do fator mais pobre é 3, a resposta deve vir com 4 algarismos significativos. Aproximando-se, o resultado deste produto é 695,9. Vamos ver os critérios de arredondamento no próximo item.
1.2.3. Critérios de Arredondamento Há diversas regras para se arredondar ou apresentar o resultado de determinada grandeza
física coerentemente. Em nosso caso utilizaremos os seguintes critérios: Vamos consideras que necessitamos apresentar um resultado com o número de
algarismos significativos conforme as regras já descritas. Após uma dada operação obtém-se o resultado com maior número de casas que o que realmente deve ser. Observa-se o próximo algarismo que não possui significado para o seu resultado:
a) sendo menor do que 5: Apenas trunca-se o valor a partir daquele ponto. b) Sendo maior ou igual a 5: Soma-se 1 ao próximo algarismo mais significativo e trunca-se
naquele ponto. Exemplo: Observe o resultado do item anterior.
• A multiplicação deu 695,871 • Deve-se truncar as casas a partir do algarismo 7. • 7 é maior do que 5. • Soma-se 1 ao algarismo 8 e trunca-se a partir de 7. • Resultado: 695,9. E se o resultado fosse 695,829? • Deve-se truncar as casas a partir do algarismo 2. • 2 é menor do que 5. • Apenas trunca-se o valor a partir de 2. • Resultado: 695,8
1.2.4. Determinação do Valor Mais Provável (VMP) de uma Grandeza A determinação do VMP de uma grandeza depende de uma série de fatores entre os
quais se a medida é feita apenas uma vez ou diversas vezes, caracterizando-se uma distribuição estatística. Aqui apresentaremos a apresentação do VMP por estas duas formas:
1.2.4.1.Única medida A incerteza corresponde à metade da menor divisão do instrumento de medida.
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Exemplo: Suponhamos que estamos medindo o comprimento de um material com uma régua milímetrada: sua menor divisão é 0,1 cm e conseqüentemente a sua metade é 0,05 cm: Se o comprimento foi de 32,67 portanto:
VMPx= (32,67±0,05) cm
Certamente 0,05 é o maior erro que o agente que está realizando a medida pode cometer. Esta é uma representação explicita da grandeza.
1.2.4.2.Conjunto de medidas Para um conjunto de medidas, a incerteza dx (de Mx±dx) pode ser obtidas através de
dois critérios: desvio médio e desvio padrão. O valor provável, Mx (média), é determinado a partir da média aritmética de todas as medidas relevante realizadas. Vamos apresentar abaixo o processo de obtenção da média, desvios absolutos, desvio médio, valor mais provável, desvio padrão e desvio relativo.
Média de um conjunto de medidas da mesma grandeza:
A equação que determina a média (Mx) de n medidas de uma grandeza é dada por:
nxxx
n
xM n
n
ii
x+++
==∑
= ......211
onde: xi - é o valor de cada medida realizada; n - número total de medidas. Desvio Absoluto: di
O desvio absoluto de cada medida é obtido pela seguinte expressão:
di=xi-Mxonde: di - é o desvio absoluto da i-ésima medida; xi - é o valor correspondente a i-ésima medida. Desvio Médio: ( d )
O desvio médio é obtido a partir das seguintes expressões.
∑=
=n
i
i
nd
d1
Desvio Padrão de uma amostra: (s) O desvio padrão de uma distribuição estatística é dado por:
11
2
−=
∑=
n
ds
n
ii
Valor mais provável de uma série de medidas: (VMPx) O valor mais provável de uma série de medidas é dado pela seguinte expressão:
VMPx=Mx± d
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Valor mais provável de distribuição estatística: (VMPx)
Já para uma distribuição estatística: VMPx=Mx±s
Desvio relativo: (dr)
O desvio relativo é uma das formas de se analisar se as diversas medidas realizadas são coerentes. Além disto, ele é utilizado para realização de propagação dos erros na obtenção dos valores mais prováveis de grandezas que se baseiam em grandezas iniciais. Portanto:
Mxddr = ou
Mxsdr =
é possível também calcular-se o desvio relativo percentual: dr%=dr x 100 Exemplo: Ao se realizar uma série de medidas da massa de um corpo, foram obtidos os seguintes valore: m(g): 2,35; 2,38; 2,32; 2,31; 2,33. Determinar: a. média b. desvios absolutos c. desvio médio d. desvio padrão e. desvio relativo f. desvio relativo percentual g. valor mais provável da massa Resposta:
a. gx
M ii
x 34,2569,11
533,231,232,238,235,2
5
5
1 ==++++
==∑
=
b. di=xi-Mx. Respectivamente à ordem de apresentação acima os desvios absolutos são: 0,01; 0,04; -0,02; -0,03; -0,01. A soma dos desvios absolutos são: -0,01.
c. gd
di
i 02,0022,0511,0
501,003,002,004,001,0
5
5
1
===++++
== ∑=
d. gd
s ii
03,00278.04
0001,00009,00004,00016,00001,015
5
1
2
==++++
=−
=∑
=
e. 310.54,834,202,0 −===
Mxddr ou 210.28,1
34,203,0 −===
Mxsdr
f. considerando-se respectivamente os desvios relativos utilizando-se o desvio médio e o desvio padrão: dr%= 0,8 %; dr%=1,28 %
g. utilizando-se apenas o desvio médio:VMPm=(2,34±0,02)g
1.2.4.3.Propagação dos erros (incertezas) Quando se realizam operações com VMP’s as incertezas se propagam, e portanto o
resultado de uma operação também carrega um “erro” maior do que os “erros” dos fatores desta
16
operação. Desta forma, é necessário se conhecer como esta propagação ocorre. Verificaremos o processo para soma, subtração, multiplicação, divisão e fórmula: Soma ou Subtração:
Considerando-se o VMP de duas grandezas quaisquer:
VMPx=Mx ± dx e VMPy=My ± dy O VMP da soma ou subtração é dado por: VMPs=S ± ds Onde: S = Mx+My para a soma e S = Mx-My para a subtração O problema está em definir a incerteza da soma ou subtração. Para ambos os casos, a
incerteza ds é dada pela soma das incertezas de cada um dos componentes da soma ou subtração. De outra forma:
ds=dx+dy
Neste sentido podemos escrever os VMP’s para soma ou subtração ficam: VMPs= (Mx+My) ± (dx+dy) para a soma e VMPs= (Mx-My) ± (dx+dy) para a soma
Exemplo: Faça a soma e subtração para os VMP’s:
VMPx=23,24 ± 0,05 cm VMPy=11,28 ± 0,05 cm
Considerando-se as regras acima: Para soma: VMPs=(23,24+11,28) ±(0,05+0,05) = (34,52±0,10) cm Para subtração: VMPs=(23,24-11,28) ±(0,05+0,05) = (11,96±0,10) cm
Já para o caso da multiplicação, divisão, exponenciação e fórmulas em geral, a propagação das incertezas é feita com base nos desvios relativos: Multiplicação: VMPp=P ± dp Onde: P=Mx.My
dp é calculado com base no desvio relativo: Pdpdrp =
17
o desvio relativo de cada um dos fatores é dado: x
x Mdxdr = e
Mydydry =
Desta forma, o desvio relativo do produto é a soma dos desvios relativos de cada um dos fatores que compõem o produto:
yxp M
dyMdx
Pdpdr +==
Trabalhando a equação:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
yxyx
yx Mdy
MdxMM
Mdy
MdxPdp ..
Finalmente podemos escrever que VMP do produto é:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+±=
yxyxyx M
dyMdxMMMMP ...
Divisão: VMPQ=Q ± dq
A idéia é a mesma que para o produto: y
x
MM
Q =
O desvio relativo: QdQdrQ =
Seguindo-se os passos realizados para o caso do produto temos finalmente:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+±=
yxy
x
y
x
Mdy
Mdx
MM
MM
Q .
Potência (exponenciação): VMPE=(VMPx)n onde n é um número inteiro positivo. Considerando-se que a potência é uma sucessão de produtos do mesmo valor: VMPE=e±de Onde: e=Mx.Mx.Mx.......=Mx
n
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
x
nx
x
MdxnMde
Mxdxnede
Mxdxn
Mxdx
Mxdx
Mdx
ede
.
............
Neste sentido o VMP da potência fica:
18
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±=
x
nx
nxE M
dxnMMVMP
Raiz: A raiz pode ser vista como um exponencial n
xn
xR VMPVMPVMP /1== Desta forma:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±=
x
nx
nxR M
dxn
MMVMP 1
Constante: Um valor constante não possui incerteza e portanto:
0==cdcdrc
Neste caso, o valor mais provável da constante é a própria constante: VMP3=3 Propagação de erros em fórmulas:
No caso das fórmulas encontramos as diversas situações apresentadas acima. Neste caso tratamos cada um do VMP conforme definido acima.
Vejamos o exemplo de uma grandeza G dado por:
yVMPVMPxG
2)(π=
neste caso devemos obter o VMPG=g±dg
onde: y
x
MM
g2π
=
o desvio relativo da grandeza G é igual, de acordo com que já observamos, a soma dos desvios relativos de cada uma das grandezas envolvidas na fórmula.
yx Mdy
Mdxd
gdg
++= 2ππ
Lembrando que π é uma constante e que a grandeza Mx está elevada ao quadrado. Substituindo-se a expressão de g obtemos a incerteza propagada dg:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
yxy
x
Mdy
Mdx
MM
dg 22π
Desta forma o valor mais provável de G fica:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+±=
yxy
x
y
xG M
dyMdx
MM
MM
VMP 222 ππ
19
Exemplificando: Mx=3,25±0,13 My=2,32±0,12 π=3,1416 Calculando-se
13,030,1432,212,0
25,313,02
32,225,3.1416,3
32,225,3.1416,3 22
±=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+±=
G
G
VMP
VMP
Exercícios: 1. Numa experiência de queda livre obtiveram-se com um cronômetro de precisão até centésimos
de segundo, as seguintes leituras: t(s): 2,35; 2,25; 2,28; 2,32; 2,28; 2,31;2,32; 2,27; 2,33; 2,30 Calcular:
a. média b. desvios absolutos c. desvio médio d. desvio padrão e. desvio relativo percentual f. valor mais provável do tempo g. valor mais provável do deslocamento
2.Ao medir o diâmetro de uma peça com paquímetro, foram obtidos os seguintes resultados: d(cm): 8,45; 8,40; 8,35; 8,50; 8,40; 8,45; 8,35; 8,40; 8,35. Determinar:
a) média b) desvios absolutos c) desvio padrão d) desvio relativo percentual e) valor mais provável do diâmetro f) valor mas provável do volume da esfera
3.As massas da esfera do problema anterior medidas com uma balança apresentaram os seguintes resultados: m(g)= 1,2; 1,0; 1,1; 0,9; 1,1; 1,0. Determine
a) média b) desvios absolutos c) desvio padrão d) desvio relativo percentual e) valor mais provável da massa da esfera f) valor mas provável da densidade da esfera.
Obs: utilize o resultado do problema anterior para o cálculo da densidade.
1.2.5. Erros cometidos na realização de medidas O objetivo de realização de uma medida é de se obter o valor real, o que na realidade
nunca acontece, pois qualquer medida que se realiza carrega um determinado ERRO. Por outro lado, é impossível de se atingir o valor real de uma grandeza, já que não é possível conhecê-la. Desta forma, pode-se chegar ao valor mais próximo do verdadeiro (real).
O ERRO é definido como a diferença entre o valor verdadeiro e o valor real:
20
ERRO é a diferença entre o valor medido e o verdadeiro valor da grandeza.
Erro = valor medido - valor real
Neste sentido, a realização de uma série de medidas de uma determinada grandeza sofre flutuações em torno do valor verdadeiro. Estas flutuações são as causas que limitam o objetivo de se atingir o verdadeiro valor da grandeza e são de origem sistemáticas, acidentais ou aleatórias. Fala-se então, em ERROS SISTEMÁTICOS e ERROS ACIDENTAIS ou ALEATÓRIOS.
A precisão ou significado de uma medida depende de três fatores: • método • instrumento de medida • experimentador
Limiar de percepção é a menor variação de uma grandeza susceptível de ser medida e depende dos fatores enumerados anteriormente. Por não ser possível medir frações menores que o limiar de percepção, todas as medidas físicas são aferidas de erros.
1.2.5.1.Erros Grosseiros Erros grosseiros ou enganos não são erros do ponto de vista da teoria dos erros.
Enganos podem ocorrer na leitura de um instrumento ou na realização de cálculos. Por exemplo, se na medida de um comprimento y = 37,4 mm, o observador fez leitura e
anotou y = 32,4 mm, isto constitui um erro grosseiro. Quando existir suspeita de que houve um engano em alguma leitura de instrumento, esta
leitura deve ser simplesmente descartada, isto é, eliminada do conjunto de dados. Enganos podem evidentemente ocorrer na tomada de dados. Mas é inadmissível
apresentar resultados que contenham erros grosseiros. Para evitar erros grosseiros, as regras básicas consistem em repetir medidas e conferir cuidadosamente os cálculos.
1.2.5.2.Erros Sistemáticos
Chamam-se erros sistemáticos as flutuações originárias de falhas de método empregado ou de defeitos do operador. Por exemplo: (a) Calibração errônea de uma régua ou escala de instrumento; (b) Um relógio descalibrado que sempre se adianta ou sempre se atrasa; (c) A influência do potencial de contato numa medida de voltagem; (d) tempo de resposta de um operador que sempre se adianta ou sempre se atrasa nas observações; (e) operador que sempre superestima ou sempre subestima os valores das medidas .
Nas medidas em que o verdadeiro valor é desconhecido, as flutuações de origem sistemática quase sempre passam desapercebidas. Em geral, os erros sistemáticos não são revelados se um operador repete várias vezes a mesma medida, pois tais flutuações independem do operador (é certo que um bom operador é capaz de diminuir bastante os erros sistemáticos).
Por sua natureza, os erros ou flutuações de origem sistemática são de amplitudes regulares e influem na medida sempre num mesmo sentido: ou para mais ou para menos.
b. Erros Sistemáticos Instrumentais Erros sistemáticos são erros que definem um erro tendencioso na determinação da
grandeza. Estes erros podem ser classificados de diversas formas:
21
b1. Erros Sistemáticos Instrumentais
Erro Sistemático Instrumental é um erro que resulta da calibração do instrumento de medida. Além do erro na calibração inicial do instrumento, deve ser observado que a calibração pode se alterar em função de diversos fatores (temperatura, desgaste e outros fatores).
Por exemplo, uma régua comum apresenta erro sistemático que depende da qualidade da régua. Não basta que a régua seja fabricada com calibração muito boa. A régua deve também ser construída com bom material, de forma que a calibração não se altere ao longo do tempo e não dependa de fatores tais como temperatura, força e outros.
Os erros sistemáticos instrumentais podem, em princípio, ser reduzidos ou praticamente eliminados, por meio de recalibração ou nova aferição do instrumento de medida e correção dos resultados. Entretanto, deve ser observado que na prática isto pode ser muito difícil ou custar muito caro, sendo inviável qualquer recalibração ou correção de resultados.
b2. Erros Sistemáticos Teóricos
Erro Teórico é erro que resulta do uso de fórmulas teóricas aproximadas ou uso de valores aproximados para eventuais constantes físicas que sejam utilizadas. Na realização de uma experiência, geralmente é necessário utilizar um modelo para o fenômeno físico em questão. Conforme o modelo adotado, as fórmulas teóricas podem não ser suficientemente exatas e grandezas físicas obtidas por meio destas fórmulas terão erro sistemático. O mesmo vale com relação às constantes físicas utilizadas em cálculos.
Por exemplo, realiza-se uma medida da aceleração da gravidade g por meio de uma experiência de queda livre. Desprezando-se a resistência do ar, a velocidade v em função do tempo t será dada por v = g.t. O valor médio obtido para g terá erro sistemático, pois a equação (ou modelo matemático) acima é aproximada. Se fosse utilizada uma equação levando em conta a resistência do ar, o valor médio obtido para g seria um pouco maior que aquele obtido pela equação acima.
Erros sistemáticos teóricos podem ser reduzidos ou praticamente eliminados utilizando-se modelos matemáticos e valores para as constantes suficientemente precisos para o fenômeno em questão, mas também pode não existir modelos mais adequados que os disponíveis, ou não existam valores mais acurados para os valores das constantes necessários nos cálculos.
Outro exemplo de erro sistemático é o que ocorreu na famosa experiência de Millikan, em 1916, que permitiu determinar a carga do elétron. O valor encontrado por Millikan era 0,6 % menor devido ao fato que ele utilizou um valor um incorreto para a viscosidade do ar em seus cálculos. Este erro sistemático foi corrigido somente 16 anos mais tarde.
b3. Erros Sistemáticos Ambientais Erro sistemático ambiental é um erro devido a efeitos do ambiente sobre a experiência.
Fatores ambientais tais como temperatura, pressão, umidade, aceleração da gravidade, campo magnético terrestre, ondas de rádio, luz e outros podem introduzir erro nos resultados de uma medida.
Por exemplo, numa experiência para medir o campo magnético de um ímã, o instrumento de medida indicará o campo magnético do ímã superposto com o campo magnético da terra. Pode-se dizer que a medida do campo magnético do ímã tem erro sistemático ambiental devido ao campo magnético terrestre.
Erros sistemáticos ambientais também podem, em geral, ser reduzidos ou praticamente eliminados se as condições ambientais forem bem conhecidas e de preferência controladas. No exemplo acima, pode ser importante conhecer o campo magnético terrestre no próprio laboratório, para eliminar o erro corrigindo o resultado final, já que não é possível eliminar ou controlar o campo magnético terrestre. Entretanto, alguns fatores ambientais como temperatura, umidade, luminosidade e outros podem ser controlados, além de serem medidos.
22
b4. Erros Sistemáticos Observacionais
Erro sistemático observacional é um erro sistemático devido a falhas de procedimento do observador.
Erro sistemático mais comum deste tipo é devido ao efeito de paralaxe na leitura de escalas de instrumentos. O erro de paralaxe na leitura de um instrumento analógico é devido ao não alinhamento correto entre o olho do observador, o ponteiro indicador e a escala do instrumento. Podem resultar, por exemplo, leituras sempre sistematicamente maiores que as reais, se o instrumento estiver colocado frontalmente ao observador, mas deslocado à sua direita. Disparar um cronômetro sempre atrasado na medida de um intervalo de tempo é outro exemplo deste tipo de erro.
Erro deste tipo pode ser reduzido seguindo-se cuidadosamente os procedimentos corretos para uso dos instrumentos. Entretanto, mesmo que os procedimentos corretos sejam escrupulosamente seguidos, ainda poderá existir erro sistemático devido às limitações humanas. O tempo típico de reação do ser humano a um estímulo é da ordem de 0,1 segundos. Assim, uma medida de tempo com cronômetro acionado manualmente pode apresentar erro sistemático desta ordem de grandeza. Analogamente, a resolução típica do olho humano normal é da ordem de 0,00014 rad. Isto significa que o olho humano pode distinguir 2 pontos separados de 0,14mm a 1m de distância. Esta resolução é muito melhor que a necessária para realizar leituras muito precisas em escalas de instrumentos e geralmente permite realizar operações de ajustes e alinhamentos com muita precisão.
1.2.5.3.Erros Estatísticos Erros estatísticos resultam de variações aleatórias no valor de uma grandeza, devido a
fatores que não podem ser controlados ou que por qualquer motivo não são controlados. Essas variações podem ser na própria grandeza ou no valor da grandeza que é obtido na medida.
Por exemplo, ao se realizar medidas de massa em uma balança, as correntes de ar ou vibrações (fatores aleatórios) podem introduzir erro estatístico na medida. Mas estes erros podem ser reduzidos ou praticamente eliminados colocando-se a balança em uma mesa a prova de vibrações e protegendo-se a balança em uma caixa de vidro ou mesmo em vácuo quando se desejar precisão muito alta.
Mas, se em certos casos o erro estatístico pode ser reduzido ou praticamente eliminado, em outros casos isto não é possível. Por exemplo, o número de desintegrações radioativas que ocorrem em 1 minuto em uma amostra de material radioativo é uma quantidade que varia aleatoriamente em torno de um valor médio. Este tipo de medida terá um erro estatístico intrínseco que não pode ser eliminado.
A expressão erro praticamente eliminado é empregada neste texto como significando um erro que foi reduzido de tal forma que este erro seja muito menor que os demais erros envolvidos no problema. Na verdade, um erro nunca pode ser eliminado, mas apenas reduzido.
Uma solução para minimizar os efeitos de erros estatísticos consiste em repetir medidas, uma vez que o valor médio de um grande número de medidas tem erro estatístico menor.
Aos erros acidentais ou aleatórios são aplicadas a teoria dos erros ou a estatística aplicada aos erros.
23
2. Tabelas e Gráficos Uma das formas de se investigar o comportamento de um fenômeno possibilitando a
elaboração de leis é a partir da confecção de gráficos para correlacionar as grandezas envolvidas. Naturalmente, um estudo de determinado fenômeno se inicia com a elaboração detalhada
de um experimento. Esta elaboração envolve inicialmente a observação do evento, determinação das grandezas a serem medidas e os instrumentos de medidas a serem utilizados, levando-se em consideração a precisão necessária para a obtenção de resultados, organização dos dados coletados, feitos através de tabelas, a análise estatística destes dados que envolvem elaboração de cálculos, confecção de novas tabelas e gráficos para redução análise e conclusão do experimento.
Para que o estudo seja cientificamente adequado, os resultados devem ser legíveis para permitirem uma análise, por parte de terceiros, detalhada ou genérica.
De maneira geral, os artigos científicos exigem um certo rigor na elaboração das tabelas para que além de se encaixarem na diagramação satisfaçam os requisitos de legibilidade. Além disso há normas internacionais que orientam a confecção de artigos, relatórios, etc.. A ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) é a instituição que orienta estes processos no Brasil.
De qualquer forma, mesmo sem a utilização da norma, o bom senso deve imperar para que um trabalho seja visto e compreendido nas diversas áreas do conhecimento humano.
2.1. Confecção de Tabelas
Dentro de um texto, a tabela é chamada por um número (de acordo com a posição) e no local onde é disponibilizada há o número da tabela e o título que deve retratar o conteúdo da mesma. Deve ser dividida em colunas com linhas de separação ou não, identificação de cada coluna na primeira linha, sendo que se for grandeza física, deverá haver indicação da unidade.
2.2. Confecção de Gráficos
Da mesma forma que a construção da tabela, o gráfico possui o título, posicionado abaixo da figura e no centro horizontal da folha.
Nosso primeiro trabalho será a confecção de gráficos em papel melimetrado. Neste sentido, são necessárias as adoções de algumas regras:
A Tabela 3 refere-se a um experimento para determinação da densidade do leite. Para
tanto o experimentador utilizou uma proveta onde medir o volume de leite e a balança para medir o peso do leite mais a proveta.
I. Determinação dos eixos: A variável independente faz parte do eixo x e a dependente do eixo y: no nosso caso: x - volume y - massa
II. Escolha da escala: Supondo possuir-se um papel de 20 cm x 15 cm e se pretende utilizar o máximo possível da escala: Δx = 15 cm Δv = 245 ml Δy = 20 cm Δm = 373,5 ml calculando-se
24
Tabela 3: Variação da massa em função do volume de um líquido medido em uma proveta e balança analítica.
Medida Volume
(ml)
Massa da proveta com o líquido (g)
1 50 172,5
2 105 237,0
3 148 271,5
4 204 334,0
5 245 373,5
Tabela 4: Variação da posição como função do tempo de um corpo em queda livre.
t(s) s(cm)
0 0
0,1 5
0,2 19
0,3 45
0,4 78
0,5 123
Tabela 5: Atividade de uma amostra radioativa em função do tempo.
t(s) N(desintegração)
0 402
40 274
80 183
120 126
160 88
200 57
240 39
280 28
25
Δv/Δx=245/15=16,3333…ml/cm adota-se: 20 ml/cm Δm/Δy=373,5/20=18,675 g/cm adota-se: 20 g/cm Que são as escalas mais simples (arredondando-se para cima para caber no papel) que envolvem todos os valores tabelados Obs: As escalas não precisam ser iguais.
III. Divisões dos eixos: A colocação dos valores referentes às grandezas nos eixos deve ser feita de forma eqüidistante e, de preferência, valores inteiros. Se os valores forem fracionários, é interessante que se utilize poucas casas decimais e números de fácil leitura (legíveis).
IV. Colocação dos pontos no gráfico: Como o papel é melimetrado, é desnecessário o uso de linhas de chamada a partir dos eixos até o ponto correspondente ao par ordenado. Basta marcar apenas o ponto na posição correspondente. Além disso, não se deve indicar os valores, correspondentes aos pontos, nos eixos do gráfico. Além de ser desnecessário, pois existe a tabela para isto, torna o gráfico muito poluído.
V. Traçado da curva média: Após a colocação dos pontos no gráfico, dá para se observar como as grandezas se correlacionam, há um comportamento na distribuição dos pontos em torno da área do gráfico. Este comportamento pode ser linear ou não. É importante observar que mesmo sendo um comportamento linear, a simples ligação dos pontos podem não apresentar uma reta perfeita, desta forma é necessário que se passe uma reta média passando próxima destes pontos (utilizando-se uma régua). No caso da curva não ser uma reta, pode-se, com auxilio de uma curva francesa ou outro dispositivo que permita o traçado de curvas, traçar a curva média passando próxima dos pontos experimentais.
Há outras formas de se traçar curvas utilizando-se métodos estatísticos de analise e determinação de parâmetros de funções, mas isto não é o escopo deste capítulo.
Exemplo: Na figura 1 é apresentado o exemplo de gráfico referente à Tabela 3. Observe que as adoções das escalas foram diferentes para o caso do papel milimetrado.
As linhas de grade foram colocadas apenas para se dar uma idéia de como é o papel milimetrado.
Exercícios: Seguindo as instruções acima, trace os gráficos, em papel melimetrado, para os dados
correspondentes às Tabelas 4 e 5.
26
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 2600
50
100
150
200
250
300
350
m(g
)
v(ml)
Figura 1: Variação da massa em função do volume de um líquido medido em uma proveta e
balança analítica.
2.3. Obtenção da equação a partir do gráfico Como se pode observar o gráfico da Figura 1, referente à Tabela 3, possui um
comportamento linear, denotando que há uma relação de proporcionalidade entre a variação da massa em função do volume de leite. Além disto, esta relação pode ser expressa pela função de uma reta:
y = a x + b
onde: a é o coeficiente angular da reta (reflete a inclinação) e b o coeficiente linear (valor de y onde a reta cruza quando x=0).
No nosso caso, há duas grandezas físicas: massa e volume. Como já verificado nos cursos de matemática, para se definir o coeficiente angular de
uma reta basta traçar um triângulo retângulo onde os catetos interseccionam a reta (a reta é a hipotenusa), determinando-se a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo horizontal x:
Neste sentido: a=Δy/Δx e é sempre constante. Para a situação física em questão teremos a inclinação dada por:
mlgvmd /052,1
502045,1725,334
=−−
=ΔΔ
=
Observe que a grandeza d é a densidade do leite, que é uma constante, e pode ser
constatada pela análise dimensional das duas grandezas envolvidas no cálculo (massa e volume). Neste sentido podemos montar uma equação para o comportamento da massa em função
do volume do leite na referida proveta (análoga à equação da reta apresentada acima):
m(v)=1,052 v + b
27
x
y
Δy
Δx
xya
ΔΔ
=
b
Figura 2: Representação gráfica de uma reta e seus respectivos coeficientes linear (b) e angular (a)
Existem duas formas de se encontrar o valor do coeficiente linear da referida reta: pelo
gráfico (b quando x=0) ou substituindo um dos valores dos pontos do gráfico na equação (de preferência o que cruza a reta) e obtendo-se a estimativa de b:
Escolhendo-se o ponto v=148 ml e conseqüentemente m(148)=271,5 g na equação temos:
271=1,052.(148)+b portanto
b=115,8 g, que corresponde à massa da proveta.
Neste sentido, a equação que relacionam a massa e o volume do leite é:
m(v)=1,052 v +115,8 Portanto, para este caso especifico temos uma lei que rege a relação entre a massa e o
volume do leite dentro de uma proveta. Desta forma podemos fazer o que chamamos de interpolação e extrapolação utilizando-se o gráfico ou a equação.
Interpolação: É a determinação de um valor não efetivamente medido no experimento que se encontra entre os valores experimentais obtidos. Um exemplo: saber qual é a massa de 110 ml de leite, ou o volume de 275 g de leite. Nos dois casos é considerada a massa da proveta. Para se desconsiderar a massa da proveta é só subtrair o referido valor de sua massa que teremos uma relação direta de massa e volume de leite. Neste caso a equação obtida anteriormente fica:
m(v)=1,052 v
Extrapolação: É a determinação de um valor não efetivamente medido no experimento que se encontra fora do intervalo de medição. No caso da massa e do volume do leite, qualquer valor abaixo de 50 ml e 172,5 g e acima de 245 ml e 373,5 g. Lembrando que a massa da proveta está sendo considerada. Desconsiderando-se a massa da mesma, os valores para extrapolação da massa diminuem.
28
3. Linearização de Curvas (Anamorfose) Nem sempre o comportamento dos fenômenos obedecem uma linearidade, entretanto,
em alguns casos, de acordo com o aspecto apresentado no gráfico, é possível converte-lo em um gráfico linear, ou utilizando-se recursos algébricos ou escalas adequadas, podendo-se realizar interpolação e extrapolação de fenômenos.
O processo de linearização é chamado de Anamorfose. Os comportamentos mais comuns de fenômenos passíveis de linearização, utilizando-se
escalas adequadas são os de potência (que incide na variável independente) ou exponenciais:
Potência: y = K xn
Dependendo do valor de do expoente n poderemos ver os seguintes comportamentos:
y
x
y=Kx2
Figura 3: Comportamento de uma curva que satisfaz a relação y=K x2.
y
xY=Kx3
Figura 4: Comportamento de uma curva que satisfaz a relação y=K x3.
29
y
xy=K x1/2
Figura 5: Comportamento de uma curva que satisfaz a relação y=K x1/2 ou xKy = .
O processo de linearização, neste caso (como discriminado acima) pode ser feito de duas
formas: 1. O gráfico pode ser confeccionado em papel com escala linear (papel milimetrado),
desde que o valor definido na escala horizontal seja elevado ao expoente n: Vejamos um exemplo: y = 2x2
O gráfico normal fica:
0 1 2 3 4 5 6 70
20
40
60
80
100
Y
X
Figura 6: Gráfico da função quadrática. Fazendo-se a substituição de x por x’ onde x’=x2. Observe o gráfico:
30
0 10 20 30 40 500
102030405060708090
100
Y
X'
Figura 7: Gráfico linear da função quadrática considerando-se x´=x2. Temos aqui o gráfico y=2x’ onde x’=x2. Basta determinar o coeficiente angular da reta que se chega ao valor 2 (dois) para o coeficiente angular. 2. O uso de escala logarítmica: Vamos fazer inicialmente uma análise algébrica para
verificação. Partindo da equação y=kxn. Operando-se o logaritmo de ambos os lados da equação (para não alterar as condições de igualdade) teremos: log(y) = log (kxn)
aplicando-se as propriedades dos logaritmos: log(ab)=log(a)+log(b) e log(a2)=2 log(a)
log(y) = log (k)+log(xn) log(y) = log (k)+n log(x) desta forma temos uma equação logarítmica onde se observa a aplicação desta função nas duas variáveis e conseqüentemente havendo uma mudança de variáveis de: y’=log(y) x’=log(x) coeficiente linear b = log(k) e o coeficiente angular fica sendo o expoente de x. Isto significa que se operarmos os logaritmos em ambos os termos da equação obteremos, novamente uma reta. Observe o gráfico abaixo:
31
0,0 0,2 0,4 0,6 0,80,0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
Y'=l
og(Y
)
X'=log(X)
Figura 8: Gráfico da função log(y) = log (2)+2 log(x) em papel milimetrado.
Na tabela 4 foram calculados os logaritmos para cada um dos valores de x e y. O coeficiente linear da reta: y’= n x’ + log k, ou seja, log(k) { 0,3. Neste caso k=100,3 que é aproximadamente 2 (1,995). O cálculo do coeficiente angular é:
2''=
ΔΔ
=xyn
que são os coeficientes esperados da equação.
Tabela 6: Valores que representam as variáveis independentes e dependentes nas figuras 6 e 7.
x y x’=log(x) y’=log(y) 1 2 0,00 0,30 2 8 0,30 0,90 3 18 0,48 1,26 4 32 0,60 1,51 5 50 0,70 1,70 6 72 0.78 1,86 7 98 0,86 2,00
Outra maneira de se obter os resultados a partir do logaritmo é utilizar as escalas logarítmicas sem a necessidade de se converter as variáveis através de calculo e utilizar-se a escala linear. No caso específico para potências pode-se utilizar um papel com as duas escalas logarítmicas (di-log). Desta forma, os valores x e y da tabela 4 podem ser passados direto para o papel di-log, pois o mesmo se encarrega de realizar o cálculo. Observe o gráfico da figura 8.
32
1 11
10
100
1000
0
Y
X
Figura 9: Gráfico da função y=.2 x2.
Observe que o ponto onde x=1 (log (1)=0) o valor correspondente na escala é 2 (dois).
Ou seja, o valor do coeficiente linear da reta (que corresponde ao valor de k na função quadrática) é lido diretamente da escala. O coeficiente angular é obtido da mesma forma que em uma reta no papel milimetrado (traçando o triângulo retângulo e determinando-se a tangente) com a diferença que as leitura não devem ser feitas na escala e sim na régua.
Vejamos:
)_(__)_(__
''
linearescalaréguanaleituralinearescalaréguanaleitura
xyn =
ΔΔ
=
Este procedimento é adequado devido ao fato da escala logarítmica determinar
justamente o valor do logaritmo de um número lido em decímetros na régua. Vamos analisar os detalhes. Verifique as características desta escala. Observe que a
mesma é dividida em décadas (regiões de dez subdivisões), além disso, inicia em um, pois log(1)=0. O procedimento de confecção de um gráfico na escala logarítmica não é o mesmo de
uma escala linear, ou seja, não é possível determinar o tamanho do gráfico como foi definido anteriormente. Desta forma, a escala deve ser definida em múltiplos e submúltiplos de 10.
Observe: Iniciando de 1, as primeiras dez divisões serão de um em um, ou seja: 1, 2,.., ,10 e
continuando nas subseqüentes: 20, 30, 40,...., 100 (de dez em dez até 100) e na seqüência: 200, 300,...,1000 (de 100 em 100 até 1000).
É possível iniciar de 0,1 ou 0,01, desde que cada mudança de década multiplica-se por 10. Outro exemplo: 0,01; 0,02; 0,03;....0,09;0,1; 0,2; 0,3, ...., 0,9; 1; 2; 3;....9, 10.... e assim por diante.
Desta forma, nesta escala é possível determinar-se o logaritmo de um número utilizando-se uma régua comum (linear): Coloca-se o 0 (zero) da régua na origem da escala logarítmica (ou seja 1) e lê-se em decímetros o valor correspondente ao logaritmo que se quer determinar na escala.
Exemplo: coloque os valores na escala do papel di-log (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ....) de acordo com as divisões principais. Calcule o de 21 na
33
calculadora. Faça o mesmo colocando-se o 0 da régua no um da escala e leia em decímetros (na régua) o valor correspondente à 21 na escala logarítmica.
Exponencial: y=A ekx
Este tipo de função gera curvas características como apresentado da figura 10.
0 1 2 3 40
50
100
150
200y
y=A ekx
Figura 10: Gráfico da função exponencial do tipo y=A ekx
Semelhantemente ao caso da potência há duas formas possíveis para linearização: 1. Confeccionando-se o gráfico em papel milimetrado desde que se considere o
expoente da escala não linear: Vejamos um exemplo: y=3e-1/2x. O gráfico normal desta função fica
2 4 6 8 10
0,0
0,4
0,8
1,2
1,6
Y
X
Figura 11: Gráfico da função exponencial y=3e-1/2x
34
A linearização do gráfico pode ser realizada fazendo-se uma mudança da variável y por y’=ln(y) ou y’=log(y). Vamos considerar a mudança y’=log(y). No gráfico da figura 12 pode-se verificar o comportamento linear. Na figura 13 é apresentado o gráfico com a escala logarítmica na variável y correspondente à tabela 7. A diferença entre ambos é que no gráfico da figura 13 quem calcula o logaritmo é o próprio eixo, a exemplo do observado no gráfico di-log da figura 9.
Tabela 7: Valores que representam as variáveis independentes e dependentes nas figuras 11, 12 e 13.
x y y'=log(y) 0 3,00 0,48 1 1,82 0,26 2 1,10 0,04 3 0,67 -0,17 4 0,41 -0,39 5 0,25 -0,61 6 0,15 -0,83 7 0,09 -1,04 8 0,05 -1,26 9 0,03 -1,48 10 0,02 -1,69
0 2 4 6 8 10-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
Y´
X
Figura 12: Gráfico da função exponencial y’=3e-1/2x
35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10,0
100,0
1000,0
Y' x
10-3
X
Figura 13: Gráfico da função exponencial y’=3e-1/2x
Definindo-se os coeficientes A e k da equação y=A ekx: Em analogia ao caso da potência podemos aplicar o cálculo do logaritmo em ambos os
lados da equação: log(y)=log(Aekx) Aplicando-se a propriedade do logaritmo log(a.b) = log(a) + log(b) log(y)=log(A) + log(ekx) Aplicando-se a propriedade: log(ab) = b log(a) log(y)=log(A)+k.x loge Sabendo-se que loge=0,4343 a equação fica: log(y)=log(A)+0.4343.k x Fazendo-se a analogia com a função da reta y=ax+b temos: y´=log(y) b=log(A) – coeficiente linear a = 0,4343.k – coeficiente angular da reta
Resolução com base na primeira e terceira coluna da tabela 7 e o gráfico da figura 12 considerando-se o desconhecimento dos coeficientes A e k.
Escolhendo dois pontos para definir-se o coeficiente angular da reta
36
0 2 4 6 8 10-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
Y´
X
Figura 14: Definição dos coeficientes linear a angular da reta obtida da equação exponencial
215,0
4343.0*)37()17.0()04,1('´'
−=−=−
−−−=
−
−=
ΔΔ
=if
if
xxyy
xyk
Que corresponde ao valor esperado para k na equação. Observando-se a reta no cruzamento de y’ quando x=0: b=log(A) = 0,48. Lembrando as propriedades do logaritmo: logb(a)=c então bc=a Portanto A=100,48= 3.
Resolução com base na primeira e segunda coluna da tabela 7 e o gráfico da figura 13 considerando-se o desconhecimento dos coeficientes A e k.
Neste caso a própria escala calcula o logaritmo. Numa escala logarítmica normal mede-
se com a régua a distância entre os dois pontos. O que equivale a:
21
2)58,0log(
4343.0*4)67.0/09,0log()67,0log()09,0log('
−=−
==−−
=ΔΔ
=if xxx
yk
Semelhante ao caso anterior. Para o coeficiente linear: A é lido diretamente na escala: Neste caso A=3.
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10,0
100,0
1000,0
Y' x
10-3
X
Figura 15: Definição dos coeficientes linear a angular da reta obtida da equação exponencial
na escala logarítmica.
Concluindo, para se definir um modelo que represente um fenômeno que possua um comportamento linear é um trabalho complexo. Neste sentido, havendo formas de se linearizar este comportamento, torna-se possível, com relativa facilidade definir-se os parâmetros de comportamento deste fenômeno.
A partir destes resultados pode-se ainda da utilizar-se modelos estatísticos para o cálculo de parâmetros. Uma destas metodologias é o método dos mínimos quadrados, que será apresentado no próximo capítulo.
Neste trabalho não será apresentado casos em que os comportamentos não sejam lineares e nem possuam a possibilidade de linearização. Estas técnicas estatísticas poderão ser pesquisadas em outras bibliografias [1,2,3]
38
4. Regressão Linear O objetivo de se estudar um fenômeno é tentar descrevê-lo de maneira simples, ou seja,
criar um modelo matemático que o descreva e/ou faça previsões de resultados finais a partir de dados iniciais. Neste sentido, a partir da observação experimental, é importante que se elabore tabelas e/ou gráficos para observação do comportamento destes mesmos fenômenos.
Uma das considerações teóricas que pode ser feita, após a elaboração do gráfico é que o comportamento do fenômeno é linear.
SIMULAÇÃO DA FUNÇÃO y=2*X+3
0
10
20
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X
Y
Figura 16: Simulação de uma reta satisfazendo a função y= 2x+3 onde os pontos foram
gerados por função gaussiana com média zero e desvio padrão 1. Desta forma, observa-se, uma relação entra duas grandezas, ou uma correlação linear.
Caso isto não ocorresse, a estrutura do gráfico seria uma dispersão em forma de círculo [4]. Uma das formas de se medir o grau e o sinal da correlação linear é a covariância entre as
duas variáveis:
1
))((),cov( 1
−
−−==
∑=
n
yyxxyxs
n
iii
xy (5.1)
Apesar da facilidade de verificação da covariância, é mais conveniente medir-se o grau e
o sinal da correlação pelo coeficiente de correlação de Pearson, definido por:
yx ssyxr ),cov(
= (5.2)
Onde: 1
)(1
−
−=
∑=
n
xxs
n
ii
x e 1
)(1
−
−=
∑=
n
yys
n
ii
x
são os desvios padrões das vaiáveis X e Y.
39
Para efeito de simplificação pode-se definir o coeficiente de correlação de Pearson com a seguinte notação:
yyxx
xy
SS
Sr = (5.3)
Onde:
∑∑
=
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=n
i
n
iixx n
xxS
1
2
12 ; ∑∑
=
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=n
i
n
iiyy n
yyS
1
2
12 ; ∑∑∑
=
==−=n
i
n
ii
n
ii
iixy n
yxyxS
1
11.
Este coeficiente possui a propriedade de ser adimensional e o seu valor varia de -1 a +1,
o que não ocorre com a covariância. Sendo adimensional, o seu valor não é afetado pela unidade das grandezas envolvidas. Neste sentido, r é facilmente interpretado: r=-1 indica correlação linear negativa perfeita, r=+1 indica correlação linear positiva perfeita.
É importante frisar que muitas vezes um alto valor do coeficiente de correlação, embora estatisticamente significativo, não implica em uma relação de causa e efeito entre as grandezas e sim uma tendência.
No gráfico de dispersão da figura 16 observa-se uma tendência na distribuição dos pontos, o que indica uma relação funcional entre as variáveis (grandezas no caso físico). O processo de determinação da função que define esta relação é chamado de regressão, conforme denominação introduzida por Fisher e universalmente adotada [4].
No caso específico da figura 16, o comportamento funcional dos pontos sugere uma reta. Esta reta pode ser chamada de linha de regressão. Neste sentido a função que descreve a reta é:
bxay += . (5.4)
Há diversos métodos para determinação da reta desejada. O mais simples é o que pode
ser chamado de “ajuste visual” que consiste em colocar-se uma régua entre os pontos e traçar-se a reta. Este método é muito bom quando a dispersão entre os pontos não é muito grande. O outro método se baseia no principio da máxima verossimilhança onde o procedimento utilizado é o dos mínimos quadrados, que consiste em adotar uma reta a soma do quadrado da distância entre os pontos teóricos (da reta) e os experimentais seja mínima.
De acordo com a equação (5.4), a e b são os respectivos coeficientes angular e linear de uma reta, respectivamente, e y e x são os pontos experimentais, que variam conforme o número de medidas tomado, portanto, coloca-se um subscrito nos mesmos: yi e xi . Então, se quisermos saber o quanto as medidas desviam do valor “real” iremos definir a quantidade:
∑=
−−=n
iii baxyS
1
2)( (5.5)
onde: n é o número de dados (no caso da Figura 16 são dez (n=10) dados. Os valores de a e b, são aqueles que anulam as derivadas parciais:
0=∂∂
=∂∂
bS
aS (5.6)
Aplicando essas condições à equação (5.5) chegamos às seguintes relações:
40
xx
xy
n
iin
ii
n
ii
n
iin
iii
SS
n
xx
n
xyxy
a =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
−=
∑∑
∑∑∑
=
=
==
=2
1
1
2
11
1 (5.7)
2
11
2
1111
2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=−=
∑∑
∑∑∑∑
==
====
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
xxn
xyxyxxayb (5.8)
É possível também definir-se os desvios padrões tanto dos coeficientes da curva como
do coeficiente de correlação. Não sendo este o escopo deste trabalho, deixa-se a critério e interesse do leitor o estudo das referencias [1-2] .
Exemplo de Aplicação:
O gráfico da figura 16 descreve os pontos experimentais da tabela 8 abaixo:
Tabela 8: Dados experimentais (simulado) para exemplo de cálculos dos coeficientes da reta
Dados x x2 y y2 x.y 1 1 1 6,82 47 6,82 2 2 4 7,06 50 14,13 3 3 9 8,33 69 24,99 4 4 16 11,23 126 44,92 5 5 25 11,26 127 56,32 6 6 36 15,21 231 91,27 7 7 49 16,64 277 116,47 8 8 64 19,88 395 159,03 9 9 81 19,12 365 172,04 10 10 100 23,95 574 239,54
∑=
10
1i
∑=
=10
1iix 55 ∑
=
=10
1
2
iix 385 ∑
=
=10
1iiy 139,51 ∑
=
=10
1
2
iiy 2261 ∑
=
=10
1iii yx 925,53
210
1⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∑=i
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∑=
210
1iix 3025
88,19462
210
1
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∑=i
iy
Utilizando-se as equações 5.7 e 5.8:
92,1
103025385
1055.51,13953,925
2
1
1
2
11
1 =−
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
−=
∑∑
∑∑∑
=
=
==
=
n
xx
n
xyxy
an
iin
ii
n
ii
n
iin
iii
41
40,31055.92,1
1051,139
=−=−= xayb
O coeficiente de regressão de Pearson vale:
5,8210
30253851
2
12 =−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−= ∑∑
=
=n
i
n
iixx n
xxS ;
72,31410
88,1946222611
2
12 =−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−= ∑∑
=
=n
i
n
iiyy n
yyS
225,15810
51,139.5553,925.
1
11 =−=−= ∑∑∑
=
==n
i
n
ii
n
ii
iixy n
yxyxS
98,072,314.5,82
225,158===
yyxx
xy
SS
Sr
Desta forma a equação que descreve a reta é:
y=1,92 x+3,40
que se aproxima bem do valor proposto originalmente: y=2x+3. O gráfico que descrevendo a reta determinada pelo método dos mínimos quadrados pode
se visto na figura 17.
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
X
Y
Figura 17: Determinação da reta definida pelo método dos mínimos quadrados..
Atualmente, com a popularização da informática, há diversos aplicativos que facilitam tanto o traçado do gráfico como cálculos estatísticos desde os mais simples aos mais sofisticados. No próximo capítulo será apresentado a aplicação do método dos mínimos quadrados no EXCEL que é a planilha eletrônica mais popular atualmente e possibilita diversos tipos de cálculos que facilitam a vida dos usuários, desde os mais leigos aos mais experientes.
42
5. Uso do EXCEL. Nos capítulos anteriores foram destacados os processos de construção de tabelas e
gráficos para elaboração de relatório bem como a análise com base em gráficos para determinação de leis físicas. Entretanto, as ferramentas utilizadas para confecção e linearização de gráficos exigem certo trabalho, que é de fundamental importância na formação do estudante. Por este motivo é que os primeiros relatórios devem ser feitos manualmente, pois o estudante manterá contato com os conceitos teóricos envolvidos para a execução de diversos tipos de cálculos estatísticos.
Em contrapartida é importante o conhecimento e utilização das diversas ferramentas eletrônicas disponíveis no mercado, tanto para a formação quanto para otimização de trabalhos profissionais. Especificamente para se trabalhar com estatística, há uma série de ferramenta tanto para desenvolvimento de trabalhos genéricos e simples quanto para trabalhos mais específicos e sofisticados.
Neste capítulo será apresentada a planilha eletrônica EXEL, de forma bastante simplificada apenas para confecção de uma planilha simples, confecção de gráfico, cálculo de regressão linear e demonstração da curva (reta) ajustada. Para conhecer com mais detalhes o leitor poderá encontrar no mercado diversos livros que ensinam como se utiliza uma planilha eletrônica até os que apresentam os diversos tipos de tarefas. Especificamente para aplicação estatística, poderão ser consultadas as referências [2] e [3].
Preparando uma tabela para confecção de um gráfico no EXCEL. (todas as instruções estão baseadas no EXCEL 2003)
Admitindo-se que foram coletados dados conforme a tabela 8. 1. Abra o EXCEL e digite os valore de x e y conforme figura abaixo:
Figura 18: Valores de x e y digitados no EXCEL para obtenção do gráfico e cálculo da regressão linear.
43
2. Há diversas funções e/ou ferramentas no EXCEL para o cálculo da regressão linear. Nosso objetivo é obter:
i. Coeficiente angular (inclinação da reta) (a). Equação 5.7. ii. Coeficiente linear ou intecepto (local onde a reta cruza o eixo do y para x
igual a zero (b). Equação 5.8. iii. Coeficiente de correlação de Pearson elevado ao quadrado. Equação 5.3.
3. Definindo-se uma região de trabalho no EXCEL Marque a região de A1 até K20, clicando-se com o botão da esquerda do mouse em A1, segure, araste até K20 e solte.
Figura 19: Marcação da área de trabalho no EXCEL. No menu principal clique (botão da esquerda) em formatar-célula-borda. Defina cor branca, conforme a figura 21, clique em contorno, interna e no botão OK.
Figura 20: Acesso ao menu de definição de bordas.
44
Figura 21: Detalhamento para definição de bordas brancas.
i. Definindo a inclinação:
Posicione o cursor na célula que se deseja devolver o valor da função, clique do ícone, conforme indicado, figura 22, mais funções inclinação, ok:
Figura 22: Passos para determinação da inclinação da reta. Serão solicitados os valores de y e de x conforme figura 23. A maneira mais simples de se fornecer é clicando (com o botão da esquerda do mouse) no primeiro valor, no topo da tabela, segurando e arrastando, o cursor até o último valor. Ao soltar-se o botão da esquerda do mouse, a região de interesse estará marcada.
45
Figura 23: Definição da região para o calculo do coeficiente angular.
Acione o botão OK e o resultado estará apresentado no local inicialmente indicado. Vide figura 24;
Figura 24: Demonstração da função de cálculo e o valor do coeficiente angular da reta.
O procedimento é o mesmo para os outros dois casos (ii e iii). Para b a função é INTERCEPCAO e para r2 a função é RQUAD. Veja o resultado na figura 25.
Figura 25: Resultados já calculados do coeficiente linear e de r2.
46
4. Para se traçar o gráfico, a maneira mais fácil é inicialmente definir-se a região
(tabela x e y) conforme indicado na figura 26 (vide a seta branca), clicar sobre o ícone que representa o gráfico, escolher dispersão e avançar.
Figura 26: Determinação do gráfico a partir dos dados tabelados. O operador pode determinar as diversas características de definição do gráfico, inclusive após a sua confecção. A planilha como um todo pode ser transportada para um editor de texto. As figuras e tabelas do capítulo anterior são todas transportadas do EXCEL.
Figura 27: Representação dos pontos plotados no gráfico na planilha eletrônica.
47
Através do gráfico também é possível definir-se os parâmetros calculados pelas funções da planilha:
5. Clique com o botão da esquerda no mouse sobre um dos pontos plotados. Todos serão marcados conforme a figura 28. Ainda com o ponteiro do mouse sobre um dos pontos clique com o botão da direita, aparecerá um sub-menu. Clique em adicionar linha de tendências.
Na janela linha de tendência já está marcado tendência linear. Acionando a aba OPÇÕES, já está definida nome da linha de tendência automática. Selecione as caixas: Exibição de equação no gráfico e exibição de R-quadrado no gráfico (conforme figura 29) e acione o botão OK. Veja os resultados na figura 30.
Figura 28: Procedimento para determinação da reta média e dos coeficientes a partir da linha
de tendência no EXCEL.
Figura 29: Sub-menu para detalhamento de parâmetros de interesse.
48
Figura 30: Tabela, gráfico e parâmetros calculados tanto pelas funções da tabela como pelos
comandos a partir da definição da linha de tendência.
Observando-se a figura 30, verifica-se que, a princípio, há duas formas para o cálculo dos coeficientes através do método dos mínimos quadrados.
49
6. Referências Bibliográficas [1] VUOLO, José Henrique, Fundamentos da Teoria dos Erros, 2ª Ed, São Paulo, Editora Edgard
Blücher LTDA, 1996.
[2] LAPPONI, Juan Carlos, Estatística Usando EXCEL, São Paulo, Lapponi Treinamento e Editora Ltda, 2000.
[3] VANNI, Sergio Marcos, Modelos de Regressão: Estatística Aplicada, São Paulo, Legnar Informática & Editora, 1998
[4] COSTA NETO, Pedro Luis de Oliveira, Estatística, São Paulo, Edigard Blücher, 1977.