linearizaÇÃo de grÁficos processo de linearização de gráficos

12
1 LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Física Básica Experimental I Departamento de Física / UFPR Processo de Linearização de Gráficos O que é linearização ? procedimento para tornar uma curva que não é uma reta em uma reta. É encontrar uma relação entre duas variáveis, que satisfaça a equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes angular e linear da reta ( ). Por que linearizar ? A análise de uma reta é mais simples que a análise de uma curva. O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas que governam o experimento que gerou os dados. ax b y + =

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Page 1: LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Processo de Linearização de Gráficos

1

LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS

Física Básica Experimental I

Departamento de Física / UFPR

Processo de Linearização de Gráficos

� O que é linearização ?

– procedimento para tornar uma curva que não é uma reta em uma reta.

– É encontrar uma relação entre duas variáveis, que satisfaça a equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes angular e linear da reta ( ).

� Por que linearizar ?

– A análise de uma reta é mais simples que a análise de uma curva.

– O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas que governam o experimento que gerou os dados.

ax b y +=

Page 2: LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Processo de Linearização de Gráficos

2

Métodos de Linearização

tt ≡′

� 1) Troca de variáveis

– A equação que governa o comportamento dos dados deve ser conhecida.

– A troca de variáveis permite converter uma equação de uma curva numa equação de reta.

– Exemplo:

– onde

– Obs: Nem todas as equações podem ser convertidas de forma útil.

bax y 2+= ⇒ bxa y +′= xx 2

=′

Métodos de Linearização

� 2) Uso de papéis especiais: mono-log e di-log

� Quando um gráfico em papel milimetrado fornece uma curva, ainda assim é possível obter, em casos específicos, gráficos lineares usando papéis mono e di-log.

� Este método se aplica quando a equação que governa o comportamento dos dados não é conhecida.

� Funciona por tentativa e erro. Os “softwares” matemáticos permitem a troca das escalas linear para logarítmica facilitando o processo.

Page 3: LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Processo de Linearização de Gráficos

3

Métodos de Linearização

� Tipos de Papéis:

milimetrado mono-log di-log

Es

cala

log

arí

tmic

a

Es

cala

log

arí

tmic

a

Escala logarítmica

� 1) Método das mudanças de variáveis: Exemplo 1

Gráfico das funções do tipo:

cbxax (x)y 2++=

2

2

2

2

x2 (x)y:)d(

20x2 (x)y:)c(

x10x2 (x)y:)b(

20x10x2 (x)y:)a(

=

+=

−=

+−=

linearização

Mudança de variável

2x x =′

x2 (x)y)d( ′=′

20x2 (x)y)c( +′=′

0 20 40 60 80 100

0

5 0

1 00

1 50

2 00

2 50

Y (

cm)

X' (cm2)

c' d'

0 2 4 6 8 10

-20

0

20

40

60

80

100

120

Y (

cm)

X (cm)

(a) (b) (c) (d)

´´´ (x´)´ bxay +=

Page 4: LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Processo de Linearização de Gráficos

4

� Mudança de variáveis: Exemplo 2

Gráfico das funções do tipo:

X/a (X)Y =

X/10 (X)Y =

linearização

Mudança de variável

X1

X =′

X10 )X(Y ′=′⇒

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

2

4

6

8

10

Y (

cm)

X' (cm-1)

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

Y (c

m)

X (cm)

bXaY += ´´ (X )́´

?

� Mudança de variáveis: Exemplo 3

Gráfico da função: Gráfico linearizado

onde

Br

10X2 Y −= ⇒ 10X2 Y −′=

X X =′

Linearização

0 20 40 60 80 100-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

Y (

cm1

/2)

X (cm)

0 2 4 6 8 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

Y (

cm

1/2)

X' (cm1/2

)

bXaY += ´´ (X )́´

Page 5: LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Processo de Linearização de Gráficos

5

� 2) Uso de Papéis especiais: Monolog e Dilog

� Os papéis com escala logarítmica são utilizados para linearizar funções exponenciais

� 2.1) Papel monolog

Ae Y BX=

e2 Y X8,0=

Papel milimetrado Papel monolog

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00

5

10

15

20

25

Y (

cm)

X (cm)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,01

10

100

(X1,Y

1)

(X2,Y2)

Y (c

m)

X (cm)

� No Papel monolog:

– O coef. Angular (A’) é obtido dos pontos (X1,Y1) e (X2,Y2) do gráfico

– O coef. Linear é lido diretamente no gráfico para X = 0:

12

12

XX

YY

X

YA

′−′=

′∆=′

)0(YB =

)Yln(Y =′

Page 6: LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Processo de Linearização de Gráficos

6

� Papel monolog (cont.)

� Para linearizar em papel milimetrado

� Comparando com a equação da reta

Ae Y BX= ( ) ( ) BXBX elnAln Aeln Yln +==

( ) BXAln Yln +=

XAB Y ′+′=′

Y)(ln Y =′

linear coef.Aln B ==′

angular coef.B A ==′⇒

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

ln(Y

)

X (cm)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00

5

10

15

20

25

Y (

cm)

X (cm)

� Uso de papéis especiais:

� 2.2) Papel dilog

AX Y B=

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Y (

cm)

X (cm)

Papel milimetrado Papel dilog

0,01 0,1 11E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1(X

2,Y

2)

(X1,Y1)

Y (

cm)

X (cm)

X2 Y 4,2=

Page 7: LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Processo de Linearização de Gráficos

7

� No Papel dilog:

– O coef. Angular (A’) é obtido dos pontos (X1,Y1) e (X2,Y2) no gráfico

– O coef. Linear é obtido após a linearização da eq. exponencial:

Comparando com a equação da reta

Assim:

Para achar o coef. linear

12

12

XX

YY

X

YA

′−′

′−′

′∆

′∆=′

AX Y B=

( ) ( ) ( ) ( ) XlogAlogAXlog Ylog BB +==

( ) ( ) ( ) XlogBAlog Ylog +=

XAB Y ′′+′=′

( )YlogY =′

( ) Xlog X =′

( ) Alog B =′

B A =′ ( ) ( ) ( ) XlogBAlog Ylog 11 +=

)Yln(Y =′ )Xln(X =′

� Papel dilog (cont.)

� Para linearizar em papel milimetrado:

– Após a linearização:

( ) ( ) ( ) XlogBAlog Ylog +=

XAB Y ′′+′=′

( )YlogY =′

( ) Xlog X =′

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Y (

cm)

X (cm)

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0-5

-4

-3

-2

-1

0

1

log

(Y

)

log (X)

( ) Alog B =′

B A =′

Papel milimetradoPapel milimetrado

Page 8: LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Processo de Linearização de Gráficos

8

Exemplo de confecção de gráfico, linearização e ajuste de reta

� Dados obtidos:– Objetivo: Determinar a aceleração a partir das medidas de V e X.

�X (cm) 0 15 30 45 60 75 90V (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237

� 1) unificar as unidades para o mesmo sistema de unidades

– Por exemplo, no SI.

� 2) Fazer o gráfico: V versus X

X (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90V (m/s) 0,691 1,435 1,913 2,293 2,727 3,028 3,237

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

V (

m/s

)

X (m)

Não é reta!!!

Page 9: LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Processo de Linearização de Gráficos

9

� 3) Fazer a linearização:

– É necessário conhecer a equação que relaciona as variáveis V e X

– Análise:• Este problema é um problema típico de cinemática, que envolve

aceleração constante, ou seja, MRUV.

• As equações do MRUV são:

– A equação que relaciona V com X é:

– como

2

attVX X

2

00 ++=

atV V 0 +=

Xa2V V 20

2∆+= 0XX X −=∆

aX2V V 20

2 += 0X0 =

X X =∆

� 3) Fazer a linearização (cont):

– Comparar com a equação da reta e fazer a mudança de variável.

– Assim:

– coef. linear:

– coef. angular:

aX2V V 20

2+=

XAB Y ′+=

X X =′

20VB =

a2A =

⇒ BV0 =

⇒2A

a =

2V Y =

Page 10: LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Processo de Linearização de Gráficos

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� 4) Montar uma tabela com as variáveis linearizadas V2 e X.

� 5) Fazer o gráfico linearizado, isto é, o gráfico de V2 versus X

X' = X (m) 0 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90Y=V2 (m/s) 0,47748 2,05923 3,65957 5,25785 7,43653 9,16878 10,47817

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0

2

4

6

8

10

12

Y (

m2 /s

2)

X (m)

2V Y =

� 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ

– Calculando o coeficiente angular:

X’ V2 Xi Yi Xi

2 XiYi

0 0,47748 0,00000 0,00000 0,15 2,05923 0,02250 0,30888 0,30 3,65957 0,09000 1,09787 0,45 5,25785 0,20250 2,36603 0,60 7,43653 0,36000 4,46192 0,75 9,16878 0,56250 6,87659 0,90 10,47817 0,81000 9,43035

Σ 3,15 38,53761 2,04750 24,54164

( )∑ ∑−

∑∑−∑=

2

i

2

i

iiii

XXN

Y.XY.XN A

22 m/s 42813,11

)15,3(04750,2753761,3815,354164,247

A =−×

×−×=

Page 11: LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Processo de Linearização de Gráficos

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� 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ (cont.)

– Calculando o coeficiente linear B:

– Comparar os coeficientes e

• calcular a aceleração:

• calcular a velocidade inicial V0:

XAB Y +=NY

Y i∑=

NX

X i∑=

7/)15,342813,1153761,38(XA YB ×−=−=

22 /sm 36271,0B =

2/42813,112/Aa == 2m/s 71407,5a =⇒

36271,0BV0 == ⇒ m/s 60225,0V0 =

� 7) Desenhar a melhor reta no gráfico

– Escolher dois pontos X1 e X2 e a partir da equação da melhor reta calcular Y1 e Y2

– Exemplo:

– pontos da melhor reta: Gráfico com a melhor reta

X42813,1136271,0 Y +=

20,0 X1 = ⇒

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0

2

4

6

8

10

12

Pontos da melhor reta

Y =0,36271+11,42813 X

Y (m

2 /s2 )

X (m)

64834,2)20,0(42813,1136271,0 Y1 =×+=

Page 12: LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Processo de Linearização de Gráficos

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FIM