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2016 1

Aula 2 – Linearização de Gráficos

CKS

Processo de Linearização de Gráficos

• O que é linearização ?

– Procedimento para tornar uma curva em uma reta.

– Permite determinar a relação entre duas variáveis (y e x) , que

satisfaça a equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes

angular e linear da reta (a e b).

• Por que linearizar ?

– A análise de uma reta é mais simples que a análise de uma curva.

– O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas

que governam o experimento que gerou os dados.

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

2016 CKS 2

2

Métodos de Linearização

• Troca de variáveis

– A equação que governa o comportamento dos dados deve ser

conhecida.

– A troca de variáveis permite converter uma equação de uma curva

numa equação de reta.

• Exemplo:

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏

Termo não linear

x′ = 𝑥2 𝑦 = 𝑎𝑥′ + 𝑏

Equação linear

2016 CKS 3

Exemplo

2016 4

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏

𝑦 = 𝑎𝑥′ + 𝑏

CKS

3

Outro exemplos de troca de variáveis

2016 CKS 5

𝑦 =𝑎

𝑥+ 𝑏

𝑦 = 𝑎𝑥′ + 𝑏

𝑥′ = 1 𝑥

• Nem todas as equações podem ser linearizadas com troca de variável

2016 6

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Termo não linear

x′ = 𝑥2

𝑦 = 𝑎𝑥′ + 𝑏 𝑥′ + 𝑐

Equação resultante

se x2 = 𝑥′ então 𝑥 = 𝑥′

CKS

4

Exemplo

2016 7

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑦 = 𝑎𝑥′ + 𝑏 𝑥′ + 𝑐

CKS

Outros Métodos de Linearização

• Uso de papéis especiais: mono-log e di-log

– Quando um gráfico em papel milimetrado fornece uma curva,

ainda assim é possível obter, em casos específicos, gráficos

lineares usando papéis mono e di-log.

– Este método se aplica quando a equação que governa o

comportamento dos dados não é conhecida.

– Funciona por tentativa e erro. Os “softwares” matemáticos

permitem a troca das escalas linear para logarítmica facilitando o

processo.

2016 CKS 8

5

Métodos de Linearização

• Tipos de Papéis:

milimetrado mono-log di-log

Esca

la lo

ga

rítm

ica

Esca

la lo

ga

rítm

ica

Escala logarítmica

2016 CKS 9

Exemplo 1

• Conjunto de dados (qualquer)

– Obtido experimentalmente / simulação numérica

– Não conheço as leis físicas que governam o fenômeno medido/simulado

– Como proceder?

2016 10

Plota no milimetrado

CKS

Plota no papel mono-log

6

• Tira-teima

– Usando papel di-log para ver se lineariza

2016 11CKS

Análise do ajuste linear no papel mono-log

• Achando a e b

2016 CKS12

equação linear𝑦′ = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑎 =log 𝑦2 − log 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

log 0,08 − log 2

1 − 0

x1 x2

y1

y2

𝑏 = log 𝑦 𝑥𝑥=0

= log 2 = 0,3010

𝑦′ = −1,4. 𝑥 + 0,3010

mas 𝑦′ = 𝑙𝑜𝑔 𝑦 então 𝑙𝑜𝑔 𝑦 = −1,4. 𝑥 + 0,3010

𝑎 = −1,0969 − 0,3010 = −1,3979~ − 1,4

Para determinar y 10𝑙𝑜𝑔 𝑦 = 10−1,4.𝑥+0,3010

7

• Para determinar y

– Partindo de

– temos

–

–

2016 CKS 13

𝑙𝑜𝑔 𝑦 = −1,4. 𝑥 + 0,3010

10𝑙𝑜𝑔 𝑦 = 10−1,4.𝑥+0,3010

𝑦 = 10−1,4.𝑥. 100,3010 = 2. 10−1,4.𝑥

𝑦 = 2. 10−1,4.𝑥

Exemplo 2

• Conjunto de dados (qualquer)

– Obtido experimentalmente / simulação numérica

– Não conheço as leis físicas que governam o fenômeno medido/simulado

– Como proceder?

2016 14

Plota no milimetrado

CKS

Plota no papel mono-log

8

– Ultima tentativa com papel di-log

2016 15CKS

Análise do ajuste linear no papel di-log

• Achando a e b

2016 CKS16

equação linear𝑦′ = 𝑎𝑥′ + 𝑏

𝑎 =log 𝑦2 − log 𝑦1

log 𝑥2 − log 𝑥1=

log 2 − log 0,03

log 1 − log 0,06

x1

x2

y1

y2

𝑎 =0,3010 − −1,5228

0 − −1,2218= 1,4927~1,5

Selecionar um ponto para determinar b

x3

y3

𝑦3′ = 𝑎. 𝑥3

′ + 𝑏

𝑏 = 𝑦3′ − 𝑎. 𝑥3

′ = log 0,5 − 1,5. log 0,4 = 0,2959

𝑏 = 0,2959

9

• Para determinar a equação original

– Partindo de

– Reescrevendo

– temos

–

–

2016 CKS 17

10𝑙𝑜𝑔 𝑦 = 10 𝑎.𝑙𝑜𝑔 𝑥 +𝑏

𝑦 = 1,9765. 𝑥1,5~2. 𝑥1,5

equação linear𝑦′ = 𝑎𝑥′ + 𝑏

𝑦 = 10𝑏. 10𝑙𝑜𝑔 𝑥𝑎= 10𝑏. 𝑥𝑎 = 100,2959 . 𝑥1,5

𝑙𝑜𝑔 𝑦 = 𝑎. 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑏

Exemplo de confecção de gráfico, linearização e ajuste de reta

• Dados obtidos:

– Objetivo: Determinar a aceleração a partir das medidas de v e x.

2016 CKS 18

x (cm) 0 15 30 45 60 75 90

v (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237

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• 1) unificar as unidades para o mesmo sistema de unidades

– Por exemplo, no SI.

• 2) Fazer o gráfico: v versus x

Não é reta!!!

2016 CKS 19

x (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90

v (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237

• 3) Fazer a linearização:

– É necessário conhecer a equação que relaciona as variáveis V e X

– Análise:

• Este problema é um problema típico de cinemática, que envolve

aceleração constante, ou seja, MRUV.

• As equações do MRUV são:

– A equação que relaciona v com x é:

– como

2

2

00

attvxx

atvv 0

xavv 2 2

0

2

0 xxx

axvv 2 2

0

2 00 x

xx

2016 CKS 20

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• 3) Fazer a linearização (cont):

– Comparar com a equação da reta e fazer a mudança de variável.

– Assim:

– coeficiente linear:

– coeficiente angular:

axvv 2 2

0

2

cxby

2

0vb

ac 2

bv 0

2

ca

2 vy

2016 CKS 21

• 4) Montar uma tabela com as variáveis linearizadas v2 e x.

• 5) Fazer o gráfico linearizado, isto é, o gráfico de v2 versus x

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0

2

4

6

8

10

12

Y (m

2/s

2)

X (m)

2V Y

2016 CKS 22

x (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90

y = v2 (m/s) 0,477 2,059 3,660 5,258 7,437 9,169 10,478

12

• 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ

– Calculando o coeficiente angular:

i

i

i

i

i

x

yx

A2

.

2m/s 11,4286

63,0

20,7 A

2016 CKS 23

x v2

x y xi yi xi2 xi.yi

0,00 0,477 -0,45 -5,03 0,203 2,26260,15 2,059 -0,30 -3,45 0,090 1,03380,30 3,660 -0,15 -1,85 0,023 0,27690,45 5,258 0,00 -0,25 0,000 0,00000,60 7,437 0,15 1,93 0,023 0,28970,75 9,169 0,30 3,66 0,090 1,09900,90 10,478 0,45 4,97 0,203 2,2378

Média = 0,45 5,51 Soma = 0,63 7,20

• 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ (cont.)

– Calculando o coeficiente linear B:

– Comparar os coeficientes e

• calcular a aceleração:

• calcular a velocidade inicial V0:

xABy N

yy

i

N

xx

i

45,04286,1151,5 xAyB

22/sm 3671,0B

2/4286,112/ Aa 2m/s 7143,5a

3671,00 BV m/s 6059,00 V

2016 CKS 24

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• 7) Desenhar a melhor reta no gráfico

– Escolher dois pontos X1 e X2 e a partir da equação da melhor reta

calcular Y1 e Y2

– Exemplo:

– pontos da melhor reta: Gráfico com a melhor reta

xy .4286,113671,0

20,0 1 x

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0

2

4

6

8

10

12

Pontos da melhor reta

Y (

m2/s

2)

X (m)

653,2)20,0(4286,113671,0 1 y

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x y

0,20 2,653

0,70 8,367

FIM

2016 CKS 26